segunda parte del curso de catastro. LUZ

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD DEL ZULIA
DIVISION DE POSTGRADO
TOPICOS DE VALUACION FORESTAL
DRA. GLORIA OLAYA
POSTGRADO EN CATASTRO Y AVALUO INMOBILIARIO

2. TEMA 4: Volumen del árbol
• Generalidades sobre la estimación del volumen
• Tipos dendrométricos y curvas de perfil
• Formas teóricas del tronco como sólidos de revolución
• Medición de árboles apeados
• Fórmulas volumétricas: Huber, Smalian, Newton
• Comparación cubicación comercial con tipos dendrométricos
• Métodos mas usados en la determinación del volumen de trozas
• Cubicación del tronco entero
• Modelos Fustales
• Cubicación del tronco por secciones:
• número de trozas arbitrario (de igual longitud)
• número de secciones predeterminados (Hohenald)
• Modelo de cubicación usado en Venezuela
• Muestreo
• Ecuaciones y Tablas de volumen

3. Generalidades sobre la estimación del volumen de madera
Los métodos para la determinación del volumen de madera contenida en el tronco
del árbol, parte donde se concentra la mayor cantidad de madera aprovechable,
han sido objeto de estudio desde hace más de dos siglos. Estos métodos pueden
clasificarse de medición directa y de medición indirecta. Los primeros son posibles,
prácticamente, en árboles apeados, lo cual constituye su principal restricción,
siendo utilizados preferentemente en la cubicación de madera en almacenes y en
investigaciones.
Los más utilizados son las fórmulas de Huber, Smalian y Newton y las tablas
empíricas derivadas de ellas. Los métodos de medición indirecta comprenden los
procedimientos que permiten estimar el volumen mediante el conocimiento de su
relación con variables de más fácil medición como el diámetro a 1,30 del suelo; esta
relación se conoce como tabla o tarifa de volumen y la misma es establecida gráfica
o analíticamente.
Estos métodos son utilizados en la estimación del volumen de árboles en pie,
aislados o en masa, dadas las dificultades prácticas de hacer evaluaciones directas
de árboles en pie. Estos métodos han constituido igualmente la base para la
elaboración de tablas de volumen para la madera en rollo utilizando como entradas
el largo y diferentes diámetros a lo largo del fuste.

4. Tipos dendrométricos
Tipos dendrométricos y curvas de perfil
Una metodología común para evaluar el volumen de un árbol es la de ajustar
una ecuación que caracterice el perfil del mismo, es decir, su silueta o
proyección ortogonal sobre un plano paralelo al eje.
En un principio el perfil se estudió asimilándolo a curvas simples conocidas
como perfiles teóricos o tipos dendrométricos. Posteriormente se observó que
ninguno de los tipos dendrométricos era admisible pero sí lo eran sus troncos si
se procedía por zonas. Por tanto se concluyó que el perfil real del árbol es una
combinación de los troncos de los distintos tipos dendrométricos.
El tronco de un árbol se puede asimilar, para simplificar el cálculo de su
volumen, a un cuerpo geométrico perfecto. En función de las especies y del
modo de crecimiento (espesura), la forma del árbol se puede considerar muy
próxima al cono, cilindro, paraboloide, etc..

5. Los tipos dendrométricos surgen de la consideración de asimilar los troncos a
un cuerpo sólido de revolución, el cual es un cuerpo que puede obtenerse
mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana
(generatriz) alrededor de una recta que se halla en el mismo plano (el tronco del
arbol).
A la generatriz se le denomina curva de perfil y tiene por ecuación general:
n
xkD ×=2
Esta fórmula general expresa la variación del diámetro D con el largo x con
n = 0, 1, 2, 3.

6. Segun los distintos valores que toma n se generan los distintos tipos
dendrométricos:

7. Los tipos dendrométricos más comunes son:
• Cono
• Cilindro
• Paraboloide
• Neiloide
La forma del árbol esta muy relacionada con el desarrollo de la copa. Si la
altura de la copa es pequeña en relación con la altura del árbol,se tendrá
árboles de forma muy regular (cilindro, paraboloide). Por el contrario, si la
copa esta muy desarrollada como en los árboles aislados, se tendrán
formas de fuste tendiendo hacia el cono.
En general, la parte de la copa, en coníferas, tiende a la forma de cono.
La parte central del fuste se acerca al paraboloide. La base del árbol se
expande en forma parecida al neiloide, aunque generalmente valores de n
mayores que 3 se aproximan mas.

9. La zona inferior del tronco, que es convexa respecto al eje, es comparable a
un tronco de neiloide. Inmediatamete después de esta zona neiloidica viene un
trozo de fuste donde se presenta la zona mas o menos cilíndrica (aunque en la
actualidad no se considera ya que la base del paraboloide es cilíndrica), luego
otra zona del perfil convexo hacia el exterior comparable al parabólico.
Finalmente, el perfil parabólico va degenerando gradualmente al cónico.

10. El volumen de una sección de fuste, por ejemplo de una troza, corresponde
claramente al área debajo de la curva de S sobre el largo del árbol.

11. El volumen (área del trapecio) puede
en este caso calcularse dadas las
secciones en los extremos y el largo:
Fórmula de Smalian
Para una troza en la parte central paraboloidal del árbol, la sección cambia
de forma lineal, y el volumen es el área del siguiente trapecio.
LDDL
SS
V LO
LO
)(
82
22
+=
+
=
π
Formulas volumétricas

12. También se puede calcular en función del diámetro en el punto medio:
LDLSV mm
2
4
π
==
la cual se conoce como fórmula de Huber o Volumen Comercial
Se puede ver que Smalian da el área del
trapecio superior, sobreestimando el
volumen real. Huber da el área del
trapecio inferior, produciendo una
subestimación. Comparando las áreas
entre las líneas de puntos a cada lado de
la curva, se ve que Huber se acerca más
al valor real.

13. La fórmula de Huber es generalmente más exacta, y requiere medir un
diámetro en lugar de dos. En muchos casos, sin embargo, el centro de la
troza no es fácilmente accesible, como cuando las trozas se encuentran
apiladas.
Además, si se necesita el volumen sin corteza es mas fácil medir los
diámetros bajo la corteza en las extremidades de la troza. Por esto la fórmula
de Smalian, aunque produce errores mayores, tiende a usarse con mayor
frecuencia.
Si se tuvieran los tres diámetros, en los extremos y en el centro, una media
ponderada de Huber y Smalian reduciría los errores (Fórmula de Newton).

14. L
SSS
V LmO
6
4 ++
=
La siguiente fórmula da resultados exactos para polinomios de hasta tercer
grado, es decir, es exacta para todos los sólidos de revolución aquí
considerados.
Fórmula de Newton

16. Comparación de árbol real con modelizaciones para su cubicación

20. Métodos más usados en la determinación del volumen de trozas
Las tres formas mas comunes para determinar el volumen de una troza, a partir
del diámetro, son:
1.- Diámetro tomado en cuenta el extremo menor de la troza
2.- Diámetro promedio de ambos extremos (Smalian)
3.- Diámetro en el medio de la troza (Huber)
En los tres casos anteriores, el diámetro se puede medir con la cinta diamétrica o
con la forcípula, es común que utilicen cintas métricas, en este caso debe de
medir en cada uno de los extremos de la troza y se obtiene un promedio del
diámetro.
• Volumen a partir del diámetro menor
L
Dmenor
V ∗∗= 1416.3
4
)( 2
Donde,
V: Volumen, m3 scc ( metros cúbicos sólidos con corteza)
Dmenor: Diámetro, extremo menor de la troza, en m
L: Longitud de la troza, en m
Diametro menor

21. • Volumen a partir de diámetros extremos ( Smalian)
Donde,
V: Volumen, m3 scc ( metros cúbicos sólidos con corteza)
Dmenor: Diámetro, extremo menor de la troza, en m
D mayor: Diámetro, extremo menor de la troza, en m
L: Longitud de la troza, en m
Diámetro
menor
Diámetro
mayor
L
DmayorDmenor
V ∗∗
+
= 1416.3
8
)( 22

22. • Volumen a partir del diámetro en el medio de la troza ( Huber)
Donde,
V: Volumen, m3 scc ( metros cúbicos sólidos con corteza)
Dmed: Diámetro en el extremo medio de la troza, en m
L: Longitud de la troza, en m
L
Dmed
V ∗∗= 1416.3
4
)( 2
Diámetro medio

23. Modelos Fustales
El modelaje de el perfil de un árbol se realiza también a través del uso de ecuaciones
que proceden de un ajuste directo de la función diámetro-altura.
Estas ecuaciones pueden clasificarse en seis grupos:
• Modelos polinómicos simples: todos aquellos en los que el diámetro es función de la
altura relativa (cociente entre la altura h y la altura total) mediante una función
polinómica válida para todo el tronco del árbol.
• Modelos polinómicos segmentados: modelos en los que la función d=f(h) se obtiene
por la unión de varias funciones polinómicas a lo largo del perfil, imponiendo
condiciones de continuidad de la curva.
• Modelos potenciales: en estos modelos el diámetro es función de la altura relativa
elevada a un cierto parámetro constante.
• Modelos exponenciales: la función incluye términos exponenciales en los que está
incluída la altura relativa.
• Modelos de exponente variable: su base es la misma que la de los potenciales, con la
salvedad de que el exponente varía a medida que cambia la altura del tronco
analizada.
• Modelos trigonométricos: basados en el empleo de funciones trigonométricas.

24. Estas ecuaciones o polinomios son del tipo V= f (D,H,F) donde V= Volumen;
D= diámetro a la altura de pecho; H una altura y F un indicador de la forma del
fuste, que de manera independiente o combinada, constituyen las variables
predictoras del volumen.

25. El modelo de perfil del fuste es una expresión matemática que permite predecir
el diámetro de una sección transversal a cualquier altura del fuste y determinar
el volumen de madera de cualquier segmento del mismo.
Ejemplo de modelos fustales:

26. Una variante bastante usada la constituyen los perfiles relativos de fuste; en
los mismos cualquier altura a la que se haga alusión será expresada en
relación a una altura de referencia, y cualquier diámetro lo será en proporción
a uno de referencia (generalmente el diámetro a la altura de pecho).
La variable independiente X es la altura de ubicación relativa de cada diámetro,
definida como la proporción (H-h)/(H-1.30), donde H indica la altura total y h la
altura de ubicación del diámetro. La variable dependiente Y es el diámetro
relativo, definido como la proporción dh/dap, donde dh es el diámetro medido a la
altura h del fuste.

27. Cálculo del volumen del tronco entero
( )V d d d
L
n
n= + + + ⋅
π
4
1
2
2
2 2
...
d1 d2 dn

28. d0,1h d0,3h d0,5h d0,7h d0,9h
( ) 54
2
9,0
2
7,0
2
5,0
2
3,0
2
1,0
L
dddddV hhhhh ⋅++++⋅=
π
Número de secciones predeterminado (Hohenald)

29. Fórmulas de cubicación utilizadas en Venezuela
En Venezuela desde hace más de cuatro décadas, se utiliza con carácter oficial
la fórmula:
LdV 2
605.0=
donde: V = Volumen (m3), d = diámetro promedio bajo corteza medido en el
extremo menor de la rola (m) y L = longitud (m), para cubicar la madera en rolas
(Ministerio de Agricultura y Cría, 1955) que proviene del aprovechamiento de
árboles en Reservas Forestales, Lotes Boscosos, terrenos privados y otras tierras
forestales del país, la cual también se usa indistintamente para cubicar los árboles
en pie de todas las especies forestales; en este caso el diámetro es medido a la
altura de pecho sobre corteza, y se considerada la altura total comercial del fuste y
no se toma en cuenta las características morfológicas de los fustes. El impuesto de
explotación se cancela en Bolívares por metro cúbico de rolas aprovechadas,
calculados por la fórmula oficial MARNR.

30. Contenido
1. Conicidad, forma y perfil del árbol
2. Expresión de la forma
3. Coeficientes de forma
El coeficiente de decrecimiento o factor diamétrico (k)
El coeficiente de reducción (r)
El decrecimiento métrico medio (d.m.m.)
El coeficiente de forma o factor volumétrico (f)
4. Relación entre los factores volumétrico y diamétrico de forma
5. Cociente de forma
6. Funciones de ahusamiento
7. Determinación del volumen de madera en pie, en bosques y rodales
8. Deducción de la fórmula general del volumen de un cuerpo de rotación
partiendo de la curva potencial
9. Ejemplos
10. Ecuaciones y tablas de volumen
11. Ventajas del uso de las tablas de volumen
12. Errores en el cálculo volumétrico
Determinación de la forma y volumen de árboles en pie

31. 1. Conicidad, forma y perfil del árbol
La forma, el perfil y la conicidad de los árboles son conceptos que a menudo se
confunden. Se entiende por conicidad el decrecimiento del diámetro por unidad
de longitud (cm/m). Pardé (1961) presenta un índice de forma, el coeficiente
mórfico, definido por el cociente entre el volumen del árbol y el de un cilindro de
diámetro y altura igual a las del árbol (globalmente este índice expresa la
conicidad). Otro índice utilizado frecuentemente es la esbeltez que puede
considerarse como un indicador de la conicidad, aunque normalmente es
utilizado como estimador de la estabilidad de una masa para el silvicultor y da al
forestal una buena aproximación de la silvicultura aplicada en términos de
densidad.

32. La forma del árbol es un concepto más complejo que intenta definir el
aspecto del árbol y tiene en cuenta otros factores como la curvatura del
tronco o la geometría de las secciones, pudiendo incluir medidas subjetivas.
Finalmente, el perfil del árbol viene a ser su silueta o proyección ortogonal
sobre un plano paralelo al eje. Encontrando su expresión analítica r(x), se
deduce de ella la ley funcional y = S(x) = π r2
(x) e integrando, la del
volumen como función de la altura.

33. 2. Expresión de la forma de un árbol
La forma del árbol es un elemento importante que sirve principalmente para el
cálculo de su volumen geométrico, ya que puede asimilarse a la yuxtaposición
de varios sólidos de revolución. En teoría, se pueden identificar a lo largo del
fuste y en sucesión un tronco de neiloide, un tronco de paraboloide y un
tronco de cono como en la figura.

34. En realidad, el tronco de un árbol tiene forma variable e irregular por lo
cual no es posible compararlo a una de las formas geométricas
mencionadas. En consecuencia es muy difícil, sino imposible, medir el
volumen con perfecta exactitud. Sin embargo, en la práctica comercial y
con la finalidad de simplificar los cálculos, se admite que el volumen de un
árbol puede calcularse a través de las ecuaciones correspondientes a un
cilindro.
Las relaciones utilizadas para caracterizar la forma de un árbol son:
a) El coeficiente de decrecimiento (k)
b) El coeficiente de reducción (r)
c) El decrecimiento métrico medio (d.m.m.)
d) El coeficiente de forma (f)

35. a) El coeficiente de decrecimiento o factor diamétrico (k): Este
coeficiente expresa la relación que existe entre el diámetro (o la
circunferencia) medido a una altura media del fuste y el diámetro (o la
circunferencia) medido a la altura dap (1.3 m).
Por ejemplo, en referencia a un árbol de 50 cm de diámetro (a una
altura dap), un coeficiente de decrecimiento de 0.85 (85%) explica un
diámetro medio de 42.5 cm.
3.1
5.0
d
d
K h
=
3..1
5.0
C
C
K h
=
Cuando d se toma en la mitad de la altura total del árbol el factor
diamétrico se denomina normal. También puede calcularse usando un
d a cualquier altura prefijada.
3. Coeficientes de la forma de un árbol

36. b) El coeficiente de reducción (r):
El coeficiente de reducción es la relación que existe entre la diferencia de
grosor o diámetro (o circunferencia) medido a la altura dap (1.3 m) y el medido
a la altura media del fuste, en relación con el diámetro (o circunferencia)
medido a la altura dap.
3,1
5,03,1
C
CC
r
h−
=
Este coeficiente es el complemento del coeficiente de decrecimiento.
3,1
5,03,1
d
dd
r
h−
=
kr −= 1
Este coeficiente es llamado de reducción porque indica la proporción en que
debe disminuír el diámetro medido a la altura dap para obtener el diámetro
medido a la altura media. El coeficiente de reducción está comprendido
generalmente entre 0,05 y 0,30, es decir, tiene un valor entre el 5 y el 30%.

37. c) El decrecimiento métrico medio (d.m.m.)
Este coeficiente expresa la diferencia, en centímetros por metro lineal,
entre el diámetro (o la circunferencia) medido a la altura media y el
diámetro (o circunferencia) medido a la altura dap.
3,1
5,03,1
5,0
...
hh
dd
mmd h
−
−
=
d1,3 = diámetro a 1,3 m
d0,5h = diámetro medio
h = altura
h1,3 = altura al nivel 1,3 m
Donde:

38. d) El coeficiente de forma o factor volumétrico (f)
El árbol ideal debería tener un fuste perfectamente cilíndrico, lo que volvería su
producción infinitamente más simple reduciendo al mismo tiempo los residuos
al mínimo. Pero en realidad, la forma de los troncos es más bien cónica: el
estrechamiento de la circunferencia en función de la altura se verifica más o
menos en todos los casos y depende, en particular, de la naturaleza de las
especies, del origen genético de los árboles, de su reacción individual a los
tratamientos silviculturales del que son objeto, así como de sus dimensiones y
edad.

39. hS
v
f
.3,1
=
Se define el coeficiente de forma como:
“la relación del volumen real del árbol con respecto al volumen de un cilindro que
tiene como base la superficie de la sección a la altura dap (1,3 m) y como longitud,
la altura h del árbol”.
En el caso particular donde el volumen "real" del árbol se asimila al de un cilindro
que tiene como base la sección circular a media altura y como longitud la altura
del árbol (cubicación comercial), se puede constatar que el coeficiente de forma
es igual al cuadrado del coeficiente de disminución.
El volumen real del árbol es el calculado al trocear el árbol física o
imaginariamente.

40. Esquema de cálculo del coeficiente mórfico

41. 4. Relación entre los factores volumétrico y
diamétrico de forma
Sabiendo que:
f = volumen del árbol/volumen cilíndrico
k = d1/DAP
L
d
v
4
2
1
π= L
DAP
vc
4
2
π=
2
1
2
2
1
2
2
1
4
4 





===
DAP
d
DAP
d
DAP
d
f
π
π
2
kf =
y
Entonces:

42. El estímulo para la determinación de los factores de la forma es el reconocimiento
de la fuerte semejanza de un fuste de árbol a los sólidos geométricos estándares.
La utilidad mas evidente es que los cocientes establecidos se pueden utilizar para
convertir los volúmenes fácilmente calculados de sólidos estándares en volúmenes
del árbol.
V= f AB L
El factor de forma es un factor que varía con la especie, sitio y edad. Como el
volumen depende de este factor, la determinación de su valor es un trabajo muy
importante en la elaboración de tablas volumétricas.

43. Ejemplos de factores de forma para distintos casos son:
• Arboles de fuste corto, fustales con copas frondosas en masas densas
(f ≈ 0.90)
• Masas regulares de resinosas (por ejemplo, coníferas que crecen en masa
regular) f ≈ 0.7
• Arboles que pertenecen a masas claras, tanto de coníferas como de latifoliadas
f ≈ 0.50
• Arboles aislados f ≈ 0.35

44. Sueño de la genética

45. Según donde se toma el área basal y según la longitud que se tome para la
cubicación, el factor de forma o volumétrico f recibe diferentes nombres:
f absoluto: con AB al nivel del suelo, entonces L = altura total.
f a la altura del pecho: con AB a 1.30 m del suelo y L = altura total. Este factor
es el más conocido y utilizado.
f normal: AB a una altura arbitraria (por ejemplo: un 5% o 10 de la altura del
árbol).
f comercial: AB a 1.30 m y L = altura comercial, es muy usado.
f del tronco: se calcula con la fórmula V/V’ en la que V= volumen del cono
truncado con AB en la base y V’ el volumen del cono calculado con AB‘ tomando
el AB de la última troza.

46. 5. Cociente de forma
Es el cociente entre el diámetro en alguna altura estandarizada h
(generalmente por encima de la sección normal) y el diámetro normal.
Es decir:
Se utilizan distintos criterios (tanto absolutos como relativos) para el
establecimiento de la altura de referencia, como por ejemplo:
- a 4 metros (absoluto)
- a la mitad de la altura entre la sección normal y la punta del árbol (relativo)
n
h
d
d
q =

47. El objetivo de las funciones de ahusamiento (o de conicidad) es estimar el
diámetro del fuste a cualquier altura o encontrar la altura para un determinado
diámetro, esto permite cubicar y calcular los productos a extraer. El fin de esta
función es integrarla a un simulador de crecimiento y trozado.
Ahusamiento (T) de un árbol cónico
T = Diámetro (DAP)/[Altura(At)] cm/m
Por ejemplo: para un árbol cónico de 42.6cm
DAP y 22.7m de altura total, el ahusamiento es
igual a 1.9 cm/m
Funciones de ahusamiento

48. Usando la ecuación de ahusamiento, se puede calcular el diametro a diferentes
puntos sobre el fuste del árbol. Por ejemplo, si el mismo árbol fue podado a 6.7
metros y la altura del tocón fue 30cm, entonces se asume que el mismo tiene las
siguientes dimensiones:
- Altura total (At) = 22.7m
- Diametro a la altura de Pecho (DAP) = 42.6cm
- Altura de Poda (Ap) = 6.7m
- Altura del tocón (Atoc) = 0.3m
- Volumen total estimado (Vt) = (DAP/200)2 x π (At/3) = 1.08m3
- Ahusamiento estimado (T) = DAP/At = 1.9cm/m
- Diametro sin corteza a la altura de poda (DApsc) = DAP – Ap x T = 29.9cm
- Diametro sin corteza a la altura del tocón (DAtocsc) = DAP - Atoc x T = 42.03cm
- Volumen de la troza de la corona (Cvol) = (DApsc/200)2 x π ((At - Ap) / 3 ) = 0.37m3
- Volumen del tocón (Tvol) = Vt - (DAtocsc /200)2 x (π (At- Atoc) / 3 = 0.04m3
- Volumen de la troza de la poda (Pvol) = Vt – Cvol – Tvol = 1.08-0.37-0.04 = 0.67m3

50. 7. Determinación del volumen de madera en pie, en bosques y rodales
El volumen se define como la cantidad de madera estimada en m3
a partir del
tocón hasta el ápice del árbol. El volumen pude ser total o comercial, sin
incluir las ramas. Depende a partir de que punto se tomen las alturas, si es
altura comercial, o altura total.
En la actividad forestal con frecuencia se requiere conocer el volumen de los
árboles en pie de una superficie determinada. Es imposible medir dicho
volumen directamente, por lo que su cálculo se debe hacer en forma indirecta.
El mecanismo básico para estimar el volumen en pie de los árboles consiste
en convertir a volumen algunas características del árbol, medibles en el
campo. Por lo tanto, es razonable establecer alguna relación entre esas
características del árbol y su volumen. Los dos métodos más difundidos son el
método del Factor de Forma o Coeficiente Mórfico y el método de las
ecuaciones o Tablas de Volumen.

51. Midiendo el Dap y la altura de un árbol y conociendo su factor de forma,
podemos determinar el volumen de ese árbol. Sin embargo, hay un problema y
es que el factor de forma f de un árbol recién se conoce cuando se conoce su
volumen.
Obviamente, no tiene sentido medir el volumen de un árbol para calcular su
factor de forma, para luego determinar el mismo volumen que ya se conoce, por
lo que es necesario determinar un valor promedio del coeficiente aplicable a
todos los árboles de interés. Para su cálculo se selecciona una muestra de
árboles del conjunto de interés, a cada uno se le mide el Dap, la altura y el
volumen, y con esos datos se estima el f promedio. Finalmente, se aplica este f
promedio a todos los árboles de interés.

53. Factor de forma en función del dap

54. Comportamiento del volumen en función del cuadrado del dap

55. 8. Deducción de la fórmula general del volumen de un cuerpo de rotación
partiendo de la curva potencial Y2
= K*Xn
Sea:
Yi = radio de la directriz a una altura Xi del vértice superior
K = parámetro constante
Xi = altura de la figura desde el vértice superior hasta un radio Yi
n = exponente característico de acuerdo con el cuerpo generado
S0 = área circular de la base
V = volumen del sólido
W = volumen del cilindro de altura l y base S0
l = longitud del sólido
Se toma un diferencial de volumen dv:

56. reemplazando el valor de K en la base, supuestamente conocida so, se tiene:
Este volumen se puede escribir como V=fw en donde w representa un cilindro
que tiene por base s0 y altura L y f = 1/(n+1) representa el llamado factor
mórfico que corrige el volumen del cilindro en una cantidad dada, con n
= exponente mórfico.
Los valores de n son:
Para el cilindro n = 0 paraboloide n = 1 cono n = 2 neiloide n = 3
L
L
n
n
L
x
n
X
KVdxKXdxYVdxYdxsdv
0
0
1
0
22
1∫∫ +
=→==→==
+
ππππ
Y2
= K*Xn

57. Por ejemplo, para los tipos dendrométricos estudiados, el factor de forma
sería:
Neiloide f=0.25
Cono f=0.33
Paraboloide cuadrático f=0.50
Paraboloide cubico f=0.60
Cilindro f=1.00

58. 9. EJEMPLOS
1. Se pretende cubicar el tronco de un árbol al que se ha medido la altura total (h=15 m)
y el diámetro normal (dap = 40 cm). Se sabe además que desde su base hasta el diámetro
normal, el tronco es un neiloide perfecto, y que desde el diámetro normal hasta la cima
el tronco es un paraboloide perfecto. Con esos datos se pide:
1.1. Ecuación del perfil de los dos tramos del tronco del árbol.
Solución
Tramo neiloide (n=3)

59. Tramo paraboloide (n=1)

60. 1.2. Volumen total del tronco mediante la teoría de los tipos dendrométricos
Solución

61. Volumen Total VT

62. 1.3. Calcular el volumen total del tronco mediante la fórmula de Huber
Solución
Fórmula de Huber V = Sm H
Altura media hm = 7.5 m → Tramo de paraboloide
Cálculo del diámetro medio dm

63. 1.4. Calcular el volumen total del tronco mediante la fórmula de Newton
Solución

64. 2. El tronco entero de un árbol se supone teóricamente formado por tres trozas:
Una troza básica de perfil neiloidico de una longitud de 4 metros y de diámetros en
las secciones extremas de 36 y 25 cm.
Una troza intermedia de perfil parabólico de 12 metros de longitud y de diámetros en
las secciones extremas de 25 y 10 cm.
Una troza final cónica que remata la sección, de 10 cm de diámetro y que tiene una
longitud de 4 metros.
Se pide:
1. Volumen geométrico real del tronco expresado en dm3
2. Altura en la que el diámetro del tronco es la mitad del diámetro en la base
3. Calcular el volumen del tronco mediante la aplicación de la fórmula de Smalian a
las tres trozas.
4. Determinar el coeficiente mórfico artificial considerando para ello el volumen
maderable (fuste) obtenido por la fórmula de Smalian (tener en cuenta que el
diámetro en punta delgada es 10 cm) y como altura, la altura total del tronco. El
diámetro normal del árbol es 32 cm.

65. 1.1 Cálculo del volumen geométrico real del cono apical V1
Solución
( )
3
2
1
1 472.10
3
401
4
1
dm
dmdm
n
HS
V ==
+
=
π
1.2 Cálculo del volumen geométrico real de la troza intermedia
del tipo paraboloide V2 calculado por la fórmula de Smalian
( ) ( )
3
22
21
2 65.341120
2
5.2
4
1
4
2
dmdm
dmdm
H
SS
V =×
+
=
+
=
ππ

66. 2. Cálculo de la altura del
punto en donde d es igual
al diámetro de la base.

67. 3. Cálculo del volumen de las trozas por la fórmula de Smalian.

68. 4. Cálculo del coeficiente mórfico para el fuste maderable
4.0
200.2.3
4
70.151.659
. 2
=
−
==
πtotaln
Smalian
hs
Vfuste
f

69. 10. Muestreo
Para calcular el volumen de madera de un bosque, no es práctico medir todos
los árboles. Por lo tanto, se determina el volumen mediante un muestreo. Las
áreas de muestreo pueden ser de forma cuadrada, rectangular o circular.
Conociendo el volumen de madera de las áreas de muestreo, fácilmente se
calculará el volumen contenido en todo el bosque. El número y la superficie de
las parcelas de muestreo depende de la homogeneidad del bosque. Si existe
mucha variación, la intensidad de muestreo debe ser mayor que la de bosque
uniformes.
Para el cálculo del volumen de rodales o bosques, existen varios métodos.
Uno de estos es el cálculo del volumen mediante el árbol medio. El árbol
medio es aquel cuyo volumen, cuando es multiplicado por el número de todos
los árboles, da el volumen total del rodal.

70. Para encontrar ejemplares del árbol medio en la parcela de muestreo, se debe
conocer que el diámetro medio es el diámetro que corresponde al área basal
media. El área basal media se obtiene dividiendo el área basal total de la
parcela de muestreo entre el numero de árboles que contiene.
Para obtener el valor del diámetro medio se debe medir todos los diámetros de
los árboles de la parcela de muestreo. Los diámetros se agrupan en clases
diamétricas. Generalmente, se excluyen árboles que no han alcanzado un
diámetro de10 cm. El alcance de las clases diamétricas depende de la precisión
requerida. Para fines de investigación, se emplean generalmente clases
diamétricas de 1 cm. Para fines de manejo, se pueden emplear clases
diamétricas de 5 cm.

71. Conociendo el diámetro medio, se buscan en la parcela de muestreo árboles
cuyo diámetro se aproxima lo más posible al diámetro medio. Estos árboles se
talan. Sus volúmenes se pueden calcular mediante la fórmula V = Sm X L. El
promedio de estos volúmenes da el volumen del árbol medio. Multiplicando el
valor del volumen del árbol medio, por el número de árboles por hectárea, se
obtiene el volumen por hectárea del rodal o del bosque. La distribución de las
parcelas de muestreo en el bosque puede ser sistemático o al azar. Para la
distribución sistemática de las parcelas, se emplean cintas métricas. Las
parcelas o fajas se establecen equidistantes unas de las otras.

72. El muestreo sistemático por fajas se emplea frecuentemente en bosques
vírgenes. En este caso, el equipo encargado del inventario consta por lo
menos, de cuatro hombres. Dos de ellos determinan la dirección de las fajas y
las distancias cubiertas. Además, anotan los datos topográficos y ecológicos
para hacer un mapa del bosque. Los otros dos hombres miden el diámetro y la
altura de las especies encontradas a la derecha y a la izquierda de la línea
media de la faja. Para la distribución al azar de las parcelas de muestreo, se
pueden emplear fotografías aéreas o mapas forestales existentes. En estas se
marcan los puntos donde deben establecerse las parcelas. Luego, se
identifican los puntos en el terreno y se establecen las parcelas.
Las parcelas de muestreo se eligen como un muestreo aleatorio del 10% del
total de celdas como regla general.

73. Muestreo sistemático

74. 11. Ecuaciones y Tablas de Volumen
Una ecuación de volumen es una fórmula matemática que predice el volumen de
un árbol a partir de ciertas características observables. Cuando los valores que
predice la ecuación se disponen en forma de tabla, hablamos de tabla de
volumen. Las características observables del árbol que históricamente se han
usado son el Dap, la altura y la forma; el Dap y la altura pueden medirse, pero no
la forma. Según cuáles de estas características se emplean, se reconocen tres
tipos de tablas de volumen:
Locales o de simple entrada: predicen el volumen a partir del Diámetro normal.
Su expresión matemática tiene la forma:
V = f { Dn }
Donde V puede ser cualquier tipo de volumen (Volumen total, Volumen comercial)
y Dn es el diámetro normal del árbol considerado.

75. Estándar o de doble entrada: predicen el volumen de un árbol a partir de dos
parómetros, generalmente el Diámetro normal (Dn) y de la altura total (Ht) del
árbol.
Su expresión matemática tiene la forma:
V = f { Dn, Ht }
Algunas veces se sustituye la altura total por la altura maderable del fuste (Hf,
altura hasta un determinado diámetro en punta delgada, generalmente 7 o 10 cm
con corteza), aunque este procedimiento es menos utilizado que el anterior por la
dificultad que presenta la determinación de este tipo de altura.
De forma o de tres entradas: predicen el volumen a partir del diámetro, la altura
y un tercer parámetro que puede ser cualquier altura, diámetro, espesor de la
corteza o algún indicador de forma.
Su expresión matemática tiene la forma:
V = f { Dn, Ht , x }

76. La correcta aplicación de una tabla de volumen requiere que la misma vaya
acompañada de la siguiente información:
- especie para la que la tarifa es aplicable
- zona de validez geográfica
- definición de la variable dependiente
(salida de la tabla, volumen que proporciona, unidades de medida)
- definición de las variables independientes (entrada) y unidades de medida.
Además de estos puntos es interesante conocer:
- el número de árboles muestra que se han utilizado para la construcción de la
tabla
- el ámbito geográfico en el que se han tomado los árboles muestra
- el procedimiento de determinación de los volumenes de los árboles muestra
- el método de construcción de la tabla y modelos utilizados
- el autor y fecha de publicacion de la tabla

77. Las tablas de una entrada tienen menor precisión por asumirse que árboles con el
mismo diámetro a la altura del pecho (DAP), poseen una misma altura media e
igual forma. Sin embargo, esto dependerá de la variación de los árboles en el área
específica. La selección del tipo de tabla de volumen a usar dependerá de la
precisión que se desea tener.
Las tablas de uso más frecuente son las Locales y las Estándar. En teoría,
cualquier fórmula matemática podría usarse para expresar una ecuación de
volumen, aunque hay modelos que se han difundido y son aceptados a nivel
internacional. El más simple corresponde a una ecuación de volumen local, y es el
siguiente:
Volumen = a + b D2
siendo D el diámetro a la altura del pecho, en tanto que a y b son constantes del
modelo. Un ejemplo numérico es: V(m3) = - 0,037 + 9,12 D2
; con D en metros.

78. Comportamiento del volumen en función del cuadrado del dap

79. Tabla de volumen en m3
con d en cm y h en m
La zona sombreada corresponde al rango de aplicación recomendado

80. 11. Ventajas del uso de las tablas de volumen
• Son sistemas simples de aplicar y relativamente precisos.
• Una vez desarrollada una tabla de volumen estandar para una
región y especie, teóricamente sirve para siempre.
• La disponibilidad de una tabla local tiene la ventaja de eliminar la
necesidad de medir alturas.

81. 12. Errores en el cálculo volumétrico
Fórmula para el volumen basado en un cono (D y H en m
32
2
HD
V 





= π
H
V
H
D
V
DV
δ
δ
δ
δ
∆+∆=∆
Ecuación de error. ΔD y ΔH son errores del diámetro y
altura






=
6
H
D
D
V
π
δ
δ Derivada parcial de V con respecto a D, expresa el
efecto marginal de D sobre V
12
2
D
H
V π
δ
δ
= Derivada parcial de V con respecto a H, expresa el
efecto marginal de H sobre V
Si D=0.5 y H=30 y los errores ΔD=0.01 y ΔH=1 entonces
9635.1=V 14399.0=∆V
El error del volumen relativo es 7.3% mientras que los errores relativos del
diámetro y la altura son 2% y 3.3% respectivamente