El documento describe los conceptos básicos de la mecánica cuántica aplicados a sistemas unidimensionales, incluyendo una partícula libre en un potencial constante, una partícula frente a una barrera de potencial y una partícula en una caja de potencial. Explica cómo resolver la ecuación de Schrödinger para cada caso y analiza las posibles soluciones en función de la relación entre la energía de la partícula y el potencial.

1. UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE QUÍMICA
PROGRAMA DE QUÍMICA
Curso: Química Cuántica
Manuel Páez
http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com.co/2009/08/el-modelo-planetario-planetario-de-bohr.html

2. Manuel Páez
Con el fin de concretar los conceptos vistos y
comenzar a desarrollar cierta practica en el
manejo de la ecuación de Schrödinger se
examinan a continuación sistemas sencillos
constituidos por una partícula de masa m y sin
spin en presencia de potenciales
unidimensionales.

3. Manuel Páez
1.Caso de una partícula libre en un potencial constante U= V0= constante
Para construir la ecuación de Schrödinger para este sistema,
se procede así:
0
2
2
0
2
2
2
V
m
H
V
m
p
Ep
Ec
E x
x










Usando la ecuación de valores propios:



 E
    0
2
0
2
0 0
2
2
0
2
2

































 V
m
V
m
x
x


  0
bien
o
0
2 2
``
0
2
2
2










 x
x K
V
m
dx
d

 
K
V
m
K 




 2
0
2
onda
de
vector


4. Manuel Páez
Tres situaciones pueden presentarse según el valor de la energía de la
partícula E, frente al valor constante de V0.
A) E>V0, K es real (Este es el caso de la partícula libre con V0=0 ). Entonces
la solución de la ecuación diferencial anterior está dada por:
Son funciones armónicas, ondas planas: Que corresponden a dos ondas
planas de amplitudes A y B viajando en direcciones contrarias y que ocupan
todo el espacio. Donde está la partícula?
Calculemos ahora la densidad probabilística, usando 1,
entonces:

5. Manuel Páez
2
*
2
1
1
*
1
2
2
. A
Ae
e
A
Kx
i
Kx
i










Como este resultado es una constante independiente del valor de x, esto
significa que la probabilidad de encontrar la partícula es la misma en
cualquier parte de su trayectoria. En consecuencia no podemos hacer
ninguna afirmación acerca de la posición de la partícula, es decir la posición
de la partícula es completamente indeterminada.
B. E< V0, K es imaginario puro, o sea que K=i  con
y la solución está dada por la suma de dos términos exponenciales de la forma
 
2
0
2




V
m

x
x
x Be
Ae 
 




De estos dos términos se escoge sólo aquel que corresponda a una exponencial
decreciente, puesto que la integral del cuadrado de la amplitud debe ser
acotada.
Es evidente que la solución para este caso es:
x
x Ae 



C) E = V0, la solución de la ecuación diferencial es de la forma
B
Ax
x 



6. Manuel Páez
Para la cual dx
x





2
no es acotada, no se anula en el infinito; luego esta
solución para la partícula
en un potencial constante no sirve.

8. Esto es la energía potencial es cero para x<0 y tiene un
valor constante V0 para x>0.
Hay que considerar dos regiones I y II y en el punto de
discontinuidad escribir que la función de onda total de la
partícula y su derivada son continuas.

9. a- En la región I, donde el potencial línea azul vale cero
(V=0), la partícula choca contra el muro en x=0, y
rebota. Este hecho corresponde al caso a) E>V0, con K
real,
2
2
/
/

mE
K
K I
I 

por tanto la solución a la ecuación de Schrödinger es una
onda viajera
x
iK
x
iK
I
I
I
Be
Ae
x 


 )
(

10. En la región II, se presentan dos situaciones: a y b, ya
que según la mecánica cuántica una partícula de
cualquier energía finita tiene una posibilidad finita de
pasar a través de la barrera, así:
a) E>V0, K es real  
II
II K
V
m
K 



 2
0
` 2

La partícula viaja de izquierda a derecha llega al punto x=0 atraviesa
el muro y no se refleja ya que no encuentra ningún muro, no hay
onda reflejada. La solución a la ecuación de Schrödinger es <

11. x
iK
II
II
Ce
x 
 )
(
b) E< V0, K es imaginario puro
KII=i  con  
2
0
2




V
m

x
II De 



La onda transmitida se desvanece es una función exponencial
amortiguada.
ANALISIS DE CONTINUIDAD.
Cuando una partícula atraviesa la frontera entre dos regiones de
distinto potencial, no se divide en dos (lo que confirma que una
partícula no es una onda clásica), sino que bien puede reflejarse o bien
transmitirse.
Caso a) E>V0

12. C
iK
iBK
iAK II
I
I 

Estas dos ecuaciones se pueden resolver para los
coeficientes en función de las constantes, ya que tenemos
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para
calcular B y C en función de A.

13. con K’= KII y K =KI
Caso b) E< V0

14. Con D
B
A
iK 


 )
(
Estas dos ecuaciones se pueden resolver para los
coeficientes en función de las constantes, ya que
tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas para calcular A y B en función de D.

15. TRANSMISIÓN DE PARTÍCULAS A TRAVES DE
BARRERAS DE POTENCIAL
De acuerdo con la mecánica clásica una partícula que se
aproxima a una barrera de potencial pasa a través de esta
región si su energía total, E>>V0 y será reflejada hacia
atrás si su E<<V0.
Sin embargo, de acuerdo con la mecánica cuántica una
partícula de cualquier energía tiene una posibilidad finita
de pasar y ser reflejada por la barrera.
La probabilidad de transmisión o de reflexión puede ser
convenientemente expresada, en términos del coeficiente
de transmisión T ó de reflexión R, definido como la razón
del modulo del flujo de probabilidad de la onda transmitida
o reflejada, respecto al modulo del flujo de probabilidad de
la onda incidente. De este modo:

16. I
T
J
J
T 
I
R
J
J
R 
Donde
 
*
*
2








m
i
J

1

 R
T
EJERCICIO.
Exprese T y R en función del vector de onda K, para el caso de una
partícula frente al escalón de potencial, previamente estudiado:
a) E>V0 b) E < V0
Adicionalmente para el caso a realice e interprete la grafica de R vs
E/V0

17. I
T
J
J
T 
I
R
J
J
R 
 
*
*
2








m
i
J

a) E>V0

19. )
,
(
2 2
2
2
2
y
x
V
y
x
m


















( , ) 0
V x y cte
 

20. i
h
2


21. 
 h
y
h

 cos

x

sen
y 
 
2
2
y
x 






 j
y
i
x
r




 j
sen
i
r 


 cos
i
i
q
r
h





23. 2

27. _______________________________

28. z
L

30. Manuel Páez
PARTICULA EN UNA CAJA DE POTENCIAL
UNIDIMENSIONAL

31. Manuel Páez

32. Manuel Páez

33. Manuel Páez

34. Manuel Páez

35. Manuel Páez

36. Manuel Páez

41. Manuel Páez

43.  





Z
n
,
n
,
n
n
n
n
8ma
h
E
z
y
x
2
z
2
y
2
x
2
2
t

44. 









 2
2
z
2
2
y
2
2
x
2
t
a
n
b
n
a
n
8m
h
E
En general mientras más simétricos
sean los sistemas más degenerados
son.
En los ejemplos examinados ha
aparecido un fenómeno común en
mecánica cuántica: la ruptura de la
degeneración de los estados, conocido
con el nombre de desdoblamiento.

45. Cuando por la acción de cualquier efecto externo, un
estado degenerado se separa en dos o más estados
energéticos definidos, hablamos de desdoblamiento
energético.
En el ejemplo anterior, la distorsión del cubo fue la que
provocó el desdoblamiento. En una forma enteramente
similar, la presencia de un campo magnético produce el
desdoblamiento de los estados atómicos, lo que da
lugar al efecto ZEEMAN en espectroscopia.
Variadas técnicas experimentales hacen uso de este
tipo de desdoblamiento, como : RMN ó la resonancia de
Spin Electrónico (REE)

47. Manuel Páez

48. Manuel Páez

49. Manuel Páez

50. Manuel Páez

51. Manuel Páez

52. TEORÍA DE PERTUBACIONES