Números Reales, Valor absoluto

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL ANDRES ELOY BLANCO
INFORME
Estudiante:
Bianney Rodríguez
C.I 32.052.261

2. Definición de conjuntos
Un conjunto es una colección finita de elementos, cada uno de los cuales es único
y no tiene orden específico. Los conjuntos son una herramienta fundamental en la
matemática y la ciencia, y se utilizan para organizar y analizar información. Los
elementos de un conjunto se denominan “elementos del conjunto”, y los conjuntos
se denotan habitualmente con letras mayúsculas.
Los conjuntos se pueden describir de varias maneras, incluyendo:
Lista de elementos: Se puede enumerar todos los elementos individuales del
conjunto. Por ejemplo, el conjunto {1, 2, 3} contiene los números enteros 1, 2 y 3.
Descripción de los elementos: Se puede describir el conjunto utilizando una
regla o una propiedad común a todos los elementos. Por ejemplo, el conjunto de
todos los números primos menores a 10 es {2, 3, 5, 7}.
Diagrama de Venn : Este es un diagrama que muestra gráficamente la relación
entre dos o más conjuntos. Los conjuntos se representan como regiones en un
cuadro, y se cruzan en puntos donde sus elementos comparten características.
Ejemplo 1: Unión e intersección de conjuntos
Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5}, encontrará la unión y la
intersección de A y B.
La unión de A y B, denotada como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos
únicos que pertenecen a A, B o ambos. En este caso, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
La intersección de A y B, denotada como A ∩ B, es el conjunto de todos los
elementos que pertenecen a A y B. En este caso, A ∩ B = {2, 3}.
Ejemplo 2: Conjuntos y subconjuntos
Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, determine si B = {2, 4} y C = {1, 3} son
subconjuntos de A.

3. Un subconjunto es un conjunto que contiene todos los elementos de otro
conjunto. En este caso, B = {2, 4} es un subconjunto de A, porque todos sus
elementos (2 y 4) también pertenecen a A. Sin embargo, C = {1, 3} no es un
subconjunto de A, porque aunque 1 y 3 pertenecen a A, el conjunto C contiene
elementos adicionales (1 y 3) que no pertenecen a A.
Operaciones con Conjuntos
Las operaciones con conjuntos son acciones que se realizan entre conjuntos para
obtener un nuevo conjunto como resultado. Las operaciones más comunes son la
unión, la intersección, la diferencia y el complemento.
Unión de Conjuntos : La unión de dos conjuntos A y B, denotada como A ∪ B,
consiste en combinar todos los elementos de A y B en un nuevo conjunto. Los
elementos duplicados se eliminan, ya que un conjunto no puede contener
elementos repetidos.
Por ejemplo, si A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5}, entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Intersección de Conjuntos : La intersección de dos conjuntos A y B, denotada
como A ∩ B, consiste en encontrar los elementos que están presentes en ambos
conjuntos.
Por ejemplo, si A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5}, entonces A ∩ B = {3}.
Diferencia de Conjuntos : La diferencia entre dos conjuntos A y B, denotados
como A - B (o A B), consiste en obtener un conjunto que contiene los elementos
de A que no están en B.
Por ejemplo, si A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5}, entonces A - B = {1, 2}.
Complemento de Conjunto : El complemento de un conjunto A con respecto a un
conjunto universal U (denotado como A') consiste en todos los elementos de U
que no están en A.

4. Por ejemplo, si U es el conjunto de números enteros y A = {números pares},
entonces el complemento de A sería el conjunto de números impares.
Ejemplo:
Dados los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5}, realizan las siguientes
operaciones:
a) A ∪ B b) A ∩ B c) A - B d) Complemento de A con respecto a U
Respuestas: a) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} b) A ∩ B = {3} c) A - B = {1, 2} d)
Complemento de A con respecto a U = { números impares}
Dados los conjuntos C = {rojo, verde} y D = {verde, azul}, realice las siguientes
operaciones:
a) C ∪ D b) C ∩ D c) C - D
Respuestas: a) C ∪ D = {rojo, verde, azul} b) C ∩ D = {verde} c) C - D = {rojo}
En resumen, las operaciones con conjuntos son fundamentales en matemáticas y
lógica. Permiten manipular conjuntos para obtener nuevos conjuntos basados en
reglas específicas.
Definición de números reales
Los números reales son aquellos que representan cantidades en la línea numérica
real, incluyendo tanto los números racionales como los irracionales. Los números
racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos enteros,
mientras que los irracionales no pueden expresarse de esta manera y tienen una
expansión decimal infinita no periódica.
Propiedades de los números reales
Los números reales tienen varias propiedades importantes, incluyendo la
cerradura bajo las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Esto
significa que la suma, resta, multiplicación y división de dos números reales

5. siempre da como resultado otro número real. Además, los números reales también
cumplen con las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad en relación
con la relación de orden.
Ejemplos de números reales
Ejercicio 1: Suma de números reales Calcular la suma de los siguientes números
reales: 3.5, -2.8 y 1.2. Solución: 3.5 + (-2.8) + 1.2 = 1.9 Por lo tanto, la suma de
estos números reales es 1.9.
Ejercicio 2: Producto de números reales Hallar el producto de los siguientes
números reales: -4.3 y 2.5. Solución: -4.3 * 2.5 = -10.75 Así, el producto de estos
números reales es -10.75.
En resumen, los números reales son fundamentales en las matemáticas y se
utilizan para representar cantidades en la vida cotidiana y en diversos campos
científicos.
Desigualdades
En matemáticas se refieren a relaciones entre expresiones algebraicas o números
que permiten determinar si un valor es mayor, menor o igual que otro. Existen
varios tipos de desigualdades, pero aquí se presentarán dos ejemplos comunes:
desigualdad absoluta y desigualdad relativa.
Desigualdad Absoluta : Esta desigualdad se utiliza para comparar la diferencia
entre dos números o expresiones. La forma general de una desigualdad absoluta
es:
|-a < boa < b-|
Donde ayb son números o expresiones.
Ejemplo 1 : Determinar si 3 < 7 es verdadero o falso.
Respuesta: 3 < 7 es verdadero, ya que 7 - 3 = 4, que es un número positivo.

6. Desigualdad Relativa : Esta desigualdad se utiliza para comparar la relación
entre dos números o expresiones en términos de su tamaño. La forma general de
una desigualdad relativa es:
a < boa > b
Donde ayb son números o expresiones.
Ejemplo 2 : Determinar si 5 > 2 es verdadero o falso.
Respuesta: 5 > 2 es verdadero, ya que 5 es mayor que 2.
En resumen, las desigualdades en matemáticas se utilizan para comparar y
establecer relaciones entre números o expresiones algebraicas. La desigualdad
absoluta se preocupa por la diferencia entre los valores, mientras que la
desigualdad relativa se enfoca en la relación de tamaño entre ellos.
Definición de Valor Absoluto
El valor absoluto, es una función matemática que devuelve la distancia de un
número complejo o real al origen de un sistema de coordenadas, sin importar la
dirección en la que se encuentre el número en relación con el origen. En otras
palabras, la función valor absoluto proporciona el valor de magnitud de un número,
sin tener en cuenta su signo.
La fórmula para calcular el valor absoluto de un número real es:
|x| = x, si x ≥ 0 |x| = -x, si x < 0
Para números complejos, la fórmula para calcular el valor absoluto (módulo) es:
|a + bi| = √(a² + b²)
donde ayb son los coeficientes reales del número complejo en su forma polar (a +
bi).
Ejemplos:

7. Ejemplo 1: Calcule el valor absoluto de los siguientes números: a) 5 b) -3 c) 0
Solución: a) |5| = 5 (5 es positivo, por lo que su valor absoluto es igual al número)
b) |-3| = 3 (El signo cambia a positivo al calcular el valor absoluto, por lo que es
igual al número en valor absoluto) c) |0| = 0 (El valor absoluto de cero es cero)
Ejemplo 2: Calcule el valor absoluto de los siguientes números complejos: a) 3 + 4i
b) -2 - 5i c) 0 + 0i
Solución: a) |3 + 4i| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 b) |-2 - 5i| = √((-2)² + (-5)²) =
√(4 + 25) = √29 c) |0 + 0i| = √(0² + 0²) = √0 = 0
Desigualdades con Valor Absoluto
Desigualdades con valor absoluto se refieren a las relaciones matemáticas que
involucran la diferencia entre dos números o expresiones, medida en términos de
su valor absoluto. El valor absoluto de un número es su magnitud sin tener en
cuenta su signo, es decir, su distancia a cero en el eje numérico.
Ejercicio 1:
Resolver la desigualdad |3x - 2| > 5.
Para resolver esta desigualdad, se deben considerar dos casos: cuando el
contenido del valor absoluto es positivo y cuando es negativo.
Cuando 3x - 2 es positivo (es decir, cuando 3x - 2 > 0), la desigualdad se convierte
en 3x - 2 > 5, lo que lleva ax > 7/3.
Cuando 3x - 2 es negativo (es decir, cuando 3x - 2 < 0), la desigualdad se
convierte en -(3x - 2) > 5, lo que lleva ax < -1.
Por lo tanto, la solución para la desigualdad |3x - 2| > 5 es x < -1 ox > 7/3.
Ejercicio 2:
Resolver la desigualdad |2y + 1| ≤ 4.

8. Al igual que en el ejercicio anterior, se deben considerar dos casos: cuando el
contenido del valor absoluto es positivo y cuando es negativo.
Cuando 2y + 1 es positivo (es decir, cuando 2y + 1 ≥ 0), la desigualdad se
convierte en 2y + 1 ≤ 4, lo que lleva ay ≤ 3/2.
Cuando 2y + 1 es negativo (es decir, cuando 2y + 1 < 0), la desigualdad siempre
se cumple debido a la naturaleza del valor absoluto.
Por lo tanto, la solución para la desigualdad |2y + 1| ≤ 4 es -∞ < y ≤ 3/2.