Métodos de solución de E.D.O. de primer orden.

1. (Chapter head:)Ecuaciones Diferenciales
Una ecuación diferencial es una igualdad en la que interviene la derivada
o derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más
variables independientes una función incógnita y una o más varias de sus
derivadas.
Las ecuaciones Diferenciales aparece en el estudio de numerosos fenó-
menos físicos y químicos: Desintegración radiactiva, crecimiento de pobla-
ciones, reacciones químicas, problemas gravitatorios, mezclas, cambio de tem-
peratura, etc. No es exagerado a…rmar que la naturaleza se describe por
medio de ecuaciones diferenciales, de modo que un conocimiento de está ma-
teria nos ayudará a comprender mejor los fenómenos naturales.
1 Clasi…cación:
Las ecuaciones diferenciales se clasi…can según su tipo, orden y linealidad.
1.1 Según su tipo:
1.1.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)
Son las ecuaciones diferenciales que contienen solamente derivadas ordinarias
de cualquier orden.
1.1.2 Ecuaciones diferenciales parciales (EDP)
Son las ecuaciones diferenciales que contienen solamente derivadas parciales
de cualquier orden y de una o más variables independientes.
1.2 Según su orden:
El orden de una ecuación diferencial (sea una EDO o una EDP) está desig-
nada por la derivada de mayor orden contenida en dicha ecuación diferencial.
1.3 Según su linealidad:
La ecución diferencial de n-ésimo orden de una variable independiente se
puede representar en forma general como:
F(x; y; y0
; y00
; :::; y(n)
) = 0
donde F es una ecuación (n + 2) variables: x; y; y0
; y00
; :::; y(n)
.
1

2. Se dice que una ecuación diferencial F es lineal si todas las variables
y; y0
; y00
; :::; y(n)
estan elevadas a lo más a la potencia 1, no contiene en pro-
ducto de sus variables dependientes o cualquiera de sus variables no deben
de estar en una función no lineal (por ejemplo cos y):
(Solución de una EDO) Cualquier función y, de…nida en un intervalo
I y con al menos n derivadas continuan en I, que al sustituir en la ecuación
diferencial ordinaria de orden n F(x; y; y0
; y00
; :::; y(n)
) = 0 se reduce a una
igualdad, se considera solución de la ecuación diferencial en dicho
intervalo I.
(Solución General) Es una función y = f(x; C1; C2; ::) con una o más
constantes desconocidas. Si se halla los valores especí…cos de las variables
desconocidas, debido a condiciones iniciales entonces se llama Solución Par-
ticular.
2 Ecuaciones diferenciales de primer orden
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, es de la forma:
dy
dx
= F(x; y) con condiciones iniciales y(x0) = y0
En consecuencia y = f(x) es solución si:
f0
(x) = F (x; f(x)) ; para todo valor x en cierto intervalo I
y debe cumplir la condición inicial f(x0) = y0
Estas ecuaciones diferenciales son de las más sencillas, pero sus tecnicas
de solución son diversas, a continuación explicaremos las más importantes.
2.1 Ecuaciones diferenciales de variables separables:
Una ecuación de primer orden se dice que es de variables separables si se
puede expresar en la forma siguiente:
dy
dx
= f(x)g(y)
La derivada como el producto de dos funciones f(x) una función sola-
mente de x y g(y) una función solamente de y. Si la ecuación diferencial es
de variables separables se procederá a separar las variables con sus respectivas
diferenciales, para luego integrarlas y conseguir la solución deseada.
2

3. 1
g(y)
dy = f(x)dx
Z
1
g(y)
dy =
Z
f(x)dx
y = h(x; C)
1. 4txdx
dt
= x2
+ 1
Solución:
4tx
dx
dt
= x2
+ 1
4x
x2 + 1
dx =
1
4t
dt
Z
4x
x2 + 1
dx =
Z
1
4t
dt
Z
1
u
2du =
Z
1
4t
dt
2
Z
1
u
du =
1
4
Z
1
t
dt
2 ln (u) =
1
4
ln (t) + C
ln (u2
) = ln t1=4
+ C
u2
= C1t1=4
(x2
+ 1)
2
= C1t1=4
x2
+ 1 = C2t1=8
x =
p
C2t1=8 1
u = x2
+ 1
du = 2xdx
2du = 4xdx
Aplicar la exponencial
remplazando u
2. (y ln x) 1 dy
dx
=
x
y + 1
2
Solución:
3

4. (y ln x) 1 dy
dx
=
x
y + 1
2
1
y ln x
dy
dx
=
x2
(y + 1)2
(y + 1)2
y
dy = x2
ln xdx
Z
y2
+ 2y + 1
y
dy =
Z
x2
ln xdx
Z
y + 2 +
1
y
dy = ln x
x3
3
Z
x3
3
1
x
dx
y2
2
+ 2y + ln y =
x3
3
ln x
1
3
Z
x2
dx
y2
2
+ 2y + ln y =
x3
3
ln x
x3
9
+ C
Z
u dv = u v
Z
v du
por partes
u = ln x dv = x2
dx
du
dx
=
1
x
Z
dv =
Z
x2
dx
du =
1
x
dx v =
x3
3
3. Hallar la solución general de la siguiente EDO.
dy
dx
=
xy 3y + x 3
xy + 2y x 2
Solución:
dy
dx
=
xy 3y + x 3
xy + 2y x 2
dy
dx
=
y (x 3) + (x 3)
y (x + 2) (x + 2)
dy
dx
=
(x 3) (y + 1)
(x + 2) (y 1)
(y 1)
(y + 1)
dy
dx
=
(x 3)
(x + 2)
Z
(y 1)
(y + 1)
dy =
Z
(x 3)
(x + 2)
dx
Z
(y + 1 1 1)
(y + 1)
dy =
Z
(x + 2 2 3)
(x + 2)
dx
Z
(y + 1) 2
(y + 1)
dy =
Z
(x + 2) 5
(x + 2)
dx
Z
(y + 1)
(y + 1)
2
(y + 1)
dy =
Z
(x + 2)
(x + 2)
5
(x + 2)
dx
Z
1
2
(y + 1)
dy =
Z
1
5
(x + 2)
dx
y 2 ln (y + 1) = x 5 ln (x + 2) + C
2.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas:
Una ecuación z = f(x; y) se dice que es homogénea de grado n si:
f(tx; ty) = tn
f(x; y) donde n es un número real
Las ecuaciones diferenciales tambien suelen escribirse de la forma:
M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0
4

5. donde las funciones M y N son funciones homogéneas del mismo grado,
por tanto la ecuación diferencial anterior se le llama ecuación diferencial
homogénea.
Las ecuaciones diferenciales homogéneas de pueden transformar a ecua-
ciones diferenciales de variables separables, bajo un cambio de variable:
y = ux o x = uy
derivando se halla sus respectivas diferenciales
dy = udx + xdu o dx = udy + ydu
la cuales se remplazan en la ecuación diferencial homogénea y se cosigue
una ecuación diferencial de variables separables la cual se soluciona y luego
se remplaza la variable u por la inicial y o x, y esta sería la solución.
1. Compruebe que la siguiente EDO es una ecuacíon diferencial homoge-
neas y halle su solución
ydx + x +
p
xy dy = 0
Solución
Como es una E.D homogenea
reemplazemos por y = ux ! u = y
x
entonces dy = udx + xdu
ydx + x +
p
xy dy = 0
uxdx + (x +
p
xux) (udx + xdu) = 0
uxdx + uxdx + xu3=2
dx + x2
du + x2
u1=2
du = 0
xu3=2
dx + x2
du + x2
u1=2
du = 0
1 + u1=2
xdu = u3=2
dx
1 + u1=2
xdu = u3=2
dx
(1+u1=2
)
u3=2 du = 1
x
dxR
u 3=2
+ u 1
du =
R 1
x
dx
2u 1=2
+ ln u = ln x + C
respuesta
2 y
x
1=2
+ ln y
x
= ln x + C
2. Determine la solución del problema de valor inicial (PVI) de la EDO
dada:
(2xy + 3y2
)dx = (2xy + x2
)dy; con y(1) = 1
Solución:
5

6. 3.
Hacer el cambio de variable y = ux
derivando dy
dx
= du
dx
x + u
(2xy + 3y2
) = (2xy + x2
)dy
dx
(2x (ux) + 3 (ux)2
) = (2x (ux) + x2
) du
dx
x + u
(2x2
u + 3u2
x2
) = (2x2
u + x2
) du
dx
x + u
(2x2
u + 3u2
x2
) = (2x3
u + x3
)du
dx
+ u(2x2
u + x2
)
(2x2
u + 3u2
x2
2x2
u2
ux2
)) = (2x3
u + x3
)du
dx
(x2
u + u2
x2
) = (2x3
u + x3
)du
dx
x2
(u + u2
) = x3
(2u + 1)du
dx
1
x
dx = 2u+1
u2+u
du tomando los resultadosR 1
x
dx =
R 1
u
+ 1
u+1
du
ln (x) + C = ln (u) + ln (u + 1)
ln (x) + C = ln (u (u + 1))
eln(x)+C
= eln(u2+u)
Cx = u2
+ u como u = y=x
Cx = y
x
2
+ y
x
integrando
2u+1
u2+u
du por fracciones parciales
2u+1
u2+u
= A
u
+ B
u+1
= A(u+1)+Bu
u2+u
2u + 1 = A (u + 1) + Bu
si u = 0 =) 1 = A =) A = 1
si u = 1 =) 1 = B =) B = 1
entonces
2u+1
u2+u
= 1
u
+ 1
u+1
2.3 Ecuaciones diferenciales lineales:
Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden, a toda ecuación que
se puede escribir de la forma estandar:
y0
+ P(x)y = Q(x)
donde P(x) y Q(x) son funciones continuas en x. (a la expresión anterior
se le llama estandar porque el coe…ciente de y0
es 1).
Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales se halla un término
llamado factor integrante (f.i), que es el siguiente:
u(x) = e
R
P(x)dx
El cual multiplica a toda la ecuación diferencial (estandar) para convertila
en lo siguiente:
d
dx
[u(x)y] = u(x)Q(x)
pasando dx al segundo mienbro e integrando ambos mienbros se halla la
solución, que es de la forma siguiente:
6

7. Z
d [u(x)y] =
Z
u(x)Q(x)dx
y =
R
u(x)Q(x)dx
u(x)
1. Determine la solución general de la siguiente ecuación Diferencial
xdy
dx
+ 4y = x3
x
Solución
xdy
dx
+ 4y = x3
x Llevar a la forma estandar, dividir entre x
dy
dx
+ 4
x
y = x2
1 El factor integrante es u = e
R 4
x
dx
= e4 ln x
= x4
x4 dy
dx
+ 4x3
y = x6
x4
multiplicar por el factor integrnate toda la E.D.
d
dx
(x4
y) = x6
x4
el miembro izquierdo es igual a:
d(x4
y) = (x6
x4
) dx pasando la dx al otro ladoR
d(x4
y) =
R
(x6
x4
) dx Integrando ambos lados de la ecuación
x4
y = x7
7
x5
5
+ C dividiendo entre x4
y = x3
7
x
5
+ x 4
C Solución General
2.4 Ecuaciones diferenciales exactas:
Una ecución diferencial de la forma
M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0
se le llama ecuación diferencial exacta si existe una función f de dos
variables x e y, con derivadas parciales continuas, tales que:
@f
@x
(x; y) = M(x; y) y
@f
@y
(x; y) = N(x; y)
La solución general de la ecuación diferencial exacta es:
f(x; y) = C o f(x; y; C) = 0
No toda ecuación diferencial es exacta, una forma rapida de comprobar
que la ecuación diferencial
M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0
es exacta o no, se deriva parcialmente lo siguiente:
@M
@y
=
@N
@x
7

8. si cumple la igualdad es exacta y si no cumple la igualdad no es exacta.
Se debe de tener encuenta que hasta el signo es importante, e incluso una
pequeña modi…cación en la ecuación hace que esta deje de ser exacta.
Para hallar la solución de una ecuación diferencial exacta, se toma cualquiera
de las siguientes igualdades
@f
@x
(x; y) = M(x; y) y
@f
@y
(x; y) = N(x; y)
Potr ejemplo si toma la primera, y despejamos el diferencial de f (@f) se
tendria lo siguiente y se podra integrar parcialmente, y obtener
@f
@x
(x; y) = M(x; y)
@f (x; y) = M(x; y)@x
Z
@f (x; y) =
Z
M(x; y)@x
f (x; y) = h(x; y) + g(y)
Note que f(x,y) ya es la solución , h(x; y) es conocida lo único desconocido
sería la función g(y), se deriva parcialmente la función f respecto a la otra
variable y se iguala al término N(x,y). Se simpli…ca, se integra y se halla la
función g(y) que es la que faltaba en la solución anterior.
1. Resolver la ecuación diferencial
(5y 2x) y0
2y = 0
Solución:
Acomodando
( 2y) dx + (5y 2x) dy = 0
@M
@y
= 2 = @N
@x
@f
@x
= ( 2y)R
@f =
R
( 2y) @x
f = 2yx + g(y) solución
f = 2yx + 5y2
2
+ C = 0
derivando la solución
@f
@y
= 2x + @g(y)
@y
= 5y 2x
@g(y)
@y
= 5y
R
@g(y) = 5
R
y@y
g(y) = 5y2
2
+ C
2. Resuelva la siguiente EDO
1
y2 (1 + ln xy) dx + x 3
y3 dy = 0
(1 + ln xy) dx + x
y
3
y
dy = 0
8

9. @M
@y
= 1
y
= @N
@x
es una ED exacta
Por tanto @f
@x
= 1 + ln xy
@f = (1 + ln xy) @x integrandoR
@f =
R
(1 + ln xy) @x
f = x + x ln xy
R x
y
dx
f = x + x ln xy x2
2y
+ g(y) Derivando ( )
@f
@y
= 1 x2
2
ln y + @g(y)
@y
= N = x
y
3
y
@g(y)
@y
= x
y
3
y
1 + x2
2
ln y
R
@g(y) =
R h
x
y
3
y
1 + x2
2
ln y
i
@y
g(y) = x ln y 3 ln y y + x2
2
(y ln y + y)
Reemplazando en la ecua. ( )
f = x + x ln xy x2
2y
+ x ln y 3 ln y y + x2
2
(y ln y + y) = C
2.5 Ecuaciones diferenciales por sustitución
Existen imnumerables ecuaciones diferenciales que se resuelven por susti-
tuciones diversas, algunas sustituciones son simples y otras son complejas.
Ahora desallaremos las más utilizadas, por ejemplo una ya desarrollada seria
la ecuación homogenea que con un sustitución adecuada se llega otra ecuación
diferencial ya conocida.
2.5.1 Ecuación de Bernulli
Una ecuación diferencial de Bernulli tiene la siguiente forma
y0
+ P(x)y = yn
Q(x)
donde n no puede ser 0 ni 1, (por que sino seria lineal o de variables
separables respectivamente). Para valores de n diferentes de estos, el cambio
de variable sería:
z = y1 n
lo cual nos conduce a transforma la ecuación diferencial anterior a una lin-
eal, una vez solucionado la nueva ecuación diferencial, se procede a remplazar
en las variables originales.
1. Resuelva la ecuación diferencial ordinaria
y0
+ y
x
= log(x)
x
y2
9

10. Bernulli n = 2
u = y1 2
= y 1
= 1
y
y = 1
u
dy
dx
= u 2 du
dx
y0
+ y
x
= log(x)
x
y2
u 2 du
dx
+ 1
xu
= log(x)
x
1
u2
por u2
du
dx
1
x
u = log(x)
x
Por f:i: : u(x) = x 1
x 1 du
dx
x 1 1
x
u = x 1 log(x)
x
d
dx
(x 1
:u) = log(x)
x2
R
d (x 1
:u) =
R log(x)
x2 dx
x 1
:u = 1
x
log x
R 1
x
1
x: ln 10
dx
x 1
:u = 1
x
log x 1
ln 10
R 1
x2 dx
x 1
:u = 1
x
log x 1
ln 10
1
x
+ C
u = log x + 1
ln 10
+ Cx
1
y
= log x + 1
ln 10
+ Cx
Factor integrante
f:i : u(x) = e
R 1
x
dx
u(x) = e ln x
= x 1
u(x) = x 1
Por partes
u = log x dv = x 2
dx
du
dx
= 1
x: ln 10
R
dv =
R
x 2
dx
du = 1
x: ln 10
dx v = 1
x
2. Resuelva la EDO y (6y2
x 1) dx + 2xdy = 0
y (6y2
x 1) dx + 2xdy = 0
(6y3
xy y) dx + 2xdy = 0
6y3
xy y + 2xdy
dx
= 0
2xdy
dx
(x + 1) y = 6y3
2x
dy
dx
x+1
2x
y = 3
x
y3
Ecua. de Bernulli n=3
1
2
u 3=2 du
dx
x+1
2x
u 1=2
= 3
x
u 3=2
por 2u3=2
du
dx
+ x+1
x
u = 6
x
por el f.i.
xex du
dx
+ xex x+1
x
u = 6
x
xex
d
dx
(u:ex
) = 6ex
R
d (u:ex
) = 6
R
ex
dx
u:ex
= 6ex
+ C
y 2
= 6 + Ce x
y = 1p
6+Ce x
u = y1 3
= y 2
y = 1
u1=2 = u 1=2
dy
dx
= 1
2
u 3=2 du
dx
Ademas
Por f.i.
u(x) = e
R x+1
x
dx
u(x) = ex+ln x
u(x) = xex
2.5.2 Ecuación diferencial no exacta hecha exacta
Una ecuación diferencial que nom es exacta, muchas veces se puede hacer
exacta hallando un factor integrante. Dada la ecuación diferencial de la
forma
M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0
10

11. - Si My Nx
M
resulta una función exclusivamente de x, entonces el factor de
integración para la ecuación diferencial será:
u(x) = e
R My Nx
M
dx
- Si Nx My
N
resulta una función exclusivamente de y, entonces el factor de
integración para la ecuación diferencial será:
u(y) = e
R Nx My
N
dy
Multiplicando toda la ecuación por el factor integrante adecuado, re-
sultará una ecuación exacta y sera resuelto como una ecuación diferencial
exacta.
1. Mediante un factor integrante adecuado resuelva la siguiente ecuación
diferencial.
y(1 + ln xy + 2x)dx + (x 2y2
)dy = 0
Solución:
por u(y) = 1
y
(1 + ln xy + 2x)dx + (x1
y
2y)dy = 0
@M
@y
= 1
y
= @N
@x
E.D. exacta
@f
@y
= N = x
y
2y
@f = x
y
2y @y
R
@f =
R x
y
2y @y
f = x ln y y2
+ g(x)
@f
@x
= ln y + @g
@x
= M = 1 + ln xy + 2x
ln y + @g
@x
= 1 + ln x + ln y + 2x
@g
@x
= 1 + ln x + 2xR
@g =
R
(1 + ln x + 2x) @x
g(x) = x + x ln x x + x2
g(x) = x ln x + x2
entonces
f = x ln y y2
+ x ln x + x2
+ C = 0
x ln(xy) y2
+ x2
+ C = 0
2. Por factor integrante
(2x2
+ y) dx + (x2
y x) dy = 0
@M
@y
= 1 6= (2xy 1) = @N
@X
Hallar el factor integrante
g(x) =
@M
@y
@N
@x
N
g(x) = 1 2xy+1
x2y x
= 2yx+2
x(xy 1)
g(x) = 2(xy 1)
x(xy 1)
= 2
x
u(x) = e
R 2
x
dx
= e 2 ln x
u(x) = x 2
x 2
(2x2
+ y) dx + x 2
(x2
y x) dy = x 2
0
(2 + yx 2
) dx + (y x 1
) dy = x 2
0
@M
@y
= x 2
= @N
@X
Veri…car si es exacta
no es exacta
No es solo un función de x
multiplicando toda la ecuación po u(x)
Probemos si es exacto
Resolver por ecuaciones exactas.
11

12. 3. Resuelva la EDO 1
y2 (1 + ln xy) dx + x
y3 3 dy = 0
@M
@y
= 2
y3 (1 + ln xy) + 1
y3
@N
@x
= 1
y3
función de y
h(y) =
1
y3 + 2
y3 (1+ln xy) 1
y3
1
y2 (1+ln xy)
=
2
y3
1
y2
= 2
y
h(y) = 2
y
Factor integrante
u(y) = e
R 2
y
dy
= e2 ln y
u(y) = y2
multiplicado por el f.i u(y) = y2
y2 1
y2 (1 + ln xy) dx + y2 x
y3 3 dy = 0
(1 + ln xy) dx + x
y
3y2
dy = 0
@M
@y
= 1
y
= @N
@y
exacta
@f
@x
= (1 + ln xy)R
@f =
R
(1 + ln xy) @x
f = x + x ln xy x + g(y)
f = x ln xy + g(y)
@f
@y
= x
y
+ @g
@y
= N = x
y
3y2
@g
@y
= 3y2
R
@g = 3
R
y2
@y
g = y3
+ C
f = x ln xy + y3
+ C = 0
x ln xy + y3
= C respuesta
2.5.3 Reducción a variables separables
Una ecuación diferencial de la forma
dy
dx
= F(Ax + By + C)
se reduce siempre a variables separables por medio de la sustitución u =
Ax + By + C; B 6= 0:
2.5.4 Ecuaciones diferenciales cuasi-homogéneas
Las ecuaciones diferenciales cuasi-homogéneas tienen la forma siguiente
dy
dx
= F
A1x + B1y + C1
A2x + B2y + C2
12

13. donde los Ai; Bi; Ci 2 R: A este tipo de ecuaciones diferenciales se les
hace homogéneas, haciendo el cambio de variable siguiente:
x = X + h; y y = Y + k
siendo h y k las soluciones del sistema
A1x + B1y + C1 = 0
A2x + B2y + C2 = 0
Si el sistema no tiene solución, entonces
A1
A2
=
B1
B2
=
la ecuación diferencial se puede escribir como
dy
dx
= F
A1x + B1y + C1
(A1x + B1y) + C2
la cual se reduce a separables por la sustitución
z = A1x + B1y
1. Resuelva la siguiente EDO,
(3x 2y 5) dy = (2x + 3y + 1) dx
solución:
Intersección de las rectas
por 3 9x 6y 15 = 0
por 2 4x + 6y + 2 = 0
sumando
13x = 13
x = 1
y = 1
Sustituyendo
x = X + 1 y y = Y 1
(3x 2y 5) dy = (2x + 3y + 1) dx
(3 (X + 1) 2 (Y 1) 5) dy = (2 (X + 1) + 3 (Y 1) + 1)
(3X + 3 2Y + 2 5) dy = (2X + 2 + 3Y 3 + 1) dx
(3X 2Y ) dy = (2X + 3Y ) dx
por ser E.D. homogenea
13

14. sustituyendo Y = uX
dY = Xdu + udX
X = Y
u
(3X 2uX) (Xdu + udX) = (2X + 3uX) dX
(3X2
du 2uX2
du) + (3XudX 2Xu2
dX) = (2X + 3uX) dX
X2
(3 2u) du = X (2 + 3u 3u + 2u2
) dX
X2
(3 2u) du = X (2 + 2u2
) dX
(3 2u)
(2 + 2u2)
du =
X
X2
dX
3
2
(1)
(1 + u2)
du
1
2
(2u)
(1 + 1u2)
du =
1
X
dX
Integrando
3
2
Z
(1)
(1 + u2)
du
1
2
Z
(2u)
(1 + 1u2)
du =
Z
1
X
dX
3
2
arctan(u)
1
2
ln(1 + 1u2
) = ln(X) + C
3 Ejercicios
4 Hallar la solución explicita de la ecuación
diferencial. Si la solución explicita no se
puede entonces una solución implicita es
aceptable. Si tiene un valor inicial, en-
tonces encuentre la solución del problema
de valor inicial.
1. y0
= xyex
2. y0
y = 4x ; y(1) = 3
3. y0
= 1+y2
1+x2 ; y(2) = 3 (solución explicita)
4. y0
= 2y(y 2)
5. y0
+ y = 6
6. y0
= ex
(1 y2
)1=2
; y(0) = 1=2
7. y0
= 2xy
8. y0
= ex+y
9. xy0
= (1 2x2
) tan y
14

15. 10. y0
+ 2x(y + 1) = 0; y(0) = 2
11. y0
p
1 x2 +
p
1 y2 = 0 (solución implicita)
12. x + yy0
= 1 ; y(3) = 4
13. 2x + 2yy0
= 0
14. Demostrar que la ecuación de la forma y0
= F(ay + bx + c); a 6= 0; se
puede transformar a una ecuación de variales separables por un cambio
de variable dependiente v = ay + bx + k; donde k es un número.
15. Usar el ejercicio (14) para resolver la ecuación diferencial y0
= (y +
4x 1)2
16. Resolver el problema de valor inicial y0
= ex
(sin x)(y +1); y(2) = 1:
4.1 Veri…que si la ecuación es exacta, si lo es, resolver.
1. (3x2
y2
4xy)y0
= 2y2
2xy3
2. (x + y2
)dy
dx
+ 2x2
y = 0
3. (4x3
y2
6x2
y 2x 3) dx + (2x4
y 2x3
) dy = 0; y(1) = 3
4. (x2
y) dy + (2x3
+ 2xy) dx = 0
5. (y 3
y 2
sin x) y0
+ y 1
cos x = 0
6. (2x 1) (y 1) dx + (x + 2) (x 3) dy = 0; y(1) = 1:
Resolver la ecuación diferencial si es posible, usando un factor inte-
grante si es necesario.
7. (3xy + 6y2
) dx + (2x2
+ 9xy) dy = 0
8. ydx xdy = 0
9. (2xy + y2
) dx + (2xy + x2
y2
2xy3
) dy = 0
10. cos x cos ydx + (sin x cos y sin x sin y + y) dy = 0
11. 2ydx + 3 (x2
+ x2
y3
) dy = 0
12. (1 xy) y0
+ y2
+ 3xy3
= 0
15

16. 13. (x2
+ xy2
) y0
3xy + 2y3
= 0
Resolver los problemas
14. Demostrar que una ecuación separable es exacta.
15. Sea P(x) =
R
p(x)dx: Demostrar que eP(x)
es un factor integrante para
la ecución lineal
y0
+ p(x)y q(x) = 0:
16. Suponga que a; b; c y d son constantes tal que ad dc 6= 0; y sean m y
n números reales arbitrarios. Demostrar que
(axm
y + byn+1
) dx (cxm+1
+ dxyn
) dy = 0 tiene un factor inte-
grante u(x; y) = x y :
4.2 Resolver las ecuaciones diferenciales. Hallar la
solución particular de los problemas de valor ini-
cial.
1. xy0
+ 2y = 4x2
; y(1) = 4:
2. y0
2xy = 1; y(a) = b:
3. y0
2xy = 2x
4. y0
+ (sec x tan x) y = 0
5. y0
+ (cot x) y = 3 cos x sin x
6. y0
+ (cos x) y cos x; y ( ) = 0
7. y0
+ 1
x
y = 7
x2 + 3
8. y0
= 1
x2+1
9. y0
+ 2xy = x2
; y(0) = 3
10. xy0
+ (x + 1) y = ex2
Resolver los siguientes problemas
11. Algunas ecuaciones no lineales pueden ser transformadas en ecuaciones
lineales por un cambio de variable dependiente. Demostra que la ecua-
cioón de la forma
16

17. g0
(y)y0
+ p(x)g(y) = q(x) ; donde y es una función de x y g es una
de y, entonces la nueva variable dependiente es z = g(y) satisface la
ecuación lineal z0
+ p(x)z = q(x):
12. Use el método expuesto en el problema (11) para resolver la siguiente
ecuación:
1
1+y2 y0
+ 2
x
arctan y = 2
x
13. Demostrar una ecuación diferencial homogenea es tambien separable.
4.3 Resolver las ecuaciones de Bernoulli
1. xy0
+ y + x2
y2
ex
= 0
2. xyy0
= y2
x2
3. xy0
(3x + 6) y = 9xe x
y4=3
4. (1 + x2
) y0
+ 2xy = 1
(1+x2)y
5. x2
y0
+ 2y = 2e1=x
y1=2
Problemas
6. Una ecuación de la forma
dy
dx
= p(x)y2
+ q(x)y + r(x)
es llamada ecuación de Riccati.
(a) Si p(x) 0 demostrar que la ecuación es lineal. Si r(x) 0
demostrar que es una ecuación de Bernoulli.
(b) Si y1(x) es alguna solución particular, demostrar que el cambio
de variable y = y1(x) + 1
u
tranforma en una ecuación lineal en
termionos de u.
7. Usar el ejercicio 6 para resolver la ecuación. Una solución particular es
dada por y1:
y0
= y2
+ 2xy + (x2
1) ; y1 = x
17

18. 4.4 Resolver las ecuaciones diferenciales Homogeneas
Determinar si la ecuación diferencial es homogenea, si es así, resolverla. Si
tiene un valor inicial, hallar la solución particular que satisfaga el valor inicial.
1. y0
= y+x
x
2. y0
= xy+y2
x2 ; y( 1) = 2
3. xy0 = y xey=x
4. xy0 y =
p
x2 + y2
5. xy0
y = 2y(ln y ln x)
6. (x2
+ y2
)dy
dx
= 5y
7. y0
= y2 3xy 5x2
x2 ; y(1) = 1
8. (x3
+ x2
y + xy2
) y0
= xy2
+ 2y3
9. (y 2x) y0
= y
4.5 Resolver las ecuaciomes diferenciales de Ricatti
1. dx
dy
= 3y + y2
4; una solución es '(x) = 1
2. dx
dy
= (2x 1) y + (1 x) y2
x; una solución es '(x) = 1
3. x (x 1) dx
dy
(2x + 1) y + y2
+ 2x = 0; una solución es '(x) = x
4. y0 = 1 + x2
2xy + y2
; una solución es '(x) = x
18