El documento aborda el concepto de derivación implícita, explicando cómo se pueden derivar ecuaciones que definen relaciones entre x e y sin necesidad de despejar y explícitamente. Se presentan ejemplos, incluyendo cómo encontrar la ecuación de la recta tangente y normal a curvas definidas implícitamente. También se discuten las derivadas de orden superior y su utilidad en la medición de la curvatura de funciones.

1. 1
Derivación implícita.
Derivación implícita de segundo
orden.

2. 2
Derivación Implícita
 La mayor parte de las funciones que hemos encontrado hasta ahora se
pueden escribir expresando una variable explícitamente en términos de otra
variable, por ejemplo: y=(x2+2)3 o y= xex o, en general, y=f(x).
Sin embargo, algunas funciones se definen implícitamente por medio de una
relación entre x e y, como por ejemplo: x2+y2=25
En algunos casos, es posible resolver una ecuación de este tipo para y como una
función (o varias funciones) explícitas de x.
   
2 2 2
2 2
De 25 25 obtenemos dos funciones:
25 y 25
x y y x
f x x g x x
     
    

3. 3
Derivación Implícita
 Por fortuna no es necesario resolver una ecuación para y en términos de x con el fin de
hallar y’. En lugar de ello, podemos aplicar el método de la derivación implícita. Este
consiste en derivar ambos miembros de la ecuación con respecto a x, y a continuación
resolver la ecuación resultante para y’
Ejemplo
2 2
2 2
a) Si 25, encuentre
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente al círculo
25 en el punto (3,4)
dy
x y
dx
x y
 
 

4. 4
a) Derive ambos miembros de la ecuación.
 
2 2
2 2
25
0 2 2 0
d d
x y
dx dx
d d dy
x y x y
dx dx dx
 
 
 
   
    
   
dy x
y
dx y


  
 
3,4
3
4
y
 
Solución
Recuerde que y es una función
X, aplique la regla de la cadena
b) En el punto (3,4) tenemos x=3 y y=4 de modo que:
Por lo tanto, una ecuación de la tangente al
Círculo en (3,4) es:
 
3
4 3 3 4 25
4
y x x y
      

5. 5
Necesitamos encontrar la pendiente y’. Puesto que no podemos resolver
para y, usamos la diferenciación implícita. Derivamos cada término de
la ecuación.
Encontrar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva
dada por la ecuación x2+xy+y2=7 en el punto (-1,2) .
2 2
7 2 2 0
dy dy
x xy y x x y y
dx dx
 
       
 
 
 
2 2 0
2
2
2
2
dy dy
x x y y
dx dx
dy
y x
y x
dx
dy y x
y
dx y x
    
  



  

 
 
 
1,2
2 2 1 4
2 2 1 5
y 
 

  
  
Ejercicio

6. 6
4
5
m
  Recta tangente:
 
4
2 1
5
y x
  
4 4
2
5 5
y x
  
4 14
5 5
y x
 
Recta normal:
 
5
2 1
4
y x
   
5 5
2
4 4
y x
   
5 3
4 4
y x
  
EJERCICIO(Continuación………)

7. 7
Ejercicio propuesto
Determine la ecuación de la recta normal a la gráfica de ecuación
xy3-x5y2=4 en el punto (1,2)
 
2
2 3 ln 4 ln
q p q p
   
dq
dp
   
 
2 / 1
2 3 2ln 4 ln 2 3
4
p p
dq dp
dq
D q p D q p
dp q p
         
  
  
 
  
 
1 1 3
3
1 3 4 1 3 4
2 1
2 3
2 2 8 2
4 2 6 2 3
2
4 4
p
p q p q
dq dq p p
q
dp q p dp p q p q
q q


   
 
       
   
  
  
 
La ecuación de la demanda para cierto producto es:
expresar la derivada de q con respecto a p, es decir

8. 8
Derivada de orden superior
 Si la función f es diferenciable, entonces su derivada f’ se llama la
primera derivada de f. Si la función f’ es diferenciable, entonces su
derivada f” se llama la segunda derivada de f y así sucesivamente….
La derivada de una función en un punto, es una medida de la inclinación de la recta
tangente en el punto considerado. Ahora necesitamos medir cuán separado está el
gráfico de la función de su recta tangente. Por ejemplo, las tangencias de las curvas
y=x2; y=x3, y=x4 con la recta y=0 son muy diferentes. Lo que realmente queremos
medir es cómo se curva el gráfico de f en una vecindad del punto de tangencia.

9. 9
Derivada de orden superior
 Las derivadas de orden superior se denotan mediante:
   
   
   
2 2
2
2 2
3 3
3
3 3
Primera derivada ´, ´( ), , ( ) ,
Segunda derivada ´´, ´´( ), , ( ) ,
Tercera derivada ´´´, ´´´( ), , ( ) ,
Cuarta derivad
x
x
x
dy d
y f x f x D y
dx dx
d y d
y f x f x D y
dx dx
d y d
y f x f x D y
dx dx
   
   
4 4
(4) (4) 4
4 4
( ) ( )
a , ( ), , ( ) ,
..................................
n-ésima derivada , ( ), , ( ) ,
x
n n
n n n
x
n n
d y d
y f x f x D y
dx dx
d y d
y f x f x D y
dx dx

10. 10
Ejemplo
3 2
2
(4) (5)
1. Sea ( ) 2 5 3 1 sus derivadas de orden superior son
( ) 6 10 3
( ) 12 10 ( ) 12 ( ) 0 ( ) 0
y todas las siguientes.
f x x x x
f x x x
f x x f x f x f x
   

   
 
        
4 2
2 6 7 2
y x x x
   
3
3
''' 48
d y
y x
dx
  
2. Considere la función
y demuestre que:

11. 11
2
3 2
2
Encontrar si 2 3 7
d y
x y
dx
 
3 2
2 3 7
x y
 
2
6 6 0
x y y
 
2
6 6
y y x

  
2
6
6
x
y
y

 

2
x
y
y
 
2
2
2
y x x y
y
y

 
 
2
2
2x x
y y
y y
 
 
2 2
2
2x x
y
y
y
x
y
    
4
3
2x x
y
y y
  
Derivada implícita de segundo orden
Derivando implícitamente: Derivando y’ como un cuociente:
Reemplace el
contenido el y’