1. El documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica conceptos como la solución general, solución particular y problema de Cauchy. 2. Incluye ejemplos de soluciones analíticas a ecuaciones diferenciales de primer orden y un resumen de métodos como el campo de direcciones. 3. El objetivo es presentar los fundamentos teóricos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.

2. Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias de Primer
Orden.
Tema # 1

3. Sumario:
Problema de Cauchy.
EDO de Variables Separables
y reducibles a ellas.
Núcleos Temáticos
EDO homogéneas y no
homogéneas
EDO Exactas y reducibles a ellas

4. Ecuación diferencial
Se desea conocer la
función y = f (x), tal que
su primera derivada
sea igual a 2x.

5. La solución de este problema,
equivale a un conocido problema
del cálculo diferencial
Dada la derivada f ’(x) de una
funciòn, determinar la funciòn
f(x)

6. SOLUCIÒN
x
2
dx
dy
  y = x2
y = x2 + 1
y = x2 - 8
2
x
y 2


(II)

7. Obsérvese que el conjunto de todas
las soluciones de nuestro problema
se puede expresar como:
y = x2 + C (III)
En ambiente DERIVE podemos
representar algunas de las
parábolas del conjunto y = x2 + C
VECTOR (x2 + C, C, -10, 10)

9. En general al proceso de
determinación de las soluciones
de una EDO se le denomina,
integración de la EDO.
Y a cada una de las curvas de
las funciones que son solución,
curva integral.

10. Un estudio sistemático de las ED
empezó en la época de Newton y
Leibniz y continúa hoy día.
Su estudio había comenzado en el
siglo XVII y no fue hasta el siglo
XIX que se concluyó que muy
pocas ED podían resolverse por
métodos elementales.

11. Si de inicio nos hubiéramos
propuesto determinar una de las
parábolas particulares del conjunto
(III), bastaría con agregar una
condición inicial a la ecuación (I)
Problema de Cauchy

12. x
2
dx
dy

y (0) = 2
(IV)

13. Es decir, luego de determinar el
conjunto de todas las funciones
y = x2 + C
y(0) = 02 + C = 2
C = 2
y = x2 + 2
El problema (IV) se denomina,
problema con condiciones
iniciales o Problema de Cauchy

14. Conceptos,
definiciones
y
teoremas
fundamentales

15. DEFINICIÓN
E C U A C I Ó N DIFERENCIAL
(ED) a toda ecuación que contenga
una o más derivadas de una o más
variables dependientes respecto a
una o más variables
independientes.

16. OBSERVACIÓN
Cuando la ED contiene sólo una
variable dependiente y una sola
variable independiente la
ecuación se denomina:
ECUACIÓN DIFERENCIAL
ORDINARIA. (EDO)

17. )
I
(
0
)
y
,...,
y
,
y
,
y
,
y
,
x
(
F )
n
(







FORMA
GENERAL

18. Una función f(x) = ψ(x)
cualquiera, definida en cierto
intervalo I, es SOLUCIÓN de
una ED, si al sustituirla junto
con sus derivadas en dicha
ecuación, la satisface
idénticamente.

19. EJEMPLO
Es fácil comprobar que la
función:
Es una solución para la EDO
2
x
xe
)
x
(
f 

y
)
x
2
1
(
dx
dy
x 2



20. Se llama SOLUCIÓN GENERAL
de la ED (I) a una función en la
forma
DEFINICIÓN
)
(
)
,...,
,
,
,
( 3
2
1 II
c
c
c
c
x
y n


la cual tiene “n” constantes
arbitrarias esenciales.

21. Toda solución obtenida a partir de
(II)
dando valores fijos “a i” a dichas
constantes, se denomina
SOLUCIÓN PARTICULAR.
DEFINICIÓN
)
(
)
,...,
,
,
,
( 3
2
1 III
a
a
a
a
x
y n



22. OBSERVACIÓN
A veces una ED tiene una
solución que no puede
obtenerse dando valores
específicos de los parámetros
en la solución general.
A este tipo de solución se le
denomina solución SINGULAR.

23. Existen ED a las cuales no se les
atribuye ningún grado como :
IMPORTANTE
0
cos 

y
0
ln 


y
a)
b)

24. 1. Si en la ecuación aparecen derivadas
o diferenciales de una función de una
variable real, entonces se denomina
ecuación diferencial ordinaria (EDO).
OBSERVACIONES
2. Si en la ecuación aparecen derivadas
parciales, entonces se llama ecuación
diferencial en derivadas parciales
(EDP).

25. EJEMPLOS
1. xy’’- 3y’ + x2y = x - 1 EDO
2. x sen (y+1) dx + ex dy = 0 EDO
3. (y’’’)2 + xy’’ – x(y’)3 = 0 EDO
z
3
xy
y
z
z
x
z
.
4 






EDP

26. El orden de una ecuación
diferencial está dado por el
de la derivada de mayor
orden que aparece en la
ecuación
DEFINICIÓN

27. EJEMPLOS (orden)
1. xy’’- 3y’ + x2y = x - 1 2do
2. x sen (y+1) dx + ex dy = 0 1er
3. (y’’’)2 + xy’’ – x(y’)3 = 0 3er
z
3
xy
y
z
z
x
z
.
4 






1er

28. El grado de una EDO
algebraica respecto a las
derivadas sucesivas es el
grado algebraico de su
derivada de mayor orden.
DEFINICIÓN

29. EJEMPLOS (grado)
1. xy’’- 3y’ + x2y = x - 1 1er
2. x sen (y+1) dx + ex dy = 0 1er
3. (y’’’)2 + xy’’ – x(y’)3 = 0 2do
z
3
xy
y
z
z
x
z
.
4 






1er

30. Se llama solución de una
ecuación diferencial a una
función que sustituida en
la ecuación la convierte
en una identidad.
DEFINICIÓN

31. EJEMPLO
La función
y = 3ex + 6e-2x + x2 + x
es una solución de
y’’ + y’ - 2y = 3 – 2 x2

32. Ecuaciones Diferenciales de
Primer Orden resueltas
respecto a la derivada.

33. Sea la EDO de 1er orden,
F(x,y,y’) = 0 (V)

34. Supongamos que se
puede resolver respecto a
y’, entonces:
(VI)
)
y
,
x
(
f
'
y
dx
dy



35. Así (VI) pudiera escribirse como:
dy – f(x,y) dx = 0 (VII)
y por último, haciendo
0
y)
q(x,
con
)
y
,
x
(
q
)
y
,
x
(
p
)
y
,
x
(
f 



36. escribimos
p(x,y) dx + q(x,y) dy = 0 (VIII)
FORMA DIFERENCIAL de
las EDO de 1er orden.

37. Debe tenerse en cuenta que las
ecuaciones (V) – (VIII), tienen
las mismas soluciones, ya que
se han obtenido una de otra
mediante un procedimiento
algebraico

38. Las EDO F(x,y,y´)=0 y G(x,y,y´)=0
se llaman equivalentes en un
cierto dominio de definición de
las funciones F y G siempre que
cualquier solución de una es
solución de la otra.
DEFINICIÓN

39. Analicemos a continuación
un importante teorema que
ofrece condiciones sobre la
existencia y la unicidad de
la solución de una EDO de
1er orden

40. Teorema de existencia y
unicidad
Sea la EDO y’ = f(x,y), donde
la funciòn f(x,y) està definida
en una regiòn S  R2
Si existe un entorno V del
punto P0(x0,yo)  S donde
f(x,y)

41.  es continua
 tiene derivada parcial
f /y acotada
Entonces se encontrará un
intervalo [x0-h, x0+h] en el cual
existirá una única solución de
y’ = f(x,y) y que cumple que
y(xo)=y0

42. Observaciones:
1. Una interpretación geométrica del
mismo nos indica que por el punto
P0(x0, y0) pasa una única curva integral
de y’ = f(x, y)
2. Tiene un carácter local, pues solo
garantiza la existencia y unicidad de la
solución, en un entorno de x0 del
problema de Cauchy y’ = f(x, y)
y(x0) = y0

43. 3. El teorema confirma que la
ecuación y’ = f(x, y) tiene
infinitas soluciones.

44. Se llama solución general de la
ecuación y’ = f(x,y), a la familia
uniparamètrica y = φ(x, C) que
satisface las siguientes condiciones:
1. y’ = f(x, y), se satisface para
cualquier valor real de C.
2. Cualquiera sea la condición inicial
y(xo) = y0, se puede hallar C0 tal que la
función y = φ(x, C0) satisfaga la
condición inicial dada.
DEFINICIÓN

45. Ejemplo.
La función
3
e
Ce
y
x
x
2

 
Es la solución general de la
función: y’ + 2y = ex.

46. En efecto,
y’ = -2Ce-2x + ex/3
y sustituyendo en la
ecuación diferencial:
-2Ce-2x+ ex/3 + 2(Ce-2x + ex/3) = ex
ex = ex

47. La ecuación φ(x, y, C) = 0,
recibe el nombre de
integral general de la EDO.

48. Toda función y = φ(x, C0)
deducida de la solución
general y = φ(x, C), calculando
C = C0, se llama solución
particular.
Φ(x, y, C0) = 0 se llama
integral particular.

49. Ejemplos
de
Soluciones
a EDO

50. Ejemplo # 1
y(1) = 2

51. y(1) = 2

52. y(1) = 2
Solución general

53. Para y(1) = 2 K = 2

54. y(1) = 2
Solución
particular:

55. Geométricamente

56. Los métodos analíticos
Utilizan operaciones
algebraicas.
Primero se halla la solución
general y después la solución
particular a partir de las
condiciones iniciales y de
frontera.

57. Los métodos analíticos
Cada método analítico se ocupa
de un tipo especial de ecuación
diferencial y no es aplicable a
otros tipos.
La mayoría de las ecuaciones
diferenciales no puede
resolverse por esta vía.

58. Ejemplo: El péndulo simple
t = 0

59. Ejemplo

60. Ejemplo

61. Ejemplo

62. Ejemplo

63. Ejemplo

64. Ejemplo

65. Ejemplo

66. Ejemplo

67. Ejemplo

t > 0

68. Ejemplo

x
y
t > 0

69. Ejemplo

x
y
T
mg
t > 0

70. Ejemplo

x
y
T
mg
t > 0

71. Ejemplo

x
y
T
mg
t > 0

72. Ejemplo

x
y
T
mg
t > 0

73. Ejemplo

x
y
T
mg
t > 0

74. Un cable colgante

75. Un cable colgante
y
x

76. Un cable colgante
y
x
x
s

77. Un cable colgante
y
x
x
T2
T1 ws
s

78. Un cable colgante
y
x
x
T2
T1 ws
s
2
1
2
2
1 







dx
dy
T
w
dx
y
d

79. Un cable colgante
y
x
x
T2
T1 ws
s
2
1
2
2
1 







dx
dy
T
w
dx
y
d y(0) = 0
y’(0) = 0

80. E. D. de primer orden
y(x0) = y0

81. Campo de direcciones

82. Campo de direcciones
El campo de direcciones es un
esquema en el cual, para un
conjunto regular de puntos del
plano xy se dibujan pequeños
segmentos de recta cuya
pendiente es f(x, y)

83. Campo de direcciones
x
y

84. Campo de direcciones
pendiente: f(x, y)
x
y

85. Campo de direcciones
pendiente: f(x, y)
x
y
Una
solución

86. Ejemplo
x
y
2
dx
dy


87. Ejemplo
x
y
2
dx
dy
