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Derivadas de funciones paramétricas

funciones parametricas

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ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA
PARAMÉTRICA
( )
( )
: ; ,
x f t
f t a b
y g t
⎧ =⎪
∈ ⎡ ⎤⎨ ⎣ ⎦
=⎪⎩
De la regla de la cadena
dy dy dt
dx dt dx
=
En donde
dt
dx
se puede calcular despejando " "t de
( )x f t= , lo que no siempre es fácil y en ocasiones es
imposible. Otra forma de calcular
dt
dx
es usando la derivada
de la función inversa, por la cual,
1dt
dxdx
dt
=
de donde, sustituyendo en la regla de la cadena, se llega a:
( )
( )
'1
'
dy
g tdy dy dy dydt
dx dxdx dt dx dx f t
dt dt
= ⇒ = ⇒ =
Ejemplo. Dada la siguiente función, obtener la derivada
dy
dx
:
2
2
: ; 0
1
x t t
f t
y t
⎧ = −⎪
≥⎨
= + −⎪⎩
)i Por medio de la fórmula obtenida.
)ii Eliminando el parámetro " "t y derivando el resultado.
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
2
Ejemplo. Dadas las ecuaciones paramétricas de la cicloide:
( )
( )
2
2 1 cos
x sen
y
θ θ
θ
⎧ = −⎪
⎨
= −⎪⎩
calcular la derivada
dy
dx
y evaluarla para
4
π
θ = .
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
3
Ejemplo. Calcular la derivada
dy
dx
para función siguiente
en el punto donde 0t = :
cot 1
:
tan 1
x ang t
f
y ang t
⎧ = −⎪
⎨
= +⎪⎩
DERIVADAS DE ÓRDENES SUPERIORES
Sea una función f definida en un cierto intervalo ( ),a b .
Entonces, su derivada 'f es a su vez otra función definida en
un subconjunto de dicho intervalo, y la operación puede
repetirse, obteniéndose la segunda derivada que también es
una función definida en un subconjunto del intervalo ,a b⎡ ⎤⎣ ⎦.
Para denotar a las derivadas sucesivas de órdenes
superiores, se emplean los siguientes símbolos:
( ) ( ) ( )
( )
2
2
3
3
; ' ' ; '' ''
''' ''' ;
dy d y
y f x y f x y f x
dx dx
d y
y f x
dx
= = = = =
= = …
Para ilustrar esto, considérese la función ( )
3
3
x
f x = definida
en el intervalo ( )2,2− y sean sus tres derivadas sucesivas:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
4
( ) ( ) ( )2
' ; '' 2 ; ''' 2f x x f x x f x= = =
todas ellas definidas en el mismo intervalo. Sus gráficas son:
Si se obtuviera la cuarta derivada, a partir de ella todas
tendrían como valor cero, las cuales seguirían siendo una
función pero su gráfica sería sobre el eje de las abscisas. En
cambio hay funciones que se dice que son “infinitamente
derivables”
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 5 8
3 3 3 3
1 2 10
; ' ; '' ; '''
3 9 27
f x x f x x f x x f x x
− − −
= = = − =
2 3
2 3
; cos ; ; cos
dy d y d y
y senx x senx x
dx dx dx
= = = − = −
Ejemplo. Obtener las dos primeras derivadas de la siguiente
función y evaluarlas para 2x = .
2
x
y
x
=
+
x
y
x
x
x
3
3
x
y =
3
3
2
d y
dx
=
2dy
x
dx
=
2
2
2
d y
x
dx
=
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
5
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES IMPLÍCITAS
Ejemplo. Calcular la primera y segunda derivadas de las
siguientes funciones:
2 2
) 1 ; ) 2 5i x y ii x xy y+ = + = −
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
6
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES
REPRESENTADAS EN FORMA PARAMÉTRICA
Sea la función
( )
( )
:
x f t
f
y g t
⎧ =⎪
⎨
=⎪⎩
Como ya se vio la primera derivada, es decir,
dy
dx
, se obtiene
a partir de:
dy
dy dt
dxdx
dt
=
Por otro lado, lo que se pretende es calcular la segunda
derivada, esto es,
2
2
d y d dy
dx dxdx
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Como
dy
dx
está en términos del parámetro " "t entonces,
para aplicar la expresión anterior, es necesario aplicar la
regla de la cadena. Así,
2
2
d y d dy dt
dt dx dxdx
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
pero
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Derivadas de funciones paramétricas

  • 1. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA ( ) ( ) : ; , x f t f t a b y g t ⎧ =⎪ ∈ ⎡ ⎤⎨ ⎣ ⎦ =⎪⎩ De la regla de la cadena dy dy dt dx dt dx = En donde dt dx se puede calcular despejando " "t de ( )x f t= , lo que no siempre es fácil y en ocasiones es imposible. Otra forma de calcular dt dx es usando la derivada de la función inversa, por la cual, 1dt dxdx dt = de donde, sustituyendo en la regla de la cadena, se llega a: ( ) ( ) '1 ' dy g tdy dy dy dydt dx dxdx dt dx dx f t dt dt = ⇒ = ⇒ = Ejemplo. Dada la siguiente función, obtener la derivada dy dx : 2 2 : ; 0 1 x t t f t y t ⎧ = −⎪ ≥⎨ = + −⎪⎩ )i Por medio de la fórmula obtenida. )ii Eliminando el parámetro " "t y derivando el resultado.
  • 2. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 2 Ejemplo. Dadas las ecuaciones paramétricas de la cicloide: ( ) ( ) 2 2 1 cos x sen y θ θ θ ⎧ = −⎪ ⎨ = −⎪⎩ calcular la derivada dy dx y evaluarla para 4 π θ = .
  • 3. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 3 Ejemplo. Calcular la derivada dy dx para función siguiente en el punto donde 0t = : cot 1 : tan 1 x ang t f y ang t ⎧ = −⎪ ⎨ = +⎪⎩ DERIVADAS DE ÓRDENES SUPERIORES Sea una función f definida en un cierto intervalo ( ),a b . Entonces, su derivada 'f es a su vez otra función definida en un subconjunto de dicho intervalo, y la operación puede repetirse, obteniéndose la segunda derivada que también es una función definida en un subconjunto del intervalo ,a b⎡ ⎤⎣ ⎦. Para denotar a las derivadas sucesivas de órdenes superiores, se emplean los siguientes símbolos: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 ; ' ' ; '' '' ''' ''' ; dy d y y f x y f x y f x dx dx d y y f x dx = = = = = = = … Para ilustrar esto, considérese la función ( ) 3 3 x f x = definida en el intervalo ( )2,2− y sean sus tres derivadas sucesivas:
  • 4. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 4 ( ) ( ) ( )2 ' ; '' 2 ; ''' 2f x x f x x f x= = = todas ellas definidas en el mismo intervalo. Sus gráficas son: Si se obtuviera la cuarta derivada, a partir de ella todas tendrían como valor cero, las cuales seguirían siendo una función pero su gráfica sería sobre el eje de las abscisas. En cambio hay funciones que se dice que son “infinitamente derivables” ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 5 8 3 3 3 3 1 2 10 ; ' ; '' ; ''' 3 9 27 f x x f x x f x x f x x − − − = = = − = 2 3 2 3 ; cos ; ; cos dy d y d y y senx x senx x dx dx dx = = = − = − Ejemplo. Obtener las dos primeras derivadas de la siguiente función y evaluarlas para 2x = . 2 x y x = + x y x x x 3 3 x y = 3 3 2 d y dx = 2dy x dx = 2 2 2 d y x dx =
  • 5. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 5 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES IMPLÍCITAS Ejemplo. Calcular la primera y segunda derivadas de las siguientes funciones: 2 2 ) 1 ; ) 2 5i x y ii x xy y+ = + = −
  • 6. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 6 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES REPRESENTADAS EN FORMA PARAMÉTRICA Sea la función ( ) ( ) : x f t f y g t ⎧ =⎪ ⎨ =⎪⎩ Como ya se vio la primera derivada, es decir, dy dx , se obtiene a partir de: dy dy dt dxdx dt = Por otro lado, lo que se pretende es calcular la segunda derivada, esto es, 2 2 d y d dy dx dxdx ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Como dy dx está en términos del parámetro " "t entonces, para aplicar la expresión anterior, es necesario aplicar la regla de la cadena. Así, 2 2 d y d dy dt dt dx dxdx ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ pero
  • 7. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 1dt dxdx dt = entonces 2 2 d dy d y dt dx dxdx dt ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠= Para obtener la enésima derivada de orden superior, se tiene que: 1 1 n n n n d y d d y dxdx dx − − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Se aplica la regla de la cadena y se llega a: 1 11 1 n nn n n n n n d d y dt dxd y d d y dt d y dxdt dxdx dx dx dt − −− − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠= ∴ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ejemplo. Obtener las tres primeras derivadas para la función representada en forma paramétrica como sigue: 5cos : ; 0 2 3 x f y sen θ θ π θ =⎧ ≤ ≤⎨ =⎩
  • 8. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 8 Ejemplo. La ecuación cartesiana de la Hipocicloide o Astroide está dada por la expresión: 2 2 2 3 3 3 x y a+ = y se representa paramétricamente mediante las ecuaciones: 3 3 cos : x a t f y asen t ⎧ = ⎨ =⎩ Determinar el valor de su primera y segunda derivadas cuando 2 2 a x y= = )i A través de la forma implícita )ii Con la forma paramétrica
  • 9. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 9
  • 10. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 10 DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. DERIVADAS LATERALES La derivada de una función f está dada por el límite: ( ) 0 ' lim x y f x xΔ → Δ = Δ y geométricamente es la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente a la función, en un punto determinado. Es obvio pensar que la derivada existe si el límite existe y, como se había externado antes, el límite existe si los límites laterales existen y si además son iguales. Luego es posible definir las derivadas laterales mediante los correspondientes límites laterales. Definición. Sea una función f . Entonces, su derivada lateral por la izquierda está dada por: ( )' 0 lim x y f x x−− Δ → Δ = Δ si el límite existe. Definición. Sea una función f . Entonces, su derivada lateral por la derecha está dada por: ( )' 0 lim x y f x x++ Δ → Δ = Δ si el límite existe. Teorema. Sea una función f . Una condición necesaria para la existencia de su derivada en un punto es que sus derivadas laterales existan y sean iguales, esto es, ( ) ( ) ( )' ' 0 0 0'f x f x f x− +⇒ = RELACIÓN ENTRE LA CONTINUIDAD Y LA DERIVABILIDAD Sean las funciones:
  • 11. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 11 ( ) ( ) 1 2 2 cos 0 2 1 0 2 2 0 0 2 x si x f x si x x si x f x x si x π⎧ − ≤ ≤⎪ = ⎨ ⎪ < ≤⎩ ⎧ − ≤ ≤ = ⎨ < ≤⎩ Se estudia la continuidad de ambas en 0x = y se tiene: Continuidad de 1f en 0x = : ( ) ( )1) 0 1 cumplei f = ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 lim 1 ) cumple lim 1 x x f x ii f x − + → → = = ( ) ( ) ( )1 1 0 ) 0 lim cumple x iii f f x → = 1f∴ es continua en 0x = Continuidad de 2f en 0x = : ( ) ( )2) 0 0 cumplei f = ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 lim 0 ) cumple lim 0 x x f x ii f x − + → → = = ( ) ( ) ( )2 2 0 ) 0 lim cumple x iii f f x → = 2f∴ es continua en 0x = Ahora se calculan las derivadas laterales: x cosy x= 2 π − 2 1y = y x x 2 y x= y x= 2− 2
  • 12. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ' cos ' 0 0 ; ' 1 0 ' 0 0 d f x x senx f dx f d f x f dx − − + + ⎧ = = − ⇒ =⎪⎪ ⎨ ⎪ = = ⇒ = ⎪⎩ ( ) ( )' 0 ' 0f f− +∴ = luego la función 1f es derivable en 0x = . Por otro lado, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 2 ' 0 0 ; ' 1 ' 0 1 d f x x x f dx f d f x x f dx − − + + ⎧ = = ⇒ =⎪⎪ ⎨ ⎪ = = ⇒ = ⎪⎩ ( ) ( )' 0 ' 0f f− +∴ ≠ por lo que la función 2f no es derivable en 0x = . Teorema. Si la función ( )y f x= es derivable en 1x x= , entonces también es continua para dicho valor de " "x . Ejemplo. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función ( ) 2 3 f x x= en el punto donde 1 0x = .
  • 13. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 13 Ejemplo. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función: ( ) 2 2 2 0 1 cos 0 2 2 7 7 x si x f x x si x x si x π π π π ⎧ ⎪ − − ≤ < ⎪ = + ≤ <⎨ ⎪ − ⎪ ≤ < −⎩
  • 14. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 14 APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA La derivada como la pendiente de la recta tangente Ejemplo. Obtener los ángulos que forman con el eje " "x las tangentes a la curva ( ) 2 2 4 4 ; 0x y y− + = ≥ , en los puntos: ( ) ( ) ( )) 2,0 ; ) 3, 3 ; ) 4,2i ii iii Explicar los resultados mediante la gráfica de la curva. Ejemplo. Calcular la pendiente de la tangente a la curva de ecuación: 2 4y x= − en el punto ( )1, 3P − , así como el ángulo que forma dicha tangente con el eje de las abscisas. Hacer una gráfica del problema planteado.
  • 15. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 15 Ejemplo. Determinar qué ángulo forma la curva 2 y x= con la recta 1x = al cortarse con ella. Hacer un trazo del problema planteado. Ejemplo. Determinar los puntos en los que las tangentes a la curva de ecuación 5 4 3 23 11 3 5 2 3 x x x y x= − + − son paralelas al eje " "x . Hacer un trazo aproximado de la gráfica de la curva, considerando los puntos obtenidos.
  • 16. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 16 Ejemplo. Determinar los puntos de la curva de ecuación 5 1 2 y x = − donde la tangente es paralela a la recta de ecuación 2 5 5 0x y− − = . Hacer un trazo aproximado del problema planteado con los resultados obtenidos.
  • 17. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 17 Ejemplo. Obtener punto de la curva 2 3 2y x= donde su tangente es perpendicular a la recta 4 3 2 0x y− + = . ECUACIONES DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO DADO ( ) ( )1 1 ; 'T Ty y m x x m f x− = − = ( )1 1 1 dondeN N T y y m x x m m − = − = −
  • 18. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 18 Ejemplo. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva de ecuación 2 2 5 6y x x= − + en el punto ( )2,4P . Hacer un trazo aproximado de la gráfica. Ejemplo. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva de ecuación 21 4 2 y x= − − en el punto 1 3, 2 P ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Representar gráficamente el problema planteado.
  • 19. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 19 ÁNGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS CURVAS Sean ( ) ( )1 2y f x y y f x= = las ecuaciones de 1 2C y C Entonces se tiene que: ( ) ( )1 1 1 0 2 2 2 0tan ' ; tan 'm f x m f xα α= = = = Es evidente que 2 1θ α α= − , luego " "θ se obtiene con: ( ) ( )2 0 1 0tan ' tan 'ang f x ang f xθ = − Otra forma de calcular este ángulo es mediante: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 02 1 2 1 2 0 1 0 ' ' tan o bien tan 1 1 ' ' f x f xm m ang ang m m f x f x θ θ −− = = + + Ejemplo. Determinar el ángulo que forman al cortarse las curvas siguientes y graficar. 2 2 2 3 2 x y y x y= + = y θ 1C 2α ( )0 0,P x y 1α 2C 1T 2T x
  • 20. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 20 Ejemplo. Demostrar que la elipse 2 2 2 6x y+ = y la parábola 2 4y x= se cortan en un ángulo recto, es decir, que son curvas ortogonales. Graficar aproximadamente.