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10.3 Ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico
Este tipo de ecuaciones se caracteriza porque su dominio es una región cerrada. Para aplicar
el método de diferencias finitas usaremos un ejemplo particular para posteriormente interpretar
los resultados obtenidos.
Ejemplo. Resolver la ecuación de difusión en dos dimensiones:
u(x,y):
2 2
2 2
u u
0
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
Suponer que u es una función que depende de x, y, en donde u representa valores de
temperatura, x, y representan posición.
Esta ecuación se puede asociar al flujo de calor en una placa muy delgada aislada
transversalmente y sometida en los bordes a alguna condición. La solución representa la
distribución final de temperaturas en la placa en cada punto (x, y)
Ta, Tb, Tc, Td son valores de temperatura, suponer constantes, de alguna fuente de calor
aplicada en cada borde de la placa. L1, L2 son las dimensiones de la placa.
Estas condiciones se pueden expresar simbólicamente en un sistema de coordenadas X-Y:
u=u(x,y), 0 ≤ x ≤ L1, 0 ≤ y ≤ L2
u(0, y) = Ta, 0 < y < L2
u(L1, y) = Tb, 0 < y < L2
u(x, 0) = Tc, 0 < x < L1
u(x, L2) = Td, 0 < x < L1
Para aplicar el método de diferencias finitas, debe discretizarse el dominio de u
u(xi, yj) = ui,j ; i = 0, 1, ..., n; j = 0, 1, 2, ..., m
El método de diferencias finitas permitirá encontrar u en estos puntos.
Para el ejemplo supondremos los siguientes datos, en las unidades que correspondan
Ta = 60
Tb = 40
Tc = 50
Td = 80
L1 = 2
L2 = 1.5
Supondremos además que ∆x = 0.5, ∆y = 0.5
Con esta información describimos el dominio de u mediante una malla con puntos en dos
dimensiones en la cual el eje horizontal representa la posición xi mientras que el eje vertical
representa yj. En esta malla se representan los datos en los bordes y los puntos interiores que
deben ser calculados
226
10.3.1 Un esquema de diferencias finitas implícito
Elegimos las siguientes aproximaciones de diferencias finitas para sustituir las derivadas de la
ecuación diferencial
2
i,j i 1,j i,j i 1,j 2
2 2
u u 2u u
O( x)
x ( x)
+ −∂ − +
= + ∆
∂ ∆
2
i,j i,j 1 i,j i,j 1 2
2 2
u u 2u u
O( y)
y ( y)
+ −∂ − +
= + ∆
∂ ∆
i 1,j i,j i 1,j
2
u 2u u
( x)
+ −− +
∆
+ O(∆x)
2
+
i,j 1 i,j i,j 1
2
u 2u u
( y)
+ −− +
∆
+ O(∆y)
2
= 0
Se obtiene la ecuación de diferencias
i 1,j i,j i 1,j
2
u 2u u
( x)
+ −− +
∆
+
i,j 1 i,j i,j 1
2
u 2u u
( y)
+ −− +
∆
= 0
Cuyo error de truncamiento es E = O(∆x)
2
+ O(∆y)
2
Para que esta sustitución sea consistente, ∆x debe ser muy cercano a ∆y en magnitud.
Es conveniente analizar los puntos incluidos en la ecuación de diferencias. Para esto
consideramos un segmento de la malla y marcamos los puntos de la ecuación.
Los puntos marcados conforman un rombo. Este rombo describe los puntos incluidos en la
ecuación de diferencias y puede colocarse en cualquier lugar de la malla asignando a i, j los
valores apropiados.
Por ejemplo, si i=1, j=1, la ecuación de
diferencias se aplica al extremo inferior
izquierdo de la malla.
Se puede observar que la ecuación de
diferencias contiene tres puntos
desconocidos
227
Si se aplica a todos los puntos interiores: i = 1, 2, 3 con j = 1, 2 se obtendrá un sistema de
seis ecuaciones lineales con los seis puntos desconocidos cuyos valores se pueden determinar
resolviendo el sistema. Por lo tanto, la ecuación de diferencias proporciona un método
implícito para obtener la solución. Una simplificación adicional se obtiene haciendo ∆x = ∆y
i 1,j i,j i 1,j
2
u 2u u
( x)
+ −− +
∆
+
i,j 1 i,j i,j 1
2
u 2u u
( y)
+ −− +
∆
= 0
Forma final de la ecuación de diferencias:
i 1,j i 1,j i,j 1 i,j 1 i,ju u u u 4u 0− + − ++ + + − =, i = 1, 2, 3; j = 1, 2
Esta ecuación se aplica para en la malla para generar el sistema de ecuaciones lineales
j = 1, i = 1: 60 + 50 + u2,1 + u1,2 - 4u1,1 = 0 ⇒ -4u1,1 + u2,1 + u1,2 = -110
i = 2: 50 + u1,1 + u3,1 + u2,2 - 4u2,1 = 0 ⇒ u1,1 - 4u2,1 + u3,1 + u2,2 = -50
i = 3: 50 + 40 + u3,2 + u2,1 - 4u3,1 = 0 ⇒ u2,1 - 4u3,1 + u3,2 = -90
j = 2, i = 1: 60 + 80 + u1,1 + u2,2 - 4u1,2 = 0 ⇒ u1,1 - 4u1,2 + u2,2 = -140
i = 2: 80 + u1,2 + u2,1 + u3,2 - 4u2,2 = 0 ⇒ u2,1 + u1,2 - 4u2,2 + u3,2 = -80
i = 3: 80 + 40 + u2,2 + u3,1 - 4u3,2 = 0 ⇒ u3,1 + u2,2 -4u3,2 = -120
Se tiene el sistema lineal
1,1
2,2
3,2
1,2
2,2
3,2
u4 1 0 1 0 0 110
u1 4 1 0 1 0 50
u0 1 4 0 0 1 90
u1 0 0 4 1 0 140
u0 1 0 1 4 1 80
u0 0 1 0 1 4 120
− −    
    − −    
    − −
=    
− −    
    − −
    
− −        
Cuya solución es
1,1
2,1
3,1
1,2
2,2
3,2
u 57.9917
u 56.1491
u 51.3251
u 65.8178
u 65.2795
u 59.1511
   
   
   
   
=   
   
   
   
     
Se ha usado un método directo para resolver el sistema cuya forma es diagonal dominante, por
lo que también se podrían usar métodos iterativos cuya convergencia es segura.
228
10.3.2 Instrumentación computacional
La siguiente instrumentación en MATLAB está diseñada para resolver una ecuación diferencial
parcial elíptica con condiciones constantes en los bordes. Se supondrá además que ∆x = ∆y
Al aplicar la ecuación de diferencias en los puntos de la malla, cada ecuación tiene no más de
cuatro componentes y tiene una forma adecuada para instrumentar un método iterativo para
obtener la solución.
Ecuación de diferencias
i 1,j i 1,j i,j 1 i,j 1 i,ju u u u 4u 0− + − ++ + + − =, i = 1, 2, 3, … ; j = 1, 2, 3, …
Fórmula iterativa
(k 1) (k) (k) (k) (k)
i,j i 1,j i 1,j i,j 1 i,j 1
1
u (u u u u )
4
+
− + − += + + + , k=0, 1, 2, ...
En la siguiente instrumentación se ha usado el método de Gauss-Seidel para calcular la
solución partiendo de una matriz con los valores iniciales iguales al promedio de los valores de
los bordes.
% Programa para resolver una EDP Elíptica
% con condiciones constantes en los bordes
Ta=60;Tb=60;Tc=50;Td=70; % Bordes izquierdo, derecho, abajo, arriba
n=10; % Puntos interiores en dirección horizontal (X)
m=10; % Puntos interiores en dirección vertical (Y)
miter=100; % Máximo de iteraciones
e=0.001; % Error de truncamiento relativo requerido 0.1%
clear u;
for i=1:n+2
u(i,1)=Tc;
u(i,m+2)=Td;
end
for j=1:m+2
u(1,j)=Ta;
u(n+2,j)=Tb;
end
p=0.25*(Ta+Tb+Tc+Td); %valor inicial es el promedio de los bordes
for i=2:n-1
for j=2:m-1
u(i,j)=p;
end
end
k=0; %conteo de iteraciones
conv=0; %señal de convergencia
while k<miter & conv==0
k=k+1;
t=u;
for i=2:n+1
for j=2:m+1
u(i,j)=0.25*(u(i-1,j)+u(i+1,j)+u(i,j+1)+u(i,j-1));
end
end
if norm((u-t),inf)/norm(u,inf)<e
conv=1;
end
end
if conv==1
disp(u); % Muestra la solución final en la malla
disp(k); % Cantidad de iteraciones realizadas
[x,y]=meshgrid(1:m+2, 1:n+2); % Malla para el grafico en tres dimensiones
surf(x,y,u) % Grafico en tres dimensiones
colormap copper % Color
229
shading flat % Suavizado
else
disp('No converge');
end
Solución numérica calculada en los puntos de la malla
60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000
50.0000 55.0555 57.1094 58.1502 58.8179 59.3552 59.8800 60.4789 61.2649 62.4714 64.7253 70.0000
50.0000 53.1504 55.2931 56.7522 57.8553 58.8149 59.7729 60.8462 62.1676 63.9325 66.4446 70.0000
50.0000 52.3140 54.2564 55.8324 57.1733 58.4166 59.6826 61.0788 62.7133 64.7007 67.1404 70.0000
50.0000 51.9277 53.7079 55.3016 56.7603 58.1708 59.6256 61.2131 63.0120 65.0824 67.4393 70.0000
50.0000 51.7775 53.4827 55.0770 56.5863 58.0739 59.6166 61.2895 63.1550 65.2488 67.5585 70.0000
50.0000 51.7911 53.5081 55.1116 56.6271 58.1173 59.6589 61.3274 63.1856 65.2700 67.5691 70.0000
50.0000 51.9651 53.7780 55.3973 56.8731 58.2907 59.7427 61.3179 63.0965 65.1409 67.4687 70.0000
50.0000 52.3661 54.3539 55.9657 57.3301 58.5835 59.8454 61.2245 62.8308 64.7821 67.1813 70.0000
50.0000 53.2029 55.3914 56.8866 58.0135 58.9831 59.9370 60.9930 62.2860 64.0145 66.4858 70.0000
50.0000 55.0911 57.1760 58.2412 58.9249 59.4689 59.9908 60.5780 61.3448 62.5267 64.7531 70.0000
60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000
Error relativo: 0.1%
Cantidad de iteraciones: 41
Representación gráfica en tres dimensiones de la solución calculada
0
5
10
15
0
5
10
15
50
55
60
65
70
Se puede suavizar el gráfico escribiendo el comando
>> shading Interp
Los valores mas claros representan mayor temperatura
230
Con el editor de gráficos se puede además rotarlo y observarlo desde diferentes perspectivas
Vista superior. Los valores mas claros representan mayor temperatura

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Ecuaciones diferenciales parciales Parte 2

  • 1. 225 10.3 Ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico Este tipo de ecuaciones se caracteriza porque su dominio es una región cerrada. Para aplicar el método de diferencias finitas usaremos un ejemplo particular para posteriormente interpretar los resultados obtenidos. Ejemplo. Resolver la ecuación de difusión en dos dimensiones: u(x,y): 2 2 2 2 u u 0 x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ Suponer que u es una función que depende de x, y, en donde u representa valores de temperatura, x, y representan posición. Esta ecuación se puede asociar al flujo de calor en una placa muy delgada aislada transversalmente y sometida en los bordes a alguna condición. La solución representa la distribución final de temperaturas en la placa en cada punto (x, y) Ta, Tb, Tc, Td son valores de temperatura, suponer constantes, de alguna fuente de calor aplicada en cada borde de la placa. L1, L2 son las dimensiones de la placa. Estas condiciones se pueden expresar simbólicamente en un sistema de coordenadas X-Y: u=u(x,y), 0 ≤ x ≤ L1, 0 ≤ y ≤ L2 u(0, y) = Ta, 0 < y < L2 u(L1, y) = Tb, 0 < y < L2 u(x, 0) = Tc, 0 < x < L1 u(x, L2) = Td, 0 < x < L1 Para aplicar el método de diferencias finitas, debe discretizarse el dominio de u u(xi, yj) = ui,j ; i = 0, 1, ..., n; j = 0, 1, 2, ..., m El método de diferencias finitas permitirá encontrar u en estos puntos. Para el ejemplo supondremos los siguientes datos, en las unidades que correspondan Ta = 60 Tb = 40 Tc = 50 Td = 80 L1 = 2 L2 = 1.5 Supondremos además que ∆x = 0.5, ∆y = 0.5 Con esta información describimos el dominio de u mediante una malla con puntos en dos dimensiones en la cual el eje horizontal representa la posición xi mientras que el eje vertical representa yj. En esta malla se representan los datos en los bordes y los puntos interiores que deben ser calculados
  • 2. 226 10.3.1 Un esquema de diferencias finitas implícito Elegimos las siguientes aproximaciones de diferencias finitas para sustituir las derivadas de la ecuación diferencial 2 i,j i 1,j i,j i 1,j 2 2 2 u u 2u u O( x) x ( x) + −∂ − + = + ∆ ∂ ∆ 2 i,j i,j 1 i,j i,j 1 2 2 2 u u 2u u O( y) y ( y) + −∂ − + = + ∆ ∂ ∆ i 1,j i,j i 1,j 2 u 2u u ( x) + −− + ∆ + O(∆x) 2 + i,j 1 i,j i,j 1 2 u 2u u ( y) + −− + ∆ + O(∆y) 2 = 0 Se obtiene la ecuación de diferencias i 1,j i,j i 1,j 2 u 2u u ( x) + −− + ∆ + i,j 1 i,j i,j 1 2 u 2u u ( y) + −− + ∆ = 0 Cuyo error de truncamiento es E = O(∆x) 2 + O(∆y) 2 Para que esta sustitución sea consistente, ∆x debe ser muy cercano a ∆y en magnitud. Es conveniente analizar los puntos incluidos en la ecuación de diferencias. Para esto consideramos un segmento de la malla y marcamos los puntos de la ecuación. Los puntos marcados conforman un rombo. Este rombo describe los puntos incluidos en la ecuación de diferencias y puede colocarse en cualquier lugar de la malla asignando a i, j los valores apropiados. Por ejemplo, si i=1, j=1, la ecuación de diferencias se aplica al extremo inferior izquierdo de la malla. Se puede observar que la ecuación de diferencias contiene tres puntos desconocidos
  • 3. 227 Si se aplica a todos los puntos interiores: i = 1, 2, 3 con j = 1, 2 se obtendrá un sistema de seis ecuaciones lineales con los seis puntos desconocidos cuyos valores se pueden determinar resolviendo el sistema. Por lo tanto, la ecuación de diferencias proporciona un método implícito para obtener la solución. Una simplificación adicional se obtiene haciendo ∆x = ∆y i 1,j i,j i 1,j 2 u 2u u ( x) + −− + ∆ + i,j 1 i,j i,j 1 2 u 2u u ( y) + −− + ∆ = 0 Forma final de la ecuación de diferencias: i 1,j i 1,j i,j 1 i,j 1 i,ju u u u 4u 0− + − ++ + + − =, i = 1, 2, 3; j = 1, 2 Esta ecuación se aplica para en la malla para generar el sistema de ecuaciones lineales j = 1, i = 1: 60 + 50 + u2,1 + u1,2 - 4u1,1 = 0 ⇒ -4u1,1 + u2,1 + u1,2 = -110 i = 2: 50 + u1,1 + u3,1 + u2,2 - 4u2,1 = 0 ⇒ u1,1 - 4u2,1 + u3,1 + u2,2 = -50 i = 3: 50 + 40 + u3,2 + u2,1 - 4u3,1 = 0 ⇒ u2,1 - 4u3,1 + u3,2 = -90 j = 2, i = 1: 60 + 80 + u1,1 + u2,2 - 4u1,2 = 0 ⇒ u1,1 - 4u1,2 + u2,2 = -140 i = 2: 80 + u1,2 + u2,1 + u3,2 - 4u2,2 = 0 ⇒ u2,1 + u1,2 - 4u2,2 + u3,2 = -80 i = 3: 80 + 40 + u2,2 + u3,1 - 4u3,2 = 0 ⇒ u3,1 + u2,2 -4u3,2 = -120 Se tiene el sistema lineal 1,1 2,2 3,2 1,2 2,2 3,2 u4 1 0 1 0 0 110 u1 4 1 0 1 0 50 u0 1 4 0 0 1 90 u1 0 0 4 1 0 140 u0 1 0 1 4 1 80 u0 0 1 0 1 4 120 − −         − −         − − =     − −         − −      − −         Cuya solución es 1,1 2,1 3,1 1,2 2,2 3,2 u 57.9917 u 56.1491 u 51.3251 u 65.8178 u 65.2795 u 59.1511                 =                      Se ha usado un método directo para resolver el sistema cuya forma es diagonal dominante, por lo que también se podrían usar métodos iterativos cuya convergencia es segura.
  • 4. 228 10.3.2 Instrumentación computacional La siguiente instrumentación en MATLAB está diseñada para resolver una ecuación diferencial parcial elíptica con condiciones constantes en los bordes. Se supondrá además que ∆x = ∆y Al aplicar la ecuación de diferencias en los puntos de la malla, cada ecuación tiene no más de cuatro componentes y tiene una forma adecuada para instrumentar un método iterativo para obtener la solución. Ecuación de diferencias i 1,j i 1,j i,j 1 i,j 1 i,ju u u u 4u 0− + − ++ + + − =, i = 1, 2, 3, … ; j = 1, 2, 3, … Fórmula iterativa (k 1) (k) (k) (k) (k) i,j i 1,j i 1,j i,j 1 i,j 1 1 u (u u u u ) 4 + − + − += + + + , k=0, 1, 2, ... En la siguiente instrumentación se ha usado el método de Gauss-Seidel para calcular la solución partiendo de una matriz con los valores iniciales iguales al promedio de los valores de los bordes. % Programa para resolver una EDP Elíptica % con condiciones constantes en los bordes Ta=60;Tb=60;Tc=50;Td=70; % Bordes izquierdo, derecho, abajo, arriba n=10; % Puntos interiores en dirección horizontal (X) m=10; % Puntos interiores en dirección vertical (Y) miter=100; % Máximo de iteraciones e=0.001; % Error de truncamiento relativo requerido 0.1% clear u; for i=1:n+2 u(i,1)=Tc; u(i,m+2)=Td; end for j=1:m+2 u(1,j)=Ta; u(n+2,j)=Tb; end p=0.25*(Ta+Tb+Tc+Td); %valor inicial es el promedio de los bordes for i=2:n-1 for j=2:m-1 u(i,j)=p; end end k=0; %conteo de iteraciones conv=0; %señal de convergencia while k<miter & conv==0 k=k+1; t=u; for i=2:n+1 for j=2:m+1 u(i,j)=0.25*(u(i-1,j)+u(i+1,j)+u(i,j+1)+u(i,j-1)); end end if norm((u-t),inf)/norm(u,inf)<e conv=1; end end if conv==1 disp(u); % Muestra la solución final en la malla disp(k); % Cantidad de iteraciones realizadas [x,y]=meshgrid(1:m+2, 1:n+2); % Malla para el grafico en tres dimensiones surf(x,y,u) % Grafico en tres dimensiones colormap copper % Color
  • 5. 229 shading flat % Suavizado else disp('No converge'); end Solución numérica calculada en los puntos de la malla 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 50.0000 55.0555 57.1094 58.1502 58.8179 59.3552 59.8800 60.4789 61.2649 62.4714 64.7253 70.0000 50.0000 53.1504 55.2931 56.7522 57.8553 58.8149 59.7729 60.8462 62.1676 63.9325 66.4446 70.0000 50.0000 52.3140 54.2564 55.8324 57.1733 58.4166 59.6826 61.0788 62.7133 64.7007 67.1404 70.0000 50.0000 51.9277 53.7079 55.3016 56.7603 58.1708 59.6256 61.2131 63.0120 65.0824 67.4393 70.0000 50.0000 51.7775 53.4827 55.0770 56.5863 58.0739 59.6166 61.2895 63.1550 65.2488 67.5585 70.0000 50.0000 51.7911 53.5081 55.1116 56.6271 58.1173 59.6589 61.3274 63.1856 65.2700 67.5691 70.0000 50.0000 51.9651 53.7780 55.3973 56.8731 58.2907 59.7427 61.3179 63.0965 65.1409 67.4687 70.0000 50.0000 52.3661 54.3539 55.9657 57.3301 58.5835 59.8454 61.2245 62.8308 64.7821 67.1813 70.0000 50.0000 53.2029 55.3914 56.8866 58.0135 58.9831 59.9370 60.9930 62.2860 64.0145 66.4858 70.0000 50.0000 55.0911 57.1760 58.2412 58.9249 59.4689 59.9908 60.5780 61.3448 62.5267 64.7531 70.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 Error relativo: 0.1% Cantidad de iteraciones: 41 Representación gráfica en tres dimensiones de la solución calculada 0 5 10 15 0 5 10 15 50 55 60 65 70 Se puede suavizar el gráfico escribiendo el comando >> shading Interp Los valores mas claros representan mayor temperatura
  • 6. 230 Con el editor de gráficos se puede además rotarlo y observarlo desde diferentes perspectivas Vista superior. Los valores mas claros representan mayor temperatura