Cubi for modelos

Complemento de Excel para cubicar,
clasificar productos, calcular biomasa y CO2
en masas forestales de Castilla y León

PARTE I. TIPOS DE MODELOS
IMPLEMENTADOS

Área de I+D+i

cubiFor: Tipos de modelos implementados

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN...............................................................................................3
2. MODELOS DEL PERFIL DEL ÁRBOL ..............................................................4
3. CURVAS HIPSOMÉTRICAS ...........................................................................10
4. MODELOS DEL ESPESOR DE CORTEZA ....................................................12
5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................13

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1. Introducción
El conocimiento de las existencias de una masa forestal es imprescindible para
su posterior gestión, por lo que resulta imprescindible contar con una
herramienta sencilla y eficaz que proporcione dicha estimación.
Para el cálculo de las existencias de una masa forestal se suelen utilizar tarifas
de cubicación. Estas tarifas constituyen modelos estructurales que resumen la
relación entre el diámetro, la altura y el volumen del árbol. Estas tarifas tienen
un carácter local y su precisión está muy condicionada al tamaño de la muestra
elegida, dado que el volumen de cada árbol corresponde a una única
observación. La obtención de este tipo de tarifas resultan muy costosas (en
número de árboles y observaciones realizadas sobre cada uno) y no tienen en
cuenta, al resumir toda la información del árbol en un escalar (volumen del
árbol), las características invariantes asociadas a cada especie analizada
(rasgos morfológicos comunes en la especie).
En las dos últimas décadas se observa un interés creciente entre los distintos
centros de investigación por abordar el análisis daso-dendrométrico de una
masa forestal mediante el uso de modelos del perfil del árbol. Este auge de las
técnicas de modelización en el ámbito forestal surge de la necesidad de reducir
las unidades muestrales (árboles) pero sin que esto conlleve una pérdida en la
precisión obtenida. Además estas técnicas permiten la reconstrucción por
ordenador de los árboles para su posterior análisis (clasificación de los
productos obtenidos tras un despiece, evolución de su crecimiento, simulación
de distintos tratamientos selvícolas, etc.)
El objetivo de este trabajo es la elaboración de una herramienta de cubicación,
clasificación de productos, cálculo de biomasa y de CO2 fijado, que sirva de
apoyo a la gestión forestal de las masas forestales de Castilla y León. Esta
herramienta, denominada CUBIFOR, se basa en tres tipos de modelos;
modelos de espesor de corteza, hipsométricos y de perfil del árbol. En la
actualidad, CUBIFOR está en versión de pruebas, y las especies forestales
implementadas, o de próxima implementación, son el pino albar (Pinus
sylvestris L.), pino negral (Pinus pinaster Ait.), pino laricio (Pinus nigra Arn.),
pino insignis (Pinus radiata D.Don) pino piñonero (Pinus pinea L.), rebollo
(Quercus pyrenaica Willd.) y chopo I-214 (Populus x euramericana (Dode)
Guinier cv. I-214).

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2. Modelos del perfil del árbol
La forma, el perfil y la conicidad de los árboles son conceptos a menudo
confundidos. Se entiende por conicidad el decrecimiento del diámetro por
unidad de longitud (cm/m). PARDÉ (1961) define el coeficiente mórfico como el
cociente entre el volumen del árbol y el de un cilindro de diámetro y altura
igual a las del árbol (globalmente expresa la conicidad). Otro índice utilizado es
la esbeltez (altura total/diámetro normal) que puede considerarse como un
indicador de la conicidad, aunque normalmente es utilizado como estimador de
la estabilidad individual del árbol dentro de una masa y da al selvicultor una
buena aproximación de la selvicultura aplicada en el pasado en términos de
espesura. Finalmente, RONDEAUX (1993) presenta el coeficiente de
decrecimiento expresado por el cociente entre el diámetro a la mitad de la
altura del árbol y el diámetro normal.
La forma del árbol tiene en cuenta aspectos como la curvatura del tronco.
Además, es susceptible de la realización de medidas subjetivas. El Tercer
Inventario Forestal Nacional (IFN3) clasifica la forma de los árboles en 4 tipos,
en función de su curvatura, de cara a la elección de la tarifa de cubicación más
adecuada.
Finalmente, el perfil del árbol viene a ser su silueta o proyección ortogonal
sobre un plano paralelo al eje. Encontrando su expresión analítica r(x), se
deduce de ella la ley funcional y = S(x) =π—r2(x) e integrando, la del volumen
como función de la altura.
En un principio, el análisis del perfil del árbol se estudió asimilándolo a curvas
simples, más conocidas como perfiles teóricos o tipos dendrométricos, como
son el cilindro, el cono, el paraboloide y el neiloide. Estos tipos dendrométricos
se definen sabiendo que se puede formar un sólido de revolución a partir de la
rotación de una curva ( Y = K ⋅
donde:

r

X ), a lo largo del eje X (HUSCH et al., 1982),

Y = radio del sólido de revolución,
X = altura en el sólido de revolución,
K = constante que hace referencia a la evolución del radio con la altura, y
r = factor de forma.
Según cambie el factor de forma, el sólido de revolución generado será
distinto. Así, cuando r es igual a 1, el sólido generado será un paraboloide, si r
es igual a 2, un cono, y si r es igual a 3 un neiloide. Para el caso concreto del
fuste de un árbol, Y es el radio del árbol (d/2) a una altura dada (h), X es una
función de la altura (normalmente HT-h) y K es una expresión de su perfil
 R
 b
 Hr
T



 , donde Rb es el radio en la base del árbol y HT es su altura total.



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Posteriormente, se observó que ninguno de los tipos dendrométricos era
admisible, pero sí lo eran sus troncos si se procedía por zonas. Por tanto, se
concluyó que el perfil real del árbol (en el caso de la mayoría de las coníferas)
era una combinación de los troncos de los distintos tipos dendrométricos. Así,
la zona inferior o raigal, que es convexa respecto al eje, es comparable a un
tronco de neiloide. Inmediatamente después de esta zona neilódica viene una
porción de fuste donde se presenta la forma más o menos cilíndrica, luego otra
zona del perfil convexo hacia el exterior, comparable al tronco de paraboloide,
y finalmente, el perfil parabólico va degenerando gradualmente en cónico.
En la Figura 1 se observa cada una de las partes del perfil real del árbol,
asimilada a cada uno de los tipos dendrométricos.
Tronco de neiloide
Tronco de paraboloide
Tronco de cono

Figura 1: Principales tipos dendrométricos.

− Principales aplicaciones de las funciones del perfil
La principal aplicación de las funciones de perfil es el cálculo del volumen del
árbol (total o hasta cualquier altura límite, diámetro en punta delgada o entre
dos diámetros). RODRÍGUEZ et al. (2004) evalúan la producción total y de los
distintos productos (madera de sierra y trituración) de tres itinerarios
selvícolas sobre pino radiata a través de una tarifa con clasificación de
productos elaborada con un modelo de perfil del árbol.
También permite conocer la evolución de la conicidad a lo largo del fuste
(ORMEROD, 1973; CLUTTER, 1980; BIGING, 1984; KOZAK, 1988) y el rendimiento
de cada una de sus trozas (RODRÍGUEZ y BROTO, 2003).
Esta descripción detallada de la forma del fuste permite analizar la influencia
que distintos factores (espesura, longitud de copa, calidad de estación, etc.)
y/o el efecto de distintas operaciones selvícolas (claras, podas, fertilización,
etc.) tiene sobre la producción. STERBA (1980) sugiere que el conocimiento de
la influencia de estos factores posibilitará modificar la forma del árbol mediante
la gestión forestal de acuerdo con los objetivos propuestos. Así, la realización
de fuertes fertilizaciones aumenta el vigor, tiende a incrementar la copa y, por
tanto, a modificar el perfil (TEPPER et al., 1968; FLINN, 1984; GORDON y GRAHAM,
1986; JOKELA et al., 1989; VALINGER 1992; BI y TURNER, 1994). Los
tratamientos selvícolas también producen modificaciones en la forma del

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tronco del árbol; así, en masas sometidas a claras fuertes los árboles poseen
copas amplias y tienden a un perfil más cónico (GRAY, 1956; VALINGER, 1992;
MUHAIRWE et al., 1994). La poda tiene el efecto contrario, al reducirse la copa
viva los árboles, el perfil tiende a tomar una forma más parabólica (LARSON,
1965). En este último caso, RODRÍGUEZ et al. (2001) y RODRÍGUEZ (2005)
sugieren análisis combinados perfil-crecimiento para evaluar la influencia de
distintos tratamientos sobre la producción en chopos.
Finalmente, PRIETO y TOLOSANA (1991) manifiestan que las funciones de perfil
constituyen una eficaz herramienta para el estudio de la relación entre la forma
del árbol y su resistencia al viento, al peso de la nieve, y en general, a los
fenómenos meteorológicos que provocan daños mecánicos graves en los
fustes.

− Clasificación de las funciones de perfil
Las funciones de perfil se pueden clasificar en dos grandes grupos atendiendo
al modo en que se expresa el diámetro del tronco; distinguiendo funciones de
perfil absolutas y relativas.
Las funciones de perfil absolutas se pueden definir como el grado de
disminución del diámetro del tronco (d) al incrementarse la altura (h) del árbol
desde su base hasta su ápice. La expresión matemática que las define es del
tipo: d = f (h), donde:
d = diámetro correspondiente a la altura h, y
h = altura desde el nivel del suelo hasta alcanzarse el diámetro d,
La generalización del estudio del perfil de los árboles a una masa forestal exige
el uso de funciones independientes del tamaño del árbol (PRIETO y TOLOSANA,
1991), es decir, que proporcionen o utilicen sus dimensiones en términos
relativos. El uso del diámetro relativo como variable independiente es
conveniente cuando se pretende ajustar una función de perfil a una masa, ya
que de esta forma todos los árboles tienen igual peso en el análisis, pero
implica un error multiplicativo respecto al tamaño de los árboles, ya que si los
errores en diámetro relativo son homogéneos, al convertirlos a diámetros
absolutos, serán mayores en árboles más gruesos (RODRÍGUEZ y BLANCO, 2001).
El uso de la altura relativa como variable independiente también se justifica
debido a la similitud en la forma del fuste de diferentes tamaños dentro de la
misma especie (DEMAERSCHALK y KOZAK, 1977; LAASASENAHO, 1982). Se puede
definir una función de perfil relativa del tronco del árbol como una expresión
matemática que proporciona el diámetro relativo a lo largo del tronco, en
función de la altura relativa a la que se encuentran. La expresión matemática
que la define es del tipo:
 h 
d
=f
H 

DAP
 T

ó

dr = f (hr)

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donde:
d = diámetro correspondiente a la altura h,
DAP = diámetro normal,
h = altura desde el nivel del suelo hasta alcanzarse el diámetro d,
HT = altura total del árbol,
dr = diámetro relativo (d/DAP),
hr = altura relativa desde el nivel del suelo (h/HT).

El perfil se puede definir como una función intermedia, entre la absoluta y la
relativa, donde se utiliza como variable dependiente el diámetro absoluto (o
cualquiera de sus variantes como el radio o la sección) y como variable
independiente la altura relativa.
El volumen total se estima integrando la función de perfil, y el volumen de
cualquier sección se obtiene integrando entre las alturas de las dos secciones
evaluadas. En la Figura 2 se presenta un ejemplo de dos perfiles absolutos y
los mismos en perfil relativo.
Para mejorar las predicciones se han incorporado variables referentes al árbol
individual (BRUCE et al., 1968; LAASASENAHO, 1982; BURKHART y BURTON, 1985;
VALENTI y CAO, 1986; CZAPLEWSKI y MCCLURE, 1988; FLEWELLING, 1993;
MUHAIRWE et al., 1994), como un segundo diámetro por encima del diámetro
normal, la esbeltez y/o datos sobre la copa del árbol al existir una estrecha
relación entre el perfil y el desarrollo de la copa (LARSON, 1963). Otros autores
(LAASASENAHO, 1982; NEWBERRY y BURKHART, 1986; THOMAS y PARRESOL, 1991;
MORRIS y FORSLUND, 1992; MUHAIRWE et al., 1994; TASSISA y BURKHART, 1998)
incluyen algunas de las principales variables dasométricas (densidad, calidad
de estación, etc.).

Figura 2: Modelo del perfil absoluto (parte izquierda) y perfil relativo (parte derecha)

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− Tipos de funciones matemáticas de perfil
Se han propuesto en las últimas décadas numerosas expresiones de funciones
de perfil. Basándose en su formulación matemática, estos modelos se pueden
clasificar de la siguiente forma (CASTEDO y ÁLVAREZ, 2000): (i) polinómicos
simples, (ii) polinómicos segmentados, (iii) potenciales, (iv) exponenciales, (v)
exponente variable, (vi) trigonométricos, (vii) hiperbólicos, (vii) logarítmicos y,
(ix) basados en el análisis multivariante. En todos ellos se usará la
nomenclatura antes descrita, donde ai,..., zi, son los parámetros a determinar
mediante el ajuste.
La parte de fuste más difícil de describir es su parte más baja, por lo que
algunos modelos producen estimaciones sesgadas en esta zona (raigal) y/o en
la parte más cercana al ápice del árbol. Otro inconveniente estriba en la
dificultad en describir el tronco con un único modelo; por ello, actualmente se
están utilizando modelos que incluyen gran número de variables y que
describen un haz de curvas en función de las características dendrométricas
del árbol. El problema de incluir nuevas variables en los modelos es que
muchas veces las ganancias en precisión no compensan el coste que supone su
medición en campo. Otro problema añadido es la posible correlación entre
ellas, que afecta a la varianza de las estimaciones de los parámetros del
modelo obtenidos en el ajuste (KOZAK, 1988; BI, 2000), provocando una
deficiencia denominada multicolinealidad.

− Tarifas con clasificación de productos
En los últimos años viene cobrando un interés creciente no sólo la estimación
del volumen total, sino de las fracciones del mismo destinadas a los distintos
usos industriales como su volumen comercial, de madera de sierra, de
trituración, libre de nudos, etc. Para esto es necesario disponer de
herramientas (normalmente informáticas) que permitan la evaluación de la
calidad y/o cantidad de la madera en pie a través de las tarifas de cubicación
con clasificación de productos. Unos ejemplos de algunas de estas
herramientas informáticas son: WoodPro (TIAN et al., 1995a; TIAN et al.,
1995b), WinEpifn (LEBAN et al., 1996), MatDendro (RODRÍGUEZ y RODRÍGUEZ,
2000), Cub&Pop (RODA, 2001), CAPSIS (COLIGNY et al., 2002), Cubica
(RODRÍGUEZ y BROTO, 2003) y GesMo (CASTEDO, 2003).
Las metodologías más habituales para la construcción de tarifas de cubicación
con clasificación de productos son: estimar el volumen comercial como un
porcentaje del volumen total del árbol (BURKHART, 1977; CLUTTER, 1980; CAO et
al., 1980; REED y GREEN, 1984) y ajustar una ecuación que caracterice el perfil
del fuste (BRINK y GADOW, 1986; KOZAK, 1988; NEWNHAM, 1992; RIEMER et al.,
1995; HUI y GADOW, 1997; SAINT-ANDRÉ et al., 1999; CASTEDO y ÁLVAREZ, 2000;
BI, 2000; BI y LONG, 2001), es decir, encontrar la expresión analítica que
permita describir la evolución del diámetro a lo largo de la altura del tronco.

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RUSTAGI y LOVELESS (1991) definieron dos metodologías diferentes para obtener
ecuaciones de perfil y tarifas de volumen compatibles entre sí:
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Obtener ecuaciones de perfil a partir de tarifas de volumen existentes
(DEMAERSCHALK, 1972; 1973; GOULDING y MURRAY, 1976; CLUTTER, 1980;
VAN DEUSEN et al.,1982; LYNCH, 1986). Tales modelos funcionan mejor
como tarifas de volumen, al ser esta la finalidad para la que se
ajustaron.
Integración de una función de perfil existente para conseguir una tarifa
de cubicación (BRUCE et al., 1968; KOZAK et al.,1969; ORMEROD, 1973;
CAO et al., 1980; AMIDON, 1984; WALTERS y HANN, 1986; PRIETO y
TOLOSANA, 1991). Según MARTÍN (1981) estos dos métodos permiten
obtener un sistema compatible si la tarifa de volumen y el modelo de
perfil se ajustan independientemente.

− Datos para la construcción de modelos de perfil
Para la construcción de modelos de perfil de fuste se requiere de una
estructura de datos longitudinal, o lo que es lo mismo, múltiples medidas sobre
cada individuo (LINDSTROM y BATES, 1990) donde la variabilidad entre las
medidas de cada árbol es menor que entre diferentes árboles, por lo que deja
de cumplirse un supuesto básico para realizar estimaciones en los modelos de
regresión; la independencia. En el análisis de este tipo de datos, distintas
estructuras de error han sido habitualmente ignoradas en parte debido a que
los parámetros y las predicciones estimadas permanecen insesgadas en
presencia de autocorrelación (KOZAK, 1997). Por otra parte, los parámetros
estimados, en presencia de autocorrelación, no son los de mínima varianza
(NETER et al., 1998) ya que el error cuadrático medio del modelo subestima la
varianza del término de error, invalidando así los contrastes de significación
(NETER et al., 1998; RAWLINGS et al., 1998).
Han sido propuestas dos metodologías para el análisis de datos longitudinales.
La primera de ellas consiste en incluir efectos aleatorios al modelo (GREGOIRE et
al., 1995) donde se ajusta el modelo teniendo en cuenta cada árbol, por lo que
los parámetros estimados cambian para cada uno de los árboles y así se
reduce el impacto de la autocorrelación (BIGING, 1985; GREGOIRE et al., 1995;
TASSISA y BURKHART, 1998; GARBER y MAGUIRE, 2003). La segunda metodología
consiste en asumir una estructura particular del error (MONSERUD, 1986;
TASSISA y BURKHART, 1998; GARBER y MAGUIRE, 2003; RODRÍGUEZ y MOLINA,
2003) donde es habitual expresar esta autocorrelación entre los errores como
un modelo estacionario autoregresivo AR(p) de orden p.

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3. Curvas hipsométricas
Las principales variables medidas en un inventario forestal son la altura total y
el diámetro normal de algunos árboles de la masa. A partir de esta muestra se
infieren la mayoría de las variables que nos indican el estado de una masa
forestal. Una correcta medida de la altura total del árbol resulta una operación
lenta y por lo tanto costosa. Normalmente se acostumbra a medir la altura
total sobre en una submuestra de árboles a los que se les mide también su
diámetro normal. Para poder conocer las alturas de todos los pies, se suele
recurrir al ajuste de una ecuación que relacione el diámetro con la altura. Este
tipo de relaciones son las llamadas funciones altura-diámetro o curvas
hipsométricas. Estas ecuaciones se utilizan comúnmente para obtener
volúmenes, tanto totales como comerciales (SOARES y TOMÉ, 2002), como
componentes de modelos de clases de edades o para generar datos que
permitan el desarrollo de modelos de árbol individual que predigan el
crecimiento en altura (SCHRÖDER y ALVAREZ, 2001). Además, en combinación
con datos de relación de copa (CR), pueden usarse estas ecuaciones para
predecir alturas y cambios en la propia relación de copa (MAGUIRE y HANN,
1990).
El conocimiento de la altura total del árbol es por tanto un dato imprescindible
para conocer el estado actual y/o futuro de una masa forestal. Así, la mayoría
de modelos de simulación del crecimiento, curvas de calidad, etc., están
basados en la altura media o dominante de la población a estudiar. También,
las modernas herramientas de cubicación y clasificación de productos necesitan
de la altura individual del árbol, para así particularizar su perfil, y realizar la
clasificación de sus distintos productos.
Tradicionalmente, a partir de la submuestra de las alturas medidas en el
inventario forestal, se han realizado ajustes locales, normalmente de tipo
alométrico, entre la altura y el diámetro. Estos modelos presentan la ventaja
que son fáciles de construir, pero su principal inconveniente es que se adaptan
mal (ver Figura 3) a los cambios tanto de la estación como de la gestión
realizada en la masa (LÓPEZ et al., 2003). Así, la curva hipsométrica de una
población coetánea depende de la edad de la masa y acostumbra a ir
aumentando su pendiente con la edad. También depende de la calidad de la
estación, así, en parcelas de buena calidad tendrá una pendiente más elevada
que en las de peor calidad (PRODAN et al., 1997). Otra variable que condiciona
la forma de la curva es la espesura, por lo que, para una misma altura total,
los árboles que crecen en parcelas densas tendrán diámetros menores que
aquellos que crecen en parcelas menos densas. En general. Estas curvas
deberían cumplir tres características básicas: ser una función monótona
creciente, tener un punto de inflexión y una asíntota horizontal (PARRESOL,
1992).

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Para paliar estos inconvenientes de los modelos locales altura-diámetro, en la
actualidad se están empleando las denominadas curvas hipsométricas
generalizadas, ya que particularizan las distintas condiciones de edad o
crecimiento de las masas (GADOW, 2001). Éstas consisten en incluir variables
que caractericen las fuentes de variación de las curvas altura-diámetro, como
son la edad de la masa, la calidad de estación, la densidad, etc… El principal
inconveniente de este tipo de modelos es que requiere de mayor esfuerzo de
inventario para su construcción.

Figura 3: Relación entre la altura individual y el diámetro normal de algunos árboles
tipo del monte de Pinar Grande (Soria)

En la actualidad, las ecuaciones altura-diámetro podrían clasificarse en tres
grandes tipos, dependiendo básicamente del esfuerzo invertido en el inventario
(CASTEDO, 2003):
−

−

−

Ecuaciones que requieren un bajo esfuerzo de muestreo que
básicamente constan de medidas de diámetros. También suelen llamarse
relaciones altura-diámetro locales.
Ecuaciones con un esfuerzo de muestreo medio en las que se obtienen
ciertas variables de masa además de los diámetros y una submuestra de
las alturas
Ecuaciones que requieren un gran esfuerzo de muestreo, ya que además
de lo anterior, también se tienen en cuenta las edades de los pies.

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4. Modelos del espesor de corteza
Muchas veces, en los inventarios forestales el espesor de corteza se mide en
algunos de los árboles a los que se les ha medido también su diámetro normal.
Así, mediante un calibrador de corteza se mide en dos diámetros opuesto el
espesor de la corteza a la altura de 130 cm sobre el suelo. Para poder conocer
el espesor de corteza de todos los pies, se suele recurrir al ajuste de una
ecuación, normalmente de tipo alométrico, que relacione el diámetro con
corteza y el diámetro sin corteza. Este tipo de relaciones son las llamadas
funciones de espesor de corteza. Normalmente, como se puede observar en la
Figura 4 la relación existente es bastante lineal.

Figura 4: Relación entre el diámetro con y sin corteza de algunos árboles tipo de pino
silvestre (c/c: con corteza, s/c: sin corteza)

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5. Referencias Bibliográficas
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