Este documento presenta los conceptos básicos de la dinámica de estructuras. Introduce los conceptos de grados de libertad, modelo mecánico y rigidez equivalente para simplificar el análisis dinámico de estructuras. Explica que la dinámica de estructuras estudia el comportamiento de estructuras sometidas a vibraciones y cargas dinámicas, y que los grados de libertad definen los puntos donde se analiza el movimiento de la estructura. Además, describe cómo los modelos mecánicos simplifican

1. 1
DINAMICA
DE ESTRUCTURAS
Patricio Cendoya Hernández
pcendoya@udec.cl
Departamento de Ingenieria Civil
Universidad de Concepción

2. 2
PRESENTACION
El presente texto de apoyo a la docencia constituye un complemento a las
clases teóricas y practicas del curso de Dinámica de Estructuras que semestre a
semestre se dicta en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de
Concepción.
Consta de 7 Capítulos, partiendo con un Capitulo inicial que sirve de
introducción para definir los conceptos básicos y la nomenclatura involucrada en el
análisis dinámico de estructuras. El Capitulo 2 desarrolla la ecuación que define el
equilibrio dinámico de sistemas de un grado de libertad con masa concentrada y
analiza la respuesta dinámica para distintos tipos de excitaciones que tienen una
representación analítica y para las cuales es posible obtener una solución cerrada
a la ecuación de movimiento. En el Capitulo 3, se introduce el análisis para cargas
del tipo arbitrario como ser las asociadas a los fenómenos del tipo sísmico,
colocando énfasis en el cálculo de la respuesta mediante la utilización de la
integral de Duhamel y la utilización métodos de integración temporal del tipo paso
a paso. En el Capitulo 4, se presentan una serie de problemas en donde se
aplican y mezclan los conceptos básicos de la dinámica de estructuras asociados
a sistemas de un grado de libertad. En el Capitulo 5, se entregan los conceptos
básicos asociados a sistema de n grados de libertad y como abordar el análisis
de este tipo de estructuras. En el Capitulo 6, se presentan ejemplos resueltos de
sistemas de n grados de libertad sometidos a diversos tipos de cargas
dinámicas. Finalmente en el Capitulo 7 se desarrolla el análisis de sistemas con
masa distribuida utilizando el concepto de coordenada generalizada, dicho capitulo
se complementa con ejercicios sobre el tema.
La publicación de este texto complementa el estudio de los libros clásicos
de Dinámica de estructuras (CHOPRA (1995) )
3
(
, CLOUGH y PENZIEN (1982) )
4
(
,
PAZ (1992)
)
6
(
) y ayuda a la comprensión de los mismos.
Patricio Cendoya Hernández.
Ingeniero Civil (U. de Concepción)
Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos (U. Politécnica de Catalunya)

3. 3
Índice
Capítulo 1: Conceptos básicos ...............................................................................................1
1.1 Introducción ...................................................................................................................2
1.2 Grados de libertad .........................................................................................................3
1.3 Modelo mecánico...........................................................................................................4
1.3.1 Rigidez equivalente .................................................................................................5
1.3.2 Método de la rigidez basal .......................................................................................8
1.4 Comportamiento general de un sistema mecánico..........................................................11
Capítulo 2: Ecuación de movimiento en sistema de 1 GDL ...................................................14
2.1 Introducción ...................................................................................................................14
2.2 Oscilación libre no amortiguada......................................................................................16
2.3 Oscilación forzada no amortiguada.................................................................................20
2.4 Oscilación libre amortiguada ..........................................................................................22
2.4.1 Amortiguamiento critico ...........................................................................................24
2.4.2 Amortiguamiento supercrítico...................................................................................25
2.4.2 Amortiguamiento subcritico ......................................................................................26
2.5 Conceptos de disipación de energía...............................................................................29
2.6 Oscilación forzada no amortiguada con carga constante ................................................32
2.7 Oscilación forzada amortiguada .....................................................................................36
2.8 Aislamiento de vibraciones: respuesta al movimiento de la base ....................................40
Capítulo 3: Excitación arbitraria..............................................................................................43
3.1 Respuesta a movimientos sísmicos................................................................................43
3.2 Oscilación forzada bajo carga no armónica ....................................................................45
3.3 Espectro de respuesta sísmico.......................................................................................47
3.4 Integración de ecuación de movimiento..........................................................................50
3.4.1 Solución explicita .....................................................................................................51
3.4.2 Solución implícita.....................................................................................................53
Capítulo 4: Ejemplos sistemas de 1 GDL................................................................................59
4.1 Aplicaciones ..................................................................................................................59
4.1.1 Marco sometido a carga impulsiva rectangular ........................................................59
4.1.2 Marco sometido desplazamiento de su base ..................................................................... 63

4. 4
4.1.3 Marco sometido a carga impulsiva triangular ...........................................................67
Capítulo 5: Sistemas de n GDL................................................................................................71
5.1 Introducción ...................................................................................................................71
5.2 Propiedad de ortogonalidad de los modos .....................................................................76
5.3 Ecuaciones desacopladas .............................................................................................78
5.4 Normalización de la matriz modal ..................................................................................81
5.5 Masa equivalente...........................................................................................................82
5.6 Método de superposición modal Análisis de sensibilidad................................................84
5.7 Ventajas y desventajas del anales modal ......................................................................85
5.8 Efecto del amortiguamiento............................................................................................86
Capítulo 6: Aplicaciones a sistemas de n GDL ......................................................................90
6.1 Ejemplos........................................................................................................................90
6.1.1 Marco de tres niveles sometido a un espectro de velocidades .................................90
6.1.2 Marco de dos niveles sometido a espectro de aceleraciones....................................100
6.1.3 Marco de tres niveles análisis de piso blando...........................................................106
6.1.4 Marco de dos niveles con aceleración basal.............................................................111
Capítulo 7: Sistemas generalizados........................................................................................115
7.1 Sistemas con masa y elasticidad distribuida...................................................................115
7.1.1 Chimenea con masa distribuida ...............................................................................119
Capítulo 8: Referencias ...........................................................................................................122

5. 5
CAPITULO 1
CONCEPTOS BASICOS
1. 1 INTRODUCCION
La dinámica de estructuras es aquella parte de la mecánica aplicada que
desarrolla métodos para el estudio del comportamiento de estructuras sujetas a la
acción de vibraciones, BARBAT (1983)
)
1
(
. El estudio de la dinámica de los
cuerpos deformables, puede realizarse desde dos enfoques: uno denominado
determinista en el cual a través de las ecuaciones de la mecánica clásica aplicada
sobre un modelo estructural continuo o discreto obtiene la solución analítica o
numérica a las ecuaciones que gobiernan el problema. Otro enfoque es el
denominado no-determinista (estocástico-aleatorio) que toma en cuenta la
aleatoriedad de las cargas y del comportamiento mecánico de los materiales,
dicho enfoque no se aborda en estos apuntes, siendo este ultimo el más próximo a
la realidad en el caso sísmico.
Una carga estática es aquella cuyo valor no cambia con el tiempo. Un ejemplo de
carga estática lo representan las cargas muertas (por ejemplo el peso propio de la
estructura) ya que estas permanecen constantes con el paso del tiempo. Una
carga o excitación dinámica es aquella cuya intensidad es función del tiempo, un
sismo por ejemplo se puede representar como una fuerza del tipo dinámico que

6. 6
actúa sobre la estructura durante la duración del movimiento sísmico. Cualquier
estructura elástica sujeta a la acción de una carga dinámica se comporta como un
sistema oscilante.
Una de las diferencias entre un problema estático y uno dinámico es la variación
en el tiempo de la respuesta, lo que hace que el problema dinámico no tenga
solamente una solución. Al contrario, el análisis entrega una solución en cada
instante de tiempo n
1
0 t
,
,
t
,
t K .
Las principales fuentes de fenómenos vibratorios que pueden afectar a las
estructuras son entre otros:
• Las maquinarias y las instalaciones cuyo funcionamiento implica la
presencia de masas en desequilibrio. Las vibraciones causadas por las
maquinarias en funcionamiento afectan principalmente a las estructuras
soportantes, a sus fundaciones y a estructuras y equipos ubicados en las
cercanías.
• Vehículos en movimiento
• Sismos, explosiones
• La acción del viento
1.2 GRADOS DE LIBERTAD
Para poder estimar la respuesta dinámica de una estructura real es necesario
aplicar simplificaciones conceptuales para reducirla a una estructura ideal
(modelo mecánico) a partir del cual se construye un modelo matemático que
describe cuantitativamente la respuesta de la estructura idealizada.
Calcular la respuesta dinámica implica establecer dicha respuesta en cada uno de
los puntos de la estructura, es decir, en una infinidad de puntos si se considera el
hecho real que esta es un medio continuo. Dicho de esta forma el problema se
transforma en insoluble, para facilitar él cálculo numérico se define un número
finito de puntos representativos de la estructura en donde se plantea y formula el

7. 7
problema. Esto se realiza mediante un procedimiento denominado discretización
BARBAT (1983) )
1
(
.
Entre los métodos más utilizados para realizar esta operación, se tienen:
• El método de las masas concentradas
• El método de los desplazamientos generalizados
• El método de los elementos finitos
Cada uno de estos métodos se aplica en función del tipo de estructura que se
utiliza.
Uno de los métodos más empleados para estimar la respuesta dinámica es el de
las masas concentradas, el cual supone que la masa se concentra en una serie
de puntos previamente seleccionados, de tal forma que el modelo mecánico
resultante sea capaz de proporcionar una descripción aproximada del movimiento
de la estructura real.
Cada una de las masas concentradas describe el moviendo generado por el efecto
de las fuerzas de inercia que aparecen en el modelo mecánico durante su
vibración. El número total de componentes de los desplazamientos en los cuales
las masas concentradas vibran con respecto a sus posiciones originales, se
denomina número de grados de libertad dinámica del modelo.
El número de grados de libertad dinámica de una estructura se puede también
definir como él número mínimo de desplazamientos que se tienen que conocer
para definir por completo la deformada de la estructura en cada instante durante
su vibración.
Una vez obtenida la deformada de la estructura en cada instante del movimiento,
es decir, la descripción de los desplazamientos es posible conocer las
deformaciones, tensiones y esfuerzos que se desarrollan en la estructura en el

8. 8
tiempo.
La identificación de los grados de libertad dinámica de una estructura necesita
mucha rigurosidad, ya que tiene gran influencia sobre el resultado del cálculo
dinámico. El método de las masas concentradas, resulta eficaz en aquellas
estructuras en las cuales una gran parte de su masa está realmente concentrada
en puntos discretos.
1.3 MODELO MECANICO
El modelo mecánico más sencillo que permite idealizar el comportamiento de una
estructura de un grado de libertad, está constituido por una masa soportada por un
elemento de rigidez K . Por ejemplo si en el marco plano de nudos rígidos de la
figura 1.1, se considera que es despreciable la deformación axial de las columnas
y que el elemento horizontal que las une es indeformable (es decir, dicho elemento
se comporta como un diafragma rígido), la posición del sistema en cualquier
instante del tiempo puede ser definida por una única coordenada que corresponde
al desplazamiento horizontal del diafragma rígido, que en el modelo mecánico
corresponde al centro de masas de la masa concentrada.
Alternativamente la estructura de la figura 1.1, se puede idealizar como un carro
con ruedas sin roce con el suelo, de masa m y con un resorte sin masa de rigidez
horizontal K , tal como se indica en figura 1.2. En ambos casos, las
características mecánicas asociadas a la disipación de energía del sistema se
pueden caracterizar a través de la inclusión de un amortiguador del tipo viscoso
con constante de amortiguamiento c .

9. 9
Figura 1.1. Marco plano con nudos rígidos y modelo mecánico asociado.
Ambos modelos suponen que la masa de la estructura se concentra a nivel del
diafragma horizontal el cual ha efectos del análisis dinámico se considera rígido
(indeformable) y que se desplaza paralelamente con respecto a la dirección
horizontal, imponiendo igualdad de desplazamiento en todos los elementos
verticales que se conectan a ella.
Figura 1.2. Modelo mecánico de un sistema de un grado de libertad.

10. 10
1.3.1 RIGIDEZ EQUIVALENTE
En una columna de sección constante que sufre un desplazamiento horizontal i
∆
sin giro de nudos y que se deforma solo por flexión con base empotrada la rigidez
vale:
3
i
h
EI
12
k ⋅
= (1.1)
Físicamente i
k representa la fuerza horizontal necesaria que hay que aplicar a
nivel de diafragma horizontal en la dirección horizontal para producir un
desplazamiento unitario sin giro en el nudo que conecta la columna con el
diafragma.
En el caso que la no existiera empotramiento, si no que la base de la columna
estuviera con un apoyo fijo la rigidez lateral i
k de la columna i se reduce a:
3
i
h
EI
3
k ⋅
= (1.2)
Se debe señalar que los diafragmas horizontales aparte de resistir solicitaciones
verticales de peso propio y sobrecargas transmiten fuerzas horizontales de inercia,
imponiendo igualdad de deformaciones a nivel del diafragma horizontal y
produciendo fuerzas de corte proporcionales a la rigidez horizontal de cada una de
las subestructuras verticales conectadas a ella.
Por ejemplo, el marco plano de la figura 1.3 consta de “n” columnas empotradas
en su base y conectadas rígidamente a nivel del diafragma superior. Bajo la
hipótesis de diafragma horizontal rígido el desplazamiento horizontal de cada una
de las columnas es el mismo, es decir:

11. 11
∆
=
∆
=
=
∆
=
∆ n
K
2
1 (1.3)
Para dicho marco plano se cumple que:
∑
=
+
+
+
= i
n F
F
F
F
F L
2
1 (1.4)
i
i
i k
F ∆
⋅
= (1.5)
De la ecuación Constitutiva (1.5) y de la ecuación de compatibilidad de
desplazamiento laterales (1.3), reemplazando en la ecuación de equilibrio de
fuerzas horizontales (1.4), se tiene:
[ ] ∆
⋅
=
∆
⋅
∑
=
∆
⋅
+
+
= K
k
k
k
k
F i
n
L
2
1 (1.6)
Luego:
∑
=
=
n
i
i
k
K
1
(1.7)

12. 12
Figura 1.3. Marco plano. Sistema equivalente de resortes elásticos en paralelo.
Siendo K la rigidez lateral equivalente del sistema, es decir, la estructura se
puede modelar como si se tratase de un sistema eléctrico en paralelo.

13. 13
Cuando los resortes se disponen en serie, la constante del resorte equivalente
vale:
∑ 





=
=
n
i i
k
K 1
1
1
(1.8)
Por ejemplo, la estructura de la figura 1.4 puede modelarse como un sistema
mecánico de un grado de libertad con una rigidez equivalente de piso igual a:
3
3
3
2
3
1
3
EI
3
4
EI
12
3
EI
3
K ⋅
+
⋅
+
⋅
= (1.9)
Figura 1.4. Estructura de un grado de libertad
Veamos la siguiente situación, considérense tres marcos planos rígidos todos de
igual masa y con columnas de igual rigidez flexional )
cte
EI
( = pero con distintas
condiciones de vinculación de las columnas en la base.
La rigidez equivalente para cada marco vale:

14. 14
• Marco con ambas columnas empotradas: 3
1
H
EI
24
K =
• Marco con una columna empotrada y la otra con apoyo fijo: 3
2
H
EI
15
K =
• Marco con ambas columnas con apoyos fijos: 3
3
H
EI
6
K =
Graficando las relaciones F .
vs u (fuerza vs. desplazamiento lateral) tal como
se indica en figura 1.5. Se concluye que para una carga horizontal aplicada a nivel
del diafragma horizontal rígido, el marco con columnas empotradas se desplaza
una cantidad 1
u , mientras que el marco con una columna empotrada se desplaza
una cantidad 2
u y el marco con ambas columnas con apoyos fijos se desplaza
una cantidad 3
u .
Es decir:
3
2
1 u
u
u <
< Puesto que 3
2
1 K
K
K >
> (1.10)
Luego el marco más rígido se desplaza menos para la misma carga horizontal. Se
verifica que el desplazamiento horizontal es inversamente proporcional a la rigidez
lateral del marco.

15. 15
Figura 1.5. Influencia de la rigidez lateral en el nivel de desplazamientos laterales.
1.3.2 METODO DE LA RIGIDEZ BASAL
Afectos del diseño estructural no solo es necesario conocer el desplazamiento que
experimenta el diafragma horizontal, si no que interesa saber cuanta fuerza de
corte toma cada una de las columnas del marco.
Para poder definir el valor de las fuerzas de corte que toma cada una de las
columnas analicemos las ecuaciones de equilibrio (1.12), constitutivas (1.13 y
1.14) y de compatibilidad de desplazamientos (1.15):
2
1 F
F
F +
= (1.12)
1
1
1 u
k
F ⋅
= (1.13)

16. 16
2
2
2 u
k
F ⋅
= (1.14)
∆
=
= 2
1 u
u (1.15)
Reemplazando (1.13), (1.14) y (1.15) en (1.12) se tiene:
[ ]
[ ]
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
k
k
F
k
k
u
k
u
k
F
F
F
+
=
∆
⇒
∆
⋅
+
=
⋅
+
⋅
=
+
= (1.16)
Reemplazando el valor del desplazamiento horizontal del diafragma (1.16), en
(1.13) y (1.14) se llega a la fuerza de corte que toma cada columna:
[ ]
F
k
k
k
k
u
k
F ⋅
+
=
∆
⋅
=
⋅
=
2
1
1
1
1
1
1 (1.17)
[ ]
F
k
k
k
k
u
k
F ⋅
+
=
∆
⋅
=
⋅
=
2
1
2
2
2
2
2 (1.18)
Luego cada columna toma una fuerza de cortante proporcional a su rigidez, es
decir, la columna con mayor rigidez toma más carga.
F
k
k
F n
1
i
i
i
i ⋅
=
∑
=
(1.19)
En la figura 1.6, se presenta un marco plano con columnas de diferente altura pero
igual rigidez flexional (EI=cte), para este marco se busca conocer como se
distribuye la fuerza de corte basal b
Q en cada una de las columnas.
b
Q
F
F
F =
+
= 2
1 (1.20)

17. 17
3
1
H
EI
12
k = (1.21)
1
3
3
2 k
8
H
EI
96
2
H
EI
12
k ⋅
=
=






= (1.22)
De ecuación (1.19), se tiene:
9
Q
Q
k
k
k
F b
b
2
1
1
1 =
⋅
+
= (1.23)
b
b
2
1
2
2 Q
9
8
Q
k
k
k
F ⋅
=
⋅
+
= (1.24)
En este caso la columna más rígida ( 1
2 k
k > ) toma 8 veces la fuerza de corte que
toma la columna mas flexible. Lo anterior nos debe hacer reflexionar que teniendo
ambas columnas igual inercia flexional (EI=cte), el hecho que una sea más corta
que la otra la transforma en más rígida y hace que se lleve el 88.9% del cortante
basal.
Un buen diseño sismorresistente debe considerar este distribución de esfuerzos y
considerar esta condición en el diseño estructural para evitar modos de falla
indeseables.

18. 18
Figura 1.6. Marco plano con columnas de diferente rigidez al corte.
1.4 COMPORTAMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA MECANICO
Figura 1.7. (a) Modelo conservativo; (b) Modelo amortiguado; (c) Modelo sísmico

19. 19
Inicialmente se estudia el modelo dinámico de péndulo invertido de la figura 1.7.
Si dicho modelo se desplaza de su posición inicial y se lleva a una nueva posición
de equilibrio alejada en una unidad 1
)
0
t
(
u =
= con respecto a la posición inicial
y luego se suelta con una velocidad inicial 0
)
0
t
(
u ≠
=
& , el péndulo oscilaría con
respecto a su posición de equilibrio inicial en un movimiento que se le conoce
como vibración libre no amortiguada, (ver figura 1.8). Evidentemente este es un
caso teórico que sirve solamente para definir las características dinámicas del
sistema. Este tipo de respuesta, no es realista ya que, intuitivamente se espera
que la amplitud de las oscilaciones disminuya poco a poco hasta detenerse por
completo.
Con el objeto de introducir este fenómeno (disminución paulatina de la amplitud
del movimiento) al péndulo invertido se le agrega un elemento que disipe energía.
Normalmente se utiliza un amortiguador del tipo viscoso, es decir, se asume que la
disipación de energía se produce mediante fuerzas de amortiguamiento
proporcionales con la velocidad, en conformidad con la hipótesis de Voight
BARBAT (1983) )
1
(
.
El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibración libre disminuye en
amplitud; en este proceso la energía del sistema en vibración es disipada por
varios mecanismos los cuales pueden estar presentes simultáneamente.
Finalmente el modelo de la figura 1.7 (c) corresponde al caso de análisis sísmico,
en donde la excitación se caracteriza por su registro de aceleraciones )
t
(
a , o
por el registro de velocidades )
t
(
v o por el registro de desplazamientos )
t
(
d
del suelo.

20. 20
Figura 1.8. Vibración libre no amortiguada.
En la figura 1.8, se define:
A: amplitud del movimiento, que depende de las características mecánicas del
péndulo y de las condiciones iniciales.
T: periodo (s), que depende de las características de masa y rigidez del péndulo.

21. 21
CAPITULO 2
ECUACION DE MOVIMIENTO EN SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
2.1 INTRODUCCION
El movimiento de la estructura idealizada como un sistema de un grado de libertad
sometida a cargas dinámicas se rige por una ecuación diferencial, la cual se
obtiene utilizando el principio de D’Alembert BARBAT (1983) )
1
(
:
“El equilibrio dinámico del sistema queda garantizado, si en cada instante todas
las fuerzas que actúan sobre el sistema, incluso las fuerzas de inercia (ficticia),
están en equilibrio estático”.
Cuando al sistema de un grado de libertad se le aplica una carga externa
dinámica )
(t
F , la masa sufre un desplazamiento lateral )
(t
u el cual representa la
deformación que sufre la estructura.

22. 22
Puesto que la fuerza externa varía con el tiempo, el desplazamiento también
cambiará en el tiempo.
Las fuerzas involucradas en el equilibrio del sistema son: la fuerza dinámica
externa )
(t
F , la fuerza elástica resistente )
(t
FE que es la fuerza que las
columnas ejercen sobre la masa cuando ésta se mueve, la fuerza de
amortiguamiento )
(t
F A que es la fuerza que ejerce el amortiguador sobre la
masa y la fuerza de inercia )
(t
FI .
Las fuerzas de inercia, de amortiguamiento y elásticas son función del movimiento
de la masa, o sea son función de la aceleración, de la velocidad y del
desplazamiento de la masa, respectivamente.
De acuerdo a la segunda ley de Newton, la fuerza de inercia que se desarrolla en
la masa m es directamente proporcional a la aceleración total de la misma, es
decir:
)
(t
u
m
FI
&
&
⋅
= (2.1)
La fuerza de amortiguamiento, suponiendo un amortiguamiento del tipo viscoso
está dada por:
)
(t
u
c
FA
&
⋅
= (2.2)
Donde c es el coeficiente de amortiguamiento y )
(t
u
& es la velocidad relativa de la
masa con respecto al suelo. Para un sistema lineal la fuerza elástica resistente
está dada por:
)
(t
u
k
FE ⋅
= (2.3)

23. 23
Donde k es la rigidez lateral del sistema y )
(t
u es el desplazamiento relativo
entre la masa y el suelo.
Substituyendo las fuerzas E
A
I F
,
F
,
F en la ecuación de equilibrio dinámico, se
obtiene:
)
(
)
(
)
(
)
( t
F
t
u
k
t
u
c
t
u
m =
⋅
+
⋅
+
⋅ &
&
& (2.4)
Ecuación diferencial ordinaria, lineal de coeficientes constantes c
m, y k , de
segundo orden y no homogénea.
Para que la solución numérica o analítica de la ecuación quede definida en el
dominio del tiempo, es necesario definir dos condiciones iniciales, una asociada a
los desplazamientos y otra asociada a las velocidades iniciales.
En el caso de una excitación sísmica, no existe una fuerza externa que esta
aplicada a la masa del sistema en forma directa, sino que la única solicitación al
sistema es la debida a la aceleración del suelo sobre el cual se encuentra la
estructura. Como resultado de esta excitación la base de la estructura tiene una
aceleración )
(t
ag y a su vez la estructura se deforma en una cantidad )
(t
u . El
equilibrio dinámico impone que:
[ ] 0
)
(
)
(
)
(
)
( =
⋅
+
⋅
+
+
⋅ t
u
k
t
u
c
t
a
t
u
m g &
&
& (2.5)
Luego:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( t
a
m
t
F
t
u
k
t
u
c
t
u
m g
⋅
−
=
=
⋅
+
⋅
+
⋅ &
&
& (2.6)
Siendo esta la ecuación del movimiento que gobierna la respuesta de un sistema
de un grado de libertad amortiguado sometido a un movimiento sísmico.

24. 24
2.2 OSCILACION LIBRE NO AMORTIGUADA
Las características dinámicas de un sistema estructural de un solo grado de
libertad se definen analizando la vibración libre no amortiguada. La ecuación de
movimiento correspondiente a este caso (sistema conservativo) se obtiene
directamente despreciando los términos asociados a la excitación externa )
(t
F y
la fuerza de amortiguamiento viscoso en (2.4), resultando:
0
)
(
)
( =
⋅
+
⋅ t
u
k
t
u
m &
& (2.7)
Dividiendo por la masa de la estructura, resulta:
2
m
k
ω
= (2.8)
Donde se define ω como la frecuencia fundamental del sistema:
W
g
k
m
k ⋅
=
=
ω (2.9)
La solución general de esta ecuación corresponde a una vibración sinusoidal del
tipo:
)
(
)
cos(
)
( 2
1 t
sen
C
t
C
t
u ⋅
⋅
+
⋅
⋅
= ω
ω o (2.10)
)
(
)
( ϕ
ω +
⋅
⋅
= t
sen
C
t
u
(2.11)

25. 25
Figura 2.1. Oscilador libre no amortiguado.
Donde C corresponde a la amplitud del movimiento, ϕ es el ángulo de desfase y
1
C , 2
C son constantes de integración. Considerando condiciones iniciales
asociadas al desplazamiento 0
)
0
( u
t
u =
= y velocidad 0
)
0
( u
t
u &
& =
= que origina
el movimiento, es posible definir los valores de dichas constantes.
)
(
)
cos(
)
( 0
0 t
sen
u
t
u
t
u ⋅
⋅
+
⋅
⋅
= ω
ω
ω
&
(2.12)
[ ] [ ]
ϕ
ω
ω
ϕ
ω +
⋅
⋅






+
=
+
⋅
⋅
= t
sen
u
u
t
sen
C
t
u
2
0
2
0
)
(
&
(2.13)

26. 26
Con
0
0
u
u
tan
&
⋅
ω
=
ϕ (2.14)
Matemáticamente el periodo natural de vibración de un sistema no amortiguado se
define por:
k
m
f
π
ω
π
2
1
2
=
=
=
Τ (2.15)
T
1
f = (2.16)
Para tener una idea intuitiva del significado del periodo de vibración, sea ∆ la
deformación estática de una estructura de un grado de libertad asociada a una
fuerza lateral igual a su peso, en la dirección en que puede deformarse (grado de
libertad), ver figura 2.2.:
Figura 2.2. Calculo del periodo.
Por equilibrio de fuerzas horizontales:
∆
≈
∆
⋅
=
⋅
=
=
⇒
⋅
=
∆
⋅ 2
.
0
2
2
2
g
k
M
T
g
M
k π
π
ω
π
(2.17)

27. 27
Esto permite concluir que las estructuras más deformables (> ∆ k
⇒< ) tendrán un
periodo de vibración mas largo que las estructuras menos deformables (rígidas).
Volviendo al problema de vibraciones libres no amortiguadas, sigamos un ciclo de
vibración de la estructura, ver figura 2.3. En la posición 1 el desplazamiento de la
masa es nulo luego se mueve hacia la derecha hasta que llega al máximo
desplazamiento en la posición 2.
A partir de este punto el desplazamiento disminuye y regresa a su posición de
equilibrio en la posición 3, continúa moviéndose hacia la izquierda hasta alcanzar
el máximo desplazamiento de ese lado en la posición 4. Después de este punto la
masa comienza de nuevo a desplazarse hacia la derecha hasta alcanzar
nuevamente la posición de equilibrio en la posición 5. Así pues un ciclo completo
de movimiento (periodo) está dado por las posiciones 1-2-3-4-5. En la posición 5 el
estado del sistema (desplazamiento y velocidad) son los mismos a la posición 1,
en la cual la estructura está lista para iniciar un nuevo ciclo.
Figura 2.3. Periodo de vibración de un sistema de un grado de libertad.

28. 28
2.3 OSCILACION FORZADA NO AMORTIGUADA
Consideremos que no existe amortiguamiento estructural en el sistema y que
aplicamos una fuerza del tipo armónica de duraron indefinida sobre el mismo. La
ecuación que describe el movimiento del sistema, se puede expresar por:
)
t
(
sen
F
)
t
(
F
)
t
(
u
k
)
t
(
u
m 0 ⋅
ϖ
⋅
=
=
⋅
+
⋅ &
& (2.18)
Siendo ϖ la frecuencia de excitación asociada a la fuerza aplicada. La solución
al problema tiene dos términos una solución homogénea )
t
(
ug y otra particular
)
t
(
up :
)
(
)
(
)
( t
u
t
u
t
u p
g +
= (2.19)
La naturaleza de la fuerza externa, sugiere la siguiente solución particular:
)
(
)
( t
sen
A
t
up ⋅
⋅
= ϖ (2.20)
Figura 2.4. Oscilador no amortiguado con fuerza externa armónica.

29. 29
Sustituyendo en la ecuación de movimiento, se tiene:
[ ] [ ] )
(
)
(
)
( 0
2
t
sen
F
t
sen
A
k
t
sen
A
m ⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
− ϖ
ϖ
ϖ
ϖ (2.21)
)
1
(
1
2
0
2
2
0
2
0
α
ω
ϖ
ϖ −
⋅
=






−
⋅
=
+
⋅
−
=
k
F
k
F
k
m
F
A (2.22)
Donde
ω
ϖ
α = se denomina razón de frecuencias, luego la solución particular:
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
2
2
0
2
0
t
sen
u
t
sen
k
F
t
sen
k
F
t
u
E
p
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
⋅
=
ϖ
α
ϖ
α
ϖ
α (2.23)
En donde
k
F
uE
0
= , representa al desplazamiento horizontal estático del péndulo.
Finalmente la respuesta total del sistema puede evaluarse como la suma de la
respuesta homogénea más la solución particular:
[ ]
)
(
)
(
)
1
(
)
( 2
ϕ
ω
ϖ
α
+
⋅
⋅
+






⋅
⋅
−
= t
sen
C
t
sen
u
t
u E
(2.24)
[ ]
)
cos(
)
(
)
(
)
1
(
)
( 2
1
2
t
C
t
sen
C
t
sen
u
t
u E
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+






⋅
⋅
−
= ω
ω
ϖ
α
(2.25)
Imponiendo las condiciones iniciales, resulta:

30. 30
( )






⋅
⋅
+
⋅
⋅
+






⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
=
)
cos(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
0
0
2
t
u
t
sen
u
t
sen
t
sen
u
t
u E
ω
ω
ω
ω
α
ϖ
α
&
(2.26)
Considerando condiciones iniciales nulas ( 0
u
u 0
0 =
=
& ):
( )





⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
= )
(
)
(
)
1
(
)
( 2
t
sen
t
sen
u
t
u E
ω
α
ϖ
α
(2.27)
En donde la variación del desplazamiento dinámico )
(t
u lo podemos expresar en
función del desplazamiento estático del sistema como:
E
u
FAD
t
u ⋅
=
)
( (2.28)
( )
)
(
)
(
)
1
(
1
2
t
sen
t
sen
FAD ⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
= ω
α
ϖ
α
(2.29)
En donde se define el factor de amplificación dinámica (FAD):
Cuando ±∞
→
⇒
≅
⇒
→ FAD
ω
ϖ
α 1 “ocurre resonancia”
Cuando 0
0
0 →
⇒
→
⇒
→ FAD
ϖ
α “se obtiene la respuesta estática”
Cuando 1
→
⇒
∞
→
⇒
∞
→ FAD
ϖ
α “el oscilador no responde”

31. 31
Lo anterior permite reafirma el echo que la estructura se comporta como un filtro
de frecuencias, dependiendo su respuesta de la razón de frecuencias α OLLER
(1995)
)
5
(
, BARBAT (1983)
)
1
(
.
En la figura 2.5 se presenta la grafica del factor de amplificación dinámica FAD ,
en donde se han dibujado por separado las curvas asociadas a la frecuencia de
excitación ϖ , a la frecuencia natural ω y la suma de ambas ecuación (2.29).
Para obtener el valor máximo del factor de amplificación dinámica, se debe
derivar la expresión (2.29) e igualarla a cero para despejar el tiempo al cual este
valor se hace máximo, sin embargo, esto resulta en una operación engorrosa,
siendo mas fácil graficar la respuesta y leer en forma directa desde el grafico el
valor máximo.
2.4 OSCILACION LIBRE AMORTIGUADA
En este caso la ecuación de movimiento que representa al sistema, se puede
escribir como:
0
=
⋅
+
⋅
+
⋅ u
k
u
c
u
m &
&
&
& (2.30)
En donde c es el coeficiente de amortiguamiento.
0
u
m
k
u
m
c
u =
⋅
+
⋅
+ &
&
& (2.31)
Sea:
ω
⋅
ξ
⋅
= 2
m
c
y
cr
c
c
=
ξ (factor de amortiguamiento), 1
0 <
< ξ

32. 32
En donde el valor critico del coeficiente de amortiguamiento cr
c , se define por:
m
k
m
c
c
c
m
c
cr
cr
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⇒
⋅
⋅
= 2
2
2 ω
ω (2.32)
Luego:
0
2 2
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+ u
u
u ω
ω
ξ &
&
& (2.33)
La solución a esta ecuación diferencial tiene la forma de:
t
e
C
t
u ⋅
⋅
= λ
)
(
1
)
( ⋅
⋅
⋅
= ⋅
λ
λ t
e
C
t
u
& (2.34)
1
)
( 2
⋅
⋅
⋅
= ⋅
λ
λ t
e
C
t
u
&
&
Reemplazando en la ecuación de movimiento, se obtiene la ecuación
característica:
[ ] 0
2 2
2
=
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅ ⋅
ω
λ
ω
ξ
λ
λ t
e
C (2.35)
[ ] [ ]
1
0
2 2
2
,
1
2
2
−
±
−
⋅
=
⇒
=
+
⋅
⋅
⋅
+ ξ
ξ
ω
λ
ω
λ
ω
ξ
λ (2.36)
Luego, la solución general, viene dada por la superposición de las dos soluciones,
en donde las constantes de integración 1
C y 2
C son dependientes de las
condiciones iniciales:

33. 33
t
t
e
C
e
C
t
u ⋅
⋅
⋅
+
⋅
= 2
1
2
1
)
( λ
λ
(2.37)
Según sea ξ , se tiene:
• [ ] 1
0
1
2
<
⇒
<
− ξ
ξ El sistema oscila alrededor de la posición de
equilibrio con una amplitud que decrece progresivamente y es
denominado amortiguamiento subcrítico.
• [ ] 1
0
1
2
=
⇒
=
− ξ
ξ El sistema retorna a su posición inicial de
equilibrio sin oscilar y se denomina amortiguamiento crítico.
• [ ] 1
0
1
2
>
⇒
>
− ξ
ξ El sistema no oscila pero retorna a su posición de
equilibrio lentamente y es denominado amortiguamiento supercrítico.
2.4.1 AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO: ( 1
=
ξ )
En este caso las dos raíces de la ecuación característica son iguales:
ω
ω
ξ
λ
λ −
=
⋅
−
=
= 2
1 (2.39)
Para que la solución sea independiente debe tener la siguiente forma:
[ ] t
t
t
e
t
C
C
e
t
C
e
C
t
u ⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
=
⋅
⋅
+
⋅
= ω
λ
λ
2
1
2
1
2
1
)
( (2.40)
Imponiendo condiciones iniciales, se tiene:

34. 34
[ ] t
t
e
t
u
t
e
u
t
u ⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
= ω
ω
ω 0
0 1
)
( & (2.41)
Que es la respuesta de un oscilador con amortiguamiento crítico, siendo un
movimiento no oscilatorio.
En figura 2.5, se presenta el movimiento no oscilatorio ( 1
=
ξ ) asociado a las
siguientes condiciones iniciales, 1
0 =
u cm. y 3
0 =
u
&
s
cm
.
Figura 2.5. Movimiento no oscilatorio, factor de amortiguamiento unitario ( 1
=
ξ ).

35. 35
2.4.2 AMORTIGUAMIENTO SUPERCRITICO: ( 1
>
ξ )
En este caso, las dos raíces de la ecuación característica son diferentes,
obteniéndose:
t
t
e
C
e
C
t
u ⋅
⋅
⋅
+
⋅
= 2
1
2
1
)
( λ
λ
(2.42)
Aplicando las condiciones iniciales, se llega a:
1
2
0
2
0
1
)
(
λ
λ
λ
−
+
⋅
=
u
u
C
&
(2.43)
2
1
0
1
0
2
)
(
λ
λ
λ
−
+
⋅
=
u
u
C
&
(2.44)
Sustituyendo las constantes, se tiene la ecuación de movimiento del sistema sin
oscilaciones.
2.4.3 AMORTIGUAMIENTO SUBCRITICO: ( 1
<
ξ )
Este corresponde al caso típico de las construcciones civiles ( 1
0 <
< ξ ). Las
raíces de la ecuación característica son:
β
γ
ξ
ς
ω
λ ⋅
±
=





 −
⋅
±
−
⋅
= i
i 2
2
,
1 1 (2.45)
La solución general al problema es:

36. 36
t
i
t
i
t
t
e
C
e
C
e
C
e
C
t
u ⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
= )
(
2
)
(
1
2
1
2
1
)
( β
γ
β
γ
λ
λ
(2.46)
Utilizando las ecuaciones de Euler (OLLER (1995) )
5
(
):
)
(
)
cos( x
sen
i
x
e x
i
⋅
+
=
⋅
)
(
)
cos( x
sen
i
x
e x
i
⋅
−
=
⋅
−
(2.47)
Se llega a la siguiente expresión:
[ ]
[ ]
)
t
(
sen
i
)
t
cos(
e
C
)
t
(
sen
i
)
t
cos(
e
C
)
t
(
u
t
2
t
1
⋅
β
⋅
−
⋅
β
⋅
⋅
+
⋅
β
⋅
+
⋅
β
⋅
⋅
=
⋅
γ
⋅
γ
(2.48)
La cual se puede reescribir como:
[ ]
)
(
)
cos(
)
( 2
1 t
sen
B
t
B
e
t
u t
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
= ⋅
β
β
γ
(2.49)
2
1
1 C
C
B +
= (2.50)
1
2
1
2 )
( B
i
C
C
i
B ⋅
=
+
⋅
= (2.51)
Sustituyendo ω
ξ
γ ⋅
−
= y
2
1 ξ
ω
β −
⋅
= se llega a:





 −
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
= ⋅
⋅
⋅
−
]
)
1
[(
]
)
1
cos[(
)
( 2
2
2
1 t
sen
B
t
B
e
t
u t
ξ
ω
ξ
ω
ω
ξ
(2.52)
Definiendo la frecuencia amortiguada como:

37. 37
2
1
2
1
2
1
ξ
ω
π
ξ
ω
ω
−
=
⋅
=
⇒
−
⋅
=
T
T
a
a
a (2.53)
Considerando las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad, se llega a:
( ) ( ) 







−
−
+
+
−
= −
t
u
u
t
u
e
t
u o
o
o
t 2
2
2
1
sin
1
1
cos
)
( ξ
ω
ξ
ω
ξω
ξ
ω
ξω &
(2.54)
En la figura 2.6 se presenta la respuesta de un sistema de un grado de libertad
con amortiguamiento subcritico.
La vibración amortiguada es la de mayor interés en la dinámica estructural, pues
las estructuras reales poseen esta característica.
Figura 2.6. Sistema con amortiguamiento subcritico, con fracciones de
amortiguamiento del 10% y del 20%.

38. 38
Los valores de la fracción de amortiguamiento determinados para distintos tipos de
estructuras son muy variados y exhiben una gran dispersión, ver tabla 2.1.
Tabla 2.1: Fracciones del amortiguamiento critico para diferentes tipos de
construcciones
Tipo de Estructura ξ % de amortiguamiento
Edificios de Acero 2%-5%
Edificios de Hormigón Armado 5%-10%
Construcciones de Albañilería 8%-15%
Construcciones de Madera 10%-15%
Se concluye que estructuras con amortiguamientos menores al crítico tienen un
desplazamiento decreciente en el tiempo.
En la figura 2.9, se aprecia que el amortiguamiento estructural tiende a disminuir a
frecuencia circular de vibración, y por lo tanto de alargar el periodo de vibración.
Además el aumento del amortiguamiento estructural reduce la amplitud de las
vibraciones, lo cual es beneficioso para la estructura, pues disminuye el nivel de
daños esperado en ella. En la mayoría de las estructuras el amortiguamiento
crítico varía entre el 2 y 10%, por lo que el periodo amortiguado es entre 0.002 y
1.0050 del periodo natural o no amortiguado. Así pues para la mayoría de las
estructuras el periodo amortiguado es prácticamente igual al periodo no
amortiguado ( a
T
T ≅ ).

39. 39
Figura 2.9 Influencia del amortiguamiento estructural en la respuesta
2.5 CONCEPTOS BASICOS DE DISIPACION DE ENERGIA
Consideremos inicialmente un sistema conservativo, en dicho sistema la energía
total en todo instante se mantiene constante, es decir, no existe disipación de
energía:
.
)
(
)
(
)
( Cte
t
E
t
E
t
E P
K =
+
= (2.55)
.
2
1
2
1
)
( 2
2
Cte
u
k
u
m
t
E =
⋅
⋅
+
⋅
⋅
= & (2.56)

40. 40
Cuando:
2
max
2
1
)
(
)
(
0 máx
P u
k
t
E
t
E
u
u ⋅
⋅
=
=
→
=
⇒ & (2.57)
2
max
2
1
)
(
)
(
0 máx
K u
m
t
E
t
E
u
u &
& ⋅
⋅
=
=
→
=
⇒ (2.58)
máx
u
u ⋅
= ω
max
& (2.59)
[ ]
m
k
u
m
u
k
Cte
t
E máx
máx =
⇒
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⇒
= 2
2
2
2
1
2
1
.
)
( ω
ω (2.60)
Veamos a continuación el problema de un sistema general (ya no necesariamente
elástico) que disipa energía (por amortiguamiento viscoso y por histéresis).
Consideremos que actúa una acción sísmica en la base del péndulo. La ecuación
energética puede obtenerse integrando la ecuación de movimiento de un sistema
inelástico de un grado de libertad, el hecho que el sistema sea inelástico hace que
las fuerzas internas )
,
( u
u
fs
& sean una función de los desplazamientos y las
velocidades:
)
(
)
,
(
)
(
)
( t
u
m
u
u
f
t
u
c
t
u
m g
S &
&
&
&
&
& ⋅
−
=
+
⋅
+
⋅ (2.61)
du
t
u
m
du
u
u
f
du
t
u
c
du
t
u
m
u u u u
g
s ⋅
∫ ∫ ∫ ∫ ⋅
−
=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅ )
(
)
,
(
)
(
)
(
0 0 0 0
&
&
&
&
&
& (2.62)
El lado derecho de esta ecuación es la energía de entrada al sistema definida por
excitación sísmica:

41. 41
∫ ⋅
⋅
−
=
u
g
I du
t
u
m
t
E
0
)
(
)
( &
& (2.63)
El primer termino del lado izquierdo, es la energía cinética de la masa asociada
con su movimiento relativo al suelo:
∫ ∫
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
u u
K
u
m
u
d
t
u
m
du
t
u
m
t
E
0 0
2
2
)
(
)
(
)
(
& &
&
&
&
& (2.64)
El segundo término del lado izquierdo es la energía disipada por amortiguamiento
viscoso:
∫ ⋅
⋅
=
⋅
∫
=
u
u
D
D du
u
c
du
t
f
t
E
0
0
)
(
)
( & (2.65)
El tercer término del lado izquierdo es la suma de la energía disipada por
histéresis (fluencia de los materiales que componen la estructura) y la energía de
deformación del sistema:
[ ]
k
t
f
t
E S
S
⋅
=
2
)
(
)
(
2
(2.66)
Donde k es la rigidez inicial del sistema inelástico. Luego la energía disipada por
histéresis (fluencia) es:
)
(
)
,
(
)
(
0
t
E
du
u
u
f
t
E S
u
S
Y −
⋅
∫
= & (2.67)

42. 42
El balance de energía para el sistema es:
[ ]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( t
E
t
E
t
E
t
E
t
E Y
S
D
K
I +
+
+
= (2.68)
Figura 2.7. Analogía del estanque. Concepto de disipación de energía.
El balance de energía se puede interpretar físicamente a través de la siguiente
analogía:
Para que el estanque de la figura 2.7, (en nuestro caso la estructura) opere
eficientemente su capacidad (resistente y de deformación) total dada por la suma
de su volumen y las salidas de agua, debe ser mayor que las entradas de agua
(energía sísmica). Es decir, la capacidad de admitir energía I
E depende del
volumen del tanque S
K E
E + y del tamaño del orificio por donde escapa
Y
D E
E + .
Un principio básico del diseño estructural es que las capacidades estructurales
deben ser mayores a las demandas sísmicas.

43. 43
En este contexto, debe buscarse que la capacidad de disipación de energía de la
estructura debe ser mayor que la demanda de energía histeretica (o de fluencia),
es decir, incrementar el lado derecho o disminuir el lado izquierdo de la ecuación
(2.68) de balance energético. Incrementar el lado derecho puede lograrse
aumentando la resistencia lateral de la estructura con lo que se incrementa la
importancia de los dos primeros términos con respecto al tercero y cuarto, sin
embargo, ello implica un aumento de costo en la estructura.
La filosofía actual del diseño sismorresistente acepta la existencia de
deformaciones inelásticas en la estructura, permitiendo de este modo que gran
parte de la energía de entrada se disipe por medio de energía histeretica.
En una estructura convencional que no tiene dispositivos de disipación de energía,
se acepta que existan importantes demandas de deformación inelástica en
elementos estructurales (rotulación de vigas, falla de arriostramientos
concéntricos, base de muros, etc.) lo cual se traduce en diferentes niveles de
daño.
2.6 OSCILACIÓN FORZADA NO AMORTIGUADA CON CARGA CONSTANTE
Si a un sistema de un grado de libertad se le aplica una fuerza de magnitud
constante (es decir, una fuerza cuya amplitud no varía en el tiempo), entonces la
respuesta particular del sistema a dicha carga tendría un valor de:
k
F
u
t
u E
p =
=
)
( (2.69)
La respuesta total del sistema estará compuesta por la solución homogénea más
la solución particular:
k
F
t
sen
B
t
B
t
u +
⋅
⋅
+
⋅
⋅
= )
(
)
cos(
)
( 2
1 ω
ω (2.70)

44. 44
Considerando condiciones iniciales nulas ( 0
0
0 =
= u
u & ), se tiene:
[ ] [ ]
)
cos(
1
)
cos(
1
)
( t
u
t
k
F
t
u E ⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
= ω
ω (2.71)
De (2.71) se observa que el desplazamiento dinámico )
(t
u es función del
desplazamiento estático E
u multiplicado por )
cos(
1 t
FAD ⋅
−
= ω . Graficando el
factor de amplificación dinámica se encuentra que el desplazamiento dinámico
máximo del sistema es igual a 2 veces el desplazamiento estático del sistema y
ocurre cuando 1
)
cos( −
=
⋅t
ω , ver figura 2.8.
En este caso, el hecho de aplicar la carga horizontal en forma dinámica es
equivalente a multiplicar el desplazamiento estático de dicha estructura por 2. Lo
anterior, se puede reinterpretar de la siguiente forma:
[ ]






−
=
=
⇒






⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
)
2
(
cos
1
)
(
)
2
cos(
1
)
cos(
1
)
(
T
t
FAD
u
t
u
T
t
u
t
k
F
t
u
E
E π
π
ω
(2.72)
La ecuación (2.72) puede expresarse en función de fuerzas: como la razón entre
la fuerza dinámica que se desarrolla en el sistema y la fuerza estática (dicha razón
se denomina, factor de amplificación dinámica FAD .
FAD
T
t
F
F
k
u
k
t
u
u
t
u
E
E
E
=






−
=
=
⋅
⋅
= )
2
(
cos
1
)
(
)
(
π (2.73)
Para efectos del diseño interesa conocer el valor máximo de la fuerza horizontal
independientemente del tiempo en donde dicho máximo ocurre.

45. 45
Consideremos ahora que la fuerza constante tiene una duración definida igual a
d
t , es decir corresponde a un pulso rectangular de duración d
t . Si el sistema
parte del reposo y no existe amortiguamiento, entonces la respuesta al tiempo final
d
t vale:
[ ] 





⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
= )
2
cos(
1
)
cos(
1
)
(
T
t
u
t
k
F
t
u d
E
d
d π
ω (2.74)
[ ] 





⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
= )
2
(
)
(
)
(
T
t
sen
u
t
sen
k
F
t
u d
E
d
d π
ω
ω
ω
& (2.75)
Figura 2.9. Variación del factor de amplificación dinámica FAD .

46. 46
Para evaluar la repuesta después del tiempo d
t se deben considerar que los
valores entregados por (2.74) y (2.75) corresponden a las condiciones iniciales
para esta nueva fase de carga. Es decir, podemos separar el comportamiento del
sistema en dos fases de carga, una fase inicial en donde la carga se aplica hasta
el tiempo d
t y una fase final en donde la carga se retira en d
t y el sistema de ahí
en adelante responde como si estuviese en vibración libre.
Para d
t
t > la respuesta del sistema será:
))
(
(
))
(
cos(
)
( 2
1 d
d
d t
t
sen
B
t
t
B
t
t
u −
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
=
− ω
ω (2.76)
En donde las constantes de integración, se obtienen a partir de las condiciones
iniciales (2.74) y (2.75):
))
(
(
)
(
))
(
cos(
)
(
)
( d
d
d
d
d t
t
sen
t
u
t
t
t
u
t
t
u −
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
=
− ω
ω
ω
&
(2.77)
[ ]
))
t
t
(
(
sen
)
t
(
sen
k
F
))
t
t
(
cos(
)
t
cos(
1
k
F
)
t
t
(
u
d
d
d
d
d
−
⋅
ω
⋅
⋅
ω
⋅
+
−
⋅
ω
⋅
⋅
ω
−
⋅
=
−
(2.78)
[ ]
)
cos(
))
(
cos(
)
( t
t
t
k
F
t
t
u d
d ⋅
−
−
⋅
⋅
=
− ω
ω (2.79)
Luego:
)
2
cos(
1
T
t
FAD π
−
= para d
t
t ≤ (2.80)

47. 47
T
t
T
t
T
t
FAD d
π
π 2
cos
)
(
2
cos −
−
= para d
t
t > (2.81)
2.7 OSCILACIÓN FORZADA AMORTIGUADA
En el caso de cargas dinámicas la respuesta (el desplazamiento producido por la
fuerza dinámica) no sólo será función de la rigidez lateral del sistema, sino que
además depende de:
(1) El periodo de vibración del sistema, es decir, del cuociente entre la
rigidez lateral y la masa.
(2) El coeficiente de amortiguamiento del sistema c.
(3) El contenido de frecuencias de la fuerza dinámica, o sea que tan rápido
o lenta es la variación de la amplitud de la fuerza externa en el tiempo.
Una de las fuerzas dinámicas más simples es la carga armónica, que aparece en
problemas en problemas típicos de vibración de maquinarias. En este caso, la
excitación externa, es de la forma:
)
(
)
( 0 t
sen
F
t
F ⋅
⋅
= ϖ (2.82)
Donde F0 es la amplitud de la fuerza y ϖ es la frecuencia de la excitación. La
respuesta a una excitación armónica tiene dos componentes:
1. Una componente debida a la vibración libre, propia del sistema, que se
denomina solución transitoria del movimiento por cuanto decae y tiende a
desaparecer por efecto del amortiguamiento (solución asociada a la parte
homogénea de la ecuación de movimiento).

48. 48
2. Una componente debida a la energía entregada al sistema por la
excitación externa al sistema por la excitación externa que se denomina
componente o estado de régimen del movimiento por cuanto es la
componente de la respuesta que prevalece una vez atenuada la vibración
libre (solución asociada a la parte derecha de la ecuación de movimiento,
denominada solución particular).
La respuesta de régimen a una excitación armónica también es armónica y de la
misma frecuencia aunque no necesariamente en fase con la excitación. Una vez
pasada una fase inicial de transición (al poco tiempo de aplicada la fuerza), este
desplazamiento será también de tipo armónico con una amplitud u(t) que varía con
el tiempo, con una amplitud máxima y un ángulo de desfase o de atraso de la
respuesta, con respecto a la excitación:
)
(
)
2
(
)
1
(
)
(
2
2
2
0
φ
ϖ
α
ξ
α
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
−
= t
sen
k
F
t
u p (2.83)
Siendo
ω
ϖ
α = la razón de frecuencias.
La solución general es dada por:
)
(
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
2
2
2
0
φ
ϖ
α
ξ
α
θ
ω
ω
ξ
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
−
+
+
⋅
⋅
⋅
= ⋅
⋅
−
t
sen
k
F
t
sen
e
C
t
u a
t
(2.84)
Luego la respuesta máxima del sistema al ser sometido a una fuerza armónica de
amplitud 0
F puede ser mayor, menor o semejante a la producida por la carga
estática de igual amplitud, dependiendo básicamente de dos aspectos:
(1) La razón entre la frecuencia de excitación y la frecuencia natural del
sistema

49. 49
(2) Del grado de amortiguamiento del sistema
Se define como factor de amplificación dinámico de la respuesta estática al
cuociente entre el desplazamiento máximo bajo cargas dinámicas y el
desplazamiento estático E
u .
Matemáticamente el factor de amplificación dinámica de la respuesta estática
E
u , se puede expresar como:
2
2
2
2
2
2
0
max
)
2
(
)
1
(
1
)
2
(
)
1
(
α
ξ
α
α
ξ
α
⋅
⋅
+
−
=
⋅
⋅
+
−
=
=
E
E
p
u
k
F
u
u
FAD (2.85)
Cuando FAD es mayor a uno, se tiene que existe amplificación dinámica, esto
es, el desplazamiento máximo dinámico es mayor al desplazamiento estático. Así
mismo cuando es menor a uno existe una reducción, esto es la respuesta
dinámica es menor a la respuesta estática. Finalmente cuando es igual a uno, el
desplazamiento dinámico es igual al estático.
En la figura 2.10 se presenta la variación del factor de amplificación dinámica
para diferentes valores de la razón de frecuencias y del grado de amortiguamiento.
Puede observarse, que para frecuencias de excitación muy bajas (ósea
excitaciones con periodos grandes):
1
)
2
(
)
1
(
1
0
0
2
2
2
max
≅
⋅
⋅
+
−
=
=
⇒
→
⇒
→
α
ξ
α
α
ϖ
E
p
u
u
FAD (2.86)

50. 50
En este caso la respuesta dinámica es igual a la respuesta estática, es decir,
estamos en presencia de una carga estática.
Para fuerzas con frecuencias de excitación cercanas a la frecuencia natural del
sistema:
ξ
α
ω
ϖ
⋅
=
=
⇒
=
⇒
→
2
1
1
0
max
u
u
FAD
p
(2.87)
∞
→
⇒
→
⇒
⋅
= max
0
max
0
2
p
p u
u
u ξ
ξ
Resonancia (2.88)
2
1 0
max u
up =
⇒
→
ξ Amortiguamiento critico (2.89)
Figura 2.10. Factor de amplificación dinámica.
Para una fuerza externa con una frecuencia de excitación alta:

51. 51
0
0 max
→
⇒
→
⇒
∞
→
⇒
>> p
u
FAD
α
ω
ϖ (2.90)
El oscilador no responde y se queda en reposo.
Se concluye que cuando la frecuencia de la excitación es mucho menor a la
frecuencia natural, o sea que la fuerza es mucho más "lenta" en comparación con
la velocidad con la que se mueve la estructura en vibración libre, el
desplazamiento dinámico es igual al desplazamiento estático.
Por lo contrario, cuando la frecuencia de la excitación es mucho mayor a la
frecuencia natural del sistema, o sea cuando la variación de la fuerza es mucho
más rápida que la velocidad con la que completa un ciclo la estructura en
vibración libre, el desplazamiento dinámico es menor al estático, y se tiene una
reducción de la respuesta dinámica.
Como ya se mencionó, los edificios por lo general tienen amortiguamientos
menores al 0.05, por lo que es importante el evitar frecuencias de excitación
semejantes a las frecuencias naturales, para poder evitar de esta forma
amplificaciones dinámicas importantes.
En resumen:
⇒
<< ω
ϖ Problema Estático
⇒
≈ ω
ϖ Problema Dinámico
⇒
>> ω
ϖ No hay respuesta

52. 52
2.8 AISLAMIENTO DE VIBRACIONES: RESPUESTA AL MOVIMIENTO DE LA
BASE
Caso de estructuras sometidas a movimientos en su fundación: sismos, maquinas,
explosiones. Considerando un movimiento en la base del tipo armónico:
)
(
)
( 0 t
sen
u
t
us ⋅
⋅
= ϖ (2.91)
Ecuación de equilibrio, en términos de desplazamientos relativos:
[ ] [ ] 0
=
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅ s
s u
u
k
u
u
c
u
m &
&
&
& (2.92)
s
s u
k
u
c
u
k
u
c
u
m ⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅ &
&
&
& (2.93)
[ ] [ ]
)
(
)
cos( 0
0 t
sen
u
k
t
u
c
u
k
u
c
u
m ⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅ ϖ
ϖ
ϖ
&
&
& (2.94)
Expresión, que se puede reescribir como:
)
t
(
sen
F
)
t
(
sen
k
)
c
(
u
u
k
u
c
u
m
0
2
2
0
β
+
⋅
ϖ
⋅
=
β
+
⋅
ϖ
⋅
+
ϖ
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅ &
&
&
(2.95)
Donde:
1
)
2
(
)
( 2
0
2
2
0
0 +
⋅
⋅
⋅
⋅
=
+
⋅
⋅
= α
ξ
ϖ k
u
k
c
u
F (2.96)
α
ξ
ϖ
β ⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
= 2
0
0
u
k
u
c
tg (2.97)
La solución particular (o en régimen) tiene la forma:

53. 53
[ ]
ψ
β
ϖ
α
ξ
α
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
−
⋅
= )
(
)
2
(
)
1
(
)
(
2
2
2
t
sen
k
F
t
u O
p (2.98)
Se define la “transmisibilidad” como el grado de aislamiento relativo entre la
estructura y el suelo:
2
2
2
2
max
)
2
(
)
1
(
1
)
2
(
α
ξ
α
α
ξ
⋅
⋅
+
−
+
⋅
⋅
=
=
E
p
R
u
u
T (2.99)
De figura 2.11, se concluye que:
0
→
R
T ⇒ Sistema aislado
1
→
R
T ⇒ Sistema no aislado (2.100)
∞
→
R
T ⇒ Sistema no aislado (amplificación del movimiento del suelo)
El amortiguamiento disminuye la transmisión del movimiento del suelo para
2
≤
α , para valores mayores de la razón de frecuencias el efecto del
amortiguamiento actúa negativamente. La transmisibilidad también puede
interpretarse como un aislamiento de fuerzas.

54. 54
Figura 2.11. Transmisibilidad
Utilizando (2.96) en la relación de transmisibilidad de (2.99) se tiene:
1
)
2
(
F
F
1
)
2
(
F
u
k
1
)
2
(
k
F
u
u
u
T
2
0
max
2
0
max
p
2
0
max
p
0
max
p
R
+
α
⋅
ξ
⋅
⋅
=
+
α
⋅
ξ
⋅
⋅
⋅
=
+
α
⋅
ξ
⋅
⋅
=
=
(2.101)
Del factor de amplificación dinámica de la respuesta estática de (2.85), se tiene:
0
max
max
0
max
F
F
u
k
u
k
u
u
FAD
E
p
p
=
⋅
⋅
=
= (2.102)
1
)
2
( 2
+
⋅
⋅
⋅
= α
ξ
FAD
TR (2.103)

55. 55
CAPITULO 3
EXITACION ARBITRARIA
3.1 RESPUESTA A MOVIMIENTOS SÍSMICOS
Con fines de la ingeniería sismo-resistente, los movimientos del suelo durante un
terremoto se miden instrumentalmente por medio de un acelerógrafo, el cual
registra la historia de aceleraciones del terreno, ver figura 3.1
Como la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, el
posible obtener la historia de velocidades del terreno a partir de las aceleraciones
de terreno por medio de una integración en el tiempo.
Análogamente, como las velocidad es la derivada del desplazamiento con
respecto al tiempo, el posible obtener la historia de desplazamientos del terreno a
partir de una integración en el tiempo de la historia de velocidades o una doble
integración de la historia de aceleraciones.

56. 56
Figura 3.1. Registro de desplazamientos, velocidades y aceleraciones durante el
sismo de Iquique del 13 de Junio de 2005.
La respuesta de un sistema de un grado de libertad a un movimiento del suelo se
puede obtener a partir de la solución de la ecuación diferencial de movimiento de
una estructura, utilizando diferentes métodos:
(1) En el dominio del tiempo por medio de la solución de la integral de
Duhamel.
(2) En el dominio del tiempo por medio de una integración numérica de la
ecuación del movimiento.

57. 57
(3) En el dominio de la frecuencia obteniendo la transformada de Fourier
de la historia de aceleraciones, multiplicándola por la función de
transferencia del sistema y obteniendo la transformada inversa de
Fourier de dicho producto.
3.2 OSCILACION FORZADA BAJO CARGAS NO ARMONICAS
En este caso la dificultad del cálculo de la respuesta sísmica se debe al carácter
de la excitación )
(t
a que no puede ser expresada en forma analítica, por lo que
su cálculo implica la utilización de métodos numéricos.
Si se aborda el problema en el dominio del tiempo, la ecuación de movimiento del
sistema de un grado de libertad se expresa por:
)
(
)
(
)
(
)
( t
a
m
t
u
k
t
u
c
t
u
m g
⋅
−
=
⋅
+
⋅
+
⋅ &
&
& (3.1)
La solución a (3.1) se obtendrá a través de la superposición de las respuestas a
impulsos rectangulares, para ello, consideremos que la excitación sísmica
)
(t
a
m g
⋅
− puede ser modelada como una serie de impulsos. De acuerdo a
BARBAT (1983)
)
1
(
considérese la respuesta a un impulso de duración τ
d y de
intensidad 0
a que se aplica en la base de la estructura, tal como el indicado en
figura 3.2. Este impulso le imprime una velocidad inicial al sistema 0
)
0
( u
t
u &
& =
=
y un desplazamiento inicial nulo.

58. 58
Figura 3.2. Impulso inicial como acción sísmica
Aplicando el principio de la conservación del movimiento, según el cual el
momento o cantidad de movimiento 0
u
m &
⋅ es igual al impulso correspondiente
τ
d
a
m ⋅
⋅
− 0 , se tiene que:
τ
d
a
u ⋅
−
= 0
0
& (3.2)
La respuesta del sistema al impulso, es equivalente a la de un sistema en
vibración libre (por simplicidad consideremos un sistema no amortiguado) con una
velocidad inicial dada por (3.2) y un desplazamiento inicial nulo, es decir:
)
cos(
)
(
)
( 2
1 t
B
t
sen
B
t
u ⋅
⋅
+
⋅
⋅
= ω
ω (3.3)
0
0
1
)
0
( 2
2 =
⇒
=
⋅
=
= B
B
t
u (3.4)
τ
ω
τ
ω d
a
B
d
a
B
t
u ⋅
−
=
⇒
⋅
−
=
⋅
=
= 0
1
0
1
)
0
(
& (3.5)

59. 59
)
(
)
( 0
t
sen
d
a
t
u ⋅
⋅
⋅
−
= ω
τ
ω
(3.6)
Si el impulso no se aplica al tiempo cero sino al tiempo τ , entonces la respuesta
al tiempo τ
>
t será:
))
(
(
)
( 0
τ
ω
τ
ω
−
⋅
⋅
⋅
−
= t
sen
d
a
t
u (3.7)
Si la excitación sísmica no es un impulso, sino que esta descrita por una curva
arbitraria, entonces dicha excitación se puede descomponer en un número finito
de impulsos, puesto que el sistema es elástico, su respuesta en cualquier instante
de tiempo debida a la aceleración arbitraria puede obtenerse sumando las
respuestas elementales producidas por cada uno de los "
"n impulsos:
∑ 





−
⋅
⋅
−
−
=
=
n
i
n t
sen
d
a
t
u
1
0
))
(
(
)
( τ
ω
ω
τ
(3.8)
Para obtener la respuesta exacta, se pasa al límite cuando ∞
→
n , resultando:
∫ ⋅
−
⋅
−
=
t
d
t
sen
a
t
u
0
))
(
(
)
(
1
)
( τ
τ
ω
τ
ω
(3.9)
La integral (3.9) se conoce con el nombre de integral de convolución o integral de
Duhamel BARBAT (1983)
)
1
(
, OLLER (1995)
)
5
(
.
Cuando se considera el amortiguamiento estructural, dicha integral se transforma
en:

60. 60
∫ −
⋅
⋅
⋅
−
= −
⋅
⋅
−
t
a
τ)
(t
ω
ξ
a
dτ
τ))
(t
sen(ω
e
a(τ
ω
u(t)
0
)
(
)
1
(3.10)
En donde
2
1 ξ
ω
ω −
⋅
=
a es la frecuencia amortiguada del sistema.
Las expresiones (3.9) y (3.10) se restringen a problemas lineales en donde es
posible utilizar el principio de superpoción. Su solución analítica solo es posible
para algunas expresiones analíticas de la excitación )
(τ
a siendo recurrente el
uso de métodos numéricos para su solución.
Para una aceleración en la base )
(τ
a resulta una fuerza )
(
)
( τ
τ a
m
F ⋅
−
= ,
luego la integral de Duhamel, se puede reescribir como:
))
(
,
,
(
))
(
(
)
(
1
)
(
0
)
(
τ
ω
ξ
τ
τ
ω
τ
ω
τ
ω
ξ
F
u
d
t
sen
e
m
F
t
u
t
a
t
a
⇒
∫ ⋅
−
⋅
⋅
= −
⋅
⋅
−
(3.11)
3.3 ESPECTRO DE RESPUESTA SÍSMICA
Para fines del diseño sismorresistente interesa conocer únicamente la respuesta
máxima del oscilador (desplazamiento lateral, el corte basal y momento de
volcamiento) para una excitación conocida.
Una de las herramientas más útiles para evaluar esta interrogante, es la
construcción de un espectro de respuesta BARBAT y MIQUEL (1994)
)
2
(
, el cual
se define como la representación gráfica de la respuesta máxima (ya sea de
desplazamientos, velocidades o aceleraciones) en función del periodo natural de
vibración del sistema para un sismo determinado y un amortiguamiento definido.

61. 61
Es decir, el espectro de respuesta nos da información de la respuesta máxima
para toda una familia de sistemas de un grado de libertad (por lo general basta
considerar estructuras con periodos comprendidos entre 3
0 −
=
T )
(s ) para un
sismo definido.
Derivando (3.10), se obtiene la solución de la historia de la respuesta de
velocidades:
)
(
))
(
cos(
)
(
)
(
0
)
(
t
u
d
t
e
a
t
u
t
a
t
⋅
⋅
+
∫ ⋅
−
⋅
⋅
−
= −
⋅
⋅
−
ω
ξ
τ
τ
ω
τ τ
ω
ξ
& (3.12)
Derivando nuevamente, se obtiene la respuesta de aceleraciones totales del
sistema:
)
t
(
u
)
(
)
t
(
u
2
d
))
t
(
(
sen
e
)
(
a
)
t
(
a
)
t
(
u
2
t
0
a
)
t
(
a ⋅
ω
⋅
ξ
−
⋅
ω
⋅
ξ
⋅
−
τ
⋅
τ
−
ω
⋅
⋅
τ
⋅
ω
=
+
∫
τ
−
⋅
ω
⋅
ξ
−
&
&
&
(3.13)
Luego, se definen:
max
)
(
)
,
( t
u
Sd =
ξ
ω (3.14)
max
)
(
)
,
( t
u
Sv &
=
ξ
ω (3.15)
max
)
(
)
(
)
,
( t
a
t
u
Sa +
= &
&
ξ
ω (3.16)

62. 62
Con el fin de obtener expresiones mas simples y considerando que en
aplicaciones de la Ingeniería Civil el factor de amortiguamiento por lo general es
pequeño ( %
20
%
2 <
< ξ ) OLLER (1995) )
5
(
, es posible aproximar a
ω
ω ≅ y
despreciar los términos que están fuera de las integrales de (3.12) y (3.13).
Adicionalmente se demuestra que la función coseno que aparece en el espectro
de velocidades de (3.12) se puede sustituir a efectos de cálculo por la función
seno, sin que ello implique cambios importantes en los valores máximos de la
velocidad del sistema.
Luego se tiene:
( )
max
0
)
(
)
(
)
(
1
)
,
( τ
ω
τ
ω
ξ
ω τ
ω
ξ
−
⋅
⋅
∫ ⋅
−
= −
⋅
⋅
−
t
sen
e
a
S a
t
t
d (3.17)
( )
max
0
)
(
)
(
)
(
)
,
( τ
ω
τ
ξ
ω τ
ω
ξ
−
⋅
⋅
∫ ⋅
−
= −
⋅
⋅
−
t
sen
e
a
S a
t
t
v (3.18)
( )
max
0
)
(
)
(
)
(
)
,
( τ
ω
τ
ω
ξ
ω τ
ω
ξ
−
⋅
⋅
∫ ⋅
⋅
= −
⋅
⋅
−
t
sen
e
a
S a
t
t
a
a (3.19)
Estas aproximaciones permiten escribir:
)
,
(
)
,
( ξ
ω
ω
ξ
ω d
v S
S ⋅
= (3.20)
)
,
(
)
,
( 2
ξ
ω
ω
ξ
ω d
a S
S ⋅
= (3.21)

63. 63
Luego los espectros de respuesta a
v
d S
S
S ,
, permiten la estimación inmediata del
desplazamiento, la velocidad y la aceleración máxima de toda una familia de
estructuras sometidas al mismo movimiento del suelo.
A partir del espectro de aceleraciones es posible obtener al máximo corte basal de
la estructura a partir de la siguiente expresión:
W
C
=
S
g
W
=
S
m
=
Q s
a
a
0 ⋅
⋅
⋅ (3.22)
Donde W es el peso total de la estructura sobre el nivel basal y g es la aceleración
debida a la gravedad. Cuando el máximo cortante se representa como en la
ultima de las ecuaciones, la razón
g
Sa se denomina coeficiente sísmico s
C , el
cual forma la base de las cargas sísmicas en el diseño sismorresistente de
edificios.
La norma Chilena NCH433.OF96, en su punto 6.2.3 considera que el esfuerzo de
corte basal de ecuación (3.22) esta dado por:
P
I
C
Q0 ⋅
⋅
= (3.23)
Donde:
=
C Coeficiente sísmico, función de parámetros relativos al tipo de suelo de
fundación, del tipo de estructuración y material utilizado, del periodo del modo con
mayor masa traslacional equivalente y de la zonificación sísmica del país.

64. 64
=
I Coeficiente relativo al destino (uso) del edificio.
=
P Peso total del edificio sobre el nivel basal.
Es importante aclarar que la aceleración espectral a
S representa la aceleración
en la estructura, la cual puede ser mayor o menor a la máxima aceleración del
suelo. En un espectro de respuesta de aceleraciones, la máxima aceleración del
suelo está representada como la ordenada del espectro para un periodo igual a 0.
Dicho periodo corresponde a un sistema infinitamente rígido, de modo que el
movimiento que se tiene en la parte superior de la estructura es exactamente igual
al de su base, o sea al del suelo.
El espectro de respuesta se construye calculando la respuesta máxima
(aceleración máxima, velocidad máxima o desplazamiento máximo) para una
familia de sistemas de un grado de libertad que tienen el mismo amortiguamiento.
3.4 INTEGRACION DIRECTA DE ECUACION DE MOVIMIENTO
Dada la ecuación de movimiento definida en el dominio del tiempo:
)
(
)
(
)
(
)
( t
F
t
u
k
t
u
c
t
u
m =
⋅
+
⋅
+
⋅ &
&
& (3.24)
Se puede obtener la respuesta directa sin pasar por la integral de Duhamel,
utilizando métodos de integración paso a paso. Dichos métodos se dividen en
métodos del tipo explicito o del tipo implícito OLLER (1995)
)
5
(
.
El desplazamiento y la velocidad, se pueden aproximar por:
)
(
)
(
)
( t
t
u
t
t
u
t
t
u ∆
⋅
+
⋅
∆
+
=
∆
+ α (3.25)

65. 65
)
(
)
(
)
1
(
)
( t
t
u
t
u
t
t
u ∆
+
⋅
+
⋅
−
=
∆
⋅
+ &
&
& α
α
α (3.26)
En donde dependiendo del valor del coeficiente α, se tiene uno u otro método.
Tabla 3.1 Solución Explicito-Implícito
α Método Tipo
0 Diferencia hacia adelanté Explicito
2
1 Regla punto medio
3
2 Galerkín
1 Diferencia hacia atrás Implícito
Lo que se busca en resolver es la ecuación de movimiento (3.24) en pasos
discretos de tiempo n
t
t
t ,
,
, 2
1 L distanciados un incremento de tiempo t
∆ , con
j
j t
t
t −
=
∆ +1 .
3.4.1 SOLUCION EXPLICITA
Conocidos el desplazamiento y la velocidad en el tiempo t , se busca definir la
respuesta en el tiempo t
t ∆
+ a partir de la ecuación de movimiento (3.24)
planteada en el tiempo t .
Utilizando las aproximaciones del método de las diferencias finitas centradas para
la para la velocidad y aceleración, se tiene:
t
t
t
u
t
t
u
t
u
∆
⋅
∆
−
−
∆
+
=
2
)
(
)
(
)
(
& (3.27)
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
t
t
t
u
t
u
t
t
u
t
u
∆
∆
−
+
⋅
−
∆
+
=
&
& (3.28)

66. 66
Sustituyendo en la ecuación diferencial de movimiento (3.24):
[ ]
[ ] )
t
(
F
)
t
(
u
k
)
t
t
(
u
)
t
t
(
u
t
2
c
)
t
t
(
u
)
t
(
u
2
)
t
t
(
u
t
m
2
=
⋅
+
∆
−
−
∆
+
⋅
∆
⋅
+
∆
−
+
⋅
−
∆
+
⋅
∆ (3.29)
De (3.29) despejando )
( t
t
u ∆
+ :
)
(
2
)
(
2
)
(
2
)
( 2
2
2
t
F
t
c
t
m
t
t
u
t
m
k
t
u
t
c
t
m
t
t
u =






∆
⋅
−
∆
⋅
∆
−
+






∆
⋅
−
⋅
+






∆
⋅
+
∆
⋅
∆
+
(3.30)
)
(
2
)
(
2
)
(
)
( 2
2
t
t
u
t
m
t
c
t
u
k
t
m
t
F
t
R ∆
−
⋅






∆
−
∆
⋅
+
⋅






−
∆
⋅
+
= (3.31)






∆
⋅
+
∆
=
t
c
t
m
k
2
ˆ
2
(3.32)
k
t
R
t
t
u
t
R
t
t
u
k
ˆ
)
(
)
(
)
(
)
(
ˆ =
∆
+
⇒
=
∆
+
⋅ (3.33)
Para comenzar el proceso de avance paso a paso en el tiempo, se parte de las
condiciones iniciales 0
)
0
( u
t
u =
= y 0
)
0
( u
t
u &
& =
= :
t
t
t ∆
+
= 0
1 ⇒ =
⋅ 1
ˆ u
k 1
2
2
0
2
2
−
⋅






∆
−
∆
⋅
+
⋅






−
∆
⋅
+ u
t
m
t
c
u
k
t
m
F o (3.34)
En donde 1
−
u , se obtiene a partir de (3.27) y (3.28) particularizadas para el
tiempo inicial:

67. 67
t
t
t
u
t
t
u
t
u
∆
⋅
∆
−
−
∆
+
=
2
)
(
)
(
)
(
& ⇒
t
u
u
u
∆
⋅
−
= −
2
1
1
0
& (3.35)
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
t
t
t
u
t
u
t
t
u
t
u
∆
∆
−
+
⋅
−
∆
+
=
&
& ⇒ 2
1
0
1
0
2
t
u
u
u
u
∆
+
⋅
−
= −
&
& (3.36)
Despejando 1
−
u , se tiene:
t
u
u
t
u
u ∆
⋅
−
+
∆
⋅
=
− 0
0
2
0
1
2
&
&
&
(3.37)
Conocido 1
−
u , se puede comenzar el proceso de avance paso a paso para
resolver la ecuación de movimiento en pasos discretos de tiempo, con la
condición que el paso de tiempo elegido t
∆ sea menor que el paso de tiempo
critico crit
t
∆ .
De acuerdo con BARBAT Y MIQUEL (1994)
)
2
(
, el paso de tiempo crítico se
puede estimar por:
γ
ω
⋅
=
∆
max
2
cri
t (3.38)
En donde max
ω es la frecuencia máxima del sistema y γ es un factor de
seguridad que se puede elegir entre )
90
.
0
75
.
0
( − .

68. 68
3.4.2 SOLUCION IMPLICITA
De acuerdo con BARBAT y MIQUEL (1994) )
2
(
Newmark en 1959 desarrolló una
familia de métodos del tipo implícito para resolver la ecuación de movimiento.
Dichos métodos se basan en encontrar la respuesta para el tiempo t
t ∆
+ a partir
del planteamiento de la ecuación de movimiento (3.24) en el tiempo t
t ∆
+ ,
requiriéndose la solución de un sistema de ecuaciones lineales para encontrar la
respuesta, estos métodos son incondicionalmente estables, eso se traduce en que
no existe limitación para el tamaño del paso del tiempo t
∆ , salvo el echo que
dicho paso de tiempo debe permitir que la respuesta quede bien definida para ello
se recomienda valores del orden de
10
T .
Para definir el algoritmo de Newmark, se parte definiendo una variación lineal de la
aceleración:
[ ]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( t
u
t
t
ù
f
t
u
u &
&
&
&
&
&
&
& −
∆
+
⋅
+
= τ
τ (3.39)
Con:
0
)
( =
τ
f Para t
=
τ (3.40)
1
)
( =
τ
f Para t
t ∆
+
=
τ (3.41)
Integrando (3.39), se obtiene la variación de la velocidad:
[ ] ∫
∫
∆
∆
⋅
−
∆
+
+
∆
⋅
+
=
⋅
+
=
∆
+
t
t
d
f
t
u
t
t
u
t
t
u
t
u
d
u
t
u
t
t
u
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( τ
τ
τ
τ &
&
&
&
&
&
&
&
&
&
& (3.42)
Integrando (3.42) se obtiene la variación del desplazamiento:

69. 69
∫ ∫
∆






+
∆
⋅
+
=
∆
+
t
d
d
u
t
t
u
t
u
t
t
u
0 0
)
(
)
(
)
(
)
( τ
τ
τ
τ
&
&
& (3.43)
[ ] τ
τ
τ
τ
d
d
t
u
t
t
u
f
t
u
t
t
u
t
u
t
t
u
t
∫ ∫
∆






−
∆
+
⋅
+
+
∆
⋅
+
=
∆
+
0 0
))
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( &
&
&
&
&
&
& (3.44)
τ
τ
τ
τ
τ
d
d
f
t
u
t
t
u
t
u
t
t
u
t
u
t
t
u
t
)
)
(
))
(
)
(
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
0
0
∫
∫ ⋅
−
∆
+
+
⋅
+
∆
⋅
+
=
∆
+
∆
&
&
&
&
&
&
& (3.45)
τ
τ
τ
τ
τ
d
d
f
t
u
t
t
u
t
u
t
t
u
t
u
t
t
u
t
)
)
(
))
(
)
(
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
0
0
∫
∫ ⋅
−
∆
+
+
⋅
+
∆
⋅
+
=
∆
+
∆
&
&
&
&
&
&
& (3.46)
[ ] ∫ ∫
∆
⋅
−
∆
+
+
∆
⋅
⋅
+
∆
⋅
+
=
∆
+
t
d
f
t
u
t
t
u
t
t
u
t
t
u
t
u
t
t
u
0 0
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
τ
τ
τ
&
&
&
&
&
&
& (3.47)
Sea:
t
d
f
t
∆
⋅
=
∫
∆
γ
τ
τ
0
)
( (3.48)
2
0 0
)
( t
d
u
t
∆
⋅
=






∫ ∫
∆
β
τ
τ
τ
&
& (3.49)
u
t
u
t
t
u ∆
=
−
∆
+ )
(
)
( (3.50)
Reemplazando en (3.42) y (3.47) se tiene:

70. 70
[ ] t
t
u
t
t
u
t
t
u
t
u
t
t
u ∆
⋅
⋅
−
∆
+
+
∆
⋅
+
=
∆
+ γ
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( &
&
&
&
&
&
&
& (3.51)
[ ] 2
2
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
)
( t
t
u
t
t
u
t
t
u
t
t
u
t
u
t
t
u ∆
⋅
⋅
−
∆
+
+
∆
⋅
⋅
+
∆
⋅
+
=
∆
+ β
&
&
&
&
&
&
& (3.52)
Reordenando términos en (3.51) y (3.52):
t
t
t
u
t
t
u
t
u
t
t
u ∆
⋅
⋅
∆
+
+
∆
⋅
⋅
−
+
=
∆
+ γ
γ )
(
)
(
)
1
(
)
(
)
( &
&
&
&
&
& (3.53)
2
2
)
(
)
(
)
2
1
(
)
(
)
(
)
( t
t
t
u
t
t
u
t
t
u
t
u
t
t
u ∆
⋅
⋅
∆
+
+
∆
⋅
⋅
−
+
∆
⋅
+
=
∆
+ β
β &
&
&
&
& (3.54)
Reemplazando (3.50) en (3.54), se obtiene )
( t
t
u ∆
+
&
& :
)
(
)
1
2
1
(
)
)
(
(
1
)
( 2
t
u
t
t
u
u
t
t
t
u &
&
&
&
& ⋅
−
⋅
−
∆
⋅
−
∆
⋅
∆
⋅
=
∆
+
β
β
(3.55)
Reemplazando (3.55) en (3.53):
t
t
u
t
t
u
u
t
t
t
u
t
u
t
t
u ∆
⋅
⋅






⋅
−
⋅
−
∆
⋅
−
∆
⋅
∆
⋅
+
∆
⋅
⋅
−
+
=
∆
+ γ
β
β
γ )
(
)
1
2
1
(
)
)
(
(
1
)
(
)
1
(
)
(
)
( 2
&
&
&
&
&
&
&
(3.56)
)
(
)
2
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
( t
u
t
t
u
u
t
t
t
u &
&
&
& ⋅
∆
⋅
⋅
−
+
⋅
−
+
∆
⋅
∆
⋅
=
∆
+
β
γ
β
γ
β
γ
(3.57)
En donde γ y β determinan la estabilidad del método. Planteando la ecuación
de equilibrio (3.24) en el tiempo t
t ∆
+ y sustituyendo (3.55) y (3.57):
)
(
)
(
)
(
)
( t
t
F
t
t
u
k
t
t
u
c
t
t
u
m ∆
+
=
∆
+
⋅
+
∆
+
⋅
+
∆
+
⋅ &
&
& (3.58)

71. 71
Resulta:
)
(
)
(
ˆ t
t
R
t
t
u
k ∆
+
=
∆
+
⋅
k
t
t
R
t
t
u
ˆ
)
(
)
(
∆
+
=
∆
+
⇒ (3.59)
k
t
c
t
m
k +
⋅
∆
⋅
+
∆
⋅
= γ
β
β 2
ˆ (3.60)
+






⋅
−
⋅
+
⋅
∆
⋅
+
⋅
∆
⋅
⋅
+
∆
+
=
∆
+ )
(
)
1
2
1
(
)
(
1
)
(
1
)
(
)
( 2
t
u
t
u
t
t
u
t
m
t
t
F
t
t
R &
&
&
β
β
β






⋅
∆
⋅
−
⋅
+
⋅
−
+
⋅
∆
⋅
⋅ )
(
)
1
2
(
)
(
)
1
(
)
( t
u
t
t
u
t
u
t
c &
&
&
β
γ
β
γ
β
γ
(3.61)
Se demuestra que el algoritmo de Newmark es incondicionalmente estable
cuando:
2
1
≥
γ y 2
)
2
1
(
4
1
γ
β +
⋅
≥ (3.62)
A continuación se presenta un programa en MATLAB que utiliza el algoritmo de
Newmark para integrar temporalmente la ecuación de movimiento en una
estructura de un grado de libertad sometida a la acción del sismo del 3 de Marzo
de 1985, el acelerograma corresponde a la estación Llolleo componente N10E, ver
figura 3.4.
%Datos de la estructura
Vec=Vec*9.8;
m=10000; %kg
k=98.7e3; %N/m
chi=0.02; % %
2
=
ξ %
wn=sqrt(k/m);
Tn=2*pi/wn;
c=2*m*wn*chi;

72. 72
n=length(Vec);
d=zeros(1,n);
v=zeros(1,n);
ac=zeros(1,n);
p=-m*Vec;
%Método de Newmark lineal de aceleración promedio
%gama = 0.5 y beta = 0.25
%Cálculos iniciales
d(1)=0;
v(1)=0;
ac(1)=(p(1)-c*v(1)-k*d(1))/m;
delta=0.005;
kk=k + 2*c/delta + 4*m/delta^2;
a=4*m/delta + 2*c;
b=2*m;
%Cálculos para pasos posteriores
for i=1:n-1
deltap(i)=p(i+1)-p(i);
deltapp(i)=deltap(i) + a*v(i) + b*ac(i);
deltad(i)=deltapp(i)/kk;
deltav(i)=2*deltad(i)/delta - 2*v(i);
deltaac(i)=4*(deltad(i)-delta*v(i))/delta^2 - 2*ac(i);
d(i+1)=d(i)+deltad(i);
v(i+1)=v(i)+deltav(i);
ac(i+1)=ac(i)+deltaac(i);
end
%Resultados
figure
t=0:0.005:43.795;
plot(t,Vec)
title('Acelerograma terremoto Chile 1985, Estacion LLolleo');
xlabel('Tiempo (seg)');

73. 73
ylabel('ug (m/seg^2) ');
figure
plot(t,d)
title('Desplazamiento del centro de masa');
xlabel('Tiempo (seg)');
ylabel('desplazamientos (m) ');
grid
%Determinación del valor de desplazamiento máximo
uo=max(abs(d));
fo=k*uo;
Figura 3.4. Registro de aceleraciones terremoto del 3 de Marzo de 1985, estación
Llolleo.

74. 74
Figura 3.5. Respuesta oscilador al terremoto del 3 de Marzo de 1985, estación
Llolleo.

75. 75
CAPITULO 4
EJEMPLOS: SISTEMAS 1 GRADO DE LIBERTAD
4. 1 EJEMPLOS
A continuación se presentan una serie de ejercicios de carácter académico que
permiten comprender las bases del comportamiento dinámico de sistemas de un
grado de libertad. La gran mayoría de estos problemas corresponden a
problemas de evaluaciones realizadas a los alumnos del curso de Dinámica de
Estructuras.

76. 76
4.1.1. El marco de la figura 4.1, tiene una masa total concentrada a nivel del
diafragma horizontal de 50 T, la rigidez flexional de las columnas es constante y
vale EI=6000 KN-m2. Dicha estructura se somete a una carga impulsiva de
duración 0.5 (s) aplicada a nivel del diafragma rígido horizontal.
Se pide, despreciando el amortiguamiento estructural:
Encontrar la rigidez equivalente y el periodo fundamental.
Encontrar la respuesta del desplazamiento horizontal en forma analítica tanto
para la fase de aplicación de la carga como una vez que dicha carga se retira
al tiempo de 0.5 seg. El sistema se encuentra inicialmente en reposo.
Determinar el factor de amplificación dinámica de la carga impulsiva.
Determinar el valor numérico de cada una de las reacciones horizontales de
diseño que se generaran en las columnas del marco en los apoyos A, B y C
debido a la acción de la carga impulsiva.
Determinar cual es la columna más crítica desde el punto de vista de los
esfuerzos internos que se desarrollan debido a la acción de la carga.

77. 77
Figura 4.1. Marco rígido sometido a carga lateral impulsiva.
Inicialmente es necesario calcular la rigidez lateral del sistema considerando la
rigidez lateral de cada columna:






=
⋅
⋅
=
=
m
N
L
EI
kA 67
.
666666
3
10
6000
3
·
3
3
3
3






=
⋅
⋅
=
=
m
N
L
EI
kB 67
.
2666666
3
10
6000
12
·
12
3
3
3






=
⋅
⋅
=
=
m
N
L
EI
kC 33
.
21333333
5
.
1
10
6000
12
·
12
3
3
3
La rigidez lateral equivalente del sistema vale:






=
+
+
=
m
kN
k
k
k
k B
B
A 67
.
24666 ;

78. 78
La frecuencia fundamental y el periodo valen:






=
⋅
=
=
s
rad
m
k
21
.
22
10
50
67
.
24666666
3
ω ;
( )
s
T 283
.
0
·
2
=
=
ω
π
Utilizando la integral de Duhamel para estimar la respuesta en la fase inicial de
carga que va entre )
(
5
.
0
0 s
t ≤
≤ (con 1000
0 =
F kN ), se tiene:
( )
)
·
cos(
1
·
))
·(
·sin(
·
·
1
)
( 0
0
0 t
k
F
d
t
F
m
t
u
t
p ω
τ
τ
ω
ω
−
=
∫ −
=
Luego, la solución general en la fase inicial de carga:
( )
)
·
cos(
1
·
)
·
·sin(
)
·
·cos(
)
( 0
t
k
F
t
B
t
A
t
u ω
ω
ω −
+
+
=
Dadas las condiciones iniciales nulas del sistema, se tiene que: 0
=
= B
A
( ) )
(
)
·
cos(
1
·
041
.
0
)
( m
t
t
u ω
−
= ; para: )
(
5
.
0
0 s
t ≤
≤
Cuando se retira la carga al tiempo 5
.
0
=
t )
(s , el desplazamiento y la velocidad
valen:
( ) )
m
(
0365
.
0
)
5
.
0
21
.
22
cos(
1
·
041
.
0
)
5
.
0
(
u =
⋅
−
=

79. 79
)
t
·
·sin(
·
K
F
)
t
(
'
u d
0
d ω
ω
=
)
/
(
905
.
0
)
5
.
0
21
.
22
·sin(
911
.
0
)
5
.
0
(
' s
m
u −
=
⋅
=
Tanto el desplazamiento como la velocidad en 5
.
0
=
t (s) se deben determinar
pues corresponden a las condiciones iniciales para la siguiente fase de carga.
En la fase subsiguiente y final en este caso, luego de retirar la carga la estructura
queda en oscilación libre no amortiguada con las condiciones iniciales
correspondientes a las finales de la fase inicial, en este caso la respuesta vale:
)
(
))
5
.
0
·(
·sin(
04075
.
0
))
5
.
0
·(
·cos(
0365
.
0
)
( m
t
t
t
u −
−
−
= ω
ω ; para:
)
(
5
.
0 s
t
En figura 4.2 se observa que el desplazamiento dinámico máximo del sistema es
082
.
0
=
máx
u (dos veces el desplazamiento estático del sistema) y ocurre en la
fase inicial de carga del sistema.
Las fuerzas que toma cada columna, de acuerdo con el método de la rigidez basal
son proporcionales a su rigidez:
( )
( )
( )
kN
k
u
F
kN
k
u
F
kN
k
u
F
C
B
A
3
.
1749
33
.
21333333
082
.
0
·
67
.
218
67
.
2666666
082
.
0
·
67
.
54
67
.
666666
082
.
0
·
3
max
max
2
max
max
1
max
max
=
×
=
=
=
×
=
=
=
×
=
=
Finalmente, la columna más rígida es la que toma mas esfuerzo de corte.

80. 80
Figura 4.2. Respuesta de la estructura para la carga impulsiva dada.
4.1.2. La estructura de la figura 4.3 esta compuesta por tres columnas verticales
de igual rigidez flexional EI= 5000 kN-m
2
, la masa del sistema vale M= 20 T y
puede ser concentrada al nivel del diafragma horizontal rígido, si el
amortiguamiento estructural se puede despreciar, responda a las siguientes
preguntas:
Figura 4.3. Marco plano sometido a un desplazamiento del tipo armónico.

81. 81
• Considerando que las condiciones iniciales del problema son
05
.
0
)
0
( =
=
t
u m, 1
)
0
( =
=
t
u
s
m
y que el sistema oscila libremente
sin amortiguación, se pide estimar la altura de las columnas para que el
desplazamiento horizontal máximo sea menor que 081
.
0
max =
u m.
• Si la base del edificio experimenta una excitación del tipo armónico como
la indicada en la figura 4.3 con 04
.
0
0 =
u m y 20
=
ϖ rad/s, determine
la forma analítica de la respuesta permanente del sistema.
• Calcule el factor de transmisibilidad entre la estructura y el suelo y
comente su respuesta.
Solución:
La rigidez equivalente del sistema corresponde a:
3
3
3
3
27
12
3
12
h
EI
h
EI
h
EI
h
EI
k =
+
+
=
Considerando que el sistema oscila libremente sin amortiguación, la solución del
problema será del tipo:
)
(
·
)
( ϕ
ω +
= t
sen
C
t
u
Donde
2
0
2
0 





+
=
ω
u
u
C
el desplazamiento máximo de la estructura estará
determinado por la amplitud de la respuesta.

82. 82
Por lo tanto:
2
0
2
0
max 





+
=
ω
u
u
u
Reemplazando, se tiene:
[ ]
m
u 05
.
0
0 = y [ ]
s
m
u /
1
0 =
⇒ [ ]
m
u 081
.
0
max =
[ ]
s
rad
u /
69
.
15
081
.
0
1
05
.
0
2
2
max =
⇒
=






+
= ω
ω
Puesto que se conocen la masa del sistema Kg
m 20000
= , la frecuencia
fundamental [ ]
s
rad /
69
.
15
=
ω y la rigidez equivalente 3
27
h
EI
k = , se tiene:
3
2
2 27
h
EI
m
k
m
k ⋅
=
⋅
=
⇒
= ω
ω
01
.
3
27
3
/
1
2
=






⋅
⋅
=
m
EI
h
ω
3
=
⇒ h m
Veamos la segunda de las preguntas, puesto que la ecuación movimiento del
sistema debido al movimiento de la base es:
)
(
· t
u
m
ku
u
m s
−
=
+

83. 83
Con la excitación definida en forma armónica:
)
·
(
·
)
( 0 t
sen
u
t
us ϖ
=
)
·
·cos(
)
( 0 t
u
t
us ϖ
ϖ
=
)
·
(
·
)
( 2
0 t
sen
u
t
us ϖ
ϖ
−
=
Reemplazando en la ecuación de movimiento:
)
·
(
·
)
·
(
·
· 0
2
0
0
t
sen
F
ku
u
m
t
sen
u
m
ku
u
m
F
ϖ
ϖ
ϖ =
+
⇒
=
+
4
3
4
2
1
Cuya solución se conoce y corresponde:
)
·
(
1
)
( 2
0
ϕ
ϖ
α
+
−
= t
sen
u
t
up
2
1
2
)
tan(
α
ξα
ϕ
−
−
=
Como no hay amortiguamiento 0
=
ϕ , la solución permanente se define por:
)
t
20
(
sen
065
.
0
)
t
20
(
sen
69
.
15
20
1
04
.
0
)
t
(
u 2
p ⋅
⋅
−
=
⋅
⋅






−
=
En la figura 4.4 se presenta la grafica del movimiento del suelo vs. el movimiento
del centro de masas del diafragma horizontal.

84. 84
Se observa que se produce una amplificación del movimiento del suelo, es decir
un observador a nivel del diafragma rígido sentirá un movimiento mayor que si el
se ubicara en la base de la estructura, es decir, se produce sobre la estructura una
amplificación del movimiento basal, dicha amplificación se puede estimar:
max
o
max
p
R u
.
.
.
.
)
(
u
u
T =
=
⋅
⇒
=
α
−
=
= 064
0
04
0
6
1
6
1
1
1
2
Figura 4.4.Movimiento del suelo vs. el de la estructura.
4.1.3 La estructura de la figura esta compuesta por dos columnas verticales de
igual rigidez flexional EI= 5000 kN-m
2
, la masa del sistema vale M= 20 T y puede
ser concentrada al nivel del diafragma horizontal rígido. La estructura, se conecta
a un muro rígido indeformable a través de un sistema mecánico de rigidez axial K=
50 kN/m. Se sabe que la razón de amortiguamiento es nula (es decir, c =
0, 0
=
ξ ).

85. 85
Figura 4.5. Marco plano sometido a carga lateral impulsiva.
Bajo estas condiciones se pide:
• Definir analítica y gráficamente la ley de variación que describe el
desplazamiento horizontal del diafragma rígido para la fase de carga
ascendente (fase I):
• Definir el valor
numérico del
desplazamiento
horizontal
máximo que se
desarrolla en la
fase ascendente de carga.

86. 86
• Evaluar el valor de los esfuerzos de corte tanto en la base de las
columnas, como en la sección A-A que se desarrollan para el
desplazamiento máximo en la fase ascendente.
Solución:
[ ]
m
kN
k
h
EI
h
EI
kH /
2
.
2752
12
12
3
2
3
1
=
+
+
=
[ ]
s
rad
m
k
/
73
.
11
10
·
20
10
·
2
.
2752
3
3
=
=
=
ω





≥
≤
≤
−
≤
≤
=
)
(
55
.
0
0
)
(
55
.
0
25
.
0
2000
1100
)
(
25
.
0
0
2400
)
(
s
s
s
t
P
τ
τ
τ
τ
τ
La solución particular se obtiene mediante la integral de Duhamel:
∫
∫ τ
τ
−
ω
τ
ω
=
τ
τ
−
ω
ω
=
t
0
t
0
p d
))
t
(
(
sen
·
2400
m
1
d
))
t
(
(
sen
)·
t
(
P
m
1
)
t
(
u
∫ −
=
t
p d
t
sen
m
t
u
0
))
(
(
·
2400
)
( τ
τ
ω
τ
ω
Integrando por partes:
))
(
( τ
ω
τ
−
=
=
t
sen
dv
u
ω
τ
ω
τ
))
(
cos( −
=
=
t
v
d
du

87. 87







 −
−
−
= ∫
t
t
p d
t
t
m
t
u
0
0
))
(
cos(
))
(
cos(
2400
)
( τ
ω
τ
ω
τ
ω
ω
τ
ω






−
= 2
)
·
(
2400
)
(
ω
ω
ω
ω
t
sen
t
m
t
up
Reemplazando valores, se llega:
[ ]
)
·
73
.
11
(
10
·
26
.
7
085
.
0
·
23
.
10
)
( 3
t
sen
t
t
up
−
−
=
[ ]
m
t
sen
t
t
up )
·
73
.
11
(
·
074
.
0
·
87
.
0
)
( −
=
La solución homogénea será de la forma:
[ ]
m
t
B
t
sen
A
t
uH )
cos(
)
(
)
( ⋅
⋅
+
⋅
⋅
= ω
ω
Así solución total para la fase ascendente será:
[ ]
m
t
sen
t
t
B
t
sen
A
t
uT )
·
73
.
11
(
·
074
.
0
·
87
.
0
)
cos(
)
(
)
( −
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
= ω
ω
Considerando condiciones iniciales nulas, A=B=0, por lo tanto:
[ ]
m
t
sen
t
t
uT )
·
73
.
11
(
·
074
.
0
·
87
.
0
)
( −
=
De figura 4.6, se aprecia que el desplazamiento máximo se produce en 25
.
0
=
t
)
(s y vale aproximadamente 20
.
0
)
25
.
0
( =
=
t
uT )
(m .

88. 88
El corte en la base de las columnas y en la sección A-A, se obtiene utilizando el
desplazamiento máximo y la rigidez de cada elemento.
[ ]
kN
u
h
EI
u
k
F 96
.
96
202
.
0
·
5
5000
·
12
·
12
3
max
3
1
max
·
1
1 =
=
=
⋅
=
[ ]
kN
u
h
EI
u
k
F 89
.
448
202
.
0
·
3
5000
·
12
·
12
3
max
3
2
max
2
2 =
=
=
⋅
=
Sección A-A: [ ]
kN
u
k
F 1
.
10
202
.
0
·
50
max
3 =
=
⋅
=
Figura 4.6. Respuesta en fase I.

89. 89
4.1.4. El marco de la figura tiene una masa total de 30.000 kg y la rigidez
flexional de cada columna es constante de valor EI=8000 KN-m2. Si a nivel del
diafragma horizontal rígido se aplica una fuerza armónica definida por la ley
)
t
10
(
sen
F
)
t
(
F 0 ⋅
⋅
= , se pide despreciando el amortiguamiento estructural:
Determinar la altura de las columnas para que la frecuencia fundamental del
sistema no sea superior a 12
seg
rad .
000
.
320
.
4
12
000
.
30
M
K
M
K 2
2
1
2
1 =
⋅
=
ω
⋅
=
⇒
=
ω 0
,
320
.
4
N = KN
3
3
3
i
e
H
EI
60
2
H
EI
6
H
EI
12
k
K ⋅
=






⋅
+
⋅
=
∑
=
81
.
4
H
11
,
111
4320
000
.
8
60
H 3
=
⇒
=
⋅
= m
Encontrar la amplitud de la fuerza forzante 0
F , para que la amplitud del
desplazamiento dinámico máximo no supere los 6 cm , considerando que la

90. 90
frecuencia fundamental no varia de los 12
seg
rad .
0
,
200
.
79
)
)
12
10
(
1
(
000
.
320
.
4
06
.
0
F
100
6
)
1
(
1
K
F
A 2
0
2
e
0
=
−
⋅
⋅
=
⇒
=
α
−
⋅
=
∴ 2
.
79
F0 = KN
Determinar las fuerzas de corte que toman cada una de las columnas para el valor
de la amplitud del forzante 0
F , definido en el punto anterior.
7
,
862
81
.
4
8000
12
K
3
A =
⋅
=
m
KN
3
,
725
.
1
41
.
2
8000
3
K
3
B =
⋅
=
m
KN
3
,
725
.
1
41
.
2
8000
3
K
3
C =
⋅
=
m
KN
3
,
313
.
4
Ke =
m
KN
8
,
15
2
,
79
3
,
313
.
4
7
,
862
FA =
⋅
= KN
7
,
31
2
,
79
3
,
313
.
4
3
,
725
.
1
F
F C
B =
⋅
=
= KN
Definir el valor de la amplitud del desplazamiento horizontal estático asociado a
0
F .
018
.
0
0
,
320
.
4
2
,
79
K
F
u
e
0
0 =
=
= m

91. 91
4.1.5. Un maquina tiene una masa de 330 kg e inicialmente se encuentra en
reposo. Dicho elemento se encuentra ligado a una pared fija, a través de un
sistema de resortes elásticos lineales. Si dicha maquina estará sometida a la
acción continua de una fuerza horizontal (tal como se indica en la figura) del tipo
armónico de amplitud máxima de 20 KN y de frecuencia 1 Hz (50 puntos). Se
pide:
Determinar el valor de la constante elástica 1
K , para el desplazamiento horizontal
máximo en operación (servicio) de dicha maquina no exceda los 6.0 cm.

92. 92
1
1
1
e k
5
7
k
5
k
2
K ⋅
=
+






⋅
⋅
=
e
2
1 K
330 =
⋅
ω y 28
.
6
2
1 =
π
⋅
=
ϖ
seg
rad
33
,
333
.
333
330
4
330
4
1
330
0
,
000
.
20
100
6 2
2
1
2
1
2
2
1
=
⋅
π
⋅
−
⋅
ω
⇒








ω
π
⋅
−
⋅
⋅
ω
=
4
.
32
330
)
9
.
027
.
13
33
,
333
.
333
(
1 =
+
=
ω
seg
rad
8
,
420
.
346
330
4
.
32
K 2
e =
⋅
=
m
N
4
,
247
4
,
443
.
247
8
,
420
.
346
7
5
k1 =
=
⋅
=
m
KN
Estime la fuerza máxima que se transmite a la pared rígida, cuando el sistema
esta funcionando.
1
,
780
.
20
4
.
32
28
.
6
1
1
0
,
000
.
20
F
2
T =














−
⋅
= N
Estime el valor de la constante de amortiguamiento “c ” necesaria de adicionar al
sistema mediante un dispositivo mecánico del tipo amortiguador viscoso para que
el sistema no vibre.

93. 93
0
,
384
.
21
330
8
,
420
.
346
2
m
K
2
c
c e
cr =
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
m
seg
N ⋅
ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Dentro de los modelos dinámicos se pueden realizar dos tipos de análisis para
determinar su comportamiento y características dentro de un periodo de tiempo
finito esto es a través de realizar un análisis en el dominio del tiempo o en el
dominio de la frecuencia. En el caso particular del dominio de la frecuencia para la
descripción de los modelos dinámicos nos aportan ciertas características que
facilitan la representación de los sismos, para realizar análisis y estudios
utilizando modelos estocásticos como los que se realizan en este trabajo.
CONTENIDO DE FRECUENCIA
Debido a la naturaleza dispersiva con que viajan las ondas en medios elásticos,
que se manifiestan con las diferentes velocidades en que se trasladan los distintos
tipos de ondas sísmicas en un terremoto, el contenido de frecuencia de un
acelerograma nos muestra una evolución temporal que describe el desfase en la
llegada de las ondas sísmicas con sus diferentes frecuencias. Se observa también
de los registros de aceleraciones que las ondas de periodos cortos llegan al
comienzo y las de periodos más largos lo hacen al final. Estas características
hacen necesario estudiar el contenido de frecuencias tanto en su estructura como
en su evolución lo cual es una forma de representar los sismos.
Además, en ciertas situaciones es más conveniente utilizar el análisis en el campo
de la frecuencia, porque se puede llegar más rápido a la obtención de la respuesta
en comparación con las técnicas numéricas presentadas para el cálculo en el
campo del tiempo. Para conocer el contenido de frecuencias dentro de un
acelerograma de un sismo cualquiera y transformar el análisis en el campo de la
frecuencia para la ecuación diferencial lineal que describe el fenómeno vibratorio
es común utilizar en la Ingeniería Sísmica la transformada de Fourier y su

94. 94
inversa.
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN SISTEMA DINÁMICO
Si se considera un sistema dinámico como el mostrado en la figura 2.1 cuya
respuesta x(t) es producida por un movimiento sísmico del terreno de aceleración
a(t).
Donde m representa la masa del sistema, c la razón de amortiguamiento del
sistema, k la rigidez del sistema y x la coordenada del eje x.
La ecuación diferencial que rige el movimiento del sistema bajo la hipótesis de
invariancia temporal es decir si la respuesta a una excitación a(t) es x(t) y para una
excitación a(t+t0) se traslada t0 proporciona una respuesta x(t+t0) con t0 como una
constante arbitraria es
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( t
f
t
ma
t
kx
t
x
c
t
x
m =
−
=
+
+
x
m
c
a(t)
Figura : Modelo sísmico con un grado de libertad
k

95. 95
La ecuación (2.1) esta expresada en el dominio del tiempo para llevar tal ecuación
al dominio de la frecuencia la transformada de Fourier, en el caso particular la
excitación f(t) y para la respuesta x(t) estas vienen definidas por:
∫ ∫
∞
∞
−
∞
∞
−
−
−
−
=
⋅
−
=
⋅
= )
(
)
(
)
(
)
( θ
θ θ
θ
mA
dt
e
t
a
m
dt
e
t
f
F t
i
t
i
∫
∞
∞
−
−
⋅
= dt
e
t
x
X t
iθ
θ )
(
)
(
En donde θ es la frecuencia de excitación del sistema y A(θ) la transformada de
Fourier de la aceleración sísmica a(t). Considerando que en la Ingeniería Sísmica
las señales de excitación y respuesta f(t) y x(t), respectivamente son finitas,
continuas y acotadas, las integrales anteriores y sus respectivas transformadas
de Fourier existen, por lo cual siempre pueden ser evaluadas. Lo mismo ocurre
con respecto a las transformadas inversas de Fourier las cuales se definen por
∫
∞
∞
−
⋅
= θ
θ
π
θ
d
e
X
t
x t
i
)
(
2
1
)
(
∫
∞
∞
−
⋅
= θ
θ
π
θ
d
e
F
t
f t
i
)
(
2
1
)
(
La función de transferencia o función del sistema H(θ), formulada en el campo
complejo de la frecuencia se expresa en la forma:
)
(
)
(
)
(
θ
θ
θ
F
X
H =
Por consiguiente, la respuesta compleja en frecuencias se expresa en la forma:

96. 96
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ A
H
m
A
m
H
F
H
X ⋅
⋅
−
=
⋅
−
⋅
=
⋅
=
Que corresponde al producto de la transformada de Fourier de la excitación y de la
función de transferencia del sistema.
Respuesta a una excitación cualquiera
Si el sistema se somete a una acción sísmica cualquiera, definida por su
aceleración a(t). La respuesta en desplazamiento del sistema se obtiene aplicando
la transformada de Fourier:
( ) ∫
∫
∞
∞
−
−
−
∞
∞
−
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
+
+ dt
e
t
a
m
dt
e
t
kx
t
x
c
t
x
m t
i
t
i θ
θ
)
(
)
(
)
(
)
(
Se supone que el sistema se encuentra inicialmente en reposo, se obtiene
ecuación lineal de coeficientes complejos.
[ ] )
(
)
(
)
(
2
θ
θ
θ
θ
θ F
A
m
X
k
c
i
m =
⋅
−
=
+
⋅
+
⋅
−
En donde A(θ) es la transformada de Fourier de la aceleración del terreno y X(θ) la
transformada de Fourier de la respuesta.
La respuesta en el campo complejo de la frecuencia podemos expresarlo de la
siguiente manera:
k
c
i
m
F
k
c
i
m
A
m
X
+
⋅
+
⋅
−
=
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ 2
2
)
(
)
(
)
(

97. 97
La función de transferencia compleja de un sistema de un solo grado de libertad
adopta la expresión.
k
c
i
m
H
+
⋅
⋅
+
⋅
−
=
θ
θ
θ 2
1
)
(
Que puede escribirse como
)
2
(
1
)
( 2
2
θ
ω
θ
ξ
θ
θ
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
−
=
i
m
H
m
c ⋅
⋅
⋅
= ω
ξ
2 y
m
k
=
2
ω
Donde ω es la frecuencia del sistema y ξ la fracción del amortiguamiento critico.
Al utilizar la representación polar de números complejos, la función de
transferencia compleja la podemos expresar como:
ϕ
θ
θ i
e
H
H −
⋅
= )
(
)
(
Cuyo modulo es definido por:
[ ]
( ) [ ]
( )2
2
)
(
)
(
)
( θ
θ
θ H
H
H ℑ
+
ℜ
=
Mientras que el ángulo de fase de la función de transferencia también conocido
como ángulo de fase de Fourier vale:

98. 98
( )
( )
)
(
)
(
)
tan(
θ
θ
ϕ
H
H
ℜ
ℑ
=
En el caso sísmico, la función de transferencia compleja de un sistema con un
grado de libertad se escribe:
)
2
(
1
)
( 2
2
θ
ω
θ
ξ
θ
θ
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
−
=
i
H
Otra forma de llegar a la expresión anterior, es utilizar dos funciones f1(t) y f2(t)
cuyas transformadas de Fourier son respectivamente F1(θ) y F2(θ). Se define
como integral de convolución la expresión:
∫
∫ −
=
−
⋅
=
t
t
d
f
t
f
d
t
f
f
t
f
0
2
1
0
2
1
*
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( τ
τ
τ
τ
τ
τ
El teorema de Duhamel (llamado también teorema de Bohel) afirma que la
transformada inversa del producto de dos transformadas de Fourier es igual a la
integral de convolución de las inversas de las dos transformadas:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1 *
0 0
2
1
2
1
1 t
f
d
f
t
f
d
t
f
f
d
F
F
t t
=
⋅
−
=
−
⋅
=
⋅
∫ ∫ ∫
+∞
∞
−
τ
τ
τ
τ
τ
τ
θ
θ
θ
π
En conformidad con este teorema, la respuesta en el dominio del tiempo del
sistema analizado se puede expresar a partir de:
=
⋅
⋅
−
=
⋅
= ∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
θ
θ
θ
π
θ
θ
π
θ
θ
d
e
A
H
m
d
e
X
t
x t
i
t
i
)
(
)
(
2
)
(
2
1
)
(

99. 99
∫ ∫ ⋅
−
−
=
−
⋅
−
=
t t
d
a
t
f
m
d
t
a
f
m
0 0
)
(
)
(
)
(
)
( τ
τ
τ
τ
τ
τ
Para conocer la solución x(t), es necesario conocer la función del sistema f(t) en
el campo del tiempo.
La transformada de Fourier de esta función se puede obtener sin aplicar dicha
transformada a cada término de la ecuación (2.1). Esto se realiza considerando
que sobre el sistema actúa una excitación armónica de frecuencia θ, definida por
la expresión:
t
i
e
m
t
a
m θ
⋅
−
=
⋅
− )
(
La excitación se considera de duración infinita: )
,
( +∞
−∞
∈
t . Con esto la
ecuación (2.19) proporciona el siguiente resultado:
∫
∫
∞
∞
−
−
∞
∞
−
−
⋅
⋅
−
=
⋅
−
= τ
τ
τ
τ θτ
θ
τ
θ
d
f
e
e
m
d
e
f
m
t
x i
t
i
t
i
)
(
)
(
)
( )
(
(2.21)
Si se tiene en cuenta que:
∫
∞
∞
−
−
=
⋅ )
(
)
( θ
τ
τ
θτ
H
d
f
e i
(2.22)
resulta:
t
i
e
H
m
t
x θ
θ ⋅
⋅
−
= )
(
)
( (2.23)
Esta ecuación expresa el hecho de que la respuesta del sistema producida por la
excitación armónica es igual al producto entre la excitación armónica y la función
del sistema en el campo complejo H(θ). Resulta que la función H(θ) se puede
obtener sustituyendo (2.20) en la ecuación de movimiento (2.1)
t
i
t
i
t
i
t
i
e
m
e
H
k
m
e
H
m
c
e
H
m θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ ⋅
−
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅ )
(
)
(
)
(
2
2
(2.24)

100. 100
de donde:








+
⋅
⋅
⋅
+
−
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
=
+
⋅
⋅
+
⋅
−
=
1
2
1
2
1
1
)
(
2
2
2
2
2
ω
θ
ξ
ω
θ
ω
ω
ξ
θ
θ
θ
θ
θ
i
k
m
m
i
m
k
c
i
m
H
(2.25)
Es la misma expresión que (2.11).
En los diagramas siguiente se observan los pasos para resolver los problemas en
el campo complejo de la frecuencia.

101. 101
CAPITULO 5
SISTEMAS DE N GDL
5.1 INTRODUCCIÓN
Si bien el sistema de un grado de libertad conduce a aproximaciones razonables
para obtener una estimación del comportamiento global de edificios, existen
ocasiones en las que es necesario el recurrir a modelos más sofisticados en los
que la masa de la estructura ya no se concentra en un sólo punto, si no que se
distribuye en varios puntos a lo alto del edificio. Típicamente, en este tipo de
modelos se supone que la masa está concentrada en los niveles de piso y sujeta a
desplazamientos laterales únicamente de dichos diafragmas.
En la figura 5.1, se muestra el modelo dinámico de un edificio de tres pisos, en