Este documento presenta un resumen de conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como ecuaciones de variables separadas, homogéneas, exactas y lineales. También introduce conceptos como el factor integrante y trayectorias ortogonales. El documento servirá como guía para el curso sobre métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.

1. Tema:
Ecuaciones Diferenciales.
Ordinarias
Alumno: Larry Tubalcain Tiwi Asangkay
Curso : métodos américos
Ciclo: V

2. Índice
1. Introducción. Conceptos básicos. Interpretación
geométrica
2. Ecuaciones diferenciales de primer orden.
i. Definición
ii. Ecuaciones de variables separadas
iii. Ecuaciones homogéneas
iv. Ecuaciones diferenciales exactas
v. Ecuaciones lineales
vi. Ecuación de Bernouilli
vii. Trayectorias ortogonales
3. Ecuaciones diferenciales de orden superior.
4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
5. Ecuaciones diferenciales lineales completas.

3. Introducción
• El concepto de derivada está relacionado con
la variación que experimenta una función al
variar su posición inicial.
• ¿Existe algún proceso de la vida real que no
implique un cambio?
Velocidad v
Nivel
del
agua
h
Piedra en caída libre
y’’ = g = constante
Paracaidista
mv’ = mg – bv2
Salida de agua
h’= – kh1/2

4. Conden-
sador
Desplaza-
miento
y
Fuerza
Electromotriz
Introducción
Masa oscilatoria en un resorte
my’’ + ky = 0
Deformación de una viga
EIyiv = f(x)
Péndulo
L ’’ + g sen = 0
Corriente I en un circuito RLC
LI’’ + RI’+ I/C = E’
Movimiento vibratorio
y’’ +  2y = cost,  = 
0 0
Modelo depredador-presa de
Lotka-Volterra
y1’ = ay1 – by1y2
y2’ = ky1y2 – ly2
Resistencia
Inductor

5. Introducción
• Todo proceso se puede modelar con una
ecuación que está relacionada con la derivada
de una función. Esta ecuación que contiene
derivadas se llama ecuación diferencial.
• Una ecuación diferencial es una ecuación que
contiene una o más variables independientes,
la función que depende de ellas y una o más
derivadas de esa función.
– Ecuación diferencial ordinaria (una variable
independiente)
– Ecuación en derivadas parciales (más de una
variable independiente)

6. Ecuación Diferencial Ordinaria
• Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es
toda ecuación que establece una relación entre
una variable independiente x  , una función
suya y = f (x) y las derivadas de ésta: y’, y’’, etc.
• Se llama orden de una ecuación diferencial al
orden de la máxima derivada que interviene en
la ecuación.
• Se llama grado de una ecuación diferencial
ordinaria al grado (exponente) de la máxima
derivada que interviene en la ecuación, salvo
que se diga otra cosa.

7. Ecuación Diferencial Ordinaria
Existen tres problemas en el estudio de las
ecuaciones diferenciales:
• Comprobar que un haz de curvas es la
solución de una ecuación diferencial dada.
• Hallar la ecuación diferencial correspondiente
a un haz de curvas.
• Resolver una ecuación diferencial.

8. Interpretación geométrica de la
solución de una EDO
• Resolver una ecuación diferencial es hallar la
función y = f (x) que la verifica.
• Gráficamente, la solución de una EDO representa
el haz de curvas que satisface dicha ecuación.
• La solución de una EDO depende de tantos
parámetros como sea su orden.
• Ejemplo 1.1 Dada la EDO xy’+ y = 0, comprobar
que y = C/x es su solución e indicar qué
representa.

9. Interpretación geométrica de la
solución de una EDO

10. Interpretación geométrica de la
solución de una EDO
• Ejemplo 1.3 Comprobar que
y = C1e x + C2e – x + e x (x 2  x)
es la solución de la EDO y’’ y = 4xe x e indicar
qué representa.
• Ejemplo 1.2 Comprobar que y + e y = (x + C)e – x es
la solución de la EDO y + e y  e –x + (1 + e y) y’= 0.
Solución implícita
Solución explícita

13. EDO asociado a un haz de curvas
• Dada una función y = y (x) que depende de n
parámetros Ci, para hallar la EDO que verifica
dicha función se deriva ésta tantas veces como
parámetros haya y se eliminan los mismos en el
sistema resultante.
• Ejemplo 1.4 Hallar la ecuación diferencial cuya
solución es e x tgy = Ce x + x + 1.
• Ejemplo 1.5 Hallar la ecuación diferencial que
verifica la función y = C1e x + C2xe x + x 2 + 3x + 5.

14. Clasificación de una EDO
superior al primero
• Atendiendo a la forma de la ecuación diferencial,
las EDO de primer orden se clasifican en:
– De variables separadas (o separables)
– Homogéneas
– Exactas. Reducibles a exactas (factor integrante)
– Lineales. De Bernouilli
– Etc.
• Atendiendo a su orden de derivación:
– Ecuaciones diferenciales de primer orden
Una EDO de primer orden puede estar expresada en
forma–imE
cpu
lía
ccii
to
an
Fe
s(xd
,i
f
ye
,r
ye
’n
)c=i
a
0l
e
osleinxepalílecsitadey’o=rdfe(nx,y).
No se
estudiará en
este curso las
condiciones
para que una
EDO tenga
solución.

15. Ecuaciones de variables
separadas
Son todas las ecuaciones de la forma:
f (x) dx + g (y) dy = 0
Para resolverla basta con integrarla directamente.
Ejemplos:
1. cos(x) dx + y2 dy = 0

17. Ecuaciones homogéneas
es homogénea y hallar su grado.
• Una EDO de primer orden y’= f (x, y) es
homogénea si la función f (x, y) es homogénea
de grado 0 con respecto a x e y.
2
f x, y x 3
• Una función f (x, y) es homogénea de grado k
con respecto a x e y si f (x, y) = k f (x, y).
f (x, ux) = xk g(u).
Ejemplo: Comprobar que la función

18. Ecuaciones homogéneas
Si P(x, y) y Q(x, y) son funciones homogéneas
de grado 0 respecto a x e y, la ED P(x, y) dx +
Q(x, y) dy = 0 es homogénea.
Para resolver una ED homogénea se hace el
cambio de variable y =ux y se obtiene una ED
de variables separadas.
Ejemplos:
1. (x + y) dx + x dy = 0
2. (x + 3y) dx + (y – x) dy = 0

19. Ecuaciones diferenciales
exactas
Se dice que P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es una
ecuación diferencial exacta si existe una función
constante U(x, y) cuya diferencial sea dicha
ecuación: dU(x, y) = P(x, y) dx + Q(x, y) dy
Es decir: U(x, y)/x = P(x, y) y U(x, y)/y = Q(x, y)
En tal caso, la función se llama función potencial
de la ecuación diferencial.
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es una ecuación
diferencial exacta si y sólo si P y Q son
funciones continuas y se verifica: P/y = Q/x

21. Ecuaciones diferenciales
exactas
• Comprobar que las siguientes ecuaciones
diferenciales son exactas y resolverlas:
1. (2xy3 – 4x3y2) dx + (3x2y2 – 2x4y) dy = 0
2. (2x3 + 3y) dx + (3x + y – 4) dy = 0

24. Factor integrante


y x y x

x y

• Supongamos que P dx + Q dy = 0 no es una
ecuación diferencial exacta, pero que al
multiplicarla por cierta función  (x, y), la
ecuación resultante P dx + Q dy = 0 sí es
exacta. La función  recibe el nombre de
factor integrante de la ecuación diferencial
dada.
• Puesto que P dx + Q dy = 0 es una
ecuación diferencial exacta, se verifica:
μP
μQ P
μ
 Q
μ
 μ
 Q

P 

25. Factor integrante
• En general, esta EDP es muy difícil de
resolver, salvo en algunos casos en los cuales
se le impone alguna condición a .


y x

x y

• Por lo tanto, para obtener un factor integrante
para una ecuación diferencial no exacta
P dx + Q dy = 0 habría que resolver la ecuación
en derivadas parciales siguiente:
P
μ
 Q
μ
 μ
 Q

P 

26. Factor integrante
Q
 
x

x y


• Si se le exige a  que sea función sólo de x,
entonces Q/y = 0 y la EDP anterior se
reduce a:
 Q
μ
 μ
 Q

P 


 
Qx
  Py

Al ser  una función sólo de x, entonces ’
también. Por lo tanto:
La condición para que la ED P dx + Q dy = 0
posea un factor integrante es que el cociente
– (Q’x – P’y)/Q sea sólo función de la variable x.

27. Factor integrante
obtenemos:
Q

Integrando: 
 
Qx
  Py

 x
xdx

 xdx  Ln  
 d  



  exdx

28. Factor integrante
Qx  Py
2yP  xQ
Qx 
P Q
Si
Qx
  Py

 x  y t
P
Si
Qx
  Py

 y t etdt
, t  y
Q
Si 
Qx
  Py

 x t etdt
, t  x
 
Si
Si

29. Factor integrante
1. Resolver la ecuación (x2 – y3 – x) dx + xy2 dy = 0
sabiendo que posee un factor integrante que es
función sólo de x.
2. Resolver la ecuación (exy2 – 8xy4 + y) dx – (exy +
4x2y3 + 2x) dy = 0 sabiendo que posee un factor
integrante que es función sólo de y.
3. Resolver la ecuación (4x2 – xy + y2) dx + (x2 – xy +
4y2) dy = 0 sabiendo que posee un factor
integrante que es función sólo de (x + y).
4. Resolver la ecuación (x2y3 + y) dx + (x – x3y2) dy = 0
sabiendo que posee un factor integrante que es
función sólo de xy.

30. Ecuaciones lineales
• Una ecuación diferencial de primer orden y
primer grado en y y en y’ es una ecuación
diferencial lineal. Por lo tanto, tiene la forma:
y’+ f (x) y = g (x)
Teorema: La solución de la ecuación diferencial
lineal y’+ f (x) y = g (x) es la función:
y  e f xdx
e f xdx

31. Ecuaciones lineales
Resolver las ecuaciones lineales siguientes:
i. y’ – tg (x) y = 3e– sen(x)
ii. y’ + (2/x) y = ex
iii. y’ – 3x2y = 6x2
iv. y’ + (1/x) y = sen(x)
Hay tres formas de resolver la ecuación diferencial lineal
y’+ f (x) y = g (x):
 f xdx
1. Mediante la fórmula del Teorema anterior
2. Multiplicando por el factor integrante   e
3. Aplicando el método de variación de constantes

32. Ecuación de Bernouilli
• Es toda ecuación diferencial de la forma:
y’+ f (x) y = g (x) yn
• El cambio de variable y– (n–1) = t la transforma
en una ecuación diferencial lineal.
• Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial:
y’– (1/x) y = –y2

33. Trayectorias Ortogonales
• Sea y = f (x, C) un haz de curvas. Decimos que
el haz de curvas y = g (x, K) forma un haz de
trayectorias isogonales de y = f (x, C) si cada una
de sus curvas corta a una curva de y = f (x, C)
según un ángulo  constante.
y = f (x, C)
y = g (x, K)
Los haces de
trayectorias
isogonales
más comunes
son los de
trayectorias
ortogonales.

34. Trayectorias Ortogonales
Si las rectas: y = mx+n e
y = m’x+n’son ortogonales,
entonces:
Para hallar el haz de
trayectorias ortogonales al
haz de curvas y = f (x, C),
basta hallar la ecuación
diferencial de dicho haz:
y’= F (x)
y resolver la ecuación
diferencial de primer orden:
y = f (x, C)
y = g (x, K)
y = mx+n
y = m’x+n’)
m
m' 
1
y

1
 Fx
1. Hallar las trayectorias ortogonales
del haz de parábolas y = Cx2.
2. Hallar el haz de trayectorias
ortogonales a y = Ce x.

35. Ecuaciones diferenciales de
orden superior
• Se dice que una EDO es de orden superior si
su orden es mayor que el primero.
• Sólo veremos las EDO de orden superior
lineales, que son aquellas en las que tanto y
como sus sucesivas derivadas: y’, y’’, y’’’, …
son de primer grado.
 
n 2 1 0
(n1
 an1 y
a y(n
  a y  a y  a y  f x an = 1
• Podemos expresar la ecuación anterior como:
P(D)(y) = f (x) siendo P(D) un polinomio en D
de grado n y D el operador simbólico: D = d/dx
PDa f x b gx aPDf x b PDgx

36. Wronskiano
• Dadas n funciones derivables de una variable
independiente: f1(x), f2(x), … , fn(x), se define el
Wronskiano como el determinante funcional:
Wx
f (n1
x
f1x
f1x
⁝
f (n1
x
f2 x
f2x
⁝
(n1
n
fn x
fnx
⁝ ⁝
f x
2
1

37. Funciones linealmente
independientes
Teorema: Sean f1(x), f2(x), … , fn(x), n funciones
derivables, entonces f1(x), f2(x), … , fn(x) son
linealmente independientes si su wronskiano
es no nulo, x  .
Ejemplo: Comprobar que las funciones:
f1(x) = x2  1,
f2(x) = 3x2 + x + 1
f3(x) = x + 3
son linealmente independientes.

38. Ecuaciones Diferenciales
Lineales Homogéneas
Una ecuación diferencial lineal P(D)(y) = f (x) se
dice que es homogénea o incompleta si f (x) = 0.
Es decir, si es de la forma: P(D)(y) = 0.
Teorema: Toda combinación lineal de soluciones
linealmente independientes de una EDLH es
también solución de dicha ecuación.
Por lo tanto, si y1, y2, …, yn son soluciones
linealmente independientes de la EDLH P(D)(y)
= 0, también será solución la función:
C1 y1 + C2 y2 + … + Cn yn

39. Ecuaciones Diferenciales
Lineales Homogéneas
Teorema: Toda EDLH de orden n tiene
exactamente n soluciones linealmente
independientes.
Definición: Se llama función característica de la
EDLH P(D)(y) = 0 a la ecuación polinómica
P(r) = 0. Sus soluciones se llaman soluciones
características de la ecuación diferencial
correspondiente.
Teorema: Si r = a es solución característica
entonces eax es solución de la ecuación
diferencia.

40. Ecuaciones Diferenciales
Lineales Homogéneas
Dado que un polinomio de grado n puede admitir
soluciones reales o complejas, y éstas pueden ser
simples o múltiples, se presentan también cuatro
tipos de soluciones de la EDLH.

41. Ecuaciones Diferenciales
Lineales Homogéneas
1. Si r = a es solución característica simple, entonces
y = eax es solución de la EDLH.
2. Si r = a es solución característica de orden k,
entonces y = xieax, i = 0, 1, 2, k  1 son soluciones
linealmente independientes de la EDLH.
3. Si r = a  ib es solución característica simple,
entonces y = eax (C1cos(bx) + C2sin(bx)) es solución
de la EDLH.
4. Si r = a  ib es solución característica de orden k,
entonces la solución correspondiente de la EDLH
2
1
0 k1
0 1 2 k1
xk1

xk1

 sinbxM  M x  M x2
  M
es: y  eax

cosbxC  C x  C x2
  C

42. Ecuaciones Diferenciales
Lineales Homogéneas
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. y’’’– 2y’’– 5y’ + 6y = 0
2. y’’’– 6y’’+ 12y’ – 8y = 0
3. y’’– 8y’ + 20y = 0
4. (D2 + 2D +10)2y = 0

43. Ecuaciones Diferenciales
Lineales Completas
• Una ecuación diferencial lineal completa es
una ecuación diferencial de la forma
• Supondremos que los coeficientes ai son
constantes y que ai = 1, por lo que dicha
ecuación puede expresarse en forma simbólica
como P(D)(y) = f (x).
• La solución de la ecuación diferencial que
depende del término independiente f (x) la
llamaremos solución particular de la ED.

44. Ecuaciones Diferenciales
Lineales Completas
• Si llamamos yH a la solución de la ecuación
diferencial homogénea e yP a la solución
particular de la ecuación completa, es evidente
que y = yH + yP es solución de la ecuación
completa puesto que
P(D)(yH + yP) = P(D)(yH) + P(D)(yP) = P(D)(yP) = f (x)
• La función yH + yP se llama solución general de
la ED.
• Existen muchos métodos para hallar la solución
particular de la ED, cada uno de ellos con sus
ventajas e inconvenientes.

45. Método de los coeficientes
indeterminados o de tanteo
• Consiste en ensayar una solución particular de
forma semejante a la función f (x), pero de
coeficientes desconocidos que se calcularán al
sustituir dicha función en la ED propuesta.
• Se distinguen diferentes casos en función de la
función f (x) del término independiente.

46. Método de los coeficientes
indeterminados o de tanteo
1. Si f (x) = eax P(x) siendo P(x) un polinomio de grado
n y a no es solución característica.
La solución particular es de la forma yP = eax Q(x)
siendo Q(x) un polinomio del mismo grado que
P(x) y coeficientes indeterminados.
2. Si f (x) = eax P(x) siendo P(x) un polinomio de grado
n y a es solución característica de orden k.
Se ensaya la misma solución que en el caso
anterior, pero multiplicada por xk, es decir:
yP = eax Q(x) xk

47. Método de los coeficientes
indeterminados o de tanteo
3. Si f (x) = eax sen(bx) o f (x) = eax cos(bx) y a+ib no es
solución característica.
Se ensaya la solución yP = eax (m cos(bx) + n sen(bx))
siendo m y n coeficientes indeterminados.
4. Si f (x) = eax sen(bx) o f (x) = eax cos(bx) y a+ib es
solución característica de orden k.
Se ensaya la misma solución que en el caso
anterior, pero multiplicada por xk, es decir:
yP = eax (m cos(bx) + n sen(bx)) xk

48. Método de los coeficientes
indeterminados o de tanteo
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. y’’– 3y’ – 4y = ex (6x2 – 4x +1)
2. y’’+ 3y’ + 2y = 4x2 – 5x +1
3. y’’’– 3y’ + 2y = ex (3x2 – x)
4. y’’’– 2y’’= x2 – x – 3
5. y’’– y’ – 6y = 78ex cos(3x)
6. y’’– 2y’ – 3y = 25 cos(4x)
7. y’’– 2y’ + 5y = 8ex sin(2x)
8. y’’+ 9y = 6 cos(3x)

49. Método de variación de
constantes
• El método de los coeficientes indeterminados,
para el cálculo de la solución particular de la
ecuación completa, tiene el inconveniente de
que no es práctico si el término independiente
es el producto de tres o más funciones, es el
cociente de dos, no es una función continua en
, etc.
• En esos casos es preferible aplicar el método
de variación de constantes.
• Estudiaremos su aplicación a ED de segundo
grado, aunque el método es fácilmente
extensible a ED de orden superior.

50. Método de variación de
constantes
• Sea la ED y’’+ ay’+ by = F(x) y supongamos que
su solución homogénea es yH = C1 f1(x) + C2 f2(x).
• Suponiendo que los coeficientes C1 y C2 son
funciones de x, la derivada de esta función es
y’= (C1’f1(x) + C1 f1’(x)) + (C2’f2(x) + C2 f2’(x)) =
(C1 f1’(x) + C2 f2’(x)) + (C1’f1(x) + C2’f2(x))
Si anulamos el segundo paréntesis entonces
C1’ f1(x) + C2’ f2(x) = 0, con lo que sólo queda
y’= C1 f1’(x) + C2 f2’(x).
Derivamos nuevamente esta función y resulta …

51. Método de variación de
constantes
y’’= (C1’f1’(x) + C1 f1’’(x)) + (C2’f2’(x) + C2 f2’’(x)) =
(C1 f1’’(x) + C2 f2’’(x)) + (C1’f1’(x) + C2’f2’(x))
• Si sustituimos las expresiones de y, y’ e y’’ en la
ecuación dada, puesto que y es solución de la
ecuación homogénea, la suma de los términos
que no contienen Ci’ es nula, por lo que sólo
queda la ecuación C1’f1’(x) + C2’f2’(x) = F(x)
• Resulta así el sistema:
C1’f1(x) + C2’f2(x) = 0
C1’f1’(x) + C2’f2’(x) = F(x)

52. Método de variación de
constantes
• Resolvemos el sistema: C1’, C2’
• Integramos las ecuaciones resultantes: C1, C2
• Sustituimos C1 y C2 en la función homogénea:
solución general de la ED propuesta
Ejemplos: Resolver las siguientes ED:
1. y’’+ y = sec x
2. y’’– 4y’ + 4y = e2x x cos x

54. La ecuación de Euler-Cauchy
Es una ecuación diferencial de coeficientes
variables de la forma:
Se reduce a una ecuación diferencial lineal de
coeficientes constante mediante el cambio de
variable x = et.
Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial:
x2y’’– xy’ + y = 6x + 5
a x y  f x
 r
r (r

57. Curvas particulares de un haz
• La solución de una ecuación diferencial
representa el haz de curvas que verifica dicha
ecuación.
• Si se imponen ciertas condiciones a ese haz
se puede obtener una curva particular del
mismo.
• Estas condiciones pueden ser dadas en
puntos específicos (xi, yi) por los que debe
pasar la curva o en el origen y (0), y’(0), etc.
• En todo caso, el número de condiciones ha de
coincidir con el orden de la ED.

58. Curvas particulares de un haz
• Hallar la curva que pasa por los puntos (0,0) y
(1,2) y verifica la ecuación diferencial:
y’’– 3y’ + 2y = 4x – 8
• Hallar la curva solución de la ecuación
diferencial y’’– 2y’ + 2y = 2x2 que verifica las
condiciones: y (0) = – 1, y’(0) = 1.

59. Bibliografía
• Cálculo II. Sergio Falcón Santana. El Libro
Técnico. Las Palmas de Gran Canaria, 2001.
ISBN: 84-95084-01-5
• Cálculo y Geometría Analítica, Vol. 2, 3ª Ed.
Larson, R.E.; Hostetler, R .P. McGraw-Hill,
Madrid, 1991. ISBN:847615240X
• Matemáticas Avanzadas para Ingeniería.
Vol. I (3º Edición). Erwin Kreyszig. Limusa
Wiley. ISBN: 968-18-5310-5

60. See kuashat
Gracia
Thank you