Lagrange

1. FORMULACIÓN DE LAGRANGE
1. Considérese un sistema con N grados de libertad descrito por el conjunto de
coordenadas generalizadas {qi} (i=1,...,N), cuyas energías cinética y potencial, T
y V, vienen dadas por
( ) ( i
N
i
iii
N
i
i qVVqqfT ∑∑
==
==
1
2
1
,& )
Demuéstrese que las ecuaciones de Lagrange son separables, de modo que los
distintos grados de libertad no están acoplados y redúzcase el problema a
cuadraturas.
A partir de la lagrangiana, L = T − V, calculemos las derivadas
2 ii
i
fq
q
L
&
&
=
∂
∂
2
d
d
2
d
d 2
ii
i
i
i
i
fq
q
f
q
q
L
t
&&&
&
+=







∂
∂
d
d
d
d 2
i
i
i
i
i
i q
V
q
q
f
q
L
−= &
∂
∂
Así pues la ecuación de Lagrange para cada grado de libertad qi es
0=
d
d
2
d
d 2
i
i
iii
i
i
q
V
qfq
q
f
++ &&&
que como vemos sólo depende del propio grado de libertad qi, de manera que los
distintos grados de libertad están desacoplados y cada cual evoluciona
independientemente de los demás. En particular, la energía contenida en cada grado de
libertad
2
iiii VqfE += &
se conserva constante durante la evolución como es fácil ver, pues
d
d
d
d 2
i
i
i
i
i
i
i
q
V
q
q
f
q
E
+= &
∂
∂
2 ii
i
i
fq
q
E
&
&
=
∂
∂
resultando que
=2+
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 3
iiii
i
i
i
i
ii
i
ii
i
iii
qqfq
q
V
q
q
f
t
q
q
E
t
q
q
E
t
E
t
E
&&&&&
&
&
+=++=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
0=2+
d
d
d
d
= 2






+ ii
i
i
i
i
i
i qf
q
V
q
q
f
q &&&&
3

2. Así pues, las energías Ei son constantes determinadas por las condiciones iniciales,
,{ }00 , ii qq &
( ) ( )0
2
00 iiiiii qVqqfE += &
de manera que la evolución de cada grado de libertad viene dada por la integral
t
f
VE
qq
t
i
ii
ii d00 ∫
−
±=−
----------------------------------------------
2. Un punto de masa M describe, en el plano 0XY, una curva dada por la ecuación
y = f(x) cuando está sometida a un potencial que sólo depende de y. Si v0 es la
proyección de la velocidad sobre el eje 0X, se pide:
a) hallar una expresión general del potencial en función de f.
b) Aplique la expresión obtenida en el apartado anterior al caso de que la
ecuación de la curva sea ay2
= x3
.
a) Sea V(y) el potencial pedido. La lagrangiana de la masa puntual será
( ) ( )yVyx
M
L −+= 22
2
&&
de donde se obtienen las ecuaciones de Lagrange
( )
( )






−=
=
y
V
yM
t
xM
t
d
d
d
d
0
d
d
&
&
Integrando dos veces la primera ecuación se obtiene que la proyección del movimiento
sobre el eje 0X es un movimiento uniforme con velocidad . La integral de la
segunda ecuación con respecto de y determina el potencial
0vx =&
∫−= yyMCV d&&
donde C es una constante arbitraria. Como por otra parte
( ) ( )
( ) 2
0
0
d
d
vxfy
vxfxx
x
f
y
′′=
′==
&&
&&
la expresión del potencial es
( ) yxfMvCV d2
0 ∫ ′′−=
y, para realizar la integral, hay que sustituir .)(1
yfx −
=
4

3. b) Para el caso particular en que la función es
a
x
y
3
= , la función inversa es
, de manera que( ) 3/12
ayx =
( )
( ) 3/1
3/2
4
3
4
3
2
3
−
==′′
=′
y
aax
xf
a
x
xf
Sustituyendo en la ecuación del apartado anterior y realizando la integral se llega al
resultado.
-------------------------------------------------
3. Considérese una transformación desde un sistema estacionario de ejes
cartesianos Oxyz a otro Ox’y’z’ que gira con velocidad angular constante ω
alrededor del eje Oz. Transforme la lagrangiana de una partícula considerada
libre en el sistema Oxyz a la correspondiente en el sistema Ox’y’z’, e identifique
en esta última los términos que corresponden a las fuerzas de Coriolis y
centrífuga.
La transformación de Oxyz a Ox’y’z’ es:
txtyy
tytxx
ϖϖ
ϖϖ
sincos
sincos
′+′=
′−′=
La energía cinética de la partícula viene dada por:
)(~
2
1
)(~)(
2
1
)(
2
1 222222222
yxmyxyxmzyxmzyxmT ′+′+′′−′′+′+′+′=++= ωω &&&&&&&&
La expresión que aparece en las ecuaciones de Lagrange puede considerarse
como una fuerza ficticia que aparece debida a las peculiaridades del sistema de
coordenadas. En nuestro caso:
iqT ∂∂ /
xmym
x
T
′+′=
′∂
∂ 2~~ ωω &
,
con una expresión similar para (la correspondiente parcial con respecto a z’es
nula). Los dos términos de la expresión anterior pueden identificarse como las
componentes de la mitad de las fuerzas de Coriolis y centrífuga, respectivamente. La
otra mitad de la fuerza de Coriolis procede del término
iyT ′∂∂ /






∂
∂
iq
T
dt
d
& de las ecuaciones
de Lagrange.
------------------------------------------
5

4. 4. Una cuenta de masa m desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre circular
de radio a. El alambre, situado verticalmente en un campo gravitatorio, gira
alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular ω. Para una velocidad
angular ω mayor que un cierto valor crítico ωc, la cuenta tiene un punto de
equilibrio mecánico estable en una posición dada por un ángulo θ0 respecto de
la vertical. Se pide:
a) Encontrar ωc y θ0 ;
b) Obtener las ecuaciones del movimiento para pequeñas oscilaciones alrededor
de θ0 y encontrar su periodo.
a) La energía cinética de la cuenta es:
2222
)sen(
2
1
2
1
θωθ ammaT += & .
La ecuación de Lagrange nos lleva a:
0sencossen 2
=−+ θθωθθ aga &&
En el punto de equilibrio,
0=θ&& , g = aω 2 cos θ, ó.: ω 2 = g/(a cos θ).
Esta última ecuación tiene una solución para ω sólo si ω 2 ≥ g/a, con lo que la
velocidad angular crítica es
a
g
C =ω
y el ángulo de equilibrio es






= 20 cosarc
ω
θ
a
g
b) Si la cuenta efectúa pequeñas oscilaciones alrededor de θ0, podemos describir el
movimiento en términos de un pequeño parámetro ε = θ − θ0. La ecuación del
movimiento se transforma en
0)(sen)(cos)(sen 00
2
0 =++−++ εθεθωεθε aga &&
Para pequeños valores de ε, . Teniendo en cuenta esto y el valor
obtenido de θ0, la ecuación anterior queda en
1cosysen ≈≈ εεε
6

5. 01 42
2
2
=





−+ ε
ω
ωε
a
g
&&
La frecuencia de oscilación será:
42
2
1
ω
ω
a
g
−=Ω
---------------------------------------------
5. Un elemento diferencial de arco de una cierta superficie se puede poner de la
forma
2
21
2
1
2
)( dqqadqds +=
Se pide:
a) La ecuación que cumplen las líneas geodésicas de la superficie
b) Demostrar que las curvas q son geodésicascte.2 =
c) ¿Qué dependencia con el tiempo tiene, en el caso contemplado en b), la
coordenada ? (Nota: las geodésicas son las trayectorias que sigue un punto
sobre la superficie en ausencia de toda fuerza).
1q
a) En ausencia de toda fuerza, y considerando m=1,
( )2
21
2
1 )(
2
1
qqaqTL && +==
La coordenada q es cíclica; luego2
21
2
)( qqaC
q
T
&
&
==
∂
∂
(1)
donde C es una constante. Por otra parte, la energía total:
( 2
21
2
1 )(
2
1
qqaqE && += ) (2)
es también una constante del movimiento. Eliminando dt de (1) y (2), se obtiene una
ecuación diferencial entre las coordenadas q y que es precisamente la ecuación de
las geodésicas. Integrando dicha ecuación se obtiene:
1 2q
∫






−
=
)(1
)(2
12
1
1
2
qa
C
qaE
dq
q
b) Las curvas , recorridas con la ley horariacte.2 =q EtqEq 2,2 11 ==& , son
soluciones de las ecuaciones (1) y (2).
7

6. c) De acuerdo con lo visto en b), la coordenada evoluciona según un movimiento
uniforme.
1q
-----------------------------------------------
6. Si el sistema solar estuviese sumergido en una nube esférica uniforme de
partículas sólidas, los objetos en el sistema solar experimentarían una fuerza
gravitatoria total que sería
br
r
k
Fr −−= 2
Podemos asumir que la fuerza extra debida a la presencia de la nube es débil
)( 3
rkb << . Encuentre la frecuencia de las oscilaciones radiales de una órbita
cuasicircular (ésta es una órbita con pequeñas desviaciones radiales de la
órbita circular).
La ecuación de movimiento es:
dr
rdV
rm
ef )(
−=&&
Si la partícula está en una órbita circular de radio , se cumple:0r
02
0
3
0
2
0
)(
br
r
k
mr
l
dr
rdV
rr
ef
−−=−
=
Estamos interesado en perturbaciones alrededor de esta órbita circular. Si esta
perturbación es pequeña, podemos expandir el potencial efectivo alrededor de ,0r
L+′′−+′−+= )()(
2
1
)()()()( 0
2
0000 rVrrrVrrrVrV efefefef
Si utilizamos esta expansión en la expresión del lagrangiano, encontramos:
),()(
2
1
2
1
0
2
0
2
rVrrrmL ef
′′−−= &
donde hemos eliminado el término constante. La expresión anterior es el lagrangiano de
un oscilador armónico, de frecuencia
m
rVef )( 02
′′
=ω
Diferenciando dos veces el potencial efectivo encontramos, para la frecuencia de las
pequeñas oscilaciones radiales alrededor de la órbita circular,
21
3
0
4








+=
m
b
mr
k
ω
-----------------------------------------------
8

7. 7. Una cuenta de masa m puede deslizar sin rozamiento a lo largo de una varilla
rectilínea. La varilla gira en un plano vertical, teniendo a uno de sus extremos
como centro de giro y con velocidad angular constante, ω. En presencia de un
campo gravitatorio constante, calcúlese la posición radial, r, de la cuenta como
función del tiempo, si las condiciones iniciales son: .r R r( ) ; &( )0 0= = v
Si θ es al ángulo que forma la varilla con respecto a la horizontal, y r es la posición de
la cuenta a lo largo de la varilla, la energía cinética en coordenadas polares es:
( ) ( )222222
2
1
2
1
ωθ rrmrrmT +=+= &&&
y la lagrangiana
( ) tmgrrrmL ωω sen
2
1 222
−+= &
La ecuación del movimiento resulta:
tgrr ωω sen2
−=−&& ,
siendo su solución






+−+= tsen
2
senh
2
cosh 22
ω
ω
ω
ωω
ω
g
t
gv
tRr
---------------------------------------
8. La lagrangiana para una partícula cargada moviéndose en un campo
electromagnético es, en coordenadas cartesianas,
vA⋅+−=
c
e
eTL φ
a) Evaluar cuál es la dependencia en y A de los campos eléctrico y magnético,
para que L genere la conocida ecuación newtoniana de movimiento en un campo
electromagnético.
φ
b) Seguidamente, demostrar que los campos son invariantes bajo la
transformación (conocida como gauge)
).,(
1
),,(
t
tc
t
r
rAA
Ψ−→
Ψ∇+→
∂
∂
φφ
A partir de la lagrangiana dada se verifica que:
,
,
3
1
3
1






++=+=
+−=
∑
∑
=
=
k
i
k
i
ki
i
i
i
k i
k
k
ii
t
A
r
A
v
c
e
m
dt
dA
c
e
vm
v
L
dt
d
r
A
v
c
e
r
e
r
L
∂
∂
∂
∂
ν
∂
∂
∂
∂
∂
∂φ
∂
∂
&&&
9

8. quedando la ecuación del movimiento:






−+





−−= ∑
= k
i
i
k
k
k
i
i
i
r
A
r
A
v
c
e
t
A
cr
evm
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂φ 3
1
1
& .
Comparando con la conocida forma,
( )iii Bv
c
e
eEvm ×+=& ,
queda,
).,(),(
),,(
1
),(),(
tt
t
tc
tt
r
r
rArB
rArrE
×∇=
−−∇=
∂
∂
φ
Una vez conocidas estas expresiones para los campos, verificar que son invariantes bajo
la transformación gauge anterior es un ejercicio simple.
------------------------------------
9. Si dos lagrangianas, L y L’, son tales que:
( ) ( ) ;
),(
,,,,
dt
tdM
tLtL
q
qqqq +=′ &&
a) demostrar que llevan a las mismas ecuaciones del movimiento.
b) Comprobar que la transformación de potenciales del problema anterior
pertenece a este caso, si L es la lagrangiana ahí detallada.
Calculamos para L y L’ las ecuaciones de Lagrange, pudiendo observar que para que
sean idénticas debe cumplirse que:
.0=





−
dt
dM
qdt
d
q kk
&∂
∂
∂
∂
El ejercicio es trivial. Por otra parte, el efecto de la transformación gauge sobre la
lagrangiana del problema anterior es:
),(
2
1
t
c
e
dt
d
L
tc
e
L
c
e
emL rvAvvv Ψ+=





Ψ∇⋅+
Ψ
+=′⋅+′−⋅=′
∂
∂
φ ,
tal como queríamos demostrar.
---------------------------------------------
10. Hallar y resolver las ecuaciones de Lagrange para el sistema formado por dos
péndulos acoplados según indica la figura. Las varillas de longitud y sonL L′
10

9. rígidas de masa nula, mientras que la barra horizontal rígida de longitud
tiene una masa .D bm
a=
2
1
=
cosθ
Posición de los puntos de la barra:
Dxayxx ≤′≤−=′+ 0;cos;sin θθ
θθθθ &&&& sin;cos ayax ==
Energía cinética barra 22
0
22
2
θθρ && a
m
axd
D
b
∫ =′
T= )(
2
1 2222
amLmmL b+′′+θ&
)(cos)coscos( LmmLamgLmmLamgV bb
′′++−=′′++−= θθθ
Se comporta como un péndulo simple de longitud λ y masa tal que:µ
2222
amLmmL b+′′+=µλ
amLmmL b+′′+=λµ
Entonces:
amLmmL
amLmmL
b
b
+′′+
+′′+
=
222
λ
222
2
)(
amLmmL
amLmmL
b
b
+′′+
+′′+
=µ
-------------------------------------
11. Estudiar y resolver por el método de Lagrange el movimiento de la máquina de
Atwood compuesta de la figura, en donde las masas de las poleas son y .0 2m
Como las longitudes de los hilos son constantes, tenemos las ligaduras:
DConstxxxx
CConstxx
==−+−
==+
.)()(
.
2324
21
11

10. de donde:
134
12
22 xxCDx
xCx
−−+=
−=
Además, la polea 2, de radio R gira a una velocidad angularω , de modo
que su energía cinética rotativa es:
)( 23
1
xxR && −= −
2
23 )(
2
1
xxTp
&& −= α
donde la constante α esta relacionada elementalmente con m .2
Así, pues, usando y como las dos coordenadas independientes:1x 3x
2
134
2
33
2
22
2
11
2
13
2
44
2
33
2
22
2
11
)2(
2
1
2
1
2
1
2
1
)(
2
1
4
1
2
1
2
1
2
1
xxmxmxmxmxx
xmxmxmxmTT p
&&&&&&&
&&&&
++++++
=++++=
α
- energía cinética.
)( 44332211 xmxmxmxmgV +++−= - energía potencial
)2(( 134331211 xxmxmxmxmgV +−+−−= + Constante-irrelevante.
Finalmente:
))()2(( 4334211 mmxmmmxgV −+−−−=
Ambos grados de libertad y están uniformemente acelerados, mientras que la
energía es una función cuadrática de las velocidades.
1x 3x
---------------------------------------
12. Consideramos la evolución de un cuerpo puntual de masa , constreñido a
moverse sin rozamiento sobre un anillo fijo circular en presencia de una
aceleración uniforme . El anillo tiene radio , se encuentra en un plano
vertical y su espesor es despreciable.
m
g R
Puesto que el cuerpo se mueve sobre una curva (unidimensional),el número de grados
de libertad del problema es la unidad (dos para una superficie, tres para un volumen).
12

11. Claramente, la posición del móvil la fija una sola variable, el ángulo θ , por ejemplo.
Habrá pues una única ecuación de Lagrange. Construyámosla.
La energía cinética T para una partícula de masa que se mueve en el plano es:m yx −
),( 22
yxmT && +=
de modo que, escribiendo e en función de y θ ,x y R
,cos;sin θθ RyRx −== (1)
y derivando respecto del tiempo, resulta para las energías cinética y potencial V en
función de θ ,
T
2
2
2 θ&
mRT = (2)
.cosθmgRmgyV −==
Así pues, la ecuación de Lagrange (solo una para un problema con un solo grado de
libertad) correspondiente al Lagraniano .L
)cos
2
(
2
θ
θ
+=−=
g
RmgRVTL
&
(3)
es:
.0sin =+ θ
θ
g
R
&&
(4)
Nótese que, gracias a las ligaduras, un problema plano que en principio hubiera
requerido dos ecuaciones de segundo orden para e , se ha despachado en términos
de una sola para θ .Pero caben simplificaciones mayores aún, de resultas de las simetrías
(o invariancias) presentes. Obsérvese que el Lagrangiano de hecho no depende
del tiempo t . Ello implica automáticamente que la energía T se conserva , y la
ecuación (4) puede reducirse a una de primer orden. Efectivamente, introduciendo la
nueva variable dependiente
x y
),( tL θ
V+
θ&=p , (5)
y usando a θ como la nueva variable independiente (fórmula tradicional para reducir
ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la variable independiente , t aquí , no
aparece explícitamente)
θθ
θ
d
d
p
d
d
dt
d
dt
d
== (6)
de modo que (4), que era de segundo orden, se vuelve de primer orden:
pR .0sin =+ θ
θ
g
d
dp
(7)
Integrando, se obtiene la ecuación de la energía
teConsE
g
p
R tancos
2
2
==− θ (8)
13

12. La solución ahora se reduce a una cuadratura, puesto que al ser conocida (ecuación
8), (5) se convierte en la ecuación separable (y por tanto integrable)
)(θp
REg
d
p
d
dt
/)cos(2)( θ
θ
θ
θ
−
== (9)
-----------------------------------------
13. Péndulo plano de masa , cuyo punto de suspensión (de masa ) puede
desplazarse en el mismo plano sobre una recta horizontal.
2m 1m
− Hay dos grados de libertad, que pueden caracterizarse por la coordenada de la
primera masa, y por el ángulo θ entre la varilla del péndulo y la vertical.
1
x
2
2
1
11
x
mT
&
= ;V 01 =
)(
2
2
2
2
2
2
2 yx
m
T && += ; 222 mgyV =
Pero , , de modo queθcos2 Ry −= θsin12 Rxx +=
[ ]2
1
22
2 )cos()sin(
2
θθθθ &&& RxR
m
T ++=
.cos22 θgRmV −=
El Lagrangiano resulta inmediatamente de su definición, , y
análogamente resultarían las ecuaciones de Lagrange (el alumno deberá escribirlas
como ejercicio).
2121 VVTTL −−+=
Nótese que no depende ni del tiempo t (se conserva la energía total), ni de ( es
coordenada cíclica ,
L x x
0=
∂
∂
−
x
L
, y se conserva su cantidad de movimiento conjugada,
x
L
p
∂
∂
= ). El sistema de las ecuaciones de Lagrange de cuarto orden (dos de segundo
orden), pueden pues reducirse a una de segundo orden. Las dos integrales primeras
asociadas a las consideraciones anteriores son
ConstRmmmx
x
L
p =++=
∂
∂
= θθ cos)( 2211
1
&&
&
(4)
.2121 ConstVVTTE =+++= (5)
14

13. La ecuación (4) es fácil de interpretar como el hecho de la conservación de la cantidad
de movimiento en la dirección (como siempre, esta propiedad resulta de la
invariancia del problema ante traslaciones en la dirección ).
x
x
.2211 xmxmp && += (6)
Para mayor simplificación, esta última ecuación también admite otra integración exacta
(Problema para alumnos imaginativos: a ver quien es capaz de interpretar este hecho
matemático como la invariancia de algún ente físico ante una transformación de alguna
clase), igual que en el movimiento de una partícula libre(la suma de fuerzas en la
dirección es nula).x
.sin)( 2121 ConstRmxmmtp =+++− θ (7)
Así pues, el problema queda reducido a uno de primer orden. Bastaría con resolver la
ecuación de la energía total en la que la única variable desconocida sería , ya que y
pueden expresarse en función de y mediante las ecuaciones (6) y (7).
θ 1x
1x& θ θ&
El lector deberá terminar el problema en detalle. Para ello, hacemos notar que esta única
ecuación pendiente de resolución toma la forma más sencilla en el sistema de referencia
que se mueve en la dirección con la velocidad constante del centro de masa de las dos
partículas. Usando como coordenadas
x
)(
)(
21
2211
mm
xmxm
c
+
+
= y ,θ
c (la coordenada horizontal del centro de gravedad) resulta ser también cíclica, y la
integral de la energía se reduce a:
22
θ&R [ ]
2
22
cos2sincos
m
E
gRa =−+ θθθ ,
donde
).( 21
1
mm
m
a
+
=
El problema queda pues reducido a una cuadratura, como los anteriores,
2
22
cos2
sincos
m
E
gR
a
Rddt
+
+
=
θ
θθ
θ .
Ahora podemos pasar a completar la descripción del problema. Empezamos por :
θθθθθθθ cos)cos2cossin(
2
1
2
1
21
2222
1
2222
11 gRmxRRxRxmVTL +++++=−= &&&&&& =
θθθθ coscos
2
1
2
212
22
2
2
1
21
gRmxRmRmx
mm
+++
+ &&&&
Ecuaciones de Lagrange:
15

14. [ ] 0cos)(0 221
11
=++⇒=
∂
∂
−





∂
∂
θθ&&
&
Rmxmm
dt
d
x
L
x
L
dt
d
0sincos 2
2
21
=−+
+
⇒ θθθθ &&&&&x
Rm
mm
θθθθθ
θθ
sinsin)cos(0;0 12212
2
2
&&&&&
&
xRmgRmxRm
dt
d
Rm
LL
dt
d
+++==
∂
∂
−





∂
∂
0sincos1 =++ θθθ gxR &&&&
Coordenadas del centro de masas: ⇒−=
+
+
= 21
21
2211
; xxr
mm
xmxm
c eliminando
y en función de y :
1x
2x c r
r
mm
m
cxr
mm
m
cx
21
1
2
21
2
1 ;
+
−=
+
+=
2
22
2
22
2
11
2
1
2
1
2
1
ymxmxmT &&& ++=
Pero
=





+
+
+
++





+
+
+
−=+ 22
21
2
21
22122
21
1
21
12
2
2
22
2
11
)(2
2
)(
2
2
1
22
r
mm
m
rc
mm
m
c
m
r
mm
m
rc
mm
m
cm
xmxm
&&&&&&&&
&&
2
)(
2
1 2
2
21
r
cmm
&
& µ++
con
21
21
mm
mm
+
≡µ y =2
22
2
1
ym & { }=θcos2 Ry −= .sin
2
1 222
2 θθ &Rm
Así pues,
θ
θθµ
θ
cos
)sincos(
22
)(
2
2
2
2
22
21
2
gRmV
m
Rmmc
T
−=
++
+
=
&&
c es coordenada cíclica )0( =
∂
∂
c
L
de modo que Además se conserva la
energía de modo que
.constc =&
EconstgRmmR ≡=−+ θθθµθ cos2)sincos( 2
2
2
222 & (el doble de la energía total)
θθµ
θ
θ
2
2
2
2
sincos
cos2
mR
gRmE
+
+
=&
θ
θθµ
θ
cos2
sincos
2
2
2
2
gRmE
m
Rddt
+
+
=⇒
-------------------------------------
16

15. 14. Considérese el regulador ilustrado en la figura. ¿Cuántos grados de libertad
hay? En función de los ángulos y , obténgase el Lagrangiano del sistema y
escríbanse las ecuaciones de Lagrange. Utilizando las simetrías, redúzcase el
problema a una cuadratura. Interprétense físicamente cada una de las
ecuaciones de conservación (o integrales del movimiento) obtenidas.
θ φ
φθ cossin1 Rx =
φθ sinsin1 Ry =
121 2;cos zzRz =−= θ
φθφφθθ sinsincoscos1 RRx &&& −=
φθθ sincos1 Ry && = 222222
1
2
1
2
1 sincossin φθθφφθ &&&&&& RRzyxR +=++⇒+
θθ && sin1 Rz =
)sin4sin( 22222222
θθφθθ &&& RRRmT ++=
θcos6)(2 21 mgRzzmgV −=+=
El Lagrangiano es:
θθθφθθ cos6)sin4sin( 222222
mgRmRL +++= &&&
Nuevamente hay una variable cíclica, .0: =
∂
∂
φ
φ
L
Evidentemente, si se varia en una
cantidad fija (por ejemplo girando el eje x a un ángulo dado ), el sistema no se
inmuta. Es invariante ante desplazamientos constantes de la variable . Se conserva
pues la cantidad
φ
φ∆
φ
φθ
φ
&
&
22
2 sin2mR
L
p =
∂
∂
= , fácilmente identificable con el momento
angular en la dirección vertical. Nuevamente, eliminando
φ& en términos de (constante) y haciendo uso de la ecuación de la energía,2p
,
sin4
)sin41(cos6 22
2
2222
θ
θθθ
mR
p
mRmgRVTE +++−=+= &
El problema se reduce a dos cuadraturas (o meras integrales):
17

16. θ
θ
θ
θ
θ ⇒
−+
+
=∫ ∫
22
2
2
22
sin4
cos6
)sin41(
mR
p
mgRE
mR
ddt )(tθ=
----------------------------------
15. Dos puntos de masa están unidos por una varilla rígida sin peso de longitud
,el punto medio de la cual está obligado a moverse sobre una circunferencia
de radio . Escríbase la energía cinética en coordenadas generalizadas.
Obténgase el Lagrangiano del sistema y escríbanse las ecuaciones de Lagrange.
Utilizando las simetrías existentes, redúzcase el problema a una cuadratura.
Interprétense físicamente cada una de las ecuaciones de conservación (o
integrales del movimiento) obtenidas. Toda la acción ocurre en el plano
vertical; la constante gravitatoria es .
m
b2
R
g
+r =posición pto. superior = ;ji ++ + yx
=−r posición pto. inferior = ji −− + yx
Para simplificar el álgebra, introducimos la notación compleja (no es absolutamente
imprescindible)
)1( −=+= iiyxr
−−−+++ +=+= iyxriyxr ;
Claramente
21
Re θθ ii
ber ±= −
±
21
21 Re θθ
θθ ii
eibir &&& ±=± .
*rr=⋅ rr , donde es el complejo conjugado de ;*r r iyxr −=*
=±±= −−
± )Re)(Re( 2121
2121
2 θθθθ
θθθθ iiii
beber &&&&&
)( )()(
21
2
2
22
1
2 1221 ϑθθθ
θθθθ −−
+±+= ii
eeRbbR &&&&
)()(
2
1 2
2
22
1
222
θθ &&&& bRmrrmT +=+= −+
18

17. 121 sin2)( θmgRyymgV =+=
)sin2( 1
2
2
22
1
2
θθθ RgbRmL −+= &&
Nótese que es coordenada cíclica, pues2θ .0
2
=
∂
∂
θ
L
2θ
En otras palabras, al sistema no le
afecta que se le dé a la variable un desplazamiento constante ∆ . Es por tanto
“invariante ante traslación (giro)” de la variable . Se conserva pues
2θ θ
2p
teconsmb
L
p tan2 2
2
2
2 ==
∂
∂
= θ
θ
&
&
,
t
mb
p
2
2
202
2
+=θθ
claramente asociado al momento de giro del sistema de las dos masas alrededor de su
centro. También el momento angular de la Tierra alrededor del eje polar se conserva
indepedientemente de su giro alrededor del Sol. El resto del problema es trivial,
reduciéndose al de un péndulo simple plano.
----------------------------------------
16. Una partícula de masa m, sometida al campo gravitatorio terrestre, se mueve
sin rozamiento sobre la superficie interior de un paraboloide de revolución
colocado verticalmente.
a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservan
durante el movimiento.
b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente y
discútase el tipo de órbitas.
c) ¿Qué velocidad inicial ha de imprimirse a la partícula para que la órbita sea
circular?
d) Calcúlese la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplitud en torno a
esta órbita circular.
19

18. a) Sea ( )22
yxkz += la ecuación del paraboloide. Utilicemos coordenadas cilíndricas
(ρ,ϕ) como se indica en la figura.
m
ϕ
ρ
z
y
x
Así pues,





=
=
=
2
cos
ρ
ϕρ
ϕρ
kz
seny
x
=
=
=
2222
222
222
4
cos
ρρ
ϕρ
ϕρ
&&
&&
&&
kz
seny
x
⇒ ⇒





=
+=
−=
ρρ
ϕϕρϕρ
ϕϕρϕρ
&&
&&&
&&&
kz
seny
senx
2
cos
cos
+
−
222
222
2cos
2
ϕϕρρϕϕ
ϕϕρρϕϕρ
&&&
&&&
sen
sensen





+
+
cos
cos
ϕρ
ϕ
De modo que la energía cinética de la partícula es
( )222222
4
2
1
2
1
ρρϕρρ &&& kmmT ++=≡ 2
v .
Siendo la energía potencial
2
ρmgkmgzV =≡ .
En la lagrangiana L=T−V, la coordenada ϕ es cíclica, luego el correspondiente momento
generalizado se conserva
l&
&
≡=
∂
∂
ϕρ
ϕ
2
m
L
,
que corresponde a la componente vertical del momento angular. Además, como la
lagrangiana no depende del tiempo, la energía total se conserva.
b) La energía total de la partícula, suponiendo que l ,0≠
( ) 2
2
2
222
2
41
2
1
ρ
ρ
ρρ mgk
m
kmVTE +++=+≡
l
&
20

19. depende de una sola coordenada, ρ, y puede tomarse como la energía de un problema
unidimensional equivalente donde
( ) 222
41
2
1
ρρ &kmTef +≡
juega el papel de energía cinética, siendo ρ cierta coordenada curvilínea (no cartesiana),
y
2
2
2
2
ρ
ρ
mgk
m
Vef +=
l
el de energía potencial. En la figura se han representado los dos términos que
contribuyen a este potencial efectivo, en el caso particular .322
/2 kgm=l
La expresión de la energía total permite escribir la relación
ρ
ρ
d
)(2
)41(
d
22
efVE
km
t
−
+
= ,
cuya integración proporciona la ley horaria del movimiento. Así, para cada valor de l,
los valores permitidos de la energía han de ser tales que , y para cada uno de
estos valores existen dos valores extremos (máximo y mínimo) de ρ, que son las raíces
de la ecuación
efVE ≥
2
2
2
2
ρ
ρ
mgk
m
E +=
l
. Cuando el valor de la energía total E coincide con
el mínimo de Vef, el movimiento es circular con radio ρ= ρc, que se obtiene de la
condición de mínimo,
02
d
d
3
2
=−=
c
c
mín
ef
m
mgk
V
ρ
ρ
ρ
l
,
es decir,
gkm
c
2
2 l
=ρ .
21
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0
4
8
12
Potencial
Gravitatorio
Potencial
Centrífugo
Potencial
Efectivo
Vef /(mg/k)

20. c) En la órbita circular, como el radio es constante, se tiene evidentemente . Por
otra parte, utilizando la expresión obtenida para el radio de la órbita, ρ
0=cρ&
c, en la de la
componente vertical del momento angular resulta el valor de la componente azimutal de
la velocidad de la partícula,
gkc 2=ϕ& .
Así pues para conseguir que la partícula se mueva según una trayectoria circular con
determinado valor del radio, , hay que imprimirle una velocidad de componente
únicamente azimutal y de módulo
cρρ =
cgk ρ2 .
d) Para escribir la ecuación del movimiento general de la partícula, calculemos las
derivadas






+=
∂
∂
−+=
∂
∂
ρρρ
ρ
ρρρϕρ
ρ
&&
&
&&
22
222
4
24
mkm
L
mgkmkm
L
La ecuación de Lagrange correspondiente conduce a la ecuación:
( ) 02441 3
2
2222
=+−++ ρ
ρ
ρρρρ mgk
m
mkkm
l
&&& .
Supongamos ahora que el movimiento se aparta poco de una órbita circular, de manera
que
( ερρ += 1c ), con ε « 1.
Sustituyendo en la ecuación del movimiento y despreciando los términos en ε de orden
superior al primero, se llega a la ecuación
0
2
4
1
8
2
=
+
+ εε
gkm
k
gk
l
&&
que es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia
gkm
k
gk
2
4
1
8
2
2
l
+
=ω .
------------------------------------------
17. Plantee las ecuaciones del movimiento para el péndulo doble en el caso de
pequeñas oscilaciones, escogiendo como coordenadas las longitudes de arco
descritos por cada uno de los péndulos. Halle las frecuencias de los modos
22

21. normales en el caso en el que la masa del péndulo superior es mucho mayor que
la del péndulo inferior.
La forma usual de abordar este problema puede quedar resumida en lo siguiente. Si
describimos el problema en las variables generalizadas dadas por los ángulos de los
péndulos daremos con una formulación que puede englobarse en la siguiente forma
general de lagrangiano:
)()(
2
1
,
qUqqqML j
ji
iji −= ∑ &&
con un punto de equilibrio en . El estudio de las desviaciones pequeñas alrededor
del punto de equilibrio equivale a tomar sólo los términos lineales en las ecuaciones del
movimiento, o lo que es lo mismo, la aproximación cuadrática a L:
0=iq
j
ji
ijij
ji
iji qqKqqTL ∑∑ −=
,, 2
1
2
1
&&
El problema de hallar las frecuencias de los modos normales es el de resolver la
ecuación especial de valores propios:
kkk AKAT ⋅=⋅2
ω
en donde T no es una matriz diagonal. Para evitar el complicado problema de la
diagonalización en este estadio, podemos en algunos casos diagonalizar la energía
cinética ya de partida, en el lagrangiano cuadrático. Esto es lo que pasa en el problema
presente. Veamos cómo podemos hacerlo.
El problema nos plantea un péndulo doble, con el superior de longitud L, y masa M, y el
inferior,
de longitud l y masa m. La energía cinética no es difícil de hallar:
[ ])-cos(2
2
1
2
1 222222
θϕϕθϕθθ &&&&& LllLmMLT +++=
Para pequeños valores de θ y ϕ, podemos aproximar el coseno por 1. Como hay un
término producto de sus derivadas temporales, estas coordenadas no son ortogonales
(no diagonalizan la energía cinética), pero podemos hacerlas ortogonales sumando un
múltiplo apropiado de θ a ϕ. De hecho, es fácil ver que una pareja de coordenadas
ortogonales está dada por los desplazamientos
ϕθθ lLyLx += =,
que no son otra cosa que las longitudes de arco descritos por cada una de las masas de
ambos péndulos. Es fácil ver que, entonces, la energía cinética se convierte en:
2
2
12
2
1
ymxMT && +=
En función de estas nuevas coordenadas ortogonales es fácil ver que las ecuaciones del
movimiento son:
23

22. y
l
g
x
l
g
y
y
lM
mg
x
lM
mg
mL
gmM
x
−=
+





+
+
=
&&
&&
)(
Hallar la ecuación característica para las frecuencias de los modos normales es
relativamente trivial, sobre todo en el límite M>>m, quedando:
l
g
L
g
≈≈ 22
y ωω
-----------------------------------------
18. Una partícula de masa unidad que puede moverse libremente en el plano XY, se
encuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas y está sometida a
la fuerza que deriva del potencial V(x,y). El potencial es analítico cerca del
origen, admitiendo el desarrollo
( ) ( ) ( ) ( )
222
1
, 3
2
2
22
2
22
32
rO
yx
V
xy
y
Vy
x
Vx
y
V
y
x
V
xrOVVyxV +++++≡+∇⋅+∇⋅=
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
rr
Estúdiense los instantes iniciales del movimiento, desarrollando las ecuaciones
de Lagrange en torno a la condición inicial. Resuélvanse estas ecuaciones
suponiendo que, durante estos instantes, el desplazamiento es de la
forma ( ) ( )5432
tOtttt +++= cbar , y determínense los vectores constantes a, b y
c. Calcúlese, así mismo, la trayectoria durante este tiempo y la expresión de la
lagrangiana.
La lagrangiana de la partícula es L = T − V, siendo ( )22
2
12
2
1
yxT && +== v . Así pues,
cerca del origen, se tiene
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )000;
000;
2
2
2
2
2
2







−−−==
−−−==
yx
V
x
y
V
y
y
V
y
L
y
y
L
yx
V
y
x
V
x
x
V
x
L
x
x
L
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
&
&
&
&
lo que conduce a las ecuaciones de movimiento de Newton:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )000
000
2
2
2
2
2
2







−−−=
−−−=
yx
V
x
y
V
y
y
V
y
yx
V
y
x
V
x
x
V
x
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
&&
&&
con las condiciones iniciales
( ) ( ) ( ) ( ) 00000 ==== yxyx &&
Por otra parte, según el enunciado, se tiene
24

23. ( )1262 32
tOtt +++= cbar&&
Sustituyendo r y en las ecuaciones del movimiento e igualando las potencias del
mismo orden en t, se obtienen los vectores buscados:
&&r
( )0
2
1
x
V
ax
∂
∂
−=
0=xb
( ) ( ) ( ) ( )





+= 0000
24
1 2
2
2
yx
V
y
V
x
V
x
V
cx
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Haciendo en estas expresiones el intercambio x↔y, se obtienen las componentes y
correspondientes.
Para calcular la trayectoria, x = x(y), hay que eliminar el tiempo t entre las
componentes x e y de la ley de movimiento r(t). Para ello invertimos la serie de una de
las componentes, la componente x por ejemplo, suponiendo para t un desarrollo de la
forma
( )22/32/1
xOxxxt +++= γβα
de manera que
( )2 22/322
xOxxt ++= αβα
( )
M
22/333
xOxt += α
Sustituyendo en la ley de movimiento, se tiene:
( ) ( )2 22/32
xOxxax x ++= αβα
de donde, igualando las potencias del mismo orden en x se encuentran los coeficientes
del desarrollo de t,
,0=,
2/1
Kβα −
= xa
lo que llevado a la componente y de la ley de movimiento, y = ayt2
+ ..., proporciona la
trayectoria pedida
( )
/
/ 2
0
xOx
xV
yV
y
x
+





=
=∂∂
∂∂
que puede calcularse consecutivamente a todos los órdenes
---------------------------------------
19. Considérese un sistema formado por dos esferas de masa m unidas por una
varilla rígida de masa despreciable y longitud 2l. El conjunto puede girar
libremente en torno al punto medio de la varilla, equidistante de ambas esferas.
Este punto está forzado a moverse sobre una circunferencia de radio R
colocada verticalmente en el campo gravitatorio terrestre. Determínense las
coordenadas generalizadas apropiadas para describir el movimiento del
25

24. sistema y calcúlese la expresión de su lagrangiana, si la gravedad es la única
fuerza presente. Escríbanse las ecuaciones de Lagrange correspondientes y
discútase el movimiento del sistema.
z
y
x
θ
ϕ
α
g
Para especificar el movimiento del sistema, lo más conveniente es dar la posición del
centro de masas y referir a éste las posiciones de las dos esferas. Como el centro de
masas está forzado a moverse sobre una circunferencia, su posición queda determinada
dando el ángulo α que forma su radio vector. En cuanto a las esferas, como están unidas
por una barra rígida, la distancia que las separa es fija y basta con especificar los
ángulos polares esféricos (ϕ,θ) que determinan la orientación de la barra en el espacio.
Así, como coordenadas generalizadas del sistema pueden tomarse los tres ángulos
(α,ϕ,θ).
Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas con origen en el centro de
la circunferencia de radio R, como en la figura, las posiciones de las esferas son:
cos
cos
cos
1
1
1





+=
+=
=
θα
ϕθα
ϕθ
lRsenz
senlsenRy
lsenx
cos
cos
cos
2
2
2





−=
−=
−=
θα
ϕθα
ϕθ
lRsenz
senlsenRy
lsenx
Calculando por derivación temporal las velocidades respectivas, resultan las siguientes
expresiones para las energías cinéticas:
( )[ ]θαθϕθαϕϕθαθααθϕθ sensensensensenRlRsenll
m
mT
coscoscos2
2
2
1
2222222
2
11
&&&&&&& ++−++=
=≡ v
( )[ ]θαθϕθαϕϕθαθααθϕθ sensensensensenRlRsenll
m
mT
coscoscos2
2
2
1
2222222
2
22
&&&&&&& +++++=
=≡ v
de modo que la energía total del sistema es
( ) ( ) ( )[ ]222
21 αθϕθ &&& RsenllmTTT ++=+=
Por otra parte, las energías potenciales de las esferas y la energía potencial total
son
26

25. ( )θα cos11 lRsenmgmgzV +==
( )θα cos22 lRsenmgmgzV −==
αmgRsenVVV 221 =+=
A partir de la lagrangiana, L ≡ T − V, calculemos las derivadas









=
=
=
θϕ
ϕ∂
∂
θ
θ∂
∂
α
α∂
∂
22
2
2
2
2
2
senml
L
ml
L
mR
L
&
&
&
&
&
&









=
=
=
0
cos2
cos2
22
∂ϕ
∂
θθϕ
∂θ
∂
α
∂α
∂
L
senml
L
mgR
L
&
La ecuación asociada al grado de libertad α,
( ) 0cos22
d
d 2
=− αα mgRmR
t
&
está desacoplada de θ y de ϕ. Esta ecuación es precisamente la ecuación del péndulo
simple,
cosαα
R
g
=&&
de manera que el centro de masas de las esferas ejecuta un movimiento pendular
independientemente de como estén girando las esferas. Es decir, el sistema en conjunto
se comporta como un péndulo de masa 2m con dos grados de libertad internos que
determinan el movimiento relativo de las dos esferas respecto de su centro de masas.
Por otra parte, la coordenada ϕ es cíclica de manera que una constante del
movimiento es
Csenml
L
== θϕ
ϕ∂
∂ 22
2 &
&
de donde, despejando, se obtiene
2 22
θ
ϕ
senml
C
=&
La ecuación para θ es
( ) 0cos22
d
d 222
=− θθϕθ senmlml
t
&&
es decir, sustituyendo el resultado anterior,
0cot
2
2
2
=





− θθ
ml
C&&
que es la ecuación que determina el movimiento relativo de las esferas.
-----------------------------------------
27

26. 20. Una partícula de masa m se mueve sobre la superficie de una esfera de radio R
y se encuentra sometida al campo gravitatorio terrestre.
a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservan
durante el movimiento.
b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente y
discútase el tipo de órbitas.
Tomemos un sistema de coordenadas cartesianas centrado en la esfera, tal como se
indica en la figura
mRθ
ϕ
Utilizando coordenadas esféricas, la posición y velocidad de la partícula vendrán dadas
por





−=
+=
−=





=
=
=
θθ
ϕθϕϕθθ
ϕθϕϕθθ
θ
ϕθ
ϕθ
sen
cossensencos
sensencoscos
cos
sensen
cossen
&&
&&&
&&&
Rz
RRy
RRx
Rz
Ry
Rx
de manera que las energías cinética y potencial de la partícula son, respectivamente,
( ) ( )sen
2
1
2
1
2
1 22222222
θϕθ &&&&& +=++== mRzyxmmT v
θcos00 mgRVmgzVV +=+=
A partir de la lagrangiana, L = T − V, las ecuaciones correspondientes a los ángulos de
orientación son
0
d
d
=−





∂θ
∂
θ∂
∂ LL
t &
0
d
d
=−





∂ϕ
∂
ϕ∂
∂ LL
t &
Como la coordenada ϕ es cíclica su momento conjugado se conserva constante, lo que
traduce la conservación de la componente correspondiente del momento angular, es
decir,
28

27. sen22
lmR =θϕ&
y la ecuación para θ se escribe como:
sen
cos
sen 33
2
θ
θ
θθ
mR
l
mgmR +=&&
Definiendo el potencial efectivo
( )
sen2
cos1 22
2
θ
θ
mR
l
mgRVef ++=
la ecuación para θ queda en la forma
d
d1
2
θ
θ efV
mR
−=&&
Una gráfica de Vef permite obtener cualitativamente una perspectiva general del tipo de
órbitas.
0
1
2
3
4
ππ/2
θ
Vef
5(R/g)
En la figura se ha representado la función (R/g)Vef para el caso particular .
La curva a trazos corresponde al término gravitatorio y la curva a trazos y puntos al
término centrífugo. La suma de ambos es la curva continua. Como puede verse, las
órbitas posibles corresponden a trayectorias acotadas comprendidas entre dos valores,
uno máximo y otro mínimo, del ángulo θ que dependen de la energía total de la
partícula, la otra constante del movimiento. Para el valor de ésta correspondiente al
mínimo de la curva de V
2 322
gRml =
ef, los dos valores de θ colapsan y la trayectoria corresponde a
una circunferencia horizontal.
---------------------------------------------
21. Si se multiplica el lagrangiano por una constante las ecuaciones del movimiento
no se ven afectadas. Suponga ahora que el potencial es una función homogénea
29

28. de grado m de las coordenadas: V . Si
se reescala simultáneamente el tiempo (por un factor:
( ) ( ) ( )nrrrVm
nrrrVnrrr ,,2,1,,2,1,,2,1 KKK αααα =′′′=
β=
t
t' ) y las
coordenadas espaciales (por dicho factor: α=′
l
ll , con señalando una
coordenada con dimensiones de longitud), una elección apropiada de ambos
factores puede tener como efecto neto el de multiplicar el lagrangiano por una
constante.
a) ¿Cuál es la relación entre y para que así suceda?α β
b) Una vez obtenida ésta derive a partir de ella, como función de m, las
relaciones entre l
l′ y cada uno de las reescalamientos siguientes: tiempos (
t
t′ ), velocidades ( v
′v ), energía ( E
E' ) y momento angular ( J
J′ ).
c) Obtenga de las relaciones del apartado b) lo siguiente:
- la tercera ley de Kepler,
- la relación cuando el potencial gravitatorio se aproxima por
mgh
( ) 2constante tl ×=
- la independencia del período con la amplitud en el oscilador armónico
a) Si el potencial reescala como , la energía cinética lo hace comom
α 2
2
β
α . Para sacar
factor común a ambos términos del lagrangiano 



= 22 βααm , o
( )21 m−
= αβ
b) las relaciones solicitadas son:
2
1
;;2;2
1
m
l
l
J
J
m
l
l
E
E
m
l
l
v
v
m
l
l
t
t
+





 ′
=




 ′





 ′
=




 ′





 ′
=




 ′−





 ′
=




 ′
c)
- En el potencial gravitatorio . Sustituyendo en la primera relación en b),
obtenemos
1−=m
( ) ( )32 lltt ′=′ , que es la ley de Kepler (las distintas órbitas se transforman
unas en otras mediante reescalamientos en el tiempo y el la longitud)
- En el caso del potencial mgh, 1, encontramos la clásica relación parabólica
entre distancia y tiempo.
=m
- Aquí m . El período debe ser independiente de la amplitud.2=
22. Considérese un circuito clásico ( inductor-condensador) sin generador,
estudiado en Física General. Recordando que la energía almacenada en el
inductor es
LC
2L
2
1 I , siendo la corriente que circula por él, y que la almacenada
en el condensador es
I
C
Q2
2
1 , establezca una analogía entre estos conceptos
eléctricos y los correspondientes de un sistema mecánico simple. A
30

29. continuación plantee el Lagrangiano del sistema y obtenga la ecuación
diferencial y la frecuencia intrínseca de este circuito resonante.
CL
2
Q
m
El problema es muy simple. La analogía puede establecerse de la siguiente forma:
Posición – carga
Velocidad – corriente
Fuerza – diferencia de potencial
Masa – inductancia L
Constante del muelle – inversa de la capacitancia 1/C
La energía almacenada en el inductor 2
2
1
LI puede asociarse formalmente a un término
de energía “cinética”. Por su parte, la energía almacenada en el condensador es
asimilable, también desde un punto de vista formal, al término de energía potencial de
un muelle. En definitiva:
( )2
12
2
1 1QL
C
VTL −=−= &
de la que se obtiene la ecuación: ( ) 0
L
1 =+ Q
C
Q&& ,de la que sigue fácilmente la frecuencia.
---------------------------------------------
23. Una esfera uniforme de masa y radio se halla encastrada en un agujero
practicado en una fina lámina plana infinita, con una masa por unidad de área
de valor , de forma a que el plano de la lámina coincida con el plano
ecuatorial de la esfera. Un objeto de masa de masa se mueve sin rozamiento a
lo largo del eje z (véase figura), perpendicular a la lámina y que pasa por el
centro de la esfera. Construya el Lagrangiano del sistema
M R
σ
Z
La dificultad en este problema reside en encontrar el campo al que se ve sometida la
partícula. Una vez obtenido éste, la construcción del Lagrangiano es inmediata.
Consecuentemente, nos concentraremos únicamente en el primer objetivo. Para ello,
separamos las contribuciones del plano y de la esfera. Esta última es inmediata:
simplemente, a una distancia del centro de la esfera, a lo largo del eje ,z z
31

30. 2
z
GM
−
La contribución del plano puede calcularse de la forma siguiente. Tomemos un anillo de
radio , alrededor del centro de la esfera.. Por razón de simetría, sólo tendremos que
calcular la componente del campo producido por el anillo a la misma distancia
anterior . En definitiva,
ρ
z
z
( )( )
( ) 2222
2
ρρ
ρσπρ
++
−
z
z
z
dG
El campo total producido por el plano resultará de integrar la expresión para el anillo en
el intervalo :[ )∞,R
22
2
Rz
zG
+
−
σπ
---------------------------------------------
24. Sabemos que el oscilador armónico tiene como parámetro característico la
frecuencia ω , que es independiente de las condiciones iniciales. Por el
contrario, su amplitud máxima A sí que depende de estas últimas. Sin embargo,
existen osciladores en los cuales los papeles de la frecuencia y amplitud máxima
se invierten, en el sentido de pasar la frecuencia a ser dependiente de condición
inicial y, al contrario, la amplitud máxima convertirse en un parámetro
característico del sistema, independiente de la condición inicial. Un caso
semejante ocurre en el sistema de la figura, en el que dos masas iguales están
unidas por un eje rígido de masa nula. cada una de las masas se mueve sin
rozamiento, y en ausencia de gravedad, a lo largo del eje correspondiente, bien
sea el x, bien sea el y. Plantee el lagrangiano del sistema, y demuestre que lo
aseverado es cierto: la frecuencia con la que oscila cada masa depende de la
condición inicial, mientras que su amplitud máxima es siempre la misma.
x
y
A
Al no estar el sistema sometido a fuerzas, fuera de las ligaduras geométricas, el
lagrangiano y la energía cinética coinciden: son iguales a la energía cinética que tiene
cualquiera de las partículas, en el instante en que pasa por el origen y la otra está en su
posición de equilibrio,
( )
2
22
22
22
u
m
xA
xmA
L =
−
=
&
(1)
donde es la velocidad de una partícula cuando pasa por el origen. Ordenando de
nuevo términos en la ecuación (1), llegamos a:
u > 0
32

31. 22
2
2222222
ux
A
u
xuAxuxA =





+⇒=+ &&
La ecuación final expresa la conservación de la energía de un oscilador armónico cuya
frecuencia y amplitud máxima son, respectivamente, u
A y . El movimiento es el de
oscilador armónico, pero en el cual la frecuencia depende de la condición inicial (a
través de , mientras que la amplitud máxima es siempre constante.
A
u
---------------------------------------------
25- Suponga que el lagrangiano para un cierto movimiento unidimensional viene
dado por 





−= 22
2
1
2
1
e kqqm
t
L &γ .
a) Escriba la ecuación del movimiento. ¿A qué sistema corresponde?
b) ¿Existe alguna constante del movimiento?
c) Ponga de manifiesto los distintos movimientos posibles
Suponga seguidamente que se define una nueva coordenada, , dada porS
q
t
S 





=
2
exp
γ
.
d) Escriba la ecuación del movimiento. ¿A qué sistema corresponde?
e) ¿Existe alguna constante del movimiento?
f) Ponga de manifiesto los distintos movimientos posibles
g) ¿Cómo pondría en relación ambas descripciones?
Nota aclaratoria.
En el enunciado propuesto en la hoja de examen se deslizó un error. Se sugería el
cambio en lugar del que aparece en el presente enunciado. Está claro que
con este último cambio el resultado carece de interés conceptual, tal como ha podido
constatar la mayoría de los alumnos. La corrección, evidentemente, se ha hecho según el
enunciado del examen, y no con el que aparece aquí. Sin embargo, sí que da interés al
problema el cambio propuesto aquí, por lo que será aquél sobre el que elaboraremos.
Para terminar, quiero felicitar a los tres alumnos que se han dado cuenta del “buen”
cambio. Así lo han hecho constar en el examen a título de comentario y su iniciativa ha
sido debidamente valorada a la hora de calificar.
( tqS γexp= )
a) La ecuación de Lagrange lleva a:
( ) 0=++ kqqmqme t
&&& γγ
,
o
0=++ q
m
k
qq &&& γ ,
b) Aparentemente, podríamos contestar que no existe constante del movimiento al
depender explícitamente del tiempo. Pero esta respuesta es un poco precipitada.
Veamos por qué. En un sistema mecánico, podemos disponer, en principio, de
funciones que permanecen constantes a lo largo del
movimiento: =constante. Estas se denominan constantes del movimiento o
integrales primeras. Sin embargo, la definición de estas cantidades es más general,
L
( ) ( )( tqtqF &, )
33

32. englobando una posibles dependencia explícita del tiempo, de forma que:
= constante. Nada , en principio, excluye la existencia de este último caso de constante
del movimiento, aunque, bueno es decirlo, se piensa en la primera forma al hablar de
constante del movimiento. Lo que sí queda claro es que, si existe =
constante, no es aparente. Sigamos la evolución del problema para aclarar este extremo.
( ) ( )( )ttqtqF ,, &
( )( )tt ,&( ) qtqF ,
c) Para una solución general del tipo , obtenemos la ecuación característicat
eq α
∝
02
=++
m
k
αγα
con soluciones
m
k
−





±−=
2
22
γγ
α
Las distintas posibilidades de movimiento nos vendrán dadas por el valor del
discriminante
m
k
−





=∆
2
2
γ
, siempre que .0>γ
Primer caso: . En este caso, la solución general queda como un movimiento
oscilatorio amortiguado
0<∆
( )tBtAeq
t
∆+∆=
−
sencos2
γ
Segundo caso: . Movimiento puramente amortiguado0=∆
2
0
t
eqq
γ
−
=
Tercer caso: ∆ . Movimiento también puramente amortiguado0>
( )tt
t
BeeAeq ∆−∆
−
+= 2
γ
d) Escribimos el lagrangiano en función de la nueva variable
2
2
2
1
2
1
2
1
kSSSmL −





−= γ& ,
del que se obtiene la siguiente ecuación del movimiento
0
2
22
=














−+ S
m
k
S
γ&& .
e) Ahora, sí que podemos hablar de una constante del movimiento. La ecuación anterior
es la del oscilador armónico, que tiene formalmente la constante
cte
2
2
22
2
=














−+ S
m
k
S
γ&
Llegados a este punto, enlazamos con el apartado b). La expresión anterior, una vez
desecho el cambio , nos proporciona la contestación a la pregunta que nos
hacíamos ahí.
Sq →
34

33. f) Es fácil responder a este apartado manejando el signo de 2γ−mk , al igual que
hicimos en el apartado c). Sin embargo, a la hora de hacer un análisis completo no
deberá olvidarse el factor exponencial en la definición de .S
g) Ambas descripciones son totalmente equivalentes. La única diferencia es que en la
segunda se enmascara el factor exponencial –que no por ello ha desaparecido-
pudiéndose con ello poner en evidencia la constante del movimiento –cosa que no era
trivial en la primera descripción.
---------------------------------------------
26- Tres puntos de masa pueden deslizarse sobre un círculo de radio b , tal
como indica la figura de la izquierda, sometidos a fuerzas derivables del potencial
m
( ) ( )γβα
γβα −−
++= ee,, 0VV −
e −los ángulos de separación son medidos en
radianes. Cuando
γβα ,,
3
2πγβα ==
21 ,,θθ
=
3θ
, el sistema se halla en equilibrio. Encuentre las
frecuencias de los modos normales del sistema para pequeños desplazamientos del
equilibrio (ángulos ilustrados en la figura de la derecha)
Los ángulos , y , en términos de y , son:α β γ 21,θθ 3θ
12
3
2
θθ
π
α −+= ,
23
3
2
θθ
π
β −+= ,
31
3
2
θθ
π
γ −+= .
Por su parte, el potencial queda:









 −−
+
−−
+
−−−
=
























3123123
2
0
θθθθθθ
π
eeeeVV
Habida cuenta de que estamos hablando de pequeños valores de y , esta
expresión del potencial puede aproximarse por
21,θθ 3θ
( ) ( ) ([ 312312
3
2
0 3 θθθθθθ
π
−−−−−−≈
−
eVV )
35

34. ( ) ( ) ( ) 


−+−+−+
2
31
2
23
2
12
2
1
2
1
2
1
θθθθθθ
La energía potencial va a ser dependiente de las velocidades lineales de las tres
partículas. Como el radio b es constante, éstas serán , para i . En definitiva,
el lagrangiano quedará
ibθ& 3,2,1=
( )133221
2
3
2
2
2
1
3
2
0
3
1
3 θθθθθθθθθθ
π
−−−++++= ∑=
eVmbL
i
i
& ,
con sus correspondientes ecuaciones de Lagrange
( ) 02 321
3
2
01 =−−+ θθθθ
π
eVmb &&
( ) 02 132
3
2
02 =−−+ θθθθ
π
eVmb &&
( ) 02 213
3
2
03 =−−+ θθθθ
π
eVmb &&
Proceder en el análisis de modos normales es relativamente trivial, por lo que se dejan
los detalles como ejercicio. La ecuación característica resulta ser
03
2
23
2
0
2
=







+− ωω
π
mbeVmb
con soluciones















=
−
3031
0
πω
e
m
V
b
siendo la segunda degenerada.
---------------------------------------------
27.- En un sistema dinámico de 2 grados de libertad la energía cinética es
2
2
2
2
2
2
1
2
1
)(2
qq
bqa
q
T &
&
+
+
=
2
22 )2)(( kqkq +−
, y la energía potencial esta dada por U , con a, b,
c y d constantes. Mostrar que en función del tiempo es una ecuación de la
forma con h, k y constantes.
2dqc +=
2q
t− 2
0 )(th= 0t
NOTA: bxa
b
bxa
bxa
xdx
+
−−
=
+
∫ 2
3
)2(2
Dado que la energía cinética y la potencial no dependen ni del tiempo ni de la
coordenada tenemos 2 constantes del movimiento: y1q VTE +=
1q
L
&∂
∂
, es decir:
ctep
a
q
q
L
=
+
=
∂
∂
1
1
1
&
& bq2
=
36

35. cdqqqbqa
p
dqcqq
bqa
q
EVT ++++=+++
+
==+ 2
2
2
2
22
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
)(
22
1
)(2
&&
&
que podemos rescribir como:
221
2
2
2
2 CqCqq =−&
con C y C constantes: , .1 2 dbpC 22
11 −−= capEC 22 2
12 −−=
Y de ahí integrar:
2
2
2122
2
q
qCC
q
+
=& → 0
212
22
ttdt
qCC
dqq
−==
+
∫∫
2122
1
212
0
3
)2(2
qCC
C
qCC
tt +
−
−=−
que conduce directamente a la ecuación que queremos encontrar con
1
2
C
C
−=k y
1
4
9
Ch = .
---------------------------------------------
28.- Una partícula de masa y carga se mueve bajo la influencia de campos
eléctrico y magnético uniformes, mutuamente ortogonales. En un sistema de ejes
cartesianos, estos campos son E
rr
y B
rr
. Encuentre las ecuaciones de
movimiento y la trayectoria en el caso en el que la partícula se encuentra
inicialmente en reposo en el origen de coordenadas.
m e
jE= kB=
Las relaciones siguientes le pueden servir de ayuda
( ) ( Avvv
AB
A
E
⋅−−⋅=
×∇=
∂
∂
−−∇=
φ
φ
emL
t
2
1
)
Los potenciales escalar y vectorial que dan los campos correctos, son
Ey−=φ
( )jiA xyB +−=
2
1
El correspondiente lagrangiano queda
( ) ( )xyyxeBeEyzyxmL &&&&& −++++=
2
1
2
1 222
Las ecuaciones de Lagrange correspondientes quedan
0=− eBxm &&
eExeBym =+ &&&
0=zm &&
Queda claro de la tercera ecuación y de las condiciones iniciales y ,
que el movimiento está confinado al plano . Las ecuaciones para e son lineales,
por lo que podemos considerar una solución general del tipo exp , quedando la
ecuación característica como
( ) 00 =z
x y
( )tλ
( ) 00 =z&
xy
37

36. 022242
=+ λλ Bem
con autovalores
2
22
2
2,1 ,0
m
Be
−=λ
Con estos resultados en mano, podemos escribir la solución para la trayectoria de la
partícula






−= t
m
eB
eB
mE
t
B
E
x sen2












−= t
m
eB
eB
mE
y cos12
Es fácil dibujar la correspondiente trayectoria. Es un cicloide con cúspides sobre el eje
, separadas por una distanciax 2
2 eBmEπ . Esta distancia es la velocidad promedio en
la dirección ,x BE , multiplicada por el período, eBmπ2 , de los términos
sinusoidales.
x
y
E
---------------------------------------------
29.- Razónese si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
a) Las lagrangianas y),,(1 tqqL & ttqAtqqLL ∂∂+= ),(),,(12
& son equivalentes, esto
es, proporcionan las mismas ecuaciones de movimiento.
a) La elección del Lagrangiano de un sistema nunca es única y dada una función
lagrangiana, cualquier función de la forma),,(1 tqqL & dttqdFtqqLL ),(),,(12 += & ,
también lo es (Sección 1.4 Goldstein, puede mostrarse por sustitución directa en las
ecuaciones de Lagrange de y de2L
t
F
q
q
F
dt
dF
∂
∂
+
∂
∂
= & ).
Por tanto para que sea cierto en el caso que preguntado tendría que cumplirse
que la función añadida solo dependiera del tiempo: .)(tA
---------------------------------------------
30. Suponga por un momento que no sabe usted qué forma tiene la energía cinética
y desconoce también las Leyes del movimiento de Newton. Le dicen a usted que el
punto de partida para describir el movimiento de una partícula viene dado por las
ecuaciones de Lagrange, cuya forma le dan, especificándole, sin más detalles, que
el lagrangiano es un funcional de la forma . Le piden que con estos
datos descubra usted las leyes del movimiento de la partícula libre en coordenadas
),,( tqqLL ii
&=
38

37. cartesianas. Usted sabe que ésta es una partícula en el espacio vacío sin fuerzas
actuando sobre ella y le dan como pista el concepto de sistema inercial y el
principio de relatividad de Galileo.
1. Explique por qué el lagrangiano no puede ser función de z, y, x , ni de cada una
de las componentes de la velocidad, , , por separado. Tampoco del tiempo.
¿Sobre qué propiedades del espacio se basará su argumentación?
xv yv zv
Usted llega a la conclusión de que , donde es la velocidad de la partícula en
un sistema inercial K y quiere descubrir la forma exacta. Para ello toma un
segundo sistema inercial K’ que se mueve con velocidad constante
infinitesimalmente pequeña respecto de K .
)( 2
vL v
r
ε−
2. Pruebe que L _(a constante). Le puede ayudar hacer una expansión en
serie de Taylor, despreciar los términos cuadráticos en _ y recordar la propiedad
de invariancia bajo transformación
2
avL =
dt
dF
LL +→ ' L .
3. Pruebe que es una elección consistente para el lagrangiano en cualquier
sistema K’ que se mueva con velocidad finita
r
respecto de K ; es decir, se
satisface el principio de relatividad de Galileo.
2
'' vL =
0V−
Los datos del problema son:
A) El Lagrangiano es funcional de la forma: .),,( tqqLL ii
&=
B) Ecuaciones de Lagrange: 0=
∂
∂
−
∂
∂
ii q
L
dt
d
q
L
&
.
C) Estudiamos el movimiento en un sistema inercial. En este sistema de referencia una
partícula libre permanecerá en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme por tiempo
ilimitado. Esto es equivalente a decir que para este sistema el espacio es homogéneo e
isótropo y el tiempo uniforme y de hecho esta es una de las posibles maneras de definir
un sistema inercial (basta pensar, en el caso de la isotropía por ejemplo, que con una
partícula de velocidad inicial no nula es imposible definir una dirección privilegiada del
espacio, dado que sea cual sea la dirección inicial de la partícula el tipo de
comportamiento siempre es el mismo). Por supuesto los sistemas inerciales son
indistinguibles entre si por lo que las ecuaciones del movimiento han de ser iguales en
todos ellos.
D) Principio de relatividad de Galileo aplicado a un sistema de referencia inercial K’ se
desplaza con velocidad infinitesimal respecto a otro sistema inercial K nos informa
que si la partícula libre se mueve con velocidad
r
en el sistema K lo hará con velocidad
r
en el sistema K’.
ε−
v
ε
r
−v
1) Con los datos A) y C) es directo. La inclusión de una dependencia explicita respecto
a las coordenadas o al tiempo implicaría que las ecuaciones del movimiento no
respetarían la homogeneidad del espacio y el tiempo. Cualquier referencia a una
dirección privilegiada, como sería una dependencia de la dirección del vector velocidad,
no respetaría la isotropía del espacio. Por tanto el Lagrangiano solamente puede
depender del módulo de la velocidad, es decir: .)( 2
vLL =
39

38. 2) Siguiendo las indicaciones del enunciado desarrollamos en serie el Lagrangiano para
el sistema K’:
)(2)()2()'( 2
2
2222
εεεε Ov
v
L
vLvvLvL +
∂
∂
−=+−=
rrrr
,
y de la última afirmación de C) y la otra pista del enunciado del problema tenemos que
dt
dF
vLvL += )()'( 22
y para que esto se cumpla en la ecuación anterior tenemos que
ctea
v
L
==
∂
∂
2
, de modo que , donde es el vector posición de la partícula.arF ε
rr
2−= r
r
3) Siguiendo el mismo razonamiento que en el anterior apartado tenemos que
)2()(2)(')'('
2
00
22
00
22
0
22
tVVr
dt
d
vLVVvvVvvvL +−+=+−=−==
rrrrrr
que comprueba que los Lagrangianos de ambos sistemas son compatibles.
---------------------------------------------
31. Una partícula de masa m se mueve sobre la superficie de un cono de ángulo α
(ver figura) y se encuentra sometida al campo gravitatorio terrestre.
a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservan
durante el movimiento.
b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente y
discútase el tipo de órbitas
c) ¿Qué velocidad inicial ha de imprimirse a la partícula para que la órbita sea
circular?
d) Suponga la masa m en una órbita circular tratada en el apartado anterior.
Suponga que se le imprime un muy pequeño impulso en dirección contraria al
vértice del cono. ¿ Qué tipo de trayectoria piensa usted que seguirá el sistema
después de hacer esto? En el caso de seguir una trayectoria consistente en la
composición de la trayectoria circular original y de una pequeña oscilación
alrededor de ésta, calcule la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplitud
en torno a la órbita circular. Hágalo sólo en el caso en que piense que esta
trayectoria tiene sentido.
a) Siguiendo la figura, tenemos:
θ
α
z
y
x
R
40

39. ,
,sin
,cos
zz
Ry
Rx
=
=
=
θ
θ
como la partícula tiene que moverse en la superficie del cono, tenemos una ligadura
expresada por la ecuación:
Z
R
zh
R
=
−
=αtan dónde definimos , siendo h la distancia del origen al
vértice del cono.
zhZ −=
Elegimos como coordenadas generalizadas a Z (que sólo tendrá sentido para ) y θ
y definiendo obtenemos
0≥Z
αβ tg≡
,
),cossin(
)sincos(
Zz
ZZy
ZZx
&&
&&&
&&&
−=
+−=
−−=
θθθβ
θθθβ
con lo que el lagrangiano tiene la forma
( )( ) mgZZZmL +++= 22222
1
2
1
θββ && ,
en que la coordenada θ es cíclica y el correspondiente momento conjugado se conserva
θβ
θ
θ
&
&
22
mZ
L
p =
∂
∂
=
que corresponde a la componente vertical del momento angular. Como la lagrangiana
no depende del tiempo, también se conserva la energía.
b) Si sustituimos la ecuación anterior en la ecuación del movimiento para la otra
variable tenemos
( ) )(1 22
gZmZm +=+ θββ &&&
Distinguimos ahora dos casos:
1) Inicialmente el momento angular es nulo, , bien por estar situados en el
vértice del cono, , o por no tener velocidad inicial en el plano xy, .
En este caso el problema se reduce al movimiento de un cuerpo sobre un plano
inclinado. La ecuación anterior se simplifica a
0=θp
0=Z 0=θ&
( )12
+
=
β
g
Z , es decir es un
movimiento uniformemente acelerado en la coordenada Z. El potencial efectivo
es:
&&
Z
g
eff α
β
2
2
cos
1+
= gZ =V .
2) Si p podemos despejar de la ecuación del momento angular0≠θ
22
β
θ θ
mZ
p
=& , que introducimos en la ecuación para la variable Z








+
+
= 232
2
2
1
1
ββ
θ
Zm
p
gZ&& ,
y si tomando como potencial efectivo la función tal que
Z
V
Z
eff
∂
∂
−=&& , obtenemos
41

40. 







−
+
= gz
Zm
p
Veff 222
2
2
21
1
ββ
θ
.
Si dibujamos este potencial obtenemos una función monótonamente decreciente
como la siguiente:
con V en trazo continuo y las dos componentes en trazo punteado. Este potencial para
la variable Z corresponderá a un movimiento acelerado, independientemente de las
condiciones iniciales la masa tenderá a caer hacia Z cada vez mayores, que
corresponden a z cada vez más negativos en la variable original. Por tanto el
movimiento será una composición de un giro en el plano xy, dado por la variable ,
que por conservación del momento angular tendrá cada vez menor velocidad angular a
medida que aumente el radio de giro, y de un movimiento acelerado en la dirección del
eje negativo de la variable z.
eff
θ
c) Con el potencial calculado no pueden existir órbitas circulares dado que V nunca
alcanza un mínimo. El único equilibrio que puede alcanzar la partícula vendría de
considerarla en reposo sobre el vértice del cono. También podemos darnos cuenta de
esto al intentar calcular el valor de Z que anula
eff
Z
Veff
∂
∂
, obtendremos sólo valores de Z
negativos, para los que nuestras ecuaciones ya no son válidas.
d) Si consideramos la partícula sobre el vértice del cono cualquier pequeña perturbación
la sacará de su equilibrio inestable para producir un movimiento de caída acelerado
como los descritos en el apartado b). Es decir no tiene sentido considerar pequeñas
oscilaciones para potenciales sin mínimos.
---------------------------------------------
42

41. 32. La relación entre las leyes cuánticas y clásicas puede expresarse en la forma
en la que se trata en este problema. Para ello tomemos un sistema de un grado de
libertad. La frecuencia de la radiación emitida por este sistema de acuerdo con las
leyes cuánticas viene dada por hE∆=cuanν , siendo . Estos estados
estacionarios de energía se calculan con ayuda de la condición de cuantización de
la acción,
kn EEE −=∆
∫ == nhpdqI . En consecuencia, . Si , es decir,
examinamos dos estados vecinos: . Combinando esta expresión
con la que nos da la frecuencia cuántica, obtenemos
( )hkn −= nII kn −
hIk =−
1=− k
II k=∆ +1
IE ∆∆=cuan
*
ν (1)
para dos estados contiguos.
Obtenga el equivalente clásico de la expresión (1) para el caso del oscilador
armónico. ¿Encuentra usted alguna similitud entre las dos expresiones? ¿Podría
comentar algo sobre las posibles diferencias?
( )dqVEmpdqI ∫ ∫ −== 2
Tanto la acción como la energía clásicas son funciones continuas. Busquemos la
derivada de una respecto de la otra:
( )
dq
VEm
m
dE
dI
∫ −
=
2
que, para el caso del oscilador armónico, queda
∫∫∫ ==== Tdt
q
dq
dq
p
m
dE
dI
&
en donde T es el período de oscilación. En consecuencia,
dI
dE
T
==
1*
clasν
a comparar con (1). Tanto en mecánica clásica como cuántica las frecuencias vienen
dadas por la relación de incrementos de la energía y de la acción, aunque en clásica
estos incrementos son infinitamente pequeños mientras que en cuántica son finitos.
De hecho, este resultado, demostrado para el oscilador armónico, es válido para todos
los sistemas periódicos de un grado de libertad, aunque no haremos la demostración
aquí.
---------------------------------------------
33. Consideremos la definición general de sistema conservativo. A saber, aquel
que cumple las siguientes tres condiciones: 1) es válida la forma estándar
(holónoma o no holónoma) del lagrangiano; 2) el lagrangiano no es función
explícita del tiempo; 3) las ecuaciones de ligadura pueden expresarse en la forma
( los coeficientes son nulos). Por otra parte, si el lagrangiano se
expresa en la forma estándar holónoma y la energía cinética es una forma
cuadrática homogénea de las ’s, un sistema conservativo es además natural.
0lk k
k
a dq =∑ lta
jq&
a) Demostrar que la definición anterior de sistema conservativo lleva a la
conservación de la llamada función energía: j
j j
L
q
q
∂
−
∂
∑ &
&
L (integral de Jacobi),
que se reduce a la energía total en el caso de un sistema natural.
43

42. b) Ahora sea una masa m desliza sin rozamiento dentro de un tubo circular de
radio r (véase figura). El tubo gira alrededor de su diámetro vertical (eje Z) con
una velocidad angular constante . En las coordenadas polares de la figura,
compare los sistemas de referencia asociados a un observador externo y a otro que
gira con el tubo, respectivamente. ¿En cuál de los dos es este sistema simplemente
conservativo y en cuál es también natural? Justifique su respuesta.
ω
c) Describa el sistema anterior en coordenadas esféricas. ¿Es el sistema ahora
conservativo? Justifique su respuesta. En caso de no serlo, ¿cuál es la razón física
para ello?
z
O r
θ
m
Si , entonces2 1 0L T T T V= + + − 2 0j
j j
L
L T T
q
∂
= − = −
∂
∑ &
&
V′ ′
h q . Si reagrupamos
términos:
V+
{2 0
V
V T T
′
− = +h T== +
Todo el truco del problema reside en “manejar” apropiadamente los términos en el
Lagrangiano. Empecemos con los términos T y V en polares
2 2 2 2 21
2 ( se
cos
T m r r
V mgr
θ ω
θ
= +
=
& n )θ
dando el lagrangiano en sistema “laboratorio”
2 2 2 2 21
2 ( sen )L m r r mgrθ ω θ= + −& cosθ (1)
Cumplimos las condiciones impuestas a un sistema conservativo y, por tanto, lo es. La
integral de Jacobi es:
2 2 2 2 21
2 ( sen )h m r r mgrθ ω θ= − +& cosθ ,
que NO ES la energía total. Sin embargo, si escribimos de nuevo (1) de forma que
L T V′ ′= −
con
2 21
2 2
2 2 2
0 cos sen
T T mr
V V T mgr r
θ
θ ω
′ = =
′ = − = −
&
θ
′
)
T’ es la energía cinética relativa a un sistema que gira con el tubo. La energía potencial
V’ incluye el término gravitacional y el término que tiene en cuenta la fuerza
centrífuga. En este caso nuestro sistema es natural y h T , la energía total
(¡cuidado, no en el sistema inercial!)
0T−
V′= +
En el caso de coordenadas esféricas tenemos( , ,r θ φ
2 2 2 2 21
2 ( se
cos
T m r r
V mgr
θ φ
θ
= +
=
& & n )θ
44

43. con la ligadura . El sistema en esta representación NO ES conservativo ya
que . Además, la expresión de Jacobi (T , en este caso) no es constante
ya que la ligadura efectúa trabajo sobre el sistema.
0d dtφ ω− =
0k t
a ω= − ≠ V+
45