Definición de la función cuadrática

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Unidad 10.3: ¡A la máxima!; Funciones cuadráticas
Tema 2: Función cuadrática
Lección 2.1: Definición de la función cuadrática
La función cuadrática
La cuadrática es una de las funciones fundamentales de nuestro entorno. Los
deportes, las ventas, la publicidad, la agricultura y otros ámbitos de nuestra vida
cotidiana se caracterizan por utilizar esta importante función. Esta se define de
la siguiente manera:
La función cuadrática más elemental es: 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
A partir de esta función cuadrática más elemental, se pueden obtener, por
transformaciones, las demás funciones cuadráticas.
Función
cuadrática
Son funciones
polinómicas de segundo
grado, siendo su gráfica
una parábola.
f(x) = ax² + bx +c,
donde a, b y c son
números reales y a ≠ 0.
Su dominio son los
números reales.

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Su gráfica:

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Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
Las coordenadas del vértice  v vx ,y de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 se
obtienen a partir de:
𝑥 𝑣 = −
𝑏
2𝑎
𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥 𝑣) = 𝑓 (−
𝑏
2𝑎
)
Los vértices representan el valor máximo o mínimo de la función cuadrática,
dependiendo de la dirección hacia donde abra la parábola.
En cuanto a los ceros de la función cuadrática, sabemos que la segunda
coordenada es cero, por lo que tendremos:
0 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Al resolver la ecuación, podemos obtener:
 Dos puntos de intersección: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
 Un punto de intersección: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
 Ningún punto de intersección si b² − 4ac < 0
La expresión b² − 4ac se conoce como discriminante.
Las coordenadas con el eje de y se obtienen sustituyendo x = 0, en f(x)
𝑓(0) = 𝑎(0)2
+ 𝑏(0) + 𝑐 = 𝑐

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Por lo tanto, sus coordenadas son (0, c).
Ejemplo: Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. El vértice
𝑥 𝑣 = −
−4
2(1)
= 2
𝑦𝑣 = 𝑓(2) = 22
− 4(2) + 3 = −1
∴ sus coordenadas son (2, -1)
2. Los puntos de intersección con el eje de x
0 = 𝑥2
− 4𝑥 + 3 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 1) utilizando la factorización,
entonces tenemos que 𝑥 − 3 = 0 𝑦 𝑥 − 1 = 0
∴ Las coordenadas de los ceros de la función, son (3, 0) y (1, 0).
3. Los puntos de intersección con el eje de y
Como c = 3, entonces sus coordenadas son (0, 3)
4. La gráfica:

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Formas de la función cuadrática
Forma estándar
La ecuación estándar es la que nos da más información acerca de una parábola.
Siendo la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, esta se puede expresar en
la forma estándar como:
𝑓( 𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2
+ 𝑘
utilizando el proceso de completar al cuadrado (Stewart, Redlin y Watson, 2012).
Donde el punto (h, k) es el vértice de la parábola.
Veamos un ejemplo:
1) Exprese la función 𝑓(𝑥) = 5𝑥2
− 30𝑥 + 49 y trace su gráfica.
Solución:
Debemos completar el cuadrado.
𝑓(𝑥) = 5𝑥2
− 30𝑥 + 49
𝑓(𝑥) = 5(𝑥2
− 6𝑥) + 49 Factorizar el 5 de los términos con x.
𝑓(𝑥) = 5(𝑥2
− 6𝑥 + 9) + 49 − (5 ⋅ 9)
Completar al cuadrado, sumando 9
dentro del paréntesis, (
6
2
)
2
= 9; restar
5×9 afuera (El efecto es que estamos
sumando cero).

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𝑓(𝑥) = 5(𝑥 − 3)2
+ 4
Factorizar dentro del paréntesis y
simplificar.
Tenemos una parábola que es cóncava hacia arriba, ya que a = 5 > 0. Además, su
vértice está ubicado en (3, 4).

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http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/completar-cuadrado.html
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/La_parab
ola/index.htm
https://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/features-of-quadratic-
functions/e/rewriting-expressions-to-reveal-information
http://odas.educarchile.cl/odas_mineduc/pav/Matematicas/graf_funcion_cuadr
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Referencias:
Stewart, J. (2012). Single Variable Calculus, Early Transcendentals. (7ma ed.)
Belmont, California: Brooks/Cole.
Stewart, J., Redlin, L., Watson S. (2012). Precálculo Matemáticas para el
Cálculo. (6ta ed.) México: Cengage Learning.
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