CAMPOS MAGNETICOS: FISICA C -ESPOL

Las leyes de Biot-Savart y de Ampere
P •
dB
q Rq r
r R q
z z
q R
x r dB
dx I x

FLORENCIO PINELA - ESPOL 1 23/11/2009 13:16

• Dos formas de calcular
– Ley de Coulomb
 dq
dE  k 2 r
ˆ Para cualquier
distribución de
r carga
– Ley de Gauss
r r
e 0  E  dS  q “Alta simetría"

¿Cuáles son las ecuaciones análogas para el Campo
Magnético?


• Dos formas de calcular  μ0 I dl  r
ˆ
dB 
– Ley de Biot-Savart 4π r 2
(“Cualquier distribución
de corriente”)
 
– Ley de Ampere
(“Alta simetría”) 
 B  dl  0 I
–Superficie Amperiana
I (Trayectoria Amperiana.)

Estas son las ecuaciones análogas

El Campo Magnético en un punto p,
generado por una carga q en movimiento,
siempre apunta Perpendicular al plano
formado entre la Posición del punto p (r) y
la velocidad de la partícula (v).

Analogías en las definiciones de g, E y B

Gm kq Kqv
g
r2
E 2
r
B 2
r
¿Cómo representamos la condición de que B es
perpendicular a v y r ?
 
 Kqv  r
ˆ o qvxrˆ o qvsen
B  B
r 2
4 r 2 4 r2

Pregunta de concepto
Una carga puntual positiva se mueve directamente hacia un
punto P. El campo magnético que la carga puntual produce
en el punto P
1. Apunta desde la carga hacia el punto P
2. Apunta desde el punto P hacia la carga
3. Es perpendicular a la línea que va desde el punto P
hasta la carga
4. Es cero
5. La respuesta depende de de la rapidez de la carga

puntual  o qvxrˆ
B
4 r 2


Dos cargas puntuales positivas se mueven
paralelamente y en la misma dirección con la
misma velocidad.
La fuerza magnética que la carga superior ejerce
sobre la carga inferior

1. Está dirigida hacia la carga superior (esto es, la
fuerza es de atracción)
2. Se dirige alejándose de la carga superior (esto

es, la fuerza es de repulsión)  o qvxrˆ
B
3. Está en la dirección de la velocidad 4 r 2
4. Está en dirección opuesta a la velocidad   
F  qv  B
5. Ninguna es correcta

La paradoja que dio origen a la teoría especial
de la relatividad

q2
1 o q 2 v 2
FE  FB 
4e o r 2 4 r 2
FB 1
 oe o v 2 c
FE  oe o  
o qvxrˆ
B
4 r 2
2
FB v
 2
Cuando v es pequeña comparada
con c, la fuerza magnética es mucho
FE c menor que la fuerza eléctrica


Contribución diferencial del campo magnético ( dB ), en
un punto P, generado por un tramo diferencial ( dl ) de
conductor con corriente ( I )

 o qvxrˆ
B
4 r 2

Tenemos que adaptar la expresión
para el campo B de una carga, al
de un “flujo” de cargas

o qvsen Campo generado por una
B carga q moviéndose con
4 r2 velocidad v

dq = n(Adl)e
o dq vd sen
dB 
4 r2
o (nAdle)vd sen
dB 
4 r2
o (nAvd e)dlsen
dB 
4 r2

o Idlsen  o I dlxrˆ
dB 
4
dB 
r2 4 r 2



 o I dlxrˆ
dB 
4 r 2

Expresión vectorial

oi dlsen
dB 
4 r2
Expresión escalar
r - es la magnitud del vector posición r, éste vector apunta
desde el diferencial dl del conductor hasta el punto p donde se
mide la contribución del campo.
dl - es la magnitud del vector dl, éste vector es tangente al
conductor y apunta en la dirección de la corriente convencional.

oi dlsen dB
dB 
4 r2 I
Φ- Representa el ángulo formado
entre los vectores dl y r. r
o - Es una constante conocida como
permeabilidad magnética del espacio
libre (vacío), en SI su valor es: dl
4x10-7 Wb/A.m ó (T.m/A)
N
0  4 10 7

A2


El campo magnético “circula” alrededor del alambre

Observe que el
campo B es siempre
tangente a una línea
de campo.

Mientras más nos aproximamos al
alambre, el campo se vuelve más intenso

Un alambre recto largo se encuentra a
lo largo del eje de y, y lleva la corriente
en la dirección positiva. Una carga
positiva se mueve a lo largo del eje x
en la dirección positiva. La fuerza
magnética que el alambre ejerce sobre
la carga…

1. is in the positive x direction
2. is in the negative x direction
3. is in the positive y direction
  
4. is in the negative y direction F  qv xB
5. none of the above


Dos hilos largos que llevan corrientes iguales se
cruzan sin tocarse en ángulo recto según se indica.

Existen puntos de intensidad de campo magnético
cero en las regiones

a.- IV y II II I
b.- I y II
c.- II y III
d.- IV y III
III IV



 o I dlxrˆ
dB 
4 r 2


El punto P y el alambre se encuentran en el
plano de la “pizarra”

 o i dlsenq
dB 
4 r 2
¿Podemos sumar (integrar) esta contribución
(dB) para encontrar el campo total en el punto
P, generada por un tramo de una longitud L?
¡Si!, ya que todas las contribuciones dB apuntan
en la misma dirección  o i dlsenq
oi dlsenq B   dB  
4 r 2
4  r 2
B
Recuerde que es una
saquemos las constantes integral de línea, aquí
fuera de la integral vemos 3 “variables”.

oi dlsenq Pongamos r y q en R
senq 
4  r 2
B función de l r
r 2  R2  l 2
 o i dl R
4  r 2 r
B

 o iR dl oiR dl
4  r 3 4   R 2  l 2 3/ 2
B B


0
oiR dl
4 
B 3
(R2  l ) 2 2

 o iR b dl
4  a ( R 2  l 2 )
B 3
2

dx x 1
 ( x 2  a 2 ) 3 2  a 2 ( x 2  a 2 ) 12 (1)

xdx 1
 ( x 2  a 2 ) 3 2 ( x  a 2 ) 12
 2 (2)


Integrales útiles de recordar.
dx x 1
 ( x 2  a 2 ) 3 2 a ( x  a 2 ) 12
 2 2 (1)

xdx 1
 ( x 2  a 2 ) 3 2 ( x  a 2 ) 12
 2 (2)

Utilicemos el resultado de la integral (1)
oiR b dl oiR  l 
b

4  a ( R 2  l 2 )
B 3 B 
1

4  R 2 (l 2  R 2 )   a
2 1
2

o i  b a 
B  2  2 
4 R  (b  R ) (a  R 2 ) 
2 1 1
2 2

Este resultado lo podemos simplificar

a b
o i  b a 
B  2  2 
  4 R  (b  R )
21
(a  R 2 ) 
2
1
2

R
o i
B (cos   cos  )
4 R
P
Alambre muy largo (infinito), o R es pequeña
o i
comparada con la longitud del alambre, los B (cos 0o  cos 0o )
ángulos α y β tienden a cero grados 4 R
o i
B
2 R
Válida para puntos ubicados
fuera del alambre


Preguntas de concepto
Dos alambres rectos y largos se
orientan perpendicular al plano xy.
q R
Los alambres transportan corriente
de magnitud I en las direcciones
mostradas.
En el punto P, el campo magnético
debido a estas corrientes
1. Está en la dirección positiva x
2. Está en la dirección negativa x
3. Está en la dirección positiva y
4. Está en la dirección negativa y
5. Ninguna de las anteriores

 o I o I  ˆ
Btotal (1)     ( j )
 2 (2d ) 2 (4d ) 

Campo magnético generado por dos alambres
paralelos perpendiculares a la pizarra, en puntos
sobre el eje “x”

Una lámina conductora muy larga de ancho w y
espesor muy delgado d, transporta corriente I como
se indica en la figura. Determine el campo magnético
en el punto p ubicado a una distancia b sobre el
plano del conductor.


Dividimos la lámina en un conjunto
muy grande de “alambres” muy
largos de “diámetro” dx

oi
B 
2R
Adaptamos ésta
expresión para el
“alambre”

o I '
dB  o Idx
2 ( w  b  x) dB 
'
2 w( w  b  x)
I I

wd dxd o I w dx
2 w  w  b  x
B
dx
I 
'
I 0
w

Campo magnético en un punto p ubicado sobre el eje
de una espira circular con corriente. 
 o I dlxr ˆ
dB 
4 r 2


Por simetria las componentes
o I dlsen B   dB  0 perpendiculares a “x” se
dB  cancelan
4 r 2
Suma de todas las
B   dB   dB cosq contribuciones
α: ángulo entre dl y r paralelas a “x”

0 I dl sen
B cosq
4 r 2

a
cos q 
r
sen  1
o I adl
B
4 r 3

o I adl o Ia
B B 3 
dl
4 r 3
4 r
o Ia
B (2 a)
4 ( x  a )
2 2 32

 o Ia 2
B ˆ i
2( x  a )
2 2 3/ 2

Espira con corriente Regla de la Campo similar al generado
mano derecha por un magneto

Un alambre se dobla formando un solenoide de radio a y longitud L. Si
el alambre transporta corriente I y la bobina tiene n espiras por unidad
de longitud. Determine la magnitud y dirección del campo magnético
en un punto ubicado a una distancia z medida desde uno de los
extremos del solenoide (sugerencia: tome el campo generado por una
espira circular y aplíquelo a la contribución de un diferencial de espiras
y luego integre)

o Ia 2
B
2( x 2  a 2 )3/ 2


Un alambre se dobla formando un solenoide de radio a y longitud L. Si el alambre transporta corriente I y la bobina tiene n espiras
por unidad de longitud. Determine la magnitud y dirección del campo magnético en un punto ubicado a una distancia z medida
desde uno de los extremos del solenoide (sugerencia: tome el campo generado por una espira circular y aplíquelo a la contribución
de un diferencial de espiras y luego integre)

o Ia 2
B
2( x 2  a 2 )3/ 2

o Ia 2 o (ndlI )a 2
B  dB 
2( x  a )
2 2 3/ 2
2( x 2  a 2 )3/ 2

(dl, l y x son la misma variable)

o na 2 I  z  L dx 
B
2



z
2 3/ 2 
(x  a ) 
2


Campo en un punto en el centro
de una espira circular (x=0)

o Ia 2 o I
B
2( x 2  a 2 )3/ 2 B
Para cualquier punto 2a
sobre el eje de la espira

Para un arco de o I  q 
circunferencia B  
2a  2 

Determine el valor del campo magnético en el punto P. Indique
además, si al liberar las espiras, estas se atraen o se repelen.

o Ia 2
B
2( x 2  a 2 )3/ 2

Preguntas de concepto
A wire consists of two straight sections with a semicircular
section between them. If current flows in the wire as shown,
what is the direction of the magnetic field at P due to the
current?

1. to the right
2. to the left
3. out of the plane of the figure
4. into the plane of the figure
5. none of the above


Los tramos o I  q 
horizontales no B  
contribuyen al 2a  2 
campo en C.

o I
Campo generado por un arco B
de circunferencia 4r
Las contribuciones de los dos B  B1  B2
tramos circulares estan en la
misma direccion
o I  1
1 
B   
Entrando al plano del papel 4  R1 R2 
en el punto C.

Fuerza magnética entre conductores
paralelos

La corriente en cada uno de los alambres está inmersa en el
campo generado por la corriente vecina.

  
dF  IdlxB
dF1  I1dlB2 sen90 o

o I 2
dF1  I1 dl
2 d
o I1I 2 F1 o I1 I 2

L
Corrientes en la misma
dirección se atraen.
F1 
2 d 
0
dl
L 2 d
Corrientes en direcciones
contrarias se repelen.


LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY
LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO
HORIZONTAL. DETERMINE LA MAGNITUD Y
DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL
ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA.

F1 o I1 I 2

L 2 d


Las fuerzas F3 y F4 se
cancelan

F  F1  F2

o I1 I 2 L
F1 
2 d1

o I1 I 2 L
F2 
2 d 2
 o I 2 L  1 1 
F   ˆ j
2  d1 d2  d1=0,03m, d2=0,08m,
L=0,1m

RESUMEN: LEY DE BIOT-SAVART
oi dlsen o i
dB  B (cos   cos  )
4 r 2
4 R
ALAMBRES RECTOS

o Ia 2
B
2( x 2  a 2 )3/ 2
ESPIRAS CIRCULARES
o I
B
2 R
o I  q 
B   ALAMBRES RECTOS
2a  2 
MUY LARGOS
SEGMENTO CIRCULAR

LA LEY
DE
AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que
presentan extrema simetría, muy similar a la ley de Gauss
para el campo eléctrico, esta ley es de fácil aplicación en
los casos que presentan distribuciones simétricas de
campos magnéticos, producidos por determinadas
configuraciones de conductores con corriente.

La ley de Ampere establece que la suma de todos los
 

productos  Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada l
(circulación del campo magnético), es directamente
proporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie S
limitada por la trayectoria l.
 

 B  dl  I
Corriente
Superficie S atravesada neta I
por la corriente I
La suma de todos los
productos Bdl a lo largo de
una trayectoria cerrada, es
B proporcional a la corriente
neta I que encierra la
Trayectoria
trayectoria.
cerrada l
dl  


 B  dl   I o


 


 B  dl  o I

Integral alrededor de una Corriente “encerrada”
trayectoria cerrada … con
suerte que sea simple
por la trayectoria

Usualmente la
trayectoria cerrada
 I coincide con una
línea de inducción


Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampère son
similares a los de la ley de Gauss.

1. Dada la distribución de corrientes deducir la dirección del
campo magnético


2. Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por
corrientes y calcular la circulación del campo magnético.
Generalmente el camino cerrado coincide con una línea de
campo magnético

a) Corriente “positiva” por convención
b) Corriente “negativa” por convención


3.Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta)
que atraviesa el camino cerrado

4. Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo
magnético.

La figura muestra, en sección transversal,
tres conductores que transportan corriente
perpendicular al plano de la figura.
Si las corrientes I1, I2, e I3 todas tienen las
misma magnitud, ¿para cuál trayectoria(s)
es cero la integral de línea del campo
magnético?
1. Sólo la trayectoria a
2. Las trayectorias a y c
3. Las trayectorias b y d
4. Las trayectorias a, b, c, y d
5. La respuesta depende de si la integral va en sentido
horario o anti-horario en la trayectoria cerrada


CAMPO MAGNÉTICO GENERADO POR UN
CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magnético producido por una corriente rectilínea

Elegimos como camino cerrado una
circunferencia de radio R, centrada en la
corriente rectilínea, y que coincida con una
línea de inducción.

• El campo magnético B es tangente a la
circunferencia de radio r, paralelo al vector dl.

• El campo magnético B tiene el mismo
módulo en todos los puntos de dicha
circunferencia.


La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale
 
  
 B  dl   Bdl cosq  B dl  B2 r
La corriente rectilínea i atraviesa la circunferencia de radio r.

B 2 r  oi
Despejamos el módulo del
campo magnético B.
o i
B
2 r
Llegamos a la misma expresión obtenida aplicando la ley de Biot y Savart.
El campo magnético para puntos fuera del cable se comporta
igual que si la corriente circulara a lo largo de su eje

Para r < R

 


 B  dl   I o

 


  
B dl   BdlCos 0o  B  dl  B (2 r )
I´, fracción de corriente
que atraviesa la superficie
B(2 r )  0 I '
de radio r.
I ,  r2

I  R2

0 I
o I
B
o I B B r
2 R 2
r
2 r 2 R 2 2


DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO
MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL.


Para R2 < r < R3 ¡lo único que nos queda por encontrar!

 


  
B dl   BdlCos 0o  B  dl  B (2 r )  o I neta I neta  I o  I ´
I ,  (r 2  R2 )
2 Nota: estos problemas

I o  ( R32  R2 )
2 se resuelven  R32  r 2 
fácilmente cuando en B(2 r )  o I o  2 2 
 R3  R2 
(r 2  R2 )
2
lugar de la corriente
I  2 Io
( R3  R2 )
2 se dan la densidad de
o I o  R32  r 2  1
 (r 2  R2 ) 
corriente, J: B  2 2 
2  R3  R2  r
2
I neta  I o 1  2 2 
I´= JA
 ( R3  R2 ) 


TIPOS DE SOLENOIDES


CAMPO MAGNÉTICO DE UN
SOLENOIDE IDEAL

L

a

a << L

Las líneas de campo magnético
salen de uno de los extremos del
solenoide y retornan por el otro.

Las líneas de campo magnético se
vuelven paralelas en la parte central
del solenoide.


EL SOLENOIDE IDEAL
Tomemos como trayectoria de  
integración el rectángulo 

trayect .
B dl  o I neta
cerrada
 
 B  dl  0 Para las trayectorias,
excepto a-b
 

 B dl   Bdl  BL   I o neta

Ineta = la corriente que atraviesa el
rectángulo = nLI
Solenoide con n espiras n: número de espiras por
por unidad de longitud unidad de longitud

BL = onLI B = o n I

Solenoides
El campo magnético de un solenoide es esencialmente
idéntico al de una barra imantada.

La grán diferencia es que nosotros podemos encender “on”
y apagar “off “! Y él atrae/repele otro imán permanente;
siempre atrae materiales ferromagnéticos.

El Toroide

• El Toroide es definido por un numero total N de
vueltas con corriente i.
• B=0 fuera del toroide! (Considere integrar B
sobre un círculo fuera del toroide)
• Para encontrar B dentro, considere un círculo de
radio r, centrado en el centro del toroide.
 

 B  dl  B(2 π r )  o I neta
I neta  Ni
Aplique Ley de Ampere:
  μ0 Ni

 B  dl  μ0 I neta B
2πr

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