matematica III

1. Ejercicios Resueltos de Cálculo
Vectorial e Integrales de línea.
1.- Determine el valor de , si y .
Solución:

2. 2.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza , para mover una
partícula desde el punto al a lo largo de la curva .
Solución:

3. 3.- Sea . Demuestre que es independiente de
la trayectoria que pasa por dos puntos dados.
Solución:

4. 4.- Verifique el Teorema de Green para , donde es la frontera,
tomada con orientación positiva, de la región acotada por las gráficas y .
Solución:

5. 5.- Demuestre que:
Solución:

6. 6.- Sea , donde y . Determinar
el valor de la integral.
Solución:

7. 7.- Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva
orientada de manera positiva:
Donde consiste del segmento de recta que va desde a y de la curva
con .
Solución:
Se tiene, usando el Teorema de Green en el plano:
Aquí:
Se tiene:

8. 8.- Demuestre que la integral de línea dada es independiente de la trayectoria y evalúe la
integral.
Donde es cualquier trayectoria que va desde – hasta .
Solución:
Es decir, existe con . Así, la integral es independiente de la trayectoria se tiene:
Integrando con respecto a se tiene:
Se tiene:

9. 9.- Sea un campo escalar y un campo vectorial dado por
. Suponga que existen las derivadas parciales y que éstas son
continuas. Demuestre que:
Solución:

10. 10.- Sea
a) Demuestre que es un campo conservativo
Solución:
b) Encuentran el potencial escalar
Solución:
c) Calcule donde está dada por:
Solución:

11. 11.- Calcule , donde es la frontera de la región situada entre las
gráficas de y .
Solución:

12. 12.- Determinar el exponente constante λ, de modo que:
Sea independiente de la trayectoria, si la función está definida en una región simple
convexa.
Solución:
Para que la integral sea independiente de su trayectoria es necesario que:

13. 13.- Calcule la integral de línea ∫ +
C
xyxy
dyxedxye , donde C es la curva formada por los
siguientes segmentos de rectas:
Punto Inicial )1,2()2,1()2,1()1,2()1,2()2,1()2,1()1,2( −→−→−−→−−→−→−→→
Punto Final
Solución:
Como el campo asociado al diferencial es conservador, ya que
),()( xyxyxyxy
ye
y
xyeexe
x ∂
∂
=+=
∂
∂
se tiene que la integral de línea es independiente de la
trayectoria, y por lo tanto:
2
2
1
1
2 1
2
e
edte
dyxedxyedyxedxye
t
xy
C
xy
C
xyxy
+−=−=
+=+
∫
∫∫
−
+
Donde 11),,2()(:* ≤≤−= tttC γ

14. 14.- Dado el campo vectorial . ¿Es posible
afirmar que es nula si , definida por es una curva simple cerrada?
Solución:

15. 15.- Si calcule el trabajo realizado por al desplazar una particula a
lo largo del segmento de recta que va desde el punto al punto . Evalúe sin
utilizar una función de potencial.
Solución: