Funcion vectorial. Dominio de una funcion vectorial. Ejemplos

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE
HUAMANGA
FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS
ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE INGENIERIA AGRICOLA
TRABAJO 1
DOMINIO DE UNA FUNCION VECTORIAL
DOCENTE :
PULACHE JUAREZ, JOSE C.
ALUMNOS:
HUAMAN CABEZAS, WILLIAN
GUTIERREZ GARCIA, POPI
Ayacucho - Peru
Mayo 2015
1

2. FUNCIONES VECTORIALES
DOMINIO DE UNA FUNCION VECTORIAL
CONTENIDO
1. Introduccion
2. Definicion de una Funcion Vectorial
3. Dominio de una funcion vectorial
4. Resumen
5. Referencias bibliograficas
2

3. 1. INTRODUCCION
Se ha estudiado la recta L en R3
que pasa por el punto p0(x0 , y0 , z0) y es paralela al vector
−→a = (a1 , a2 , a3) como el conjunto L = {p0 + t−→a /t ∈ R}. Luego a cada numero real t le
corresponde el punto p0 + t−→a de la recta, a tal correspondencia le llamaremos funcion vectorial
de variable real y que denotaremos por
−→
f de donde su regla es:
−→
f (t) = p0 + t−→a = (x0 + a1t , y0 + a2t , z0 + a3t)
El dominio de la funcion f(t) es el conjunto de los numeros reales y el ranfgo de f(t) es la
recta que pasa por el punto p0 y es paralela al vector −→a , cualquier funcion que tiene como do-
minio el conjunto de los numeros reales y como rango un conjunto de vectores se llama funcion
vectorial de variable real.
2. FUNCION VECTORIAL
Definicion
Sean f, g y h funciones reales de la variable real t. Entonces se define funcion vectorial R
por medio de
R(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k
Donde t es cualquier numero real del dominio comun de f, g y h. En el plano, se define una
funcion vectorial R mediante
R(t) = f(t)i + g(t)j
Donde t pertenece al dominio comun de f y g.
Ejemplo ilustrativo
Sea R la funcion vectorial definida por
R(t) =
√
t − 2i + (t − 3)−1
j + ln(t)k
Si f(t) =
√
t − 2, g(t) = (t − 3)−1
y h(t) = ln(t), entonces el dominio de R es el conunto
de valores de t para los cuales f(t), g(t) y h(t) estan definidas.
Como f(t) esta definida para t ≥ 2, g(t) esta definida para todo numero real diferente de 3 y
h(t) esta definida para todos los numeros positivos, el dominio de R es {t | t ≥ 2, t = 3}.
La ecuacion
R(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k
Se denomina ecuacion vectorial la cual describe la curva C definida por las correspondientes
ecuaciones parametricas; esto es, una curva puede definirse por medio de una ecuacion vectorial
o un conjunto de ecuaciones parametricas.
3

4. 3. DOMINIO DE UNA FUNCION VECTORIAL
En general el dominio de una funcion vectorial F en Rn
se define como el dominio comun
de todas las funciones escalares componentes de la funcion vectorial, la imagen como el conjunto
de todos los vectores F(t) para algun t en el dominio de F y la grafica se define como su
imagen. Es decir.
DF = {t ∈ R : F(t) esta definido}
IF = {F(t) : t ∈ DF }
GF = imagen (F)
En otras palabras: Una funcion f : I ⊂ R → Rn
cuya regla de correspondecia es
f(t) = (f1(t) ; f2(t) ; f3(t) ; ... ; fn(t)) , t ∈ I
Entonces el dominio de la funcion vectorial f es el conjunto
Df = Df1 ∩ Df2 ∩ Df3 ∩ ... Dfn
Donde Dfi
es el dominio de la funcion componente fi, (i = 1, 2, 3, ...n)
Ejemplo 1. Halle el dominio de la siguiente funcion vectorial:
f(t) = t2
; ln (t − 2) ;
√
4 − t
Solucion
a) Si f1(t) = t2
; f2(t) = ln(t − 2) y f3(t) =
√
t − 4, entonces
Df1 = R Df2 = 2 ; +∞ y Df3 = −∞ ; 4
Luego.
Df = Df1 ∩ Df2 ∩ Df3 = 2 ; 4
Ejemplo 2. Halle el dominio de la siguiente funcion vectorial:
g(t) = 1
t+2
; et
√
9−t2 ; ln(1 − t)
Solucion
b) Si g1(t) = 1
t+2
, g2(t) = et
√
9−t2 , g3(t) = ln(1 − t)
Hallando el dominio de g1(t)
Dg1 : t ∈ Dnum ∩ Ddenom − {denom = 0}
Dg1 : t ∈ R ∩ R − {−2}
Dg1 = R − {−2}
4

5. Hallando el dominio de g2(t)
∃ Dg2 ↔ 9 − t2
> 0
t2
− 9 < 0
(t + 3)(t − 3) < 0
⇒ Dg2 = −3 ; 3
Hallando el dominio de g3(t)
∃ Dg3 ↔ 1 − t > 0
t < 1
⇒ Dg3 = −∞ ; 1
Luego
Dg = Dg1 ∩ Dg2 ∩ Dg3 = −3 ; −2 ∪ −2 ; 1
Ejemplo 3. Determine el dominio de la siguiente funcion vectorial:
f(t) =
√
1 − t2 ,
1−cos2
(t−1
4 )
(t−1
4 )
2 ,
√
t
1−e
√
2t
Solucion
Si: f1(t) =
√
1 − t2 , f2(t) =
1−cos2
(t−1
4 )
(t−1
4 )
2 , f3(t) =
√
t
1−e
√
2t
Hallando el dominio de f1(t)
Df1(t) ∃ ↔ 1 − t2
≥ 0
t2
− 1 ≤ 0
(t + 1) (t − 1) ≤ 0
⇒ Df1(t) = [−1 ; 1]
Hallando el dominio de f2(t)
Df2(t) : t ∈ [Dnum ∩ Ddenom] − {denom = 0}
Dnum = R ∧ Ddenom = R
t − 1
4
2
= 0 → t = 1
4
⇒ Df2(t) = R − 1
4
Hallando el dominio de f3(t)
Df3(t) : t ∈ [Dnum ∩ Ddenom] − {denom = 0}
Dnum = [0 ; +∞[ ∧ Ddenom = R
1 − e
√
2t
= 0
ln e
√
2t
= ln 1
√
2t = 0 → t = 0
⇒ Df3(t) = [0 ; +∞[ − {0} = 0 ; +∞
Luego: Df(t) = Df1 ∩ Df2 ∩ Df3 = ]0 , 1
/4[ ∪ ]1
/4 ; 1]
5

6. 4. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Mitacc Meza, M. (2011) Calculo III. Lima: Thales.
Leithold L. (2000) El calculo. Mexico, D.F: Universidad Iberoamericana.
Jerrold E. Marsden (1998) Calculo vectorial. Nueva York: Addison-wesley iberoamericana.
Espinoza Ramos E. (2000) Analisis Matematico III. Lima: Eduardo Espinoza Ramos.
6