El documento define el álgebra de Boole como una estructura algebraica compuesta por un conjunto de elementos B y dos operadores binarios, + y ., que satisfacen seis postulados. El álgebra de Boole bivalente o de conmutación se aplica a circuitos biestables y tiene dos valores posibles, 0 y 1. Difiere del álgebra ordinaria en que carece de leyes asociativas e inversos y la ley distributiva es válida de forma distinta.

1. DEFINICIONES LÓGICAS
El álgebra de Boole (como cualquier otro sistema matemático deductivo) puede
ser definida por un conjunto de elementos, un conjunto de operadores, un
número de axiomas o postulados.
Un conjunto de elementos es una colección de objetos que tienen una
propiedad común.
Si S es un conjunto y x y y son objetos ciertos, entonces:
- x ∈ S: x es un miembro del conjunto S
- y ∉ S: y No es un miembro del conjunto S
Los postulados más comúnmente usados para formular estructuras algebraicas
son:
1. Conjunto cerrado: Un conjunto S es cerrado con respecto a un operador
binario, si para cada par de elementos de S, el operador binario especifica
una regla para obtener un elemento único de S.
Un conjunto cerrado es un conjunto de valores lógicos que, cuando se opera
mediante una función lógica específica, produce un resultado que también
está contenido en ese conjunto. Es decir, un conjunto de valores lógicos es
cerrado bajo una operación si al aplicar esa operación a cualquiera de los
valores en el conjunto produce otro valor que aún está en el conjunto.
- Por ejemplo:
o Considere el conjunto {0,1} de valores lógicos (falso y verdadero) y la
operación de suma lógica (OR). Este conjunto es cerrado bajo la
operación OR porque cualquier combinación de valores en el
conjunto (0 OR 0, 0 OR 1, 1 OR 0, 1 OR 1) produce un resultado que
también está en el conjunto (0, 1, 1, 1). (Compruebe con la tabla del
operador OR)
o Considere el conjunto N= {1,2,3,4,5….}
▪ Si a=2, b=3
▪ a+b=c entonces c=5
▪ El conjunto N es cerrado con respecto al operador +, porque
c ∈ N
▪ Si a=2, b=3
▪ a – b = c entonces c=-1
▪ El conjunto N no es cerrado con respecto al operador -,
porque c ∉ N
2. Ley asociativa. Se dice que un operador binario * en un conjunto S es
asociativo si:
o (x*y)*z= x*(y*z); para toda x,y,z ∈ S
3. Ley conmutativa. Se dice que un operador binario * en un conjunto S es
conmutativo si:
o x*y= y*x; para toda x, y ∈ S
4. Elemento de identidad. Se dice que un conjunto S tiene un elemento de
identidad con respecto a la operación binaria * en S si existe un elemento
e ∈ S con la propiedad:
o e*x = x*e = x ; para toda x ∈ S

2. Ejemplo: El elemento 0 es un elemento de identidad con respecto a la
operación + en el conjunto de números enteros I ={….,-3,-2.-1,0,1,2,3,….} ya
que:
X+0 = 0+x = x; para toda x ∈ I
El conjunto de número naturales N no tiene elemento de identidad ya que
el 0 es excluido del mismo
5. Inverso. Se dice que un conjunto S, que tiene un elemento de identidad e
con respecto a un operador binario *, tiene un inverso si para cada x ∈ S
existe un elemento y ∈ S tal que:
x*y = e
Ejemplo: En el conjunto de números enteros I = {….,-3,-2.-1,0,1,2,3,….} con
e=0, el inverso del elemento a es (-a) ya que a+(- a) = 0
6. Ley distributiva. Si * y . son dos operadores binarios en un conjunto S, se
dice que * es distributivo con respecto a . si:
x * (y . z) =(x*y) . (x * z)
Los operadores y postulados tienen los siguientes significados:
- El operador binario + define la suma
- La identidad aditiva es cero
- El inverso aditivo define la sustracción
- El operador binario . define la multiplicación
- La identidad multiplicativa es 1
- El inverso multiplicativo de a =1/a define la división, es decir, a.1/a=1
- La única ley distributiva aplicable es la de . sobre +:
a . (b+c)= (a . b) + (a . c)
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DEL ALGEBRA BOOLEANA
El Álgebra de Boole de dos valores llamada álgebra de conmutación en la cual
se demuestra que las propiedades de los circuitos de conmutación eléctricas
biestables pueden ser representadas por este tipo de álgebra. (también llamada
algebra bivalente).
El álgebra de Boole es una estructura algebraica definida para un conjunto de
elementos B juntamente con dos operadores binarios + y . , de tal forma que se
satisfagan los siguientes postulados de Edward Vermilye Huntington:

3. Al comparar el álgebra de Boole bivalente o de conmutación con la aritmética
y el álgebra ordinaria (el de los números reales) se notan las siguientes
diferencias:
1. Los postulados de Huntington no incluyen la ley asociativa.
2. La ley distributiva de + sobre . , es decir, x + (y . z) = (x+y) . (x+z) es válida
para el álgebra de Boole bivalente, pero no para el álgebra ordinaria
3. EI álgebra de Boole no tiene inversos aditivos o multiplicativos y por tanto
no hay operaciones de sustracción o división.
4. El postulado 5 define un operador llamado complemento el cual no está
disponible en el álgebra ordinaria.
5. EI álgebra ordinaria trata con los números reales, los cuales constituyen un
conjunto infinito de elementos. Para el álgebra de Boole de dos valores el
conjunto de elementos de B está definido como un conjunto de
solamente dos elementos, 0 y 1.
La selección de los símbolos + y . es intencional con el fin de facilitar las
manipulaciones con álgebra de Boole bivalente o de conmutación y poder
diferenciar con el álgebra ordinaria.
Es importante darse cuenta de que, para tener una álgebra de Boole bivalente
o de conmutación se debe demostrar:
1. Los elementos del conjunto B
2. Las reglas de operación de los dos operadores binarios (+ , .)
3. Que el conjunto de elementos B = {0,1}, juntamente con los dos operadores,
satisfaga los seis postulados de Edward Vermilye Huntington.
Entonces nuestro interés en este tema N°2 es la aplicación del Álgebra de Boole
a los circuitos con compuertas.