Mecanica de materiales unprg

Mecánica de Materiales para Estudiantes de Ingeniería | Carlos Alberto Díaz Pérez
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UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
FACULTAD DE INGENIERIA AGRICOLA
CENTRO DE INVESTIGACION DE INGENIERIA AGRICOLA
MECÁNICA DE MATERIALES PARA ESTUDIANTES DE INGENIERIA
Autor. Ing. Carlos Alberto Díaz Pérez
Lambayeque, Julio 2015

1
FICHA RESUMEN
El presente documento ha sido elaborado con un propósito de ofrecer al estudiante un
apoyo sobre la materia, este documento servirá como texto de guía de consulta para la
materia: “mecánica de materiales”, orientando a los estudiantes de las carreras de Ingeniería
La estructura del documento está planteado en 8 capítulos de la siguiente manera:
CAPITULO I. Se desarrollan conceptos básicos sobre carga axial , tracción y compresión,
propiedades mecánicas de los materiales, ensayos de materiales, diagrama de esfuerzo
deformación y problemas aplicativos
CAPITULO II. Se define la tensión cortante, y se desarrollan problemas aplicativos y se
propone problemas.
CAPITULO III. Se desarrolla el concepto de tensión-deformación bajo carga axial, se
plantea un cuestionario de conceptos básicos, problemas resueltos y problemas propuestos.
CAPITULO IV. Se desarrolla el tema sobre torsión, problemas resueltos y problemas
propuestos.
CAPITULO V. Se desarrolla el tema sobre tensión cortante y momentos flector, diagramas
de aplicación, problemas resueltos y propuestos.
CAPITULO VI. Se desarrolla el tema de diseño de vigas a flexión, problemas aplicativos y
problemas propuestos.
CAPITULO VII. Se trata el tema de deflexión en vigas, métodos de solución, problemas
resueltos y propuestos.
CAPITULO VIII. Se desarrolla el tema sobre vigas continuas, se desarrolla la ecuación de
los tres momentos, problemas aplicativos y problemas propuestos.
Al final se adjuntan tablas y apéndices que ayudaran a la solución de problemas planteados.

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CAPITULO I
1.1.- INTRODUCCIÓN
DEFINICION DEMECÁNICA DE MATERIALES
Es el estudio de las propiedades físicas de cuerpos sólidos, y son Esfuerzos internos
y deformaciones producidas por alguna fuerza externa o peso propio del cuerpo.
El principal objetivo del estudio de la Mecánica de Materiales que el estudiante
adquiera las competencias para analizar y diseñar diferentes máquinas y
estructuras portantes.
Tanto el análisis como el diseño de una estructura, implican la determinación de
esfuerzos y deformaciones. Este primer capítulo está dedicado al concepto de
tensión simple, que es el estado de un cuerpo, estirado por la acción de fuerzas que
lo solicitan, ver figura 1.1
A
P

1.2.- CARGA AXIAL (ESFUERZO NORMAL)
Se dice que una barra está sometido a carga axial, cuando la dirección de la carga
corresponde al eje de la barra, la fuerza interna es por lo tanto normal al plano de la
sección y el esfuerzo es descrito como un esfuerzo normal. Así, la ecuación de la
tensión normal de un elemento sometido a carga axial es:
A
P

Un signo positivo nos indicara un esfuerzo de tracción y un signo negativo nos
indicara un esfuerzo de compresión.
P: carga (fuerza) actuante
A: Area de la sección transversal
σ : Esfuerzo
A
A
P
P
P
Fig. 1.1
CORTE A-A

3
A
P

A
P

1.3.- CARGA SOMETIDA A ESFUERZO (TRACCIÓN - COMPRESIÓN)
1.3.1.- TRACCIÓN
El elemento de la figura 1.2, está sometido a esfuerzo de tracción, cuando la carga
P tiende a alargar al elemento.
1.3.2.- COMPRESIÓN
El elemento de la figura 1.3, está sometido a esfuerzo de compresión, cuando la
carga P tiende a encoger al elemento.
El esfuerzo en dicha sección se designa con la letra griega “σ” (sigma), se obtiene
dividiendo la magnitud de la carga “P” entre el área de la sección transversal “A”.
P
Fx
Y
X
Area Fx = P σx = - P/A
Fig 1.3
σ : Esfuerzo
P
Fx
Y
X
Area Fx = P σx = P/A
Fig 1.2
σ : Esfuerzo

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Por otra parte teniendo dos elementos 1 y 2 de la figura 1.4 veremos, de qué
depende el esfuerzo, si los elementos son de secciones transversales y cargas
diferentes, los mismos sometidos a esfuerzos de tracción.
Por más que F2 > F1 se ve que σ1 > σ2
Fig 1.4
El elemento 1 y 2 se rompa o no bajo la carga actuante, depende no sólo del valor
encontrado para la fuerza F, también depende del valor de la sección transversal de
la barra y del material que está hecho.
1.4.- PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES
Para un diseño de algún elemento estructural o componente de máquina, el
diseñador debe predecir el comportamiento del material frente a las acciones
externas para los cuales ha sido concebido.
Es de vital importancia e imprescindible conocer el comportamiento del material, es
decir de sus propiedades mecánicas.
Bueno, como se tiene tantos materiales, y como cada uno de estos tiene
comportamiento diferente unas de otras, lo que se ha hecho es dividir en dos
grupos, estos grupos son:
MATERIALES DÚCTILES Y MATERIALES FRÁGILES
Es entonces que para el conocimiento de propiedades de los materiales, muchos
autores han optado el ensayo de ESFUERZO DEFORMACION, para un material de
acero de bajo contenido de carbono, porque éste es más representativo para un
material dúctil por su gran deformación plástica.
1.5.- PROCEDIMIENTO DEL ENSAYO
F1 = 500 kg
𝜎1 =
500 Kg
1 cm2
= 500 Kg/cm2
F2 = 1200 kg
𝜎2 =
1200 Kg
3 cm2
= 400 Kg/cm2
1 A1= 1 cm2
2 A2= 3 cm2

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1.5.1.-ENSAYO DUCTIL
a) ENSAYO DE TRACCIÓN DE MATERIAL DUCTIL
Laboratorio
Aparato hidráulico con mordazas sea de tracción o compresión
Se debe tener una probeta de material de sección cilíndrica o rectangular como se
muestra en la figura 1.5
 Se debe tener un extensómetro de precisión (para medir o calibrar las
longitudes variantes en cada instante de aumento de carga).
 Un medidor de diámetros de precisión
 Un monitor que grafique la curva esfuerzo deformación, por medio de un
sistema de coordenadas en cual se graficará la curva esfuerzo deformación,
representando en el eje de las abscisas la deformación y en el eje de las
ordenadas el esfuerzo.
Comportamiento de la probeta durante el ensayo.
a) Estado original.
b) Empezando a cargar.
c) Entrando a la zona plástica.
d) El material se rompe.

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1.5.1.2.- PROCEDIMIENTO
• ZONA ELÁSTICA
Cargado del punto “O” al punto“A” (hasta el límite de proporcionalidad).
0 ≤ε ≤ε A
Fig. 1.7
Una vez que está la probeta situado en las mordazas, se procede al cargado de
cargas sucesivas de tracción, tal que la deformación partiendo de cero llega hasta
el punto “A” ver figura1.7, cuya trayectoria descrita por el monitor es lineal en

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consecuencia el esfuerzo es proporcional a la deformación , lo que ocurre al material
es un comportamiento elástico, que significa que sí se lo descarga en ese rango
incluyendo el punto “A”, retornará a su estado original sin ningún cambio en su
longitud( Lo).
Cargado del punto “A” al punto “B” (hasta el límite elástico)
εA<ε ≤εB
Se sigue cargando constantemente, y el material va deformándose, pero ya no es
proporcional el esfuerzo a la deformación, porque ocurre que desde el punto “A”
hasta el punto “B”, la trayectoria ya no es lineal es diferente, pero sigue en el
rango elástico.
Ver figura 1.8
• ZONA PLÁSTICA
Región de fluencia.
Cargado del punto “B” al punto “C”
εB ε <εC
Una vez desprendido del punto “B” el material presenta un incremento significativo
de la de formación con poco o ningún aumento de carga alguna, y la trayectoria
descrita por el monitor es de forma zigzag, ver figura 1.8, éste es el tramo de
fluencia, en el cual se ve punto de fluencia superior y punto de fluencia inferior, de
este rango se toma el promedio y se lo idealiza como una línea recta (ver línea

8
segmentada paralela a la abscisa en la fig. 1.8), a lo cual corresponde esfuerzo de
fluencia “σy ”.
Esto significa que si se descarga en cualquier punto del rango de fluencia, el
material no retorna a su estado original de longitud, quedando así una elongación.
Región de endurecimiento por deformación.
Cargado del punto “C” al punto “D”
En ésta región reiniciamos el cargado con la carga de tracción, y el monitor describe
una pendiente brusca hasta alcanzar el punto “D” el cual es la resistencia máxima
o esfuerzo ultimo “(σU )”. Ver Figura 1.9
Región de esfuerzo post-ultimo (estricción)
Cargado del punto “D” al punto “E”
εD≤ε≤εE

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Desprendido del punto “D” se necesitará cargas menores para continuar
deformando, y en éste rango denominado post-ultimo ver figura 1.10, se presenta
el fenómeno de la estricción que es un estrechamiento en la sección transversal,
como se puede ver en la figura 1.11
Una vez llegado al punto “E” el material se rompe, ver Figura 1.12
Fig1.12
Concluimos de este ensayo que los principales causantes de la ruptura en los
materiales dúctiles son los esfuerzos cortantes.

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1.5.1.3.- CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA (TRACCIÓN)
b).- ENSAYO DE COMPRESIÓN DE MATERIAL DUCTIL

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b.1).- CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA EN COMPRESIÓN
ETAPA 1.- Es el inicio de la compresión, de tal manera que la probeta se comporta
de manera elástica, y está en la línea de la proporcionalidad, que significa que si se
deja de comprimir la probeta retornara a su estado original.
ETAPA 2.-Es la etapa en la cual la probeta empieza a fluir, es aquí que la pendiente
disminuye conforme va aumentando el esfuerzo y se inicia la zona plástica, significa
que si se deja de comprimir en esta etapa, la probeta no retorna a su estado original,
quedando una deformación residual.
ETAPA 3.- En esta, la probeta va deformándose más y adquiere una pendiente
mucho más pronunciada quedando aplanada la probeta.
Muchos autores indican que en varios materiales es difícil de distinguir el punto de
fluencia, es por ello que se acude a un artificio de paralela. Consiste en trazar una
paralela a la porción rectilínea línea de proporcionalidad de tal manera que corte a
la abscisa en 0.2%, se toma este valor que es arbitrario y muchos lo hacen, el otro
extremo cortara a la curva en un punto y ese es el punto de fluencia del material.
Figura. 1.16.

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1.5.2.- ENSAYO FRÁGIL
El procedimiento de ensayo frágil es similar al dúctil, con la diferencia de que el
material frágil tiene muy poca deformación plástica presentándose de inmediato la
ruptura ver figura 1.17, con ausencia del fenómeno de extricción.
Figura 1.17

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Comportamiento de la probeta durante el ensayo.
a) Estado original
b) Empezando a cargar
c) Entrando a la zona plástica y se rompe
1.5.2.1.-CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN FRÁGIL
Viendo la figura 1.18, la ruptura ocurre en una superficie perpendicular a la carga.
Concluimos que los principales causantes de la ruptura en los materiales frágiles
son los esfuerzos normales.

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1.5.3.-CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN (TRACCIÓN- COMPRESIÓN)
Fig 1.19
El esfuerzo como una función de la deformación para ensayo de tracción y
compresión en materiales frágiles.
Según los ensayos de tracción y compresión para materiales frágiles dio como
resultado, que el esfuerzo último en tracción es mucho menor que al esfuerzo ultimo
de compresión.
𝝈 𝒖−𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊𝒐𝒏 ≫ 𝝈 𝒖−𝒕𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏

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1.6.- CURVA REAL Y APARENTE
Las cuatro curvas son obtenidas del mismo ensayo, el común de estas curvas es
que coinciden hasta el límite elástico, luego se separan a excepción de las curvas
reales.
a).- Curva aparente de esfuerzo deformación unitaria en tracción.- El cálculo de
esfuerzo se lo realiza al dividir la carga con el área de la sección transversal original.
La pendiente de la región post-ultima esta en depresión a comparación con la real
de tracción.
b).- Curva real de esfuerzo deformación unitaria en tracción.- El cálculo de esfuerzo
se lo realiza al dividir la carga con el área decreciente de la sección transversal.
La pendiente de la región post-ultima está ligeramente pronunciada.
c).- Curva aparente de esfuerzo deformación unitaria en compresión.- El cálculo de
esfuerzo se lo realiza al dividir la carga con el área de la sección transversal original.
La pendiente de la región post-ultima bruscamente pronunciada
d).- Curva real de esfuerzo deformación unitaria en compresión.- El cálculo de
esfuerzo se lo realiza al dividir la carga con el área creciente de la sección
transversal.
La pendiente de la región post-ultima está ligeramente pronunciada

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1.7.- RESUMEN DIAGRAMA ESFUERZO – DEFORMACIÓN
Fig. 1.21
a).- El límite de proporcionalidad de un material se define como el máximo valor del
esfuerzo para el cual este a un es proporcional a la deformación unitaria.
Por debajo del cual si se deja de aplicar la carga, entonces vuelve a su estado inicial.
b).- El límite elástico de un material es definido como el máximo valor de un esfuerzo
que se puede aplicar sin causar una deformación unitaria permanente.
c).- El límite de fluencia es aquel punto en el que aparece un considerable
alargamiento sin ningún aumento de carga. Más allá del punto de fluencia el material
se deforma sin necesidad de aumentar ninguna carga.
d).- El límite último o esfuerzo último, es el punto máximo de la ordenada de la curva.
e).- Punto de rotura, se presentan dos casos, el de la rotura aparente y de la rotura
real, ver figura 1.22
Fig. 1.22

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Para realizar un análisis sobre el dimensionamiento se tendrá que verificar que la
tensión “σ” no debe de exceder a la tensión admisible σad , siendo esta tensión la
división del esfuerzo debido a fluencia sobre el factor de seguridad (n). σad = σf/n
1.8 PROBLEMAS RESUELTOS DE TENSIONES NORMALES
PROBLEMA 1.8.1.- Para la estructura mostrada en la figura, determinar las
tensiones de cada bloque. Donde A1 = 2 cm2
, A2 = 5 cm2
, A3 = 8 cm2
.
Solución:
Como no se sabe que fuerza actúan sobre cada uno de los bloques, se tendrá que
realizar un diagrama de fuerzas internas.
Por definición de esfuerzos tenemos (σ=F/A)

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2
121
1
1
1 /2500
2
5000
cmkg
cm
Kg
A
F
 
2
222
2
2
2 /600
5
3000
cmkg
cm
Kg
A
F
 
2
323
3
3
3 /1000
8
8000
cmkg
cm
Kg
A
F
 
PROBLEMA 1.8.2.- Para la estructura mostrada en la figura, determinar las
tensiones de cada bloque. Donde A1 = A2 = A3 = 2cm2
.
Solución:
Como no se sabe que fuerza actúan sobre cada uno de los bloques, se tendrá que
realizar un diagrama de fuerzas internas.
Por definición de tensiones tenemos (σ=F/A)…………ecuación (1.1)
2
121
1
1
1 /2500
2
5000
cmkg
cm
Kg
A
F
 
2
222
2
2
2 /1500
2
3000
cmkg
cm
Kg
A
F
 
2
323
3
3
3 /4000
4
8000
cmkg
cm
Kg
A
F
 

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PROBLEMA 1.8.3.- Sabiendo que la porción central del eslabón BD, tiene una
sección uniforme de 800 mm2
, halle la magnitud de la carga P para la cual el
esfuerzo normal en esa porción de BD sea de 50MPa.
PROBLEMA 1.8.4.-Cual es la altura a la cual una pared de concreto puede ser
construida, si se especifica que el esfuerzo de ruptura del material es de 2400 psi.
Con un factor de seguridad de 4 y con un peso específico del concreto de 150lb/pie3
,
(psi =Lb/pulg2
).
PROBLEMA 1.8.5.- Dimensionar la barra BD sabiendo que σf =4200kg/cm2
con
factor de seguridad de 2 en tracción y tiene un factor de seguridad de 3 en
compresión, además tomar en cuenta que es de acero y de sección circular.
56.0
92.1
tan 
 = 73.74
kNRA
A
R
BDBD 40)800)(50(  
0 CM
0)4.192.1()56.04.1()304.14.1(  xy RRsenP
P= 33.1 kN
pies
pielb
pielb
h
h
A
VA
A
V
A
W
Y
r
rr
576
/150
/86400
*
3
3










W

20
Segun la Fig. se tiene,
TV
VTSenTM
TV
VTSenTM
A
AC
C
CA
2.4
04)12)(602()2)(2(0
2.6
04)12)(602()2)(2(0
0
0






Analisis por nudos
Nudo C  𝐹𝑦 = 0Vc + T5 Sen60=0 T5= 7.16 Tn
 𝐹𝑥 = 0 T4 – T5 Cos60=0 T4= 3.58 Tn
Nudo B  𝐹𝑦 = 02T – T3 Cos 30 =0 T3= 2.31 Tn en compresion
Utilizando los conceptos de dimensionamiento tenemos: ≤
BD= T3/A ≤ ̅ 4*2.31*103
/( 2
) ≤ 4200/ 3  1.45 cm
Normalizano tenemos  = 5/8” =1.58 cm
PROBLEMA 1.8.6.- A partir de la Fig.a. Calcular el diámetro del cable BC que
soporta la barra AC, si σf=4200kg/cm2
, P= 3000Kg. Con un factor de seguridad de
2.

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Solucion- con relacion a la Fig b se tiene
cos ∝=
4
5
del triangulo rectangulo ABC
∑ 𝑀𝐴 = 0 → (-3 TCos) + 4( 3000 Kg) = 0 T = 5000 Kg
Usando los conceptos de dimensionamiento se tene:
𝜎 𝐵𝐶 =
𝐹
𝐴
≤ 𝜎 𝑎𝑑 → )
4(5000)
𝜋𝐷2
=≤
4200
2
→ 𝐷 ≥ 1.74 𝑐𝑚
Normalizando tenemos D = ¾ “  D = 1.905 cm
1.9 PROBLEMAS PROPUESTOS DE TENSIONES
1.9.1.- Un tubo de aluminio esta rígidamente sujeto entre una barra de bronce y una
barra de acero. Según se muestra en la figura. Las cargas axiales se aplican en las
posiciones indicadas. Calcular el esfuerzo en cada material.
1.9.2.- Para la estructura mostrada en la figura determinar los esfuerzos de cada
bloque.
Donde: A1 = 2.5 cm2
, A2 = 5 cm2
y A3 = 7 cm2

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1.9.3.- Para la estructura mostrada en la figura determinar los esfuerzos de cada
bloque.
Para A1 = 2 cm2
, A2 = 5 cm2
y A3 = 8 cm2
.
1.9.4.- Todas las barras de la estructura articulada de la figura, tienen una sección
de 30mm por 60mm. Determine la máxima carga que puede aplicarse sin que los
esfuerzos no excedan en las barras AB, BC y AC de 100MPa, 80MPa y 60MPa
1.9.5.- Una columna de hierro fundido (o fundición) soporta una carga axial de
compresión de 250kN. Determinar su diámetro interior si el exterior es de 200mm y
el esfuerzo máximo no debe de exceder de 50MPa.
1.9.6.- Dimensionar la barra AB sabiendo que σf =2600kg/cm2, con factor de
seguridad de 2 en tracción y tiene un factor de seguridad de 3 en compresión,
además tomar en cuenta que es de acero y de sección circular.

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1.9.7.- A partir de la figura presentada. Calcular el diámetro del cable BC que soporta
la barra AC, si σf =4200kg/cm2
con un factor de seguridad de 2.
1.9.8.- Sabiendo que la porción central del eslabón BD tiene una sección uniforme
de 600 mm2, halle el esfuerzo de la porción BD, si la magnitud de la carga P =
40kN.de radio igual 1.4m.
1.9.9.- Sabiendo que la porción central del eslabón BD tiene una sección uniforme
de 800mm2
, halle la magnitud de la carga “P” para la cual el esfuerzo normal en esa
porción de BD sea de 50MPa.
1.9.10.- Un soporte de madera escuadrada de 20 por 20cm descansa a través una
placa de apoyo de acero de 30 por 30cm sobre una base de hormigón como se
muestra en la figura. Determinar el valor de P si la tensión de compresión admisible
en la madera es de 110kg/cm2
y en el hormigón de 50kg/cm2
. ¿Cuál debe ser la
dimensión d? de apoyos de la base si la presión sobre el terreno no debe de exceder
de 4kg/cm2
.

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1.9.11.- Para mover un camión se conectan dos cables en A y se estiran por medio
de dos grúas colocadas en B y en C, como se muestra en la figura sabiendo que la
tensión en cada cable es de 10 KN en AB y 7.5 KN en AC. Determinar la magnitud
y la dirección de la resultante de las dos fuerzas que ejercen en A. Y dimensionar el
cable AB si
σ =1050N/cm2
.
1.9.12.- Sabiendo que la tensión en los cables AB y AC es de 510Kg y
425Kgrespectivamente. Determinar la magnitud y la dirección de la resultante de las
fuerzas ejercidas en A por los dos cables y dimensionar los cables si: σad =1050
Kg/cm2
1.9.13.- Calcular el diámetro de los 3 cables que se unen en un punto D y sostienen
una carga de 5000kg. Como se ilustra en la figura. Si el esfuerzo admisible de
trabajo para los cables es 1050kg/cm2
.

25
1.9.14.- Cada uno de los cuatro eslabones verticales que conectan a los dos
miembros horizontales tienen una sección transversal rectangular de 10 x 40mm y
cada pasador, 14mm de diámetro. Calcule el máximo valor del esfuerzo normal
medio causado por la carga de 24KN en los eslabones que conectan. a).- Los
puntos B y E b).- Los puntos C y F.
1.9.15.- Un tren de aterrizaje de una avioneta. Determinar la tensión de compresión en el terapeutas
AB producida en el aterrizaje por una reacción del terreno R=2000Kg. AB forma un ángulo de 530
con BC. Sol: 620Kg/cm2
.
1.9.16.- La zapata de concreto que se muestra en la figura, está cargada en su parte
superior con una carga uniformemente distribuida de 20KN/m2
. Investigue el estado
de esfuerzo en un nivel a 1m arriba de la base. El concreto tiene un peso específico
de aproximadamente 25KN/m3
. Sol: 28.8KN/m2
.

26
CAPITULO II
TENSION CORTANTE
2.1.- TENSIÓN CORTANTE SIMPLE
La tensión cortante simple, a diferencia de la tensión de tracción y compresión, está
producida por fuerzas que actúan paralelamente al plano que las soporta. La tensión
cortante puede denominarse tensión tangencial.
Los esfuerzos cortantes ocurren en pernos, pasadores y remaches usados para unir
diversos elementos estructurales y componentes de las máquinas.
Considerándose por ejemplo los elementos Ay B unidos por un roblón ver (fig.2.1),
silos elementos están sometidos a fuerzas de tensión, de magnitud P, se
desarrollaran esfuerzos en la sección del remache que corresponde al plano de
corte.
El esfuerzo cortante (τ) tau, se obtiene según la ecuación
= P/A ( kg/cm2
) ver fig. 2.2
Figura 2.2
Las unidades de medida son al igual que la tensión interna del capítulo 1

27
2.2.- TENSIÓN CORTANTE DOBLE
Para desarrollar la ecuación de la cortante doble nos basamos en un pasador que
está sometido a una fuerza P.
Desde el punto de vista, se realiza un análisis sobre la ecuación de τ = F/A donde
nuestro problema es calcular su equivalencia de la fuerza F.
Σ Fx =0 → P – F – F = 0 → P =2F → F = P/2
Sustituyendo esta última ecuación tenemos la siguiente expresión matemática que
nos permite calcular el valor del esfuerzo cortante.
= P/2A
Grafica del comportamiento de la tensión cortante (τ ) Vs deformación unitaria (γ ).
⃗ =
 𝑓
𝑛 𝑓
=
 𝑟
𝑛 𝑟
para 𝑛 𝑟𝑛 𝑓1

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2.3.- DIMENSIONAMIENTO
Para efectos de dimensionamiento se realiza una generalización de la ecuación de
la fuerza cortante de la forma siguiente.
 =
𝑽
𝑨
≤ ⃗ ……………………………………………………….(2.1)
Donde
“V“ es la fuerza cortante tangencial a la sección
“A” es la sección critica de los remaches, pasadores y pernos.
“τ ” tensión cortante.
“⃗ ” tensión cortante admisible.
2.4 PREGUNTAS SOBRE EL TEMA
1.- Cuales son las condiciones para aplicar la ecuación (2.1)?
R.- Sección constante, la fuerza “V” tiene que ser tangencial al plano de corte, la
tensión cortante de trabajo tiene que ser menor a la tensión admisible.
2.- Los pasadores se tienen que dimensionar a: Tracción o tensión cortante?
R.- Tensión cortante.
3.- Por que los diámetros se tienen que normalizar?
R.- Por que el resultado que se obtiene de los cálculos no existe en el mercado.
4.- Si sobre un remache actúa una reacción horizontal y otra vertical: cual se
utiliza para dimensionar?
R.- Ninguna de ellos, se tendrá que utilizar la resultante de las dos reacciones.
2.5 PROBLEMAS RESUELTOS DE TENSIONES CORTANTES
PROBLEMA 2.5.1.- Determinar el esfuerzo cortante de una conexión, sea perno,
pasador o remache de la siguiente Figura, con una fuerza P = 40kN y un diámetro
del pasador d=25 mm.
Solución.
Aplicando la ecuación de la cortante tenemos:

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PROBLEMA 2.5.2.- La masa de la barra homogénea AB mostrada en la figura, es
de 2000Kg, la masa esta apoyada mediante un perno en B y mediante una
superficie vertical lisa en A. Determine el diámetro más pequeño que se puede
usarse en B, si su esfuerzo cortante está limitado por 60MPa.
Solución
Como existe su masa de la barra entonces existirá un peso que va a actuar en el
centro dicha barra.

30
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
PROBLEMA 2.5.3.- A partir de la Fig.a presentada. Calcular el diámetro del
pasador A que soporta la barra AC a cortante doble, si σf =4200kg/cm2
yτ f =0.5σf
con un factor de seguridad de 2.
Solución.- En base a la Fig. b se tiene:

31
Utilizando los conceptos de la teoría tenemos
PROBLEMA 2.5.4.- Calcular el diámetro del perno que tiene que soportar la acción
de las fuerzas axiales que se presentan en la Fig.a, para cuyo efecto se tiene los
esfuerzos de σf=4200kg/cm2
y un τ f =0.5 σf, con un factor de seguridad de 2
Solución
Primero se tiene que realizar un diagrama de fuerzas, para determinar el valor de
la fuerza cortante como se observa en la fig.b, de los cuatro placas solo se
transforma en dos placas.

32
PROBLEMA 2.5.5.-Calcular el diámetro del remache que tiene que soportar la
acción de las fuerzas axiales, para cuyo efecto se tiene los esfuerzos admisibles
(2100Kg/ cm2
esfuerzo normal y un esfuerzo cortante admisible de 1050Kg/ cm2
).
Solución: Realizando el diagrama de fuerzas se tiene que:
Se reduce a la siguiente figura:
2.6 PROBLEMAS PROPUESTOS DE TENSIONES CORTANTES
2.6.1.- Una polea de 750mm sometida a la acción de las fuerzas que indica la figura,
está montada mediante una cuña en un eje de 50mm de diámetro. Calcule el ancho
b de la cuña si tiene 75mm de longitud y el esfuerzo cortante admisible es de 70MPa.

33
2.6.2.- Para un esfuerzo admisible de trabajo de σ =2100Kg/ cm2
yτ = 0.5σ . Calcule
el diámetro del remache.
2.6.3.- Para un esfuerzo admisible de trabajo de σ =2100Kg/ cm2
yτ = 0.5σ . Calcule
el diámetro del remache.
2.6.4.- Calcular el diámetro del remache que tiene que soportar la acción de las
fuerzas axiales que se presentan en la figura adjunta, para cuyo efecto se tiene los
esfuerzos de σf=4200kg/ cm2y un τ f =0.5 σf, con un factor de seguridad de 2.
2.6.5.- A partir de la figura presentada. Calcular el diámetro del pasador A que
soporta la barra AC a cortante simple, si σf =2100kg/ cm2
y un τ f =0.5σf con un
factor de seguridad de 3.

34
2.6.6.- Se aplican dos fuerzas a la pieza BCD, tal como se muestra en la figura.
Calcular:
a) El diámetro de la barra AB si el esfuerzo último es de 600 MPa, con un factor de
seguridad de 3.
b) El diámetro del pasador C si el esfuerzo cortante último es de 350 MPa, con el
mismo factor de seguridad del anterior inciso.
c) Determinar el espesor del soporte de la pieza en C, sabiendo que el esfuerzo de
aplastamiento admisible es de 300 MPa.

35
CAPITULO III
ESFUERZO Y DEFORMACIÓN BAJO CARGA AXIAL
DETERNINACION DE LAS DEFORMACIONES ELASTICAS PRODUCIDAS
POR CARGAS DE TRACCION Y COMPRESION
3.1.- INTRODUCION
En el capítulo 1 se analizaron las tensiones debido a las cargas aplicadas a una
estructura o máquina.
En este capítulo se discutirá acerca de las deformaciones de un elemento
estructural, tal como una barra o una platina sometida a carga axial.
Primero se definirá deformación normal unitaria ε en el elemento como la el esfuerzo
σ versos la deformación unitaria ε, a medida que la fuerza aplicada al elemento
aumenta, se obtendrá un diagrama de esfuerzo – deformación para el material
utilizado.
De tal diagrama se pueden determinarse algunas propiedades importantes del
material.
Tales como su módulo de elasticidad y si el material es frágil o dúctil.
3.2.- DEFORMACIÓN NORMAL BAJO CARGA AXIAL
Sea una barra BC, de longitud L. y sección transversal A que esta suspendida de B
(Fig.3.1.a). Si se aplica una fuerza P en el extremo C, la barra se alarga
(fig.3.1.b).elaborando una grafica de la magnitud de P contra la deformación δ
(delta),se obtiene un determinado diagrama de carga – deformación (fig.3.1.c)
Se observa que si se produce un alargamientoδ en la barra BC por medio de la
fuerza P. Se define deformación normal unitaria en una barra bajo carga axial
como el alargamiento por unidad de longitud de dicha barra. Representado por ε
(épsilon) se tiene.
ε = δ/L ……………………………………………………………………. (3.1)

36
3.3.- COMPARACIÓN DE DIAGRAMAS DE DISTINTOS MATERIALES
3.4.- LEY DE HOOKE
La mayor parte de las estructuras se diseñan para sufrir pequeñas deformaciones,
que involucran solo la parte lineal del diagrama esfuerzo – deformación. Para la
parte inicial del diagrama anterior, el esfuerzo σ es directamente proporcional a la
deformación ε y puede escribirse
δ= FL/AE →(δ/L) = (F/A)(1/E) → ε = σ(1/E) → σ =E ………(3.2)
Esta relación es la ley de Hooke, llamada así en honor del matemático Ingles Robert
Hooke (1635 – 11703). El coeficiente E se llama modulo de elasticidad propio de
cada material o también llamado modulo de Young en honor del científico Ingles
Thomas Young (1773 – 1829).
Como la deformación unitaria ε no tiene dimensiones, el modulo E se expresa en
las mismas unidades del esfuerzo.
3.5.- DEFORMACIÓN TANGENCIAL
Las fuerzas cortantes producen una deformación angular, de la misma manera que
las fuerzas axiales originan deformaciones longitudinales, pero con una diferencia
fundamental. Un elemento sometido a tensión experimenta un alargamiento,
mientras que un elemento a una fuerza cortante, no varía la longitud de sus lados,
manifestándose por el contrario un cambio de forma de rectángulo a paralelogramo,
como se observa en la figura 3.3.

37
La ley de Hooke también es valida en la cortadura, existe una relación lineal entre
la deformación tangencial y la tensión cortante dada por:
En donde G es el módulo de elasticidad de la cortante llamada” módulo de
rigidez”.
Existe otra relación de suma importancia entre las constantes G, E y μ (coeficiente
de poisson) para un material dada.
3.6.- DIMENSIONAMIENTO A LA RIGIDEZ
Para efectos de dimensionamiento se realiza una generalización de la ecuación de
la rigidez llamada deformación de la siguiente manera.
δ= FL/AE ≤δ ………………………………………………………. (3.6)
Esta ecuación solo se aplica bajo las siguientes condiciones:
 La fuerza que actúa sobre la sección tiene que ser constante.
 El material tiene que ser homogéneo.
 La sección tiene que ser constante en toda la longitud.

38
3.7.- DIFERENCIAS DE LA GRAFICA DE ESFUERZO – DEFORMACIÓN DE
LOS METALES Y NO METALES
Aplicando los conceptos de la ley de Hooke al punto 3.5 se tiene una grafica
visualizada del comportamiento de la tensión cortante (τ ) Vs deformación unitaria
(γ ).

39
3.8.- ECUACIONES PARA DEFORMACIONES TRANSVERSALES
3.9.- ALGUNOS CONCEPTOS BASICOS SOBRE LOS MATERIALES
(CUESTIONARIO)
1.- Cuando se dice que los materiales son dúctiles?
R.- Se dice que un material es dúctil cuando tiene deformaciones plásticas de gran
magnitud antes de romperse.
2.- Cuando se dice que los materiales son frágiles?.
R.- Ciertos materiales, como el hierro fundido, el acero rico en carbono y la
mampostería, que presentan relativamente poca deformación plástica antes de
fracturarse, se denominan frágiles.

40
3.- Que significa envejecimiento?.
R.- El término envejecimiento se refiere a un cambio gradual en las propiedades de
los materiales que pueden ocurrir con el tiempo.
Estos cambios pueden suceder de manera más rápida a temperaturas elevadas.
El envejecimiento puede ser parte del proceso normal de un material, como en el
caso del curado del hormigón.
4.- Cuando se dice que un material es frágil?
R.- Se dice que un material es frágil o quebradizo cuando se rompe o se fractura
antes de presentar una deformación plástica significativa. La tiza es un material
quebradizo muy conocido.
Los materiales de mampostería, ladrillos, concreto y piedras- también son frágiles.
5.- Cuando se dice que un material es dúctil?.
R.- Se dice que un material es dúctil si puede soportar una deformación plástica
significativa antes de romperse. Un material que no es dúctil o maleable se
denomina frágil.
6.- Que es la elasticidad?
R.- La elasticidad es un modelo del comportamiento de los materiales y se basa en
la presunción (sospecha) de que el esfuerzo es una función univoca de la
deformación. Si se asume que el esfuerzo es una función lineal de la deformación,
el modelo se denomina linealmente elástico. De lo contrario se llama elástico no
lineal.
7.- Que es plasticidad?
R.- La plasticidad de un modelo del comportamiento de los materiales con base en
la presunción (sospecha) de que existe un esfuerzo de fluencia y que se puede
desarrollar una deformación plástica o permanente cuando se alcanza el esfuerzo
de fluencia. La relación entre el esfuerzo y la deformación plástica se denomina
regla de flujo
3.10 PROBLEMAS RESUELTOS DE ESFUERZO - DEFORMACIÓN
PROBLEMA 3.10.1.- A partir de la figura mostrada determinar, la deformación
máxima de la sección circular: Si el σf =2100kg/ cm2
, con un factor de seguridad de
2 y E = 2.1 x 106
kg/ cm2
.
Solución
Se conoce todos los datos para hallar la deformación, al excepción de la sección,
por lo tanto lo primero que se calculara el diámetro de la sección con la ecuación de
esfuerzo.

41
cm2
Calculo de la deformación máxima
PROBLEMA 3.10.2.- Para el sistema que se muestra a continuación. Calcular la
deformación total y el esfuerzo máximo .Considerando que A1 = 1.5 cm2
,
E1 = 1.5 x 106kg/cm2 y A2 = 4 cm2, E2 = 2.1 x 106kg/cm2.
Diagrama de esfuerzos internos de los bloques.

42
Calculo del esfuerzo máximo:
PROBLEMA 3.10.3.- Un tubo de acero se encuentra rápidamente sujeto por un
perno de aluminio y por otro de bronce, tal como se muestra en la figura. Las cargas
axiales se aplican en los puntos indicados. Calcule la deformación total del sistema,
sin que no exceda un esfuerzo de 80MPa en el aluminio, Eal=70 GPa; de 150MPa
en el acero Eac=200GPa y de 100MPa en el bronce Ebr=83 GPa.
Solución
Como no se sabe que fuerza actúan sobre cada uno de los bloques se tendrá que
realizar un diagrama de esfuerzos internos.

43
La deformación total es la suma de todas las deformaciones
PROBLEMA 3.10.4.- Una varilla de acero de sección constante 300 mm2 y una
longitud de 150m, se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta
una carga P =29kN que suspende de su extremo inferior. Si su peso propio (γ ) de
la varilla es de 9000 N/m3
y E = 200 GPa.
Calcular la deformación máxima de la varilla.
Como existe su peso propio de la varilla, no se puede aplicar la ecuación de la
deformación (δ= FL/AE), se tiene que realizar por integración.

44
PROBLEMA 3.10.5.- A partir de la figura determinar, el diámetro de la barra de
acero de sección circular: si σf = 2100 Kg / cm2
δ=L/1000 en cm con un factor de
seguridad de 2 y E = 2.1*106 Kg / cm2
PROBLEMA 3.10.6.- Halle la deformación de la barra de acero mostrada en la
figura sometido bajo la acción de las cargas dadas E = 29*106
psi
Solución: Realizando un diagrama tenemos.

45
PROBLEMA 3.10.7.- Una barra cónica de sección circular está suspendida
verticalmente de longitud de 150m., el diámetro de la base es de 20 m., el modulo
de elasticidad es de 2.1*106
Kg./cm2
. Con un peso propio de 18000Kg./m3
. ¿Calcular
el alargamiento de la barra?

46
PROBLEMA 3.10.8.- Una placa de acero delgada tiene la forma trapezoidal de
espesor de 12mm, y varia unifórmenle desde un ancho de 50mm.hasta 100mm.con
una longitud de 450mm, lo cual esta aplicada con una carga axial de 5 toneladas.
Calcular la deformación de la placa para un E=2.1*106
kg/cm2
.
PROBLEMA 3.10.9.- Para el sistema que se muestra a continuación ¿calcular la
deformación total y el esfuerzo normal máximo?

47

48
3.11 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
PROBLEMA 3.11.1.- Para el sistema que se muestra, calcular los esfuerzos
normales en las barras elásticas (E=constante)
PROBLEMA 3.11.2.- La barra representada en la figura está firmemente
empotrada en sus extremos. Determinar los esfuerzos en cada material.

49

50
PROBLEMA 3.11.3.- Barra rígida BDE se apoya en dos conectores AB y CD. El
conector AB es de aluminio de 70 GPa con 500 mm2
, el conector CD es de acero
de 200GPa con 600 mm2
, para cierta carga. Hallar la deformación en el punto E
PROBLEMA 3.11.4.- Para el sistema mostrado las barras achuradas son rígidas.
Calcular el desplazamiento vertical del punto C.

51
PROBLEMA 3.11.5.- Los conectores BC y DE son de acero (E=29*106 psi) y tienen
½ pulg. de ancho y 1/4 pulg. de espesor. Halle la fuerza en cada conector cuando
se aplica una fuerza P =600 lb al elemento rígido AF, Calcular también la
deformación en el punto A
PROBLEMA 3.11.6.- Para el sistema que se muestra, calcular el desplazamiento
del punto A. todos los módulos son iguales y las secciones también son iguales de
2 cm2 y E=2.1*106
kg/cm2
.

52
PROBLEMA 3.11.7.- Un miembro compuesto de 3 barras prismáticas es comprimido
por una carga P a cierta distancia X. Se pide calcular el valor de P y el valor de X, a
partir de la siguiente figura.

53
3.12 PROBLEMAS PROPUESTOS DE ESFUERZO - DEFORMACIÓN
3.12.1.- Una barra cónica de sección circular esta suspendida verticalmente de
longitud de 150m, el diámetro de la base es de 20mm, E = 1.5 x 106
kg/cm2
.con un
peso propio de 200000Kg/m3
.Calcular el alargamiento de la barra.
3.12.2.- Una barra prismática de longitud L, sección transversal A, se suspende
verticalmente de un extremo. Llamando M a su masa total, calcular la deformación
de la barra.
3.12.3.- Una varilla de longitud L y sección circular tiene un diámetro que varía
linealmente desde D de un extremo hasta d en el otro. Determinar el alargamiento
que le producirá una fuerza P de tensión.
3.124.- Una barra de sección circular que varía linealmente desde un diámetro “D”
en un extremo hasta otro menor “d” en el opuesto, se suspende verticalmente de su
extremo más ancho. Si la densidad del material es”ρ ”, determinar el alargamiento
debido a su peso propio. Aplicar el resultado a la deformación del alargamiento de
un sólido de forma cónica suspendido de su base.
3.12.5.- A partir de la figura mostrada determinar, la deformación máxima de la
sección circular: Si el σf =2100kg/cm2 , con un factor de seguridad de 2 y E = 2.1 x
106kg/cm2
3.12.6.- Para el sistema que se muestra a continuación. Calcular la deformación
total y el esfuerzo máximo .Considerando que A1 = 1.6 cm2
, E1 = 1.5 x 106
kg/cm2
y
A2 = 4 cm2
, E2 = 2.1 x 106
kg/cm2
.
3.127.- Un tubo de acero se encuentra rápidamente sujeto por un perno de aluminio
y por otro de bronce, tal como se muestra en la figura. Las cargas axiales se aplican
en los puntos indicados. Calcule la deformación total del sistema, sin que no exceda

54
un esfuerzo de 180MPa en el aluminio, Eal=70 GPa; de 150MPa en el acero
Eac=200GPa y
de 100MPa en el bronce Ebr=83GPa.
3.12.8.-Una varilla de acero de sección constante 300mm2
y un longitud de 120cm,
se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga de P =
30kN que suspende de su extremo inferior. Si su peso propio (γ ) de la varilla es de
90000 N/m3
y E = 200 GPa. Calcular la deformación máxima de la varilla.
3.12.9.- Calcular el esfuerzo máximo y la deformación máxima del bloque que se
muestra a continuación.
3.12.10.- Dos bloques están suspendidos como se muestra en la figura, donde A1 =
1.6 cm2
,E1= 1*106
kg/cm2
y A2=2.5 cm2
, E2= 2*106
kg/cm2
. Calcular los esfuerzos de
ambos bloques.

55
3.12.11.-Tres bloques están unidos como se muestra en la figura. Donde los
esfuerzos admisibles de trabajo son: σ1 = 120MPa, con E1= 83GPa, σ2 = 140MPa,
con E2 = 200GPa y σ3 = 80MPa, con E3 = 70GPa. Determinar la deformación total.
3.12.12.- Dos barras de acero idénticas están unidas por medio de un pasador y
soportan una carga de 50000Kg, como se muestra en la figura. Halle la sección de
las barras necesaria para que la tensión normal en ellas no sea mayor de
σf=1200kg/cm2
.Hallar también el desplazamiento vertical del punto B para E=
2.1*106
kg/cm2
.
3.12.13.- La armadura de la figura que soporta las cargas de 30KN y 70KN con un
esfuerzo de trabajo de σt=1200kg/cm2
, determinar la sección necesaria de las
barras DE y AC.
Hallar el alargamiento de la barra DC en toda su longitud de 6m. Cuyo modulo de
elasticidad es de E= 2.1*106
kg/cm2
.

56
3.12.14.- Para la barra rígida BDE se apoya en dos conectores de aluminio AB y
CD. Con 70GPa y tienen una sección de 600 mm2
, halle la mayor carga P que
puede suspenderse del punto E, si la deformación en ese punto no debe de pasar
de 0.004m.
3.12.15.- Un tornillo de acero que sujeta, mediante unas arandelas y tuerca, un tubo
o manguito de bronce. El paso del tornillo es de 0.80mm, la sección recta del tubo
de bronce es de 900 mm2
y la del tornillo de acero es de 450 mm2
. se aprieta la
tuerca hasta conseguir en el manguito de bronce un esfuerzo de compresión de
30MPa . Determinar el esfuerzo del bronce si a continuación se le da a la tuerca una
vuelta más. ¿Cuántas vueltas habrá que dar ahora en sentido contrario para reducir
tal esfuerzo a cero?
3.12.16.- Las fundiciones rígidas A y B están conectadas por dos pernos CD y GH
de acero con diámetro de “y están en contacto con los extremos de una barra de
aluminio EF con diámetros de 1.5 pulg. Cada perno tiene rosca simple con un paso
de 0.1 pulg. Y después de colocadas, las tuercas en D y H se aprietan un cuarto de
vuelta. Sabiendo que el Eac = 29*106
psi y Eal = 10.1*106
psi, halle el esfuerzo normal
en la barra.

57
3.12.17.- Una varilla está formada de tres partes distintas, como se indica en la figura,
y soporta unas fuerzas axiales de P1= 5000Kg y P2= 2000Kg. Determinar los
esfuerzos en cada material si los extremos están firmemente empotrados en unos
muros rígidos e indeformables. Para lo cual se conoce: A1 =2A2=3 A3, L1 =L2=L3,
E1=1.2*105
kg/cm2
,
E2=1.8*105kg/cm2
E3= 2.1*106
kg/cm2
y el diámetro de la barra tres es de 1cm.
3.12.18.- Una varilla está formada de tres partes distintas, como se indica en la figura,
y soporta unas fuerzas axiales de P1= 5000Kg y P2= 2000Kg. Determinar los
diámetros en cada material si los extremos están firmemente empotrados en unos
muros rígidos e indeformables. Para lo cual se conoce: A1 =2A2=3 A3, L1 =L2=L3,
E1=1.2*105kg/cm2 E2=1.8*105kg/cm2 E3= 2.1*106kg/cm2
y los esfuerzos admisibles son: σ1=600kg/cm2, σ2=800kg/cm2 y σ3=1200kg/cm2.
3.12.19.- Un miembro compuesto de tres bloques prismáticos es comprimido por una
carga P a cierta distancia X. se pide calcular el valor de dicha carga P y la distancia
X con los siguientes datos: E1=2.1*106
kg/cm2
, E2=7*105
kg/cm2
y E3= 1.4*106
kg/cm2
y los esfuerzos admisibles son: σ1=2100kg/cm2
, σ3=700kg/cm2
y σ2=1050kg/cm2
.
3.12.20.- Para la figura mostrada: Calcular el diámetro de los cables 1 y 2, para ello
se tiene que A2=2.25A1, E1=0.7 E2 y los esfuerzos admisibles son: σ1=1100kg/cm2
y
σ2=1050kg/cm2
.

58
3.12.21.-Calcular el alargamiento producido en la barra AB debido a la fuerza
centrífuga en el momento en que el esfuerzo unitario máximo de tracción es de
1000kg/cm2, E=2*106kg/cm2, en sección recta y un peso específico de 8kg/dm3.
3.12.22.- Una barra de longitud L, sección transversal de área A1 y módulo de
elasticidad E1, ha sido colocado en el interior de un tubo de igual longitud L pero de
área A2 y modulo E2 (ver la figura). ¿Cual es la deformación de la barra y del tubo
cuando se ejerce una fuerza P sobre la platina rígida del extremo, si A1=2.5A2 y
E1=1.6E2.
3.12.23.- Un bloque completamente rígido de masa M se apoya en tres varillas
situadas en un mismo plano, como indica la figura. Calcular el valor máximo de M.

59
3.12.24.- Para la figura mostrada: Calcular el diámetro de los cables 1 y 2, para ello
se tiene que A2=1.5A1, E1=0.7 E2 y los esfuerzos admisibles son: 1=1100kg/cm2
y
σ 2=1050kg/cm2.
3.12.25.- Hallar las dimensiones de los dos cables y el diámetro del pasador B, para
lo cual tiene que cumplirse las condiciones dadas a continuación. Los cables son
del mismo material.
3.12.26.- Para el sistema mostrado en la figura, determinar el alargamiento de la
articulación B. ACB=5cm2
, ECB=1.1x 106
kg/cm2
, ABA=20cm2
, EBA=2 x 106
kg/cm2
.

60
3.12.27.- Una varilla de cobre se introduce en un cilindro hueco de aluminio. La varilla
sobresale 0.0275mm, como se indica en la figura. Determinar la carga máxima P
que se puede aplicar al conjunto por intermedio de la placa de apoyo con los datos
que se especifican seguidamente.
Cobre: 12mm2
, E=12 x 105
kg/cm2
y σ =1400Kg/cm2
.
Aluminio: 20mm2
, E=7 x 105
kg/cm2
y σ =750Kg/cm2
.
3.12.28.- Una viga perfectamente rígida está articulada en un extremo y suspendida
de dos varillas de igual sección y material, pero de distinta longitud, como se indica
en la figura. Determinar la fuerza de tracción en cada varilla si W=3300Kg.
3.12.29.- Una barra de L= 45cm de longitud y de 16mm de diámetro, hecha de
material homogéneo e isotrópico, se alarga 300μm y su diámetro decrece 2.4μm al
ser sometido a una fuerza axial de 12kN. Calcular el módulo de elasticidad y la
relación del módulo de poisson del material.
3.12.30.- Tres varillas, situadas en un mismo plano, soportan conjuntamente una
fuerza de 1000Kg, como se indica en la figura. Suponiendo que antes de aplicar la

61
carga ninguna de las tres estaba ni floja, ni con tensión. Determinar las tensiones
que aparecen en cada una. Eacero=2.1 x 106
kg/cm2
y Ebronce=8.4 x 105
kg/cm2
.
3.12.31.- Cada uno de los cuatro eslabones verticales que unen los dos elementos
horizontales esta hecho de aluminio (E=70GPa) y tienen una sección uniforme
rectangular de 10 x 40mm. Para la carga mostrada, halle los desplazamientos: a)
del punto E, b) del punto F, c) del punto G.
3.12.32.- Los extremos inferiores de las barras de la figura, están al mismo nivel
antes de colgar de ellas un bloque rígido que pesa 20000Kg. Las barras de acero
tienen una sección de 6cm2 y Eacero=2.1 x 106
kg/cm2
. La barra de bronce tiene una
sección de 9cm2 y Ebronce=8.4 x 105
kg/cm2
. Determinar la tensión en las tres
barras.

62
CAPITULO IV
TORSIÓN
4.1.- INTRODUCCIÓN
El estudio de los problemas y sus aplicaciones de la torsión solo se analizara para
el caso de las vigas de sección circular.
En este capítulo se consideraran elementos sometidos a torsión, más
específicamente, se estudiaran los esfuerzos y deformaciones de sección circular,
sometidos a pares de torsión.
4.2 HIPOTESIS
Las secciones tienen que ser circulares.
Las secciones tienen que ser circulares.
El momento torsión actúa en el plano perpendicular al eje de la viga.
La sección tiene que ser constante.

63
Material homogéneo en toda su longitud
Cumple la ley de Hooke.
Las tensiones no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
4.3 ECUACION DEL CORTANTE Y DEFORMACION DEBIDA A TORSION
 *G
L
AB
tan
 tan

64
L
AB

L
r
G
*
*

 
 rdAMdAdF
A
F
t *)*(* 
  dAr
L
rG
Mt **)
**
(

  dAr
L
G
Mt *
* 2
JdAr  *2
J
L
G
Mt *
*

JG
LMt
*
*
 ángulo de torsión en radianes
J
RM
JG
LT
L
GxR t *
*
*




  Esfuerzo e torsión

65
4.4 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 4.4.1.- Calcular el ángulo de torsión total de una viga de sección
circular de diámetro 25cm, para el sistema mostrado a continuación: Si
E=2.1x106
Kg/cm2
y μ=0.3.
Solución
04
1
4
6
1
1 039.03.57*10*7797.6
)25(*
32
*
)31(2
10*1.2
300*70000
*
*


 



JG
LMt
02
2 013.0
*
*

JG
LMt

03
3 0028.0
*
*

JG
LMt


66
0
321 0232.00028.0013.0039.0    iT
PROBLEMA 4.4.2.- Calcular el ángulo de torsión total de una viga de sección
circular:
Si σf=2100Kg/cm2
, τ f=0.5σf, n=2, μ = 0.3 y E =1.8x106Kg/cm2
.
SOLUCION
cmdcmd
d
d
J
RT
763.6
*
32
2
*30000
525
*
4
maxmax
max 



67
0
1
4
6
1
1 11.2
)7(*
32
*
)31(2
10*8.1
300*20000
*
*


 


JG
LMt
0
2
4
6
2
2 7025.0
)7(*
32
*
)31(2
10*8.1
200*10000
*
*


 


JG
LMt
0
2
4
6
3
3 6334.2
)7(*
32
*
)31(2
10*8.1
250*30000
*
*


 


JG
LMt
0
321 226.16334.27025.011.2    iT
PROBLEMA 4.4.3.- Calcular el ángulo de torsión total de una viga de sección circular
de diámetro de 12cm, FZ=5000Kg: Si, μ = 0.2 y E =1.5x106
Kg/cm2
.
cmkgTcmkgTRFT z *25000050*5000* 

68
0
1
4
6
1
1 38.3
12(*
32
*
)31(2
10*5.1
300*250000
*
*


 


JG
LMt
Sentido antihorario
4.5 PROBLEMAS PROPUESTOS DE TENSIÓN CORTANTE A TORSIÓN
4.5.1.- Calcular el ángulo de torsión total de una viga de sección transversal circular
de diámetro 10cm, para el sistema mostrado a continuación: Si E=2.1x106
Kg/ cm2
y
μ=0.3.
4.5.2.- Calcular el ángulo de torsión total de una viga de sección transversal circular
de diámetro 15cm, para el sistema mostrado a continuación: Si E=1.8x106
Kg/ cm2
y
μ=0.3.

69
4.5.3.- Calcular la dimensión de una viga de sección circular, para el sistema
mostrado a continuación: Si E=2.1x106
Kg/ cm2
, θ =0.80 y μ=0.2.
4.5.4.- Calcular la dimensión de una viga de sección transversal circular, para el
sistema mostrado a continuación: Si E=2.1x106
Kg/ cm2
, θ =1.20 y μ=0.3.
4.5.5.- Calcular el ángulo de torsión total de una viga de sección transversal
circular de diámetro 10cm, para el sistema mostrado a continuación: Si
E=2.1x106
Kg/cm2
y μ=0.2.

70
4.6 PROBLEMAS RESUELTOS
4.6.1 El eje BC tiene una diámetro interior y exterior de 90 y 120 mm
respectivamente. Los ejes AB y CD son sólidos y de diámetro d. Para la carga
mostrada determine a) la resistencia al cortante máxima y mínima en el eje BC, b)
el dímetro requerido de los ejes AB y CD si la resistencia a la torsión para este eje
es de 65 MPa.

71
Por la ausencia de cargas axiales se concluye que en torsión no aparecen
esfuerzos normales sino únicamente tangenciales.

72
Considérese un elemento diferencial de una barra torsionada. El ángulo que giran
sus extremos es d. Además
De acuerdo a la ley de Hooke
Expresión que muestra que los esfuerzos tangenciales varían linealmente con el
radio, alcanzando su valor máximo en el borde de la sección:
De la estática

73
4.7.- DEFORMACIONES
El Angulo de la rotación relativa de las secciones extremas de una barra circular
sujeta a torsión se calcula con 4.5
4.7.1 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES PARA BARRAS CIRCULARES
HUECAS
Las ecuaciones 4.7 y 4.10 son válidas para barras circulares huecas con la inercia
igual a :
La sección hueca es más conveniente que la sección llena ya que siempre se
requiere menor área para resistir el mismo esfuerzo. No debemos confundir área
con diámetro, ya que para igual resistencia el diámetro de la sección maciza será
menor que el exterior de la hueca. Lo que importa es que aún con menor diámetro,
la sección maciza es siempre más pesada y por ende más cara. Lo que concluimos
recientemente se debe a que los esfuerzos desarrollados en la parte central de la
sección maciza son muy pequeños y no tienen un aporte muy significativo, por lo
que para resistir a la torsión las secciones más convenientes son las huecas.

74
4.7.2 SECCIÓN RECTANGULAR
La solución exacta pertenece a la Teoría de la Elasticidad. En la figura se muestran
los esfuerzos tangenciales donde los máximos tienen lugar en el centro del lado
mayor.
Los esfuerzos cortantes máximos y el ángulo específico de torsión pueden
calcularse mediante las fórmulas 4.17, 4.18 y 4.19 respectivamente. Los
coeficientes ,  y  son funciones de la relación de lados a/b y se obtienen de la
tabla 4.1.
Fig. 4.7 Distribución de Esfuerzos en una Barra de sección Rectangular

75
4.8 PROBLEMAS HIPERESTATICOS
Al igual que en la tracción, en torsión hay problemas que no pueden ser resueltos
con las ecuaciones de equilibrio ya que el número de incógnitas es superior al de
las ecuaciones. Estos se conocen como problemas hiperestáticos y para su solución
se deben incluir ecuaciones adicionales de deformaciones.
4.8.1. Una pieza cilíndrica de Acero de diámetro  = 3 cm y largo L = 100 cm está
sometida a una carga de 1000 Kg.-cm. Tomando Sy´ = 960 Kg/cm², se pide: a)
Las tensiones máximas b) El coeficiente de seguridad y c) Las deformadas total y
unitaria longitudinal y transversal
4.8.2. Un tambor cuyo diámetro es 30 cm está montado sobre un eje y debe levantar
una carga de 1000 Kg Calcular el diámetro del eje. Tomar Sy= 900 Kg/cm2
Solución:
El momento Mt = 1000(30)/2 = 15000 Kg cm

76
4.8.3. Un motor de 5 Hp esta acoplado por medio de una transmisión a un eje que
gira a 30 rpm. Tomando un límite de fluencia de S`y = 900 Kg/ cm2
y Fs= 1,5 se
pide calcular el diámetro del eje.
Solución:
a potencia Pot (CV) = Mt (Kg m) N(rad/s)/ 75
N(rad/s) = (30 rpm) (2π rad / rev) (min/60 s) = 3,14 rad/s
El momento Mt = 5 (75)/3,14 = 119,36 Kg m = 11942,59 Kg cm
cm
Sy
M
d t
39.4
16


Se adopta d = 5 cm
4.8.4. En el sistema de la figura, se pide el ángulo de deformación del extremo
libre respecto al empotramiento. El material es acero y las dimensiones están en
cm
Solución:
Mt = F r = 100(3) = 300 Kg cm
1 = Mt L/(GIo) = 300(120)/(6.67 x 105
xπx34
/32) = 0.00678 rad
2 = Mt L/(GIo) = 300(40)/(6.67 x 105
xπx14
/32) = 0.182 rad
tot = 1 + 2 = 0.189 rad
4.8.5. Halla el diámetro “d” y la masa “m” de un cilindro sólido que tenga la misma
resistencia que otro cilindro del mismo material pero hueco con un diámetro
externo “D” y un espesor “e”

77
Solución
a) Los esfuerzos de corte deben ser menores a la fluencia
En el cilindro sólido
(i)
En el cilindro hueco
(ii)
Ya que ambos tienen la misma carga y el mismo material. Igualando i y ii
La masa del cilindro hueco es
(iii)
La masa del cilindro hueco es
(iv)
La masa del cilindro sólido

78
(v)
4.8.6. Halla el diámetro “d” y la masa “m” de un cilindro sólido que tenga la misma
resistencia que otro cilindro del mismo material pero hueco con un diámetro
externo D = 5 cm y un espesor e = 0,3 cm.
Solución
Este resultado indica que el diámetro del cilindro sólido es menor que el del hueco
pero que la pieza hueca solo pesa el 41,64 % de la pieza sólida.
4.8.7. En el sistema de la figura se calcular
a) El esfuerzo cortante máximo
b) La deformada total

79
Solución:
El diámetro d(y) = - (30/1000) y + 90
y = 0 d = 90
y = 1000 d = 60
a) El esfuerzo máximo se presenta en la sección con menor área (y=1000)
b) La deformada
4.8.8. En el sistema de la figura se pide calcular
a) El esfuerzo cortante máximo
b) La deformada total
Solución:
Las ecuaciones de los diámetros externo e interno son :
D(y) = - (30/1000) y + 90
d(y) = (30/1000) y + 15
La inercia
a) El esfuerzo máximo se presenta en la menor inercia y = 1000

80
b) La deformada
= 0,4145 /G
4.8.9. La pieza de la figura tiene una forma semiesférica truncada, con un diámetro
en la base de 60 cm y una altura de 20 cm. Para un momento torsor T aplicado en
su parte superior, se pide la deformación angular.
Solución:
Definiendo un sistema de coordenadas en la base. La ecuación del círculo es:
El diámetro

81
4.8.10. La pieza de la figura esta formada por dos semiesferas truncadas con
diámetros de 60 y 30 cm en sus bases. Para un momento torsor T aplicado en la
sección común, se pide hallar los momentos de reacción en A y B
Solución:
M = 0 Ta + Tb = T
Sistema hiperestático con una ecuación y dos incógnitas. La ec de deformadas
t = 1+ 2 = 0
Con el sistema de coordenadas en la base, las ec de los círculos y diámetros son:
Los diámetros se igualan cuando

82
De donde Ta = 0,678 T
Tb = 0,322 T
4.8.11. Determinar la deformación total que se produce en la barra de la figura que
consta de dos tramos, una cilíndrica y otra cónica, sometida a la acción de un
momento torsor T en su extremo libre. Tomar D = 10 cm y l = 50 cm.
Solución:

83
4.8.12. Hallar una expresión para determinar la deformación que sufre una barra
con sección variable según una función cuadrática, como se ve en la figura.
Solución:
La variación del diámetro en función de x es cuadrática

84
4.8.13. Determinar la deformación angular de la pieza de sección circular,
sometida a las cargas de torsión mostradas en la figura. Tomar D = 10 cm; d = 3
cm; l = 150 cm; Mt = 7000 kg·m; G = 7.648x105 kg/cm2

85
Solución:
4.8.14. Calcular la deformación angular del eje circular de la figura. Tomar D = 20
cm; l = 50 cm Gac = 7.64x105 kg/cm2
; Gal = 2.65x105 kg/cm2
; Gcu =
4.1x105kg/cm2
; Mt = 2000 Kg·cm
Solución:
4.8.15. Hallar la deformación de la pieza troncocónica y cilíndrica hueca mostrada
en la figura. Tomar D = 20cm, d = 5 cm, Mt = 8000 Kg·cm, G = 7.6x105 Kg/cm2
.

86
4.8.16. Hallar la deformación angular del extremo derecho de la pieza mostrada en
la figura. Evaluar el resultado cuando d = D/2 ;

87
4.8.17. Hallar la deformación angular del sistema. Tomar H=3R/4 y R=5 cm
Solución :
Definiendo un sistema de coordenadas en la base de la esfera
Cuando
4.8.18. Hallar las reacciones en los extremos empotrados del eje de sección
circular mostrado en la figura. Tomar m0=10 kg·cm/cm, a = 100 cm y D = 2 cm.

88
Solución :
M = 0  Ma + Mb = mo a
El sistema es hiperestático con una ecuación y dos incógnitas. De las deformadas
Entonces Ma = 0.8547 moa
Mb = 0.1452 moa
4.8.19. Hallar la longitud que debe tener un eje macizo de acero de d=13 mm de
diámetro para que sus extremos giren 90º uno respecto del otro. No se debe
rebasar un esfuerzo cortante permisible de Sy’ = 713.8 kg/cm2
, y G = 8.1573x105
kg/cm2
.
Solución :
Las ecuaciones de deformación y esfuerzo
De ambas

89
l = 116.68 m
4.8.20. La barra de la figura tiene sección transversal circular sólida en el tramo AB,
y sección transversal circular hueca en el tramo BC. Obtener la expresión de la
relación a/L tal que los momentos de reacción en los apoyos sean iguales.
Solución:
M = 0  Ma + Mb = 2Ma = 2Mb = Mt
(i)
El sistema es hiperestático. La ecuación de deformación es :
(ii)
Resolviendo
De (i) y (ii)
4.8.21. La barra circular de la figura está empotrada en sus extremos. Sobre ella
actúa un Par de Torsión distribuido q(x) en toda su longitud con intensidad cero en
A y qo en B. Se piden los momentos de reacción Ma y Mb.

90
Solución:
 M = 0 Ma + Mb = Mt
El sistema es hiperestático. La ecuación de deformación es :
Resolviendo
4.8.22. Una pieza está conformada por dos materiales, la exterior de acero y la
interior de latón. Si los diámetros externo e interno son 75 y 60 mm respectivamente
y asumiendo los esfuerzos permisibles como σa = 82 Mpa y σl = 50 Mpa en el
acero y latón respectivamente, se pide hallar el momento máximo de torsión que
puede aplicarse a la pieza. (Ga=80 Gpa Gl= 36 Gpa)

91
Los esfuerzos permisibles par cada barra son:
Remplazando Mt = 4.749 x 103 Nm para el acero
Mt = 1.363 x 104 Nm para el latón
Luego Mt = 4.749 x 103 Nm

92
4.9 PROBLEMAS PROPUESTOS
4.9.1. Hallar el diámetro de una pieza cilíndrica de Acero con un largo de 100 cm
para que pueda soportar un momento de 1000 Kg cm. Tomar Sy´= 960 Kg/cm2
, y
fs = 2.
Hallar además la deformación.
4.9.2. Un tambor de una máquina de elevación tiene un diámetro de 30 cm y se
encuentra montado sobre un eje con un diámetro de 3 cm con Sy`= 900 Kg/cm2
.
Se pide hallar el peso máximo que puede levantar.
4.9.3. Un eje gira a 120 rpm y esta acoplado a un motor de 9 Hp por medio de una
transmisión. Si el material tiene una fluencia de S`y = 900 Kg/cm2
. Para fs = 2 se
pide calcular el diámetro del eje.
4.9.4. Hallar el ángulo de torsión del extremo libre respecto al extremo fijo del
sistema de la figura. El material es acero y las dimensiones están en cm.
]
4.9.5. La pieza de la figura tiene forma cónica truncada. Se pide hallar la
deformada total y el esfuerzo máximo

93
4.9.6. Hallar la deformada total y el esfuerzo máximo en el sistema de la figura
4.9.9. Una pieza tiene la forma de cascaron semiesférica truncada de diámetro 60
cm, altura 20 cm y espesor 3 cm. Hallar la deformada angular para un momento
torsor aplicado en su parte superior de T.

94
4.9.10. Hallar las reacciones en A y B en el sistema de la figura
4.9.11. Se pide hallar las reacciones en las paredes para el sistema de la figura
4.9.12. En el sistema de la figura se pide hallar las reacciones en las paredes. Las
dimensiones están en cm

95
4.9.13. Para el sistema de la figura, se pide determinar las reacciones en los
apoyos.
Tomar D = 10 cm, l = 50 cm, E = 2.1x106 Kg/cm2
y P=2000 Kg
4.9.14. Para el sistema de la figura se pide hallar las reacciones. Tomar D=10cm;
d=3cm; l = 150 cm; Mt = 7000 kg·m; G = 7.648x105kg/cm2
4.9.15. Hallar las reacciones del sistema de la figura, considerar para cada caso
los valores indicados a continuación. D = 10 cm; d = 3 cm; l = 150 cm; Mt =
7000kg·m; G = 7.648x105kg/cm2

96
4.9.16. Hallar las reacciones del sistema de la figura, considerar para cada caso
los valores indicados a continuación. D = 10 cm; d = 3 cm; l = 150 cm; Mt =
7000kg·m; G = 7.648x105 kg/cm2
4.9.17. Hallar la deformación de la pieza troncocónica hueca mostrada en la figura.
Tomar D = 20 cm, d = 5 cm, Mt = 8000 kg·cm y G = 7.6x105 kg/cm2
4.9.18. Hallar las reacciones en los extremos del sistema de la figura.

97
4.9.19. Hallar la deformación angular del extremo derecho de la pieza mostrada en
la figura. Evaluar el resultado cuando d = D/2 y e = D/9
4.9.20. Hallar la deformación angular de la figura. Tomar H = 3/4R, R = 15 cm y
d = 3
4.9.21. Hallar las reacciones en los extremos empotrados del bloque de sección
circular mostrado en la figura. Tomar m0=10 kg·cm / cm, a = 100 cm y D = 2 cm.
4.9.22. Hallar la longitud que debe tener una barra hueca de acero de D=1.5 cm y
d=0.5 cm de diámetros para que sus extremos giren 30º uno respecto del otro. No
se debe rebasar un esfuerzo cortante permisible de 713.8 kg/cm2, y G =
8.1573x105 kg/cm2
.
4.9.23. La barra cónica de la figura tiene sección transversal circular. Obtener la
expresión de la relación a/L tal que los momentos de reacción en los apoyos sean
iguales.

98
4.9.24. La barra circular. de la figura, está empotrada en ambos extremos. Sobre
ella actúa un par de Torsión distribuido q(x) que actúa a lo largo de su longitud, y
varía de intensidad desde cero en A hasta qo en B parabólicamente. Calcular los
momentos de reacción Ma y Mb.
4.9.25. Un cono macizo está constituida por dos materiales, uno exterior, de acero
y otro interior cilíndrico de latón, como se muestra en la figura. Si se supone que los
esfuerzos permisibles son σa = 82 Mpa y σl = 50 Mpa en el acero y latón
respectivamente, determinar el momento máximo de torsión permisible que puede
aplicarse a la barra. (Ga = 80 Gpa Gl = 36 Gpa) D = 15 cm

99
CAPITULO V
FLEXIÓN
5.1.- INTRODUCCIÓN
Un elemento está sometido a cargas de flexión cuando soporta fuerzas y
momentos externos con dirección perpendicular a la de su eje centroidal
Los elementos sometidos a flexión se denominan vigas y los puentes, pasarelas y
losas son ejemplos reales de este tipo de solicitación Para la validez de las
ecuaciones y resultados de este capítulo se asume la veracidad de las siguientes
condiciones:
1.- Los elementos son rectos
2.- Los elementos tienen secciones transversales uniformes
3.- Las dimensiones de la sección transversal son pequeños respecto a la longitud
4.- Las secciones transversales permanecen planas y perpendiculares al eje axial
5.- Las deformaciones son pequeñas comparadas con las dimensiones de la viga
6.- Los esfuerzos no sobrepasan los límites de fluencia.
7.- El módulo de Young es el mismo para tracción y compresión.
8.- Las cargas se aplican en el eje de simetría de la sección transversal de la viga
9.- Las cargas y las reacciones en los apoyos actúan perpendicularmente al eje de
la viga.
10.- Las vigas son relativamente largas y angostas respecto a su peralte
5.2.- CARGAS PUNTUALES Y DISTRIBUIDAS
Las cargas pueden clasificarse como puntuales y distribuidas
Fig 5.1. Carga puntual Fig 5.2. Carga distribuida

100
5.2.1.- Cargas Puntuales
Una carga es puntual cuando actúan en un punto. Estas cargas son ideales sin
embargo las cargas aplicadas en áreas pequeñas pueden suponerse como
puntuales.
Así, las reacciones en las llantas de los vehículos automotores; las fuerzas que
soportan los miembros de las estructuras metálicas, las fuerzas que soportan los
cables se pueden idealizar como puntuales
5.2.2.- Cargas Distribuidas
Una carga es distribuida cuando actúan en áreas no muy pequeñas. La fuerza del
viento, el peso, la presión que los líquidos ejercen sobre superficies sumergidas,
etc., son ejemplos de cargas distribuidas.
5.2.3.-.- Cargas equivalentes
Las cargas distribuidas que soportan las vigas, frecuentemente deben ser
reemplazadas por otras puntuales denominadas equivalentes de modo que
produzcan idénticos efectos en los extremos de la viga.
Considérese una viga que soporta el “peso” de un material distribuido
Fig. 5.3 carga sobre un elemento diferencial
Integrando
El momento en el extremo izquierdo originado por la carga distribuida sobre un
elemento diferencial es :
Ya que los momentos en los extremos de la viga originados por la carga puntual
equivalente y por la carga distribuida deben ser iguales.
_

101
De 5.2 y 5.5 se concluye que :
- La magnitud de la carga puntual equivalente es el área de la carga distribuida
- La ubicación de la carga puntual equivalente es el centro de gravedad de la
carga distribuida
5.3.- REACCIONES EN APOYOS
5.3.1.- Tipos de Apoyos
Los apoyos sobre los que se apoyan las vigas se clasifican en : a) Apoyo móvil, b)
Apoyo fijo y c) Empotramiento
a) Apoyo Móvil.- Es un apoyo que restringe el movimiento vertical pero no el
horizontal ni el de rotación. Este tipo de apoyo ejerce solo reacciones verticales. Un
rodillo es un ejemplo de este tipo de apoyo.
b) Apoyo Fijo.- Es un apoyo que restringe los movimientos vertical y horizontal pero
no el de rotación. Este tipo de apoyo ejerce reacciones verticales y horizontales.
Una bisagra es un ejemplo de un apoyo fijo.
c) Empotramiento.- Es un apoyo que restringe los movimientos vertical, horizontal y
de rotación. El apoyo ejerce reacciones verticales, horizontales y momentos.
5.3.2.- Tipos de Vigas
Las vigas pueden clasificarse en función a sus apoyos en:
a) Simplemente apoyada.- Cuando la viga descansa sobre un apoyo móvil y otro
fijo.
b) Simplemente empotrada.- Es aquella que tiene uno de sus extremos
empotrado.
c) Con apoyos múltiples.- Las vigas que tenga mas de un apoyo fijo y otro móvil o
un empotramiento, tiene apoyos múltiples y su cálculo es hiperestático.

102
5.3.3.- Cálculo de reacciones
Las reacciones (fuerzas y momentos) que aparecen en los apoyos sobre los que
descansa una viga, se calculan con las ecuaciones de la estática.
(5.6
Para el cálculo de las reacciones las cargas distribuidas previamente deben ser
reemplazadas por sus cargas puntuales equivalentes. Las vigas con múltiples
apoyos son hiperestáticas y serán analizadas posteriormente.
Veamos el caso de una viga simple apoyada
de donde
de donde se
obtienen
Veamos el caso de una viga con apoyo empotrado

103
Aplicando el equilibrio de fuerzas en el eje horizontal( Fx =0)
Aplicando el equilibrio de fuerzas en el eje vertical( Fy =0)
Momento respecto a A de la carga triangular inferior
Momento respecto a A de la carga triangular superior se obtiene de la misma
forma, luego tomando momentos respecto al punto A de todas Ls cargas , se
obtiene :
5.4.- MOMENTO FLECTOR Y FUERZA DE CORTE
Considere una viga en voladizo AB cargada por una fuerza P en su extremo libre
(figura 5.4 a). Cortamos a través de la viga en una sección transversal mn ubicada
a una distancia x del extremo libre y aislamos la parte izquierda de la viga como un
diagrama de cuerpo libre (figura 5.4 b). El diagrama de cuerpo libre se mantiene en
equilibrio por la fuerza P y por los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal
cortada. Estos esfuerzos representan la acción de la parte derecha de la viga sobre
la parte izquierda. En este punto de nuestro análisis no conocemos la distribución

104
de los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal; todo lo que sabemos es
que la resultante de dichos esfuerzos debe mantener el equilibrio del cuerpo libre.
Fig. 5.4 a Viga empotrada
Fig. 5.4 b. Diagrama de cuerpo libre IZ. Fig. 5.4 c. Diagrama de cuerpo libre DER.
De la estática sabemos que la resultante de los esfuerzos que actúan sobre la
sección transversal se puede reducir a una fuerza cortante V y a un momento
flexionante M (figura 5.4 b)
Sumando fuerzas en la dirección vertical y también tomando momentos con
respecto a la sección cortada, obtenemos
En la figura mostrada se ilustra el efecto de las fuerzas internas y externas y el
signo del cortante V y Momento Flexionante M.

105
Determinación de V y M
Fuerzas internas Fuerzas externas Fuerzas externas
(Cortante y Momento flector positivo) Cortante positivo Momento flector positivo
5.5 PROBLEMAS RESUELTOS FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Ejemplo 1. Para la viga con carga concentrada en el punto medio hallar los
diagramas de fuerza cortante y momento flector.
Se hallan primero las reacciones en los apoyos
Se establecen dos secciones de corte en D( 0 X  L/2) y E (L/2  X  L)
Para cada sección se dibuja el diagrama de cuerpo libre, se hallan las fuerzas y
momentos internos en cada cuerpo libre, luego se dibuja los diagramas de fuerza
cortante y momento flector para cada sección de corte

106
Diagrama de fuerza cortante
Diagrama de momento flector
El área positiva en el diagrama de momento flector es igual al área negativa. El
cortante es cero en el punto x= L/2 como se observa en la Fig. (d) y el valor de esta
área(+ o -) representa el valor del momento máximo en este caso en el punto medio(
(1/2)L x (1/2)P = (¼)PL).
Ejemplo 2. Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga
con carga distribuida de valor w y en voladizo.
Como la carga es uniforme a lo largo de toda la
viga, se toma una sola sección en C y en el
diagrama de cuerpo libre se hallan los valores de
las reacciones, el cortante y el momento V y M
según las siguientes ecuaciones

107
Ejemplo 3. Para la viga mostrada determinar los diagramas de fuerza cortante y
momento flector así como determinar el máximo esfuerzo normal debido a la flexión
Se determinan las reacciones en B y D, luego se
hacen cortes en las secciones AB, BC, y CD, para
luego graficar los respectivos diagramas que se
muestran en las figuras adjuntas
+Fy=0 -20 kN – V1 =0 V1= -20 kN
+M1=0 -20 kN(0 m) +M1 =0 M1= 0
+Fy=0 -20 kN – V1 =0 V1= -20 kN
+M2=0 -20 kN(2.5 m) +M2 =0 M2=-50 kN-m,
así mismo se procede con las demás secciones
Luego se grafica cada ecuación tanto para V como
para M

108
Ejemplo 4. La estructura mostrada consiste de una viga AB de acero rolado con
sección transversal W 10 x 112 y dos miembros soldados juntos y a la viga.
Determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga y carga
mostradas. Determinar el esfuerzo normal justo a la izquierda y derecha del punto
D.

109
Carga equivalente de la viga. La carga de 10-kip se reemplaza por un sistema de
fuerza equivalente y una cupla en D. La reacción en B se determina considerando
la viga como un cuerpo libre.
a. Diagramas de fuerza cortante y momento flector.
Se toman las secciones de A a C, de C a D y de D a B, obteniéndose en
cada caso V y M
De A a C ( 0  x  8 pies )
+Fy=0 -3x – V =0 V= 3x
+M1=0 -3x(1/2x)+M =0 M=- 1.5 x2
De C a D (8  x  11 pies).
+Fy=0 -24 – V =0 V=- 24
+M2=0 -24(x-4) +M =0 M= 96- 24 x
De D a B (11  x  16 pies)
V = -34 kips M= 226 – 34x kip-pie

110
b. Maximo esfuerzo normal a la izquierda y derecha del punto D
De tablas se determina el módulo de sección S ( I/c) para un perfil W 10 x
112 acero rolado, S = 5126 pulg3
alrededor del eje X-X.
A la izquierda de D. M = 168 kip-pie = 2016 kip-pulg, luego
𝝈 =
𝑴
𝑺
= 𝟐𝟎𝟏𝟔 𝒌𝒊𝒑
𝒑𝒖𝒍𝒈
𝟏𝟐𝟔 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟑
= 16 ksi σm = 16.00 ksi
A la derecha de D. M = 148 kip-pie = 1776 kip-pulg, luego
𝝈 =
𝑴
𝑺
= 𝟏𝟕𝟕𝟔 𝒌𝒊𝒑
𝒑𝒖𝒍𝒈
𝟏𝟐𝟔 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟑
= 14.10 ksi σm = 14.10 ksi
P5.1 a P5.6 . Para las figures mostradas en los problemas indicados determinar :
a) los diagramas de fuerza cortante y momento flector y b) Determinar las
ecuaciones de fuerza cortante y momento flector respectivamente

111
P5.7 a P5.10 Para las figures mostradas, trazar los diagramas de fuerza cortante y
momento flector y determinar los valores máximos de fuerza cortante y del momento
flector asi como su localización respecto al extremo izquierdo.
P5.11 a P5.16. Para los problemas indicados hallar el esfuerzo normal máximo
debido a la flexión.
Fig P5.7 Fig P5.8
Fig P5.9
Fig P5.10
Fig P5.11 Fig P5.12

112
Fig P5.14Fig P5.13
Fig P5.15
Fig P5.16

113
CAPITULO 6
DISEÑO DE VIGAS POR FLEXION
6.1 RELACIONES ENTRE LA CARGA, FUERZA CORTANTE Y EL MOMENTO
FLECTOR
Con objeto de obtener las relaciones, consideremos un elemento de una viga
cortado en dos secciones transversales que están separadas una distancia dx
(figura 6.1). La carga que actúa sobre la superficie superior del elemento puede ser
una carga distribuida, una carga concentrada o un par, como se muestra en las
figuras 6.1a, b y c, respectivamente. Las convenciones de signos para estas
cargas son las siguientes: las cargas distribuidas y las concentradas son positivas
cuando actúan hacia abajo sobre la viga y negativas cuando actúan hacia arriba.
Un par que actúa como una carga sobre una viga es positivo cuando lo hace en
sentido contrario al de las manecillas del reloj y negativo en el sentido de las
manecillas del reloj. Si se utilizan otras convenciones de signos, pueden ocurrir
cambios en los signos de los términos que aparecen en las ecuaciones deducidas
en esta sección.
Cargas distribuidas ( Fig. 6.1 a)
El primer tipo de carga es una carga distribuida con intensidad q, como se muestra
en la figura 6.1a. Primero consideraremos su relación con la fuerza cortante y luego
su relación con el momento flexionante.
Fuerza cortante. El equilibrio de fuerzas en la dirección vertical (las fuerzas hacia
arriba son positivas) da
+y = 0 V –q dx – (V + dV ) =0 dV/dx=-q
Se puede integrar la ecuación anterior para hallar el cortante entre dos secciones
de la viga A y B
 
B
A
B
A
dxqdV
Fig. 6.1

114
Obteniéndose: 
B
A
AB dxqVV = -(el área de diagrama de carga entre A y B)
En otras palabras, el cambio en la fuerza cortante entre dos puntos a lo largo del
eje de la viga es igual al negativo de la carga total hacia abajo entre estos puntos.
El área del diagrama de carga puede ser positiva (si q actúa hacia abajo) o negativa
(si q actúa hacia arriba).
Momento flexionante. Ahora consideremos el equilibrio de momentos del elemento
de la viga que se muestra en la figura 6.1a. Sumando momentos con respecto a un
eje en el lado izquierdo del elemento (el eje es perpendicular al plano de la figura) y
tomando los momentos en sentido contrario al de las manecillas del reloj como
positivos, obtenemos:
  0M −𝑀 − 𝑞 𝑑𝑥 (
𝑑𝑥
2
) − ( 𝑉 + 𝑑𝑉) 𝑑𝑥 + 𝑀 + 𝑑𝑀 = 0
Al desechar los productos de los términos diferenciales se obtiene:
V
dx
dM

Integrando la ecuación anterior se obtiene:

B
A
AB dxVMM , el lado izquierdo representa el Momento entre los puntos A y B y
el lado derecho el área del diagrama de Fuerzas cortantes entre dichos puntos.
6.2 CALCULO DE VIGAS PRISMATICAS SOMETIDAS A FLEXION
El esfuerzo normal máximo σmax para una sección transversal de la viga cuyo
momento de inercia es I debido a la flexión está dado por:







S
M
I
cM maxmax
max
Ejemplo 6.1
Determinar las dimensiones de la sección transversal para la viga con carga
mostrada en la figura si el esfuerzo normal permisible es de 24 Ksi:

115
1. El esfuerzo permisible es dado como  ksiadm 24
2. La fuerza cortante es constante e igual a 15 ksi. El momento de flexión
máximo se da en el punto B i es igual a 15 x 8 = 120 ksi-pie = 1440 ksi.pulg
3. El módulo de sección mínimo permisible se da mediante la siguiente relación:






 3max
min lg0.60
24
.1440
pu
ksi
inkipM
S
adm
De la tabla de propiedades para aceros rolados (apéndice C), se halla un
grupo de secciones que se aproximen a la calculada, luego se selecciona la
que tiene menor peso.
Forma Modulo de sección(pulg3
)
W21 x 44 81.6
W18 x 50 88.9
W16 x 40 64.7
W14 x 43 62.6
W12 x 50 64.2
W10 x 54 60.0
La mas economica es el perfil W 16 x 40 dado que pesa solamente 40 lb/pie.
Ejemplo 6.2. para la viga de seccion rectangular mostrada determinar el vaolr de h
para que soporte las cargas indicadas.
Se hallan las reacciones, luego el diagrama de fuerza cortante conforme mostrado
en la figura:

116
Luego la altura requerida de la viga será de h= 14.55 pulg.
Ejemplo 6.3 Para la viga mostrada, determinar el perfil de la sección transversal
para soportar la cargas indicadas si el esfuerzo admisible del acero es 160 MPa:

117
P6.1 al P6.4. Diseñar la sección transversal de las vigas indicadas si el esfuerzo
normal permisible es de 12 Mpa.
Reacciones
Diagrama de fuerza cortante
, resolviendo x=
2.60 m
Momento Máximo
Cuando V=0 ocurre el Mmax, y es el valor del
área triangular en el diagrama de fuerza
cortante
ME= 2.6 x 52 /2 = 67.5 kN.m
Modulo de sección Smin permisible
36max
min 5.422105.422
160
.5.67
mx
Mpa
mkNM
S
adm
 

Selección del perfil
De la tabla apéndice C,se selecciona un grupo
de perfiles W
Forma S, mm3
W 410x38.8 629
W 360x32.9 475
W 310x38.7 547
W 250x44.8 531
W 200x46.1 451
Seleccionamos el W 360 x 32.9 por ser el
menos pesado

118
P6.5 y P6.6. Diseñar la sección transversal de las vigas indicadas si el esfuerzo
normal permisible es de 1750 psi.
P6.7 y P6.8 Conociendo que la resistencia del acero usado es de 160 MPa,
seleccione el perfil tipo S mas económico para que soporte las cargas mostradas.
P6.1
P6.6
P6.5
P6.4
P6.3
P6.2

119
CAPITULO VII
7.1 DEFLEXION EN VIGAS
Una viga sujeta a una carga de flexión, origina una curva elástica y su radio de
curvatura de dicha curva guarda la siguiente relación con el Momento de flexión, y
la constante de rigidez EI.
A partir de la ecuación diferencial de la deflexión y respecto a x se puede hallar por
doble integración el valor de la deflexión en cualquier punto a lo largo de la viga. Las
constantes de integración se hallan donde la deflexión y el ángulo son cero.
Para una carga puntual se necesita dos juegos de ecuaciones para determinar las
constantes de integración
P6.7
P6.8

120
Existen varios métodos para determinar la deflexión, además del método analítico
de doble integración, se tiene el método de superposición, el método del área de
momentos y otros.
Ejemplo 7.1. Considérese una viga cantiléver según se muestra en la figura,
analizar la curvatura de la viga debido a la carga.
EI
xM )(1


, determinamos M(x) = -Px luego obtenemos
EI
xP )(1


Cuando x = 0 la curvatura se hace 0 y A tiende a infinito, para x= L, la curvatura
vale –PL/(EI) que se da en el punto B.
Ejemplo 7.2.Para el caso de cargas puntuales como se muestra en la figura,
analizar la curvatura de la viga.

121
Determinamos primero las reacciones en los apoyos A y C, al trazar los diagramas
de momento flector y la curvatura, estos serán 0 en los extremos de la viga y
también en el punto E para X=4m
Entre A y E el momento de flexión es positivo y la viga es cóncava hacia arriba.
Entre E y D, el momento de flexión es negativo y la viga es cóncava hacia abajo.
También se puede observar que la curvatura de la viga será máxima en el punto C,
donde el momento es máximo.
Para diseñar una viga además de las consideraciones expuestas, se necesita
información más precisa de la deflexión y el ángulo de la curva elástica.
Ecuación de la curva elástica
De la ecuación diferencial
EI
xM
dx
yd )(
2
2
 , encontramos derivando una vez
1C
EI
Mdx
dx
dy
x
o
  donde C1 es una constante de integración.
Denotamos a x como el ángulo de la tangente de la elástica en el punto Q y como
es muy pequeño,se tiene: xx
dx
dy
  tan
Inregrando una vez mas se tiene: 2
0
1 CdxC
EI
Mdx
y
x x
o






  

122
Las cosntantes C1 y C2 se determinan de las condiciones de frontera o contorno.
Ejemplo 7.3. Para la viga en voladizo( o cantiléver) mostrada en la figura, hallar la
ecuación de la elástica y la deflexión en el punto A.
Usando el diagrama de cuerpo libre se halla M= -Px, luego reemplazando en la
ecuación diferencial de la elástica se tiene:
EI
Px
dx
yd
2
2
, integrando en x se tiene 1
2
2
1
CPx
dx
dy
EI  , se observa que en x=L se
tiene y=0, dy/dx= 0 de donde se obtiene C1= ½(PL2
), reemplazando en la ecuación
obtenida se tiene:
22
2
1
2
1
PLPx
dx
dy
EI  , integrando ambos miembros se tiene:
2
23
2
1
6
1
CxPLPxEIy  , en x=L, y=0, lo que nos da C2=-1/3(PL3
),luego la ecuación
de la elástica queda : 323
3
1
2
1
6
1
PLxPLPxEIy  o
 



 323323
23
63
1
2
1
6
11
LxLx
EI
P
PLxPLPx
EI
y
La deflexión y el ángulo en A, se halla para x=0, o sea
yA= -PL3
/3 y 2
2
1
PL
EIdx
dy
A 

123
Ejemplo 7.4 Una viga AB con carga distribuida uniforme, llega una carga w por pie
de longitud, determinar la ecuación de la curva elástica y la deflexión máxima.
Se halla las reacciones y en el diagrama de cuerpo libre de una sección,se halla la
ecuación del momento de flexión: 2
2
1
2
1
wxwLxM  , reemplazando en la ecuación
diferencial e integrando dos veces se halla:
)2(
24
334
xLLxx
EI
w
EIy  , luego en X= L/2, se halla la deformación máxima
Y=(5wL4
)/(384EI)
7.2 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
En la figura se muestra una viga empotrada en un extremo y apoyada en el otro
extremo, lo que da como resultado dos reacciones y un momento, es decir tres
variables y solamente se dispone de dos ecuaciones.
Fig. 7.2
En este caso estamos frente a una situación de indeterminación, ya que el número
de ecuaciones es menor que el número de incógnitas y la solución estática no es
posible. Para el caso mostrado la ecuación que falta se obtiene de la deflexión.
Ejemplo 7.5 Para la viga mostrada Fg. 7.2, determinar las reacciones
Ecuaciones de equilibrio de la fig 7.2b.

124
Ecuación de la curva elástica
Aplicando las condiciones de contorno
Ejemplo 7.6.la viga ABC es de acero y soporta una carga concentrada P en C. Para
la porción de la viga AB a) derive la ecuación de la curva elástica b) determine la
deflexión máxima y c) evalúe ymax para los siguientes datos:
W 14 x 68 I= 722 pulg4 E= 29 x 106
P= 50 kips L= 15 pies = 180 pulg. A= 4 pies = 48 pulg.

125
Del diagrama de cuerpo libre de ABC se hallan las reacciones en A y en B.
Del diagrama de cuerpo libre de la porción AD, se halla
Ecuación diferencial de la curva elástica
Integrando dos veces se halla:
Calculo de las constantes
y
a) Ecuacion de la curva elástica
b) Maxima deflexión en de la porción AB

126
Para los datos el valor de ymax es :
Ejemplo 7.7. Para la viga con carga distribuida variable, determinar a) la
reacción en A, b) derive la ecuación de la curva elástica y c) determine el
ángulo en A.
Solución
En el diagrama de cuerpo libre de la porción x de la viga, se halla M
Ecuacion diferencial de la curva elástica
Por integraciones sucesivas hallamos:

127
Condiciones de frontera
a) Reacción en A
b) Ecuación de la curva elástica
c) Angulo en A
En X= 0

128
P7.1 a P7.4 .En los siguientes problemas determine a) La ecuación de la
curva elástica para la viga cantiléver AB, b) la deflexión en el extremo libre
y c) el ángulo en el extremo libre
P7.5 a P7.6. Para las vigas mostradas, determine a) la ecuación de la
curva elástica de la porción AB y el ángulo en B.
P7.7 Conociendo que la sección transversal de la viga AB es un perfil S
200x34, que P= 60 kN L= 2 m, E=200 GPa, hallar a) el ángulo en A y b)
la deflexión en B.
P7.8 Conociendo que la sección transversal de la viga AB es un perfil W
10x33, que wo= 3 kips/pie, L=12 pies, E= 29 x 106
psi, hallar a) el ángulo
en A y b) la deflexión en B.
Fig P7.1
Fig P7.4Fig P7.3
Fig P7.2
Fig P7.5 Fig P7.6

129
P7.9 a P7.12 Para los problemas indicados, determinar la reacción en el
apoyo libre.
P7.13 a P7.16 Para los problemas indicados, determinar la reacción en el
apoyo libre y trazar los diagramas de momento flector para la carga
mostrada.
Fig P7.7 Fig P7.8

130
7.4 METODO DE SUPERPOSICION
Cuando se tiene más de dos tipos de cargas que actúan sobre una viga y si es
hiperestática, el método de superposición consiste en hallar en forma aislada la
deflexión de una viga para cada una de las cargas, luego se halla la resultante de
las dos deflexiones sumando o restando según sea el caso. Par esto es necesario
hacer uso de tablas para casos típicos
Ejemplo 7. 8. Para la viga mostrada determine las reacciones
Para este caso se puede considerar primero la carga distribuida en voladizo, que
genera una deflexión y1, luego la reacción en B como una carga puntual que actúa
en el extremo B y genera una deflexión y1
De la tabla A del apéndice D casos 2 y 1, se halla

131
Se obtiene:
Luego del diagrama de cuerpo libre se obtiene:
SOLUCION ALTERNATIVA
En lugar de considerar la reacción en B como una carga hacia arriba, se considera
el Momento MA
Mediante tablas, apéndice D Fgs. 6 y 7, se halla
Resolviendo para MA

132
, a partir de aquí se hallan las reacciones en A
y en B.
Ejemplo 7.9. Para la carga mostrada, encuentre el angulo y la deflexión en el
punto B.
Para cada una de las cargas I y II, de tablas apéndice D, se halla:
En la porción CB
Angulo en el punto B
Deflexion en B
Para la carga I
Para la carga II

133
Ejemplo 7.10 Para la viga mostrada con carga distribuida uniforme y tres apoyos,
a) hallar las reacciones en los apoyos y b) el ángulo en A.
Solución
Aplicando el principio de superposición:
Para cada carga, la deflexión en el punto B se halla usando tablas del apéndice D.
Carga distribuida:
para x = 2/3 L,
Reacción redundante
A= 2/3L y b= 1/3 L
Reacciones en soportes

134
Por estatica:
c) Angulo en A
Para carga distribuida:
Para carga redudndante:
Luego:
Usando el método de superposición resolver los siguientes problemas
P7.17 al P7.20. Para la viga cantiléver y carga mostrada hallar el ángulo y
la deflexión en el extremo libre final.
P7.21 al P7.24. Para la viga cantiléver y carga mostrada a) determine la
deflexión en C y b) el ángulo en el extremo A.

135
P7.25. Para la viga cantiléver y carga mostrada determine la deflexión y el
ángulo en C. Use E= 200 GPa.
P7.26. Para la viga cantiléver y carga mostrada determine la deflexión y el
ángulo en A. Use E= 29 x 106 psi.
7.6 METODO DEL AREA DE MOMENTOS
Dada la viga mostrada en la figura

136
PRIMER TEOREMA:
El ángulo entre las tangentes a la curva elástica en los puntos C y D,
representa el área del diagrama de momentos flectores entre C y D dividido
por EI.

137
SEGUNDO TEOREMA. La desviación de la tangente de un punto C
respecto a la tangente que pasa por D, es igual al Momento del área de
Momentos entre C y D, respecto a C.
T C/D = ( área entre C y D) x1
La desviación de la tangente de un punto D respecto a la tangente que
pasa por C, es igual al Momento del área de Momentos entre D y C,
respecto a D, todo dividido por EI.
TD/C = ( área entre C y D) x2
Ejemplo 7.11 Para la viga cantiléver y carga mostrada hallar el ángulo y la
deflexión en B. Sabiendo que EI = 10 MN.m2
Usando el primer teorema
Area de A a B = A1 + A2

138
7.7 DIAGRAMA DE MOMENTOS DE FLEXION POR PARTES
El ángulo D/C y la desviación tangencial tD/C es simplificado si el efecto de
cada carga es evaluada en forma independiente.
Un diagrama (M/EI) separado se traza para cada carga y el ángulo
 D/C se obtiene por la suma algebraica de las aéreas bajo los diversos
diagramas. Igual se procede con la desviación tangencial tD/C se obtiene por
la suma algebraica de los primeros momentos de esas áreas alrededor del
eje vertical a través de D. Las áreas de los momentos son áreas
rectangulares, triangulares, parabólicas y su centroide se indica en la figura.
Como A = 0, entonces B = 4.5 x 10-3
rad.
Usando el segundo teorema:

139
Fig. Centroide áreas
Ejemplo 7.12. Determinar el ángulo y la deflexión en el punto B, trazando el
diagrama de momentos por partes.
Aplicando el primer teorema del área de momento y sabiendo que A = 0
21/ AAABB 

140
)3)(1015(
2
1
)3)(109( 1313
mmxmmx 

radxxx 333
105.4105.221027 

Aplicando el segundo teorema del área de momento alrededor del
punto B y tenemos:
Ejemplo 7.13. Para la viga y carga mostrada determinar el angulo en el
apoyo libre y la máxima deflexión.
Se observa que la tangente en el centro (C) es horizontal y servirá como
línea de referencia para hallar ymax = tA/C . Como C = 0,se tendrá:
ACAAACAC o //  
Del diagrama de cuerpo libre para la viga se halla RA = RB= wa

141
Por el primer teorema de momentos
Por el segundo teorema de momentos
Luego
Ejemplo 7.14. Las barras AD y DB se han soldado para formar una viga
cantiléver ADB. En la porción AD el la constante de rigidez es EI y en la
porción DB es 2EI, hallar para la carga mostrada el ángulo y la deflexión en
el punto A.
Se obtiene el diagrama M/EI, para cada tramo e la viga
Se elige como tangente de referencia la que pasa por B, ya
que B = 0, yB = 0
BAAABA ty //  

142
Mediante el primer teorema de momentos:
Deflexión en A. Por el segundo teorema de momentos:
Ejemplo 7.15. Determinar el ángulo y la deflexión en E, para la viga con la
carga mostrada.
Diagrama (M/EI).Del diagrama de cuerpo libre se determinan las
reacciones, así como los diagramas de fuerza cortante y momento
flector/EI.
Tangente de referencia
Como la carga es simétrica, la tangente en C es horizontal, por lo que C = 0
Angulo en A
Dividiendo el área del diagrama M/EI en
tres triángulos, se tiene:

143
Deflexión en E
Angulo en E
Por el diagram M/EI y el primer
teorema de momentos se tiene:

144
Usando el método del área de momentos, resolver los siguientes problemas
P7.27 al P7.30. Para la viga cantiléver mostrada, determine a) el ángulo en
el extremo libre y b) la deflexión en el extremo libre
P7.31 a P7.32. Para las vigas mostradas hallar el angulo y la deflexión en
a) punto B y b) en elpunto C.
P7.33 Para la viga mostrada hallar el ángulo y la deflexión en el punto A.
Usar E=200 GPa.
P7.34. Para la viga cantiléver mostrada, hallar el ángulo y la deflexión en el
punto C.

145
7.9 APLICACIÓN DEL TEOREMA DE MOMENTOS A VIGAS CON
CARGAS ASIMETRICAS
Según la viga mostrada
Ejemplo 7. 16. Para la viga con craga mostrada, determinar el angulo y la
deflexion en D.

146
Tangente de referencia en el apoyo A.
Por el 2do. teorema del area de momentos:
Angulo en D. Por elprimer teorema del area de momentos
Deflexión en D

147
7.10 AREA DE MOMENTOS EN VIGAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS
Ejemplo 7.17. Para la viga con carga mostrada, determinar las reacciones
en los soportes.
Ejemplo 7.18 Para la viga con carga mostrada, determine a) la deflexión en
A y b) evalúe yA para los siguientes datos:

148
Diagrama M/EI
Tangente de referencia en B
Usando el 2do. Teorema del área de
momentos
Deflexión en A
Evaluación de yA

149
Ejemplo 7.19 para la viga y carga mostrada, determine la deflexión máxima
y su localización. Use E= 200GPa.
SOLUCION
Reacciones
Diagrama M/EI
Tangente de referencia
Se usa como referencia la tangente que pasa por A
Por el 2do. Teorema del área de momentos se
tiene:
Angulo en A
Deflexion maxima
La deflexión máxima ocurre en K, donde el angula
e la viga es 0.

150
Ejemplo 7.20. Para la viga con carga uniforme como se muestra,
determinar la reacción en B.
Solución
RB se elige como carga redundante y se considera por separado la carga
distribuida y la carga redundante. Se elige la tangente en A como tangente
de referencia.
Se traza el diagrama de M/EI para cada carga y se determina la desviación
de C y B respecto a A

151
Carga distribuida
Carga redundante
Carga combinada
Reacción en B

152
P7.35 al P7.38. Para la viga y carga mostrada, determinar a) La deflexión
en D y b) el ángulo en A.
P7.39. Para la viga y carga mostrada determinar a) el ángulo en el punto A
y b)la deflexión en E. Usar E= 29 x 106
psi
P7.40. Para la viga y carga mostrada, determinar a) el ángulo en B y b) la
deflexión en C.
Fig. P7.40
Fig. P7.39

153
P7.41 a P7.46. Para la viga y carga mostrada determinar la reacción en el
apoyo de rodillo.
Fig. P7.41
Fig. P7.42
Fig. P7.43
Fig. P7.44
Fig. P7.45 Fig. P7.46
Los ejemplos incluyendo gráficos y figuras del capítulo 5, 6 y 7 han sido obtenidos del libro
Mechanical of Materials porFerdinand Beer y otros (2012)

154
CAPITULO VIII
VIGAS CONTINUAS
8.1 Deducción de la ecuación de los tres momentos
El diagrama de momentos flexionantes en cada tramo de la viga se resuelve
por partes en el diagrama que producen las cargas existentes sobre el tramo
, suponiendo que el tramo estuviera simplemente apoyado en sus extremos,
Carga en el
Tramo 1
Carga en el
Tramo 2
V1 V-2
M1
M2
V2
V-3
M2 M3L1 L2
V2
V-3V1 V-2
L1 L2
M2
M1
R1
R1
M2 M3
R2 R2
. .
a1 b1 a2 b2
M1 M3
M2 M2
L1 L2

155
mas el diagrama trapezoidal producido por los pares aplicados en los
extremos de la misma viga
2
22
1
11
2321211
66
)(2
L
bA
L
aA
LMLLMLM


8.2 Problemas resueltos
Ejemplo 8.1 Calcular los momentos en los apoyos en la viga continua de la
figura mostrada. Se supone que los apoyos son rigidos, o que bajo la accion
de las cargas todos experimentan el mismo asentamiento.
SOLUCION
Aplicando la ecuación de los tres momentos se tiene:
2
22
1
11
2321211
66
)(2
L
bA
L
aA
LMLLMLM


El momento flexionante en el apoyo 1, producido por la carga a la izquierda
de R1 es M1 = -200x1.5= -300N.m, mientras que en el apoyo R3 el momento
M3 es nulo. El signo menos de M1 se debe mantener al sustituir su valor en
la ecuación de los tres momentos.
Los términos de las áreas de momentos de la ecuación se obtienen de tablas.
La carga en el tramo 1 es la del caso 3. Por lo tanto,
233
1
11
.2880)3)(800(
60
8
60
86
mNwL
L
aA


222
2
22
2
22
.70505175185)2(
4
)(
6
mNdL
L
wd
bL
L
Pb
L
bA


Sustituyendo estos valores en la ecuación se obtiene:
-300(3)+2M2(3+4)+2880+7050=0
800N/m
R1
200N200N
400N/m
1.5 m
R2
1m
2 m 1m
3 m 4 m
R3

156
De donde se obtiene
M2 = -900/3= -645 N.m
Ejemplo 8.2 Determinar los momentos en los poyos en la viga continua
mostrada en la figura.
Se aplica la ecuación de los tres momentos en los tramos 1 y 2, luego en
los tramos 2 y 3.
2
22
1
11
2321211
66
)(2
L
bA
L
aA
LMLLMLM


3
33
2
22
3432322
66
)(2
L
bA
L
aA
LMLLMLM


Los momentos flexionantes M1 y M4 son nulos, quedando solamente en
función de M2 y M3, los cuales después de reemplazar los datos, se
obtiene:
M2 = -445 N.m y M3 = -610 N.m.
P8.1. Determinar los momentos de continuidad en los apoyos, luego
determinar las reacciones así como trazar los diagramas de fuerza cortante
y momento flector para las figuras mostradas.
2m
1m
800N/m
R2
700N
600N
400N/m
3 m
R3
1 m
3 m 4 m
R4
R1
1 m
900N
R2
1200 N/m
600N/m
2 m
R3
1 m
3 m
R1
1 m

157
9. REFERENCIAS BILIOGRAFICAS
Beer y otros. Mechanical of Materials (2012) .Mc Graw Hill Companies 6ta
Edición.
Beer y otros. Mecánica de Materiales (2009) .Mc Graw Hill Companies 5ta
Edición 791 p.
Hibbeler (2011) . Mecánica de Materiales(2011) .Pearson Educación,
México 880 p.
Pytel y Singer (2008). Resistencia de Materiales. Editorial Mexicana. Oxford
Alfaomega Grupo Editor.
Mayory . Resistencia de Materiales Aplicada Editorial Yucatan Hermosa
La Paz Bolivia 305 p.
1200N/m
R2
800N 700N
3 m
R3
1 m1
m
1 m
R1
2 m
600N
2 m

158
ANEXO 1. TABLAS DE PERFILES DE ACERO

159
ANEXO 2. PERFILES TIPO W SISTEMA METRICO(SI )

160
ANEXO 3. PERFILES TIPO S SISTEMA INGLES

161
AEXO 4. PERFILES TIPO W SISTEMA METRICO

162
ANEXO 5. DEFLEXIONES Y PENDIENTE EN VIGAS EN VOLADIZO Y
APOYADAS

163
ANEXO 6. DEFLEXIONES Y PENDIENTE EN VIGAS EN VOLADIZO

164
(COTINUACION)

165
(COTINUACION)

166
ANEXO 7. DEFLEXIONES Y PENDIENTE EN VIGAS SIMPLES

167

168

169
ANEXO 8. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES SISTEMA INGLES
ANEXO 9. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES SISTEMA
INTERNACIONAL

170
ANEXO 10. COEFICIENTES DE DILATACION DE LOS MATERIALES

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