Exposicion control logico industrial

2. DEFINICION LOGICAS
 EI álgebra de Boole, como cualquier otro sistema matemático deductivo
puede ser definida por un conjunto de elementos, un conjunto de
operadores, un número de axiomas o postulados.
 Un conjunto de elementos es una colección de objetos que tienen una
propiedad común. Si S es un conjunto y x y son objetos ciertos,
entonces x €S denota que x es un miembro del conjunto S y y € S
denota que y no es un elemento de S.

3.  Los postulados de un sistema matemático forman las suposiciones
de las cuales se deducen las reglas, teorías y propiedades del
mismo. Los postulados más comúnmente usados para formular
varias estructuras algebraicas son:

4.  1. Conjunto cerrado. Un conjunto S es cerrado con respecto a un
operador binario, si para cada par de elementos de S, el operador
binario especifica una regla para obtener un elemento único de S.
El conjunto de los números naturales N: {1, 2, B, 4, }
 Por ejemplo, es cerrado con respecto al operador binario ( + ) por
las reglas de la suma aritmética ya que por cada a, b € N se obtiene
una c € N única por la operación a + b = c. El conjunto de los
números naturales no es cerrado con respecto al operador binario
menos ( - ) por las reglas de la sustracción aritmética ya que 2-3: -
1 y 2,3€ N mientras que (- l) € N .

5.  2. Ley asociativa: Se dice que un operador binario * en un conjunto S es
asociativo si:
(x*Y)+z = x*(Y*z) Para toda x, Y, z € S
 3. Ley conmutativo. Se dice que un operador binario * en un conjunto S es
conmutativo si:
x*y = y*x para toda x, y € S
 4. Elemento de identidad. Se dice que un conjunto S tiene un elemento de
identidad con respecto a la operación binaria * en S
si existe un elemento e € S con la propiedad:
e*x = x*e =x para toda x € S
 5. Inverso. Se dice que un conjunto S, que tiene un elemento de identidad e
con respecto a un operador binario *, tiene un inverso si para cada x € S existe
un elemento y € S tal que:
x*y = €

6.  6. Ley distributiva. Si * y . son dos operadores binarios en un
conjunto S, se dice Que * es distributivo con respecto a · si:
x* (y * z) = (x *y) * (x*z)

7. DEFINICION AXIOMATICA DEL ALGEBRA BOOLEAN
 En 1854 George Boole: introdujo un tratamiento sistemático de lógica y
para ello desarrolló un sistema algebraico que hoy en día llamamos
rílgebra de Boole.
 En 1938 C. E. Shannon (2) introdujo una álgebra de Boole de dos
valores llamada álgebra de conmutación en la cual él demostró que las
propiedades de los circuitos de conmutación eléctricas biestables
pueden ser representadas por esta álgebra.

8. En 1904 para la definición formal del álgebra de Boole. Estos postulados y
axiomas no son únicos para definir el álgebra de Boole ya que se ha usado
otro conjunto de postulados. *El álgebra de Boole es una estructura
algebraica definida para un conjunto de elementos B juntamente con dos
operadores binarios + y ., de tal forma que se satisfagan los siguientes
postulados (Huntington):
 1. (a) Conjunto cerrado con respecto al operador +.
(b) Conjunto cerrado con respecto al operador *.
 2. (a) Un elemento de identidad con respecto a x+0 = 0+x = x
(b) Un elemento de identidad con respecto x*1=1* r = 1
 3. (a) Conmutativo con respecto a + = x+y =y + x.

9.  4. (a) Conmutativo con respecto (a) +:x *(y+z) = (x*y)+(x-z)
(b) + es distributivo sobre * : x + (y *z)= (x +y)*(x + z).
 5. Para cada elemento x € B, existe un elemento x' € B (llamado el
complemento de x) tal que: (a) x+x’=1 y (b) x*x’=0.
 6. Existen al menos dos elementos x, y € B tales que x ≠ y.

10.  El álgebra Boole se asemeja al álgebra ordinaria en algunos
aspectos. La escogencia de los símbolos + y . es intencional con el
fin de facilitar Las manipulaciones con álgebra de Boole por parte
de personas familiarizadas con el álgebra ordinaria. Aunque no se
puede usar algunos conocimientos derivados del álgebra ordinaria
para tratar con álgebra de Boole, el principiante debe ser muy
cuidadoso de no sustituir las reglas del álgebra ordinaria donde no
sean aplicables.

11.  Es muy importante distinguir entre los elementos del conjunto de
una estructura algebraica y las variables de un sistema algebraico.
Por ejemplo, los elementos del campo de los números reales son
números mientras que las variables tales como a, b, c, etc., usadas
en el álgebra ordinaria son símbolos que se establecen para los
números reales. Similarmente en el álgebra de Boole se definen los
elementos de un conjunto B y las variables, tales que x, y, z sean
simplemente símbolos que representen los elementos. A estas
alturas es importante darse cuenta que para tener una álgebra de
Boole se debe demostrar:
 1. los elementos del conjunto B,
 2. las reglas de operación de los dos operadores binarios, y
 3. que el conjunto de elementos B, juntamente con los dos
operadores, satisfaga los seis postulados de Huntington.

13. TEOREMAS BÁSICOS Y PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA
BOOLEANA
 Dualidad: Los postulados de Huntington han sido listados en pares y
repartidos en parte (a) y parte (b). Una parte puede obtenerse de otra si los
operadores binarios y los elementos de identidad son intercambiables. Este
principio importante del álgebra de Boole se llama el principio de dualidad.
Este último establece que las expresiones algebraicas deducidas de los
postulados del álgebra de Boole permanecen válidos si se intercambian los
operadores y elementos de identidad.
EI principio de dualidad tiene muchas aplicaciones. Si se desea una expresión
algebraica dual, se intercambia simplemente los operadores OR y AND y se
remplaza unos por ceros y ceros por unos.

14. Se listan los seis teoremas del álgebra de Boole y cuatro de sus postulados. La notación se simplifica
omitiendo el toda vez que no cause confusión. Los teoremas y postulados listados son las relaciones
más básicas en el álgebra de Boole

15. Prioridad del operador
 La prioridad del operador para la evaluación de las expresiones de
Boole es (1) él paréntesis, (l) NOT, (3) AND y (4) OR. En otras palabras
las expresiones dentro de un paréntesis deben ser evaluadas antes de
otras operaciones. La siguiente operación en orden prioritario es el
complemento, luego sigue la AND y finalmente la OR.

16. Diagrama de Venn
 Este diagrama consiste en un rectángulo, en el cual se dibujan círculos
traslapados para cada una de las variables. Cada círculo es designado
por una variable. Se asignan todos los puntos dentro del círculo como
pertenecientes a dichas variables y todos los puntos por fuera del
círculo como no pertenecientes a la variable.

17. FUNCIONES BOOLEANA
 una variable binaria puede tomar el valor 0 ó 1. una función de Boole es
una expresión formada con variables binarias, dos operadores binarios
OR y ARD, el operador NOT, el paréntesis y el signo igual Para un valor
dado de variables la función puede ser 0 o 1.

18. Manipulación algebraica
 Un literal es una variable tildada o no tildada. cuando una función de
Boole se ejecuta con compuertas lógicas, cada literal o letra de la
función designa la entrada a cada una compuerta y cada término se
realiza con una compuerta. La minimización del numero de literales y el
número de términos dará como resultado un circuito con menos
componente.

19. Complemento de una función
 El complemento de la función 𝐹 es 𝐹′ y se obtiene del intercambio de
ceros a unos y unos a ceros en el valor de 𝐹. El complemento de una
función puede derivarse algebraicamente del teorema de De Morgan.
Los teoremas de De Morgan pueden extenderse a tres o más variables.
La forma de tres variables del primer teorema de De Morgan se deriva a
continuación. Los postulados y los teoremas son aquellos listados en la
tabla:

20. Formas canónica y normalizada
términos mínimos y términos máximos
 Una variable binaria puede aparecer en su forma normal 𝑥 o en la
forma de complemento 𝑥 ′. Considérese ahora dos variables binarias 𝑥
y 𝑦 combinadas con la operación AND; como cada variable puede
aparecer de cualquier forma, habrá cuatro combinaciones posibles:
𝑥′𝑦′, 𝑥′𝑦, 𝑥𝑦′ y 𝑥𝑦
 Los números binarios de 0 a 2𝑛 − 1 se listan bajo las n variables. Cada
término mínimo se obtiene de un término AND de n variables con cada
variable tildada, si el bit correspondiente al número binario es 0 y si no
está tildada a 1. Un símbolo para cada término mínimo se ilustra en la
tabla en la forma de 𝑚𝑗, donde j denota, el equivalente decimal del
número binario del término mínimo correspondiente.

22. FORMAS NORMALIZADAS

24. OTRAS OPERACIONES LOGICAS

27. COMPUERTAS LÓGICAS DIGITALES

29. COMPUERTAS LOGICAS DIGITALES

30. FAMILIA DE CIRCUITOS INTEGRALES LOGICOS DIGITALES

32. CARACERISTICAS ESPECIALES