El documento presenta una introducción general a las unidades de ingeniería ambiental sobre ecuaciones diferenciales. Cubre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de primer y segundo orden, así como métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden como variables separables y factores integrantes.

1. INGENIERIA AMBIENTAL
NOMBRE: Jessica Moran
TEMA: Resumen General de las Unidades
(1,2,3,4)

2. UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A
LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
UNIDAD 4: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR
UNIDAD 2: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
UNIDAD 3 : ECUACIONES
DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN

3. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES
DIFERENCALES
Definición: Es una ecuación que relaciona variables dependientes, sus derivadas y
variables independientes.
Dependientes. Independientes
y=f(x) h=g(t) y´, y´´,…….Y
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Según su Tipo:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO).- Son los que presentan una sola variable
dependiente e independiente.
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥²
+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1
Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP).- Presentan 2 o mas variables dependientes
e independientes.
𝑑2 𝑥
𝑑𝑦²
−
𝑑2 𝑧
𝑑𝑡2 = 1 +t-y
(n)

4. CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL ORDEN
El orden de una ecuación diferencial (E.D.O) esta dada por la mayor
derivada presente.
y´= -
𝑦
𝑥
Primer Orden
y´´- y´=1 Segundo Orden
𝑑4 𝑦
𝑑𝑥4 −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑦5= 3𝑥7+1 Cuarto Orden
CLASIFICACION DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE OREDEN LINEAL
La ecuaciones diferenciales de orden lineal si tiene las formas:
an (x) 𝑦(𝑛)
+an-1(x) 𝑦(𝑛−1)
+……a1(x)y´+a0y=
g(x)(x²+1)y´´´-2y´´+√x y´-y= lnx²
Una EDO es No Lineal si no tiene la forma anterior.
(x²+1) y – y´-(y´)² =1

5. Campos
Direccionales
EDO de primer orden:
Implícita F(y´, y, x)=0
Ejemplo:
y´-x-y=0
Explicita Y´(x) = f (y(x),x)
Ejemplo:
y´= x + y Solución Particular
SoluciónGeneral

6. Solución de una Ecuación Diferencial
Una función y=Ø(x) es una solución de una EDO ´´n´´ en un intervalo (I), si sus
´´n´´ derivadas existen en el Intervalo (I), y al reemplazarlo en la EDO se debe
tener una identidad
Ejemplo:
Comprobar que la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial
correspondiente, en el intervalo (−∞, +∞).
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=𝒙 𝒚½ ; 𝒚=
𝟏
𝟏𝟔
𝒙 𝟒
𝒚 ′′ −𝟐 𝒚 ′ +𝒚=𝟎 ; 𝒚=𝒙 𝒆 𝒙

8. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO).
 F ( x , y , y´, y´´, ….. , 𝑦(𝑛)
)= 0 Forma General EDO.
Orden ´´n´´
 𝑦 𝑛
x = F ( x , y , y´, y´´, ….. , 𝑦(𝑛−1)
) Forma Normal.
EDO. Orden ´´n´´
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= f( x, y )Forma normal
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 = f( x, y ,y´)
EDO. Primer Orden

𝑑𝑦
𝑑𝑥
= -
𝑀(𝑥𝑦)
𝑁(𝑥𝑦)
N( x y ) dy = - M ( x y ) dx
N( x y ) dy + M ( x y ) dx = 0
Forma Normal
EDO Segundo Orden ¨n¨

9. Familia de Soluciones
SoluciónG ( x , y , C1, C2, …….. Cn )= 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= f x, y Solución G ( x , y , C1)= 0
Problemas con Valores Iniciales (P.V.I)
Consiste e encontrar una solución particular y(x) que cumple generalidades dadas.
Resolver
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 = F ( x , y , y´, y´´, ….. , 𝑦(𝑛−1)
)
Sujeto a y(x0) = y0,y´(x0)= y2,y´´(x0)= y2….. 𝑦 𝑛−1
x = Y
.
Familia Solución n- Paramétrica
Familia de Solución Uní paramétrica

10. Ejemplo:
p’’ + p’ – 6p = 0 dado que p(0) = 5 y p’(0) = 0
• La ecuación característica de la ecuación diferencial dada es x2 + x – 6 = 0, la
cual es factor izada como (x - 2) (x + 3) = 0. Esto nos da la solución general de
la ecuación como,
p(t) = c1 e-3t + c2 e2t y
p’(t) = −3 c1 e-3t + 2 c2 e2t
• Coloca los datos iniciales en las ecuaciones.
p(0) = c1 e0 + c2 e0
p’(0) = −3 c1 e0 + 2 c2 e0
• Al resolver las dos ecuaciones simultáneamente, obtenemos los valores de c1
y c2 como 2, 3, respectivamente. Por lo tanto la solución es:
RESPUESTAS: p(t) = 2 e-3t + 3 e2t

11. Función vs Solución
Ejemplo:
Y´+2xy2
= 0
Y´= -2xy2
Y´(0)= -1
Existencia y Unicidad
(Solución particular EDO primer orden )
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= f x, y
Y(x0)= Y(0)
Teorema de Existencia y Unicidad
Para una región R, definida entre a < x > b y c
< y >d; si f( x,y) y
𝑑𝑦
𝑑𝑥
son continuas en R, existe
una única solución y(x) en el intervalo I donde I
pertenece al intervalo (a,b)
Ejemplo:

12. Unidad 2
EDO´s de Primer Orden
Ecuación Diferencial de Variables Separables
Dada la ecuación diferencial
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝐟 𝐱, 𝒚 , si f(x,y) se puede
separar en dos factores g(x) y h(y), diferentes se habla de una
ED de variables separables.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝐟 𝐱, 𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= g(x) h(y)
Ejemplo:

14. Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden
g(x)
g(x)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+
𝒂𝒐(𝒙)
𝒂𝟏(𝒙)
𝐲 =
𝒈(𝒙)
𝒂𝟏(𝒙)
P(x)=
𝒂𝒐(𝒙)
𝒂𝟏(𝒙)
f(x) =
𝒈(𝒙)
𝒂𝟏(𝒙)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+P(x)y=f(x)
Métodos de factores integrantes para EDO´s
Lineales de Orden 1
Forma Estándar

16. PROSEDIMIENTO
1) Escribir la ED en su forma Estándar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ P x y = 𝑓 𝑥
2) Encontrar el Factor Integrante u=𝑒 ∫p(x)𝑑𝑥
3) Escribir u.y∫u(x)dx
4) Resolver la Integral y Despejar
Ejemplo:

18. Diferenciales y Derivadas Parciales
u= 2x²
du= 4x.dx
d(2x²) = 4.dx
d(2x²y+𝑥𝑒 𝑦) = 4xy.dx + 2x²dy + 𝑒 𝑦dx + x𝑒 𝑦dy
= (4xy + 𝑒 𝑦)dx + (2x²y+x𝑒 𝑦)
f(x,y)= 2x²y+𝑥𝑒 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4xy+ 𝑒 𝑦
Despejado respecto a ( x )
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2x²+𝑒 𝑦 Despejado respecto a ( y )
df =
𝑑𝑓
𝑑𝑥
dx +
𝑑𝑓
𝑑𝑦
dy
df= (4xy+ 𝑒 𝑦)dx + (2x²+𝑒 𝑦)dy
.
Derivadas
Parciales

19. Ecuaciones Diferenciales Exactas
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= f(x,y) M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0
Forma Normal Forma Diferencial
Dada una ED y una función f (x,y)
M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0
Si M(x,y)=
dy
dx
y N(x,y) =
dy
dx
dy=0
∫df .dx = ∫0.dx
f(x,y) = C Solución General
Definición.- Una ED M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 , es exacta si existe una función f(x,y) = 0
, tal que:
d𝑓
dx
= M(x,y) y
d𝑓
d𝑦
= N(x,y)
Criterio de Exactitud
Una ED exacta cumple que
𝐝𝑴
𝐝𝒚
=
𝐝𝑵
𝐝𝒙

20. PROCEDIMIENTO PARA EDO 1er ORDEN EXACTA
Con respecto a (y)
1) Verificar que M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 es exacta
𝐝𝑴
𝐝𝒚
=
𝐝𝑵
𝐝𝒙
2) f(x,y) = ∫M(x,y) .dx + g(y)
3)
𝑑
𝑑𝑦
f(x,y) =
𝑑
𝑑𝑦
∫M(x,y) .dx + g´(y)
4) Despejar g(y)
5) Reemplazar en 2 f(x,y) = C
Con respecto a (x)
1) Verificar
𝐝𝑴
𝐝𝒚
=
𝐝𝑵
𝐝𝒙
2) Evaluar f(x,y) = ∫N(x,y) .dY + h(x)
3)
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
∫N(x,y) .dy + h´(x)
4) Despejar h(x)
5) Reemplazar h(x) en 2

21. Ejemplo:

22. VARIACION DE LA CONSTANTE
PROCEDIMIENTO PARA VARIACION DE LA CONSTANTE
1) Escribir ED en su forma Estándar
𝑑𝑓
𝑑𝑥
+ P (x)y= f(x)
2) Resolver la ED homogénea por variables separables
𝑑𝑓
𝑑𝑥
+ P (x)y=0
3) Tomar c como C (x), derivar ¨y¨, y reemplazar en 1
4) Despejar C(x) y reemplazar en 2
Ejemplo:

24. APLICACIÓN DE EDO DE 1er ORDEN
CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=Kx
Ejemplo
De acuerdo al ejemplo que vamos a realizar se utilizara la
siguiente formula
A(t)=A0𝑒 𝑘𝑡
Dónde:
• A(t)= cantidad final
• A0= cantidad inicial
• K= tasa
• t= tiempo
• c = constate

26. SUSTITUCIONES Y TRANSFORMACIONES
1. Ecuaciones Homogéneas
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= f(x,y)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= G( 𝑦
𝑥
)
Forma Normal Ec. Homogénea
z=
𝑦
𝑥
; y= z.x
𝑑𝑦
𝑑𝑧
= x
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ z
x.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ z= G(z)
x.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= G(z)-z
𝑑𝑧
𝐺 𝑧 −𝑧
=
𝑑𝑥
𝑥
Variables Separables
Ejemplo:

28. 2) Ecuación de la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=G(ax+by)
z=ax+by
𝑑𝑧
𝑑𝑥
a+b
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
𝑎
𝑏
1
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑥
-
𝑎
𝑏
= G(z)
1
𝑏
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= G(z)+
𝑎
𝑏
𝑑𝑡
𝐺 𝑧 +
𝑎
𝑏
= b.dx

29. 3) Ecuación de Bernoulli
1.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ P(x)y = Q(x), 𝑦 𝑛
2. v= 𝑦(1−𝑛)
3.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= (1-n) 𝑦−𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑦−𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
1−𝑛
𝑑𝑣
𝑑𝑥
La ecuación 1 que se multiplica por 𝑦−𝑛
4. 𝑦−𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ P(x) 𝑦(1−𝑛) = Q(x)
La ecuación 2 y 3 en 4 Variación de la Cnte
5.
1
1−𝑛
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ P(x) = Q(x) Ecuación Lineal Factor Integrante
Ejemplo:
Resolver la Ecuación.

31. 4) Ecuación de Riccatí
Y= P(x)+ Q(9) +R(x) 𝒚 𝟐
Si se tiene una solución particular conocida Y1
Y = Y1+u
Y´ = Y´1+u´
En la cual si se conoce alguna raíz S(x ) del polinomio de
segundo grado en y (una solución particular) de esta ecuación,
entonces el cambio de variable: Y = S (x)+
1
𝑍
transforma la
ecuación de Ricatti en la E.D. lineal

32. UNIDAD 3
ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2do ORDEN
F (𝑦(𝑛), 𝑦(𝑛+1) , … … 𝑦´) ED Orden ´´n´´
F(y´´, y´, y , x) = 0 ED Orden 2
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 = 𝑓(𝑦(𝑛−1)
,…….y´, y , x) ED Orden ´´n´´ F. Normal
Problemas con Valores Iniciales (n-enésimo orden)
Resolver: an(x)
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 + a1(x)+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ a0(x)y= g(x)
Sujeto a : y(x0)=y´(x0) , y´(x)= y, ….., 𝑦(𝑛)
(x) = Yn

33. Funciones Linealmente Independientes y Dependientes.
El Wronskiano
Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x),…,fn(x) es linealmente
independiente en un intervalo IV si existe constantes, C1, C2, …, Cn no todas
cero, tales que C1f1(x) + C2f2(x) + …..+Cnfn (x)=0
Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente
dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.
El wronskiano es una función llamada por el matemático polaco Józef Hoene-
Wronski, especialmente importante en el estudio de la ecuaciones
diferenciales ordinarias.

34. Definición de Ecuaciones Lineales de segundo Orden.
Teorema de Existencia y Unicidad. Solución general . Sistema
fundamental de soluciones. Problemas con valor inicial.

35. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes
constantes
 CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES:
Si Y1 y Y2 son solución particular linealmente independientes,
entonces constituyen un conjunto fundamental de soluciones.
 SOLUCIÓN GENERAL: EC. HOMOGÉNEA
Si Y1 y Y2 son conjunto fundamental de soluciones, entonces la
solución general de la Ec. Homogénea es:
𝒀 = 𝑪𝟏𝒀𝟏 + 𝑪𝟐𝒀𝟐

36.  REDUCCIÓN DE ORDEN:
Si se tiene una ED 𝑎2 𝑥 𝑦" + 𝑎1(𝑥)𝑦` + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0 y una solución
particular Y1.
Se puede hallar otra sol. Y2 linealmente independiente con:

37. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes
constantes. (Método de coeficientes Indeterminados y Variación de
parámetros)
Principios de Superposición
Existencia y Unicidad : Caso no Homogéneo

38. VARICIÓN DE PARAMETROS

39. Ejemplo:
Determinar una solución particular de

40. UNIDAD 4
DEFINICIÓN DE ECUACIONES LINEALES DE N- ÉSIMO
ORDEN.
Una ecuación diferencial de orden n se denomina lineal si es lineal respecto
a ña variable dependiente Y, y a todas sus derivadas hasta el orden n, de
modo que se puede expresar de la forma:
Donde Po, P1, ….Pn son funciones definidas en un intervalo (a,b) de la
recta real.

41. Ecuaciones Lineales homogéneas con coeficientes
constantes. Teorema de existencia y unicidad. Solución general.
Sistema fundamental de soluciones. Problemas con valor inicial.

42. DEPENDENCIA DE LAS FUNCIONES
DEPENDENCIA LINEAL Y EL WRONKIANO

43. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD
ECUACIONES CARACTERISTICAS
1.- Raíces reales distintos :
𝑌 = 𝐶1𝑒 𝑚1𝑥
+ 𝐶2𝑒 𝑚2𝑥
2.- Raíces reales iguales :
𝑌 = 𝐶1𝑒 𝑚1𝑥
+ 𝐶2𝑥𝑒 𝑚1𝑥
3.- Raíces complejas conjugadas :
𝑌 = 𝑒&𝑥
(𝐶1 cos 𝐵𝑥 + 𝐶 2𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥)

44. Ejemplo:

45. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes
constantes (Método de Anulador y Variación de Parámetros).
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

46. METODO DEL ANULADOR
PROCEDIMIENTO:
1.- Escribir la ED en su forma estándar.
2.- Determinar en anulador de g(x).
3.- Aplicar el anulador a ambos lados de la ecuación.
𝑳(𝒂𝟐𝒚" + 𝒂𝟏𝒚` + 𝒂𝟎𝒚) =0
4.- Resolver la ED obtenida.
5.- Deducir Yp comparando con Yc.
6.- Hallar los coeficientes indeterminados.
OPERADOR ANULADOR
𝑳 𝒈 𝒙 = 𝟎
𝒂𝟐𝒚" + 𝒂𝟏𝒚` + 𝒂𝟎𝒚 = 𝒈(𝒙)
𝑳(𝒂𝟐𝒚" + 𝒂𝟏𝒚` + 𝒂𝟎𝒚) =0
g(x) ANULADOR
𝑿 𝒏−𝟏 𝑫 𝒏
𝑿 𝒏−𝟏 𝒆&𝒙 ( 𝑫 − &) 𝒏
𝒆&𝒙
𝐬𝐞𝐧 𝐁𝐱
𝒆&𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝐁𝐱 (𝑫 𝟐−𝟐&𝑫 + & 𝟐 + 𝑩 𝟐)^n

47. EJEMPLO:
Usar el Método
del anulador para
determinar la
forma de una
solución particular

48. VARIACIÓN DE PARÁMETROS

51. TERMINA

52. BIBLIOGRAFÍA
 R. Klean Nagle, E. B. (2005). En E. B. R. Klean Nagle, Ecuaciones
Diferenciales y Problemas con valores en la frontera (págs. 1-
1992). México: Pearson Educación de México.
 En I. C. Jover, Ecuaciones Diferenciales (1996). (5ta Edición)
Monterrey: Departamento de Matemáticas de Monterrey (págs.
27-156) .
WEBGRAFÍA
• http://www.depi.itch.edu.mx/aaguirre/pdf/mate_v/pdf/UII/UII_
2_6_2_2.pdf
• http://www.frenteestudiantil.com/upload/material_digital/libro
s_varios/calculo/Ecuaciones%20Diferenciales%20-
%20Carmona%20-%205ta.pdf