Derivadas de funciones paramétricas

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA
PARAMÉTRICA
( )
( )
: ; ,
x f t
f t a b
y g t
⎧ =⎪
∈ ⎡ ⎤⎨ ⎣ ⎦
=⎪⎩
De la regla de la cadena
dy dy dt
dx dt dx
=
En donde
dt
dx
se puede calcular despejando " "t de
( )x f t= , lo que no siempre es fácil y en ocasiones es
imposible. Otra forma de calcular
dt
dx
es usando la derivada
de la función inversa, por la cual,
1dt
dxdx
dt
=
de donde, sustituyendo en la regla de la cadena, se llega a:
( )
( )
'1
'
dy
g tdy dy dy dydt
dx dxdx dt dx dx f t
dt dt
= ⇒ = ⇒ =
Ejemplo. Dada la siguiente función, obtener la derivada
dy
dx
:
2
2
: ; 0
1
x t t
f t
y t
⎧ = −⎪
≥⎨
= + −⎪⎩
)i Por medio de la fórmula obtenida.
)ii Eliminando el parámetro " "t y derivando el resultado.

2
Ejemplo. Dadas las ecuaciones paramétricas de la cicloide:
( )
( )
2
2 1 cos
x sen
y
θ θ
θ
⎧ = −⎪
⎨
= −⎪⎩
calcular la derivada
dy
dx
y evaluarla para
4
π
θ = .

3
Ejemplo. Calcular la derivada
dy
dx
para función siguiente
en el punto donde 0t = :
cot 1
:
tan 1
x ang t
f
y ang t
⎧ = −⎪
⎨
= +⎪⎩
DERIVADAS DE ÓRDENES SUPERIORES
Sea una función f definida en un cierto intervalo ( ),a b .
Entonces, su derivada 'f es a su vez otra función definida en
un subconjunto de dicho intervalo, y la operación puede
repetirse, obteniéndose la segunda derivada que también es
una función definida en un subconjunto del intervalo ,a b⎡ ⎤⎣ ⎦.
Para denotar a las derivadas sucesivas de órdenes
superiores, se emplean los siguientes símbolos:
( ) ( ) ( )
( )
2
2
3
3
; ' ' ; '' ''
''' ''' ;
dy d y
y f x y f x y f x
dx dx
d y
y f x
dx
= = = = =
= = …
Para ilustrar esto, considérese la función ( )
3
3
x
f x = definida
en el intervalo ( )2,2− y sean sus tres derivadas sucesivas:

4
( ) ( ) ( )2
' ; '' 2 ; ''' 2f x x f x x f x= = =
todas ellas definidas en el mismo intervalo. Sus gráficas son:
Si se obtuviera la cuarta derivada, a partir de ella todas
tendrían como valor cero, las cuales seguirían siendo una
función pero su gráfica sería sobre el eje de las abscisas. En
cambio hay funciones que se dice que son “infinitamente
derivables”
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 5 8
3 3 3 3
1 2 10
; ' ; '' ; '''
3 9 27
f x x f x x f x x f x x
− − −
= = = − =
2 3
2 3
; cos ; ; cos
dy d y d y
y senx x senx x
dx dx dx
= = = − = −
Ejemplo. Obtener las dos primeras derivadas de la siguiente
función y evaluarlas para 2x = .
2
x
y
x
=
+
x
y
x
x
x
3
3
x
y =
3
3
2
d y
dx
=
2dy
x
dx
=
2
2
2
d y
x
dx
=

5
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES IMPLÍCITAS
Ejemplo. Calcular la primera y segunda derivadas de las
siguientes funciones:
2 2
) 1 ; ) 2 5i x y ii x xy y+ = + = −

6
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES
REPRESENTADAS EN FORMA PARAMÉTRICA
Sea la función
( )
( )
:
x f t
f
y g t
⎧ =⎪
⎨
=⎪⎩
Como ya se vio la primera derivada, es decir,
dy
dx
, se obtiene
a partir de:
dy
dy dt
dxdx
dt
=
Por otro lado, lo que se pretende es calcular la segunda
derivada, esto es,
2
2
d y d dy
dx dxdx
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Como
dy
dx
está en términos del parámetro " "t entonces,
para aplicar la expresión anterior, es necesario aplicar la
regla de la cadena. Así,
2
2
d y d dy dt
dt dx dxdx
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
pero

7
1dt
dxdx
dt
=
entonces
2
2
d dy
d y dt dx
dxdx
dt
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠=
Para obtener la enésima derivada de orden superior, se tiene
que:
1
1
n n
n n
d y d d y
dxdx dx
−
−
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Se aplica la regla de la cadena y se llega a:
1
11
1
n
nn n n
n n n
d d y
dt dxd y d d y dt d y
dxdt dxdx dx dx
dt
−
−−
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎝ ⎠= ∴ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejemplo. Obtener las tres primeras derivadas para la función
representada en forma paramétrica como sigue:
5cos
: ; 0 2
3
x
f
y sen
θ
θ π
θ
=⎧
≤ ≤⎨
=⎩

8
Ejemplo. La ecuación cartesiana de la Hipocicloide o
Astroide está dada por la expresión:
2 2 2
3 3 3
x y a+ =
y se representa paramétricamente mediante las ecuaciones:
3
3
cos
:
x a t
f
y asen t
⎧ =
⎨
=⎩
Determinar el valor de su primera y segunda derivadas
cuando
2 2
a
x y= =
)i A través de la forma implícita
)ii Con la forma paramétrica

9

10
DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. DERIVADAS LATERALES
La derivada de una función f está dada por el límite:
( ) 0
' lim
x
y
f x
xΔ →
Δ
=
Δ
y geométricamente es la pendiente de la recta tangente a la
curva que representa gráficamente a la función, en un punto
determinado.
Es obvio pensar que la derivada existe si el límite existe y,
como se había externado antes, el límite existe si los límites
laterales existen y si además son iguales. Luego es posible
definir las derivadas laterales mediante los correspondientes
límites laterales.
Definición. Sea una función f . Entonces, su derivada lateral
por la izquierda está dada por:
( )'
0
lim
x
y
f x
x−−
Δ →
Δ
=
Δ
si el límite existe.
Definición. Sea una función f . Entonces, su derivada lateral
por la derecha está dada por:
( )'
0
lim
x
y
f x
x++
Δ →
Δ
=
Δ
si el límite existe.
Teorema. Sea una función f . Una condición necesaria para
la existencia de su derivada en un punto es que sus
derivadas laterales existan y sean iguales, esto es,
( ) ( ) ( )' '
0 0 0'f x f x f x− +⇒ =
RELACIÓN ENTRE LA CONTINUIDAD Y LA DERIVABILIDAD
Sean las funciones:

11
( )
( )
1
2
2
cos 0
2
1 0 2
2 0
0 2
x si x
f x
si x
x si x
f x
x si x
π⎧
− ≤ ≤⎪
= ⎨
⎪ < ≤⎩
⎧ − ≤ ≤
= ⎨
< ≤⎩
Se estudia la continuidad de ambas en 0x = y se tiene:
Continuidad de 1f en 0x = :
( ) ( )1) 0 1 cumplei f =
( )
( )
( )
1
0
1
0
lim 1
) cumple
lim 1
x
x
f x
ii
f x
−
+
→
→
=
=
( ) ( ) ( )1 1
0
) 0 lim cumple
x
iii f f x
→
=
1f∴ es continua en 0x =
Continuidad de 2f en 0x = :
( ) ( )2) 0 0 cumplei f =
( )
( )
( )
2
0
2
0
lim 0
) cumple
lim 0
x
x
f x
ii
f x
−
+
→
→
=
=
( ) ( ) ( )2 2
0
) 0 lim cumple
x
iii f f x
→
=
2f∴ es continua en 0x =
Ahora se calculan las derivadas laterales:
x
cosy x=
2
π
− 2
1y =
y x
x
2
y x=
y x=
2− 2

12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
' cos ' 0 0
;
' 1 0 ' 0 0
d
f x x senx f
dx
f
d
f x f
dx
− −
+ +
⎧
= = − ⇒ =⎪⎪
⎨
⎪ = = ⇒ =
⎪⎩
( ) ( )' 0 ' 0f f− +∴ =
luego la función 1f es derivable en 0x = . Por otro lado,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
' 2 ' 0 0
;
' 1 ' 0 1
d
f x x x f
dx
f
d
f x x f
dx
− −
+ +
⎧
= = ⇒ =⎪⎪
⎨
⎪ = = ⇒ =
⎪⎩
( ) ( )' 0 ' 0f f− +∴ ≠
por lo que la función 2f no es derivable en 0x = .
Teorema. Si la función ( )y f x= es derivable en 1x x= ,
entonces también es continua para dicho valor de " "x .
Ejemplo. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la
función ( )
2
3
f x x= en el punto donde 1 0x = .

13
Ejemplo. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la
siguiente función:
( )
2
2 2 0
1 cos 0
2 2
7
7
x si x
f x x si x
x
si x
π
π
π
π
⎧
⎪ − − ≤ <
⎪
= + ≤ <⎨
⎪ −
⎪ ≤ <
−⎩

14
APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA
La derivada como la pendiente de la recta tangente
Ejemplo. Obtener los ángulos que forman con el eje " "x las
tangentes a la curva ( )
2 2
4 4 ; 0x y y− + = ≥ , en los puntos:
( ) ( ) ( )) 2,0 ; ) 3, 3 ; ) 4,2i ii iii
Explicar los resultados mediante la gráfica de la curva.
Ejemplo. Calcular la pendiente de la tangente a la curva de
ecuación:
2
4y x= −
en el punto ( )1, 3P − , así como el ángulo que forma dicha
tangente con el eje de las abscisas. Hacer una gráfica del
problema planteado.

15
Ejemplo. Determinar qué ángulo forma la curva 2
y x= con
la recta 1x = al cortarse con ella. Hacer un trazo del
problema planteado.
Ejemplo. Determinar los puntos en los que las tangentes a la
curva de ecuación
5 4 3
23 11
3
5 2 3
x x x
y x= − + − son paralelas al
eje " "x . Hacer un trazo aproximado de la gráfica de la
curva, considerando los puntos obtenidos.

16
Ejemplo. Determinar los puntos de la curva de ecuación
5
1 2
y
x
=
−
donde la tangente es paralela a la recta de
ecuación 2 5 5 0x y− − = . Hacer un trazo aproximado del
problema planteado con los resultados obtenidos.

17
Ejemplo. Obtener punto de la curva 2 3
2y x= donde su
tangente es perpendicular a la recta 4 3 2 0x y− + = .
ECUACIONES DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA RECTA NORMAL
A UNA CURVA EN UN PUNTO DADO
( ) ( )1 1 ; 'T Ty y m x x m f x− = − =
( )1 1
1
dondeN N
T
y y m x x m
m
− = − = −

18
Ejemplo. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente
y normal a la curva de ecuación 2
2 5 6y x x= − + en el punto
( )2,4P . Hacer un trazo aproximado de la gráfica.
Ejemplo. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y
normal a la curva de ecuación 21
4
2
y x= − − en el punto
1
3,
2
P
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Representar gráficamente el problema planteado.

19
ÁNGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS CURVAS
Sean ( ) ( )1 2y f x y y f x= = las ecuaciones de 1 2C y C
Entonces se tiene que:
( ) ( )1 1 1 0 2 2 2 0tan ' ; tan 'm f x m f xα α= = = =
Es evidente que 2 1θ α α= − , luego " "θ se obtiene con:
( ) ( )2 0 1 0tan ' tan 'ang f x ang f xθ = −
Otra forma de calcular este ángulo es mediante:
( ) ( )
( ) ( )
2 0 1 02 1
2 1 2 0 1 0
' '
tan o bien tan
1 1 ' '
f x f xm m
ang ang
m m f x f x
θ θ
−−
= =
+ +
Ejemplo. Determinar el ángulo que forman al cortarse las
curvas siguientes y graficar.
2
2 2
3
2
x
y y x y= + =
y
θ
1C
2α
( )0 0,P x y
1α
2C
1T
2T
x

20
Ejemplo. Demostrar que la elipse
2 2
2 6x y+ = y la parábola
2
4y x= se cortan en un ángulo recto, es decir, que son
curvas ortogonales. Graficar aproximadamente.

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