Este documento define relaciones y funciones matemáticas. Explica que una relación asocia elementos de un conjunto con otro conjunto, mientras que una función asocia cada elemento de un conjunto dominio con un único elemento del conjunto codominio. Proporciona ejemplos de relaciones como "es mayor que" y funciones como f(x)=2x+3. También clasifica funciones como inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

1. RELACIONES Y FUNCIONES
EN
MATEMATICA
PROFESOR:
BELTRAN, PEDRO
BACHILLER:
AREYÁN, JACMIR
CI:17360195

2. Definición de Relación
El concepto de relación surge de manera natural en el análisis de
un sistema.
Un ejemplo, en los números Naturales se establece la relación “… es
menor que ...”. Bajo esta relación R el número 2 se relaciona con el 3:
2 es menor que 3, pero no así al contrario (3 no es menor que 2).
Una relación es binaria cuando se establece entre dos objetos.
Un ejemplo: R : x < y . Una relación es un conjunto de pares
ordenados. Un par ordenado (también llamada pareja ordenada)
consta de dos elementos: (a, b) en donde el orden en que aparece
(primero a, después b) indica la relación: a Rb de a con b.
Una relación asocia un elemento de un conjunto A con un elemento
de otro conjunto B o con un elemento del mismo conjunto A.

3. RELACIONES :
Ejemplos:
•Para A= {a, b, c}
* R1= {(a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c)} ⇒ R1 =
A× A
•Para A = {España, Inglaterra, Italia}
B= {Paris, Roma, Madrid}
*R2: (España, Paris) (Inglaterra, Roma) (Italia, Madrid)
•R3: (Pepe, María) (Pepe, Laura) (Pepe, Tere
PEPE
MARIO
MARIA
LAURA
TERE
Esta relación puede ser: ... hermano de...

4. OTRO EJEMPLO:
A = {Familia Rodríguez}
Miembro Edad Peso Estatura
Papá Alfonso (A) 42 77 1.80
Mamá Beatriz (B) 40 57 1.68
Hijo 1 Carlos (C) 19 61 1.88
Hijo 2 David (D) 17 66 1.63
Hijo 3 Elena (E) 15 48 1.53
*R1: … es papá de … (A, C) (A, D) (A, E)
*R2: … es mas alto que … (C, A) (C, B) (C, D) (C, E) (A, B) (A, D) (A, E) (B, D)
(B, E) (D, E).
* R3: … es mas grande que … (A, B) (B, C) (C, D) (D, E), (A, C) (B, D) (C, E),
(A, D) (B, E) (A, E)

5. Dominio y rango de una relación
El dominio una relación es el conjunto de pre imágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos
del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto
de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango.
Ejemplo
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el
doble de x” o “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la relación.
Solución
El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8),
(4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro
modo, “2 es preimagen de 4”.
Así, el dominio y rango son:
D = {2, 3, 4}
Rg = {4, 6, 8}
Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?
En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.
Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?
La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.

6. Funciones
Intuitivamente una función es una regla que asocia elementos de un conjunto A con
elementos de un conjunto B de modo que el elemento del conjunto A se asocia con uno y
sólo un elemento del segundo conjunto.
En otras palabras, una función es una máquina que transforma elementos en otros
elementos y cada elemento puede transformarse en un único elemento, no en dos o tres
FUNCIONES
a
b
Definición:
Sean A y B dos conjuntos. Una función de A en B es un conjunto de pares ordenadas de A x B
(a, b) con la propiedad de que cada elemento de A es el primer componente de una pareja
ordenada y para todo a ∈ A, si (a, b) y (a, c) pertenece a f entonces b = c (porque a no se repite
en otra pareja)
A: Dominio de la función
B: Condominio
Imagen son los elementos de B que forman el segundo componente de la pareja ordenada.

7. Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos
Conjunto X Conjunto Y
Ángela 55
Pedro 88
Manuel 62
Adrián 88
Roberto 90
Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable
independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o condominio) constituye lo que se llama
la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos
distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

8. Ejemplo 2
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo
conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:
Conjunto X Conjunto Y Desarrollo
− 2 − 1 f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = −1
− 1 1 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1
0 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3
1 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5
2 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
3 9 f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9
4 1 1f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11
Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los
elementos del primer conjunto (X)están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y).
Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento
en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos
elementos distintos en Y.
Ahora podemos enunciar una definición más formal:
Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio)exactamente
un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (condominio).

9. Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método)
que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.
Usualmente X e Y son conjuntos de números.
Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota
f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x
Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es
el condominio o conjunto de llegada.
f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la pre imagen de f(x).
En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la pre imagen del
número 5
.
El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se
obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.

10. CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES
Función Sobreyectiva:
Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (también llamada sobreyectiva) , si y sólo si
cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .
A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de
llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.
Ejemplo:
A = { a , e , i , o , u }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 }
f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }
Simbólicamente:
f: A B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva

11. Función Biyectiva:
Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .
Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En
cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A.
Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.
Ejemplo:
A = { a , e , i , o , u }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }
f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }
Teorema:
Si f es biyectiva , entonces su inversa f - 1 es también una función y además biyectiva.

12. Función Biyectiva:
Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .
Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En
cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A.
Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.
Ejemplo:
A = { a , e , i , o , u }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }
f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }
Teorema:
Si f es biyectiva , entonces su inversa f - 1 es también una función y además biyectiva.

13. Función Inyectiva:
Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del
dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.
Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares
ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.
EJEMPLO:
Para cualquier conjunto X y subconjunto S de X el mapa de inclusión S → X (el cual envía cualquier
elemento s de S para si mismo) es inyectiva. En particular, la función identidad X → X es siempre inyectiva
(y de hecho biyectiva).
La función f : R → R definida por f(x) = 2x + 1 es inyectiva.
La función g : R → R definida por g(x) = x2 no es inyectiva, porque (por ejemplo) g(1) = 1 = g(−1). No
obstante, si g se redefine de manera que su dominio es los números reales no negativos [0,+∞),
entonces g es inyectiva.
La función exponencial exp: R → R definida por exp(x) = ex es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no
genera números negativos, los cuales no tienen relación con ningún valor de x).
El logaritmo natural En la función ln: (0, ∞) → R definida por x ↦ ln x es inyectiva.
La función g : R → R definida por g(x) = xn − x no es inyectiva, ya que, por ejemplo, g(0) = g(1).
En términos más generales, cuando X e Y están ambos en la recta real R, a continuación, una función
inyectiva f : R → R es aquella cuya gráfica nunca es cruzada por una línea horizontal más de una vez. Este
principio se conoce como la prueba de línea horizontal.