Este documento describe el álgebra de Boole y sus aplicaciones. Introduce las reglas básicas del álgebra de Boole, incluyendo operadores como AND, OR y NOT. Explica cómo estas reglas pueden usarse para representar circuitos lógicos digitales mediante compuertas. También cubre temas como funciones booleanas, diagramas de Karnaugh y circuitos combinacionales.

1. INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO TELESUP
TEMA: ALGEBRA DE BOOLE
NOMBRE: GILDER AGUIRRE YACHA
PROFESOR: JOSE RICARDO LARA DAVILA
INSTITUCION: TELESUP
AÑO: 2013

2. TEMA: ALGEBRA DE BOOLE
Boole (1815-1864)
Reglas Básicas del Álgebra de Boole
Muy útiles para la manipulación y simplificación de expresiones
booleanas.
1. A + 0 = A
2. A + 1 = 1
3. A · 0 = 0
4. A · 1 = A
5. A + A = A
6. A + A = 1
7. A · A = A
8. A · A = 0
9. A = A
10. A + AB = A
11. A + AB = A + B
12. (A + B) (A + C) = A + BC
A, B, o C
Pueden representar una única Variable o una combinación de
variables

3. Álgebra Booleana
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los
valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en
éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano,
por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce
una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí
se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el
álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador
binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A
para todos los posibles valores de A y B.
Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º
C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º
B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto
a un operador binario " º " si A º I = A.
Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador
booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

4. Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de
operadores y valores:
- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo
llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero.
- El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de
variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la
operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos
el producto entre A y B.
- El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la
operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B.
- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en
éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo,
A' denota la operación lógica NOT de A.
- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el
resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es
de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y
operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por
la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes,
entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo
por la derecha.
Utilizaremos además los siguientes postulados:

5. P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT
P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de
identidad para el operador NOT
P3 Los operadores · y + son conmutativos.
P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C).
P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A.
P6 · y + son ambos asociativos, esto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).
Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea
familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:
Teorema 1: A + A = A
Teorema 2: A · A = A
Teorema 3: A + 0 = A
Teorema 4: A · 1 = A
Teorema 5: A · 0 = 0
Teorema 6: A + 1 = 1
Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
Teorema 9: A + A · B = A
Teorema 10: A · (A + B) = A
Teorema 11: A + A'B = A + B
Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
Teorema 13: AB + AB' = A
Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
Teorema 15: A + A' = 1
Teorema 16: A · A' = 0
Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático que los
descubrió.

6. Características:
Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:
1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos
aditiva (que representaremos por x
+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo
parámetro) que representaremos por x'.
2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)
Y 3- Tiene las siguientes propiedades:
Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x (yz)
Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz
Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)
Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0
Propiedades Del Álgebra De Boole
Idempotente respecto a la primera función: x + x = x
Idempotente respecto a la segunda función: xx = x
Maximalidad del 1: x + 1 = 1
Minimalidad del 0: x0 = 0
Involución: x'' = x
Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x
Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x
ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'
Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'

7. Función Booleana
Una función booleana es una de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto
cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.
Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría.
Cada uno puede votar sí o no. Representemos el voto de cada uno por xi.
La función devolverá sí (1) cuando el número de votos afirmativos sea 3 y
en caso contrario devolverá 0.
Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá
0.
Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el
que aparecen todas las variables o sus negaciones.
El número posible de casos es 2n.
Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los
amigos. Los posibles casos son:

8. Votos
ABCD
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
Resultado
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0

9. Las funciones
booleanas
Se pueden representar como la suma de productos
mínimos (minterms) iguales a 1.
En nuestro ejemplo la función booleana será:
f(A, B, C, D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB‘CD +
A'BCD
Diagramas De Karnaugh
Los diagramas de Karnaugh se utilizan para simplificar
las funciones booleanas.
Se construye una tabla con las variables y sus valores
posibles y se agrupan los 1 adyacentes, siempre que
el número de 1 sea potencia de 2.
En esta página tienes un programa para minimización
de funciones booleanas mediante mapas de
Karnaugh.

10. Álgebra Booleana y circuitos
electrónicos
La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte,
de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos
electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible
diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo
requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos
utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas
homónimas
Un hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito electrónico
utilizando una sola compuerta, ésta es la compuerta NAND
Para probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólo compuertas
NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una
compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar
cualquier función booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT. Para
construir un inversor simplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta
NAND. Una vez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fácil, sólo invertimos
la salida de una compuerta NAND, después de todo, NOT (NOT (A AND B)) es equivalente a A
AND B. Por supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una sola compuerta
AND, nadie ha dicho que los circuitos implementados sólo utilizando compuertas NAND sean lo
óptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizar
es la compuerta lógica OR, esto es sencillo si utilizamos los teoremas de DeMorgan, que
en síntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos los "·" por "+" después se

11. A OR B:
A AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de
DeMorgan
A' AND B'.....................Segundo paso para aplicar el teorema de
DeMorgan
(A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar el teorema de
DeMorgan
(A' AND B')' = A' NAND B'.....Definición de OR utilizando NAND
Si se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la manera
descrita, bien hay dos buenas razones, la primera es que las compuertas
NAND son las más económicas y en segundo lugar es preferible construir
circuitos complejos utilizando los mismos bloques básicos. Observe que
es posible construir cualquier circuito lógico utilizando sólo compuertas de
tipo NOR (NOR = NOT(A OR B)). La correspondencia entre la lógica
NAND y la NOR es ortogonal entre la correspondencia de sus formas
canónicas. Mientras que la lógica NOR es útil en muchos circuitos, la
mayoría de los diseñadores utilizan lógica NAND.

12. Circuitos Combinacionales
Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas básicas
(AND, OR, NOT), algunas entradas y un juego de salidas, como cada salida corresponde
a una función lógica individual, un circuito combinacional a menudo implementa varias
funciones booleanas diferentes, es muy importante recordar éste hecho, cada salida
representa una función booleana diferente.
Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de siete segmentos,
se trata de un circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál de los siete
segmentos se deben iluminar para representar la respectiva entrada, de acuerdo con lo
dicho en el párrafo anterior, se deben implementar siete funciones de salida diferentes,
una para cada segmento. Las cuatro entradas para cada una de éstas funciones
booleanas son los cuatro bits de un número binario en el rango de 0 a 9. Sea D el bit de
alto orden de éste número y A el bit de bajo orden, cada función lógica debe producir un
uno (para el segmento encendido) para una entrada dada si tal segmento en particular
debe ser iluminado, por ejemplo, el segmento e debe iluminarse para los valores 0000,
0010, 0110 y 1000.
En la siguiente tabla se puede ver qué segmentos deben iluminarse de acuerdo al valor
de entrada, tenga en cuenta que sólo se están representando valores en el rango de 0 a
9, los decodificadores para las pantallas de siete segmentos comerciales tienen
capacidad para desplegar valores adicionales que corresponden a las letras A a la F para
representaciones hexadecimales, sin embargo la mecánica para iluminar los respectivos
segmentos es similar a la aquí representada para los valores numéricos.

13. 0
a
c
b
1
b
c
a
b
3
a
b
c
b
e
d
2
d
e
c
4
5
a
f
g
d
g
f
g
f
g
c
c
6
d
d
e
f
g
d
e
f
g
f
g
7
a
b
c
8
a
b
c
9
a
b
c

14. Los circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en un sistema de
cómputo básico, se puede construir circuitos para sumar, restar, comparar, multiplicar,
dividir y muchas otras aplicaciones más.
Circuitos Secuenciales
Un problema con la lógica secuencial es su falta de «memoria". En teoría, todas las
funciones de salida en un circuito combinacional dependen del estado actual de los
valores de entrada, cualquier cambio en los valores de entrada se refleja (después de
un intervalo de tiempo llamado retardo de propagación) en las salidas.
Desafortunadamente las computadoras requieren de la habilidad para "recordar" el
resultado de cálculos pasados. Éste es el dominio de la lógica secuencial. Una celda de
memoria es un circuito electrónico que recuerda un valor de entrada después que dicho
valor ha desaparecido. La unidad de memoria más básica es el flip-flop Set/ Reset.
Aunque recordar un bit sencillo es importante, la mayoría de los sistemas de cómputo
requieren recordar un grupo de bits, esto se logra combinando varios flip-flop en
paralelo, una conexión de éste tipo recibe el nombre de registro. A partir de aquí es
posible implementar diferentes circuitos como registro de corrimiento y contadores,
éstos últimos también los conocemos como circuitos de reloj. Con los elementos
mencionados es posible construir un microprocesador completo.

15. Orden en el álgebra de Boole
Sea:
un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos decir
entonces que a antecede a b y lo denotamos:
Si se cumple alguna de las
siguientes condiciones:
Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento
de una de ellas implica necesariamente el cumplimiento de las demás.

16. Axiomas necesarios
Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas:
son un álgebra de Boole, si cumple
las siguientes axiomas:
1a: La ley asociativa de la suma:
4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:
1b: La ley asociativa del producto:
5a: Existe elemento complemento para la suma:
2a: Existencia del elemento neutro para la suma:
2b: Existencia del elemento neutro para el producto:
3a: La ley conmutativa de la suma:
3b: La ley conmutativa del producto:
4a: Ley distributivo de la suma respecto al producto:
5b: Existe elemento complemento para el producto:

17. Teoremas fundamentales
Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los
siguientes Teoremas fundamentales:
6a: Ley de idempotencia para la suma
6b: Ley de idempotencia para el producto:
7a: Ley de absorción para la suma:
7b: Ley de absorción para el producto:
8a: Ley de identidad para la suma:
8b: Ley de identidad para el producto:
9: Ley de involución:
10: Ley del complemento:
11: Leyes de DeMorgan:

18. Teoremas booleanas

19. Operadores booleanos
OPERADORES
BOOLEANOS
LOGICOS BASICOS
Este operador retorna V solo
cuando ambas entradas son
V.
Este operador retorna V
cuando cualquiera de las
entradas es V.
Ejemplo:
Dada la función lógica mostrada a
continuación. ¿Cuál es su valor si A=1, B=0,
D=0, C=0 y E=1?
Este operador retorna como
salida el valor opuesto a la
entrada.

20. Tabla de circuito logico
Es una herramienta para describir la forma en que la salida de una
función o circuito lógico depende de los niveles lógicos presentes a la
entrada.
Entradas Salida
(3)
A
B
C
Circuito
lógico
x
Filas
(8)
Para N entradas existen un
total de 2^N combinaciones
posibles y por ende 2^N filas
en la tabla de verdad asociada
a la función que esta se
encuentra representando.
Ejemplo:
Se tiene un circuito con 3 entradas el cual se
enciende en los siguientes casos:
• Cuando dos de las entradas se
encuentran en alto.
• Cuando las tres entradas son iguales.
Llene la tabla de verdad asociada a este
circuito.

22. Compuerta not
A
La operación NOT produce una salida cuyo
valor es el opuesto al valor de su entrada.
X

23. Compuerta and
A
B
La operación AND produce una salida
de 1 solo cuando todas sus entradas
son 1. En cualquier otro caso la salida
es 0.
X

24. Compuerta or
A
B
La operación OR produce una salida
de 1 siempre que cualquiera de sus
entradas sea 0. En cualquier otro caso
la salida es 0.
X

25. Diagramas de tiempo papra las compuertas
and, or y not

26. Compuerta nor
A
X
B
La operación NOR produce una salida de 1 solo cuando todas sus entradas
son 0. En cualquier otro caso la salida es 0.

27. Compuerta nand
A
X
B
La operación NAND produce una salida de 0 solo cuando todas sus
entradas son 1. En cualquier otro caso la salida es 1.

28. Compuerta xor
A
B
X
La operación XOR produce una salida de 1 cuando sus entradas son
diferentes. En cualquier otro caso la salida es 0.

29. Compuerta xnor
A
X
B
Produce una salida 1 solo cuando las entradas son iguales, en caso
opuesto la salida producida es 0.

30. Resumen compuertas
Símbol
o
AND
OR
NOT
Tabla de verdad

31. Resumen compuertas
Compuerta
XOR
Símbolo
Tabla de
verdad
Expresión

32. Resumen representación de
funciones lógicas
Una función puede ser representada en diferentes formas

33. Proceso de diseño lógico
combinacionaleses
1. Capture la función: Cree la tabla de verdad o las
ecuaciones para describir el comportamiento
deseado de la lógica combinacional.
2. Convierta a ecuaciones: Este paso es necesario si
la función es capturada usando tabla de verdad en
vez de ecuaciones. Para crear la ecuación se hace
un OR de cada una de las entradas cuya salida es 1.
Luego si así lo desea puede simplificar la ecuación.
3. Implemente el circuito digital: Para cada salida
cree un circuito asociado a la ecuación.