El sistema de coordenadas polares define cada punto en el plano mediante un ángulo y una distancia desde un origen, conocible como polo. Este sistema facilita la representación de relaciones entre puntos en términos de ángulos y distancias, y permite la conversión entre coordenadas polares y cartesianas mediante fórmulas matemáticas específicas. Además, se puede determinar el área de sectores circulares en coordenadas polares utilizando la fórmula adecuada.

1. Coordenadas
Polares
Estudiante: José Mujica

2. ¿Que Es Sistema Polar?
El sistema de coordenadas polares es
un sistema coordenado bidimensional en el cual
cada punto (posición) en el plano esta
determinado por un ángulo y una distancia.
Este sistema es especialmente útil en situaciones
donde la relación entre dos puntos es más fácil
de expresar en términos de ángulos y distancias.
¿Como Se Forma?
Para formar el sistema de coordenadas
polares en el plano, se fija un punto O, llamado
polo (u origen), ya a partir de O, se traza un
rayo inicial llamado eje polar, como se muestra
en la figura. A continuación, a cada punto P en
el plano se le asignan coordenadas polares (r,
Ѳ), como sigue:

3. Es Importante Saber Que:
Ѳ es positivo cuando se mide en sentido
contrario de las agujas del reloj y negativo
cuando se mide en sentido de las manecillas
• El ángulo asociado con el punto no es único.
• Pueden tener valores r negativos.
 Algunos ejemplos de coordenadas polares:
¿como trazar coordenadas polares?

4. Diferencia Entre Coordenadas Polares Y Cartesianas
Coordenadas Cartesianas
Con coordenadas cartesianas señalas un
punto diciendo la distancia de lado y la
distancia vertical:
Coordenadas Polares
Con coordenadas polares señalas un punto
diciendo la distancia y el ángulo que se forma:

5. Conversión
De Polar A Cartesiana
De Cartesiana A Polar
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo
quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver
un triángulo del que conoces dos lados.
Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado
largo (la hipotenusa):
r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°
Así que las fórmulas para convertir coordenadas
cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:
r = √ (x2 + y2)
θ = atan( y / x )
Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas
cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un
ángulo:
Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?
Usamos la función coseno para x: cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98
Usamos la función seno para y: sin( 23 °) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08
Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y)
son:
x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )

6. Trazo de graficas en coordenadas polares
Dibujar la grafica de r= 2 cos 3Ѳ
NOTA: una forma de bosquejar la grafica de r= 2 cos 3Ѳ
a mano, es elaborar una tabla de valores

7. Graficas Especiales
Varios tipos importantes de gráficas tienen
ecuaciones que son más simples en forma polar que
en forma cartesiana. Por ejemplo, la ecuación polar
de un círculo de radio a y centro en el origen es
simplemente r= a.

8. Graficas Especiales

9. Graficas Especiales

10. Graficas Especiales

11. PLANO rѲ

12. Áreas En Coordenadas Polares
Obsérvese que el área de un sector circular
de radio r está dada por
1
2
𝜃𝑟2
siempre que
esté dado en radianes.
Considérese la función dada por
r=f (𝜃) donde es f continua y no
negativa en el intervalo dado por 𝑎 ≤
𝜃 ≤ 𝛽 . La región limitada por la gráfica
f de y las rectas 𝜃 = 𝑎 𝑦 𝜃 = 𝛽 radiales.
A continuación aproximamos el área de la región por
la suma de las mismas de los n sectores,
Luego de haber notado el teorema anterior, podemos
decir que usar la fórmula para hallar el área de una
región limitada por la gráfica de una función continua no
negativa. Sin embargo, no es necesariamente válida si f
toma valores positivos y negativos en el intervalo [ a , b ]

13. Fin.