1. ELISBAN JEFFERSSON VIVANCO 5TO PRE “SANTA MARIA REINA 2012”
ANALISIS DIMENSIONAL
MAGNITUD
Se denomina magnitud a cualquier propiedad de un cuerpo
susceptible a ser medida. Las leyes físicas establecen
relaciones entre magnitudes. Para poder medir una
magnitud, se precisa disponer de una magnitud de medida.
TIPOS DE MAGNITUD DEBIDO A SU ORIGEN:
1. MAGNITUDESFUNDAMENTALES:
Aquellas consideradas convencionalmente como base
de comparación para las demás cantidades, el sistema
fundamental vigente es el S.I. que consta de 7 unidades
fundamentales y2 auxiliares.
CANTIDAD UNIDAD SÍMBOLO
LONGITUD (L) Metro m
MASA (M) Kilogramo kg
TIEMPO (T) Segundo s
TEMPERATURA (θ) Kelvin K
INTENSIDAD DE CORRIENTE (I) Ampere A
INTENSIDAD LUMINOSA (J) Candela cd
CANTIDAD DE SUSTANCIA (N) mol mol
MAGNITUDESAUXILIARES:
ANGULO PLANO radián rad
ANGULO SÓLIDO estereorradián sr
2. MAGNITUDESDERIVADAS:
Son aquellasqueresultandecombinarlascantidades
fundamentales,Ej.:velocidad,trabajo,fuerza, presión,
etc.
TIPOSDE MAGNITUDESPORSUNATURALEZA:
1. MAGNITUDESESCALARES:
Aquellas quequedanclaramentedefinidasconsuvalor
numéricoysu unidadrespectiva.
2. MAGNITUDESVECTORIALES:
Aquellas queparaquedarplenamentedefinidas,además
delvalor numéricoysu unidad;se necesitasudirección.
Estas puedenser: la fuerza, velocidad,etc.
ECUACIONES DIMENSIONALES
Son aquellas que expresan la relación existente entre la
magnitud derivada ylas magnitudes fundamentales. Son de
la forma:
  gfedcba
NJITMLCantidad 
PROPIEDADESDELASECUACIONESDIMENSIONALES:
Las constantesmatemáticas(números)sonaquellasque
carecendeunidades;luego:laecuacióndimensional de
un número es la unidad.
Las ecuaciones dimensionales se expresan
generalmente en función de L, M y T, pero también
pueden expresarse en función de θ, I, J yN.
Principio de Homogeneidad: En una ecuación
dimensionalmentecorrectacadatérmino tiene la misma
ecuación dimensional. Sea la ecuación homogénea:
EDCBAS .
Luego:          EDCBAS .
Solamente se pueden sumar o restar cantidades que
tienen las mismas unidades.
La ecuación dimensional de una suma es igual a la
ecuación dimensional de cada sumando.
       3232
CBACBA 
ANALISIS VECTORIAL
VECTOR:
Ente matemático que gráficamente se representa por un
segmento de recta orientada. Se utiliza para representar las
magnitudes vectoriales.
ELEMENTOS BASICOS NOTACIONES
I) Módulo
II) Dirección
III) sentido
I) A

: VECTOR“A”
II) AAA 

: Módulo
delvector “A”.
θ: Direccióndelvector.
REPRESENTACION ANALITICA DE UN VECTOR:
Un vector se representa fijando su origen (A) y
extremo(B), luego el vector será:
ABV 

Saeta
Dirección (Línea de acción)
Origen
M
θ
Módulo

2. ELISBAN JEFFERSSON VIVANCO 5TO PRE “SANTA MARIA REINA 2012”
VECTOR UNITARIO
El vector unitario representa la dirección del vector
generatriz.
Todovector dispone de un vector unitario, esto hace ver
que en todas las direcciones hayvectores unitarios.
El vector unitario se halla con:
B
B
B 



En las direcciones x, y, z los vectores unitarios
reciben nombres especiales, estos son kji

,, .
SUMA GEOMÉTRICA DE VECTORES
1. METODO DEL PARALELOGRAMO:
La sumao resta de dos vectores depende del ángulo que
estos forman.
Sean BA

, y θ el ángulo que forman:
Vectorialmente se cumple: BAR


Para determinar el módulo de la resultante tenemos:
ABCosBABAR 22222


2. METODO DEL TRIÁNGULO:
También se emplea para sumar dos vectores los cuales
son ordenados secuencialmente:
Sean los vectores BA

, :
El vector resultante  R

es aquel que une el primer
origen con el último extremo.
Cuando este método se aplica análogamente a tres o
más vectores se denomina MÉTODO DEL
POLÍGONO.
Donde: CBAR


3. VECTORES PARALELOS:
La relación entre dos vectores paralelos es directamente
proporcional a sus módulos.
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
1. DESCOMPOSICION RECTANGULAR:
Consiste en representar un vector en función de dos
vectores componentes mutuamente perpendiculares.
A
y
x
B
0
x0
y
1
B
A
θ
BAR


B
B
A
A





B
B
A
A





0
θ
x
y
VVSenθ
VCosθ
222
YX RRR 

3. ELISBAN JEFFERSSON VIVANCO 5TO PRE “SANTA MARIA REINA 2012”
2. DESCOMPOSICION POLIGONAL:
Consiste en representar un vector en función de varios
vectores consecutivos.
Por ejemplo: dado un vector A

la descomposición se
efectúa partiendo desde su origen hasta su extremo:
PRODUCTO ESCALAR:
Sean los vectores  321 ;; aaaA 

,  321 ;; bbbB 

a) cos. BABA


b) 332211.A bababaB 

PRODUCTO VECTORIAL:
Es otro vector perpendicular a los vectores a multiplicar,
dondesu direcciónseobtieneporregla de la mano derecha.
a) B

xAR 
b) AxBBxA 
c)   senABBxA
d) Areah.bh.AsenABBxA 
e) BxA Área del Paralelogramo = 2
PROBLEMAS
ANALISIS DIMENSIONAL
1. En la ecuación dimensional. Hallar [x].
V
ta
x
.

a: aceleración t: tiempo V: velocidad
a) L b) 1
LT c) LT d) 0
L
e) 2/1
L
2. El efecto fotoeléctrico es descrito por la ecuación:
2
0
2
1
)( mVvvh  donde: “ 0v ” es la frecuencia
umbral del material, “m” es la masa del electrón y“V” su
velocidad, halle la ecuación dimensional de la constante
de Plank “h”.
a) 13 
MTL b) 12 
MTL c) 1
LMT
d) MTL2
e) LMT
3. Seleccione la afirmación incorrecta:
a)  es adimensional
b) La carga eléctrica es una cantidad fundamental
c) Actualmente hay7 cantidades fundamentales
d) La ecuación dimensional de un exponente es 1
e) La ecuacióndimensional de la aceleración angular es
2
T
4. Halle la ecuación dimensional de C en la expresión:









 1
2
0
2
CTE
mv
ePP
Donde: v: velocidad m: masa
E: energía T: temperatura
P: potencia
a) L b) Tθ c) θ-1 d) θ e) Mθ
5. En una represa, la fuerza contra la pared vertical de un
dique se calcula con:
dcba
HLgF 
2
1

ρ: densidad del agua L: ancho
g: gravedad H: profundidad del
agua
Calcule: a+b+c+d
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. Cuando un cilindro macizo gira alrededor de su eje, su
energía cinética de rotación es:
cba
RmE 
2
1

m: masa
R: radio
: Velocidad angular
Halle el exponente de la velocidad angular.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7. En la ecuacióndimensionalmentecorrecta,:aceleración
angular. Hállese [F]:
FD
F
D
FE


  22
a) 5
3
T b) 5
1
T c) 5
8
T d) 5
4
T
e) 5
2
T
O
E
B
A

R
A
B


4. ELISBAN JEFFERSSON VIVANCO 5TO PRE “SANTA MARIA REINA 2012”
8. Hállese [K] en la ecuación homogénea:
   
xP
BA
PS
sen
KAC
log
2
2


 


Donde: ρ: densidad P: potencia
a) 32
TL
b) 35
TL
c) 24
TL
d) TL 5
e) 22
TL
9. Si en vez de la longitud, la densidad (ρ) es considerada
cantidad fundamental ¿Cómo se escribirá la ecuación
dimensional de la fuerza?
a) 23
4
3
1


TM b) 23
1
3
1


TM
c) 23
2
3
1


TM d) 23
4
3
2


TM
e) 33
4
3
1


TM
10. Si 1M y 2M son dimensionales.Hallelarelaciónentre [
2M ] y [ 1M ].








h
M
M
h
V
2
1
h: altura, V: velocidad.
a) L b) 1
LT c) T d) M
e) 1
L
11. Con relación a la siguiente expresión:
)7(cos
sec2
2
2












WPg
ctg
sentgMV
donde: P: presión g: gravedad
V: velocidad M: masa
W: peso
Podemosafirmarqueladimensiónde es:
a) L b) LT-1 c)L-2 d) Adimensional
e) No podemosafirmarnada
12. Hallar las dimensiones de P en la ecuación
dimensionalmente correcta.
QxP
cxa
Px


2
2
)(
a: aceleración c: longitud
a) 21
TL
b) 2
LT c) 1
LT
d) 21 
TL e) LT
13. Determine las dimensiones de Yen la ecuación:
faxxY tg
/)(º37

Donde: a: aceleración f: frecuencia
a) 52/7
TL b) 52/3 
TL c) 52/7 
TL
d) 52/3
TL e) 92/7 
TL
14. La ecuación D’alambert de la iluminación (E) de una
lámpara luminosa a cierta distancia (d) viene dada por la
expresión:
cos2
d
I
E 
Si I: intensidad luminosa; entonces la ecuación
dimensional de “E” es:
a) J/L b) JL2 c) JL-2 d) J-1L-2
e) J-1L-2
15. La expresión para la fuerza F sobre un cierto sistema
físico es: 2
BVmgh
AP
kVF


Donde: V = velocidad m = masa
g = 9,8 m/s2 P = potencia
h = altura
EncuentrelasunidadesdelcocientekA/B en el Sistema
InternacionaldeUnidades.
a) Pascal b) Newton c)Newton/metro
d) Newton/segundo e) Joule
16. La fuerza desustentacióndelalade unavión dependedel
área S del ala, de la densidad ρ del aire yde la velocidad
V del avión. Halle la suma de los exponentes de S y ρ.
a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2
ANALISIS VECTORIAL
17. La magnitud de la resultante del sistema de vectores es:
a) 2T
b) 4T
c)
3
20T
d)
3
2T
e) T
18. El ángulo entre dos vectores de 5 y 10 unidades de
longitud,cuandosuresultanteformaun ángulode30º con
el vector mayor es:
a) 30º b) 45º c) 60º d) 37º e) 120º
19. Los vectores A

y B

forman entre sí un ángulo de 60º
y el módulo de A

vale 3, hallar el módulo de B

, para
que A

- B

sea perpendicular a A

.
a) 3 b) 3 c) 6 d) 2 3 e) 1

5. ELISBAN JEFFERSSON VIVANCO 5TO PRE “SANTA MARIA REINA 2012”
20. Hallar la suma de todos los vectores que se muestran en
la figura:
a) E

b) 2 D

c) 2 E

d) - E

e) D

21. En el triángulo hallar el vector x

en función de los
vectores A y B, si se cumple que PQ=QR/2.
a)   3/2 BAx
  b)   3/2 AAx
 
c)   3/2ABx
  d)   3/2ABx
 
e)   3/2 ABx
 
22. Encontrar el módulo de la suma de los vectores: AO,
AB, OC y CG , sabiendo que el cubo es de lado L:
a) 2L
b) 2 2L
c) 5L
d) L
e) L3
23. Determine el módulo de la resultante del siguiente
sistema:
a) 33
b) 77
c) 8
d) 13
e) 0
24. Determinar el módulo del vector resultante del sistema:
a) 8
b) 20
c) 13
d) 21
e) 0
25. La máximaresultantededosvectores es 14y su mínima
resultante es 2. ¿Cuál será la resultante cuando formen
un ángulo de 90º?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
26. Los puntos A, B y C determinan un triángulo equilátero
de lado 2m. Hallar el módulo del vector resultante.
a) 2m
b) 4m
c) 6m
d) 8m
e) 0m
27. Se muestra un cuarto de circunferencia cuyo centro se
ubica en uno de los vértices del cuadrado. Halle x

en
función de los vectores A

y B

.
a)
5
2BA


b)
5
BA


c)
2
2BA


d)
2
BA


e)
6
BA


P Q R
G
O
F E
D
CB
A
6 7
150º
B C
A
10
52º
30º
83º
25
18
Y
X

6. ELISBAN JEFFERSSON VIVANCO 5TO PRE “SANTA MARIA REINA 2012”
28. Hallar el vector F

en función de m y n, si ABCD es
un cuadrado y A MC y DMB son cuartos de
circunferencia.
a) n
m
F


)
2
3
1(
2
 b) n
m
F


)
2
3
1(
2

c) n
m
F


)
2
3
(
2
 d) nmF

)1
2
3
( 
e) nmF

)1
2
3
( 
29. Determinar el vector paralelo al plano de los vectores
)2;1;1( B

y )2;2;1(C

, y perpendicular al
vector )2;0;1( A

a) (0;-1; 0) b) (-1; 1; 0) c) (0;-7; 7)
d) (0; 15; 0) e) (7;-15; 0)
30. En el triángulo ABC los puntos M y N trisecan al
segmento BC; además NCSANrAB  2 .
Calcular: 4r-3S
a) 2
b) 0
c) -3
d) 8
e) 10
31. Calcular conociendoquelaresultante debe tener valor
mínimo.
a) 37º
b) 30º
c) 53º
d) -53º
e) -37º
32. Dado los vectores:
kjiA ˆˆˆ2 

, kjiB ˆ2ˆ3ˆˆ  , kjiC ˆ3ˆˆ2 

,
kjiD ˆ5ˆ2ˆ3 

Hallar los valores de los escalares a, b, c, de tal manera
que CcBbAaD


a) a=2; b=1; c=-3
b) a=-2; b=1; c=-3
c) a=-2; b=-1; c=-3
d) a=2; b=1; c=3
e) a=2; b=2; c=-3
33. Calcular “” si la resultante se encuentra sobre la línea
de 27N.
a) 10º
b) 20º
c) 36º
d) 37º
e) 8º
34. En el sistema vectorial mostrado, hallar el módulo del
vector resultante. El lado de la cuadrícula es igual uno.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
M
CB
DA
N
M
CA
B

4
3
15N
17º
17º

27N
25N
Y
X