Este documento presenta un resumen del Teorema de Castigliano para la determinación de deflexiones en estructuras. Incluye una breve biografía de Alberto Castigliano, quien estableció este teorema. Explica el Teorema de Castigliano general y su aplicación para armaduras. Finalmente, propone tres ejercicios de aplicación con cálculos de deflexión utilizando este método.

1. CUARTO SEMESTRE “A"
INTEGRANTES:
RIVAS BAZURTO KELVIN
ROSALES TORRES ROMMEL
Salmerón López AndrésDOCENTE:ING.TONIOREALPE TOMALÁ
FECHA: 26 Denoviembredel 2013
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
RESISTENCIA DE MATERIALES 2
TRABAJO GRUPAL #1
Tema: TEOREMA DE CASTIGLIANO
UNIVERSIDADLAICAELOYALFARODEMANABI

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INDICE.
1.0. INTRODUCCIÓN………………..………………………...…………3
2.0. OBJETIVOS………………………………………….......................…4
3.0. METODOLOGIA………………………………………………..........5
3.0. BIOGRAFÍA DE ALBERTO CASTIGLIANO……..………………...6
4.0. TEOREMA DE CASTIGLIANO…………………..................………7
4.1. TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA
ARMADURAS…………………..……………………………………...…9
5.0. EJERCICIOS PROPUESTOS…………....……….……………11
6.0. CONCLUSIONES…………………………………………..14
7.0. BIBLIOGRAFIA……………………………………………..15

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1. INTRODUCCIÓN
La estructura es el conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir las cargas
hasta las cimentaciones, donde serán absorbidas por el terreno.
Para ello, las estructuras se encuentran constituidas por una serie de barras enlazadas
entre sí.
Las vigas son los principales elementos estructurales, la cual ofrece resistencia a la
deformación; con exactitud a la flexión.
Existen muchos métodos de conservación de energía, los cuales sirven para el cálculo
de las deflexiones de una viga; el primer método de Castigliano es uno de ellos, es
conocido como el más exacto para estas operaciones, ya que primero calcula el trabajo
realizado por la fuerza cortante que aplica la cargas en dicha viga, y por último calcula
lo que se desea en realidad: cuán deformable es el material q vamos a utilizar en la
fabricación de esta.
Los teoremas y procedimientos relacionados con la energía de deformación ocupan una
posición central en todo cálculo de estructuras. En este trabajo se a intentará determinar
la deformación de una viga, utilizando los teoremas de Castigliano.
Pues calcular el desplazamiento de un cuerpo, sólo se aplica a cuerpos de temperatura
constante, de material con comportamiento elástico lineal; es decir nos ayuda a calcular
las deflexiones producidas en una viga a causa de una determinada carga que debe
soportar y por ende nos ayuda a elegir el mejor material para la construcción de estás
según su resistencia y para que propósito la necesitamos.

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2. OBJETIVOS GENERAL
Estudiar y analizar el Método de Castigliano para determinar la deflexión o la pendiente
en un punto determinado de una estructura.
2.1. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Investigar los dos teoremas propuestos en el Método de Castigliano para el
cálculo de deflexión y pendiente en una viga, armadura o un marco.
 Identificar cuando podemos utilizar los teoremas de Castigliano para el cálculo
la pendiente y la deflexión de una estructura.
 Aplicar estos conocimientos mediante ejercicios que vinculen este tipo de
cálculo en la deformación de una estructura y comparando que los resultados
sean iguales a los demás métodos estudiados.

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3.0 METODOLOGIA
La manera en la que se llevará a cabo la presente investigación será utilizando
la metodología analítica-sintética, ya que de acuerdo con el tema referido
sobre el Método de Castigliano, estudiaremos el tema en cada una de sus
partes para comprenderlas en forma individual y luego la integramos para
aplicarla en los ejercicios que nos proponemos.
En atención a esta modalidad de investigación, y de acuerdo con la
investigación propuesta se introducirán tres fases en el estudio, a fin de cumplir
con los objetivos establecidos.
En la primera fase, investigaremos el autor de este método, consultaremos el
Método de Castigliano y sus diferentes teoremas para la determinación de la
deflexión y pendiente en la deformación de una estructura.
En la segunda fase de la investigación identificaremos cuando podemos aplicar
este método, porque en el estudio de estructuras encontraremos en varias
ocasiones diferentes tipos de vigas como las determinadas y las
indeterminadas en las cuales tendrán procedimientos específicos a cada una
de ellas.
Por última fase, con todos estos conocimientos adquiridos podremos aplicarlos
a los ejercicios propuestos en los diferentes libros de Resistencia de los
Materiales que encontremos a nuestra disposición.

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3. BIOGRAFÍA DE CARLO ALBERTO CASTIGLIANO.
Carlo Alberto Castigliano (9 de noviembre de
1847, Asti - 25 de octubre de 1884, Milán ) fue un
italiano matemático y físico conocido por el
método de Castigliano para la determinación de los
desplazamientos en un elástico-lineal del sistema
sobre la base de las derivadas parciales de energía
de deformación .
Alberto Castigliano se trasladó desde la región de
su nacimiento, Piamonte en el noroeste de Italia,
para el Instituto Técnico de Terni (en Umbría ) en
1866. Después de cuatro años en Terni ,
Castigliano se trasladó al norte de nuevo, esta vez
para convertirse en un estudiante de la universidad
de Wilkes. Después de tres años de estudio en
Wilkes escribió una disertación en 1873 titulado
ElasticiIntornoaisistemi por la que es famoso. En su tesis parece un teorema que ahora
lleva el nombre de Castigliano. Esto se afirma que:
La derivada parcial de la energía de deformación, considerada como una función de las
fuerzas aplicadas que actúan sobre una estructura linealmente elástico, con respecto a
una de estas fuerzas, es igual al desplazamiento en la dirección de la fuerza de su punto
de aplicación”.
Después de graduarse de la universidad Wilkes, Castigliano era empleado de los
ferrocarriles del norte de Italia. Se dirigió a la oficina responsable de la obra,
mantenimiento y servicio y trabajó allí hasta su muerte a una edad temprana.1
1http://en.wikipedia.org/wiki/Carlo_Alberto_Castigliano

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4. TEOREMADE CASTIGLIANO
“La componente de desplazamiento del punto de aplicación de una acción sobre una
estructura en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera
derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto a
la acción aplicada”.2
Este es el teorema de Castigliano, llamado así en honor al ingeniero Italiano Alberto
Castigliano (1847-1884), quien lo estableció.
Si un cuerpo homogéneo, isotopo y elásticoestá sujeto a la acción de un sistema
cualquiera de fuerzas exteriores que lo mantiene en equilibrio, el trabajo de deformación
almacenado en él es función del sistema de cargas:
𝑤 = 𝑤( 𝐹𝑖, 𝑀𝑖)
Además, supondremos que los apoyos son fijos y que la función w es diferenciable. El
incremento del trabajo puede entonces s escribirse en la forma:
∆𝑤 =
𝜎𝑊
𝜎𝐹𝑖
∆𝐹𝑖 +
𝜎𝑊
𝜎𝑀𝑖
∆Mi + a√∆𝐹𝑖
2
+ ∆𝑀𝐼
2
En donde:
𝑎 → 0. Si {
∆𝐹𝑖
∆𝑀𝑖
} → 0
Cuando sobre el cuerpo solamente actúa la fuerza ∆𝐹𝑖, el trabajo efectuado es:
∆𝑊 =
𝜎𝑊
𝜎𝐹𝑖
∆𝐹𝑖 + 𝑎∆𝐹𝑖
Si aplicamos sobre el cuerpo una fuerza ∆𝐹𝑖, se produce una deformación ∆𝛿𝑖 y un
trabajo:
𝑊 =
1
2
∆𝐹𝑖∆𝛿𝑖
Siempre que la carga ∆𝐹𝑖 se aplique gradualmente. Si una vez efectuado este trabajo se
carga al cuerpo con el sistema Fi que desarrolla un trabajo Wi y produce una
deformación 𝛿𝑖 en dirección de la fuerza aplicada- el trabajo de deformación en el
cuerpo es:
2Recuperado en “Teoremas Energéticos Fundamentales al Análisis Estructural”, pág. 8

8. 8
𝑊 =
1
2
∆𝐹𝑖∆𝛿𝑖 + ∆𝐹𝑖 𝛿𝑖 + 𝑊𝑖 (3.1)
Por tanto, el incremento del trabajo vale:
∆𝑤 =
1
2
∆𝐹𝑖∆𝛿𝑖 + ∆𝐹𝑖 𝛿𝑖 (3.2)
Sustituyendo el valor de la ecuación (3.2) en la ecuación (3.1) queda:
𝜎𝑊
𝜎𝐹𝑖
∆𝐹𝑖 + 𝑎∆𝐹𝑖 =
1
2
∆𝐹𝑖∆𝛿𝑖 + ∆𝐹𝑖 𝛿𝑖
Dividiendo entre ∆𝐹𝑖:
𝜎𝑊
𝜎𝐹𝑖
+ 𝑎 =
1
2
∆𝛿𝑖 + 𝛿𝑖
Tomando límite cuando ∆𝐹𝑖 → 0, queda:
𝜎𝑊
𝜎𝐹𝑖
= 𝛿𝑖
Ya que:
lim 𝑎 = 0ylim ∆𝛿𝑖 = 0
∆𝐹𝐼 → 0 ∆𝐹𝑖 → 0
Podemos, entonces enunciar el primer teorema de castigliano:
“la derivada del trabajo de deformación con respecto a una fuerza Fi cualquiera, mide
la deformación 𝛿𝑖 que experimenta el cuerpo en el punto de aplicación de dicha
fuerza.”
Considerando ahora que el cuerpo en estudio solamente actúa el sistema ∆𝑀𝑖, siendo el
trabajo función continúa y diferencial, se cumple:
∆𝑤 =
∆𝑊
∆𝑀𝑖
∆𝑀𝑖 + 𝑎∆𝑀𝑖

9. 9
Al aplicar el par ∆𝑀𝑖, gradualmente, por la ley de clapeyron:
∆𝑤 =
1
2
∆𝑀𝑖∅𝑖
Igualando ambos incrementemos de trabajo:
𝜎𝑊
𝜎𝑀𝑖
∆𝑀𝑖 + 𝑎∆𝑀𝑖 =
1
2
∆𝑀𝑖∅𝑖
Dividiendo entre ∆𝑀𝑖, y tomando limites cuando ∆𝑀𝑖, → 0
𝜎𝑊
𝜎𝑀𝑖
= ∅𝑖
Esta ecuación corresponde al segundo teorema de castigliano, que dice:
“la derivada del trabajo de deformación con respecto a un par ∆𝑀𝑖,cualquiera, mide el
ángulo de rotación producido por dicho par en el punto de su aplicación”.3
4.1. TEOREMADE CASTIGLIANO PARA ARMADURAS
La energía de deformación para un miembro de una armadura esta dada por la ecuación
𝑈 =
𝑁²𝐿
2𝐴𝐸
Sustituyendo esta ecuación de la ecuación:∆𝑖 =
𝛿𝑈𝑖
𝛿𝑃𝑖
y omitiendo el subíndice (i) tenemos
𝑈 =
𝛿
𝛿𝑃
= ∑
𝑁²𝐿
2𝐴𝐸
Es generalmente más fácil efectuar la diferenciación antes de sumar. En el caso general,
L, A, E son contantes para en miembro dado y por tanto puede escribirse:
∆= ∑𝑁 (
𝛿𝑁
𝛿𝑃
)
𝐿
𝐴𝐸
∆= desplazamiento externo del nudo de la armadura.
P= fuerza externa aplicada al nudo de la armadura en la dirección de la ∆ buscada.
N= fuerza interna en un miembro causada por las fuerzas P y cargas sobre la armadura
L= longitud de un miembro.
A= área de la sección transversal de un miembro.
3Ing. Alberto Martínez Castillo.Análisisy Diseño de Estructuras Tomo 1. Resistencia deMateriales.
Alfaomega. México

10. 10
E= módulo de elasticidad de un miembro.
La ecuación es similar a la usada en el Método del Trabajo Vertical:
∆= ∑𝑛
𝑁𝐿
𝐴𝐸
Excepto que se desplaza por
𝛿𝑁
𝛿𝑃
. Nótese que para determinar esta derivada parcial es
necesario tratar a P como una variable (no como una cantidad numérica especifica) y
además, cada fuerza de barra N debe expresarse como función de P. Por esto, el cálculo
de
𝛿𝑁
𝛿𝑃
requiere en general algo más de trabajo que el requerido para calcular cada fuerza
n determinada.4
4 Russell C.Hibbeler. AnalilisdeEstructuras.3ra edición.Unidad 9.Pág. 784

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5. EJERCICIOS
Ejemplo 1
Calcular la máxima deformación de una viga simplemente apoyada con una carga
uniformemente distribuida
Se ha colocado una carga imaginaria Q en el centro de la viga, que es el punto de
máxima deformación. Considerando sólo la parte izquierda, el momento es:
La energía de deformación para la viga entera es el doble de la correspondiente a la
mitad de la viga.
La deformación en el centro es:
Puesto que Q es imaginaria podemos ahora igualarla a cero.5
5http://www.eumed.net/libros-gratis/ciencia/2013/14/teorema-castigliano.html

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Ejemplo 2
Calcular el desplazamiento en el extremo libre B de la viga envoladizo.

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6
6 Carlos Alberto Riveros Jerez (2008) Análisis Estructural Teorema de Castigliano. Departamento de
Ingeniería Sanitaria y Ambiental Facultad de Ingeniería

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Ejemplo 3
Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con un momento aplicado en B. Nos
planteamos calcular el desplazamiento vertical de C (punto medio de AB). En tal caso:
Donde F es una fuerza infinitesimal aplicada en C, en la dirección en que se quiere calcular
el desplazamiento. Así tendremos:

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6.0. CONCLUSIONES
1. El teorema de Castigliano está diseñado para aplicarlo ev vigas que están
solicitadas por más de una carga puntual en donde utilizando la derivada parcial de
la energía de deformación se pueden calcular las deflexiones y los ángulos de giro.
2. También se concluye que el teorema de Castigliano se utiliza para calcular la
deformación de armaduras en donde la carga P no es considerada como una carga
numérica sino como una variable.
3. Este teorema tiene también un parecido al método del trabajo virtual.
4. El método de Castigliano, con sus dos teoremas, nos sirve para el cálculo de
deflexiones y pendientes en cualquier punto de una viga.
5. Este método, con sus dos teoremas, nos sirve para el cálculo de deflexiones y
pendientes en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.

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7.0. BIBLIOGRAFIA
1. http://en.wikipedia.org/wiki/Carlo_Alberto_Castigliano
2. Carlos Alberto Riveros Jerez (2008) Análisis Estructural Teorema de
Castigliano. Departamento de Ingeniería Sanitaria y Ambiental Facultad de
Ingeniería
3. Ing. Alberto Martínez Castillo. Análisis y Diseño de Estructuras Tomo 1.
Resistencia de Materiales. Alfaomega. México
4. http://www.eumed.net/libros-gratis/ciencia/2013/14/teorema-
castigliano.html
5. Teoremas Energéticos Fundamentales al Análisis Estructural”, pág. 8
6. Russell C. Hibbeler. Analilis de Estructuras. 3ra edición. Unidad 9. Pág. 784