Este documento presenta definiciones y propiedades de estructuras algebraicas como conjuntos, operaciones, semigrupos, monóides, grupos, anillos y cuerpos. Introduce conceptos como clausura, asociatividad, elemento neutro e inverso. Explica las propiedades que deben cumplir estas estructuras algebraicas y provee ejemplos ilustrativos.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO
ABAD DEL CUSCO
ASIGNATURA: MATEMATICA BASICA II
TEMA : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
INTEGRANTES:
 HENRY RAUL DIAZ ANGULO
 ALI FLOREZ PEDRAZA

2. DEFICIONES PREVIAS
CONJUNTO : un concepto es primitivo , cuando se admite sin
definición .por ende el concepto de conjunto , de elemento y la
relación de pertenencia son conceptos primitivos. conjunto:
toda agrupación o colección de objetos , pueden ser reales o
ideales, se les denomina elementos del conjunto.
Generalmente los conjuntos se denotan con letras
mayúsculas(A,B,C,…) sus elementos están deparados por
comas y encerrados entre llaves ({})
A ={n,z,t,a,m} B={TALLERES ELECTRONICA}

3.  Es aquel procedimiento que transforma una
cantidad a otra cantidad llamada resultado, bajo
ciertas condiciones y/o reglas (leyes) y esta
representada por un símbolo, estos símbolos
entonces lo representamos como un conjunto
de operadores.
 *=[ +, . , - , / , ∆ , * , …]
 (+ , _ , . , a/b )
Estas cuatro operaciones son
conocidas como
universales . Y los demás son

4.  Se le llama LCI a toda operación interna sobre
el conjunto el conjunto A no vacía, a toda
operación binaria AxA en A. El calificativo de
internas que se da a tales leyes de
composición proviene de que parte y se llega
a elementos de un mismo conjunto.
 Def. A cualquier aplicación de AxA en A que,
para todo par (a,b) de elementos de A, en un
orden dado, se le hace corresponder un único
elemento “c” de A que se llama resultado de
haber operado con los elementos del par.

5.  Para nuestro estudio usaremos (*) que
asumirá la representación de cualquiera de
los operadoderes. Este símbolo (*) que
asumirá la representación de cualquiera de
los otros operadores. Este símbolo (*), que ,
situado entre los elementos con los que se
opera, expresa el resultado de la operación,
es decir, para expresar “c” como resultado de
operar “a” con “b”, se escribirá
c=a*b, vale decir:
“c es igual a operado con b”

6.  Dado los conjuntos A ^ B se define producto
cartesiano como: AxB={(a,b)∊ AxB/a∊A,
b∊B} entonces si B=A entonces queda:
AxA={(a,b)/a ∊ A,b ∊ A}
AxA A
(a,b) a*b
Los elementos (a,b) de AxA se llaman pares.
Este concepto se denomina par ordenado.

7.  PROPIEDADES: ∀ A ≠ ∅
 CLAUSURA O CERRADURA: Si tomamos un par de
elementos cualquiera del conjunto A y realizamos con
ellos la operación definida, y dicho resultado también
pertenece al conjunto A entonces se dice que la
operación es cerrada en el conjunto A.(∀ a^b∊A ⇒
a*b∊A)
*:AxA A
(a,b) *(a,b) = a*b∊A

8.  CONMUTATIVA: Cuando para todo par de
elementos del conjunto A el orden en que se
opera no altera el resultado (∀ a^b∊A ⇒ a*b=b*a)
*: AxA A
(a,b) *(a,b) = a*b=b*a∊A
 ASOCIATIVA: Cunado al efectuar por el operador mas
de dos elementos del conjunto A agrupando de distintas
formas, el resultado sigue siendo el mismo. (∀ a,b,c∊A
⇒ a*(b*c)=(a*b)*c)
*: AxA A
(a,(b*c)) *(a,(b,c)) = a*(b,c)=a*b*c
entonces (a*b)*c=a*(b*c) ∊A

9.  EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO: existe un
único elemento de A tal que al operarlo con
cualquier elemento de A, tanto de izquierda como
de derecha, no altera el valor de este ultimo.
*: AxA A
(a,b) *(a,b) = a*b∊A, deduciendo que b=e
(a,e) *(a,e) = a*e=e*a=a ∊ A
 EXISTENCIA DEL ELEMENTO INVERSO: Existe un unico
elemento de A tal que al operarlo con cualquier
elemento de A, tanto de izquierda o de derecha el valor
sea del resultado es el elemento neutro (e).
*: AxA A
(a,b) *(a,b) = a*b∊A, deduciendo que b=a’
(a,a’) *(a,a’) = a*a’=a’*a=e

10.  Sea el conjunto A, (A≠∅) y también sea el operador (*)
una LCI el par (A,*) se llama semigrupo si y solo si el
operador “*” es una LCI en asociativa en A.
 Sea A = {a,b,c} ^ [A,*]
 * : AxA A
* a b c ⇒ (a*b)*c = a*(b*c)
a a b c b*c = a*a
b b c a a=a
c c a b ∴ Es asociativa en A

11. Se llama moneoide a todo semigrupo con elemento
identidad, es decir: “todo monoide es semigrupo
pero no todo semigrupo es monoide”
A ≠ ∅, * es LCI
(A,*)Monoide posee elemento identidad
* es asociativa
Sea una composicion de funciones (o) en A ≠∅. Definimos:
A={f/f : A A}
i) o: AxA A
(f,g) o(f,g) = f o g ∊ A
ii) f o (g o h) = (f o g) o h ∊ A
iii) ∀A, Ǝ i ∊ A/f o id =id o f = f

12.  Sea el conjunto A ≠ ∅, además el operador “*” es una
LCI entonces se afirma que el par (A,*) es grupo si
cumple con las siguientes condiciones:
 “*” Es asociativa que ∊A
∀a,b,c ∊ A, (a*b)*c = a*(b*c) ∊ A (P. Asociativa)
 “*” Admite un elemento neutro y es único
∀a ∊ A, Ǝ!e ∊ A/ (a*e = e*a =a (P. Existencia del
elemento neutro)
 Todos los elementos de A(conjunto) poseen, tienen un
elemento inverso que es único.
∀a ∊ A, Ǝ! a’ ∊ A/a*a’=a’*a=e(propiedad del
elemento inverso)

13. “Sea el par (A,*)definimos como GRUPO al conjunto no
vacio con un operador con LCI es nuestro concepto de
grupo”
 Si además de estas tres propiedades existe que para “*”
es conmutativa en A.
∀a,b,c ∊ A, a*b*c = b*a*c = c*b*a…∊ A (P.
conmutativa)
Si el grupo cumple con las 4 operaciones entonces (A,*)
recibe el nombre de “Grupo Abeliano”

14. Sea A un conjunto no vacio en el cual se define dos LCI
osea son dos operadores (operaciones) totalmente
definidas en el interior del conjunto A.
En este caso usamos ya dos operadores universales en el
de adición y la multiplicación respectivamente “+”, “.”por
lo que queda (A,+,.) ahora podemos asociar elementos
de conjuntos ya conocidos como los números naturales,
enteros, racionales, irracionales, reales y complejos.
1. A = {conjunto de los números Naturales}
2. A = {conjunto de los números Enteros}
3. A = {conjunto de los números Racionales}
4. A = {conjunto de los números Irracionales}
5. A = {conjunto de los números Reales}
6. A = {conjunto de los números Complejos}

15. El el orden sucesivo notamos que un conjunto incluye al otro.
Entonces definimos (A,+,.) con sus respectivas propiedades.
+: AxA A
(a,b) +(a,b) = a+b ∊ A
.: AxA A
(a,b) +(a,b) = a.b ∊ A
Suma:
S1) a+b ∊ A, ∀a,b ∊ A
(cerradura o clausura)
S2) a+(b+c)= (a+b)+c ∊ A, ∀a,b∊A
(asociativa)
S3) ∀A, Ǝ!0 ∊ A /a + 0 = 0 + a = a
(Ǝ del elemento neutro aditivo)
S4) ∀a∊A, Ǝ!(-a) ∊ A/a+(-a)=-a+a=0
(Ǝ del inverso aditivo)
S5) a+b=b+a, ∀a,b ∊ A
(conmutativa)

16.  Multiplicación:
m1) a.b ∊ A, ∀a,b ∊ A
(cerradura o clausura)
m2) a.(b.c)=(a.b).c, ∀a,b∊A
(asociativa)
m3) ∀A, Ǝ!1 ∊ A /a . 1 = 1 . a = a
(Ǝ del elemento neutro multiplicativo)
m4) ∀a∊A, Ǝ!(a ) ∊ A/a+(a )=a.a =a .a=1
(Ǝ del inverso multiplicativo)
m5) a.b=b.a, ∀a,b ∊ A
(conmutativa)
m6) distributiva : ∀ a,b,c ∊ A
a.(b+c)=a.b+a.c (izquierda)
(b+c).a=b.a+c.a (derecha)
“Se afirma que (A,+,.) es anillo con división si y solo si cumple
con la propiedad m5”

17. ANILLO DE INTEGRIDAD: Sea (A,+,.) será anillo de
integridad si no posee elementos divisores de cero, vale
decir:
a.b = 0 ⇔ a=0 v b=0,
Lo que implica “a es 0, o b es 0” pero no ambos a la
vez.
DOMINIO DE INTEGRIDAD: Sea el anillo (A,+,.) con
unidad, conmutativa y con división se llama dominio de
integridad cuando no posee elemento divisores de cero.
a.b = b .a, b≠0

18. Ahora cambiaremos de notación A=K con este nuevo simbolo
definimos el concepto de CUERPO: es un conjunto K con
dos operaciones (adición y multiplicación)que satisface
ciertas condiciones llamadas axiomas de cuerpo. Entonces
un anillo (K,+,.) con unidad, conmutativo y con división se
llama campo o cuerpo.
Divisor de cero: Se dice que un elemento a≠0 de
anillo (A,+,.) conmutativo es un divisor de cero si:
a≠0 ^ b≠0 ⇒a.b=0, si y solo si existe otro elemento
b≠0 del anillo (A,+,.) tal que cumple : a.b=b.a=0
Ahora si estamos enfocados por los conceptos anteriores
podemos adentrarnos al algebra propiamente dicho, para
ello usamos K como nuestro conjunto experimental de
elementos como x,y,z ∊K, entonces nos axiomatizamos:

19.  AXIOMAS DE ADICION:
A1) Clausura:
x+y ∊ K,∀x,y ∊ K
A2)Conmutatividad:
x+y =y+x,∀x,y ∊ K
A3)Asociatividad:
(x+y)+z = x+(y+z), ∀x,y,z ∊ K
A4)Elemento neutro: existe 0 ∊ K tal que
x+0 = 0+x = x,∀x∊K,
A5)Simetrico: para todo x ∊ K existe (-x) ∊ K tal que
x+(-x) = (-x)+x = o

20.  AXIOMAS DE ADICION:
A1) Clausura:
x.y ∊ K,∀x,y ∊ K
A2)Conmutatividad:
x.y =y.x,∀x,y ∊ K
A3)Asociatividad:
(x.y).z = x.(y.z), ∀x,y,z ∊ K
A4)Elemento neutro: existe 1 ∊ K tal que 1≠0
x.1 = 1.x = x,∀x∊K
A5)Simetrico: para todo x≠0 ∊ K existe un inverso de x
denotado por 1/x ∊K tal que
x.(1/x) = (1/x)+x = 1
AXIOMAS DE DISTRIBUTIVIDAD:
D1) x.(y+z)=(y+z).x=x.y+x.z=y.x+z.x, ∀x,y,z ∊ K

21.  Un cuerpo es ordenado, si tiene un subconjunto
distinguido F⊂K, que es el conjunto de elementos
positivos de K que cumplen las siguientes condiciones
P1. x+y ∊ F ^ x.y ∊ F, ∀x,y ∊F
P2. dado x ∊ K, exactamente ocurre una de las
tres condiciones:
x=0 v x ∊F v -x ∊F
Indicamos –F al conjunto de elementos –x, donde x ∊F.
De donde
K=F U (-F) U {0}, entonces estos conjuntos son disjuntos
^ -F recibe el nombre de conjunto de números negativos.
En todo cuerpo ordenado si a≠0; a2 (a al cuadrado)∊F
de hecho si a≠0 entonces a∊F v -a∊F, ya que:
i) a = a.a ∊F ii) a =(-a).(-a) ∊F

22.  En un cuerpo K: x<y “x es menor que y” lo mismo a
decir que y-x ∊F de donde:
y>0 lo mismo a decir y ∊F
x<0 lo mismo a decir -x ∊F
x<y si y solo si y-x>0
x<y si y solo si y>x
 La relación de orden x<y en un conjunto ordenado K
goza de los siguientes teoremas. Los teoremas a
continuación son exquisitas muy potentes y todos estos
retóricamente extraordinarias, fantásticos.
T1. Transitividad:
T2. Tricotomía:
T3. Monotonicidad de la adición: