1) Las aplicaciones de la derivada incluyen localizar extremos (máximos y mínimos) de una función, determinar la concavidad y convexidad, y representar gráficamente funciones.
2) Para localizar máximos y mínimos, se buscan los puntos donde la derivada es cero y se comprueba el signo de la segunda derivada.
3) Los problemas de extremos involucran maximizar o minimizar una función desconocida y se resuelven encontrando los puntos críticos donde la derivada es cero y satisface las condiciones
1) El documento explica cómo aplicar derivadas para calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta. 2) También cubre conceptos como derivadas implícitas, derivadas de orden superior, funciones crecientes y decrecientes, y cómo identificar máximos y mínimos. 3) Finalmente, discute temas como puntos críticos, concavidad, puntos de inflexión y cómo resolver problemas de máximos y mínimos.
El documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como derivadas, tangentes, normales, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión de funciones. Explica cómo calcular la ecuación de la recta tangente y normal en un punto, y cómo determinar intervalos donde una función es creciente, decreciente, cóncava o convexa. También cubre cómo encontrar máximos, mínimos y puntos de inflexión mediante el cálculo de derivadas.
El documento resume las aplicaciones de la derivada, incluyendo la monotonía, extremos relativos, optimización y curvatura de funciones. Explica cómo usar la primera y segunda derivada para determinar si una función es creciente o decreciente, si tiene máximos o mínimos relativos, y si es cóncava hacia arriba o abajo. También proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos conceptos para resolver problemas relacionados con la Prueba de Acceso a la Universidad.
Este documento trata sobre las aplicaciones de la derivada para estudiar el crecimiento y decrecimiento de funciones, encontrar sus máximos y mínimos, determinar la concavidad y convexidad, y localizar puntos de inflexión. Explica cómo usar el signo de la derivada primera para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y el signo de la derivada segunda para estudiar la concavidad. También presenta criterios para identificar máximos, mínimos y puntos de inflexión utilizando las derivadas primera y segunda.
Este documento presenta temas adicionales sobre la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos críticos como máximos y mínimos locales, y provee ejemplos y ejercicios resueltos.
Este documento trata sobre las aplicaciones de la derivada en diferentes conceptos matemáticos. Explica que una función es creciente o decreciente dependiendo del signo de su derivada. También cubre cómo determinar máximos, mínimos, concavidad, convexidad y cómo resolver problemas de optimización usando la derivada. Incluye ejemplos resueltos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
Este documento explica los conceptos básicos de derivadas de funciones, incluyendo la definición de derivada de una función, cómo calcular la derivada de funciones específicas en puntos dados, y ejemplos de cómo encontrar la derivada de diferentes funciones en diferentes puntos.
El documento presenta las reglas básicas de derivación para funciones polinómicas. Explica que la derivada de una constante es cero y que la derivada de una función de la forma f(x)=xn es nxn-1. También cubre las reglas para derivar sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones. Proporciona ejemplos para ilustrar cada regla. El objetivo es enseñar los conceptos fundamentales de derivación necesarios para el cálculo.
1) El documento explica cómo aplicar derivadas para calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta. 2) También cubre conceptos como derivadas implícitas, derivadas de orden superior, funciones crecientes y decrecientes, y cómo identificar máximos y mínimos. 3) Finalmente, discute temas como puntos críticos, concavidad, puntos de inflexión y cómo resolver problemas de máximos y mínimos.
El documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como derivadas, tangentes, normales, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión de funciones. Explica cómo calcular la ecuación de la recta tangente y normal en un punto, y cómo determinar intervalos donde una función es creciente, decreciente, cóncava o convexa. También cubre cómo encontrar máximos, mínimos y puntos de inflexión mediante el cálculo de derivadas.
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Este documento trata sobre las aplicaciones de la derivada para estudiar el crecimiento y decrecimiento de funciones, encontrar sus máximos y mínimos, determinar la concavidad y convexidad, y localizar puntos de inflexión. Explica cómo usar el signo de la derivada primera para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y el signo de la derivada segunda para estudiar la concavidad. También presenta criterios para identificar máximos, mínimos y puntos de inflexión utilizando las derivadas primera y segunda.
Este documento presenta temas adicionales sobre la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos críticos como máximos y mínimos locales, y provee ejemplos y ejercicios resueltos.
Este documento trata sobre las aplicaciones de la derivada en diferentes conceptos matemáticos. Explica que una función es creciente o decreciente dependiendo del signo de su derivada. También cubre cómo determinar máximos, mínimos, concavidad, convexidad y cómo resolver problemas de optimización usando la derivada. Incluye ejemplos resueltos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
Este documento explica los conceptos básicos de derivadas de funciones, incluyendo la definición de derivada de una función, cómo calcular la derivada de funciones específicas en puntos dados, y ejemplos de cómo encontrar la derivada de diferentes funciones en diferentes puntos.
El documento presenta las reglas básicas de derivación para funciones polinómicas. Explica que la derivada de una constante es cero y que la derivada de una función de la forma f(x)=xn es nxn-1. También cubre las reglas para derivar sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones. Proporciona ejemplos para ilustrar cada regla. El objetivo es enseñar los conceptos fundamentales de derivación necesarios para el cálculo.
Aplicaciones de la derivada-UNIDAD 5 CALCULO DIFERENCIALeleazarbautista35
Este documento describe las aplicaciones de la derivada en diferentes áreas. Explica que la velocidad representa el cambio de posición con respecto al tiempo y que la derivada puede usarse para calcular la velocidad instantánea. También cubre conceptos como la aceleración y cómo la derivada segunda puede usarse para determinar la aceleración instantánea. Además, menciona brevemente otras aplicaciones de la derivada en mecánica, economía y otras disciplinas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre derivación de funciones, incluyendo la definición de tangente y pendiente, reglas para derivar funciones como polinomios, exponenciales y trigonométricas, y ejemplos de problemas de derivación.
El documento trata sobre temas adicionales de la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio para derivadas, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos, e intervalos de concavidad. También cubre conceptos como puntos críticos y cómo identificar máximos y mínimos locales.
Este documento explica el método del punto fijo para encontrar las raíces de funciones utilizando Microsoft Excel. Presenta cuatro ejemplos numéricos para encontrar las raíces de diferentes funciones aplicando el método del punto fijo en Excel. En cada ejemplo se muestra la tabla con las fórmulas para iterar el proceso y encontrar la aproximación a la raíz, así como un gráfico de la función para verificar la solución obtenida.
Problemas optimizacion para resolver pptNoelBologna
La pecera debe tener una capacidad de 1 m3. Se busca minimizar el costo de construcción, el cual depende de la cantidad de vidrio necesaria. El costo por metro cuadrado de vidrio es de $6. Se propone que la pecera tenga forma de prisma de base cuadrada. Se desarrolla una función para calcular el área total en términos de la longitud de un lado de la base x, y se encuentra que el área es mínima cuando x es igual a 3/2 metros.
Este capítulo introduce los conceptos fundamentales del cálculo diferencial e integral. La primera parte se enfoca en el concepto de derivada, explicando su significado geométrico como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. También define el concepto de límite matemáticamente y provee ejemplos para ilustrar su uso. La segunda parte introducirá el concepto de integral.
El documento presenta las nociones básicas sobre las derivadas de una función. Define la derivada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto dado. Explica las reglas básicas para derivar funciones constantes, potencias, sumas, productos y cocientes. Como ejemplo, deriva las funciones 3x-2+4x2, 3x2-4x+5/(2x-1) mostrando los cálculos. Finalmente agradece al lector.
El documento trata sobre cómo encontrar las dimensiones óptimas de un tablero rectangular para mostrar anuncios de un equipo de fútbol. Se dispone de 4 metros de varilla para rodear el tablero y se quiere maximizar el área. Resolviendo la función área para una variable, se determina que el punto crítico es cuando el tablero es un cuadrado de 1 metro de lado, maximizando el área dentro del perímetro dado.
Este documento presenta conceptos fundamentales del cálculo diferencial para funciones de varias variables, como las derivadas parciales y direccionales. Introduce la definición formal de derivadas parciales para funciones de dos o más variables y explica su interpretación geométrica. Luego define las derivadas direccionales y la matriz jacobiana, y proporciona ejemplos ilustrativos de cada concepto.
Este documento presenta conceptos fundamentales de cálculo diferencial e integral, incluyendo: 1) cómo usar derivadas para calcular velocidad y aceleración; 2) derivadas de funciones implícitas y de orden superior; y 3) criterios para determinar intervalos de crecimiento, extremos relativos, y concavidad/convexidad de funciones. Ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos.
El documento explica conceptos fundamentales sobre rectas tangentes y normales a curvas, incluyendo cómo calcular las ecuaciones de dichas rectas y determinar sus pendientes. También cubre temas como intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos locales, concavidad, convexidad y puntos de inflexión de funciones, así como la representación gráfica de estas.
1) El documento explica conceptos relacionados con derivadas como velocidad, aceleración, derivadas implícitas y de orden superior. 2) Incluye criterios para determinar si una función es creciente, decreciente, máximos y mínimos relativos y absolutos. 3) Aborda conceptos como puntos críticos, concavidad y la regla de L'Hopital para funciones indeterminadas.
Este documento trata sobre el tema de la derivada en Análisis Matemático 1. Explica conceptos clave como la derivada de una función en un punto y su interpretación geométrica como la pendiente de la recta tangente. También cubre reglas para derivar funciones como sumas, productos y cocientes, así como derivadas de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Finalmente, introduce conceptos avanzados como derivadas parciales y derivadas de orden superior.
Este documento explica cómo calcular la derivada de una función utilizando la definición de límite. Presenta ejemplos de cómo derivar funciones elementales como polinomios, exponenciales y logaritmos. También introduce reglas algebraicas para derivar sumas, diferencias y productos de funciones.
Este documento presenta el método numérico del punto fijo para resolver ecuaciones no lineales de la forma f(x)=0. Explica la teoría del método, incluyendo cómo transformar la ecuación en una equivalente de punto fijo x=g(x) y realizar iteraciones para aproximar la raíz. Luego, muestra cuatro ejemplos numéricos aplicando los pasos del método para encontrar raíces de diferentes funciones como x2-2x-3=0, cos(x)=0 y e-x-x=0. Finalmente, propone dos ej
1. La derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente a la curva gráfica de dicha función en un punto.
2. La primera derivada proporciona información sobre el crecimiento/decrecimiento de la función y la existencia de máximos y mínimos.
3. La segunda derivada indica si una función es cóncava o convexa, y permite identificar puntos de inflexión.
Lección 1.2: Interceptos, Valor MáXimo Valor MíNimo Ce LPomales CeL
El documento explica conceptos fundamentales sobre funciones de primer, segundo y tercer grado como ceros de la función, interceptos en y, y valores máximos y mínimos. Define ceros de la función como las soluciones de f(x)=0 e interceptos en y como el valor de f(0). Explica que las funciones cuadráticas pueden tener un valor máximo o mínimo calculable como el punto medio del eje de simetría, mientras que funciones lineales y cúbicas pueden tener valores máximos y mínimos infinitos.
El documento explica las reglas básicas para derivar diferentes tipos de funciones como potenciales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e implícitas. Detalla que para derivar funciones potenciales, logarítmicas y exponenciales se usan fórmulas genéricas que involucran exponentes, logaritmos y derivadas de las funciones dentro del argumento. Para funciones trigonométricas, la derivada del seno es el coseno y viceversa, multiplicadas por la derivada del argumento. Derivar funciones implícit
Este documento explica conceptos fundamentales sobre tangentes, normales, derivadas, extremos y representación gráfica de funciones. Define la pendiente de la recta tangente como la derivada de la función en un punto, y la recta normal como aquella con pendiente igual a la inversa de la derivada. Explica cómo calcular intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad mediante el estudio de las derivadas primera y segunda. También cubre el cálculo de máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre derivadas y sus aplicaciones, incluyendo la tasa de variación media e instantánea, la derivada de funciones elementales y operaciones con funciones, y aplicaciones como el estudio de la monotonía y curvatura de funciones y la optimización de funciones.
El documento describe las aplicaciones de las derivadas para analizar curvas y funciones. Explica cómo usar el signo de la derivada primera para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una curva, así como los máximos y mínimos. También cubre el uso de la derivada segunda para identificar la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de una curva. Proporciona ejemplos detallados de cómo aplicar estos conceptos para graficar funciones.
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...dinorkis
1. El documento explica conceptos fundamentales de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración, derivación implícita y funciones crecientes y decrecientes. 2. Incluye ejemplos detallados sobre cómo calcular la velocidad y aceleración de objetos en movimiento, derivar funciones implícitas y determinar puntos críticos, máximos y mínimos. 3. Finalmente, define concavidad y criterios para identificar cambios en la concavidad de una función a través de su derivada segunda.
Aplicaciones de la derivada-UNIDAD 5 CALCULO DIFERENCIALeleazarbautista35
Este documento describe las aplicaciones de la derivada en diferentes áreas. Explica que la velocidad representa el cambio de posición con respecto al tiempo y que la derivada puede usarse para calcular la velocidad instantánea. También cubre conceptos como la aceleración y cómo la derivada segunda puede usarse para determinar la aceleración instantánea. Además, menciona brevemente otras aplicaciones de la derivada en mecánica, economía y otras disciplinas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre derivación de funciones, incluyendo la definición de tangente y pendiente, reglas para derivar funciones como polinomios, exponenciales y trigonométricas, y ejemplos de problemas de derivación.
El documento trata sobre temas adicionales de la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio para derivadas, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos, e intervalos de concavidad. También cubre conceptos como puntos críticos y cómo identificar máximos y mínimos locales.
Este documento explica el método del punto fijo para encontrar las raíces de funciones utilizando Microsoft Excel. Presenta cuatro ejemplos numéricos para encontrar las raíces de diferentes funciones aplicando el método del punto fijo en Excel. En cada ejemplo se muestra la tabla con las fórmulas para iterar el proceso y encontrar la aproximación a la raíz, así como un gráfico de la función para verificar la solución obtenida.
Problemas optimizacion para resolver pptNoelBologna
La pecera debe tener una capacidad de 1 m3. Se busca minimizar el costo de construcción, el cual depende de la cantidad de vidrio necesaria. El costo por metro cuadrado de vidrio es de $6. Se propone que la pecera tenga forma de prisma de base cuadrada. Se desarrolla una función para calcular el área total en términos de la longitud de un lado de la base x, y se encuentra que el área es mínima cuando x es igual a 3/2 metros.
Este capítulo introduce los conceptos fundamentales del cálculo diferencial e integral. La primera parte se enfoca en el concepto de derivada, explicando su significado geométrico como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. También define el concepto de límite matemáticamente y provee ejemplos para ilustrar su uso. La segunda parte introducirá el concepto de integral.
El documento presenta las nociones básicas sobre las derivadas de una función. Define la derivada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto dado. Explica las reglas básicas para derivar funciones constantes, potencias, sumas, productos y cocientes. Como ejemplo, deriva las funciones 3x-2+4x2, 3x2-4x+5/(2x-1) mostrando los cálculos. Finalmente agradece al lector.
El documento trata sobre cómo encontrar las dimensiones óptimas de un tablero rectangular para mostrar anuncios de un equipo de fútbol. Se dispone de 4 metros de varilla para rodear el tablero y se quiere maximizar el área. Resolviendo la función área para una variable, se determina que el punto crítico es cuando el tablero es un cuadrado de 1 metro de lado, maximizando el área dentro del perímetro dado.
Este documento presenta conceptos fundamentales del cálculo diferencial para funciones de varias variables, como las derivadas parciales y direccionales. Introduce la definición formal de derivadas parciales para funciones de dos o más variables y explica su interpretación geométrica. Luego define las derivadas direccionales y la matriz jacobiana, y proporciona ejemplos ilustrativos de cada concepto.
Este documento presenta conceptos fundamentales de cálculo diferencial e integral, incluyendo: 1) cómo usar derivadas para calcular velocidad y aceleración; 2) derivadas de funciones implícitas y de orden superior; y 3) criterios para determinar intervalos de crecimiento, extremos relativos, y concavidad/convexidad de funciones. Ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos.
El documento explica conceptos fundamentales sobre rectas tangentes y normales a curvas, incluyendo cómo calcular las ecuaciones de dichas rectas y determinar sus pendientes. También cubre temas como intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos locales, concavidad, convexidad y puntos de inflexión de funciones, así como la representación gráfica de estas.
1) El documento explica conceptos relacionados con derivadas como velocidad, aceleración, derivadas implícitas y de orden superior. 2) Incluye criterios para determinar si una función es creciente, decreciente, máximos y mínimos relativos y absolutos. 3) Aborda conceptos como puntos críticos, concavidad y la regla de L'Hopital para funciones indeterminadas.
Este documento trata sobre el tema de la derivada en Análisis Matemático 1. Explica conceptos clave como la derivada de una función en un punto y su interpretación geométrica como la pendiente de la recta tangente. También cubre reglas para derivar funciones como sumas, productos y cocientes, así como derivadas de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Finalmente, introduce conceptos avanzados como derivadas parciales y derivadas de orden superior.
Este documento explica cómo calcular la derivada de una función utilizando la definición de límite. Presenta ejemplos de cómo derivar funciones elementales como polinomios, exponenciales y logaritmos. También introduce reglas algebraicas para derivar sumas, diferencias y productos de funciones.
Este documento presenta el método numérico del punto fijo para resolver ecuaciones no lineales de la forma f(x)=0. Explica la teoría del método, incluyendo cómo transformar la ecuación en una equivalente de punto fijo x=g(x) y realizar iteraciones para aproximar la raíz. Luego, muestra cuatro ejemplos numéricos aplicando los pasos del método para encontrar raíces de diferentes funciones como x2-2x-3=0, cos(x)=0 y e-x-x=0. Finalmente, propone dos ej
1. La derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente a la curva gráfica de dicha función en un punto.
2. La primera derivada proporciona información sobre el crecimiento/decrecimiento de la función y la existencia de máximos y mínimos.
3. La segunda derivada indica si una función es cóncava o convexa, y permite identificar puntos de inflexión.
Lección 1.2: Interceptos, Valor MáXimo Valor MíNimo Ce LPomales CeL
El documento explica conceptos fundamentales sobre funciones de primer, segundo y tercer grado como ceros de la función, interceptos en y, y valores máximos y mínimos. Define ceros de la función como las soluciones de f(x)=0 e interceptos en y como el valor de f(0). Explica que las funciones cuadráticas pueden tener un valor máximo o mínimo calculable como el punto medio del eje de simetría, mientras que funciones lineales y cúbicas pueden tener valores máximos y mínimos infinitos.
El documento explica las reglas básicas para derivar diferentes tipos de funciones como potenciales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e implícitas. Detalla que para derivar funciones potenciales, logarítmicas y exponenciales se usan fórmulas genéricas que involucran exponentes, logaritmos y derivadas de las funciones dentro del argumento. Para funciones trigonométricas, la derivada del seno es el coseno y viceversa, multiplicadas por la derivada del argumento. Derivar funciones implícit
Este documento explica conceptos fundamentales sobre tangentes, normales, derivadas, extremos y representación gráfica de funciones. Define la pendiente de la recta tangente como la derivada de la función en un punto, y la recta normal como aquella con pendiente igual a la inversa de la derivada. Explica cómo calcular intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad mediante el estudio de las derivadas primera y segunda. También cubre el cálculo de máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre derivadas y sus aplicaciones, incluyendo la tasa de variación media e instantánea, la derivada de funciones elementales y operaciones con funciones, y aplicaciones como el estudio de la monotonía y curvatura de funciones y la optimización de funciones.
El documento describe las aplicaciones de las derivadas para analizar curvas y funciones. Explica cómo usar el signo de la derivada primera para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una curva, así como los máximos y mínimos. También cubre el uso de la derivada segunda para identificar la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de una curva. Proporciona ejemplos detallados de cómo aplicar estos conceptos para graficar funciones.
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...dinorkis
1. El documento explica conceptos fundamentales de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración, derivación implícita y funciones crecientes y decrecientes. 2. Incluye ejemplos detallados sobre cómo calcular la velocidad y aceleración de objetos en movimiento, derivar funciones implícitas y determinar puntos críticos, máximos y mínimos. 3. Finalmente, define concavidad y criterios para identificar cambios en la concavidad de una función a través de su derivada segunda.
Este documento describe los pasos para representar gráficamente una función. Explica cómo determinar el dominio, puntos de corte con los ejes, simetría, máximos y mínimos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos de concavidad y convexidad, así como ecuaciones de asintotas. Propone aplicar estos conceptos a una función dada para obtener su representación gráfica.
1) El documento analiza los extremos de funciones de dos variables, describiendo las definiciones de extremos absolutos y relativos. 2) Explica que los puntos críticos se determinan igualando las derivadas parciales a cero y que el criterio de la segunda derivada determina si es un máximo o mínimo. 3) También cubre el método de los multiplicadores de Lagrange para calcular extremos con restricciones.
Este documento explica cómo aplicar derivadas para calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta. Primero define la velocidad como la derivada de la posición con respecto al tiempo y la aceleración como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Luego ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos y explica la derivación implícita para funciones donde la variable dependiente no puede ser despejada explícitamente.
El documento explica cómo encontrar los máximos y mínimos de una función utilizando el criterio de la segunda derivada. Se define qué son los extremos de una función y se describe el procedimiento para encontrarlos, el cual implica calcular la primera y segunda derivada de la función, encontrar los valores críticos igualando la primera derivada a cero, y evaluar la segunda derivada en esos valores críticos para determinar si son máximos o mínimos. El documento provee dos ejemplos para ilustrar este procedimiento y una serie de ejercicios para practicar.
1) El documento define varios tipos de límites que involucran el infinito, como cuando una variable tiende al infinito o cuando una función tiende al infinito al acercarse a cierto punto. 2) Explica conceptos como dominio, recorrido, funciones acotadas y diferentes métodos para calcular límites. 3) Como ejemplo, calcula el límite lim (3-1) y determina dos límites adicionales.
x->oo ___
x
1) La derivada de una función mide la rapidez con que cambia el valor de la función cuando cambia su variable independiente. 2) Tiene aplicaciones como medir velocidad, estudiar tasas de variación, encontrar máximos y mínimos, y determinar concavidad. 3) El teorema de Rolle establece que si una función continua en un intervalo es derivable en su interior y tiene los mismos valores en los extremos, entonces existe un punto en el interior donde su derivada es cero.
Este documento trata sobre derivadas de orden superior y sus notaciones, así como conceptos relacionados como funciones crecientes, decrecientes, concavidades, máximos y mínimos relativos. Explica que las derivadas de orden superior son derivadas continuas de una función. Luego define notaciones para derivadas hasta el orden n y provee ejemplos. También cubre criterios para determinar intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y extremos usando derivadas primeras y segundas.
esta presentación es realizada en cumplimiento con la actividad prevista en la materia de optimización de sistemas y funciones muestra 4 tipos de métodos de optimizacion con su ejemplo correspondiente
El documento trata sobre conceptos básicos de cálculo diferencial e integral como derivadas, velocidad, aceleración, derivadas de orden superior, funciones crecientes y decrecientes, extremos de funciones, concavidad, problemas de optimización, y formas indeterminadas. Explica cómo usar la derivada primera para encontrar puntos críticos y la derivada segunda para determinar si son máximos o mínimos. También cubre cómo estudiar la monotonía de funciones usando el signo de la derivada y aplicar esto para identificar extremos absolutos y relativos.
Este documento presenta los conceptos de máximos y mínimos de funciones, incluyendo definiciones de extremos relativos y absolutos. Explica los criterios para hallar máximos y mínimos utilizando la primera y segunda derivada de una función, incluyendo pasos para derivar la función original, igualar la derivada a cero para encontrar puntos críticos, y determinar la naturaleza de dichos puntos. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de estos conceptos en biología y otras áreas.
El documento explica cómo determinar si una función es creciente, decreciente o constante basado en el signo de su derivada. Una función es creciente si su derivada es positiva, decreciente si su derivada es negativa, y constante si su derivada es cero. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo calcular los puntos críticos y determinar los intervalos donde una función es creciente o decreciente.
1. La función presenta un punto de inflexión único en x = 1, donde cambia de convexa a cóncava.
2. Es creciente para x < 0 y x > 2, y decreciente para 0 < x < 1 y 1 < x < 2.
3. No es continua en x = 1, donde presenta una discontinuidad.
Este documento describe conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo: (1) la tasa de variación media y cómo se calcula, (2) la definición de derivada como un límite, y (3) algunas reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones compuestas o la derivada de la función inversa.
Este documento define los conceptos de límite de una función en un punto, límites laterales, límites finitos e infinitos, límites en el infinito, y propiedades de los límites. Explica las siete formas en que un límite puede ser indeterminado y métodos para resolver cada una, como factorización, uso de expresiones conjugadas, o división por el mayor exponente. También introduce los conceptos de infinitésimos e infinitos y sus propiedades.
El documento describe cómo integrar funciones racionales mediante la separación en fracciones simples. Primero se divide la función racional en términos que puedan integrarse fácilmente. Luego, cada fracción simple se descompone en términos con denominadores que son factores del polinomio denominador original. Finalmente, cada fracción resultante se integra usando cambios de variable y relaciones entre integrales definidas.
Integración de funciones trigonométricasErick Guaman
Este documento presenta 10 fórmulas para integrales trigonométricas correspondientes a las 6 funciones trigonométricas básicas y las inversas de sus derivadas. Explica cómo aplicar un cambio de variable para usar estas fórmulas y resuelve 2 ejemplos numéricos como demostración.
Este documento presenta el método de integración por sustitución. Explica que si se realiza un cambio de variable x = φ(t), la integral se puede expresar en términos de la nueva variable. Además, incluye demostraciones y ejemplos para ilustrar cómo aplicar este método. Finalmente, proporciona una serie de ejercicios resueltos utilizando integración por sustitución.
Este documento trata sobre la integral indefinida. Se define la integral indefinida como el conjunto de todas las primitivas de una función. Se describen propiedades como linealidad y aditividad de la integral indefinida. Finalmente, se presentan métodos para calcular la integral indefinida como integración por sustitución, por partes e integrales inmediatas.
Este documento explica los conceptos de concavidad y punto de inflexión en funciones. Define concavidad como la dirección en que la gráfica de una función se curva (hacia arriba o abajo) y explica cómo determinar los intervalos de concavidad y puntos de inflexión mediante el análisis de la primera y segunda derivada de una función. También muestra cómo usar la segunda derivada para identificar extremos relativos en una función. El documento incluye varios ejemplos resueltos para ilustrar estos conceptos.
Criterios de la primera y segunda derivadaErick Guaman
El documento describe los criterios de la primera y segunda derivada para determinar los máximos y mínimos relativos de una función. El criterio de la primera derivada observa el cambio de signo de la primera derivada en un punto crítico para clasificarlo como un mínimo o máximo. El criterio de la segunda derivada utiliza la concavidad de la función determinada por el signo de la segunda derivada en un punto crítico para clasificarlo. Ambos criterios se basan en que la derivada sea cero y el cambio de signo o concavidad de la derivada siguiente en el punto
1) El documento explica las funciones exponenciales y logarítmicas, incluyendo sus definiciones, propiedades y fórmulas para derivarlas. 2) Presenta ejemplos para derivar funciones exponenciales y logarítmicas utilizando las fórmulas dadas. 3) Cubre temas como la derivada del logaritmo natural, propiedades de los logaritmos y cómo derivar funciones compuestas exponenciales.
El documento explica cómo calcular derivadas de orden superior para funciones definidas implícita, explícita y paramétricamente. Incluye ejemplos de cómo derivar funciones y calcular derivadas de orden superior. También cubre conceptos como derivadas laterales, continuidad y derivabilidad.
El documento describe los conceptos y reglas fundamentales de cálculo diferencial, incluyendo la derivación de funciones constantes, lineales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, inversas, implícitas y compuestas, así como el cálculo de derivadas sucesivas y diferenciales.
Este documento presenta una introducción al cálculo diferencial en varias variables. Contiene seis capítulos que cubren los siguientes temas: campos escalares, límites de campos escalares, diferenciación de campos escalares, plano tangente a algunas superficies, derivadas de orden superior y desarrollo de Taylor, y máximos y mínimos. El documento proporciona definiciones, ejemplos y ejercicios para cada uno de estos temas fundamentales del cálculo multivariable.
Este documento presenta conceptos sobre funciones racionales, exponenciales y logarítmicas. Introduce la función de proporcionalidad inversa y sus características como dominio, recorrido y gráfica. Explica las asíntotas y otras funciones racionales. Luego describe las funciones exponenciales, su crecimiento exponencial y aplicaciones como el interés compuesto. Finalmente presenta las funciones logarítmicas como inversa de la exponencial. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos para practicar estos concept
Este documento define los conceptos de límite de una función en un punto, límites laterales, límites finitos e infinitos, límites en el infinito, y propiedades de los límites. Explica las siete formas en que un límite puede ser indeterminado y métodos para resolver cada una, como factorización, uso de expresiones conjugadas, o división por el mayor exponente. También introduce los conceptos de infinitésimos e infinitos y sus propiedades.
Este documento resume conceptos clave sobre límites de funciones como tipos de indeterminaciones, límites laterales, asíntotas verticales u horizontales. También cubre continuidad de funciones en un punto, incluyendo tipos de discontinuidad como discontinuidad evitable o de salto finito. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos de estos temas.
Este documento resume la evolución histórica del concepto de límite a lo largo de dos mil años, desde los matemáticos griegos hasta el siglo XIX. Se divide la evolución en cuatro etapas, desde el uso implícito del concepto por Eudoxo de Cnido hasta su formalización en el siglo XIX. Se describen los métodos utilizados por figuras como Arquímedes, Kepler, Galileo, Cavalieri, Fermat y Barrow para aproximar magnitudes como áreas, volúmenes y tangentes, los cuales implicaban el concepto
Este documento trata sobre la integral indefinida. Explica conceptos como la primitiva de una función, la integración inmediata y propiedades de las integrales indefinidas. También describe métodos para calcular integrales como la integración por partes, el cambio de variable, la integración de funciones racionales, irracionales y trigonométricas. El objetivo es exponer estos métodos y su importancia en aplicaciones como el cálculo del área bajo la curva.
Este documento presenta información sobre la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) y su programa para fortalecer el bachillerato. El programa incluye la Colección Conocimientos Fundamentales, la cual produce libros y materiales digitales sobre siete disciplinas para el bachillerato. Este libro en particular cubre el cálculo diferencial e integral y forma parte de dicha colección.
Este documento presenta los conceptos básicos de límites y sus propiedades. Explica que un límite existe cuando una función se aproxima a un único valor al acercarse a un punto, y cubre temas como límites de funciones constantes, polinomios, racionales y trigonométricas. También describe propiedades como límites de sumas, diferencias, productos y cocientes, así como el teorema del encaje para determinar límites.
Este documento presenta una línea de tiempo de los principales hitos y eventos en el desarrollo de Internet desde 1958 hasta el presente, incluyendo el desarrollo de ARPANET, TCP/IP, DNS, WWW, motores de búsqueda populares como Google y Yahoo, redes sociales como Facebook y Twitter, y plataformas como Amazon y YouTube.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
2. Aplicaciones de la derivada
Las aplicaciones de la derivada son muy amplias; entre las más importantes se encuentran:
Localización de extremos (máximos y mínimos) de una función
Un máximo es un punto de la función cuya imagen es mayor o igual que la imagen de cualquier punto
que se encuentre cercano a dicho punto. Un mínimo es un punto de la función cuya imagen es menor o
igual que la imagen de cualquier punto que se encuentre cercana a dicho punto:
(x0,f(x0)) máximo de f(x) si para todo x de un entorno de x0, f(x0) ≥ f(x)
(x0,f(x0) mínimo de f(x) si para todo x de un entorno de x0, f(x0) ≤ f(x)
Existen dos maneras de hallar los máximos y mínimos de una función:
1. Hallando la primera y segunda derivadas:
(x0,f(x0)) máximo de f(x) si f’(x0) = 0 y f’’(x0) < 0
(x0,f(x0) mínimo de f(x) si f’(x0) = 0 y f’’(x0) >0
2. Hallando la primera derivada y comprobando el crecimiento de la función:
(x0,f(x0)) máximo de f(x) si f’(x0) = 0, y la derivada en este punto pasa de ser
positiva a negativa.
(x0,f(x0) mínimo de f(x) si f’(x0) = 0, y la derivada en este punto pasa de ser
negativa a positiva.
Problema de extremos: un problema que pretenda resolver una situación en la que cierta magnitud M
depende de otra magnitud x, de forma que M = f(x), y se debe encontrar el máximo o el mínimo de M.
1. En el caso de un problema de máximos, se tratará de hallar un máximo de f(x) y, por lo tanto, se
deberá buscar x0 tal que f’(x0) = 0 y, además, f’’(x0) < 0.
2. En el caso de un problema de mínimos, se tratará de hallar un mínimo de f(x) y, por lo tanto, se
deberá buscar x0 tal que f’(x0) = 0 y, además, f’’(x0) > 0.
Concavidad y convexidad de una función
Una función se dice que es convexa en un punto t cuando dicha función es menor que la tangente en un
entorno de dicho punto.
Una función se dice que es cóncava en el punto t cuando dicha función es mayor que la tangente en un
entorno de dicho punto.
La concavidad y la convexidad de una función pueden hallarse utilizando la derivación:
1. Una función f(x) es convexa en un punto x0 si f’’(x0) < 0.
2. Una función f(x) es cóncava en un punto x0 si f’’(x0) > 0.
Un punto de inflexión de una función es un punto en el que la función pasa de ser cóncava a convexa, o
viceversa. Un punto de inflexión de una función cumple que su 2.ª derivada es 0.
t t
Función convexa Función cóncava
3. Representación de la gráfica de una función
Para la representación de una función es necesario conocer esta información:
• Dominio de la función.
• Puntos de corte con los ejes.
Se trata de buscar los puntos de la gráfica del tipo:
(0,f(0)) o bien, (x,0)
• Simetrías.
Se dice que una función f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas, si se cumple:
f(–x) = f(x)
En cambio, una función es simétrica respecto al origen si:
f(–x) = –f(x)
Gráficamente se traduce en representaciones de este tipo:
• Zonas de crecimiento y decrecimiento.
Se pueden hallar estudiando el signo de la función derivada.
• Máximos y mínimos.
Se deben hallar estudiando cuándo se anula la función derivada.
• Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
Para estudiar la concavidad y convexidad debemos conocer las 2.ª derivadas:
• Asíntotas.
Para descubrir las asíntotas de una función deben comprobarse los límites de dicha función en +∞, −∞ y
en los puntos que no pertenecen al dominio.
Ejemplo: Representar
3
2
( )
1
x
f x
x
=
−
• Dominio de la función:
Todos los puntos excepto por el –1 y el 1.
• Puntos de corte con los ejes:
El único punto de corte con los ejes es (0,0).
• Simetrías:
( )
3 3 3
2 2 2
( ) ( )
( ) 1 1 1
x x x
f x f x
x x x
− −
− = = =− =−
− − − −
Simétrica respecto al origen.
• Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
f(x) es creciente en (–∞,– 3 ) y ( 3 ,+∞)
f(x) es decreciente en (– 3 ,+ 3 )
• Máximos y mínimos:
En
3
3
3,
2
−
−
existe un máximo; en
3
3
3,
2
existe un mínimo.
• Concavidad, convexidad y puntos de inflexión:
En (–∞,–1) y (0,1) f(x) es cóncava.
En (–1,0) y (1,∞) f(x) es convexa.
X
Y
X
Y
Función simétrica respecto al eje de ordenadas Función simétrica respecto al origen
4. En x = 0, la función tiene un punto de inflexión porque pasa de convexa a cóncava.
• Asíntotas:
Asíntotas verticales:
Las rectas x = –1 y x = 1 son asíntotas verticales.
Asíntotas oblicuas:
La recta y = x es una asíntota oblicua.
Representación:
3−
−1
0
1 3
Y
X
–1 y 1 no
pertenecen al
dominio
Máximos y
mínimos
Punto de corte con
los ejes
Creciente
Dereciente
Convexidad
Concavidad
Asíntota
oblicua y = x
Asíntotas
verticales
x = –1, x = 1
5. ¿Cómo localizar máximos y mínimos de una función utilizando su derivada?
Una de las aplicaciones básicas de las derivadas se centra en la busca de máximos y mínimos.
Una función f(x) tiene un máximo en x0 si
f’(x0) = 0 y, además, f’’(x0) < 0; una función tiene un mínimo en x0 si
f’(x0) = 0 y, además, f’’(x0) > 0. También pueden encontrarse máximos y mínimos analizando
el signo de la derivada de f(x) en un entorno de x0.
La derivación tiene múltiples aplicaciones, desde el cálculo de ciertos elementos interesantes para el
trazado de la gráfica de una función, hasta problemas de maximización o minimización.
Una de las aplicaciones más importantes de las derivadas se centra en la busca de máximos y mínimos de
una función. Un máximo es un punto de la función cuya imagen es mayor o igual que la imagen de
cualquier punto que se encuentre cercano a dicho punto. Un mínimo es un punto de la función cuya
imagen es menor o igual que la imagen de cualquier punto que se encuentre cercano a dicho punto:
(x0,f(x0)) máximo de f(x) si para todo x de un entorno de x0, f(x0) ≥ f(x)
(x0,f(x0)) mínimo de f(x) si para todo x de un entorno de x0, f(x0) ≤ f(x)
Por ejemplo, en la gráfica de la función f(x) = 2x3
+ 3x2
– 36x
se han destacado dos puntos de la función que corresponden a un máximo local y a un mínimo local de la
misma (local porque son un máximo y un mínimo en un entorno del punto, pero no un máximo y un
mínimo globales); en el caso del máximo podemos observar que la función antes del máximo es creciente,
mientras que después del máximo es decreciente. Así pues, antes del máximo la derivada de la función
debe ser positiva (si la función es creciente, la derivada es negativa), mientras que después del máximo la
derivada de la función debe ser negativa (si la función es decreciente, la derivada es negativa). Por tanto,
la derivada pasa de ser positiva a ser negativa en el punto máximo; no queda otra posibilidad que la
derivada de la función en el máximo sea igual a 0, es decir, f'(x) = 0.
De la misma manera, la función antes del mínimo es decreciente, mientras que después del mínimo es
creciente; así pues, la derivada antes del mínimo debe ser negativa y
después del mínimo debe ser positiva. Por lo tanto, la derivada en el
mínimo debe ser igual a 0.
En definitiva, si un punto de la función es un mínimo o un máximo
local, su derivada debe ser cero en estos puntos. También puede
comprobarse visualmente, trazando las tangentes en el máximo y el
mínimo, como se observa en el margen.
Evidentemente, la recta tangente es horizontal en ambos casos, es
decir, su pendiente es igual a 0, que, como es sabido, corresponde a la
derivada de la función en el punto correspondiente al máximo y al
mínimo.
Podemos comprobar, en este caso, en qué puntos se anula la derivada:
f'(x) = 6x2
– 6x + 36 = 0
Se trata de los puntos x = 2 y x = –3, tal como se podía observar en la imagen.
Ahora bien, ¿se puede saber cuál de los dos es máximo o mínimo sin mirar la gráfica de la función? Sí
que puede saberse y, además, es muy sencillo; para ello sólo es necesario volver a derivar la función otra
vez, es decir, calcular la segunda derivada utilizando las mismas reglas de derivación. En el caso del
ejemplo:
f''(x) = 12x + 6
6. Después de derivar otra vez la función, la regla para saber si un punto es máximo o mínimo dice así:
Si f'(a) = 0 y f''(a) < 0, entonces el punto (a,f(a)) es un máximo.
Si f'(a) = 0 y f''(a) > 0, entonces el punto (a,f(a)) es un mínimo.
Si f''(a) es igual a 0, entonces no podemos decir nada sobre si se trata de un máximo o un mínimo.
Comprobémoslo con la función del ejemplo:
f''(–3) = 12 · (–3) + 6 < 0, así pues el punto (–3,f(–3)) es un máximo, como ya sabíamos;
f''(2) = 12 · 2 + 6 > 0, así pues el punto (2,f(2)) es un mínimo, como ya sabíamos.
Otra manera sencilla de saber si la función tiene un máximo o un mínimo en cierto punto es comprobar
cómo es el crecimiento en el entorno del punto. De este modo:
si f’(a) = 0, y la derivada en este punto pasa de ser positiva a negativa, entonces en el punto a
debe encontrarse un máximo;
si f’(a) = 0, y la derivada en este punto pasa de ser negativa a positiva, entonces en el punto a
debe encontrarse un mínimo.
Veámoslo en la función anterior, f(x) = 2x3
+ 3x2
– 36x: su derivada es
f’(x) = 6x2
+ 6x – 36. Los puntos en los que esta función se anula son –3 y 2, como sabíamos. Además:
f’(x) > 0 si x < –3, y f’(x) < 0 si x > –3, por lo tanto, en x = –3 tenemos un máximo;
f’(x) < 2 si x < 2, y f’(x) > 0 si x > 2, por lo tanto, en x = 2 tenemos un mínimo.
Esto puede observarse en este gráfico que contiene f(x) y f’(x):
f’(x) > 0 f’(x) < 0 f’(x) > 0
f(x) creciente f(x) decreciente f(x) creciente
¿Cómo se resuelve un problema de máximos o mínimos utilizando la
derivación?
Un problema se dice que es de máximos o mínimos siempre que pretenda resolver una
situación en la que cierta magnitud M depende de otra magnitud x, de manera que M = f(x), y
encontrar el máximo o el mínimo de M. En el caso de un problema de máximos, se tratará de
hallar un máximo de f(x) y, por lo tanto, se deberá buscar x0 tal que f’(x0) = 0 y, además,
f’’(x0) < 0. En cambio, en el caso de un problema de mínimos, se tratará de hallar un máximo
de f(x) y, por lo tanto, se deberá buscar x0 tal que f’(x0) = 0 y, además, f’’(x0) > 0.
Un problema se dice que es de máximos o mínimos siempre que pretenda resolver una situación en la que
cierta magnitud M depende de otra magnitud x, de manera que
M = f(x)
y encontrar el máximo o el mínimo de M.
Veamos un ejemplo de cada caso:
• Ejemplo de máximos:
Con una pieza de cartulina de 10 dm de lado se pretende construir una caja recortando en cada vértice del
cuadrado piezas cuadradas de lado x, ¿qué valor debe darse a x para que el volumen de la caja sea
máximo?
x=–3 x=2
f(x)
f’(x)
7. El volumen de la caja, es decir, el volumen de un prisma rectangular, se puede hallar multiplicando
ancho, por largo y por alto:
V(x) = (10 – 2x)2
· x = 4x3
– 40x2
+ 100x
Así pues, el volumen de la caja dependerá del valor de x. Se debe encontrar un máximo de esta función en
el intervalo (0,5), ya que el corte en los extremos no puede superar los 5 dm. El volumen de la caja, tanto
en 0 como en 5 es igual a 0: V(0) = V(5) = 0. Veamos si podemos hallar el máximo en el interior de este
intervalo. Para ello, trataremos de encontrar un punto, x0, que cumpla las condiciones de un máximo:
V’(x0) = 0
V’’(x0) < 0
La función derivada es:
V'(x) = 12x2
– 80x + 100 = 4(3x2
– 20x +25)
que se anula en:
520 400 300 20 10
5/36 6
x
± − ±
= = = 〈
El primer valor no se encuentra dentro del intervalo considerado, por lo tanto, sólo podemos considerar x
= 5/3. Para saber si en este punto tenemos un máximo o un mínimo de la función debemos calcular la
segunda derivada:
V''(x) = 24x – 80
y V''(5/3) = 24 · 5/3 – 80 < 0
por lo tanto, para x = 5/3 obtenemos un máximo de la función. Así pues, para obtener el máximo volumen
en la caja, debemos recortar pequeños cuadrados de, aproximadamente, 1,66 dm, y el volumen máximo
que se obtendrá con este valor será de:
V(5/3) = (10 – 2 · 5/3)2
· 5/3 = (20/3)2
· 5/3 = 2000/27 ≈ 74,07 dm3
• Ejemplo de mínimos:
Se quieren construir botes cilíndricos (como los de las bebidas refrescantes) de 500 cm3
de volumen.
¿Qué dimensiones (altura y diámetro de la base) se debe dar a un bote de estas características para que
necesite la mínima cantidad de material?
La forma cilíndrica del bote tiene este desarrollo plano:
El material necesario para construirlo debe tener una superficie de S = 2πrh + πr2
.
h
r
8. La condición impone que el volumen sea de 500 cm3
, es decir:
πr2
h = 500
o sea, h = 500/πr2
Así, la función S que depende de r es S(r) = 2πr(500/πr2
) + πr2
= 1000/r + πr2
.
Debemos encontrar un valor para la r de manera que S(r) sea mínimo de la función. Para ello, sabemos
que si r0 es el valor mínimo de esta función, debe cumplirse que:
S’(r0) = 0
S’’(r0) > 0
Calculemos S’(r) e igualemos a 0:
S’(r) = –1000/r2
+ 2πr = 0
2πr2
= 1000/r2
2πr3
= 1000
r3
= 1000/2π
r = 3
1000
2π
por lo tanto, r ≈ 5,42 cm.
Veamos ahora el valor de S’’(r) = 3000/r3
+ 2π.
Es fácil comprobar que S’’(5,42) > 0, por lo tanto, este valor es un mínimo de la función S’(r) y el valor
mínimo es igual a S(5,42) ≈ 276,8 cm2
.
Si se interpretase que el bote debe tener dos tapas, como las latas de refrescos, y no sólo una, la superficie
debería incluir la superficie de la otra tapa:
S(r) = 2πrh + 2πr2
e imponiendo la condición de que el volumen sea 500 cm3
, entonces:
S(r) = 1000/r + 2πr2
En este caso:
S’(r) = –1000/r2
+ 4πr = 0
4πr2
= 1000/r2
4πr3
= 1000
r3
= 1000/4π
r = 3
1000
4π
es decir, r ≈ 4,3 cm.
El valor de S’’(r) = 3000/r3
+ 4π y es fácil comprobar que S’’(4,3) > 0, por lo tanto, este valor es un
mínimo de la función S’(r) y el valor mínimo es igual a:
S(4,3) ≈ 348,73 cm2
¿Qué es la concavidad y la convexidad de una función y qué relación tiene con
la derivación?
Cuando la función cerca de un punto es menor que la recta tangente en ese punto, se dice que
la función es convexa, mientras que cuando la función es mayor que la recta tangente, se dice
que la función es cóncava. Una función es convexa en aquellos puntos en los que su derivada
segunda es positiva, mientras que una función es cóncava en aquellos puntos en los que su
derivada segunda es negativa.
Observando atentamente estas funciones crecientes, con sus tangentes en un punto t:
t t
9. en el primer caso, la tangente en el punto t se encuentra por encima de la función, mientras que en el caso
de la derecha, la tangente en el punto t se encuentra por debajo de la función. Es decir, en el primer caso,
cerca del punto t, la función es menor que la tangente, mientras que en el segundo caso, la función es
mayor que la tangente. En el primer caso se dice que la función es convexa, mientras que en el segundo
caso se dice que es cóncava.
El estudio de segunda derivada de una función es esencial para conocer en qué puntos la función es
cóncava y en qué puntos la función es convexa. Veámoslo: junto a esta función cóncava se han trazado
distintas tangentes a la función:
Podemos observar cómo la pendiente de la recta tangente va creciendo a medida que la función va
tomando valores x mayores. Ahora bien, la pendiente de la recta tangente a una función no es otra cosa
que su derivada; es decir, si la función es cóncava, la derivada de la función derivada crece a medida que
aumenta la x, es decir, la función derivada es una función creciente. Ahora bien, si la función derivada es
creciente, entonces su derivada, esto es, la derivada segunda de la función original, debe ser positiva
(porque sabemos que si una función es creciente, su derivada debe ser positiva). En definitiva, una
función es cóncava en aquellos puntos en los que su derivada segunda es positiva.
De la misma manera, observemos una función convexa, algunas de las rectas tangentes a la función:
Podemos observar cómo la pendiente de la recta tangente va decreciendo a medida que la función va
tomando valores x mayores. Ahora bien, como se acaba de mencionar, la pendiente de la recta tangente a
una función no es otra cosa que su derivada; es decir, si la función es convexa, la derivada de la función
derivada decrece a medida que aumenta la x, o sea, la función derivada es una función decreciente. Así
pues, si la función derivada es decreciente, entonces su derivada, es decir, la derivada segunda de la
función original, debe ser negativa (porque sabemos que si una función es decreciente, su derivada debe
ser negativa). En definitiva, una función es convexa en aquellos puntos en los que su derivada segunda es
negativa.
Puede comprobarse este hecho con la función de un ejemplo anterior:
f(x) = 2x3
+ 3x2
– 36x
Su segunda derivada, como sabemos, es f''(x) = 12x + 6, por lo tanto:
es positiva cuando x > –1/2, es decir, debe ser cóncava;
es negativa cuando x < –1/2, es decir, debe ser convexa.
10. Observando la gráfica puede verse que, efectivamente, la función es cóncava en
(–¥,–1/2), y es convexa en el intervalo (–1/2,+¥), tal como muestra la gráfica de la función:
Ahora bien, ¿qué sucede en el punto –1/2? En este punto, la segunda derivada es igual a 0:
f’’(–1/2) = 12(–1/2) + 6 = 0
Por lo tanto, según las propiedades anteriores, la función en este punto no es ni cóncava ni convexa. Si
observamos la tangente en este punto:
A la izquierda de este punto, la función es convexa, mientras que a la derecha, la función es cóncava.
Dicho de otra manera, a la izquierda de x = –½ la tangente es mayor que la función, mientras que a la
derecha de este punto, la función es mayor que la tangente. Los puntos en los que sucede esto se
denominan puntos de inflexión, y una de sus características es que la segunda derivada en el punto es
igual a 0.
¿Qué información debe conocerse para representar aproximadamente la
gráfica de una función?
Para representar la gráfica una función una de las herramientas fundamentales es el cálculo de
derivadas. La información que debe buscarse para representar una función es: dominio,
puntos de corte con los ejes, simetrías, crecimiento, máximos y mínimos, concavidad y
convexidad, puntos de inflexión y comportamiento asintótico.
Para representar manualmente la gráfica de una función es necesario contar con información sobre
distintos aspectos de la función que resultarán de gran ayuda para el trazado aproximado de la gráfica.
Entre ellos encontramos los aspectos de crecimiento, máximos y mínimos, y concavidad y convexidad,
que requieren el cálculo de derivadas.
Utilizaremos la función
3
2
( )
1
x
f x
x
=
−
para mostrar cómo debe hacerse.
Los aspectos más importantes son:
• Dominio de la función
11. La función f(x) tiene por dominio todos los puntos que no anulan el denominador. En este caso, los puntos
del dominio deben cumplir que x2
– 1 ≠ 0. Por lo tanto, el dominio está formado por todos los puntos
excepto por el –1 y el 1.
• Puntos de corte con los ejes
Se trata de buscar los puntos de la gráfica del tipo:
(0,f(0)) o bien, (x,0)
En la función f(x)
f(x) = 0 x2
= 0 x = 0
Por lo tanto, el único punto de corte con los ejes es (0,0).
• Simetrías
Se dice que una función f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas, si se cumple
f(–x) = f(x)
En cambio, una función es simétrica respecto al origen si
f(–x) = –f(x)
Veamos en dos ejemplos qué significan estas propiedades de simetría gráficamente:
En el caso del ejemplo, la función es simétrica respecto al origen, ya que:
( )
3 3 3
2 2 2
( ) ( )
( ) 1 1 1
x x x
f x f x
x x x
− −
− = = =− =−
− − − −
Se debe tener en cuenta que una función puede que no sea ni simétrica respecto al eje de ordenadas, ni
simétrica respecto al origen.
• Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Se pueden hallar estudiando el signo de la función derivada, en este caso:
4 2
2 2
3
'( )
( 1)
x x
f x
x
−
=
−
Para ver en qué puntos dicha función es positiva o negativa, sólo debemos estudiar el numerador, ya que
el denominador es siempre positivo.
x4
– 3x2
= x2
(x2
– 3)
Así pues, sólo se debe estudiar la expresión x2
– 3, que, como sabemos, se corresponde a una parábola y
cuyas raíces, 3 y – 3 , separan los puntos positivos de los negativos. En definitiva:
f’(x) es positiva en (–∞,– 3 ) y ( 3 ,+∞)
f’(x) es negativa en (– 3 ,+ 3 )
Por lo tanto:
f(x) es creciente en (–∞,– 3 ) y ( 3 ,+∞)
f(x) es decreciente en (– 3 ,+ 3 )
• Máximos y mínimos
La función derivada se anula en 0, − 3 y 3 ; en 0, la función es creciente, por lo tanto, no tiene ni
máximo ni mínimo; en − 3 la función pasa de creciente a decreciente, por lo tanto, en – 3 existe un
máximo. En 3 , la función pasa de decreciente a creciente, por lo tanto, en 3 existe un mínimo.
X
Y
X
Y
Función simétrica respecto al eje de ordenadas Función simétrica respecto al origen
12. • Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
Para estudiar la concavidad y convexidad debemos conocer la segunda derivada:
3
2 3
2 6
''( )
( 1)
x x
f x
x
+
=
−
La única raíz del numerador es 0. En el caso del denominador, las raíces son 1 y –1. Por tanto, el signo de
la 2.ª derivada es:
positivo en (–∞,–1) y (0,1) en estos intervalos f(x) es cóncava;
negativo en (–1,0) y (1,∞) en estos intervalos f(x) es convexa.
Se puede observar que en x = 0, la función tiene un punto de inflexión porque pasa de convexa a cóncava.
• Asíntotas
Para descubrir las asíntotas de una función deben comprobarse los límites de dicha función en +∞, −∞ y
en los puntos que no pertenecen al dominio. Además, debe comprobarse que sí tiene una asíntota oblicua.
En el ejemplo:
Asíntotas horizontales:
No tiene, ya que sus límites a +∞ y −∞ son infinitos.
Asíntotas verticales:
Deben estudiarse los límites en –1 y 1, que no pertenecen al dominio:
1
lim ( )
x
f x−
→−
= −∞
1
lim ( )
x
f x+
→−
= +∞
1
lim ( )
x
f x−
→
= −∞
1
lim ( )
x
f x+
→
= +∞
Por lo tanto, las rectas x = –1 y x = 1 son asíntotas verticales.
Asíntotas oblicuas:
Puede comprobarse que la recta y = x es una asíntota oblicua, ya que:
lim ( ) 0
x
f x x
→+∞
− =
lim ( ) 0
x
f x x
→−∞
− =
Con todos estos elementos, ya puede representarse la función manualmente:
En la actualidad, existen muchos programas de ordenador que permiten realizar la gráfica de la mayor
parte de las funciones tan sólo con escribir su expresión.
3−
−1
0
1 3
y = x
Y
X
13. Ejercicios
1. Dadas estas funciones:
2
2
4
8
)(
x
x
xf
−
=
)ln(
2
)(
x
x
xg = 23)( 3
+−= xxxh
a. ¿Cuál es su dominio?
b. Determina los puntos de corte con los ejes.
c. Calcula los máximos y los mínimos.
d. Calcula los puntos de inflexión.
e. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
f. Calcula los intervalos de concavidad y convexidad.
g. Determina las asíntotas, si es que existen.
2. Al trasladar un espejo de 70 x 100 cm, se ha roto por uno de sus vértices, y se ha
hecho añicos un triángulo rectángulo de 6 x 9 cm. Calcula por dónde debe cortarse
este espejo para obtener otro espejo que también sea rectangular y que tenga la
mayor área posible.
100 cm 9 cm
x x
6 cm
70 cm
y
14. Soluciones
1.
2
2
4
8
)(
x
x
xf
−
=
a. El dominio contiene todos los puntos en que el denominador no es 0: 4 - x2
=
0. Por lo tanto, todos los reales excepto +2 i – 2.
b. (0,0)
c. Derivamos f(x):
f’(x) =
( ) ( )2222
22
4
64
4
)2(8)4(16
x
x
x
xxxx
−
=
−
−−−
y igualarla a 0. Solo cuando x = 0.
Se comprueba que f’’(0)>0. Por lo tanto, un mínimo. Un mínimo en (0,0)
d. No hay, porque no se cumple f’’(x) = 0.
e. Hay 4 zonas de crecimiento o decrecimiento:
Hasta –2: f’(x)<0,por lo tanto, decreciente.
de –2 a 0: f’(x)<0 por lo tanto, decreciente.
de 0 a 2: f’(x)>0, por lo tanto, creciente.
mayor que 2: f’(x)>0, por lo tanto creciente.
f. hasta –2: f’’(x)<0, función convexa
de –2 a +2: f’’(x)>0, función cóncava.
mayor que 2: f’’(x) < 0, función convexa.
g. 3 asíntotas: x =-2 , x = 2, y = -8
15. )ln(
2
)(
x
x
xg =
a. (0,1) U (1,+infinito)
b. No hay.
c. Derivamos la función:
g’(x) = (2ln(x) -2)/ln2
(x)
igualamos a 0.
Un mínimo en (e, 2e).
d. g’’(x) = 0 si x = e2
. Además, g’’’(x) no es 0. Por lo tanta, (e2
,e2
) punto de
inflexión.
e. de 0 a 1: g’(x)<0 función decreciente.
de 1 a e: g’(x)<0, función decreciente
mayor que e: f’(x)>0, función creciente.
f. de 0 a 1: g’’(x)<0 función convexa.
de 1 a e2
: g’’(x)>0, función cóncava.
mayor que e2
: g’’(x)<0, función convexa.
g. asíntota: x =1. Además, cuando x0, g(x) 0
16. 23)( 3
+−= xxxh
a. Todo R
b. (0,2),(-2,0),(1,0).
c. h’(x) = 3x2
- 3=0
En este caso x = +1 ó x = -1.
Calculamos la segunda derivada: h’’(x) = 6x.
Por lo tanto, un mínimo (1, 0) y un máximo en (-1,4).
d. h’’(x) = 6x = 0 si x = 0. Además, h’’’(x) no es 0. Por lo tanto, (0,2) es un
punto de inflexión.
e. hasta -1: h’(x)>0 función creciente.
de -1 a 1: h’(x)<0, función decreciente.
a partir de 1: h’(x)>0, función creciente.
f. hasta 0: h’’(x)<0 convexa.
a partir de 0: h’’(x)>0, cóncava.
g. La función no tiene asíntotas.
2.
100 cm 9 cm
x x
6 cm
70 cm
y
17. El área del nuevo espejo será (100 – y)(70 – x). Deberemos calcular el valor
de y en función de x, para eliminar una de las incógnitas. Si nos fijamos en
esta otra representación:
y
6-x
9
6
es evidente que
9
6 6
y
x
=
− , por lo tanto, y = 3/2 ·(6 – x)
Así pues, debemos maximizar
f(x) = (100 – y)(70 – x) = (100 – 3/2 · (6 – x))(70 – x)
es decir,
f(x)= 6370 + 14x – 3/2 x2
Buscamos ahora su derivada para hallar un máximo:
f’(x) = 14 – 3x
y buscamos f’(x) = 0
18. 14 – 3x = 0 → x = 14/3 cm
Ya que f’’(x) = -3 < 0 nos encontramos con un máximo. el valor de la y en
este punto es:
y = 3/2 ·(6 – x) = 3/2 (6 – 14/3) = 2 cm.
Así, pues, el espejo recortado de área máxima medirá 100 – 2 = 98 cm por
70 – 14/3 = 65,33 cm