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INGENIERIA AMBIENTAL
NOMBRE: Jessica Moran
TEMA: Resumen General de las Unidades
(1,2,3,4)
UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A
LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
UNIDAD 4: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR
UNIDAD 2: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
UNIDAD 3 : ECUACIONES
DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES
DIFERENCALES
Definición: Es una ecuación que relaciona variables dependientes, sus derivadas y
variables independientes.
Dependientes. Independientes
y=f(x) h=g(t) y´, y´´,…….Y
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Según su Tipo:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO).- Son los que presentan una sola variable
dependiente e independiente.
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥²
+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1
Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP).- Presentan 2 o mas variables dependientes
e independientes.
𝑑2 𝑥
𝑑𝑦²
−
𝑑2 𝑧
𝑑𝑡2 = 1 +t-y
(n)
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL ORDEN
El orden de una ecuación diferencial (E.D.O) esta dada por la mayor
derivada presente.
y´= -
𝑦
𝑥
Primer Orden
y´´- y´=1 Segundo Orden
𝑑4 𝑦
𝑑𝑥4 −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑦5= 3𝑥7+1 Cuarto Orden
CLASIFICACION DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE OREDEN LINEAL
La ecuaciones diferenciales de orden lineal si tiene las formas:
an (x) 𝑦(𝑛)
+an-1(x) 𝑦(𝑛−1)
+……a1(x)y´+a0y=
g(x)(x²+1)y´´´-2y´´+√x y´-y= lnx²
Una EDO es No Lineal si no tiene la forma anterior.
(x²+1) y – y´-(y´)² =1
Campos
Direccionales
EDO de primer orden:
Implícita F(y´, y, x)=0
Ejemplo:
y´-x-y=0
Explicita Y´(x) = f (y(x),x)
Ejemplo:
y´= x + y Solución Particular
SoluciónGeneral
Solución de una Ecuación Diferencial
Una función y=Ø(x) es una solución de una EDO ´´n´´ en un intervalo (I), si sus
´´n´´ derivadas existen en el Intervalo (I), y al reemplazarlo en la EDO se debe
tener una identidad
Ejemplo:
Comprobar que la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial
correspondiente, en el intervalo (−∞, +∞).
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=𝒙 𝒚½ ; 𝒚=
𝟏
𝟏𝟔
𝒙 𝟒
𝒚 ′′ −𝟐 𝒚 ′ +𝒚=𝟎 ; 𝒚=𝒙 𝒆 𝒙
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO).
 F ( x , y , y´, y´´, ….. , 𝑦(𝑛)
)= 0 Forma General EDO.
Orden ´´n´´
 𝑦 𝑛
x = F ( x , y , y´, y´´, ….. , 𝑦(𝑛−1)
) Forma Normal.
EDO. Orden ´´n´´
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= f( x, y )Forma normal
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 = f( x, y ,y´)
EDO. Primer Orden

𝑑𝑦
𝑑𝑥
= -
𝑀(𝑥𝑦)
𝑁(𝑥𝑦)
N( x y ) dy = - M ( x y ) dx
N( x y ) dy + M ( x y ) dx = 0
Forma Normal
EDO Segundo Orden ¨n¨
Familia de Soluciones
SoluciónG ( x , y , C1, C2, …….. Cn )= 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= f x, y Solución G ( x , y , C1)= 0
Problemas con Valores Iniciales (P.V.I)
Consiste e encontrar una solución particular y(x) que cumple generalidades dadas.
Resolver
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 = F ( x , y , y´, y´´, ….. , 𝑦(𝑛−1)
)
Sujeto a y(x0) = y0,y´(x0)= y2,y´´(x0)= y2….. 𝑦 𝑛−1
x = Y
.
Familia Solución n- Paramétrica
Familia de Solución Uní paramétrica
Ejemplo:
p’’ + p’ – 6p = 0 dado que p(0) = 5 y p’(0) = 0
• La ecuación característica de la ecuación diferencial dada es x2 + x – 6 = 0, la
cual es factor izada como (x - 2) (x + 3) = 0. Esto nos da la solución general de
la ecuación como,
p(t) = c1 e-3t + c2 e2t y
p’(t) = −3 c1 e-3t + 2 c2 e2t
• Coloca los datos iniciales en las ecuaciones.
p(0) = c1 e0 + c2 e0
p’(0) = −3 c1 e0 + 2 c2 e0
• Al resolver las dos ecuaciones simultáneamente, obtenemos los valores de c1
y c2 como 2, 3, respectivamente. Por lo tanto la solución es:
RESPUESTAS: p(t) = 2 e-3t + 3 e2t
Función vs Solución
Ejemplo:
Y´+2xy2
= 0
Y´= -2xy2
Y´(0)= -1
Existencia y Unicidad
(Solución particular EDO primer orden )
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= f x, y
Y(x0)= Y(0)
Teorema de Existencia y Unicidad
Para una región R, definida entre a < x > b y c
< y >d; si f( x,y) y
𝑑𝑦
𝑑𝑥
son continuas en R, existe
una única solución y(x) en el intervalo I donde I
pertenece al intervalo (a,b)
Ejemplo:
Unidad 2
EDO´s de Primer Orden
Ecuación Diferencial de Variables Separables
Dada la ecuación diferencial
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝐟 𝐱, 𝒚 , si f(x,y) se puede
separar en dos factores g(x) y h(y), diferentes se habla de una
ED de variables separables.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝐟 𝐱, 𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= g(x) h(y)
Ejemplo:
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden
g(x)
g(x)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+
𝒂𝒐(𝒙)
𝒂𝟏(𝒙)
𝐲 =
𝒈(𝒙)
𝒂𝟏(𝒙)
P(x)=
𝒂𝒐(𝒙)
𝒂𝟏(𝒙)
f(x) =
𝒈(𝒙)
𝒂𝟏(𝒙)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+P(x)y=f(x)
Métodos de factores integrantes para EDO´s
Lineales de Orden 1
Forma Estándar
PROSEDIMIENTO
1) Escribir la ED en su forma Estándar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ P x y = 𝑓 𝑥
2) Encontrar el Factor Integrante u=𝑒 ∫p(x)𝑑𝑥
3) Escribir u.y∫u(x)dx
4) Resolver la Integral y Despejar
Ejemplo:
Diferenciales y Derivadas Parciales
u= 2x²
du= 4x.dx
d(2x²) = 4.dx
d(2x²y+𝑥𝑒 𝑦) = 4xy.dx + 2x²dy + 𝑒 𝑦dx + x𝑒 𝑦dy
= (4xy + 𝑒 𝑦)dx + (2x²y+x𝑒 𝑦)
f(x,y)= 2x²y+𝑥𝑒 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4xy+ 𝑒 𝑦
Despejado respecto a ( x )
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2x²+𝑒 𝑦 Despejado respecto a ( y )
df =
𝑑𝑓
𝑑𝑥
dx +
𝑑𝑓
𝑑𝑦
dy
df= (4xy+ 𝑒 𝑦)dx + (2x²+𝑒 𝑦)dy
.
Derivadas
Parciales
Ecuaciones Diferenciales Exactas
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= f(x,y) M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0
Forma Normal Forma Diferencial
Dada una ED y una función f (x,y)
M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0
Si M(x,y)=
dy
dx
y N(x,y) =
dy
dx
dy=0
∫df .dx = ∫0.dx
f(x,y) = C Solución General
Definición.- Una ED M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 , es exacta si existe una función f(x,y) = 0
, tal que:
d𝑓
dx
= M(x,y) y
d𝑓
d𝑦
= N(x,y)
Criterio de Exactitud
Una ED exacta cumple que
𝐝𝑴
𝐝𝒚
=
𝐝𝑵
𝐝𝒙
PROCEDIMIENTO PARA EDO 1er ORDEN EXACTA
Con respecto a (y)
1) Verificar que M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 es exacta
𝐝𝑴
𝐝𝒚
=
𝐝𝑵
𝐝𝒙
2) f(x,y) = ∫M(x,y) .dx + g(y)
3)
𝑑
𝑑𝑦
f(x,y) =
𝑑
𝑑𝑦
∫M(x,y) .dx + g´(y)
4) Despejar g(y)
5) Reemplazar en 2 f(x,y) = C
Con respecto a (x)
1) Verificar
𝐝𝑴
𝐝𝒚
=
𝐝𝑵
𝐝𝒙
2) Evaluar f(x,y) = ∫N(x,y) .dY + h(x)
3)
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
∫N(x,y) .dy + h´(x)
4) Despejar h(x)
5) Reemplazar h(x) en 2
Ejemplo:
VARIACION DE LA CONSTANTE
PROCEDIMIENTO PARA VARIACION DE LA CONSTANTE
1) Escribir ED en su forma Estándar
𝑑𝑓
𝑑𝑥
+ P (x)y= f(x)
2) Resolver la ED homogénea por variables separables
𝑑𝑓
𝑑𝑥
+ P (x)y=0
3) Tomar c como C (x), derivar ¨y¨, y reemplazar en 1
4) Despejar C(x) y reemplazar en 2
Ejemplo:
APLICACIÓN DE EDO DE 1er ORDEN
CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=Kx
Ejemplo
De acuerdo al ejemplo que vamos a realizar se utilizara la
siguiente formula
A(t)=A0𝑒 𝑘𝑡
Dónde:
• A(t)= cantidad final
• A0= cantidad inicial
• K= tasa
• t= tiempo
• c = constate
SUSTITUCIONES Y TRANSFORMACIONES
1. Ecuaciones Homogéneas
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= f(x,y)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= G( 𝑦
𝑥
)
Forma Normal Ec. Homogénea
z=
𝑦
𝑥
; y= z.x
𝑑𝑦
𝑑𝑧
= x
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ z
x.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ z= G(z)
x.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= G(z)-z
𝑑𝑧
𝐺 𝑧 −𝑧
=
𝑑𝑥
𝑥
Variables Separables
Ejemplo:
2) Ecuación de la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=G(ax+by)
z=ax+by
𝑑𝑧
𝑑𝑥
a+b
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
𝑎
𝑏
1
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑥
-
𝑎
𝑏
= G(z)
1
𝑏
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= G(z)+
𝑎
𝑏
𝑑𝑡
𝐺 𝑧 +
𝑎
𝑏
= b.dx
3) Ecuación de Bernoulli
1.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ P(x)y = Q(x), 𝑦 𝑛
2. v= 𝑦(1−𝑛)
3.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= (1-n) 𝑦−𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑦−𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
1−𝑛
𝑑𝑣
𝑑𝑥
La ecuación 1 que se multiplica por 𝑦−𝑛
4. 𝑦−𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ P(x) 𝑦(1−𝑛) = Q(x)
La ecuación 2 y 3 en 4 Variación de la Cnte
5.
1
1−𝑛
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ P(x) = Q(x) Ecuación Lineal Factor Integrante
Ejemplo:
Resolver la Ecuación.
4) Ecuación de Riccatí
Y= P(x)+ Q(9) +R(x) 𝒚 𝟐
Si se tiene una solución particular conocida Y1
Y = Y1+u
Y´ = Y´1+u´
En la cual si se conoce alguna raíz S(x ) del polinomio de
segundo grado en y (una solución particular) de esta ecuación,
entonces el cambio de variable: Y = S (x)+
1
𝑍
transforma la
ecuación de Ricatti en la E.D. lineal
UNIDAD 3
ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2do ORDEN
F (𝑦(𝑛), 𝑦(𝑛+1) , … … 𝑦´) ED Orden ´´n´´
F(y´´, y´, y , x) = 0 ED Orden 2
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 = 𝑓(𝑦(𝑛−1)
,…….y´, y , x) ED Orden ´´n´´ F. Normal
Problemas con Valores Iniciales (n-enésimo orden)
Resolver: an(x)
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 + a1(x)+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ a0(x)y= g(x)
Sujeto a : y(x0)=y´(x0) , y´(x)= y, ….., 𝑦(𝑛)
(x) = Yn
Funciones Linealmente Independientes y Dependientes.
El Wronskiano
Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x),…,fn(x) es linealmente
independiente en un intervalo IV si existe constantes, C1, C2, …, Cn no todas
cero, tales que C1f1(x) + C2f2(x) + …..+Cnfn (x)=0
Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente
dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.
El wronskiano es una función llamada por el matemático polaco Józef Hoene-
Wronski, especialmente importante en el estudio de la ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Definición de Ecuaciones Lineales de segundo Orden.
Teorema de Existencia y Unicidad. Solución general . Sistema
fundamental de soluciones. Problemas con valor inicial.
Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes
constantes
 CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES:
Si Y1 y Y2 son solución particular linealmente independientes,
entonces constituyen un conjunto fundamental de soluciones.
 SOLUCIÓN GENERAL: EC. HOMOGÉNEA
Si Y1 y Y2 son conjunto fundamental de soluciones, entonces la
solución general de la Ec. Homogénea es:
𝒀 = 𝑪𝟏𝒀𝟏 + 𝑪𝟐𝒀𝟐
 REDUCCIÓN DE ORDEN:
Si se tiene una ED 𝑎2 𝑥 𝑦" + 𝑎1(𝑥)𝑦` + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0 y una solución
particular Y1.
Se puede hallar otra sol. Y2 linealmente independiente con:
Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes
constantes. (Método de coeficientes Indeterminados y Variación de
parámetros)
Principios de Superposición
Existencia y Unicidad : Caso no Homogéneo
VARICIÓN DE PARAMETROS
Ejemplo:
Determinar una solución particular de
UNIDAD 4
DEFINICIÓN DE ECUACIONES LINEALES DE N- ÉSIMO
ORDEN.
Una ecuación diferencial de orden n se denomina lineal si es lineal respecto
a ña variable dependiente Y, y a todas sus derivadas hasta el orden n, de
modo que se puede expresar de la forma:
Donde Po, P1, ….Pn son funciones definidas en un intervalo (a,b) de la
recta real.
Ecuaciones Lineales homogéneas con coeficientes
constantes. Teorema de existencia y unicidad. Solución general.
Sistema fundamental de soluciones. Problemas con valor inicial.
DEPENDENCIA DE LAS FUNCIONES
DEPENDENCIA LINEAL Y EL WRONKIANO
TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD
ECUACIONES CARACTERISTICAS
1.- Raíces reales distintos :
𝑌 = 𝐶1𝑒 𝑚1𝑥
+ 𝐶2𝑒 𝑚2𝑥
2.- Raíces reales iguales :
𝑌 = 𝐶1𝑒 𝑚1𝑥
+ 𝐶2𝑥𝑒 𝑚1𝑥
3.- Raíces complejas conjugadas :
𝑌 = 𝑒&𝑥
(𝐶1 cos 𝐵𝑥 + 𝐶 2𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥)
Ejemplo:
Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes
constantes (Método de Anulador y Variación de Parámetros).
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
METODO DEL ANULADOR
PROCEDIMIENTO:
1.- Escribir la ED en su forma estándar.
2.- Determinar en anulador de g(x).
3.- Aplicar el anulador a ambos lados de la ecuación.
𝑳(𝒂𝟐𝒚" + 𝒂𝟏𝒚` + 𝒂𝟎𝒚) =0
4.- Resolver la ED obtenida.
5.- Deducir Yp comparando con Yc.
6.- Hallar los coeficientes indeterminados.
OPERADOR ANULADOR
𝑳 𝒈 𝒙 = 𝟎
𝒂𝟐𝒚" + 𝒂𝟏𝒚` + 𝒂𝟎𝒚 = 𝒈(𝒙)
𝑳(𝒂𝟐𝒚" + 𝒂𝟏𝒚` + 𝒂𝟎𝒚) =0
g(x) ANULADOR
𝑿 𝒏−𝟏 𝑫 𝒏
𝑿 𝒏−𝟏 𝒆&𝒙 ( 𝑫 − &) 𝒏
𝒆&𝒙
𝐬𝐞𝐧 𝐁𝐱
𝒆&𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝐁𝐱 (𝑫 𝟐−𝟐&𝑫 + & 𝟐 + 𝑩 𝟐)^n
EJEMPLO:
Usar el Método
del anulador para
determinar la
forma de una
solución particular
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
TERMINA
BIBLIOGRAFÍA
 R. Klean Nagle, E. B. (2005). En E. B. R. Klean Nagle, Ecuaciones
Diferenciales y Problemas con valores en la frontera (págs. 1-
1992). México: Pearson Educación de México.
 En I. C. Jover, Ecuaciones Diferenciales (1996). (5ta Edición)
Monterrey: Departamento de Matemáticas de Monterrey (págs.
27-156) .
WEBGRAFÍA
• http://www.depi.itch.edu.mx/aaguirre/pdf/mate_v/pdf/UII/UII_
2_6_2_2.pdf
• http://www.frenteestudiantil.com/upload/material_digital/libro
s_varios/calculo/Ecuaciones%20Diferenciales%20-
%20Carmona%20-%205ta.pdf

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  • 1. INGENIERIA AMBIENTAL NOMBRE: Jessica Moran TEMA: Resumen General de las Unidades (1,2,3,4)
  • 2. UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN UNIDAD 3 : ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
  • 3. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCALES Definición: Es una ecuación que relaciona variables dependientes, sus derivadas y variables independientes. Dependientes. Independientes y=f(x) h=g(t) y´, y´´,…….Y CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Según su Tipo: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO).- Son los que presentan una sola variable dependiente e independiente. 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥² + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP).- Presentan 2 o mas variables dependientes e independientes. 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦² − 𝑑2 𝑧 𝑑𝑡2 = 1 +t-y (n)
  • 4. CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL ORDEN El orden de una ecuación diferencial (E.D.O) esta dada por la mayor derivada presente. y´= - 𝑦 𝑥 Primer Orden y´´- y´=1 Segundo Orden 𝑑4 𝑦 𝑑𝑥4 − 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦5= 3𝑥7+1 Cuarto Orden CLASIFICACION DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE OREDEN LINEAL La ecuaciones diferenciales de orden lineal si tiene las formas: an (x) 𝑦(𝑛) +an-1(x) 𝑦(𝑛−1) +……a1(x)y´+a0y= g(x)(x²+1)y´´´-2y´´+√x y´-y= lnx² Una EDO es No Lineal si no tiene la forma anterior. (x²+1) y – y´-(y´)² =1
  • 5. Campos Direccionales EDO de primer orden: Implícita F(y´, y, x)=0 Ejemplo: y´-x-y=0 Explicita Y´(x) = f (y(x),x) Ejemplo: y´= x + y Solución Particular SoluciónGeneral
  • 6. Solución de una Ecuación Diferencial Una función y=Ø(x) es una solución de una EDO ´´n´´ en un intervalo (I), si sus ´´n´´ derivadas existen en el Intervalo (I), y al reemplazarlo en la EDO se debe tener una identidad Ejemplo: Comprobar que la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial correspondiente, en el intervalo (−∞, +∞). 𝒅𝒚 𝒅𝒙 =𝒙 𝒚½ ; 𝒚= 𝟏 𝟏𝟔 𝒙 𝟒 𝒚 ′′ −𝟐 𝒚 ′ +𝒚=𝟎 ; 𝒚=𝒙 𝒆 𝒙
  • 7.
  • 8. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO).  F ( x , y , y´, y´´, ….. , 𝑦(𝑛) )= 0 Forma General EDO. Orden ´´n´´  𝑦 𝑛 x = F ( x , y , y´, y´´, ….. , 𝑦(𝑛−1) ) Forma Normal. EDO. Orden ´´n´´ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = f( x, y )Forma normal 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = f( x, y ,y´) EDO. Primer Orden  𝑑𝑦 𝑑𝑥 = - 𝑀(𝑥𝑦) 𝑁(𝑥𝑦) N( x y ) dy = - M ( x y ) dx N( x y ) dy + M ( x y ) dx = 0 Forma Normal EDO Segundo Orden ¨n¨
  • 9. Familia de Soluciones SoluciónG ( x , y , C1, C2, …….. Cn )= 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = f x, y Solución G ( x , y , C1)= 0 Problemas con Valores Iniciales (P.V.I) Consiste e encontrar una solución particular y(x) que cumple generalidades dadas. Resolver 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 = F ( x , y , y´, y´´, ….. , 𝑦(𝑛−1) ) Sujeto a y(x0) = y0,y´(x0)= y2,y´´(x0)= y2….. 𝑦 𝑛−1 x = Y . Familia Solución n- Paramétrica Familia de Solución Uní paramétrica
  • 10. Ejemplo: p’’ + p’ – 6p = 0 dado que p(0) = 5 y p’(0) = 0 • La ecuación característica de la ecuación diferencial dada es x2 + x – 6 = 0, la cual es factor izada como (x - 2) (x + 3) = 0. Esto nos da la solución general de la ecuación como, p(t) = c1 e-3t + c2 e2t y p’(t) = −3 c1 e-3t + 2 c2 e2t • Coloca los datos iniciales en las ecuaciones. p(0) = c1 e0 + c2 e0 p’(0) = −3 c1 e0 + 2 c2 e0 • Al resolver las dos ecuaciones simultáneamente, obtenemos los valores de c1 y c2 como 2, 3, respectivamente. Por lo tanto la solución es: RESPUESTAS: p(t) = 2 e-3t + 3 e2t
  • 11. Función vs Solución Ejemplo: Y´+2xy2 = 0 Y´= -2xy2 Y´(0)= -1 Existencia y Unicidad (Solución particular EDO primer orden ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = f x, y Y(x0)= Y(0) Teorema de Existencia y Unicidad Para una región R, definida entre a < x > b y c < y >d; si f( x,y) y 𝑑𝑦 𝑑𝑥 son continuas en R, existe una única solución y(x) en el intervalo I donde I pertenece al intervalo (a,b) Ejemplo:
  • 12. Unidad 2 EDO´s de Primer Orden Ecuación Diferencial de Variables Separables Dada la ecuación diferencial 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝐟 𝐱, 𝒚 , si f(x,y) se puede separar en dos factores g(x) y h(y), diferentes se habla de una ED de variables separables. 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝐟 𝐱, 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = g(x) h(y) Ejemplo:
  • 13.
  • 14. Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden g(x) g(x) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒂𝒐(𝒙) 𝒂𝟏(𝒙) 𝐲 = 𝒈(𝒙) 𝒂𝟏(𝒙) P(x)= 𝒂𝒐(𝒙) 𝒂𝟏(𝒙) f(x) = 𝒈(𝒙) 𝒂𝟏(𝒙) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 +P(x)y=f(x) Métodos de factores integrantes para EDO´s Lineales de Orden 1 Forma Estándar
  • 15.
  • 16. PROSEDIMIENTO 1) Escribir la ED en su forma Estándar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + P x y = 𝑓 𝑥 2) Encontrar el Factor Integrante u=𝑒 ∫p(x)𝑑𝑥 3) Escribir u.y∫u(x)dx 4) Resolver la Integral y Despejar Ejemplo:
  • 17.
  • 18. Diferenciales y Derivadas Parciales u= 2x² du= 4x.dx d(2x²) = 4.dx d(2x²y+𝑥𝑒 𝑦) = 4xy.dx + 2x²dy + 𝑒 𝑦dx + x𝑒 𝑦dy = (4xy + 𝑒 𝑦)dx + (2x²y+x𝑒 𝑦) f(x,y)= 2x²y+𝑥𝑒 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4xy+ 𝑒 𝑦 Despejado respecto a ( x ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2x²+𝑒 𝑦 Despejado respecto a ( y ) df = 𝑑𝑓 𝑑𝑥 dx + 𝑑𝑓 𝑑𝑦 dy df= (4xy+ 𝑒 𝑦)dx + (2x²+𝑒 𝑦)dy . Derivadas Parciales
  • 19. Ecuaciones Diferenciales Exactas 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = f(x,y) M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 Forma Normal Forma Diferencial Dada una ED y una función f (x,y) M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 Si M(x,y)= dy dx y N(x,y) = dy dx dy=0 ∫df .dx = ∫0.dx f(x,y) = C Solución General Definición.- Una ED M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 , es exacta si existe una función f(x,y) = 0 , tal que: d𝑓 dx = M(x,y) y d𝑓 d𝑦 = N(x,y) Criterio de Exactitud Una ED exacta cumple que 𝐝𝑴 𝐝𝒚 = 𝐝𝑵 𝐝𝒙
  • 20. PROCEDIMIENTO PARA EDO 1er ORDEN EXACTA Con respecto a (y) 1) Verificar que M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 es exacta 𝐝𝑴 𝐝𝒚 = 𝐝𝑵 𝐝𝒙 2) f(x,y) = ∫M(x,y) .dx + g(y) 3) 𝑑 𝑑𝑦 f(x,y) = 𝑑 𝑑𝑦 ∫M(x,y) .dx + g´(y) 4) Despejar g(y) 5) Reemplazar en 2 f(x,y) = C Con respecto a (x) 1) Verificar 𝐝𝑴 𝐝𝒚 = 𝐝𝑵 𝐝𝒙 2) Evaluar f(x,y) = ∫N(x,y) .dY + h(x) 3) 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 ∫N(x,y) .dy + h´(x) 4) Despejar h(x) 5) Reemplazar h(x) en 2
  • 22. VARIACION DE LA CONSTANTE PROCEDIMIENTO PARA VARIACION DE LA CONSTANTE 1) Escribir ED en su forma Estándar 𝑑𝑓 𝑑𝑥 + P (x)y= f(x) 2) Resolver la ED homogénea por variables separables 𝑑𝑓 𝑑𝑥 + P (x)y=0 3) Tomar c como C (x), derivar ¨y¨, y reemplazar en 1 4) Despejar C(x) y reemplazar en 2 Ejemplo:
  • 23.
  • 24. APLICACIÓN DE EDO DE 1er ORDEN CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =Kx Ejemplo De acuerdo al ejemplo que vamos a realizar se utilizara la siguiente formula A(t)=A0𝑒 𝑘𝑡 Dónde: • A(t)= cantidad final • A0= cantidad inicial • K= tasa • t= tiempo • c = constate
  • 25.
  • 26. SUSTITUCIONES Y TRANSFORMACIONES 1. Ecuaciones Homogéneas 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = f(x,y) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = G( 𝑦 𝑥 ) Forma Normal Ec. Homogénea z= 𝑦 𝑥 ; y= z.x 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = x 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + z x. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + z= G(z) x. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = G(z)-z 𝑑𝑧 𝐺 𝑧 −𝑧 = 𝑑𝑥 𝑥 Variables Separables Ejemplo:
  • 27.
  • 28. 2) Ecuación de la forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =G(ax+by) z=ax+by 𝑑𝑧 𝑑𝑥 a+b 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑏 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 1 𝑏 𝑑𝑧 𝑑𝑥 - 𝑎 𝑏 = G(z) 1 𝑏 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = G(z)+ 𝑎 𝑏 𝑑𝑡 𝐺 𝑧 + 𝑎 𝑏 = b.dx
  • 29. 3) Ecuación de Bernoulli 1. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + P(x)y = Q(x), 𝑦 𝑛 2. v= 𝑦(1−𝑛) 3. 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = (1-n) 𝑦−𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦−𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 1−𝑛 𝑑𝑣 𝑑𝑥 La ecuación 1 que se multiplica por 𝑦−𝑛 4. 𝑦−𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + P(x) 𝑦(1−𝑛) = Q(x) La ecuación 2 y 3 en 4 Variación de la Cnte 5. 1 1−𝑛 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + P(x) = Q(x) Ecuación Lineal Factor Integrante Ejemplo: Resolver la Ecuación.
  • 30.
  • 31. 4) Ecuación de Riccatí Y= P(x)+ Q(9) +R(x) 𝒚 𝟐 Si se tiene una solución particular conocida Y1 Y = Y1+u Y´ = Y´1+u´ En la cual si se conoce alguna raíz S(x ) del polinomio de segundo grado en y (una solución particular) de esta ecuación, entonces el cambio de variable: Y = S (x)+ 1 𝑍 transforma la ecuación de Ricatti en la E.D. lineal
  • 32. UNIDAD 3 ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2do ORDEN F (𝑦(𝑛), 𝑦(𝑛+1) , … … 𝑦´) ED Orden ´´n´´ F(y´´, y´, y , x) = 0 ED Orden 2 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 = 𝑓(𝑦(𝑛−1) ,…….y´, y , x) ED Orden ´´n´´ F. Normal Problemas con Valores Iniciales (n-enésimo orden) Resolver: an(x) 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 + a1(x)+ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + a0(x)y= g(x) Sujeto a : y(x0)=y´(x0) , y´(x)= y, ….., 𝑦(𝑛) (x) = Yn
  • 33. Funciones Linealmente Independientes y Dependientes. El Wronskiano Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x),…,fn(x) es linealmente independiente en un intervalo IV si existe constantes, C1, C2, …, Cn no todas cero, tales que C1f1(x) + C2f2(x) + …..+Cnfn (x)=0 Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente. El wronskiano es una función llamada por el matemático polaco Józef Hoene- Wronski, especialmente importante en el estudio de la ecuaciones diferenciales ordinarias.
  • 34. Definición de Ecuaciones Lineales de segundo Orden. Teorema de Existencia y Unicidad. Solución general . Sistema fundamental de soluciones. Problemas con valor inicial.
  • 35. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes  CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES: Si Y1 y Y2 son solución particular linealmente independientes, entonces constituyen un conjunto fundamental de soluciones.  SOLUCIÓN GENERAL: EC. HOMOGÉNEA Si Y1 y Y2 son conjunto fundamental de soluciones, entonces la solución general de la Ec. Homogénea es: 𝒀 = 𝑪𝟏𝒀𝟏 + 𝑪𝟐𝒀𝟐
  • 36.  REDUCCIÓN DE ORDEN: Si se tiene una ED 𝑎2 𝑥 𝑦" + 𝑎1(𝑥)𝑦` + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0 y una solución particular Y1. Se puede hallar otra sol. Y2 linealmente independiente con:
  • 37. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes. (Método de coeficientes Indeterminados y Variación de parámetros) Principios de Superposición Existencia y Unicidad : Caso no Homogéneo
  • 40. UNIDAD 4 DEFINICIÓN DE ECUACIONES LINEALES DE N- ÉSIMO ORDEN. Una ecuación diferencial de orden n se denomina lineal si es lineal respecto a ña variable dependiente Y, y a todas sus derivadas hasta el orden n, de modo que se puede expresar de la forma: Donde Po, P1, ….Pn son funciones definidas en un intervalo (a,b) de la recta real.
  • 41. Ecuaciones Lineales homogéneas con coeficientes constantes. Teorema de existencia y unicidad. Solución general. Sistema fundamental de soluciones. Problemas con valor inicial.
  • 42. DEPENDENCIA DE LAS FUNCIONES DEPENDENCIA LINEAL Y EL WRONKIANO
  • 43. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD ECUACIONES CARACTERISTICAS 1.- Raíces reales distintos : 𝑌 = 𝐶1𝑒 𝑚1𝑥 + 𝐶2𝑒 𝑚2𝑥 2.- Raíces reales iguales : 𝑌 = 𝐶1𝑒 𝑚1𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒 𝑚1𝑥 3.- Raíces complejas conjugadas : 𝑌 = 𝑒&𝑥 (𝐶1 cos 𝐵𝑥 + 𝐶 2𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥)
  • 45. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Método de Anulador y Variación de Parámetros). PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
  • 46. METODO DEL ANULADOR PROCEDIMIENTO: 1.- Escribir la ED en su forma estándar. 2.- Determinar en anulador de g(x). 3.- Aplicar el anulador a ambos lados de la ecuación. 𝑳(𝒂𝟐𝒚" + 𝒂𝟏𝒚` + 𝒂𝟎𝒚) =0 4.- Resolver la ED obtenida. 5.- Deducir Yp comparando con Yc. 6.- Hallar los coeficientes indeterminados. OPERADOR ANULADOR 𝑳 𝒈 𝒙 = 𝟎 𝒂𝟐𝒚" + 𝒂𝟏𝒚` + 𝒂𝟎𝒚 = 𝒈(𝒙) 𝑳(𝒂𝟐𝒚" + 𝒂𝟏𝒚` + 𝒂𝟎𝒚) =0 g(x) ANULADOR 𝑿 𝒏−𝟏 𝑫 𝒏 𝑿 𝒏−𝟏 𝒆&𝒙 ( 𝑫 − &) 𝒏 𝒆&𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝐁𝐱 𝒆&𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝐁𝐱 (𝑫 𝟐−𝟐&𝑫 + & 𝟐 + 𝑩 𝟐)^n
  • 47. EJEMPLO: Usar el Método del anulador para determinar la forma de una solución particular
  • 49.
  • 50.
  • 52. BIBLIOGRAFÍA  R. Klean Nagle, E. B. (2005). En E. B. R. Klean Nagle, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con valores en la frontera (págs. 1- 1992). México: Pearson Educación de México.  En I. C. Jover, Ecuaciones Diferenciales (1996). (5ta Edición) Monterrey: Departamento de Matemáticas de Monterrey (págs. 27-156) . WEBGRAFÍA • http://www.depi.itch.edu.mx/aaguirre/pdf/mate_v/pdf/UII/UII_ 2_6_2_2.pdf • http://www.frenteestudiantil.com/upload/material_digital/libro s_varios/calculo/Ecuaciones%20Diferenciales%20- %20Carmona%20-%205ta.pdf