Este documento presenta información sobre un libro de electromecánica y máquinas eléctricas. El libro fue traducido al español y revisado por ingenieros mexicanos. Contiene prólogos de los autores originales en inglés y del traductor. El contenido cubre temas como circuitos magnéticos, transformadores, máquinas de corriente continua y máquinas rotatorias.

3. ELECTROMECANICA
y MAQUINAS
ELECTRICAS

5. /
ELECTROMECANICA
YMAQUINAS
ELECTRICAS
S.A. Nasal
Departamento de Ingeniería Eléctríca
Universidad de Kentucky
Lexington, Kentucky
L.E. Unnewehr
Laboratorios de InvesNgación Cientmca
Ford Motor Company
Dearborn¡ Michigan
. ..
LIMUSA

6. VelSión autorizada en eapatiol de la obra
publJeadaea l.ngl& por Jolln Wüey &Sons
bajo el titulo do ELECIROMECHANICS ANO
ELECnUC MACHINES
O 1979 by Jolln Wüey &; Sona, Inc.
ISBN 6471-GJ536-X
Vonión espalo":
GUILLERMO GARCIA TALAVERA
lnpJüero en ComwdcacioneJ y Electrónica
y ex·Profesor de Teoría de Jos Circuitos
E1~. en la &;ueIa Superior de
lD&ui«ía Mecánica y EJéctrica del
lrutttuto Politécnico Nacional de México
Revisión: .
VK70RPEREZAMADORBARRON
lJI¡eIüero Mecánico E1ectr.iáata. Profesor
TItular de Tiempo Completo y Jefe de la
Secci6n de IQeemcJía de la Universidad
Nacional Autónoma de Méxil:o. Profesor del
Departamento de FÚlica de la Universidad
lberoamtll'ial.lla
Todos Joa derechos luenados:
@ 19'7 EDITORIAL LIMUSA. S.A.
Bateleras 95. Primer piso, México 1, D.F'.
Miembro de la Camara Nacional de la
Industria EditorlaI. Rq¡istro Núm. 111
Pdm_ edidón: 1982
lmpHlO enMéxko
(2819)
ISBN .....'8-1362-6

7. A mi tío el profesor Majnoon Gorakhpuri, quien con sus inconmensura-
bles aportaciones literarias influyó en mI: Con el más sincero agradecimiento y
afecto,
S.A. Nasar
A lean, por su amory comprensión,
L.E. Unnewher

8. I
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9. Prólogo
ra el hogar y la provisión de la mayor parte del trabajo mecánico en la industria,
proporcionar un importante proceso de conversiónde en la producción de
gía eléctrica. Estos dispositivos electromecánicos también 4,:~il~i)eñáir UlÍli.( fl11flé~i~p
COlmplonlentes en ~.~'.v.....~
visual. En resumen, los dispositivos electromecánicos forman parte de la mayoría de
los sistemas con los que deben trabajar los ingenieros y tecnólogos de muchas "",,,u,u-
nas. Es por esto que es tan importante conocer los
v0:1taje in:dliGUIó y,'qampos'clect<fomlj:gnéticos que '
Como lo indica el título de este libro, varias áreas de este estudio previo son ne-
cesarias para un buen aprovechamiento. Las materias en las que el lector debe estar
más preparado, son la teoría de los circuitos eléctricos y mecánica básica. Se reco-
miendan cursos previos en estos temas y equivalentes aloscursos básicosquese imparten
en las escuelas de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. t~bién:e$impQrt~tela,~.ql,'¡(':I~i¡
ciíle~;fift~¡~}Aue se deriva de la del campo electromagnético y de las analogías
con la teoría de los circuitos eléctricos estacionarios. En el capítulo 2 se hace un repa-
so de la teoría de circuitos magnéticos para aquellos lectores que no están familiarizados
con los conceptos y términos de ésta.
El objetivo de este libro es ayudar a comprender los numerosos problemas que
7

10. 8 Prólogo
entrañan los dispositivos electromecánicos, enfatizando los conceptos y principios fun-
damentales. Como se señaló antes, el contacto más común que tiene el ingeniero actual
con un dispositivo electromagnético es al encontrarlo como componente en un sistema.
Las ecuaciones diferenciales y los circuitos equivalentes, que representan a muchos ti-
pos de dispositivos y máquinas en modelación de sistemas, se desarrollan para usarse en
análisis de sistemas, predicción de funcionamiento, etc. Además, se proporciona orien-
tación para manejar las no linealidades asociadas con la mayoría de las máquinas y las
técnicas para las aproximaciones lineales, presentándose también la teoría y aplicación
de las máquinas como dispositivos de control.
El diseño de los tipos comunes de máquinas rotatorias y transformadores-moto-
res de inducción, diversos tipos de motores de conmutador de C.C., motores para uten-
silios y otros, llegó a ser una ciencia como resultado del sobresaliente desarrollo logrado
durante la primera mitad del siglo XX, de las máquinas rotatorias. Gran parte
de este diseño se trata mediante programas de diseño por rutina de computadora, basa-
dos en esa teoría, y tal vez el lector de este libro no tenga necesidad de ser un experto
en este campo en suma especializado del conocimiento. Sin embargo, existe un interés
cada vez mayor en muchas de las configuraciones no ordinarias de dispositivos electro-
mecánicos rotatorios, lineales y estáticos, como resultado de las recientes actividades
aeroespaciales. También se manifiesta una atención renovada en el transporte eléctrico
y en el desarrollo de sistemas de control más elaborados. El diseño y análisis de estos
dispositivos nada comunes requiere un retorno a los principios fundamentales para 10
que es adecuado este libro.
Finalmente, hay dos grandes preocupaciones en el medio en que se elaboró este
libro, las que contribuyeron a su enfoque: la economía y la conservación de la energía.
Ambas son fundamentales en la aplicación adecuada de los dispositivos electromecáni-
cos y se encuentran estrechamente relacionadas. Se puede reducir virtualmente el
consumo de energía de muchos sistemas aumentando la eficiencia (o reduciendo las pér-
didas) de los dispositivos electromecánicos en el sistema. Esto se puede realizar aumen-
tando en algunos casos las dimensiones del dispositivo, mejorando su sistema de
enfriamiento, utilizando materiales diferentes como cojines, materiales de más alta
calidad, o en ciertos casos, empleando un dispositivo totalmente diferente que efectúe
la función requerida. Todas estas alternativas requieren por 10 general, costo adicional
en el dispositivo y quizá otros componentes del sistema total. El tiempo de vida
útil y la confiabilidad del dispositivo influirán también en su costo global. En el di-
seño y aplicación de la mayor parte de los dispositivos electromecánicos, existen
muchas opciones que permiten elecciones entre eficiencia Y costo. Como la necesidad
de conservar los recursos energéticos mundiales y los recursos materiales se torna más
urgente, el ingeniero debe comprender estas alternativas. Este libro pretende destacar
estas opciones siempre que sea posible. En determinados casos, se usan para estos
propósitos los problemas del final de los capítulos.
En resumen, el contenido de esta obra es como sigue: en el capítulo 1, se presenta
una introducción general; en el capítulo 2 se tratan con suficiente detalle las operacio-
nes de los circuitos magnéticos en c.a. y C.C., así como estos circuitos con imanes per-
manentes. En un curso de un semestre, el profesor puede omitir algunas secciones es-

11. Prólogo 9
cogidas de este capítulo. En el capítulo 3, se estudian los transformadores, siendo po-
sible cubrir las primeras cuatro secciones en un curso semestral. El capítulo 4, trata los
sistemas electromagnéticos en movimiento incremental, como los transductores y pro-
porciona la base para la formulación de los procesos de conversión de energía de su di-
námica. En el capítulo 5, se presentan detalles descriptivos y características de estado
de régimen de las máquinas de c.c. No se recomienda cubrir el capítulo completo en
un primer curso (gran parte del material descriptivo se puede utilizar como lectura adi-
cional, seguida de discusiones en clase). Los temas adecuados deben escogerse cui-
dadosamente por el profesor. Los capítulos 6 y 7 se refieren a máquinas de inducción y
síncronas. Estos capítulos son relativamente cortos, y con excepción de las secciones
6.1, 7.5, Y 7.6 se recomienda el resto de estos capítulos para un primer curso. El capí-
tulo 8 se consagra al control de estado sólido de motores eléctricos y comparativamen-
te es extenso. La elección de los temas para un primer curso depende del criterio del
profesor. El capítulo 9, presenta esquemáticamente la teoría general de la dinámica de
las máquinas eléctricas. Aunque este capítulo no se recomienda para un primer curso,
los estudiantes deben enterarse de su contenido, cuando menos superficialmente.
En todo el libro se utilizan unidades del Sistema Internacional de Medidas SI.
Sin embargo, también se dan unidades que tienen uso común. En los apéndices se
incluyen tablas de conversión de unidades, tablas de conductores, así como ciertas
aplicaciones de computadora.
Lexington, Kentucky
Dearborn, Michigan
S.A. Nasar
L.E. Unnewehr

13. Contenido
Capítulo 1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17
1.1 Tipos de máquinas rotatorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
1.2 Eficiencia, energía y pérdidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
1.3 Valores y promedio raíz-cuadrático-medio ................ , 28
1.4 Métodos de análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
1.5 Método de acceso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
1.6 Capacidades y limitaciones en dispositivos
electromecánicos................................. , 31
1.7 Aspectos económicos. .............................. 32
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33
Capítulo 2 Circuitos magnéticos de C.A. y C.C. estacionarios . . . . . . . . . . . .. 35
2.1 Revisión de la teoría del campo electromagnético. . . . . . . . . . .. 37
2.2 Materiales magnéticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39
2.3 Pérdidas magnéticas ............................... . 46
2.4 Circuitos magnéticos .............................. . 51
11

14. 12 Contenido
2.5 Ley de Ampere aplicada a un circuito magnético. . . . . . . . . . . .. 54
2.6 Limitaciones del método del circuito magnético . . . . . . . . . . . .. 57
2.7 El circuito magnético ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60
2.8 Ley de Faraday y voltaje inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61
2.9 Relaciones energéticas en un campo magnético. . . . . . . . . . . . .. 62
2.10 Inductancia..................................... 63
2.11 Circuitos magnéticos con imanes permanentes. . . . . . . . . . . . . .. 68
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77
Capítulo 3 Transformadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83
3.1 Construcción y estructura electromagnética
del transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84
3.2 Teoría del transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91
3.3 Circuitos equivalentes del transformador. . . . . . . . . . . . . . . . .. 105
3.4 Pruebas de transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 116
3.5 Capacitancia del transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 122
3.6 Corriente de irrupción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 124
3.7 Algunos tipos particulares de transformadores
y conexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 126
Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 139
Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 139
Capítulo 4 Sistemas electromecánicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143
4.1 Fuerzas mecánicas debidas a campos magnéticos. . . . . . . . . . . .. 144
4.2 Conservación y conversión de energía. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 146
4.3 La ecuación de fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 147

15. Contenido 13
4.4 Variaciones de corriente y flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 156
4.5 Dinámica de los sistemas electromecánicos. . . . . . . . . . . . . . . .. 157
4.6 Circuitos eléctricos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 169
4.7 Sistemas con excitación doble y múltiple. . . . . . . . . . . . . . . . .. 172
4.8 Problemas de valores instantáneos, medios
y R.C.M........................................ 173
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 174
Capítulo 5 La máquina con conmutador para C.C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 181
5.1 Descripción de una máquina con conmutador en C.C . . . . . . . . .. 182
5.2 Devanados de armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 190
5.3 Voltaje de armadura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 194
5.4 Par electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 198
5.5 Configuraciones de máquina con conmutador
en corriente continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 201
5.6 Características magnéticas de armadura y de
circuito de campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 207
5.7 Conmutación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 213
5.8 Pérdidas y eficiencia............................... , 217
5.9 Especificaciones de placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 221
5.10 Determinación experimental de parámetros de máquina. . . . . . .. 222
5.11 Predicción de características de operación. . . . . . . . . . . . . . . .. 227
5.12 Características de las máquinas de conmutador
en C.C ......................................... 232
5.13 Dinámica de las máquinas con conmutador en C.e. . . . . . . . . . .. 243
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 252
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 252

16. 14 Contenido
Capítulo 6 Máquinas de inducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 257
6.1 FMMS de los devanados de armadura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 260
6.2 Acción de un motor de inducción polifásico. . . . . . . . . . . . . . .. 266
6.3 Deslizamiento y frecuencia de corrientes de rotor. . . . . . . . . . .. 267
6.4 El circuito equivalente de rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 268
6.5 Desarrollo del circuito equivalente completo. . . . . . . . . . . . . . .. 270
6.6 Cálculos de operación de circuitos equivalentes. . . . . . . . . . . . .. 276
6.7 El circuito equivalente a partir de datos
experimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 279
6.8 Criterios de operación de los motores de inducción . . . . . . . . . .. 282
6.9 Control de velocidad en motores de inducción . . . . . . . . . . . . .. 285
6.10 Arranque de motores de inducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 288
6.11 Motores de inducción monofásicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 290
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 298
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 298
Capítulo 7 Máquinas síncronas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 301
7.1 Características de construcción de máquinas síncronas ... , . . . . .. 302
7.2 Principio de operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 311
7.3 Algunas consideraciones prácticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 315
7.4 Características de operación
de máquinas síncronas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 318
7.5 Transitorios en máquinas síncronas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 331
7.6 Determinación de las reactancias de máquina . . . . . . . . . . . . . .. 339
7.7 Motores síncronos pequeños. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 341
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 344

17. Contenido 15
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 344
Capítulo 8 Control electrónico de motores eléctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 347
8.1 Aspectos generales acerca del control de motores. . . . . . . . . . . .. 348
8.2 Formas de onda de voltaje y corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 350
8.3 Dispositivos semiconductores de potencia. . . . . . . . . . . . . . . .. 355
8.4 Técnicas de conmutación con SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 372
8.5 Técnicas de encendido de circuito de base
y de compuerta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 385
8.6 Protección de semiconductor de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . .. 391
8.7 Rectificadores controlados en fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 393
8.8 Controladores de supresor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 409
8.9 Control de motores de C.A .................... , . . . . .. 416
Bibliografía ............................................ o. 427
Problemas ..................................... o.' • • • • • • o. 429
Capítulo 9 Teoría general de las máquinas eléctricas ................... 433
9.1 Objetivos y naturaleza del problema ................... " 434
9.2 Determinación de las inductancias de máquina . . . . . . . . . . . . .. 436
9.3 Máquina con protuberancia en el estator . . . . . . . . . . . . . . . . .. 445
9.4 Máquina con rotor cilíndrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 446
9.5 Máquina con protuberancia en el rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 448
9.6 Otras transformaciones especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 452
9.7 Nota acerca de las transformaciones de tres fases. . . . . . . . . . . .. 458
9.8 la máquina primitiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 459
9.9 La formulación en el dominio del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . .. 461
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 473

18. 16 Contenido
Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 474
Apéndice 1 Defmición de símbolos y unidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 475
Apéndice 11 Tabla de alambre imán para conductor cilíndrico
recubierto con una sola película. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 479
Apéndice III Técnicas de computadora en el análisis de sistemas
electromecánicos y de máquinas eléctricas ............... , 483
Indice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ........ 487

19. Capítulo 1
Introducción
En este libro se analizan los principios de la electromecánica y sus
aplicaciones al diseño y análisis de motores eléctricos, generadores, trans-
formadores y otros dispositivos electromecánicos. Se abarca una amplia
variedad de disciplinas que van, desde las matemáticas avanzadas y cien-
cias de la computación, hasta las ciencias físicas y de los materiales, pasando
por diversas fases de la ingeniería mecánica y eléctrica. Asimismo, los dis-
positivos y sistemas a los que se aplican los principios de la electromecánica
difieren mucho en dimensión, tipo y materiales de construcción, rapidez
de rotación y frecuencia eléctrica y en su aplicación definitiva.
No es necesario resaltar la importancia de los dispositivos electrome-
cánicos en casi todos los aspectos de la vida. En la actualidad, el número
de motores eléctricos en una típica casa particular de los EE. UU. es de 10
como mínimo y en algunas, fácilmente puede exceder hasta 50. Hay un mí-
nimo de 5 máquinas eléctricas rotatorias aun en el más austero de los au-
tomóviles compactos, incrementándose este número a medida que se
agregan sistemas para economizar en el combustible y la emisión; en los
aviones existen muchas más. Los dispositivos electromecánicos aparecen
en todo proceso industrial y de manufactura que se lleva a cabo en una
sociedad tecnológica. Muchas máquinas rotatorias han estado en la Luna y
desempeñan una función importante en los sistemas aeroespaciales. Quizá
el lector se sorprenda, pero diariamente hay más personas que se despla-
zan por medio de propulsión eléctrica -en elevadores y bandas horizontales
móviles- que por cualquier otro medio de propulsión. Los apagones re-
cientes en varias de las ciudades más grandes de los EE.UU. ponen de ma-
nifiesto la forma en que casi toda la actividad en las áreas urbanas depende '/~
de las máquinas eléctricas. t!:c("~
17 (~{~~

20. 18 Introducción
Este libro trata, por lo tanto, un tema amplio e importante. Es funda-
mental comprender los principios de la electromecánica para quien desea
aprovechar la utilidad de la teconología eléctrica con objeto de resolver los
problemas de energía, contaminación y pobreza que actualmente afligen a
la humanidad. Ojalá el lector no olvide la utilidad potencial a gran escala
de los dispositivos electromecánicos, aun cuando a veces se confunda con
la teoría y el análisis de los últimos capítulos.
De la breve lista de aplicaciones de las máquinas eléctricas que se dio
anteriormente, se puede concluir que muchas ramas de esta industria están
plenamente desarrolladas y resuelven las necesidades de la sociedad casi
sin requerir de la investigación o el desarrollo avanzado. Por ejemplo, el
motor que se utiliza en el triturador de basura de una casa moderna, es pro-
bable que esté diseñado con un programa de computadora relativamente
sencillo y manufacturado mediante un proceso totalmente automatizado.
Los centenares de millones de motores de cronómetros fabricados cada
año están también casi totalmente normalizados, tanto en diseño como en
manufactura y lo mismo se puede decir de muchos tipos de motores indus-
triales.
No obstante, lo anterior sólo es un aspecto del desarrollo electrome-
cánico actual, incluso este e inmóvil estado-del-arte en la manufactura de
motores convencionales puede cambiar drásticamente en un futuro próxi-
mo. En un intento reciente por mejorar la eficiencia de los motores de
inducción pequeños usados en hogares, oficinas, negocios y plantas indus-
triales, la Federal Energy Administration (Administración Federal de Ener-
gía) estimó, que se pueden ahorrar de uno a dos millones de barriles de
petróleo diarios, si se mejora en un 20% la eficiencia de dichos motores! .
En especial, este intento hace cambios en las dimensiones de los conden-
sadores y en las conexiones de devanado en los motores monofásicos de
inducción.
Continuamente se realizan esfuerzos para mejorar la eficiencia de
tales motores, mediante materiales y diseño perfeccionados, tomando en
cuenta la disponibilidad de los materiales, los aspectos ambientales adver-
sos en la manufactura y el uso de los materiales (en particular de aislantes)
y el costo de la energía en la manufactura de estos materiales. Por ejemplo,
el aluminio posee muchas características eléctricas favorables para su apli-
cación electromecánica y es uno de los metales más abundantes en la Tie-
rra, pero es uno de los más costosos en función de la energía que utiliza
para procesarlo a partir de materiales en bruto.
Además de los cambios que empiezan a ocurrir en la manufactura y
operación de máquinas convencionales debido a razones energéticas y am-
bientales, existen multitud de aplicaciones interesantes para configuracio-
nes de máquina nuevas, para la operación desusual de configuraciones
antiguas, para el control electrónico elaborado de todo tipo de máquinas y
para la comprensión progresiva de las teorías y técnicas de diseño, a fin de

21. Introducción 19
lograr proyectos de máquinas más eficientes y económicas, desde el punto
de vista de la energía. Muchas de las aplicaciones más novedosas implica la
revisión de ciertas máquinas antiguas, como el rediseño de motores de con-
mutación o la operación de un motor de inducción de una ardilla de jaula
convencional mediante un inversor transistor, para desarrollar un automó-
vil eléctrico que pueda competir en economía. Otros suponen el diseño de
configuraciones de motor totalmente nuevas, tales como los motores de
c.c. sin escobillas que se han desarrollado para aplicaciones aeroespaciales,
automotrices e industriales.
El control electrónico de las máquinas eléctricas se usa casi desde los
albores de la era electrónica, principiando con los motores controlados en
forma relativamente imperfecta por un rectificador de arco de mercurio.
Sin embargo, con la llegada de los dispositivos de potencia en estado sóli-
do y el rápido progr~so de los circuitos integrados y de los módulos de
computadora de bajo costo, el alcance, la calidad y la precisión del control
de motores carecen prácticamente de límites.
La integración de los dispositivos electromecánicos y los circuitos
electrónicos apenas principia. El ambiente siempre ha sido un reto para el
diseño y operación de las máquinas eléctricas. Por ejemplo, el aislamiento
eléctrico efectivo y confiable fue uno de los problemas más agudos que
afrontaron los primeros diseñadores. Recientemente se han tenido que de-
sarrollar ciertas máquinas rotatorias y otros dispositivos electromecánicos
para un medio determinado, que incluye varios tipos de radiación nuclear
para plantas generadoras de esta energía y para diversos vehículos espacia-
les. En estos medios se requiere confiabilidad en grado superlativo para las
aplicaciones espaciales. Por último, puesto que las nuevas fuentes de ener-
gía adquieren viabilidad económica, se requerirán convertidores electro-
mecánicos con las características adecuadas para adaptarse a tales fuentes
de energía, por ejemplo convertidores solares, molinos de viento, diversas
configuraciones nucleares, procesos de conversión carbón-a-petróleo, siste-
mas de hidrógeno y otros.
En este capítulo, además de relacionar al lector con las interesantes
posibilidades de un desarrollo avanzado de los dispositivos electromecá-
nicos, se discutirán algunos de los conceptos fundamentales comunes a la
mayoría de los dispositivos electromecánicos, se revisarán los métodos de
análisis que se presentarán en los siguientes capítulos y se darán las clasifi-
caciones principales de las máquinas rotatorias.
Desde luego que en esta breve introducción no se puede ser equitati-
vo con los temas mencionados hasta aquí. El objeto de este libro es presen-
tar los fundamentos de la electromecánica y aplicarlos directamente a ciertas
configuraciones básicas de los dispositivos electromecánicos. Aunque el te-
ma es muy vasto para abarcarlo en estas cuantas páginas, se darán algunas
orientaciones de diseño y algunas "recetas" útiles para el análisis. Se con-
fía que el lector aproveche las referencias que se dan en cada capítulo. Por

22. 20 Introducción
supuesto, que además de estas referencias hay mucho material para aplicar
los conocimientos, por lo que se espera que este libre también estimule la
investigación, en esta área.
1.1 TIPOS DE MAQUINAS ROTATORIAS
Hay cuatro clases principales de máquinas rotatorias: máquinas de
conmutación c.c., de inducción, síncronas y de colector polifásico. Existen
varios tipos más de máquinas que no se pueden incluir dentro de ninguna
de estas clasificaciones. Algunas de las más recientes incluyen motores de
escalonamiento: en general, máquinas síncronas operadas de manera digi-
tal; motores de par de torsión: máquinas de conmutación c.c. o síncronas
sin escobillas, operadas para proporcionar par (cero o baja velocidad); má-
quinas homopolares: que constituyen una variante del principio del gena-
dor de disco de Faraday y que se usan para suministar bajo voltaje y alta
corriente para cargas de galvanoplastia2
y máquinas electrostáticas, que se
ubican en una categoría diferente de teoría y práctica respecto a las má-
quinas electromagnéticas que se analizan en este libro3
•
1. Máquinas de conmutación de c.c. Por lo común se les conoce pre-
cisamente como "máquinas de c.c." y se distinguen por el disposi-
tivo de conmutación mecánico conocido como conmutador; se
utilizan ampliamente en tracción y aplicaciones industriales, se ana-
lizarán en el capítulo 5.
2. Máquinas de inducción. El motor de inducción es el llamado "ca-
ballo de batalla" de la industria, aunque también es el motor que
más se utiliza en hogares y oficinas. Es sencillo, resistente y dura-
ble, lo que determina su gran aceptación en casi todos los aspectos
de la tecnología. Puede operarse como generador y es así como se
usa en varias aplicaciones aeroespaciales e hidroeléctricas. El motor
de inducción, en virtud d€ su estructura simple de rotor, puede
operar a muy alta velocidad. En la figura 1.1 se muestra un motor
de inducción aeroespacial, que opera a una velocidad angular de
64.000 rpm cuando se alimenta con una fuente de 3,200 Hz. (Ver
capítulo 6).
3. Máquinas síncronas. La máquina síncrona es probablemente la
configuración más diversificada de máquina, siendo difícil con fre-
cuencia identificar las numerosas variaciones que puede adoptar.
El término síncrono se refiere a la relación entre la velocidad y fre-
cuencia de esta máquina, que se expresa con la ecuación (ver capí-
tulo 7).
fIpm= 120-
p
(1.1)

23. Tipos de máquinas rotatorias 21
donde
rpm = velocidad de máquina en revfmin.
f = frecuencia de la fuente aplicada en Hz.
p = número de polos en la máquina.
Una máquina síncrona opera sólo en una velocidad síncrona, mientras que
una de inducción, denominada a menudo asíncrona, lo hace con velocida-
FIGURA 1.1 Ilustración de los elementos dispersos de un motor de induc-
ción de 5 caballos, 5 libras, a 3,200 Hz y 62,000 rpm, con utilizaciones aero-
espaciales (cortesía de la Garrett Corporation)

24. 22 Introducción
FIGURA 1.2 Corte longitudinal de un generador a turbina enfriado por agua
(cortesía de Brown, Boveri Company).
des menores a las síncronas. Hoy día son de uso común una amplia variedad
de máquinas síncronas:
a. Convencional. Es la máquina síncrona normal (que se analiza en el
capítulo 7) y que requiere una fll.ente de excitación de c.c. en su
rotor. Es la que se utiliza en la mayor parte de las estaciones centra-
les de las plantas generadoras (le electricidad (en calidad de gene-
rador) y en numerosas aplicfciones de los motores de bombas,
compresores, etc. En la figura 1.2 se muestra un corte longitudi-
nal del generador de un estación central.
b. De reluctancia. Es una máquina convencional sin la excitación de
campo de c.c. y se analiza en los capítulos 4 y 7. Es una de las con-
figuraciones de máquinas más simples y se utilizó recientemente en
los casos reservados por tradición, a los motores de inducción. En
muy bajas potencias, se usa en relojes eléctricos, sincronizadores y
aparatos de grabación.
c. De histéresis. Esta configuración, como la de reluctancia, sólo re-
quiere una entrada eléctrica (de excitación monofásica). El rotor
de un motor de histéresis es un cilindro sólido construido con ma-
teriales de imán permanente. Los motores de histéresis se usan en
relojes eléctricos, tomamesas de fonógrafo yen otros aplicaciones
de velocidad constante. Estos motores, recientemente se usaron en
casos que requerían una salida de potencia mayor, como los impul-
sores centrífugos.
d. De rectificador rotatorio. Esta configuración, en su ejecución es
idéntica a la máquina síncrona convencional, salvo que la excitación

25. Tipos de máquinas rotatorias 23
de campo se suministra por un generador auxiliar de c.a. y por rec-
tificadores localizados en el miembro rotatorio.
e. De inductor y conmutador de flujo. Son motores y generadores sÍn-
cronos sin escobillas que se utilizan en diversas aplicaciones aeroes-
paciales y de tracción. Al igual que la configuración de reluctancia!
las de inductor y conmutador de flujo operan en base a un principio
de reluctancia variable. Esta reluctancia, como función de la posi-
ción del rotor, se obtiene mediante el diseño del rotor. La figura 1.3
ilustra la construcción del rotor de un alternador inductor y la 1.4
una máquina de inductor totalmente armada.
f. De Lundell. Esta configuración se usa en alternadores de automóvil
y probablemente es el tipo más común de máquina síncrona (su
volumen es superior al de motores de reloj). Carece de escobillas,
aunque requiere de un anillo colector para el suministro de alimen-
tación de c.c. a su campo. La máquina de Lundell también opera
en base al principio de reluctancia magnética variable debida a la
construcción del rotor.
g. De Beckey -Robinson y Nadyne Rice. Son máquinas síncronas sin
escobillas, que dependen para su operación de las estructura mag-
FIGURA 1.3 Rotor de una máquina de inductor de tipo Lorentz, especificada
para 100 kVA y 120,000 rpm (cortesía de The Garrett Corporation)

26. 24 Introducción
FIGURA 1.4 Alternador inductor de tipo Lorentz, de 12 polos, para 520
kVA, 3,900 rpm, armado totalmente (cortesía de The Garrett Corporation).
nética del rotor (reluctancia variable). Se han utilizado en muchas
aplicaciones aeroespaciales.
h. De imán permanente. Es una máquina síncrona convencional, en
la que la excitación de campo la suministra un imán permanente
(PM: "permanent magnet") en lugar de una fuente de energía eléc-
trica. Dispone del potencial para gran rendimiento de energía, ya
que no hay pérdidas de campo y puede construirse por general, a
bajo costo. En la figura 1.5 se da el ejemplo de un rotor de alter-
nador de imán permanente, usado en modelos aeroespaciales.
El gran rendimiento es una característica de la máquinas PM, sin em-
bargo, para alcanzar niveles de potencia relativamente altos, estas máquinas
requieren de un tipo de imanes permanentes que en la actualidad son rela-
tivamente costosos, como los de aleaciones cobalto-platino y cobalto-tie-
rra rara. Además, la excitación de campo fija de una máquina PM elimina
un elemento de control, que es una de las principales ventajas de las má-
qUinas síncronas sobre las de inducción: el control de campo.

27. Tipos de máquinas rotatorias 25
4. Máquinas de colector polifásico. La forma común de máquinas de
inducción se conoce como máquina de inducción de rotor devana-
do o de anillos colectores. En esta variante se sustituyen las barras
de jaula de ardilla y los aros de cortocircuito por devanados con-
vencionales que duplican, fundamentalmente, los devadados en el
estator. Las terminales de estos devanados se sacan para las cone-
xiones externas mediante anillos colectores o "colector polifásico".
FIGURA 1.5 Rotor para una máquina de imán permanente de 60 kVA,
30,000 rpm, ilustrando una máquina con usos aeroespaciales, en las que se re-
quieren alta eficiencia y potencia específica elevada (W por kg) (cortesía de
The Garrett Corporation).

28. 26 Introducción
Al excitar estos devanados de rotor en diferentes maneras, se logra
una variedad amplia de características de máquina. La excitación
debe estar a frecuencia y voltaje prescritos, relacionados con la di-
ferencia de velocidades entre el rotor y el estator de la máquina.
La excitación se inyecta al circuito de rotor a través del colector.
Las características de velocidad variable en un amplio rango se pueden
obtener con máquinas de colector polifásico -los primeros motores de c.a.
de verdadera velocidad variable- que aún se usan para esta aplicación, es-
pecialmente en Europa. Por otra parte, el desarrollo de dispositivos electró-
nicos de bajo costo para control de voltaje y frecuencia de estator en
motores de inducción de jaula, de conmutador de c.c. y motores síncronos
ha restado importancia a las máquinas de colector polifásico.
1.2 EFICIENCIA, ENERGIA Y PERDIDAS
Un factor importante en las aplicaciones de los dispositivos electrome-
cánicos de todo tipo, es la eficiencia de ese dispositivo. La eficiencia puede
tener diferentes significados en diversos sistemas físicos. Dehecho, puede te-
ner un sentido llano accesible, que se usa en las conversaciones cotidianas,
como "qué tan bien se hace una tarea específica". En los sistemas mecáni-
cos se usan las eficiencias térmica y mecánica, que describen la eficiencia
de dos fases de un proceso dado, así como eficiencias "ideales". En los sis-
temas eléctricos que se discutirán en este libro el rendimiento se usa con
un solo significado:
potencia o energía de salida
r¡ =
potencia o energía de entrada
(1.2)
La relación anterior también se puede expresar según las pérdidas me-
cánicas y eléctricas, y en función de energía o potencia, de la siguiente
manera:
salida
r¡
salida + pérdidas
=
entrada - pérdidas
entrada
(1.3)
, Las unidades del Sistema Internacional de potencia son watts, abre-
viados como W; para la energía, joules (J), watt-seg (Ws) o watt-hora (Wh).
El aprovechamiento de energía o rendimiento de una máquina eléctri-
ca crece en importancia y es uno de los principales criterios de diseño ac-
tualmente. Es pues de transcendencia saber cómo calcular el numerador y
denominador de las ecuaciones anteriores. En los dispositivos electromecá-
nicos, tanto el numerador como el denominador son potencia o energía

29. Eficiencia, energía y pérdidas 27
mecánica. La potencia mecánica de una máquina rotatoria puede c~xpresar­
se como:
donde
Tp ro m = par de flecha en newton-m
n = velocidad de flecha en radjseg.prom
Para la parte eléctrica de la máquina, la potencia se expresa como
ó
donde
(sinusoidal)
Pe = Vprom I prom (c.c. O pulso)
v = voltaje terminal en volts
1 = corriente terminal en amperes
e = ángulo del factor de potencia
(l.4)
(1.5)
En las ecuaciones anteriores y a través del libro, los parámetros rcm
(valores raíz cuadrático medio) se designan con mayúsculas, sin subíndices;
parámetros promediados en el tiempo se denotan con mayúsculas con su-
bíndice "prom". La potencia calculada en estas ecuaciones es potencia
promedio. Es bastante frecuente tener cantidades instantáneas en los se-
gundos miembros de estas ecuaciones, en cuyo caso se usarán minúsculas y
la potencia en los primeros miembros se denominará potencia instantánea.
Es común el uso de potencias promedio e instantánea en el análisis de siste-
mas electromecánicos. La energía W es la integral en el tiempo de la poten-
cia; es decir
w= fpdt (1.6)
y sus unidades son joules o watt-seg en el sistema internacional (SI).
A menudo, es necesario calcular la eficiencia en función de la energía
y no de potencia, ya que la eficiencia de la mayor parte de los dispositivos
electromecánicos varían en un intervalo amplio como función tanto de la
velocidad como del par mecánico o carga. Para las máquinas que operan en
condiciones muy diferentes de velocidad y par, tales como los motores de
tracción o las que funcionan en base a un "ciclo de rendimiento" de niveles

30. 28 Introducción
de par y velocidad variables durante cierto lapso, su eficiencia en función
de energía. La expresión general para la eficiencia en energía o en potencia
es la misma, como lo demuestra (1.2).
1.3 VALORES Y PROMEDIO RAIZ-CUADRATICO-MEDIO
Los dispositivos electromecánicos operan frecuentemente con pará-
metros de entrada y/o salida con formas de onda irregulares. El uso de la
palabra "irregular" implica que debe definirse lo que es regular. Las formas
de onda regulares en los sistemas electromecánicos son continuas de c.c. o
sinusoidales de c.a. y muchas de las características de los materiales usados
en dispositivos electromecánicos se definen en función de estas formas de
onda. Sin embargo, ciertos parámetros en esos dispositivos, tales como la
corriente de excitación en los transformadores y en motores de inducción,
no se ajustan a esas formas de onda regulares, aun cuando la señal aplicada
sea regular. Con el uso del control electrónico muchos otros parámetros
llegan a ser irregulares. Por lo tanto, es de utilidad saber cómo calcular va-
lores rcm y promedios de formas de onda irregulares para el análisis
de sistemas electromecánicos. El cálculo de los valores rcm puede encon-
trarse en la mayoría de los textos de circuitos eléctricos, aunque para ma-
yor comodidad aquí se repite:
donde
a = valor instantáneo del parámetro
7 = lapso durante el cual va a calcularse el valor rcm
t = tiempo, en seg.
(1.7)
El valor promedio de un parámetro debe definirse con más cuidado;
en las funciones periódicas, el término "promedio" se refiere al promedio
de media onda, definido como
2L"/2Apmo = - a dI
'T o
(1.8)
donde 7/2 = medio período de una función periódica. No obstante, tam-
bién es común referirse al promedio en el tiempo de un parámetro definido
dentro de un lapsó arbitrario To ' en lugar de en un medio período:
1 (To
Aprom= T
o
Jo a dI (1.9)

31. Métodos de análisis 29
Estos conceptos son de particular importancia en el análisis de máqui-
nas excitadas mediante sistemas de control electrónico, como se ve en el
capítulo 8.
1.4 METODOS DE ANALlSIS
Un dispositivo electromecánico es en sí mismo un "sistema", ya que
por lo general está constituido por varios circuitos eléctricos y magnéticos.
Existen diversos métodos analíticos que son de utilidad para el análisis de
dispositivos electromecánicos:
1. Análisis con sistemas matemáticos usando ecuaciones diferenciales con-
vencionales o ecuaciones de estado: estos medios se utilizan en los capí-
tulos 4 y 9 Yen ciertas secciones de otros capítulos.
2. Teoría del campo magnético: se desarrolla en el capítulo 2 y se aplica en
muchas configuraciones de capítulos posteriores.
3. Teoría de los circuitos eléctricos: la mayor parte de los dispositivoselec-
tromecánicos puede representarse con circuitos eléctricos equivalentes.
Este método es el más útil en la simulación de funcionamiento de dis-
positivos mediante técnicas de modelos en computadora.
4. Método de diseño y aplicación: esta es una técnica cuasimatemática usa-
da en el diseño y aplicación de dispositivos electromecánicos. Aprovecha
mucho de los resultados de los métodos más rigurosos descritos anterior-
mente, aunque introduce además muchas "recetas" con base en la ex-
periencia, aspectos geométricos y análisis térmico.
Todos estos métodos son válidos y se estudiarán en las siguientes sec-
ciones de este libro.
Existen muchos aspectos comunes a las diversas configuraciones de
máquinas rotatorias descritas en la sección 1.1. Los más evidentes son pro-
bablemente los principios básicos, esforzándose los analistas por expresar
este hecho en forma matemática. 4,5,6 Este recurso conocido como teoría,
de la máquina generalizada, es una hermosa descripción de la forma mate-
mática y geométrica de los dispositivos electromecánicos y de los aspectos
comunes entre las diversas configuraciones de máquinas rotatorias.
Las limitaciones de la teoría de la máquina generalizada y el hecho de
que este recurso en suma matemático, no sea capaz de describir muchos
de los aspectos físicos, estructurales y magnéticos de los dispositivos elec-
tromecánicos reales, tan importantes en su diseño y aplicación son la ne-
cesidad de métodos matemáticos relativamente avanzados para su cabal
utilización. El capítulo 9 de este libro presenta una introducción a esta par-
te importante de la teoría.

32. 30 Introducción
El análisis de dispositivos electromecánicos por medio de la teoría de
circuitos también es de utilidad, especialmente en la simulación por com-
putadora de sistemas eléctricos que contengan dispositivos electromecá-
nicos. Más adelante se verá que la mayoría de los dispositivos pueden
representarse mediante redes eléctricas y mecánicas relativamente sen-
cillas, aunque existen restricciones en el intervalo de los parámetros de
operación dentro del cual estos son válidos para dichas redes. El método
común de la "caja negra", puede usarse con la mayor parte de los disposi-
tivos electromagnéticos tan ampliamente como en el análisis de circuitos
electrónicos. Esto se aplica particularmente al transformador, que no posee
"puertos" mecánicos en su caja negra. A menudo, los transformadores se
representan como una inductancia mutua simple tal como se refiere en el
capítulo 2.
El riesgo de los dos métodos de análisis, el de la teoría de la máquina
generalizada y el de la teoría de los circuitos, es que las restricciones físicas
que ocurren en todos los dispositivos electromeéanicos rara vez pueden
presentarse adecuadamente. Todos estos dispositivos se "saturan" de una
manera u otra; esto es, están limitados en su intervalo de operación por
máximos térmicos, magnéticos o estructurales o bien, por una conmuta-
ción satisfactoria. Además, pueden existir diferencias de fondo en la re-
presentación del modelo requerido, en función de la carga de dispositivo,
aun dentro de los límites anteriores. Además, la mayoría de los dispositi-
vos electromecánicos son sensibles a la frecuencia y la mayor parte de los
modelos son válidos sólo en un intervalo limitado de frecuencias. Por con-
siguiente, para comprender bien un dispositivo electromecánico es preci-
so estudiar la física del dispositivo y la descripción matemática del mismo.
Este método, que se adoptará en este libro, se describe en la siguiente sec-
ción.
1.5 METODO DE ACCESO
Los capítulos 2 y 4 tratan la teoría general referente a la mayoría de los
sistemas y dispositivos electromecánicos. Los capítulos restantes se ocupan
de las principales configuraciones de máquinas rotarorias y transformadores.
En estos capítulos se usa el siguiente método general:
1. Descripción de la configuración. Se describirá la configuración funda-
mental y se presentarán, en términos generales, las aplicaciones y carac-
terísticas.
2. Descripción de los aspectos físicos y estructurales. Se darán algunas
orientaciones en el diseño de dispositivos, con referencias para realizar
estudios de diseño posteriores.

33. Limitaciones en dispositivos electromecánicos 31
3. Desarrollo de principios electromecánicos. Se deducen y aplican los prin-
cipios pertinentes a una configuración específica.
4. Desarrollo de modelos físicos, magnéticos y de circuitos.
5. Aplicación de principios y modelos en el análisis de las características
principales de ejecución. Esto incluye potencia, par, eficiencia, voltaje y
regulación de velocidad, funcionamiento transitorio y otros.
6. Discusión de limitaciones en ejecución de dispositivos prácticos.
7. Técnicas de simulación en computadora y analítica útiles para el diseño
y análisis de la configuración.
8. Descripción de diversas máquinas prácticas que abarcan la configuración
básica.
1.6 CAPACIDADES Y LIMITACIONES EN DISPOSITIVOS
ELECTROMECANICOS
Ya se habrá observado que cualquier dispositivo electromecánico --así co-
mo todo sistema físico, incluso el cuerpo humano- tiene limitaciones en su
funcionamiento. A esta limitación se le llama saturación, ya que indica que
existe un límite superior sobre cuál no puede aumentar un parámetro. La
saturación de los materiales ferromagnéticos (que se discute en el capítulo
2) y de los amplificadores electrónicos es un ejemplo sumamente descrip-
tivos de esta característica.
En los dispositivos electromecánicos existen otras limitaciones que
por lo general, no se ajustan a esta característica tan bien conocida y que se
traducen en daños físicos para el dispositivo. Se trata de límites térmicos,
de rotación y de conmutación. El más sencillo y obvio de estos límites es
el de rotación, constituido por la velocidad de rotación, a la cual el elemen-
to rotatorio se fractura en partes que principian a volar por separado. La
velocidad de régimen de un dispositivo rotatorio se encuentra muy por de-
bajo de este límite estructural y de soporte (generalmente un 50% o me-
nos) y lo determinan la frecuencia, el voltaje y potencia a las que va a operar
la máquina. El límite fundamental en potencia de las máquinas rotatorias
y transformadores es de tipo térmico. Las capacidades de clases normales
de máquinas y transformadores se fundamentan en este límite, establecido
por lo general en función de una elevación de temperatura superior a la
ambiental. La máquina y los transformadores, a diferencia de los compo-
nentes electrónicos, tienen una masa térmica grande y una constante de
tiempo térmica muy prolongada. Hay, por consiguiente, una capacidad de
sobrecarga considerable (en exceso de la potencia nominal) en la mayoría
estos dispositivos electromecánicos.
Los motores normales y los transformadores (usados en aparatos eléc-
tricos, procesos industriales, etc.) se especifican en función de su operación
continua o ciclo de rendimiento. Para cada dispositivo de este tipo, tam-

34. 32 Introducción
bién existen regímenes de sobrecarga o de tiempo límite, que pueden obte-
nerse del fabricante. A menudo, en los motores de aparatos eléctricos, estos
regímenes son un poco mayores a los ciclos de rendimiento especificados
para operación continua. Por otra parte, en los motores industriales de c.c.
es posible una sobrecarga de un minuto, de 2.5 a 4 veces mayor que la es-
pecificación para operación continua; en el capítulo 5 se discute la desig-
nación de especificaciones de placa para capacidades.
El límite de conmutación en máquinas de conmutador es la limitación
más complicada y menos normalizada. Este límite es un poco subjetivo y
está relacionado con la chispa y fuego anular que se presenta en el conmu-
tador. Depende en gran medida del ambiente (presión atmosférica, hume-
dad, contenido de partículas en el aire) y de la velocidad, voltaje y nivel
relativo de la excitación de máquinas.
El límite de conmutación se traduce en uno de las pocas fuentes de
contaminación de las máquinas rotatorias; ioniza el aire y produce ozono,
pudiendo causar además una radiación electromagnética grave. Es probable
que muchos de los lectores de este libro estén haciendo algo por encontrar
métodos para reducir estos contaminantes luego de que el gobierno dio a
conocer el nuevo reglamento al respecto. Los aspectos de la conmutación
se discuten con detalle en el capítulo 5.
La dimensión física de las máquinas rotatorias estándar se designa por
la dimensión de su estructura. Estas dimensiones las especifica una agencia
de normalización conocida como National Electrical Manufacturing Asso-
ciation (NEMA)7. Las dimensiones de estructuras para una capacidad de
potencia dada se reducen continuamente, a medida que se dispone de nue-
vos materiales con mejores características térmicas y magnéticas.
El límite térmico de las máquinas rotatorias y transformadores lo es-
tablece, principalmente, el tipo de conductor que se usa en sus devanados;
en los dispositivos electromecánicos se usan conductores de cobre y alu-
minio, aunque el más común es el alambre magneto de cobre. En el apén-
dice II se muestra la tabla de alambres con las designaciones del American
Wire Gauge (AWG) para calibres de alambres magneto utilizados en aplica-
ción electromecánica.
1.7 ASPECTOS ECONOM ICOS
No obstante que la economía siempre ha sido un aspecto de importancia
en el uso de transformadores y máquinas rotatorias, este texto se concentra
principalmente en la teoría y características técnicas de estos dispositivos.
En el uso de las máquinas rotatorias, el costo total de instalación de la má-
quina es muy significativo- incluyendo el sistema de control de las partes
eléctrica y mecánica de la máquina, la fuente de potencia eléctrica, los
medios para conectar la flecha de la máquina a la carga o máquina impul-

35. Aspectos económicos 33
sara, el equipo de control térmico y el equipo de montaje y empaquetado.
El costo y complejidad de estos equipos auxiliares influye frecuentemente
en la selección de la máquina que va a usarse para una aplicación concreta.
El costo inicial de una instalación de máquina también se puede ba-
lancear con los costos de energía necesarios para operar la máquina y con
los costos de mantenimiento. Con el uso de un sistema menos eficiente,
el costo inicial más elevado de un motor y sistema de control eficientes, a
menudo se compensa con los ahorros en costos de energía, en un lapso
breve. En comparación, este tipo de ventaja económica tiene mayor signi-
ficado en la era actual cuando los costos de energía van en ascenso. Las
restricciones ambientales, que tienen una importancia creciente, son otros
de los factores prácticos que deben tomarse en cuenta al escoger una má-
quina para determinado uso. En las instalaciones de máquinas, se tiene
especial cuidado con el ruido proveniente de las máquinas rotatorias y de
su sistema de control.
Con el objeto de comprender, evaluar y tomar decisiones respecto a
la economía, energía y utilidad ambiental de los dispositivos electrome-
cánicos, es fundamental conocer losprincipios y teoría de laelectromecánica.
Bibliografía
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Manufacturers Association, Nueva York, 1967.

37. Capítulo 2
Circuitos
magnéticos de C.A.
yC.C.
estacionarios
El elemento esencial en todas las máquinas rotatorias y en los disposi-
tivos electromecánicos de tipo electromagnético, es un sistema electromag-
nético. La función de este sistema es establecer y controlar los campos
electromagnéticos para realizar el proceso de conversión de energía, trans-
ferencia o procesamiento de energía. Para explicarlo de manera concisa,
un sistema electromagnético está formado por circuitos eléctricos locali-
zados en un espacio y diseñados con una geometría muy específica para
establecer las relaciones que requiere el campo electromagnético. Es posi-
ble describir y analizar muchas de las funciones y características de ope-
ración de un sistema electromagnético en base a estos circuitos eléctricos,
partiendo de la teoría convencional de los mismos. Sin embargo, para
comprender el proceso de conversión de energía y ser capaz de determinar
los parámetros de los circuitos eléctricos de una máquina eléctrica, es ne-
cesario entender el campo electromagnético de la máquina y relacionarse
con los términos y expresiones analíticas utilizados para describir este cam-
po. Además gran parte del proceso de diseño de una máquina o un dispo-
sitivo electromecánico se basa en el diseño del sistema magnético. El
propósito de este capítulo es revisar la importancia de estos principios en
el diseño y análisis de máquinas eléctricas.
Existen varios conceptos importantes de la teoría básica del campo
electromagnético que se deben tener presentes en este estudio acerca de los
campos electromagnéticos para su aplicación a los conversores de energía
electromagnética.
1. El término campo, es un concepto que se usa para describir una dis-
tribución de fuerzas en un espacio. El campo eléctrico mide la fuerza sobre
la unidad de carga eléctrica: el electrón. El campo magnético describe la
35

38. 36 Circuitos magnéticos de C.A. y c.c. estacionarios
fuerza sobre un dipolo magnético. Las máquinas y los dispositivos electro-
mecánicos de tipo electromagnético producen fuerzas o pares de fuerza
que resultan de la presencia del campo de fuerzas magnéticas. Hay una cla-
se de máquina eléctrica, conocida como máquina electrostática, cuya fuerza
resulta de la existencia de campos eléctricos, pero no se hablará de ella en
este texto.
2. Los campos son un fenómeno tridimensional en el espacio y su
análisis y comprensión requieren cierta capacidad para visualizar conceptos
abstractos. De aquí se infiere que las características geométricas son de im-
portancia en la aplicación de los campos de fuerza para la producción de
fuerzas útiles. El movimiento rotatorio es consecuencia de una conforma-
ción rotatoria de campos megnéticos en esta clase de máquinas. Existe
otro tipo de máquinas y dispositivos en los que el movimiento lineal pro-
viene de una distribución lineal de campos magnéticos.
3. Un análisis tridimensional riguroso de un campo es sumamente
complicado; implica mucho tiempo y requiere muchísima información de
computadora, cuando se la utiliza en el método de análisis.Por fortuna, da-
da la propiedad de los campos conocida como simetría, el análisis tridimen-
sional raras veces es necesario. Los aspectos de simetría permiten resolver
un problema tridimensional en dos o aun una dimensión, dentro de un
espacio limitado, simplificando así el análisis y las dificultades de concepto.
Gran parte del trabajo del análisis de mr,quinas y dispositivos electrome-
cánicos radica en la identificación de 1;1 simetría, de sus campos. Por for-
tuna, los primeros investigadores soluc:onaron el problema de la mayoría
de las configuraciones comunes aunql:.e una nueva configuración es un re-
to tentador.
Las pruebas para la simplificación por simetría giran alrededor de las
respuestas a dos preguntas: a) ¿Cuáles componentes de las coordenadas di-
mensionales del campo no existen? y b) ¿Con cuáles coordenadas dimen-
sionales no varía el campo? Estas pruebas se aplicarán posteriormente a
ejemplos en este capítulo. Probablemente el más simétrico de los dispositi-
vos electromecánicos sea un transformador con núcleo toroidal (en forma
de dona) y con devanados distribuidos (esto es, devanados distribuidos uni-
formemente alrededor de la del toroide). Imagínese que hace un corte
transversal del núcleo, que lo "rebana" no importa en qué parte de la cir-
cunferencia, seguramente las relaciones de campo magnético a través de la
sección transversal de esta rebanada son las mismas, puesto que no se obser-
va un cambio ni en la geometría, ni en el devanado de la circunferencia del
toroide. Por consiguiente, se puede examinar el campo magnético en base
a esta sección transversal de dos dimensiones.
4. El tipo de matemáticas usadas para describir un campo depende de
la elección de las coordenadas dimensionales. La mayor parte de los mate-
máticos ven, piensan y aún sienten, desde el punto de vista de las coorde-

39. Revisión de la teoria del campo electromagnético 37
nadas cartesianas (rectangulares) ;pero por lo general las máquinas rotatorias
se describen mejor mediante coordenadas cilíndricas.
Las ecuaciones de campo, para sistemas descritos por coordenadas
cartesianas, son de la clase conocida como ecuaciones lineales homogéneas,
con las que casi todos conocemos bien. En sistemas cilíndricos, las ecua-
ciones se traducen en una forma conocida como ecuación de Bessel. Son
menos comunes, aunque las tablas numerosas de las funciones de Bessel
que existen ahora y la disponibilidad de rutinas de computadoras para ma-
nejar las funciones de Bessel permiten que esta forma de matemáticas se
trata casi con la misma facilidad que si se usaran coordenadas cartesianas.
El tercer conjunto de coordenadas, las esféricas, se aplica relativamente a
pocas configuraciones de dispositivos electromecánicos y no se tratará en
este libro.
Otro conjunto de coordenadas es privativo del estudio de maquinaria
eléctrica e introduce un cuarto concepto dimensional: el movimiento. Es
un medio para relacionar las cantidades eléctricas y magnéticas de un rotor
en movimiento con el circuito eléctrico estacionario conectado al estator
de la máquina.
2.1 REVISION DE LA TEORIA DEL CAMPO ELECTROMAGNETICO
El análisis de las máquinas eléctricas y de los dispositivos electromecánicos
principia, lógicamente, con la adaptación de las ecuaciones de Maxwell a la
simetría espacial específica y a los coeficientes asociados a esta clase de
sistemas. Este análisis se iniciará empleando notación vectorial, ya que es
fundamental para determinar varios parámetros direccionales de voltaje
inducido, fuerza, par y otros. Después de establecer estos aspectos direc-
cionales, se usará la notación escalar. En todas las ecuaciones se emplea
el sistema Internacional de Unidades, algunas veces denominado sistema
MKS racionalizado. En sistemas magnéticos están muy difundidos otros
dos sistemas: el CGS y el inglés. En el apéndice 1 se dan las relaciones entre
estos sistemas. Para evitar equivocaciones, el símbolo K indica un vector,
a menos que se indique lo contrario, se supone que se aplica a las coorde-
nadas cartesianas. Las ecuaciones de Maxwell que rigen los fenómenos
electromagnéticos en cualquier punto del espacio se expresan como
V·B=O
V·D=p
VxH=J+ élD
élt
élB
VxE=--
nt
(2.1)

40. 38 Circuitos magnéticos de C.A. y C. C. estacionarios
Como se dijo antes, en casi todos los sistemas electromagnéticos la distri-
bunción de carga p y la densidad de flujo de campo eléctrico D pueden
considerarse extremadamente pequeños y, por lo tanto, omitirse. Es posi-
ble modificar las tercera y cuarta ecuaciones mediante el teorema de Stokes
y escribirlas en su "forma integral", aplicable a una región del espacio:
~H.dL=I (2.2)
~E.dL= - f aa~ ·dS
s
(2.3)
Estas dos ecuaciones se conocen como ley de Ampére y ley de Faraday
respectivamente, llamadas así en honor a los dos científicos que compro-
baron experimentalmente, por primera vez, estas relaciones.
Es de suma importancia observar los parámetros direccionales descri-
tos por la notación vectorial en esas ecuaciones, pues son las bases de las
reglas de las "manos izquierda y derecha", utilizadas en el análisis de las má-
quinas.
Una tercera relación significativa de campo es la ecuación de fuerza
de Lorenz
dF=IdLxB (2.4)
donde 1 es la corriente que fluye por un conductor diferencial de longitud
dL. Una aplicación sencilla de (2.4) es integrar esta fuerza diferencial en
un volumen en el cual la corriente fluya en un conductor y la densidad de
flujo B sea uniforme:
F=~IdLXB
=ILxB
= BIL sin eaF
(2.5)
donde e es el ángulo entre la dirección del conductor y el campo magnéti-
co. En muchas configuraciones de máquina este ángulo es de 90° , dando que
F=BLI (2.6)
que es la conocida regla BU que se usa en el análisis de máquinas.
La ley de Biot-Savart se usa en muchas configuraciones de máquinas
o de dispositivo no ordinarias:
1dLxaR
dH=----,-
4'7TR 2
(2.7)

41. Materiales magnéticos 39
Esta ley describe la intensidad de campo magnético dH en un punto del
espacio, debida a un elemento de corriente de longitud diferencial dL que
lleva una corriente 1, situada a una distancia R en la dirección aR (a partir
del elemento de corriente). En forma integral, la ley de Biot-Savart queda
como
(2.8)
2.2. MATERIALES MAGNETICOS
En el espacio libre B y H están relacionadas por la constante f.1o , conocida
como la permeabilidad del espacio libre:
(2.9)
y
fLo=4'7TX 10-7
henry/m
El valor de f.1o aquí es el del sistema de unidades SI. En este sistema, la
unidad de B es el Tesla y H se expresa en Amperefm. Dada que aún es
frecuente que ciertas características de los materiales se expresen en uni-
dades CGS o en unidades inglesas, en el Apéndice 1 se dan las unidades
para (2.9) en estos dos sitemas.
Dentro de un material debe modificarse la ecuación (2.9) para decribir
un fenómeno distinto al que ocurre en el espacio libre:
B=fLH
(2.10)
donde f.1 es la permeabilidad y f.1R la permabilidad relativa, una constante
adimensional. La permeabilidad en un medio material, definida por (2.10),
sólo es aplicable a regiones de materiales homogéneos (calidad uniforme) e
isotrópicos (que posean las mismas cualidades en cualquier dirección). Pa-
ra los materiales que no tienen estas características, /1 es un vector (más que
tensor). Por último, se debe tener en cuenta que para algunos materiales
usuales, (2.10) es no lineal y f.1 varía con la magnitud de B. Esto conduce
a varias subdefiniciones de permeabilidad relacionadas con la caracterís-
tica no lineal B-H del material, que se discutirán más adelante.
Un material se clasifica por la naturaleza de su permeabilidad relativa
f.1R , que en realidad se relaciona con la estructura atómica del material, pe-
ro no se estudiará con profundidad en esta obra. La mayoría de los mate-
riales no magnéticos se clasifican como paramagnéticos, en los cuales f.1R

42. 40 Circuitos magnéticos de C.A. y c.c. estacionarios
es ligeramente mayor a 1.0, o bien como diamagnéticos, en los cuales /lR es
un poco menor a 1.0. Sin embargo, en la práctica, /lR se considera igual a
1.0 para todos estos materiales.
Existe un caso interesante de diamagnetismo que adquiere importan-
cia en ciertos dispositivos electromagnéticos. Se trata del "diamagnetismo
perfecto" (efecto Meisner) que se presenta en los materiales conocidos co-
mo superconductores, a tempe~aturas cercanas al cero absoluto. En tales
materiales, B --* OY/lR es esencialmente nula; es decir, no puede estable-
cerse un campo magnético en el material superconductor. Este fenómeno
tiene varias aplicaciones potenciales, por ejemplo, en máquinas rotatorias
y en dispositivos de conmutación.
Las propiedades magnéticas de la materia se relacionan con la exis-
tencia de dipolos magnéticos en la misma. Tales dipolos aparecen en ma-
teriales paramagnéticos, pero como se señaló antes, el magnetismo resultante
es tan débil que se les clasifica como materiales no magnéticos. Hay varias
clasificaciones adicionales de materiales que presentan grados mayores de
magnetismo, aunque en este texto sólo se discutirán en detalle dos: mate-
riales ferromagnéticos y ferrimagnéticos. Los materiales ferromagnéticos
se subdividen además en duros y blandos, correspondiendo esta clasifica-
ción a la dureza física de los materiales. Los materiales ferromagnéticos
blandos incluyen a los elementos: hierro, níquel, cobalto y un elemento
de tierra rara; agrupan también a la mayor parte de los aceros blandos y a
muchas aleaciones de los cuatro elementos. Los materiales ferromagnéticos
duros incluyen a los materiales de imán permanente, como los alnicos, al-
gunas aleaciones de cobalto con elementos de tierras raras, aceros, cromo,
ciertas aleaciones de cuproníquel y muchas otras aleaciones metálicas. Los
materiales ferrimagnéticos son las ferritas y están compuestas de óxido de
hierro, con fórmula Me O Fe 2 0 3 , donde Me representa un ion metálico.
Se subdividen a su vez en ferritas duras y blandas, las primeras son las fe-
rritas magnéticas permanentes, generalmente ferritas de bario o estroncio.
Las ferritas blandas incluyen a las de níquel -cinc y manganeso- cinc y se
utilizan por lo general, en los dispositivos de microondas, líneas de retardo,
transformadores y otras aplicaciones de alta frecuencia. Hay una tercera
clase de materiales magnéticos con creciente importancia, está formada
por partículas de hierro en polvo o de otros materiales magnéticos suspen-
didos en matrices no ferrosas como resina epóxica o plástico. Las partículas
de hierro en polvo o superparamagnéticos, se forman por técnicas de mol-
deo a compresión o inyección y se usan mucho en transformadores elec-
trónicos y en calidad de núcleos para inductores. El permalloy (polvo de
molibdeno-níquel-hierro) es uno de los materiales en polvo que se elabo-
raron primero y de los más conocidos.
Son muchas las propiedades magnéticas de estos materiales importan-
tes para el estudio de los sistemas electromagnéticos: permeabilidad en va-
rios niveles de densidad de flujo, densidad de flujo de saturación, H en varios

43. Materiales magnéticos 41
H IAI/m)
FIGURA 2.1 Típica curva B-H
niveles de densidad de flujo, variación de la permeabilidad con la tempera-
tura, característica de histérisis, conductividad eléctrica, temperatura de
Curie y coeficientes de pérdida. Estos parámetros varían ampliamente con
los diferentes tipos de materiales, por lo que esta discusión tendrá un ca-
rácter muy general. En virtud de la característica no lineal de la mayor
parte de los materiales magnéticos, las técnicas gráficas son fundamen-
tales para describir su características magnéticas. Las dos característi-
cas gráficas de mayor importancia son la curva B-H o curva de magnetiza-
ción y el llamado ciclo de histéresis. Existen muchos métodos de labo-
ratorios bien conocidos para obtener estas características o para exhibir-
las en un osciloscopio. La figura 2.1 muestra una característica típica
B-H. Esta característica puede obtenerse de dos maneras: la curva virgen,
que se saca a partir de una muestra totalmente desmagnetizada o la curva
B-H normal, obtenida como puntas de ciclos de histéresis de magnitud cre-
ciente. Son pocas las diferencias entre los dos métodos y carecen de impor-
tancia para nuestros propósitos. La curva B-H es el resultado de cambios
en los dominios en el interior del material magnético. En materiales ferro-
magnéticos, el material se divide en pequeñas regiones o dominios (aproxi-
madamente de 10-2
a 10-5
cm en magnitud) en los cuales se alinean
espontáneamente todos los momentos de dipolo. Cuando el material se
encuentra totalmente desmagnetizado, los dominios tienen una orientación
al azar, que se traduce en una densidad de flujo neta, nula para cualquier
muestra finita. Cuando se aplica al material una fuerza externa magneti-
zante H se alinean estos dominios en la dirección en que H tienda a crecer,

44. 42 Circuitos magnéticos de C.A. y c.c. estacionarios
aumentando B (región 1 en la figura 2.1). En la región II, al seguir aumen-
tando H, las paredes de los dominios se mueven con rapidez hasta que cada
cristal del material es un dominio simple. En la región 111, los dominios
giran en una sola dirección, hasta que todos quedan alineados con H. Esto
conduce a una saturación magnética, pero la densidad de flujo dentro del
material no puede crecer arriba de Bs ' la densidad de saturación. El incre-
mento menor que ocurre por arriba de esta condición obedece al aumento
en el espacio ocupado por el material, de acuerdo con la relación B =f.1o H.
A menudo conviene prescindir de esta componente de densidad de flujo
de espacio libre y observar sólo la variación de densidad de flujo dentro del
material. Una curva así se conoce como la curva de magnetización intrín-
seca y se utiliza en el diseño de dispositivos de imán permanente.
Las tres regiones expuestas en la figura 2.1 sirven además para ~escri­
bir la característica de permeabilidad no lineal. En la ecuación (2.10) se ve
que esa permeabilidad es la pendiente de la curva B-H. A continuación se
estudiará la permeabilidad relativa; es decir, f.1o aparece como factor. La
pendiente de la curva B-H se llama actualmente, con toda propiedad, per-
meabilidad diferencial:
(2.11)
La Permeabilidad inicial se define como
¡.t= lÍm _1 Ji
¡ H~O ¡.to H
(2.12)
y corresponde a la permeabilidad en la región I. Esto tiene importancia en
muchas aplicaciones electrónicas, donde la intensidad de la señal es redu-
cida. Pueden cometerse errores al medir la inductancia de un dispositivo de
núcleo magnético con un puente de inductancias, pues la intensidad débil
de señal de la mayoría de los puentes a menudo magnetiza la muestra sólo
en la región 1, donde la permeabilidad es relativamente baja. En la región
11, la curva B-H para muchos materiales es relativamente recta y si se opera
un solo dispositivo magnético en esta región, se puede usar la teoría lineal.
En todas las regiones, el término más general de permeabilidad es el de per-
meabilidad en amplitud y se define simplemente como la razón de BaH
para cualquier punto de la curva:
1 B¡.t=--
a ¡.to H
(2.13)
En general, la permeabilidad se tiene que definir en base al tipo de se-
ñal que excite al material magnético. Existen definiciones adicionales para

45. Materiales magnéticos 43
B (TI
1.6
________~I-~--~~r_+_~~~--L--L---------
40 30 20 10 11 (Al/mi
0.2
0.4
0.8
1.2
FIGURA 2.2 Ciclo de histéresis de tira de 0.002, de núcleo devanado en cin·
ta Deltamax
excitaciones pulsante y sinusoidales que no se incluirán aquí. El valor má-
ximo de la permeabilidad en amplitud es la permeabilidad máxima y es de
gran importancia en la electrónica.
La segunda característica gráfica de interés es el ciclo de histéresis,
mostrándose en la figura 2.2 un ejemplo típico de estos ciclos. Se trata de
un ciclo de histéresis simétrico, obtenido únicamente después de varias in-
versiones de la fuerza magnetizante entre más y menos Hs. Esta caracterís-
tica ilustra varios parámetros de los materiales magnéticos, siendo la más
evidente la propiedad de la misma histéresis. El área dentro del ciclo está
relacionada .con la energía requerida para invertir las paredes de los domi-
nios magnéticos cuando se invierte la fuerza magnetizante. Esta es una
energía irreversible y se traduce en una pérdida de energía conocida como

46. 44 Circuitos magnéticos de C.A. y C.c. estacionarios
1.4
B,
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
--~----~--~----~--~----~--~----~o
70,000 60,000 He 40,000 30,000 20,000 10,000
H (Al/m)
FIGURA 2.3 Curva de desmagnetización de Alnico V.
E
o:¡
pérdida por histéresis. Esta área varía con la temperatura y la frecuencia
de inversiones de H en un material dado.
El segundo cuadrante tiene mucho valor en el análisis de dispositivos
con imanes permanentes. En la figura 2.3 se muestra un ejemplo de esta
porción del ciclo de histéresis para el Alnico V. La intersección del ciclo con
el eje horizontal (H) se conoce como la fuerza coercitiva He y mide la ca-
pacidad del imán para oponerse a la desmagnetización que causarían las
señales magnéticas externas. Frecuentemente se muestra sobre esta curva
una segunda curva, que es el producto de B por H, trazada como función
de H, se conoce como el producto energía y es una medida de la energía
almacenada en el imán permanente. El valor de B en el eje vertical se cono-
ce como densidad de flujo residual.
La temperatura de Curie o punto de Curie Te' es la temperatura crÍ-
tica' arriba de la cual un material ferromagnético se convierte en paramag-
nético.
Hasta aquÍ, no se han dado valores numéricos para estos parámetros.
En la tabla 2.1 se dan los valores de parámetros para varios materiales mag-
néticos comunes. En la figura 2.4 se muestran varias curvas B-H. Es impor-
tante observar los valores típicos de permeabilidades relativas para buenos
materiales magnéticos y compararlos con valores de conductividad eléctrica
para buenos conductores eléctricos. Hay algunos materiales magnéticos,

47. Tabla 2.1 Características de materiales magnéticos dúctiles
Densidad de {lujo Permeabilidad en Fuerza-He Temperatura
Nombre de Aleaciones de saturación H at Bsat amplitud coercitiva Resistividad eléctrica de Curie
{ábrica principales (T) (A/m) Máx-fLm (A/m) (/Lohm-cm) CC)
48NI 48% Ni 1.25 80 200,000 65
Monimax 48% Ni 1.35 6,360 100,000 4.0 65 398
Alta Perm. 49 49% Ni l.l 80 48
Satmumental Ni,Cu 1.5 32 240,000 45 398
Permalloy (lámina) Ni,Mo 0.8 400 100,000 1.6 55 454
Moly Perma Hoy (polvo) Ni,Mo 0.7 15,900 125
Deltamax 50% Ni 1.4 25 200,000 8 45 499
M-19 Si 2.0 40,000 10,000 28 47
Silectrón Si 1.95 8,000 20,000 40 50 732
Orientación - T Si 1.6 175 30,000 47
.¡:.
Orientación M·5 Si 2.0 1I,9oo 26 48 746VI
Lingote de hierro Ninguna 2.15 55,000 80 10.7
Spermendur 49%Co,V 2.4 15,900 80,000 8 26
Vanadium Permendur 49%Co,V 2.3 12,700 4,900 92 40 932
Hyperco 27 27%Co 2.36 70,000 2,800 198 19 925
Hierro en laminillas Potencia de carbono ~0.8 5,200 5-130 IOS_1015
Ferrotrón (polvo) MO,Ni ( lineal) (Lineal) 5-25 1016
Ferrita Mg,Zn 0.39 1,1I5 3,400 13 107
135
Ferrita Mn,Zn 0.453 1,590 10,000 6.3 3x 107
190
Ferrita Ni,Zn 0.22 2,000 160 318 109
500
Ferrita Ni,AI 0.28 6,360 400 143 500
Ferrita Mg,Mn 0.37 2,000 4,000 30 1.8 x 108
210

48. 46 Circuitos maf(néticos de C.A. y C. C. estacionarios
~r---'--r-r,,"Tr---'--~TO-rrn~---r-'-'-rTTrn----~-r-rTl"~
<Q-
0.4
10 50 1 0 0 - H(At/m) 1000 10,000
FIGURA 2.4 Curvas B-H de materiales magnéticos dúctiles seleccionados.
como el permalloy, supermendur y otras aleaciones de níquel que tiene una
permeabilidad relativa máxima de más de 100,000, dando una razón a la
permeabilidad de un material no magnético, como el aire o el espacio libre,
de 105
• Una permeabilidad elevada de esta magnitud sólo puede obtenerse
en algunos materiales yen un intervalo de operación muy limitado.
La razón de permeabilidad entre materiales magnéticos buenos y ma-
los, dentro de un rango típico de operación, es del orden de 104
en el mejor
de los casos. Sin embargo, la razón de conductividad eléctrica entre un
buen conductor eléctrico como el cobre y un buen aislador, como el po-
liestireno, es del orden de 1024
. Esto significa que no existe un material
que sea buen aislante magnético, salvo los superconductores que se men-
cionaron antes. Este tema se dilucidará más al estudiar los circuitos magné-
ticos.
2.3 PERDIDAS MAGNETICAS
Una característica de los materiales magnéticos con gran importan-
cia para la eficiencia en energía de un dispositivo electromagnético es la
pérdida de energía dentro del propio material. La naturaleza física real
de esta pérdida aún no se comprende del todo y dar una descripción
teórica del mecanismo básico que se traduce en pérdidas del material mag-
nético, queda fuera del alcance de este texto. La siguiente es una explica-

49. Pérdidas magnéticas 47
ción sencilla del complicado mecanismo: la energía que se utiliza para ac-
cionar el "movimiento de pared del dominio magnético" cuando dicho
dominio crece y gira bajo la influencia de un campo magnético que se apli-
ca externamente, como se describió en la sección anterior. Si el campo ex-
terno se reduce o se invierte a partir de un valor dado, el movimiento de
pared de los dominios se produce otra vez para realizar el alineamiento de
dominios necesarios acorde al nuevo valor del campo mangnético. La ener-
gía asociada con el movimiento de pared de los dominios es irreversible y
se manifiesta como calor dentro del material magnético. La razón con la
que cambia el campo externo, tiene fuerte influencia sobre la magnitud de
la pérdida, siendo ésta, por lo general, proporcional a cierta función de la
frecuencia de variación del campo magnético. La estructura metalúrgica del
material magnético, incluso su conductividad eléctrica, tiene también mar-
cado efecto sobre la magnitud de la pérdida. En las máquinas eléctricas y
trasformadores esta pérdida se denomina comúnmente, pérdida de núcleo
o algunas veces pérdida magnética o pérdida por excitación.
Por tradición, las pérdidas en el núcleo se dividen en dos componen-
tes: pérdida por histéresis y pérdida por corrientes parásitas. La primera
componente ya se describió, por lo general se le acepta como igual al pro-
ducto del área del ciclo de histéresis en baja frecuencia, por la frecuencia
de la fuerza magnetizante en sistemas sinusoidales. Las pérdidas por co-
rrientes parásitas se originan por corrientes eléctricas inducidas, llamadas
torberllinos ("eddies"), dado que tienden a fluir en trayectorias cerradas
dentro del propio material magnético. La pérdida por corrientes parásitas
en un material excitado sinusoidalmente puede expresarse, ingnorando la
saturación, como:
(2.14)
donde Bm es el valor máximo de la densidad de flujo, f la frecuencia y k",
una constante de proporcionalidad que depende del tipo de material y
del espesor de la laminación.
Para reducir la pérdida por corrientes parásitas se lamina el material;
es decir, se forman láminas delgadas con una capa sumamente delgada de
aislante eléctrico entre cada lámina. Las láminas deben orientarse en di-
rección paralela al flujo magnético. La pérdida por corrientes parásitas es
en alguna medida proporcional al cuadrado del espesor de la laminación
e inversamente proporcional a la resistividad eléctrica del material. El es-
pesor de la laminación varía alrededor de 0.5 a 5 mm en dispositivos
electromagnéticos usados en aplicaciones de potencia y de 0.01 a 0.5 mm
en los utilizados en aplicaciones electrónicas. Muchos núcleos magnéticos
usados en transformadores electrónicos e inductores se devanan con cin-
ta, empleando tiras muy delgadas de material magnético. Obsérvese que
el laminado de una componente magnética por lo general aumenta su vo-

50. 48 Circuitos magnéticos de e.A.' y C.e. estacionarios
lumen. Este aumento puede ser considerable, dependiendo del método que
se use para mantener juntas las láminas. La razón entre el volumen real-
mente ocupado por material magnético y el volumen total de una parte
magnética se conoce como factor de pila. Este factor es importante en
cálculos exactos de densidades de flujo en partes magnéticas. La tabla 2.2.
da factores de pila típicos para la dimensiones de laminación más delgadas.
Tabla 2.2
Espesor de laminación (en mm)
0.0127
0.0254
0.0508
0.1-0.25
0.27-0.36
Factor de pila
0.50
0.75
0.85
0.90
0.95
El factor de pila se aproxima a 1.0 a la medida que aumenta el espe-
sor de la laminación. En componentes de hierro en polvo y de ferritas
magnéticas, existe un "factor de pila equivalente", que es aproximadamen-
te igual a la razón del volumen de las partes magnética y el volumen global.
Si bien, es cierto que en la ecuación (2.14) y los planteamientos he-
chos respecto a la pérdida por histéresis son buenas "recetas" para calcu-
lar las variaciones de estas componentes de pérdida, con diversos parámetros
de campo, son totalmente impropias para realizar predicciones analíticas
de valores absolutos de pérdidas en el núcleo; las pérdidas en el núcleo se
deben, por consiguiente determinar con datos experimentales. Casi todos
los productores de materiales magnéticos han obtenido los datos de pérdi-
das en el núcleo, en condiciones de excitación sinusoidal para la mayoría
de sus productos. Las figuras 2.5 y 2.6 muestran valores de pérdidas en el
núcleo, medidos para dos tipos comunes de materiales magnéticos: el M-
15, un acero al silicio al 3% muy usado en transformadores y motores
pequeños y el 48NI, una aleación de níquel muy usada en la electrónica.
Estos datos se obtuvieron mediante una medición conocida como el méto-
do de marco de Epstein con muestras de lámina del material. En figura 2.6
b, aparecen las pérdidas en el núcleo medidas en un material de ferrita.
Es oportuno destacar que son cada vez más los dispositivos electromagné-
ticos que se utilizan con circuitos en los que los voltajes y corrientes poseen
formas de onda que no pueden clasificarse dentro de ninguna de las formas
comunes, como ondas senoidales continuas de c.c., cuadradas, etc. En mu-
chos de éstos circuitos, los niveles de potencia son relativamente elevados y
por lo tanto, la medición de potencia, pérdidas y eficiencia es un factor signi-
ficativo para su diseño y aplicación. La fuente de estas ondas nada comunes es
la acción de conmutación de semiconductores en sistemas que incluyen in-
versores, cicloconversores, rectificadores controlados y otros. Los datos

51. :!i
~
o
~
"."e
Q;
e
Q)
'"ro
:2
~
.Q)
a..
Pérdidas magnéticas 49
100~----~------~--------~------~~-'~~---r---.r--'--,
50
20
10
5
2
0.5
0.2
100 200
Frecuencias (Hz)
FIGURA 2.5 Pérdidas en el núcleo para acero al silicio no orientado; lamina-
ción de 0.019, de espesor (cortesía de Armco Steel Corporation).
de pérdidas en el núcleo, procedentes de mediciones sinusoidales por lo
general no son adecuados para tales sistemas. Las mediciones de pérdidas
en el núcleo deben hacerse con el dispositivo excitado de una fuente cuya
forma de onda se aproxime lo más posible a aquella con la que realmente
se operará el dispositivo. Las mediciones de potencia en condiciones de ex-
citación no sinusoidal requieren el uso de wattmetros de tipo térmico, de
efecto Hall o de tipo multiplicador electrónico.

52. 10,000
7,000
4.000
2.000
1,000
íi 700
~ 400
e
:2
o 200o
:;¡
'O
E
0.00005 0.0002 o002 0007 002 007
0.0001 0.0004 0.001 0.004 0.01 0.04 0.1
Pérdidas en el núcleo (W/lb)
103
ri--r-~-.--.--.--.--.r-r-.--.-,
E
1oQ)
Ü
-:;¡
e
7
4
2
102
7
4
2
lO'
7
4
2
4
Qj 2
¡ 10-1
'",. 7
:E
4
2
10-2
7
4
2
100015002000
Densidad de flujo (g_uss)
(b)
(a)
02 07
FIGURA 2.6 Pérdidas en el núcleo para una aleación de níquel típica al 48%
de 4 mils de espesor. Cortesía de Armco Steel Col). b) Pérdidas en el núcleo
para frerritas Mn-Zn.

53. Circuitos magnéticos 51
2.3.1 Pérdidas aparentes en el núcleo
El anterior es un término que se usa para describir los requerimientos de
excitación total de un sistema electromagnético, incluyendo las pérdidas
en el núcleo. Se define como el producto del valor rcm de la corriente de
excitación por el valor rcm del voltaje inducido en el devanado de excita-
ción. La unidad (SI) de pérdidas aparentes en el núcleo es el volt-ampére.
2.4 CIRCUITOS MAGNETICOS
Es importante señalar que un campo magnético es un fenómeno de pará-
metros distribuidos; es decir, se encuentra distribuido en una región del es-
pacio. En estas condiciones, un análisis riguroso requiere el uso de variables
de distancia implícitas en los símbolos de divergencia y rotación, de la
ecuación (2.1). No obstante, en ciertos casos, es posible aplicar un análisis
de parámetro concentrados a algunos problemas de campo magnético,
como se hace precisamente en el análisis de circuitos eléctricos. La exacti-
tud y precisión de este análisis son mucho menores que en los problemas
de circuitos eléctricos, a causa de la variación de permeabilidad relativa-
mente pequeña entre conductores y aisladores magnéticos, como se discu-
tió con anterioridad.
Esta sección describe sucintamente el análisis de circuito con pará-
metros concentrados, en su aplicación a sistemas magnéticos, denominado
con frecuencia análisis de circuitos magnéticos. Este método sigue los li-
neamientos de análisis de circuitos eléctricos simples de c.c. y es aplicable
a sistemas excitados con señales de C.C., o bien, por medio de aproximacio-
nes incrementales, a sistemas excitados con c.a. de baja frecuencia. Su uti-
lidad radica en que permite dimensionar las componentes magnéticas de
un dispositivo electromagnético durante las etapas de diseño, calcular in-
ductancias y determinar las densidades de flujo en los entrehierros para
cálculos de potencia y par.
Se principiará con algunas definiciones.
1. El potencial magnético: para regiones donde no existan densidades
de corriente eléctricas, lo que sucede en los circuitos magnéticos que se de-
sea discutir, la intensidad de campo magnético H puede definirse como un
potencial magnético escalar M:
H=V' M; M= fH.dL (2.15)
Se ve que M tiene las dimensiones de amperes, aunque con frecuencia se usa
el "amperio-vuelta" como unidad. Para una elevación de potencial o fuente
de energía magnética, en general se utilizael término fuerza magnetomotriz
(fmm). Como caída de potencial, se emplea el término caída de reluctan-

54. 52 Circuitos magnéticos de CA. Y C. C. estacionarios
cia. Existen dos tipos de fuentes de fmm en circuitos magnéticos: una co-
rriente eléctrica y los imanes permanentes. La fuente de corriente consiste,
en una bobina con un número N de vueltas por las que fluye una corriente
conocida como corriente de excitación. Obsérvese que el número N de
vueltas es adimensional.
2. Flujo magnético: Las líneas de flujo en un campo magnético se
conocen como líneas de flujo magnético, denotado con el símbolo 1>, cuya
unidad SI es el weber. El flujo se relaciona con B mediante la integral de
superficie.
</>= ¡B·dS
s
(2.16)
3. Reluctancia: es una compenente de la impedancia magnética, en
cierta manera análoga a la resistencia en un circuito eléctrico, pero la reluc-
tancia no es una componente asociada a pérdidas de energía. Se define por
una relación análoga a la ley de Ohm:
M
</>=-
R
(2.17)
La unidad SI de reluctancia magnética es el henry-l . En regiones que con-
tengan material magnético homogéneo e iso(rópico y donde el campo mag-
nético sea uniforme, la ecuación (2.17) da una idea más profunda de la
naturaleza de la reluctancia. Si se toma en cuenta que la densidad de flujo
tiene una sola componente direccional B uniforme sobre una sección trans-
versal del área Am , que se tomó perpendicularmente a la dirección de B,
la relación (2.16) se convierte entonces en 1> = BAm. Se considerará ade-
más, que H no varía a lo largo de la longitud 1m , en la dirección de B, por
lo que (2.17) conduce a
(2.18)
expresión semejante a la de la resistencia eléctrica en una región con pro-
piedades eléctricas uniformes análogamente.
4. Permeancia: la permeancia P es recíproca de la reluctancia y su uni-
dad SI es el henry. En el análisis de transformadores electrónicos se usa
mucho el término factor de inducción AL y coincide con lo que aquí se
llama permeancia. Tanto permeancia como reluctancia se utilizan para des-
cribir las características geométricas de un campo magnético, sobre todo
para calcular inductancias.
5. Flujo de fuga: entre dos puntos cualesquiera con diferentes poten-
ciales magnéticos en el especio existe un campo magnético, como indica la

55. Núcleo de
Núcleo de
hierro
Circuitos magnéticos S3
Flujo de borde
FIGURA 2.7 Efecto de borde de flujo en un entrehierro de aire.
ecuación (2.15). En cualquier circuito magnético práctico hay muchos
puntos-o, más generalmente-planos con potenciales magnéticos que difieren
entre sÍ. El campo magnético entre estos puntos se puede representar por
líneas de flujo o líneas de flujo magnético. Cuando estas líneas pasan por re-
giones del espacio (casi siempre zonas de aire, de aislamiento eléctrico o
miembros estructurales del sistema) en vez de seguir la trayectoria princi-
pal del circuito, se denominan líneas de flujo de fuga. En circuitos acopla-
dos, con dos o más devanados, la definición de flujo de fuga'o de dispersión
es específica: es el flujo que eslabona con una bobina pero no con la otra.
La dispersión es una característica de todos los circuitos magnéticos
y nunca puede eliminarse por completo. En c.c. o a frecuencia de c.a. muy
bajas, un blindaje magnético formado por láminas delgadas de material de
alta permeabilidad puede reducir el flujo de fuga. Esto se realiza no por
eliminación de las fugas, sino porque se establecen nuevos niveles de poten-
cial magnético en las trayectorias de fuga para dirigir mejor las líneas de
flujo a lo largo de la trayectoria deseada. Para más altas frecuencias de exci-
tación, un blindaje eléctrico formado por hojas de aluminio puede reducir
el flujo de fuga por disipación de su energía en corrientes inducidas en el
blindaje.
6. Dispersión de borde: esta dispersión es, en cieto modo, semejante
a la fuga y es un término usado para describir el ensanchamiento de las
líneas de flujo en un entrehierro de aire de un circuito magnético. La fi-
gura 2.7 ilustra este fenómeno.
La dispersión de borde se presenta en virtud de las líneas de flujo que
aparecen a lo largo de los lados y aristas de los dos elementos magnéticos
que forman el entrehierro y que se encuentran a diferentes potenciales
magnéticos. Es casi imposible calcular analíticamente la dispersión por
borde, excepto con la más simple de las configuraciones. El efecto relativo
de esta dispersión aumenta con la longitud del entrehierro.

56. 54 Circuitos magnéticos de CA. y C. C. estacionarios
2.5 LEY DE AMPERE APLICADA A UN CIRCUITO MAGNETICO
De acuerdo con la ecuación (2.2), la integral alrededor de cualquier trayec-
toria cerrada de la intensidad de campo magnético H, es igual a la corriente
eléctrica contenida dentro de la trayectoria. Conviene dar ciertas instruccio-
nes para usar el término integral: se dice que la corriente es positiva cuan-
do fluye en la dirección de avance de un tornillo de rosca a derechas que
girar según la dirección en que se recorre la trayectoria cerrada.
Apliquemos la ley de Ampére al circuito magnético simple, cuyo cor-
te transversal se muestra en la figura 2.8, constituido por un elemento mag-
nético de longitud media 1m , en serie con un entrehierro de aire de longitud
19, alrededor del cual están enrolladas tres bobinas cuyas vueltas son NI'
N 2 YN 3' La trayectoria del flujo magnético 1> se muestra a lo largo de la
longitud media del miembro magnético y a través del entrehierro de aire.
La línea de integración se recorrerá en el sentido de las manecillas del re-
loj. En las tres bobinas se indican las direcciones de corriente. Obsérvese
que para las direcciones indicadas, la dirección de corriente penetra al pla-
no del papel para los conductores incluidos por la trayectoria de integración
en las bobinas 1 y 3 y sale del plano del papel para la 2. Del primer miem-
bro de la ecuación (2.2) se obtiene
(2.l9)
Si el material magnético es lineal, hom'Jgéneo e isotrópico y si no se toma
en cuenta el flujo de fuga, la ecuación (2.19) se convierte en
(2.20)
donde Rm y Rg son las reluctancias del miembro magnético y del entrehie-
rro, respectivamente y, Mm y Mg representan los potenciales magnéticos o
caida de reluctancia a través de estos dos elementos del circuito magnético.
El segundo miembro de la ecuación (2.2) da
(2.21)
La combinación de la ecuaciones (2.20) y (2.21) proporciona
(2.22)
Se puede generalizar la ley de Ampére en base a este sencillo ejemplo esta-
bleciendo que "la suma de los potenciales magnéticos alrededor de cualquier

57. Ley de Ampére aplicada a un circuito magnético 55
Núcleo de
hierro
/,
'+--+--+-N,
FIGURA 2.8 Circuito magnético compuesto, con excitación múltiple (fmms)
trayectoria cerrada es igual a cero", análoga a la relación de voltaje de Kir-
chhoff en los circuitos eléctricos. Procede notar que esta generalización se
infiere aún sin los aspectos de simplificación usados para eliminar la forma
integral de la ecuación (2.19).
Ejemplo 2.1
Ilustremos el uso de la ecuación (2.22) dando valores numéricos para el cir-
cuito de la figura 2.8 y resolviendo el siguiente problema: determinar el
número de amperio-vueltas requerido para establecer una densidad de flujo
de un tesla en el entrehierro de aire. Aquí no tiene caso incluir las tres bo-
binas, así que se cancelarán 12 e 13 , y se buscará el producto l I N I • Sea 0.1
mm la longitud del entrehierro de aire. El miembro magnético se supone
construido de acero laminado M-19 con factor de pila de 0.9 y una longitud
lm de 100 mm; no se tomarán en cuenta las dispersiones de borde y. de fu-
ga. Las caídas de reluctancia pueden calcularse mediante cualquiera de los
miembros de la ecuación (2.20). Dado que la densidad de flujo en el en-
trehierro de aire es un dato, el cálculo de la intensidad de campo magnético
es simple:
B
H = --.!.. = 1.0 =7.95x 105 A/m
g /lo 4'17 X 10-7
Si no se toman en cuenta las dispersiones de fuga y de borde, la densidad
de flujo en el miembro magnético puede estimarse que es igual a la del
entrehierro de aire, dividida entre el factor de pila:

58. 56 Circuitos magnéticos de CA. y C. C. estacionarios
De la curva para el acero M-19 en la figura 2.4, en este valor de densidad
de flujo
H=130
Mm =130xO.l = 13
El número de amperio-vueltas requerido en la bobina de excitación
N/1 = Mm + Mg =92.5 A (amperio-vuelta)
Ejemplo 2.2.
Para la misma configuración y los mismos valores numéricos, determinar
los amperio-vuelta requeridos en la bobina de excitación para establecer un
flujo de 0.001 Wb en el entrehierro de aire. El problema se resolverá me-
diante reluctancias, sin tomar en cuenta las pérdidas por fuga, pero sí los
efectos de borde. Es preciso conocer el área de la sección transversal del
miembro magnético para determinar las reluctancias; se considerará que
Am = 16 cm2
aproximadamente.
Para determinar la reluctancia del entrehierro de aire se puede usar la
ecuación (2.18). Supóngase que los efectos de borde aumentan el áreaefec-
tiva del entrehierro en un 10% respecto al área de la superficie del acero
que lo limita. La reluctancia es entonces
R = 10-
4
=4.5 X 104
g (4'1TX 10-7
)(1.1 X0.0016)
Al no tomar en cuenta las fugas, existe el mismo flujo en todo el miembro
magnético. La densidad de flujo en el material magnético es
Bm = 0.9~~~16 =0.695 tesla
De la curva M-19 de la figura 2.4, la permeabilidad en amplitud es
La reluctancia del miembro magnético es
R = 1m = 0.1 =0.54 X104
m JLRJLoAm 10240(4'1TXIO-7
)(0.9xO.0016)

59. Limitaciones del método del circuito magnético 57
FIGURA 2.9 Circuito equivalente aproximado para la figura 2.8.
Los amperio-vuelta de excitación requeridos son
Hay varias conclusiones que pueden observarse de estos ejemplos sencillos:
1. El núcleo magnético con entrehierro de aire es análogo a un circuito se-
rie simple de C.C., como se muestra en la figura 2.9.
2. Debido a la simetría respecto al plano del papel del sistema de la figura
2.8, es aceptable la representación bidimensional del campo magnético.
3. El cálculo de reluctancias es un método más complejo que el uso de in-
tensidades de campo magnético para determinar las caídas de reluctancia.
4. Probablemente, se dudará tratar de obtener la solución de los problemas
inversos de los dos ejemplos anteriores; es decir, dado el número de am-
perio-vueltas de excitación, determinar el flujo (o densidad de flujo) en
el entrehierro de aire. Si se reflexiona un poco, se observará que no exis-
te una solución analítica directa a este problema debido a la no linealidad
de la característica B-H del material magnptico para acceso repetido du-
rante el proceso de iteración.
2.6 LIMITACIONES DEL METODO DEL 1..,RCUITO MAGNETICO
La cantidad de problemas de circuitos magnéticos prácticos que pue-
den resolverse mediante el método expuesto en las dos secciones preceden-
tes es más bien limitada, a pesar de la semejanza de este método con la
teoría elemental de los circuitos eléctricos de c.c. La discusión (4) subsi-
guiente al ejemplo 2.2 ilustró sólo una de las limitaciones. El objetivo de in-
troducir circuitos magnéticos es más con la intención de establecer algunos
principios y definiciones fundamentales, que como técnica para resolver
problemas. Las limitaciones de la teoría de los circuitos magnéticos se de-
rivan principalmente en la naturaleza de los materiales magnéticos, que
difiere ostensiblemente de la de los materiales conductores, aislantes y die-
léctricos. La mayor parte de estas limitaciones se había ya incluido en cali-

60. 58 Circuitos magnéticos de CA. y C. C. estacionarios
dad de "suposiciones" y se expuso en la discusión acerca de los circuitos
magnéticos. Es necesario precisar el significado de estas suposiciones:
1. Material magnético homogéneo: la mayoría de los materiales usa-
dos en sistemas electromagnéticos prácticos pueden considerarse
homogéneos dentro de regiones finitas del espacio, permitiendo el
uso de las formas integrales de las ecuaciones de Maxwell y los
cálculos de reluctancias y permeancias.
2. Materiales magnéticos isotrópicos; casi todos los aceros en láminas
y las ferritas se orientan por medio de procesos metalúrgicos du-
rante su producción. Los materiales orientados tiene una dirección
"favorecida" en su estructura granular, dando propiedades magné-
ticas superiores al ser magnetizados a lo largo de esta dirección.
Cuando existan estas características direccionales, siempre deben
tomarse en cuenta al analizar el circuito magnético, aunque en ge-
neral, las ecuaciones integrales aún son aplicables.
3. Característica no lineal; ésta es una propiedad inherente a todos los
materiales ferro y ferrimagnéticos, cosa que se puede tomar como
un obstáculo serio para cualquier método analítico que se intente
en sistemas electromagnéticos, pero hay varias razones para ase-
verar que no es así:
a) Como se puede apreciar en las curvas B-H expuestas en las figuras
2.1 y 2.4 hay una vasta sección de la curva, con la mayoría de los
materiales, que se puede aproximar a una línea recta. Muchos dis-
positivos se operan en densidades de flujo principalmente en es-
te intervalo y el dispositivo se puede considerar, en esencia lineal.
b) La característica B-H no lineal de los materiales magneticos se
manifiesta en la relación entre flujo y corriente de excitación en
sistemas electromagnéticos. La relación entre flujo y voltaje in-
ducido es una relación lineal, dada por la ley de Faraday, ecua-
ción (2.3). Es posible tratar por separado estas características de
excitación no lineales en muchos sistemas, tal como se hace en el
método del circuito equivalente para transformadores y motores
de inducción.
e) Una inductancia cuyo circuito magnético esté constituido por un
material magnético, es un elemento no lineal de un circuito eléc-
trico, como una bobina devanada en un toroide magnético. Sin
embargo, con un entrehierro de aire en el toroide magnético, se
reduce el efecto del material magnético no lineal sobre la induc-
tancia. Las máquinas rotatorias y muchos otros dispositivos
electromecánicos tienen entehierros de aire en sus circuitos mag-
néticos, permitiendo que la teoría básica de estos dispositivos se
describa mediante ecuaciones lineales. Como se señaló, las tra-

61. Limitaciones del método del circuito magnético 59
yectorias de los flujos de fuga se encuentran principalmente en
regiones no magnéticas del espacio y las inductancias asociadas
a estos flujos (inductancias de fuga) son elementos de circuitos
lineales.
4. Saturación; todos los materiales y dispositivos de ingeniería exhi-
ben cierto tipo de saturación, cuando deja de aumentar la salida al
incremementarse la entrada, como sucede en la saturación de un
amplificador electrónico. La saturación magnética, definida en la
sección 2.2, es una parte de la característica no lineal descrita en el
párrafo anterior, aunque generalmente se trata como caracterís-
tica separada de un circuito magnético. La saturación es de mucha
utilidad en numerosos dispositivos electromagnéticos, tales como
amplificadores magnéticos y reactores saturables. A los materiales
magnéticos usados en este tipo de dispositivos magnéticos de con-
mutación yen otros, se les denomina materiales de ciclo cuadrado,
pues sus ciclos de histéresis (figura 2.2) son aproximadamente
cuadrados o rectángulares, con lados paralelos a los ejes B y H.
La hipótesis de esta característica de ciclo permite un método de
análisis'matemático de circuitos magnéticos directo. En casi toias
las máquinas rotatorias es un aspecto más bien indeseable, que de-
be tenerse muy en cuenta en el diseño y operación de las máqui llas.
En circuitos magnéticos complicados, la saturación se presenta ge-
neralmente en una parte del circuito, antes de tener lugar en otras.
La operación de un circuito magnético dentro de la región satura-
rada de su curva B-H se traduce usualmente en baja eficiencia en
energía y en calentamiento indebido. La frontera entre la parte no
"saturada" y la "saturada" de la curva B-H se conoce como rodilla
de esa curva y es la región donde la curva está más pronunciada ha-
cia la horizontal. En todos los materiales, con excepción de los de
ciclo cuadrado, la rodilla es un efecto gradual.
5. Flujos de fuga y de borde; ésta es una propiedad de todos los cir-
cuitos magnéticos. Es un tema que se trata mejor como parte de la
solución generalizada de la distribución de campo magnético en el
espacio, denominada a menudo problema de valores en la frontera.
En muchos circuitos magnéticos de máquinas rotatorias, las fron-
teras entre regiones del espacio diferentes de materiales magnéticos
(una frontera entre un material ferromagnético y el aire, general-
mente) son a menudo superificies planas o cilíndricas, que se con-
vierten en líneas rectaso círculos en sección transversal bidimensional.
Las inductancias de fuga pueden calcularse en tales regiones, deter-
minando la reluctancia o permeancia de la región mediante fórmu-
las integrales sencillas. Los coeficientes especiales o geométricos
se conocen como coeficientes de permeancia. En la sección 2.10 se
da un ejemplo de este método.

62. 50 Circuitos magnéticos de CA. y C. C. estacionarios
2.7 EL CIRCUITO MAGNETICO IDEAL
El circuito magnético ideal se puede definir mediante las hipótesis discuti-
das en la sección anterior; el circuito magnético ideal está compuesto por
materiales magnéticos homogéneos, isotrópicos y lineales, y posee una
permeabilidad infinita. Generalmente, se ignora el efecto de borde en el
entrehierro de aire; un material magnético con permeabilidad infinita es
análogo a un conductor eléctrico perfecto; esto es, un conductor con con-
ductividad eléctrica infinita; las relaciones entre B y H son análogas a las
que existen entre J y E en el conductor perfecto. Estas relaciones se esta-
blecen en casi todos los textos de teoría del campo y aquí sólo se sinteti-
zarán. Obsérvese la figura 2.10, que muestra la frontera entre dos regiones
de diferente permeabilidad magnética. La región 1 es el espacio libre con
111 = 110; la 2 es el material magnético con 112 -+ 00 • Las condiciones de
frontera, en función de las componentes de campo H n y Bn' normales a
la frontera y las tangenciales a la misma H t y Bt se demuestra que son
(presuponiendo que no hay densidad de corriente en la superficie de fron-
tera):
B'n = B2n
(2.23)
donde los subíndices 1 y 2 se refieren a las regiones respectivas. Dentro del
material magnético donde la región 2,
B2/
H2/ = -~O( fL2~OO)
fL2
(2.24)
muestra que la componente tangencial de la intensidad de campo en el ma-
terial magnético es cero, a medida en que la permeabilidad se aproxima al
infinito. Por consiguiente, partiendo de (2.23), la componente tangencial
del campo magnético en la región 1, en la frontera, es también cero. Ade-
más, en la ecuación (2.15), puede verse que M,el potencial magnético, es
nulo a lo largo de una trayectoria paralela al campo tangencial, dentro del
material magnético. Hay dos conclusiones importantes de este análisis:
1. Las líneas de flujo o líneas de flujo magnético son perpendiculares a la
superificie de un conductor magnético perfecto.
2. No hay diferencia de potencial o caída de reluctancia entre puntos o pla-
nos en diferentes posiciones, dentro de un conductor magnético perfecto.
Estas características del circuito magnético ideal se usan frecuentemente,
en el análisis de circuitos magnéticos.

63. Ley de Faraday y voltaje inducido 61
FIGURA 2.10 Frontera entre materiales magnéticos
2.8 LEY DE FARADAY Y VOLTAJE INDUCIDO·
Para relacionar una variación en el tiempo del flujo magnético, con una va-
riación de campo eléctrico alrededor de una trayectoria cerrada, volvemos
a la ley de Faraday, ecuación (2.2) de la sección 2.1:
~E.dl= - f aa~ ·ds
s
(2.2)
Con el objeto de determinar la dirección del vector de campo eléctrico E,
se usan los dedos de la mano derecha para indicar la dirección positiva res-
pecto a la trayectoria cerrada. El pulgar indicará la dirección de ds; una
densidad de flujo B en la dirección de ds, aumentando con el tiempo, se
traduce en una dirección para E, opuesta a la dirección positiva respecto a
la trayectoria cerrada. El primer miembro de la ecuación (2.2) se denomi-
na "fem" o voltaje inducido e. El derecho se definió en la ecuación (2.16)
como el flujo magnético. Con estas definiciones, la forma escalar de la ley
de Faraday es
d</>
e=--
dI
(2.25)
Se define A, eslabonamientos de flujo, como el producto del número de
vueltas N por el flujo </> que eslabona con N:
(2.26)
Si la integral de línea en la ecuación (2.2) se evalúa alrededor de N trayec-
torias cerradas, que representan N vueltas en serie, la ecuación (2.25) se
convierte en
dA .e=--
dI
(2.27)

64. 62 Circuitos magnéticos de C.A. y C.C. estacionarios
La ley de Faraday es aplicable al caso en que la variación con el tiempo del
voltaje provenga de un flujo variable en el tiempo, eslabonando a una bo-
bina estacionaria, como en un transformador, una bobina o conductor,
moviéndose físicamente a través de un flujo estático, en cualquier combi-
nación de las dos situaciones. Para el caso de un conductor que se desplace
en un campo magnético, el voltaje inducido se denomina a menudo "fem
de movimiento" y se define como
fem de movimiento ~(U X B)·dl (2.28)
donde U es el vector velocidad del conductor. Una aplicación especial de
esta relación es útil en el análisis de máquinas rotatorias. Si un conductor
de longitud 1, se mueve perpendicularmente a la dirección de un campo
magnético uniforme, con una velocidad constante la ecuación (2.28) se
transforma en
fem de movimiento = BlU (2.29)
La dirección asociada a la fem de movimiento, se puede determinar a par-
tir de los procesos de integración y reglas vectoriales expresadas en el se-
gundo miembro de la ecuación (2.28), de manera semejante al proceso
indicado por la ecuación (2.2), aunque cuando es aplicable la ecuación
(2.29), es preferible seguir una regla mucho más fácil, conocida como
regla de la mano derecha: colocar los dedos pulgar, ídice y medio de la
mano derecha perpendiculares entre sí. Si el pulgar representa la dirección
de U y el Índice la de B, el medio representará la dirección de la fem a lo
largo de l.
2.9 RELACIONES ENERGETICAS EN UN CAMPO MAGNETICO
La energía potencial en un campo magnético se deteermina en el espacio
mediante la integral de volumen
w= - B·Hdv= - /lB dv= - -dv1f 1 f. 2 11B
2
2 vol 2 vol 2 vol JL
(2.30)
Ejemplo 2.4
Determinar la energía magnética potencial en el entrehierro de aire y en el
material magnético del circuito magnético del ejemplo 2.2. De acuerdo a
las hipótesis aplicadas en ese ejemplo, la distribución de campo era unifor-
me tanto en el entrehierro, como en el material magnético, facilitando el

65. Inductancia 63
uso de la ecuación (2.30). En el entrehierro, Bg = 0.001/(1.1 X 0.0016)
0.57 teslas.
w=l.(Bi)<VOl)=l.( 0.57
2
)<l.lxO.OO16x 10-4
)
2 /Lo 2 4?T X 10-7
=0.0228 J
Dentro del material magnético, Bm = 0.695 teslas;
Hm =54 Alm (de la figura 2.4)
1 1
w= "2Bm x Hm xvol="2 xO.695 x54X(0.9XO.OO16) xO.l
=0.0027 J
Está claro que la mayor parte de la energía se requiere para establecer
el flujo en el entrehierro de aire.
2.10INDUCTANCIA
La inductancia es uno de los tres parámetros en la teoría de los circuitos
eléctricos y se define como el eslabonamiento de flujo por amperio:
A N1>
L=-=-i i
(2.31)
Analícese un toroide magnético devanado con "n" bobinas diferentes,
aisladas unas de otras eléctricamente, como se muestra en la figura 2.11.
Desde el punto de vista magnético, las bobinas están eslabonadas por el
flujo <p, y cada una se eslabona con cierta parte de este flujo. Para este sis-
tema, la inductancia genérica entre dos bobinas k, m puede determinarse
así:
flujo que eslabona a la bobina k debido a la corro en la m
Lkm = -----------------------------------------------
corriente en la bobina m
Matemáticamente, lo anterior puede expresarse como
Nk (k1>m)
Lkm = ----o---
1m
(2.32)

66. 64 Circuitos magnéticos de C.A. y C.e. estacionarios
Núcleo de
hierro
FIGURA 2.11 Toroide con n devanados
donde k es la porción del flujo debido a la bobina m, que eslabona a la bo-
bina k y se conoce como coeficiente de acoplamiento. De acuerdo a la defi-
nición, su valor máximo es de 1.0. Un valor dek menor a la unidad, se atribu-
ye al flujo de fuga en las regiones entre las bobinas k y m. Probablemente,
se observará que cuando los subíndices en las ecuaciones (2.32) son igua-
les, la inductancia es la auto-inductancia y cuando difiere, se trata de la
inductancia mutua entre las bobinas k y m. Las inductancias mutuas son
simétricas, es decir.
(2.33)
La inductancia puede relacionarse con los parámetros magnéticos es-
tablecidos antes en este capítulo. En la ecuación (2.32), if>m puede susti-
tuirse mediante la ecuación (2.17), por Mm' potencial magnético de la
bobina m, dividido entre la reluctancia R del circuito magnético; el poten-
cial magnético de la bobina m es N mIm. Realizando estas sustituciones en
la ecuación (2.32) se obtiene
kNkNm
Lkm = R =kNkNmP (2.34)
donde P es la permeancia, recíproca a la reluctancia. En un circuito magné-
tico simple, como el toroide, (figura 2.11), se puede sustituir la reluctancia
dada por (2.18) en (2.34), dando
(2.35)

67. Inductancia 65
donde 111' Al' Y lt son la permeabilidad, el área del corte transversal y la
longitud media del toroide, respectivamente.
La energía almacenada puede expresarse en función de la inductancia:
(2.36)
Al sustituir L, dada por la ecuación (2.31) y Ni potencial magnético, dado
por la ecuación (2.17), la (2.36) puede expresarse como
w= .lR</>2
2
(2.37)
Aquí cabe comparar estas expresiones de energía, con las expresadas en
función de magnitudes de campo, dadas en la ecuación (2.30), de la sección
anterior. Ambas formas son equivalentes.
Ejemplo 2.5
Calcular la auto-inductancia de la bobina 1 del ejemplo 2.2 (figura 2.8). A
fin de obtener un valor numérico para la inductancia, se debe especificar el
número de vueltas de la bobina. Supóngase que son 10.
N,</>, (10)(0.001)
L" = -/-,- = 5.04 =0.00198 henry
Si se tomaran 100:
(100)(0.001)
L" = 0.504 = 0.198 henry
Nótese que la inductancia varía con el cuadrado del número de vueltas.
Ejemplo 2.6
Calcular la inductancia mutua entre las bobinas 1 y 2, del ejemplo 2.2., su-
poniendo 10 vueltas en la 1 y 20 en la 2. Dado que se ignoraron las fugas
en ese ejemplo, k = 1.0; es decir, todo el flujo producido por la bobina 1
eslabona a la 2:
(20)(0.001)
L2r= L'2 = 5.04 = 0.00398 henry
Ejemplo 2.7
Calcular la inductancia de la bobina 1 del toroide de la figura! 2.11, supo-
niendo que el material es una aleación de 48% de Ni y que la circunferencia

68. 66 Circutos magnéticos de CA. y C. C. estacionarios
media del toroide es 0.1 m, con una área de la sección transversal igual a
0.0016 m2
y con un factor de pila de 0.9. El número de vueltas es 10.
De la curvaB-H para una aleación al 48% Ni, en la figura 2.4, se obser-
va que la permeabilidad absoluta en amplitud es 0.115 en el intervalo li-
neal. Usando la ecuación (2.35) con k =/1.0, se obtiene
(HY)(0.OOI6)(0.115)
L(( = 0.1 =0.184 H
Como se ve, la inductancia de este toroide es mucho mayor que la del cir-
cuito de la figura 2.8, usado en el ejemplo 2.5, aunque las longitudes me-
dias, áreas y vueltas de devanados sean las mismas. Esto se atribuye al
efecto del entrehierro en el circuito de la figura 2.8 y también a la per-
meabilidad mayor del toroide.
Ejemplo 2.8
Determinar la inductancia de la ranura de armadura, cuya sección trans-
versal se muestra en la figura 2.12, suponiendo que la parte baja de la ra-
nura de altura y 2 está llena de conductores que llevan una densidad de
corriente J ampere/m2
, perpendicular al plano del papel. Supóngase tam-
bién que el material magnético de acero que rodea la muesca tiene una
permeabilidad magnética infinita. En este ejemplo se calcula una expresión
para la "inductancia de ranura" que es una componente importante de la
inductancia de fuga en muchos tipos de máquinas rotatorias, también se
ilustra el uso de los coeficientes de permeancia y el concepto de eslabona-
mientos de flujo parciales. Se expone además el uso de la simetría, pues la
figura 2.12 representa la sección transversal de una parte de una armadura
de longitud la' en la dirección perpendicular al plano del papel. Es posible
el análisis bidimensional, ya que sólo existe una componente de la densidad
de corriente J. Suponer una permeabilidad finita del material magnético
en los lados y base de la ranura significa que las líneas de flujo emergen
perpendicularmente de los lados. Por consiguiente, las líneas de flujo pue-
den considerarse como componentes horizontales.
Eslabonamiento de flujo parcial, es el término utilizado para descri-
bir las líneas de flujo que eslabonan sólo una porción de un conductor
eléctrico o una parte de las vueltas de una bobina. En este ejemplo, una lí-
nea de flujo a través de la ranura a una altura cualquiera menor a Y2' esla-
bona únicamente con la corriente abajo de la línea de flujo. (La trayectoria
de la línea de flujo se cierra a través del material magnético, como se mues-
tra). Se debe haber observado que las supuestas líneas de flujo horizontal
no son del todo correctas en una configuración práctica, pero sería impo-
sible obtener una solución analítica sin esta conjetura.

69. Material
Conductor de
la densidad de
la corriente J
FIGURA 2.12 Sección transversal de una ranura
Inductancia 67
Analizar el flujo diferencial en la "franja" a una distancia y de la base
de la ranura; la franja tiene una altura dy, una anchura la (hacia el papel) y
una logitud t2 • El potencial magnético que encierra esta franja es
La permeancia de la franja es
El flujo a través de la franja es, de acuerdo con la ecuación (2.17):
El flujo total a través del entrehierro es
El potencial magnético total de la ranura es
La permeancia de la porción inferior de la ranura es
y la de la parte superior

70. 68 Circuitos magnéticos de C. A. y C. C. estacionarios
La inductancia de la ranura es
2.11 CIRCUITOS MAGNETICOS QUE CONTIENEN IMANES
PERMANENTES
El segundo tipo de fuente de excitación que se usa comúmente para su-
ministrar energía a circuitos magnéticos y a otros tipos de dispositivos me-
cánicos es el imán permanente. La naturaleza de estos imanes se describió
brevemente en la sección 2.2. Existe desde luego, marcada diferencia en-
tre una bobina de excitación eléctrica y una fuente de imán permanente,
por lo que habrá ciertas diferencias en los métodos de análisis usados en
los dos tipos de circuitos magnéticos. En realidad, estas diferencias son
relativamente pequeñas y se relacionan con el mismo uso del imán perma-
nente, más que con las otras partes del circuito magnético.
Una bobina de excitación eléctrica ~nergizada por una fuente de vol-
taje o corriente continua sufre compautivamente poco la influencia del
circuito al que excita, salvo durante eondiciones transitorias, cuando se
producen cambios en el circuito magnético o en el circuito eléctrico ex-
terno. En condiciones estacionarias, con una fuente de voltaje constante,
la corriente en la bobina se determina solamente por la magnitud de la
fuente de voltaje y la resistencia a la c.c. de la bobina.
En un circuito excitado con un imán permanente, las condiciones de
operación de éste las determina en gran medida el circuito magnético ex-
terno. Además, el punto de operación y la operación subsecuente del imán
dependen de la forma en que éste se instala físicamente en el circuito y de
si se magnetiza antes o después de instalarse. En muchos casos el imán de-
be pasar por una rutina estabilizadora antes de usarse; por supuesto, estos
aspectos carecen de importancia con las fuentes de excitación eléctricas.
Los detalles necesarios para encontrar la excitación requerida para estable-
cer cierta densidad de flujo en un entrehierro de aire de dimensiones co-
nocidas se indicaron el los ejemplos 2.1 y 2.2 para bobinas de excitación
eléctrica. Por lo que respecta a una excitación por imán permanente, la
meta es determinar las dimensiones del imán (longitud y sección transver-
sal). El primer paso en este proceso es escoger un tipo específico de imán
permanente, pues cada tipo de imán posee una característica única que
condiciona parcialmente las dimensiones. del imán requerido. En un dise-

71. Circuitos magnéticos con imanes permanentes 69
ño práctico, esta elección se basa en factores de costo, disponibilidad, di-
seño mecánico (requisito de dureza y resistencia),espacio disponible en el cir-
cuito magnético, así como en las especificaciones de operación magnética
y eléctrica del circuito. La mayoría de los imanes permanentes no son ma-
quinables y por lo general deben usarse en el circuito tal como los entrega
el industrial. La tabla 2.3 resume algunas de las características pertinentes
de los imanes permanentes comunes.
La excitación por imán permanente se selecciona para una densidad
de flujo especificada para el entrehierro, con la ayuda del segundo cuadran-
te de la curva B-H, llamada frecuentemente curva de desmagnetización pa-
ra un tipo específico de imano Esta curva se introdujo en la sección 2.2
como figura 2.3. En la figura 2.13 se muestran las características B-H de
algunos imanes permanentes de alnico y en la 2.14 las de algunos imanes
de ferritas. También, en esta figuras se exponen las curvas de producto de
energía (el producto de B en Gauss por H en Oersteds) y de razón de
permeancia (relación de B entre H). El producto de energía es una medi-
da de la energía magnética que el imán permanente es capaz de suminis-
trar a un circuito externo, en función de su densidad de flujo e intensidad
de campo. En general, un imán permanente se usa con el máximo de su
eficiencia, cuando se opera en las condiciones de B y H que se traducen en
un producto máximo de energía. Los coeficientes de permeancia son de
utilidad en el diseño del circuito magnético externo. Se habrá observado
que este parámetro en realidad es una permeabilidad relativa, como se de-
finió antes, pues, 110 es igual a 1.Oen el sistema CGS de unidades. Los sím-
bolos Bd para la densidad de flujo magnético y Hd para la intensidad de
campo seusanparadesignar las coordenadas de la curva dedesmagnetización.
Una vez que se seleccionó el tipo de imán permanente, el diseño de
las dimensiones del imán obedece el método general de la sección 2.4. De
la ley de Ampére,
donde
Ift == intensidad de campo magnético del imán, en Oe.
~, = longitud del imán, en cm
(2.38)
~ = intensidad de campo en el entrehierro = densidad de flujo en
el entrehierro (en unidades CGS)
~= longitudes del entrehierro, en cm
~nl::: caída de reluctancia en otras porciones ferromagnéticas del
circuito, en Gilberts
El área de la sección transversal del imán se calcula a partir del flujo reque-
rido en el entrehierro, de la siguiente manera:

72. Tabla 2.3 Características de los imanes permanentes
Tipo Densidad de Fuerza coercitiva Prad. de energía máx. Permeabilidad de
flujo residual-Br (gauss) He (oersted) (gauss-oersted X 1<Y') rebobinado (promedio)
Acero al carbón 1% 9,000 50 0.18
Acero al cromio 3.5% 9,500 65 0.29 35
Acero al cobalto 36% 9,300 230 0.94 10
AInico I 7,000 440 1.4 6.8
AInico IV 5,500 730 l.3 4.1
AInico V 12,500 640 5.25 3.8
AInico VI 10,500 790 3.8 4.9
AInico VIII 7,800 1,650 5.0
Cunife 5,600 570 1.75 1.4
Cunico 3,400 710 0.85 3.0
Vicalloy 2 9,050 415 2.3
Platinum-cobalt 6,200 4,100 8.2 l.l
Ferrita de barioisotópica 2,200 1,825 1.0 l.l5
Tipo A orientado 3,850 2,000 3.5 1.05
Tipo B orientado 3,300 3,000 2.6 1.06
Ferrita al estroncio
Tipo A orientado 4,000 2,200 3.7 1.05
Tipo B orientado 3,550 3,150 3.0 1.05
Cobalto-tierra rara 8,600 8,000 18.0 1.05
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o
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i
l~'

73. Razón de permeancia
8.5 9 9.5 10 11 12 13 14 15 16 18 20 22 25 30 40 50 75 150
8.0 .::-"" '>', ,,"'",,"'" " " "' "' ¡ ¡
" Producto de energía (Bd Hd X 106)
14. 13. 12. 11. 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.7.5 ~
7.0 ~
L L Vi / /y/ / / 1/ 1
14
6.5 '-....
6.0 ~
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1--1--::..-~- ~ rTL....- -1-
I/i /
1200 1000 800 600
Fuerza desmagnetizan te H (Oe)
V Y/j.VJ
~:A7 /
~V V
./
J~v
h400 200
'/
4
2
o
O
o
o
:>
"O
<:
FIGURA 2.13 Curvas de desmagnetización y productos de energía para Alni-
cos 1 a 8. Clave: 1, Alnica 1; 2, Alnico 11; 3, Alnico III; 4, Alnico IV; 5, Alnico
V; 6. Alnico V-7; Alnico VI y 8, Alnico VIII.
1.5
~
1.75
'-....
Razón de permeancia
2.0 2.5 3.0
~ ". .
4.0 5.0 6.0 8.0 10.0 30.0
,
1.25 '--- Producto de energía (BdHd x 106
)
504540353025201510050~
1.0 "
0.75 ____ x
-:r:
:5"
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0.50 ~ 'c,
~ 5.0
e 4.5
., 4.0
~ ~~
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~
/ / /
----
~~~~
V ~-:::;~../V
-¡..--
-- -V
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~//JI / 1/ I l- .....
V// / lIy¡r1 -/ ~ .....
~/-r/Vj.~1 ¡...-
V k :/ -/viv¡ V
V
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V
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~ 3.5
0.25 - 8 ¿g
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--- ~ .....-:: / I¡-- 1-- ¡.-
V V
1 -g
o 2.0
-6 1.5
O 1.0
0- .t 0.5
¡--
r-- --- ~
L.~~~
----
V /"
./ ¡--
-~
3.2 3.0 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
Fuerza desmagnetizante H (kOe)
o
O
FIGURA 2.14 Curvas de desmagnetización y de productos de energía para
imanes de cerámica Indox. Clave: 1, Indox 1; 2, Indox 11; 3, Indox V; 4, In-
dox VI-A

74. 72 Circuitos magnéticos de C.A. y c.c. estacionarios
donde
Bd = densidad de flujo en el imán, en Gauss
A m = área de la sección transversal del imán, en cm2
Bg == densidad de flujo en el imán, en Guass
Ag = área de la sección transversal del entrehierro, en cm2
•
K 1 = factor de fuga
(2.39)
El factor de fuga K 1 es la razón del flujo que emerge del imán entre flujo
en el entrehierro. La diferencia entre estos dos flujos es el flujo de fuga en
las regiones del espacio entre el imán y el entrehierro de aire. El factor de
fuga puede determinarse por los métodos descritos en secciones previas
de este capítulo o mediante otros métodos estándares más exactos. A tra-
vés del tiempo se han establecido cierto número de fórmulas para las con-
figuraciones comunes utilizadas encircuitosmagnéticos deimán permanente
y pueden encontrarse en las referencias bibliográficas 1,2 Y 3. Dos de estas
fórmulas se ilustrarán en los ejemplos que siguen.
Ejemplo 2.9
Determinar la longitud y área de la sección transversal de los imanes de la
figura 2.15 para producir una densidad de flujo de 2500 G en el entrehie-
rro. El imán permanente que va a usarse es alnico V; las dimensiones en la
figura 2.15 son: 19 = 0.4 cm, W = 6.0 cm y el área del entrehierro es =
4.0 cm2
(2 cm X 2 cm). Se supone que la reluctancia en las porciones de
hierro blando del circuito es insignficante, dando una caída de reluctancia
Vm i igual a cero. Se estima que el factor de fuga es de 4.0 y que el imán
se operará en su condición de producto de energía máximo (rodillo de la
curva de desmagnetización en la figura 2.13).
De la ecuación (2.39):
BgAgK¡ (2500)(4.0)(4.0) 2
Am = Bd = 10,500 = 3.8 cm
De la ecuación (2.38), observando que Hg = Bg en unidades CGS,
(2500)(0.4) .
1m = 450 =2.22 cm= H (en la fIgura 2.15)
En la figura 2.15, la dimensión lm determina lasdimensionesH y G. Ahora,
se debe comprobar la hipótesis, sobre el factor de fuga. De la ref. 2, se to-

75. Circuitos magnéticos con imanes permanentes 73
Imán
~I~~-------w--------~>~I
FIGURA 2.15 Circuito magnético con imán permanente
ma un factor de fuga para esta configuración, que se basa en mediciones
experimentales y cálculos semejantes a los descritos previamente en este
capítulo, con un valor
(2.40)
donde
CH = perímetro de la sección transversal del circuito de long. H
Cw = perímetro de la sección transversal del circuito de long. W
Ce = perímetro de la sección transversal del circuito de long. G
El factor 0.67 en el tercer término dentro del paréntesis rectangular en la
ecuación (2.40) procede de la característica de los imanes permanentes de
tener una "zona neutral" que no contribuye a la figura. A partir de los calcu-
los de longitud y área anteriores, es posible calcular los parámetros de lon-
gitud en la ecuación (2.40) y estimar los perímetros de las diversas secciones
transversales: H = 2.22 cm, G = 0.91 cm, W =6.0 cm, Ce =8 c, Cw
=8.0
cm y CH = 7.8 cm. Sustituyendo estos valores en la ecuación (2.40) se
obtiene
K] =4.062
Este valor puede introducirse en la ecuación (2.39), originando un cambio
ligero en el área A In del imán. A la vez este cálculo puede requerir algunos

76. 74 Circuitos magnéticos de C.A. y C.C. estacionarios
cambios en otras dimensiones usadas en la ecuación (2.40), dando un nue-
vo valor para el factor de fuga. Algunas iteraciones de estas fórmulas, por
lo general son necesarias para obtener un conjunto uniforme de dimensio-
nes para el circuito magnético total.
El valor elevado del factor de fuga obtenido para la configuración de
la figura 2.15 indica que éste no es un circuito magnético muy eficiente.
Dicho de otra manera, el imán permanente se encuentra en una posición
errónea dentro del circuito magnético. La fuga alta en esta configuración
puede fácilmente explicarse por medio de la ley de Ampére y la teoría ele-
mental de los circuitos magnéticos presentada con anterioridad en este
capítulo. Un uso mucho más eficiente del imán permanente en esta confi-
guración se obtiene colocándolo adyacente al entrehierro, como se mues-
tra en la figura 2.16. De la Ref. 2, el factor de fuga para la figura 2.16 es
(2.41)
Con las mismas dimensiones para todas las secciones del circuito de la fi-
gura 2.16 como se usaron para la ecuación 2.15 (aunque esto pudiera re-
sultar en un imán permanente de dimensiones excesivas), al sustituirlas en
la ecuación 2.41 se tiene
K¡ = 1.624
que es menor a la mitad del factor de fuga encontrado para la configura-
ción de la figura 2.15
Es interesante ver el volumen de material de imán permanente nece-
sario para establecer un flujo dado en el entrehierro de aire. Al resolver para
Am en la ecuación (2.39) y para 1m en (2.38) (sin considerar a Vmi) Y
observando que en el sistema CGS Hg = Bg, se obtiene
(2.42)
Se ve que el volumen de imán es una función del cuadrado de la densidad
de flujo en el entrehierro. La importancia del factor de fuga para reducir
al mínimo el tamaño del imán es obvia observando esta ecuación. El de-
nominador de la ecuación (2.42) es el producto de energía, que es función
del material de imán permanente y del punto de operación en la curva de
desmagnetización del imán.
El parámetro razón de permeancia, mostrado en las figuras 2.13 y 2.14,
es la razón de la permeancia equivalente del circuito externo,AgK¡ /lg en-

77. Circuitos magnéticos con imanes permanentes 75
FIGURA 2.16 Uso eficiente de imanes permanentes en un circuito magnético.
tre la permeancia del espacio ocupado por el imán permanente A m 11m
en el sistema CGS de unidades. Esto puede observarse resolviendo para
Bd en la ecuación (2.39) y para Hd en la (2.38), (sin tomar en cuenta a
Vmi) Y formando la razón
(2.43)
La ecuación (2.43) es tan simple en apariencia que puede engañar, ya que
el trabajo para obtener una expresión analítica para K 1 es muy difícil, co-
mo se vio. Además, la caída de reluctancia V m i en las partes de hierro,
blando del circuito magnético debe incluirse de alguna manera en la ecua-
ción (2.43). Esta es una tarea aún más difícil, pues la caída de reluctancia
es función del punto de operación del imán permanente Bd Hd Y de los
efectos del flujo de fuga en el hierro. La caída de reluctancia se introduce
por lo general mediante un factor similar al factor de fuga y se basa en me-
diciones de configuraciones de circuitos prácticos. Las diversas expresiones
en la ecuación (2.43) tienen valor al observar las relaciones generales entre
parámetros magnéticos al variar la permeancia del circuito externo. Esto
conduce al segundo tipo de imán permanente.
Los circuitos con entrehierro variable se describirán brevemente con
la ayuda de la figura 2.17. Sin olvidar la ecuación (2.43), obsérvese la va-
riación de B y H de un imán permanente, al modificarse la permeancia
del circuito externo. La figura 2.17 muestra una característica B-H típica
de segundo cuadrante para un imán permanente. En teoría, es posible te-
ner una permeancia infinita en el circuito magnético externo que corres-

78. 76 Circuitos magnéticos de C.A. y C. C. estacionarios
H (Oe)
FIGURA 2.17 Característica B-H de segundo cuadrante para un imán perma-
nente.
pondería a ~ = 90° en la ecuación (2.43), con un punto de operación de
imán en Bd = Br Y Hd = O de la figura 2.17. Este sería aproximada-
mente el comportamiento de un imán permanente con circuito externo,
sin entrehierro y con un miembro de hierro blando de alta permeabilidad,
llamado a menudo "conservador". En la práctica, sin embargo, siempre
existe un pequeño entrehierro equivalente y una caída de reluctancia redu-
cida en el conservador y el punto de operación se encuentra a la izquierda
de Br Y ~ es menor de 90° .
Para un entrehierrofinito, el punto de operación se encuentra en algún
punto A de la curva B-H y el imán permanente creará la intensidad de
campo magnético HA para compensar la caída de reluctancia en el entre-

79. Circuitos magnéticos con imanes permanentes 77
hierro yen otras porciones del circuito magnético externo. Si se incremen-
ta el entrehierro, Pge se reduce y el imán debe generar una intensidad de
campo magnético mayor; Hd. En la ecuación (2.43) se ve que a decrece y
que el punto de operación en la figurar 2.17 se desplazará más a la izquier-
da hasta el punto B en a B. Si el entrehierro regresa en seguida a su valor
original, el punto de operación no regresa a A, sino más bien a C. Si el en-
trehierro varía sucesivamente entre los dos valores, el punto de operación
trazará un ciclo de histéresis menor entre B y C, como se muestra en la fi-
gura 2.17. La pendiente de este ciclo se conoce como permeabilidad de
rebobinado; dado que se trata de una pendiente en el plano B-H, algunas
veces se le llama permeabilidad incremental, como se definió en la ecuación
(2.11). Esta premeabilidad es un parámetro importante de los imanes per-
manentes en aplicaciones de entrehierros variables. En la tabla 2.3 se dan
valores de este parámetro para los imanes permanentes expuestos.
Bibliografía
1. H. C Roters, Electromagnelic Deuices, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1941.
2. "Design and Applications of Permanent Magnets" Indiana General Corporal Ion
Manual No. 7, Valparaiso, Indiana, 1968.
3. "Permanet Magnet Design", Thomas and Skinner, Inc, Bulletin M303 Indianáp >lis,
Indiana 196'1.
4. L. V. Bewley, Two-Dimensional Fields in Electrical Engineering, Macmillan Publis-
hing Co., Inc., Nueva York, 1948.
5. P. Silvester, Modern Electromagnetic Fields Prendice -Hall, Inc_, Englewood Cliffs,
N. J., 1968.
Problemas
2.1 De las características materiales magnéticas mostradas en la figura 2.4, determinar
la permeabilidad en amplitud relativa, en una densidad de flujo de 1.0 T para los
siguientes materiales: a) Deltamax, b) M-19 Ye) AISI 1020.
2.2 En la sección 2.3 se estableció que el área comprendida por el ciclo de histéresis
en c.c. de un material magnético, es igual a la pérdida por histéresis de ese ma·
terial. Con referencia a la figura 2.2, encontrar las unidades SI de esta pérdida a
partir de las coordenadas del ciclo de histéresis.
2.3 En la figura 2.4, determinar la permeabilidad diferencial relativa para el material
48NI, en una densidad de flujo de 0.8 T.
2.4 El acero al silicio al 3% designado como M-19 en la figura 2.4 se usa mucho en
transformadores de potencia pequeños, en motores de inducción y en otros dispo-
sitivos electromagnéticos utilizados en circuitos electrónicos. En este capítulo se
estableció que hay una parte de la característica B-H, en la cual la relación es apro-
ximadamente lineal. El'to no se aprecia necesariamente en la figura 2.4, pues se
trazaron las curvas en papel semilogarítimico con el objeto de describir la carac-
terística en un intervalo más amplio. Trazar de nuevo la curva M-19 en papel de

80. 78 Circuitos magnéticos de C.A. y C,c. estacionarios
coordenadas rectangulares y determinar el intervalo de B, dentro del cual la ca-
racterística pueda considerarse lineal. ¿Cuál es la permeabilidad relativa en este
intervalo?
2.5 Derivar una ecuación para describir la línea recta o porción lineal de la curva B-H
para M-19, obtenida en el problema 2.4.
2.6 Si fuera necesario usar la característica. B-H de M-19, en un programa de diseño de
computadora digital para un transformador en electrónica ¿cuál. sería el modelo
de esta característica, incluyendo saturación y características iniciales?
2.7 Discutir el significado físico de la primera ecuación de Maxwell (2.1), en base a la
naturaleza de las líneas de flujo magnético (líneas de corriente magnética).
2.8 Un entrehierro tiene un área de una pulgada cuadrada y una longitud de un mm.
¿Cuál es la reluctancia y la permeancia de este entrehierro en unidades SI?
2.9 En el entrehierro del problema anterior existe un flujo de 0.02 Wb. Suponiendo
que no hay efectos de borde, ¿cuál es el potencial magnético (FMM) a través del
entrehierro?
2.10 Tómese una región del espacio descrita por coordenadas cilíndricas convencionales
r, <p y z. Un solenoide infinitamente largo de radio rl' se extiende a lo largo del
eje z y tiene su centro en el mismo eje. El solenoide tiene N vueltas/m de longitud
y porta una corriente de 1 Amp. No se tome en cuenta la pequeña componente
z de la corriente y supóngase que ésta es únicamente "circular" para cualquier va-
lor finito de z. En cualquier punto del espacio (por ejemplora , <Pa y Za) ¿con qué
coordenada dimensional varía la intensidad de campo magnético H? La ley de
Biot-Savart puede ser de utilidad para responder a esta pregunta. ¿Cuál compo-
nente de H existe en cualquier punto del espacio? Contestar estas preguntas para
puntos interiores y exteriores del radio, rl'
2.11 Mostrar que Hz = NI para r < rl en el solenoide del problema anterior.
2.12 Un toroide de radio medio de 0.1 m se construye con tiras de 0.14 m de material
magnético 48NI. La densidad de flujo en el material magnético es de 0.6 T. Con-
siderando los efectos del "factor de pila", determinar la corriente en un solenoi.
de de 100 vueltas requerida para manter esa densidad de flujo.
2.13 El toroide del problema anterior se secciona para formar un entrehierro de 1 mm
de longitud. ¿Qué corriente requiere la bobina para mantener la misma densidad
de flujo que se tenía en el problema 2.12? Las fugas y los efectos de borde se ig·
noran.
2.14 Para el circuito magnético que se muestra en la figura 2.18, determinar la FMM
de la bobina de excitación requerida para producir una densidad de flujo de 1.6
T en el entrehierro. No se tomen en cuenta fugas ni efectos de borde. En esa fi·-
gura, las longitudes medias de las porciones del circuito magnético con áreas de
sección transversal constantes son 1m 1 = 45 cm, Am 1 = 24 cm2
, 1m 2 = 8 cm,
A m2 =16 cm2
; Ig =0.08 cm y Ag =16 cm2 •
2.15 Para el circuito magnético de la figura 2.19, determinar la corriente en una bobina
de 100 vueltas para establecer un flujo de 0.1 Wb en el entrehierro. Tomar un fac-
tor de borde de 1.09 y pasar por alto el flujo de fuga.
2.16 La figura 2.20 muestra la sección transversal de una parte del circuito magnético
que se encuentra en ciertos tipos de motores de reluctancia escalonados. Las sec-
ciones rectangulares en la base del circuito magnético, son secciones transversales
de sectores magnéticos colocados en discos rotatorios. Existen tres entrehierros de·
igual longitud, que separan a estos sectores de disco entre sí y del circuito magné-

81. Circuitos magnéticos con imanes permanentes 79
'
m1
't1m2 ,4,,'2
~
'I!.
r
Bobina '+--+-h
Am1 1m2
FIGURA 2.18 Figura para el problema 2.14.
Area de la sección
/transversal = 25 cm2
/
25 cm
~ 11-19
Núcleo~;
p
e Bobina de
(
p N vueltas
( ~
10 cm
;1 ~ 25 cm
/
Area de la sección transversal
= 100.cm2
'--~ o.
-r-""'-- Entr
2-cm
ehierro
e aired
FIGURA 2.19 Figura para el problema 2.15.
tico de "retorno" en forma de U. El símbolo <PI representa el equivalente neto de
todos los flujos de fuga a través de los espacios de aire entre los lados del imán en
U y puede creerse que está concentrado en III localidad del circuito magnético
mostrada en la figura 2.20.
Las dimensiones del circuito son las siguientes:
Entrehierros: Ig = 1 mm, Ag = 4 cm2
Sectores de rotor: Ir = 1 cm, Ar = 4 cm2
; Mat: 48NI
SecciónU:lm1 =5cm,A m1 =4cm2,lm2 = 12cm,A m2 =6cm2
Material: M-19

82. 80 Circuitos magnéticos de C.A. y C. C. estacionarios
r r r I
'm2
<p/
'
m1
Im1
J
DD L
1 I
FIGURA 2.20 Figura para el problema 2.16
Se decubrió un <PI = 0.0003 Wb, cuando la densidad de flujo en el entrehierro es
de 1.2T; en estas condiciones.
a) Encontrar el potencial magnético a través de la trayectoria de fuga equivalente.
b) Determinar la permeancia en unidades SI de la trayectoria de fuga equivalente.
c) Determinar el flujo a través de la bobina de excitación.
d) Determinar la corriente requerida en una bobina de 10 vueltas para producir
este flujo.
e) Calcular la inductancia de fuga de la bobina.
nTrazar el circuito c.c. equivalente (de la misma manera que en la figura 2.9)
para este circuito magnético.
2.17 Haciendo referencia a los dos configuraciones de imán permanente mostradas en
las figuras 2.15 y 2.16, explicar la gran diferencia entre los flujos de fuga, de estas
dos configuraciones. Como ayuda en este análisis, imáginar un potencial magné-
tico relativo Vm' a través del entrehierro de 1.0 en cada circuito y relacionarlo
con el potencial calculado entre las secciones superior e inferior del circuito (de
anchura W).
2.18 Con base en el análisis hecho en el problema 2.17, ¿dónde debería localizarse la
. bobina excitatriz del circuito de la figura 2.8 (suponiendo que sólo se requiriera
una bobina) para reducir al mínimo el flujo de fuga?
2.19 Un toroide no magnético tiene una sección transversal cuadrada de 2 X 2 cm. El
diámetro interior del toroide es de 8 cm y el exterior de 12 cm. Se devana una bo-
bina de 1200 vueltas uniforme y ajustada alrededor del toroide. Si se supone un

83. Circuitos magnéticos con imanes permanentes 81
rr80 60
Devanado
1
30 ---..;,-k- -~--30 .~Iiol o. mm
FIGURA 2.21 Figura para la sección transversal del solenoide del problema
2.22. Todas las dimensiones están en mm. El émbolo y el estuche magnético
de 40 mm son perpendiculares al plano del papel.
flujo de fuga nulo y una distribución del flujo uniforme en la sección transversal
del toroide,
a) calcular la densidad de flujo en el diámetro medio (centro de la sección trans-
versal del toroide) y
b) determinar la inductancia de la bobina.
2.20 Repetir el problema 2.19 sin suponer, que la distribución de flujo es uniforme en
la sección transversal del toroide.
2.21 Una bobina de una vuelta lleva una corriente de 5 A. Determinar la inductancia
de esta bobina si
a) la energía total almacenada en el campo magnético es de 0,01 J,
b) el flujo total encerrado por la bobina es de 0.005 Wb.
2.22 La figura 2.21 muestra la sección transversal de un solenoide típico, usado como
accionador mecánico en muchas aplicaciones industriales, tales como control de
válvula hidráulico. La sección superior del émbolo es de material no magnético.
La fuerza magnética para mover al émbolo se genera en la región del entrehierro
situada en la base del émbolo. Las regiones no magnéticas donde se localiza la bo-
bina se conocen como "ventanas" del solenoide. El factor de "relleno" de un sole-
noide o transformador es la razón entre el área total de la sección transversal del
cobre (o aluminio) en la bobina y el área de la ventana.
a) En las dimensiones que se muestran, ¿cuántas vueltas de alambre magneto de
cobre No. 24 AWG pueden usarse en la bobina de excitación si el factor de re-
lleno es de 75% ?
b) El entrehierro que se muestra en la figura 2.21 es el inicial para el solenoide.
Determinar la corriente en la bobina seleccionada en a) para establecer una

84. 82 Circuitos magnéticos de e.A. y e.e. estacionarios
densidad de flujo de 1.0 T en el entrehierro bajo el émbolo. Omitir fugas y
efectos de borde.
e) En el uso de soleniodes es importante a menudo su velocidad de respuesta. El
retardo del circuito eléctrico se relaciona con la constante de tiempo r del
circuito R-L de la bobina de excitación. Si se supone que la bobina se energiza
con una fuente de voltaje constante y que el factor de "relleno", la densidad
de flujo del entrehierro y la longitud no se modifican, ¿afectará a la constante
de tiempo un cambio en el número de vueltas de la bobina excitatriz?
d) En condiciones fijas de e) ¿se modificará la constante de tiempo si en vez del
material magnético M-19 se usa Deltamax?
2.23 Va a construirse un circuito magnético de la configuración de la figura 2.16, usan-
do miembros de hierro dúctil e imanes permanentes de ferrita Indox V. Las di-
mensiones son: 19 = 1 cm, W = 5 cm; área de entrehierro Ag = 3.5 cm2
• Si la
densidad de flujo requerida en el entrehierro es de 0.1 T, determinar la longitud
y el área de la sección transversal de los imanes Indox V. Supóngase que K 1 =1.5
Ypasar por alto los efectos de borde.
2.24 Diseñar una excitación de imán permanente para el circuito magnético de la figura
2.18 (problema 2.41), utilizando cualquiera de las características de imán perma-
nente descritas en este capítulo. El imán sustituirá las porciones de los miembros
de hierro dúctil de la figura 2.18. ¿Se aplican en este problema todos los tipos de
imanes permanentes?

85. Capítulo 3
Transformadores
Este capítulo se iniciará aplicando los principios generales y los méto-
dos de análisis desarrollados en el último capítulo, a un dispositivo electro-
magnético específico: el transformador. Dado que el transformador es una
estructura electromagnética relativamente sencilla, resulta de utilidad para
ilustrar esos principios y para establecer relaciones que serán aprovechadas
posteriormente en el análisis de estructuras electromagnéticas más compli-
cadas. El transformador tiene gran importancia como elemento de muchos
tipos diferentes de circuitos eléctricos, desde circuitos electrónicos de seña-
les débiles hasta sistemas de transmisión de potencia en altas tensiones. Es
fundamental conocer la teoría, las relaciones de diseño y las capacidades de
operación de los transformadores, para comprender el funcionamiento
de muchos sistemas electrónicos, de control y de potencia. Por consiguien-
te, tanto como medio para entender algunos principios electromagnéticos
básicos, como por ser parte importante de los sistemas eléctricos, el trans-
formador requiere un estudio cuidadoso.
Las funciones más comunes de los transformadores son (1) cambiar
los niveles de voltaje y corriente en un sistema eléctrico, (2) acoplar impe-
dancias y (3) aislar eleétricamente. La primera de estas funciones es pro-
blablemente la más conocida por el lector y es la que realiza el transformador
de distribución de energía eléctrica colocado en el poste eléctrico cercano,
el cual reduce el voltaje de las líneas de distribución por ejemplo, 2 300 V
a los voltajes domésticos de 115/230. La segunda función se encuentra en
muchos circuitos de comunicación y se usa, por ejemplo, para acoplar una
carga a una línea, transferir óptimamente la potencia y reducir al mínimo
las ondas estacionarias. La tercera posibilidad se utiliza para eliminar el
ruido electromagnético en diversos tipos de circuitos; para bloquear seña-
les de c.c. y para seguridad al usuario de instrumentos eléctricos y uten-
silios.
83

86. 84 Transformadores
Los transformadores se emplean en circuitos de todos los niveles,
desde el microvolt de algunos circuitos electrónicos hasta los voltajes más
elevados que se usan en sistemas de potencia, que en la actualidad alcanzan
los 750 000 V. En algunas aplicaciones de pulsos se pueden alcanzar volta-
jes aún más elevados. Además, los transformadores encuentran aplicación
en todo el espectro de frecuencia de los circuitos eléctricos, desde frecuen-
cias cercanas a la c.c. hasta centenares de megaHz, en formas de onda sinu-
soidales continuas y de pulsos. El tamaño y la forma de los transformadores
varían mucho también; algunos no exceden las dimensiones de un frijol y
otros alcanzan las dimensiones de una casa pequeña.
El transformador es básicamente un dispositivo estacionario, aunque
existen algunos transformadores especiales en los que hay cierto movimien-
to de algunas partes de la estructura electromagnética. Como ejemplos
de transformadores con elementos móviles están los de corriente continua
que se usan a veces en sistemas de alumbrado público en serie, algunos ti-
pos de reguladores de voltaje empleados en sistemas de distribución de po-
tencia y el autotransformador variable, en el que sólo se mueve el contacto
entre el devanado primario y el secundario. En este capítulo se tratarán so-
lamente los transformadores estacionarios. En el capítulo se presentó un
método sucinto para analizar sistemas electromagnéticos. Se procederá
aquí con el primer paso de este método al describir la construcción física
y la estructura electromagnética del transformador de dos devanados.
3.1 CONSTRUCCION y ESTRUCTURA ELECTROMAGNETICA DEL
TRANSFO RMADO R
La estructura magnética de un transformador se compone de uno o más
devanados eléctricos enlazados magnéticamente mediante un circuito
magnético o núcleo. El circuito magnético de la mayor parte de los trans-
formadores se construye con material magnético, aunque en algunas apli-
caciones se usan materiales nb magnéticos, denominados con frecuencia
"núcleo de aire". También, en ciertas aplicaciones especiales, el circuito
magnético puede estar formado por un material magnético en serie con
un entrehierro de aire. Cuando hay más de dos devanados en un transfor-
mador, dos de ellos realizan funciones idénticas. Por lo tanto, para com-
prender la teoría y funcionamiento de un transformador de devanado
múltiple, sólo es necesario considerar las relaciones existentes en dos de
los devanados. El autotransformador, con sólo un devanado, se tratará en la
sección 3.7.3. Los dos devanados básicos se denominan frecuentemente
primario y secundario. El significado que usualmente se atribuye a esta de-
signación, es que la entrada o fuente de energía se aplica al devanado prima-
rio y que la energía de salida se toma del devanado secundario. Sin embargo,
como un transformador es un dispositivo bilateral, que se opera así con
frecuencia, ese significado no tiene mucha importancia yesos términos se

87. evanadoD
Primario
Construcción electromagnética del transformador 85
Núcleo
1-- f--
- r--
- 1--
Devanad
secundar
o
io
FIGURA 3.1. Modelo elemental de un transformador
usan sobre todo para diferenciar un devanado del otro. Es más común de-
signar los devanados con subíndices y se hará así en este capítulo. En la fi-
gura 3.1 se muestra un modelo de transformador simple de dos devanados.
La construcción de los transformadores varía mucho en función de
sus aplicaciones, de las razones de voltaje y corriente de devanado, y de las
frecuencias de operación. Muchos de los transformadores usados en elec-
trónica poseen ~lgo más que la estructura electromagnética misma, dispo~
niendo de medios adecuados para su montaje en marcos. En general, la
estructura electromagnética se encierra en un tanque o caja con propósitos
de seguridad y protección. En varios tipos de transformadores se llena el
espacio que rodea a la estructura electromagnética con un material aislante
para evitar que se dañen los devanados o el núcleo, impedir su movimiento o
facilitar la transferencia de calor entre la estructura electromagnética y el
tanque. En los transformadores de electrónica se emplea un material aislante
viscoso llamado "compuesto de marmita", y en muchos transformadores
de potencia se utiliza un aceite aislante no inflamable denominado aceite de
transformador.
El aceite de transformador realiza una función adicional al mejorar
las características aislantes del transformador, ya que tiene una resistencia
eléctrica superior a la del aire. En la mayoría de los transformadores que
utilizan aceite, éste se hace circular a través de aletas o tubos de enfriamiento
situados fuera del tanque, para mejorar las características de transferencia
de calor. Las aletas o tubos se enfrían a menudo mediante aire comprimido.
Las figuras 3.2 a, b y c ilustran transformadores prácticos de diferentes tipos
y aplicaciones. En transformadores mayores que operan en niveles eleva-
dos de voltaje y corriente existen otros componentes estructurales impor-
tantes, algunos de los cuales pueden verse en lafigura 3.3. Tales componentes
incluyen boquillas (bushings) de porcelana, a través de las cuales se sacan
las puntas de devanado para las conexiones externas; medidores de presión y
temperatura, y soportes estructurales internos para evitar movimientos de
los conductores o devanados que pueden causar las fuerzas electromagné-
ticas resultantes de los elevados niveles de corriente.
El núcleo magnético de un transformador debe construirse de tal ma-
nera que se reduzcan al mínimo las pérdidas magnéticas. En el capítulo 2
se describieron brevemente estas construcciones de núcleo. Los núcleos de

88. FIGURA 3.2a Elementos de un transformador de potencia en electrónica,
entre los que se muestra el núcleo magnético con devanados típicos y de tiras
de laminaciones. (Cortesía de AlladinMagneticsCorp.).
FIGURA 3.2b Transformador ferrorresonante de voltaje constante. A la iz-
quierda se muestra el condesador. (Cortesía de Sola Electric Division of Sola
Basic Industries).

89. FIGURA 3.2c Transformador de pulsos, usado con frecuencia en circuitos de
disparo de compuerta de thyristor. (Cortesía de Alladin Magnetics Corp.)
FIGURA 3.3. Un transformador de potencia (Cortesía de General Electric
Company).

90. 88 Transformadores
transformadores de potencia se construyen por lo general con materiales
magnéticos blandos en forma de lámina con horadaciones o cintas enrroIla-
das. El espesor de la lámina o cinta depende de la frecuencia a que opere
el transformador. Los núcleos de transformadores para pulsos y para alta
frecuencia en electrónica se construyen por lo común con ferritas blandas.
En electrónica, las láminas usadas en transformadores se llaman con fre-
cuencia laminaciones en "alfabeto", debido a que tienen la forma de varias
letras del alfabeto y se denominan núcleos E, e,I, U, etc. Los núcleos de
ferrita se designan con los nombres de copa, marmita, varilla, lingote y otros,
con lo que se describe la forma general de estos núcleos. Los materiales
más comunes para laminación son las aleaciones de silicio-hierro, níquel-hie-
rro y cobalto-hierro. El permaIloy en polvo se usa en muchos núcleos de
transformadores de comunicación.
Los devanados de transformador se construyen con conductores sóli-
dos o cables de cobre o aluminio. El conductor usado en transformadores de
electrónica -así como en muchos motores y generadores de tamaño pe-
queño y mediano- se conoce como alambre magneto. Está formado por
alambre de cobre con una capa delgada de esmalte para aislamiento eléc-
trico. El alambre magneto se clasifica por un símbolo de tipo de aislamiento:
A, B, e, F y H, que designa la temperatura de operación sin riesgo a la que
puede utilizarse el alambre. Las letras bajas indican la temperatura de ope-
ración baja (150
0
e para clase A) y la clase H tiene la temperatura de opera-
ción más elevada de las clasificaciones normales en 180
0
e. También puede
obtenerse alambre magneto con cubiertas de tela (o forrados) sobre el es-
malte, para una mayor protección contra raspaduras o cortes. Las dimen-
siones del conductor se asignan por un sistema conocido como"American
Wire Gauge-abreviado AWG-con número de medida que aumenta al decrecer
la sección transversal del conductor. En el apéndice II se da una parte de las
tablas AWG.
En transformadores que presentan núcleos con abertura longitudinal
de las configuraciones E, e, U y toroidales, los devanados se hacen en carre-
tes aislantes, conocidos como bobinas. La bobina devanda puede enfundarse
convenientemente en una pierna de la sección de núcleo; las secciones res-
tantes del núcleo pueden ensamblarse, y el conjunto completo de núcleo
que contiene al devanado se empalma por lo general con una cinta metá-
lica. El objeto de la bobina es proporcionar un soporte estructural para
el devanado, aislándolo eléctricamente del núcleo, así como para evitar
raspaduras o cortes del devanado en las aristas del núcleo. Las bobinas de
un transformador se construyen con nylon, teflón y diversos papeles y
productos de fibra. Para mejorar el acoplamiento magnético entre los
dos devanados se usa con frecuencia una técnica bifilar, que consiste en
situar los conductores lado a lado y devanarlos en el núcleo o bobina si-
multáneamente. La figura 3.4 ilustra las diversas etapas del ensamblado de
un núcleo de transformador para electrónica.

91. Construcción electromagnética del transformador 89
FIGURA 3.4. Varias etapas del ensamblado de un transformador de circuitos
electrónicos (Cortesía de Alladin Magnetics Corp.).
Los devanados de transformadores de potencia elevada por lo común
usan conductores con aislamiento más pesado que el de alambre magneto.
Los devanados se ensamblan con un soporte mecánico mucho más grande
y las capas de devanado se aÍslan generalmente unas de otras. Los devanados
mayores para potencia elevada a menudo se prefabrican y el transformador
se ensambla apilando las laminaciones dentro de las bobinas prefabricadas.
Pueden consultarse las referencias 1, 2, 3 y 4 para detalles adicionales acer-
ca de los aspectos estructurales de los transformadores de potencia y de
electrónica.
3.1.1 Clasificación de transformadores
En virtud de la gran diversidad de tamaño, forma y uso de los transformado-
res, se han hecho algunos intentos por designar tipos o clases de transfor-
madores. Sin embargo, los términos usados para élasificarlos no están
definidos con precisión, y hay mucha ambigüedad en los significados de
éstos. Se han desarrollado más los términos atendiendo a los circuitos en
que se usan los transformadores y no a una delineación de características
del transformador. Dado que estos términos descriptivos se usan con pro-
fusión en los catálogos de los fabricantes de transformadores, y puesto
que auxiliarán en la descripción que sigue sobre características de trans-
formadores y aspectos estructurales, a continuación se enlistan algunos de
los términos que catalogan a los tipos de transformadores básicos:
A. Clasificación de aplicación general
1. Transformadores de sistemas de potencia: usados en sistemas
de distribución y transmisión de potencia. Esta clase tiene los
valores nominales más elevados tanto de potencia o como volt-
ampere, de voltaje continuo.

92. 90 Transformadores
2. Transformadores de circuitos electrónicos: son de muy diferen-
tes tipos y aplicaciones y, como su nombre lo dice, se utilizan
en circuitos electrónicos. Algunas veces se consideran como
transformadores de este tipo los que tienen valores nominales
de 300 V-A o menores. A una clase grande de transformado-
res de circuitos electrónicos se le llama "transformadores de
potencia", y son los que se usan para proporcionar potencia a
otro sistema electrónico, lo que da lugar a que se confunda con-
siderablemente esta nomenclatura.
3. Transformadores de medición: los que se usan para detectar
voltaje o corriente tanto en circuitos electrónicos como en sis-
temas potencia, llamados transformadores de corriente y trans-
formadores de potencia, respectivamente. Estos últimos son
dispositivos conectados en serie y operan en una configuración
que en muchos aspectos es la inversa del transformador con-
vencional de voltaje o potencial. En la sección 3.7.4 se estudiará
el transformador de corriente.
4. Transformadores para especialidades: esta designación abarca
una amplia gama de estilos y aspectos de operación, e incluye
dispositivos como los transformadores de voltaje y corrien-
te constantes, los ferrorresonantes y los de conmutador de de-
rivaciones.
B. Clasificación por rango de frecuencia.
Este es probablemente el método más importante para clasifi-
car transformadores y describir características de diseño electro-
magnético, e incluye lo siguiente:
1. Potencia: son por lo general transformadores de frecuencia
constante que operan enfrecuencia de potencia (50,60,400 Htz,
etc.), aunque pueden presentarse otros componentes de fre-
cuencia, incluso el de c.c., en transformadores de potencia de
circuitos electrónicos y con semiconductores.
2. Audio: utilizados en muchos circuitos de comunicación para
operar en audiofrecuencias.
3. De frecuencia ultra alta (UHF: ultra high frecuency).
4. De banda ancha: transformadores de circuitos electrónicos,
que operan dentro de un rango amplio de frecuencias.
5. Banda estrecha: transformadores de circuitos electrónicos, di-
señados para un rango específico de frecuencia.
6. De pulsos: transformadores diseñados para usarse con excita-
ción pulsante o de variación brusca, en aplicaciones de sistemas
de potencia y en electrónica.
C. Clasificación por el número de devanados
Ya se habló de esta clasificación que incluye transformadores
de un devanado (autotransformadores), de dos devanados (el con

93. Teoría del transformador 91
vencional) y los de devanados múltiples, donde un devanado se
define como un circuito eléctrico de dos terminales sin conexión
eléctrica con el resto de ci;rcuitos.
D. Clasificación por conexión polifásica.
Esta clasificación se aplica sobre todo a transformadores en sis-
temas de potencia y se refiere al método de conectar los devanados
individuales en aplicaciones polifásicas. En algunos transformado-
res, el conjunto polifásico completo de transformadores se encierra
dentro de un mismo tanque,obteniéndose alguna reducción en el
peso del núcleo magnético. Las conexiones más comunes son la Y
(o estrella) y la delta de los sistemas trifásicos. En la sección 3.7.2
se estudiarán brevemente esas conexiones y algunas otras.
3.2 TEORIA DEL TRANSFORMADOR
Anteriormente se han introducido varios términos y descripciones de trans-
formadores. A continuación se verá el principio de operación del modelo
elemental de dos devandos de la figura 3.1. A pesar de las reservas expues-
tas en la introducción referentes al uso de las palabras "primario" y"secun-
dario", es conveniente utilizarlas y asociar al primario el subíndice 1 y d 2
al secundario. No obstante, no debe olvidarse que se trata de términos arbi-
trarios que no indican propiedades inherentes al transformador. Puesto que
se requieren algunas de estas designaciones arbitrarias para el análisis del
transformado- que se trasfieren subsecuentemente al análisis de muchos
otros dispositivos electromagnéticos -se adoptanaquí las convenciones uti-
lizadas por organizaciones de normas internacionales y por el IEEE (Insti-
tute of Electronics and Electrical Engineers)5 . Por otra parte, se dan todas
las fórmulas en unidades 18 o MK8. El modelo de transformador elemental
de la figura 3.1 se repite como figura 3.5, agregando los parámetros para ese
análisis.
Un parámetro fundamental del transformador es la relación de vueltas,
definida como
NI
a=-
N2
(3.1)
El valor de esta relación lo conoce, por regla general, sólo el fabricante o el
responsable de los devanados en un transformador de laboratorio. Puede
calcularse en el laboratorio por mediciones de voltajes inducidos en los dos
devanados, aunque siempre hay un cierto grado de inexactitud que depende
del coeficiente de acoplamiento entre los dos devanados. No debe olvidar-
se esto en el análisis de un transformador. La razón de vueltas se da con
frecuencia como parte de los datos nominales de placa proporcionados por
el fabricante, para transformadores de sistemas de potencia y de circuitos
electrónicos.

94. 92 Transformadores
s,
/---- ... 4>'2 = t/J",--- .......
I '
;, I
~~~----+-~~' f
+ 1 I V f +
,1>,/ <1>2/1 - .......... N2 V2v, N,
1 I
I ~+-+-______________-'
l "-"-----~ I
, I
,------------_/
FIGURA 3.5. Modelo de transformador en el que se muestran voltajes, corrien-
tes y flujos instantáneos.
En esta sección se considerará un transformador excitado con una
fuente de voltaje sinusoidal en una sola frecuencia, denotada con vI en la fi-
gura 3.5. Se analizarán en primer término los voltajes, corrientes y flujos
magnéticos de régimen estacionario. En secciones posteriores de este capitu-
lo se estudiarán las características transitorias del transformador. Se iniciará
este estudio con las relaciones de campo electromagnético en el transfor-
mador, como una ayuda para comprender los fenómenos físicos que se
traducen en características externas del transformador.
No es menestar utilizar la teoría del campo magnético para describir
las características externas del transformador, que pueden analizarse total-
mente mediante la teoría de los circuitos eléctricos. Los métodos de esta
teoría resultan adecuados para una gran cantidad de problemas de ingenie-
ría eléctrica, tales como cuando el transformador se reperesenta por un
modelo matemático o como un caudripolo o "caja negra". Este método
de circuitos se discutirá posteriormente con más detenimiento en este capí-
tulo, de acuerdo con los desarrollos del circuito equivalente del transforma-
dor.
3.2.1 Características de excitación
En la figura 3.5, supóngase que el conmutadorS está abierto y que i2 = O. Es-
ta condición se denomina condición sin carga y facilitará el establecimiento
de las relaciones sin carga o de voltaje y corriente de excitación. Se supondrá
que el voltaje aplicado es
donde
VI m = valor máximo de voltaje aplicado
w = 2rrt = frecuencia angular del voltaje aplicado
t = frecuencia en Hz.
(3.2)

95. Teoría del transformador 93
Suponer, de momento, que la resistencia del devanado NI, es nula. Enton-
ces
v,+e,=O
ó
(3.3)
donde
el = voltaje inducido electromagnéticamente en el devanado NI
De (2.27) del capítulo 2, este voltaje puede expresarse como
(3.4)
donde <P I = flujo magnético total que eslabona las NI vueltas (Wb).
De la figura 3.5, se ve que el flujo magnético total posee dos compo-
nentes:
donde
(3.5)
<P1l = flujo de fuga que eslabona sólo con el devanado NI (Wb),
<Pm = flujo "mutuo"; es decir, que eslabona con ambos devanados
(Wb).
Los conceptos de flujos de fuga y mutuo se discutieron en las secciones
2.4 a 2.7. Otra representación de las relaciones de flujo mostradas por (3.5)
tiene un uso común y conduce al concepto de inductancias propia y mutua,
como se desarrolló en el capítulo 2:
(3.5a)
donde k =coeficiente de acoplamiento entre los devandos 1 y 2. El signi-
ficado de los subíndices del término de flujo mutuo <P I 2 "es el flujo que
eslabona con el devanado 2 debido a la corriente en el devanado 1". Si el
circuito magnético del transformador es isotrópico y homogéneo, existe
una relación simétrica entre ambas componentes de flujo mutuo, como lo
indicó (2.3):
-,' ",,,,,,,~,-..........~---------

96. 94 Transformadores
</>21 =</>12 (3.5b)
Pueden obtenerse las relaciones entre flujo y voltaje tomando la inte-
gral indefinida de la ecuación (3.4):
f eldt= -Nlfd</>
Al resolver para el flujo y usando (3.3.), se obtiene
E lm
</>1 = -Ncoswt=</>Imcoswt
IW
(3.4a)
(3.6)
Se ve entonces que si se aplica un voltaje sinusoidal, el flujo magnético resul-
tante es cosenoidal. En la figura 3.6 se muestra esta relación mediante un
diagrama de fasores. Puede observarse que el fasor de flujo está atrasado
7r
respecto al del voltaje aplicado en "2 radianes o 90° .
El componente de corriente que fluye en el devanado 1 se conoce
como corriente magnetizante. ruede obtenerse una expresión para esta co-
rriente calculando el potencial magnético definido por (2.17):
donde
i1 <P = corriente magnetizante
R = reluctancia del núcleo del transformador
Al sustituir rp 1 m de (3.6) y resolviendo para i1 rp, se tiene
. Elm R
ll</>= -2-coswt
N¡w
(3.7)
(3.8)
Esta ecuación no es bastante útil desde un punto de vista analítico, pues
no se ha introducido aún el papel que puede desempeñar la saturación del
circuito magnético. No obstante, explica tres relaciones fundamentales
del transformador y de otros circuitos inductivos, tales como inductores y
motores de inducción: (1) la magnitud de la corriente magnetizante es fun-
ción de la razón voltaje-frecuencia El m /w, (2) la corriente magnetizante
varía inversamente con el cuadrado del número de vueltas NI en el devanado
de excitación, y (3) la reluctancia del circuito magnético del transformador
puede influir considerablemente sobre la magnitud de la corriente magne-

97. Teoría del transformador 95
1>1
FIGURA 3.6. Relaciones de fase entre componentes de excitación.
tizante. La primera de estas observaciones es un principio fundamental en
el uso de dispositivos inductivos, y debe tomarse en cuenta en todas las
aplicaciones de frecuencia variable o de voltaje variable. Se verá que la satura-
ción en el circuito magnético tiende a acentuar considerablemente el incre-
mento de corriente que resulta cuando esa razón se aumenta sobre el diseño
o razón nominal.
De las dos formas de (3.6) puede obtenerse otra relación útil entre
voltaje y flujo en un circuito sinusoidal:
(3.9)
Esta fórmula se expresará con una nomenclatura más general como la rela-
ción entre los valores máximos de voltaje inducido y flujo magnético en
un devanado de N vueltas excitado con una frecuencia f:
Em =2'1TjN<Pm
El valor rcm del voltaje inducido (Em /-./2) es
E=4.44jN<Pm
(3.10)
(3.11)
Examínese ahora el papel de la saturación en el circuito magnético de
un transformador. En el capítulo 2 se describieron los conceptos básicos
de saturación y no linealidad de los materiales magnéticos. Con un ejemplo
se ilustrará el efecto de la saturación en un transformador.
Ejemplo 3.1.
En la figura 3.7 se muestra la relación de flujo vs ampere-vuelta del circui-
to magnético de un cierto transformador. Este transformador tiene un
devanado primario de 120 vueltas, excitado con una fuente de voltaje si-
nusoidal de 110 V (rcm) en 60 Hz. Determinar el valor máximo del flujo

98. 96 Transformadores
magnético y la forma de onda de la corriente magnetizante. No se consi-
dere la resistencia del devanado.
De (3.11) se encuentra el flujo:
110
«Pm = 4.44.60.120 =0.00343 Wb
La forma de onda del flujo es sinusoidal; en este problema no se requieren
relaciones de fase. La corriente magnetizante que resulta. se determina me-
diante la construcción gráfica ilustrada en la figura 3.7. Los valores de flujo
tomados de la onda sinusoidal de flujo, cuyo valor máximo es de 0.00343
Wb, se transfieren a la curva de saturación magnética, y el potencial mag-
nético resultante o FMM para cada valor de flujo se lee de la abscisa de esta
curva. La corriente magnetizante se encuentra dividiendo la FMM entre
las vueltas, esto es, entre 120.
En el ejemplo anterior se puede observar que la corriente magneti-
zante en un transformador con saturación no tiene una forma de onda
sinusoidal. Existen otros parámetros de circuitos que también afectan esta
forma de onda en un transformador práctico real: la histéresis de la carac-
terística magnética alterará en cierta medida esa forma de onda, pero existen
otros parámetros de circuito en serie con el devanado, como la resistencia
de devanado, que influyen también en la forma de la onda. En algunos ca-
sos, la naturaleza de la fuente de excitación puede cambiar la forma de la
onda, especialmente si la fuente es un dispositivo de alimentación de voltaje
o corriente regulado electrónicamente. La magnitud relativa de las pérdidas
en el núcleo magnético puede también influir en la forma de la onda de
corriente. En muchos transformadores, el circuito magnético se diseña de tal
manera que el flujo máximo requerido opere aproximadamente en la rodi-
lla de la curva de saturación con el voltaje nominal aplicado. Esto reduce la
cantidad de distorsión de la onda sinusoidal de la corriente magnetizante.
Si el transformador se opera en una razón voltaje/frecuencia arriba de su
valor de diseño, puede incrementarse considerablemente la distorsión de
la corriente magnetizante. Por ejemplo, si el transformador del ejemplo 3.1
se excitara con una fuente de 110 V, 50 Hz, el flujo máximo sería, a partir
de la ecuación 3.11, igual a 0.0041 Wb. La observación de la construcción
gráfica de la figura 3.7 muestra que esta operación aumentaría mucho la
punta en el centro de la media onda de corriente.
La corriente magnetizante se requiere para establecer el flujo mutuo
que hace posible la acción de transformador y es, por consiguiente, un pa-
rámetro necesario en cada transformador. No obstante, es conveniente re-
ducir al mínimo esta componente de corriente, con el objeto de disminuir
las pérdidas en el cobre debidas a esta corriente, para mejorar el factor de
potencia del transformador y aminorar las componentes de corriente no
sinusoidales en el circuito eléctrico primario que pueden originar ruido elec-
tromagnético indeseable.

99. Medio perfodo de
la onda de flujo
Owt , wt3 11/2 11
</>
(Wb)
0.004
0.003
0.002
0.001
o
O
wt,
wt3
11/2
11
O
0.00343
100
Teoría del transformador 97
Relación magnética del
núcleo del transformador
200 300
Ampere-vueltas
Medio parfodo de la
onda de f.m.m.
FIGURA 3.7. Representación gráfica para obtener fmm o formas de onda de
corriente de excitación.

100. 98 Transformadores
Hasta este punto, la discusión se ha referido a la excitación del transfor-
mador con una fuente de voltaje sinusoidal, denominada excitación de flu-
jo-seno. En transformadores de circuitos electrónicos se encuentran con
frecuencia muchas otras formas de excitación. Por ejemplo, es muy común
la excitación con una fuente de voltaje de onda cuadrada. Esta forma de
excitación causa una relación diferente entre el voltaje y el flujo, la cual
puede obtenerse a partir de la ecuación integral (3.4). Con una onda cua-
drada periódica, el factor constante en la forma rcm de la relación de vol-
taje-flujo, semejante a (3.11) es también diferente. Estas relaciones se
presentan como problemas al final de este capítulo. Muchos transformado-
res en electrónica se excitan con una fuente de corriente constante. Cuando
se trata de excitación sinusoidal, a este modo de excitación se le conoce
como de corriente seno. Por analogía con el procedimiento gráfico mos-
trado en el ejemplo 3.1, se ve que la excitación de corriente seno conduce
a un flujo no sinusoidal en el núcleo y, consecuentemente, a un voltaje in-
ducido no sinusoidal. Al final de este capítulo se presenta un problema
para auxiliar al lector al establecer las relaciones de voltaje-flujo para este
modo de excitación.
3.2.2 Relaciones de voltaje sin carga
La ecuación (3.5) introduce dos componentes de flujo que eslabonan con la
bobina primaria de la figura 3.5: una de fuga <PIl que eslabona sólo con la bo-
bina 1 y una mutua que eslabona con las bobinas 1 y 2: 1>12' Al analizar
un transformador es conveniente fraccionar el voltaje inducido en dos com-
ponentes. Esto puede hacerse sustituyendo (3.5) en (3.4), obteniéndose
(3.12)
La componente de flujo mutuo conduce a un voltaje inducido en la bobina
2 que, al considerar la ecuación (2.27), puede expresarse como
(3.13)
Se ve que la relaciones entre las dos componentes de voltaje inducido mu-
tuas son
eJ2 NI
-=-=a
e21 N2
(3.14)
Esta relación es la base para las características de transformación de voltaje
del transformador.

101. Teoría del transfonnador 99
Se ha llegado hasta un detalle considerable que permite establecer
una relación exacta entre los voltajes inducidos del transformador y la ra-
zón de vueltas de las dos bobinas o devanados. Para un transformador con
acoplamiento magnético inmediato entre las dos bobinas, la componente
de fuga de voltaje inducido elles tan pequeño que por lo general se ignora.
Cuando puede suponerse un elevado coeficiente de acoplamiento, se prescin-
de de los subíndices dobles y (3.14) se convierte en
el NI
-=-=a
e2 N 2
(3.14a)
Como se mencionó con anterioridad, las componentes de voltaje inducido en
el primario el o el 2 no es mesurable, y sólo es posible medir el voltaje ter-
minal v l del primario. La diferencia entre v l y el se debe al voltaje de fuga
ell Y la caída de voltaje a través de la resistencia de la bobina 1 (que se exami-
nará en la sección próxima). Dado que estos dos voltajes son pequeños, en
muchos tipos de transformadores con secundario abierto, o sea condición
sin carga, (3.14 a) se escribe frecuentemente como
(3.14b)
El conjunto (3.14) se escribe también en términos de componentes rcm
cuando el transformador se excita con una fuente de voltaje sinusoidal. La
ecuación (3.14 b) es la relación más común para obtenerla razón de vueltas
a partir de mediciones experimentales. Sin embargo, no debe olvidarse que
esta relación es siempre una aproximación que puede ser muy inexacta pa-
ra ciertos transformadores en los que la resistencia del devanado primario
es relativamente alta o en los que el coeficiente de acoplamiento es com-
parativamente bajo.
3.2.3 Componentes de pérdidas sin carga
Hasta ahora no se han tomado en cuenta las componentes de pérdida del
transformador. La componente principal de pérdida en régimen sin carga
es la que corresponde al núcleo, llamada algunas veces pérdida por magne-
tización. La naturaleza de esta pérdida se analizó en la sección 2.3. y se
reconsiderará en la discusión presente. La pérdida por núcleo se clasifica
como pérdida en régimen sin carga, ya que no es función de la corriente
de carga en el transformador y puede considerarse constante para cualquier
condición de carga. Esta pérdida depende de la densidad de flujo en el
núcleo magnético, de la frecuencia de la señal de excitación y del tipo de
material y construcción del núcleo. En un transformador de núcleo de aire es
nula.

102. 100 Transformadores
Existen varias fórmulas para cálculos aproximados de las dos compo-
nentes de pérdida en el núcleo: pérdidas por corrientes parásitas y por
histéresis, aunque por lo general es menestar obtener la magnitud de la
pérdida en el núcleo mediante pruebas. Dado que esta pérdida es función
de la frecuencia y de la densidad de flujo, es también implícitamente una
función del voltaje inducido, como puede verse en las ecuaciones (3.4) o
(3.11). Por consiguiente, al igual que en el caso de la corriente magnetizan-
te, depende de la razón de volts a frecuencia de la señal de excitación y
puede crecer desproporcionadamente si esta razón se incrementa sensible-
mente arriba del valor nominal. La pérdida en el núcleo se introduce en el
análisis de transformadores a través de una resistencia equivalente. Esta re-
sistencia es una función no lineal del voltaje y frecuencia aplicados al de-
vanado primario, aunque por lo general es invariante como función de la
corriente de carga del transfomador. Esta representación se examinará más
en relación con el circuito equivalente del transformador.
La resistencia óhmica del devanado primario es desde luego otro ele-
mento que causa pérdida de potencia. En régimen sin carga, la pérdida
asociada a la resistencia del devanado primario es con frecuencia tan pe-
queña que puede pasarse por alto. En la representación diagramática de
fasores se incluye generalmente la caída de voltaje en esta resistencia.
En transformadores de alta tensión existe a menudo una tercera
componente de pérdida en régimen sin carga, que se conoce como pérdida
por corona y se debe a la ionización del a-;re que rodea a los devanados con
voltaje elevado originada por la alta in~8sidad de campo eléctrico en estas
regiones. Esta pérdida puede presenkrse en transformaciones de circui-
tos electrónicos utilizados en televisi6n y radar, y en los transformadores
de alta potencia conectados a las líneas de transmisión en alta tensión. No
es considerará esta pérdida en los modelos de transformadores ni en los
métodos analíticos que se analizarán en secciones posteriores de este capí-
tulo, aunque en las referencias 6 y 7 pueden encontrarse descripciones
adicionales y métodos experimentales para evaluarla.
3.2.4 Diagrama fasoríal en régimen sin carga
El diagrama de fasores de la figura 3.8 ayudará a resumir las componen-
tes en régimen sin carga del transformador, descritas en la sección anterior.
En esta figura se aplica la convención usada comúnmente para separar los
voltajes de primario y secundario. Se trata de una convención de elemental
conveniencia para que el diagrama resulte claro, aunque no necesariamente
otorgue las características direccionales de los voltajes. Las relaciones di-
reccionales entre flujo y voltaje pueden encontrarse de las propiedades di-
reccionales de la ley de Faraday, como se analizó en la sección 2.8. Estas
propiedades direccionales con respecto a las terminales del transformador

103. Teoría del transformador 101
FIGURA 3.8. Diagrama fasorial en régimen sin carga.
se tratan mediante el concepto de polaridad de transformador, estudiada
en la Seco 3.4.1. En la figura 3.8 se supone una excitación de flujo-seno
(o voltaje constante) y los parámetros de voltaje, flujo y corriente son va-
lores rcm.
3.2.5 Características de carga de transformador
Supóngase que el conmutador S de la figura 3.5. está cerrado y que se
conecta un circuito eléctrico en las terminales del secundario (bobina 2).
El voltaje e2 inducido en la bobina 2 hará que fluya una corriente i2 en el
circuito externo o de carga conectado a las terminales del secundario. La
dirección de esta corriente en el diagrama de la figura 3.5 se deduce de
las leyes básicas del electromagnetismo: su dirección es tal que su flujo
magnético se opone al flujo que produce el voltaje inducido en el secunda-
rio, e2 ; esto es, a la componente <P 12 de flujo mutuo. Estas propiedades di-
reccionales se pueden determinar mediante las simples "reglas de la mano"
dadas en el capítulo 2. Para el esquema de devanado de la figura 3.5, la
corriente en el secundario fluye como se indica ahí. El lector debe verificar
las características direccionales mostradas en esa figura y trazar las direc-
ciones de corriente de secundario para diferentes esquemas de devanado.
Estas propiedades direccionales son la base para las convenciones de pola-
ridad de los transformadores que se estudiarán posteriormente.
La magnitud de la corriente del secundario se deduce de otra relación
fundamental electromagnética, la ley de Ampere, que se examinó en la
sección 2.5. De (2.22), suponiendo un entrehierro sin aire, se ve que
(3.15)

104. - - - - - - - - - - - - " ' - , , · " " ' · " '..·" .....·~'~~i~~;W,-.,':.;;i:·•.~~,
102 Transformadores
Este método del circuito magnético muestra que la diferencia entre las
FMM de los devanados primario y secundario es igual a la caída de reluc-
tancia en el circuito magnético mutuo, esto es, el núcleo del transforma-
dor. La diferencia en FMM es la FMM de excitación, expresada en la
nomenclatura de circuito magnético que se vio en párrafos anteriores. Hay
dos trayectorias magnéticas en paralelo con la trayectoria mutua: las tra-
yectorias de fuga del primario y las del secundario, que se encuentran en
regiones no magnéticas en gran medida y, consecuentemente, con alta re-
luctancia. Deben establecerse dos ecuaciones adicionales que relacionen a las
dos FMM del primer miembro de la ecuación (3.15) con sus respectivas
caídas de reluctancia por flujo de fuga. Sin embargo, las reluctancias de
trayectoria de fuga son difíciles de describir analíticamente, por lo que di-
chas ecuaciones no son de mucha importancia. Es mucho más sencillo
tratar las relaciones magnéticas de fuga en términos de parámetros de cir-
cuitos eléctricos basados en mediciones eléctricas que se describirán des-
pués en este capítulo.
La diferencia entre las FMM del primer miembro de la ecuación (3.15)
se definió ya en la (3.7). La corriente magnetizante i¡ J es una componen-
te de la corriente total en el primario (devanado 1 en la nomenclatura de la
figura 3.5). La diferencia entre esta corriente total ¡¡y la magnetizante
i¡9 se llama frecuentemente componente de carga de la corriente del pri-
mario i1/. Al reescribir la ecuación (3.15) para incluir las dos componen-
tes de corriente de primario se obtiene.
(3.16)
Esta ecuación puede dividirse en otras dos que conducen a una importante
relación que describe con más detalle la acción del transformador:
Ni¡.p =<P¡2R (3.17)
N¡i¡L = N2i2 (3.18)
Ó
i¡L N2
(3.19)-=-=-
i2 N¡ a
La ecuación (3.19) de las relaciones entre las componentes de carga de las
corrientes del primario y secundario, así como la razón de vueltas. Se ve
que es la inversa de las relaciones de voltaje. Dicho de otra manera, si un
transformador es elevador de voltaje, será reductor de corriente y viceversa.
En muchos transformadores de potencia, la componente de excitación de

105. Teoría del transformador 103
corriente del primario es muy pequeña comparada con la componente
. de carga, por lo que
(3.20)
Un parámetro útil para calibrar y definir la capacidad de un transfor-
mador es el producto del voltaje de carga por la corriente de la misma, de-
nominado volt-amperes o potencia aparente. Este producto puede calcularse
a partir de las ecuaciones (3.14 a) y (3.19):
(3.21)
Se observa que las capacidades volt-ampere de carga requeridas de los de-
vanados primario y secundario deben ser idénticas. Además el devanado
primario deber ser capaz de soportar los volt-ampares de excitación reque-
ridos.
Ejemplo 3.2
El flujo sinusoidal en el núcleo de un transformador lo da la expresión Q> 1
0.0012 sen 377t. Este flujo eslabona con un devanado primario de 150
vueltas. Determinar el valor rcm del voltaje inducido en el devanado prima-
rio.
Para w = 377, la frecuencia es de 60 Hz. De (3.11),
El =(4.44)(60)(150)(0.0012)=48 V
Ejemplo 3.3
El flujo en el núcleo de un transformador se expresa como cf> = 0.002 sen
377t + 0.00067 sen 1131t. Determinar el voltaje inducido en una bobina
de 80 vueltas que eslabona con este flujo.
De (3.4),
dcj>
e= - N di = - 60.5cos377t -60.5cos 1131 t
Ejemplo 3.4
El voltaje v = 100 sen 377t - 20 sen 1885t se aplica a un transformador
de 200 vueltas. Establecer la ecuación para el flujo en el núcleo, sin tomar en
cuenta el flujo de fuga y la resistencia del devanado. Determinar los valo-
res rcm del voltaje y el flujo.
De (3.4 a),

106. 104 Transformadores
1 [ 100 20 ]</>= - 200 - 377cos377t+ 1885 cos 1885t
= 0.00133 cos377t - 5.3 X 10-5 cos 1885t
Los valores rcm son
[
(.00133)2 (5.3 X 10-
5
)2]
$= 2 + 2 =0.0094 Wb
_y[100
2
20-]v- --+-2 2
=72.1 V
Ejemplo 3.5
En un cierto transformador probado con secundario abierto (sin carga) se
midió una pérdida por núcleo de 400 W cuando la corriente en régimen sin
carga era de 2.5 A Y el voltaje inducido de 400 V (los valores de voltaje
y corriente son rcm). No se deben considerar la resistencia del devanado ni
el flujo de fuga. Determinar: (1) el factor de potencia en régimen sin carga;
(2) el valor rcm de la corriente magnetizante y (3) el valor rcm de la com-
ponente de corriente de pérdida por núcleo.
1. Factor de potencia: PF=(l50)j(2.5)(4oo)=0.15.
2. Corriente magnetizante: Ilq, = 2.5 sen (cos- 1 0.15)
= 2.5 (sen 81.40
) = 2.42A
3. Corriente de pérdida por núcleo: I le = 150j(4oo)=2.5(cos 81.4°)
=0.375A
Ejemplo 3.6
La capacidad de un transformador es de 100 kVA (kilo volt-amperes); con
400 V en el primario y 200 V en el secundario. Sin considerar los VA mag-
tizantes y de pérdida por núcleo, determinar la razón de vueltas y las capa-
cidades de corriente del devanado.
La razón de vueltas es aproximadamente igual a 400/200 ó a = 2. Su-
poniendo que ambos devanados se tasan para la estipulación VA del transo
formador,
I = 100,000 = 250A- I = 100,000 =5OOA
1 400 '2 200
Nótese que las capacidades del transformador se dan siempre en términos
de parámetros rcm.

107. Orcuitos equivalentes del transformador 105
Ejemplo 3.7
El transformador del ejemplo 3.6 tiene 1 000 vueltas de alambre de cobre
AWG No. 1/0 en su devanado primario. Si el devanado secundario se dise-
ñara para tener exactamente la misma "pérdida por cobre" (pérdida por
resistencia óhmica), determinar la dimensión del alambre que va a usarse
en el devanado secundario.
Para que las pérdidas por cobre en el devanado secundario se igualen
a las del primario, la resistencia de aquél deber ser un cuarto de la del pri-
mario, pues la corriente en el secundario es el doble de la del primario.
Sin embargo, dado que el número de vueltas en el secundario es la mitad
del primario, puede suponerse que la longitud del devanado secundario
es la mitad de la del primario. Por consiguiente, para reducir la resistencia
del secundario a un cuarto de la del primario, la sección transversal de los
conductores del secundario debe ser el doble de la del primario. El conduc-
tor del primario 1/0 (AWG) tiene una área de 105,600 CM (circular mils),
según el Apéndice II; la dimensión de conductor usual más próxima al
doble de ese valor es 4/0 (211,600 CM). En la práctica se usan conducto-
res planos o cuadrados en lugar de cilíndricos.
3.3 CIRCUITOS EQUIVALENTES DEL TRANSFORMADOR
A través de los años se han dilucidado muchos conceptos para contribuir a
la compresión de la teoría y operación de los dispositivos electromagnéti-
cos y, por lo tanto facilitar su análisis. Uno de los más convenientes conceptos
de este tipo es el de la red eléctrica equivalente que "modela" al voltaje,
la corriente y las relaciones magnéticas dentro del dispositivo real. Los
circuitos equivalentes del transformador se concibieron y utilizaron mucho
antes de la "edad de las computadoras" en la que vivimos; no obstante,
estas representaciones de circuitos equivalentes son particularmente ade-
cuadas para la simulación por computadora de sistemas eléctricos de todo
tipo.
Entre los primeros análisis por computadora de sistemas eléctricos
elaborados se encuentra la modelación de líneas de transmisión de poten-
cia interconectadas, los transformadores y los generadores síncronos,
mediante un tipo de computadora análoga conocida como "AC Network
Calculator". Este análisis fue la base para el desarrollo de los grandes sis-
temas de potencia interconectados que son tan necesarios en una econo-
mía industrial.
Los circuitos equivalentes de transformadores se usaron en las represen-
taciones de la teoría de los cuadripolos en sistemas telefónicos y otros
sistemas de comunicación en alta frecuencia, con bastante anterioridad al
advenimiento de la computadora digital moderna. Existen actualmente
muchos programas de soporte lógico disponibles en la mayor parte de las
computadoras digitales, algunos de los cuales se enlistan en el Apéndice

108. ',.' ..,
106 Transformadores
III, para los que casi todas las formas de circuitos equivalentes de transfor-
mador se ajustan convenientemente. Los circuitos equivalentesson también
de mucha utilidad para comprender la operación física de los dispositivos
electromagnéticos y para establecer las técnicas sistemáticas de su diseño.
En el capítulo anterior se desarrolló un circuito equivalente de c.c. o
de estado estacionario, para representar circuitos magnéticos del tipo que
se encuentra en los transformadores. Este tipo de circuito es útil para ca-
librar núcleos de transformador, estudiar los efectos de la geometría del
núcleo sobre las trayectorias del flujo de fuga y las reluctancias y calcular
inductancias de fuga y mutuas. El circuito equivalente magnético no re-
presenta las componentes de pérdida en el núcleo magnético, aunque puede
extenderse para representarlas. Un circuito equivalente de este tipo con-
tiene sólo un parámetro de circuito (resistencia), que representa la reluctan-
cia magnética. Los devanados de transformador aparecen sólo en la medida
que afectan a los potenciales magnéticos o FMMs de estado estacionario.
El circuito equivalente del transformador que se desea analizar ahora,
puede contener los tres tipos de elementos de los circuitos eléctricos; pue-
de usarse para describir casi cualquier aspecto de la operación eléctrica del
transformador en todas las frecuencias de excitación y con muchas variantes
de formas de onda de voltaje y corriente. Se empezará con el circuito equi-
valente en baja frecuencia, en el que se puede pasar por alto la capacidad
del transformador.
3.3.1 El transformador ideal: relaciones de
impedancia
Un recurso útil en el desarrollo de un circuito equivalente del transforma-
dor es el concepto de transformador ideal, que se define como un transfor-
mador con resistencia nula de devanados, reactancia de fuga cero, corriente
magnetizante nula (que equivale a tener, de acuerdo con (3.8), una reluc-
tancia magnética cero o un núcleo con permeabilidad infinita) y pérdida
por núcleo nula. El transformador ideal contiene el circuito magnético
ideal que se examinó en el capítulo 2. El transformador ideal es simple-
mente una razón de vueltas.
Se investigarán ahora las relaciones de corriente y voltaje en el trans-
formador ideal. En la figura 3.5 se supone que el conmutador está cerrado
y que la corriente del secundario i2 circula por la impedancia de carga ZL .
De la ecuación (3.19) se infiere que esta corriente se equilibra por una co-
rriente del primario igual a ai1 (el doble subíndice no se necesita, ya que
las componentes de magnetización y de pérdida por núcleo se suponen
nulas). El voltaje en la impedancia de carga es i2 ZL y es igual en magnitud
al voltaje inducido en el secundario, puesto que se suponen nulas la resis-
tencia del secundario y la inductancia de fuga. De la ecuación (3.14 a) se
ve que el voltaje inducido en el primario se relaciona con aquel inducido

109. Circuitos equivalentes del transformador 107
en el secundario mediante la ecuación e¡ = ae2. El voltaje terminal del
primario es igual a este voltaje inducido para el transformador ideal y se
expresa como
(3.22)
La relación de voltaje del primario a corriente del primario v ¡ /i¡ da una
impedancia equivalente que es la impedancia de carga referida al devanado
primario, algunas veces llamada la impedancia de carga "vista desde el pri-
mario". De la ecuación (3.22),
(3.23)
Mediante un análisis semejante al anterior se puede demostrar que una
impedancia del primario referida al devanado secundario o "vista desde el
secundario", se expresa por la relación inversa
(3.24)
Pueden generalizarse las ecuaciones (3.23) y (3.24) para establecer que
cualquier impedancia en un devanado se refiere al otro como una función
del cuadrado de la razón de vueltas del transformador, como lo expre-
san esas ecuaciones. Las comillas en esas dos ecuaciones se usan para designar
el devanado al cual se refiere la impedancia. Esta es una característica de
los transformadores y la base para la aplicación de transformador denomi-
nada "acoplamiento de impedancias".
Ejemplo 3.8
Se estipula un transformador para 3KVA y 100/400 V. Se conecta una
resistencia de carga de 50 Ohms al devanado de 400 V. Con esta carga, de-
terminar la corriente en los dos devanados y la resistencia de carga equiva-
lente referida al devanado de 100 V. Considérese que el transformador es
ideal.
La corriente en el devanado de 400 V es 400/50 = 8 A; a este devana-
do se le llamará 2. Por consiguiente, a = 1/4 Y de la ecuación (319) i¡ =
8/(1/4) = 32 A. La impedencia referida al devanado 1 es a2
(50) = 50/16 =
3.125 D.
Ejemplo 3.9
Una línea de transmisión va a terminarse con una resistencia de 100 Ohms
para reducir al mínimo las ondas estacionarias. La resistencia de carga real
es de 500 Ohms. Determinar la razón de transformador requerida para

110. 108 Transformadores
Transformador
ideal
+
FIGURA 3.9. Circuito equivalente de transformador en términos de devana-
do 1.
acoplar la carga real a la línea de transmisión. Con la notación de (3.23),
ZL = 500, Z{ == 100. Por consiguiente a2
= lOO/50 ya == 1/v'5 = 0.446.
3_3.'2 Configuración del circuito equivalente
En la figura 3.9 se muestra la configuración básica del circuito equivalente
de transformador referida al devanado 1. Esta representación es adecuada
para la mayoría de los transformadores de potencia y de audiofrecuencia.
En transformadores que operen en frecuencias más elevadas son a menudo
de importancia las capacitancias entre devanados y deben incluirse en el cir-
cuito equivalente. En la sección 3.5 se analizará esta modificación del circui-
to para incorporar ese parámetro.
La teoría básica para los elementos de circuito mostrados en la figura
3.9 se desarrolló en secciones anteriores de este capítulo yen el capítulo 2.
Se resumirán ahora las relaciones de esos parámetros con la teoría del
transformador y sus propios significados. Debe observarse inicialmente
que se trata de una red pasiva "T" con parámetros concentrados del tipo
utilizado para representar muchos otros sistemas y dispositivos eléctricos,
como líneas de transmisión, filtros y otros dispositivos electromagnéticos.
Los elementos de circuito de la figura 3.9 representan elementos del
circuito equivalente del transformador real, obtenidos generalmente me-
diante mediciones o calculados si las dimensiones y materiales del trans-
formador real están bien definidas. El circuito de la figura 3.9 se basa en el
supuesto de una excitación sinusoidal, y las impedancias son las convencio-
nales de la teoría de los circuitos en régimen sinusoidal. Esta es la forma
más común de los circuitos equivalentes del transformador, aunque se
puede ajustar para usarse con otros tipos de excitación y para análisis transi-

111. arcuitos equivalentes del transformador 109
torios, sustituyendo las reactancias inductivas con inductancias. La sucesión
de los elementos serie es la siguiente:
1. Las resistencias efectivas r¡ Y r2 de los dos devanados, denomina-
das a vec'.s "resistencias de c.a.". En muchos transformadores es adecuado
el uso de resistencias óhmicas (o de c.c.) para representar arl Yr2. Sin em-
bargo, en transformadores de potencia con devanados de conductores con
una sección transversal considerable o en ciertos transformadores de cir-
cuitos electrónicos que operan en altas frecuencias o bajo excitación de
pulsos, es importante el efecto pelicular y debe usarse la resistencia efec-
tiva.
2. Las reactancias de fuga XI y X2 de los dos devanados se definen
de la manera convencional como 2rrfLI y 2rrfL2 , respectivamente. Las
inductancias de fuga L 1 YL2 se definen como la razón de eslabonamiento
de flujo de fuga de un devanado a la corriente en el devanado que produ-
jo el flujo, como se vio en el capítulo 2. La reluctancia de las trayectorias
de fuga se encuentra sobre todo en las regiones no magnéticas que rodean
al devanado, y no le afecta la saturación de núcleo o la no linealidad, por
lo que las inductancias de fuga son elementos de circuitos lineales.
3. La reactancia magnetizante Xc¡, es la reactancia de la inductancia
magnetizante, definida como la razón del eslabonamiento de' flujo ml.tuo
<P 12 NI o <P21 N 2 a la corriente que produce ese flujo. La reluctancia as )cia-
da con la trayectoria mutua es la del núcleo del transformador, la cual varía
con la densidad de flujo en el núcleo. La reactancia de magnetización es
por lo tanto función no lineal de la razón Voltjfrecuencia de la señal de
excitación, como ya se estudió.
4. La resistencia re de pérdida por núcleo. Se trata de una resistencia
puramente ficticia, usada para representar la pérdida por núcleo. Este ele-
mento se muestra en la figura 3.9 como una resistencia en paralelo con la
reactancia magnetizante, aunque es usual emplear una representación en
serie de estos dos elementos, por supuesto con diferentes magnitudes. La
representación en paralelo conduce a un análisis de diagrama de fasores un
poco más sencillo que el del circuito en serie y es también un poco más
fácil calcular valores para la conexión en paralelo a partir de datos experi-
mentales. Cualquier representación es aceptable. Tanto la resistencia de
pérdida por núcleo, como la reactancia magnetizante son funciones no li-
neales de la razón voltjfrecuencia y, además, de la frecuencia.
5. El transformador ideal se incluye en la configuración del circuito
equivalente para hacer más completa esta representación, haciendo que el
voltaje y la corriente del devanado 2 tengan la magnitud correcta. Su fun-
ción específica en el circuito equivalente consiste sólo en multiplicar o
dividir el voltaje o corriente del devanado 2 por (o entre) la razón de vueltas
a. Si se expresara el circuito equivalente con referencia al devanado 2, el
transformador ideal se localizaría en el extremo izquierdo del circuito, ad-
yacente a las terminales del devanado 1. En algunos casos es conveniente

112. 110 Transformadores
+
FIGURA 3.10. Circuito equivalente de transformador en términos.del devana-
do 2.
ubicarlo cerca del centro de la red T, a uno u otro lado de la rama de im-
pedancia magnetizante. Sin embargo, donde quiera que se localice, no da
información acerca de las caídas de voltaje, corriente de excitación, ángulo
de fase, factor de potencia, pérdidas o eficiencia del transformador, que
son las características para las que se usa generalmente el circuito equiva-
lente. Por ello se le elimina frecuentemente de la representación al analizar
un transformador, ya que introduce de cualquier modo "desorden" en la
red simétrica T. Dado que el propósito del transformador ideal es relacio-
nar un voltaje o corriente de un devanado con el (o la) del otro, puede reali-
zarse su objetivo de maneras mucho más sencillas. Se trata aquí este asunto
porque en los análisis de.sistemas, donde muchos sistemas eléctricos se inter-
conectan mediante transformadores, debe incluirse el transformador ideal
en la representación. En modelos de computación, esto se hace al multipli-
car o dividir por (o entre) una constante.
Otra manera importante de respresentar sistemas interconectados me-
diante transformadores es la notación por unidad, en la cual los voltajes,
corrientes e impedancias en cada circuito se expresan como una fracción
decimal de un conjunto de valores base de voltaje, corriente e impedancia.
Para una mayor descripción de esa notación, véase la referencia 7. En mo-
delos que emplean esa notación se elimina la necesidad del transformador
ideal para la representación del transformador.
Existen muchas modificaciones y simplificaciones de este básico,
circuito equivalente completo. El uso de estas variantes depende de los
requerimientos del problema particular a resolver y del grado de exacti-
tud que se quiera. La figura 3.10 ilustra el mismo circuito equivalente
completo referido al devanado 2. Obsérverse que en todas las representacio-
nes del transformador en este texto la razón de vueltas se define como la
ecuación (3.1).
Ya se habrá notado que a menudo se pasa por alto el transformador
ideal en el circuito equivalente. Si se usa la representación de devanado 1

113. Circuitos equivalentes del transformador 111
+
FIGURA 3.11. Circuito equivalente de transformador usado comúnmente.
!2
"
+ +
v,
FIGURA 3.12. Circuito equivalente aproximado de un transformador.
como en la figura 3.9, se requiere entonces que la impedancia de carga ZL
se refiere a ese devanado. Esta simplificación se muestra en la figura 3.11.
Si se hace esta misma simplicación en la figura 3.10, el voltaje de entrada
de devanado 1, v1 , debe expresarse en términos del devanado 2.
Otra simplificación común del circuito equivalente se obtiene al igno-
rar la rama de excitación que contiene xij) y re' Cuando las componentes
de corriente magnetizante y de pérdidas por núcleo son muy pequeñas com-
paradas con las de carga, lo que se verifica en muchos transformadores
de potencia, a menudo se justifica esta aproximación. Además, en mu-
chos problemas son las impedancias en serie las que son de interés para cal-
cular la regulación de voltaje en un transformador de potencia. En esta
aproximación, el circuito equivalente se reduce a los dos "brazos" de la red
r, como se muestra en la figura 3.12.
A la impedancia total de estas dos ramas en serie del circuito se le
llama a menudo impedancia equivalente del transformador, la cual siem-
pre debe precisarse para cuál devanado está referida. Así, la impedencia
equivalente en términos del devanado 1 es, de la figura 3.12,
(3.25)
En forma semejante, si se refiere al devanado 2:
(3.26)

114. 112 Transformadores
3.3.3 Diagrama de fasores del transformador
El diagrama fasorial es una representación de las relaciones de fase de las
componentes de voltaje y corriente en estado estacionario del circuito
equivalente, y es una guía que conviene usarse cuando se determinan vol-
tajes y corrientes mediante el circuito equivalente. Es también una buena
representación visual de las relaciones teóricas que han sido expresadas
como ecuaciones, y ayuda al lector a comprender la teoría del transforma-
dor. Antes de la aparición de computadoras y calculadoras y aún antes del
uso generalizado de reglas de cálculo, se trazaron diagramas de fasores a
escala, de tal suerte que las magnitudes -y fases- de las componentes se
representaron con exactitud, y se utilizaron métodos gráficos para deter-
minar las diversas componentes. Este método ya casi 'no se usa y las mag-
nitudes fasoriales no se trazan generalmente a escala.
En las figuras 3.6 y 3.8 se introdujeron ya los diagramas fasoriales en
régimen sin carga. En la figura 3.13 se muestra el diagrama fasorial com-
pleto, que incluye relaciones para el régimen con carga. El trazo de un
diagrama fasorial se inicia con los fasores de carga aV2 e 12 fa, que
forman entre sí el ángulo del factor de potencia de la carga, eL' Estos
parámetros deben ser datos o presuponerse, con el objeto de poder trazar
el diagrama. En ciertos problemas, es práctica general suponer la corriente
de carga nominal (o alguna fracción de la corriente nominal), para volta-
je de carga nominal y suponer varios valores diferentes del factor de poten-
cia de carga, calculándose en seguida el voltaje y corriente de entrada del
transformador requeridos para satisfacer estas condiciones de carga. Se
partió en este capítulo con la convención arbitraria a llamar devanado 2
a la carga o salida o devanado secundario y devanado 1 a la entrada o de-
vanado primario. Esta convención no es necesariamente obligada y el lector
puede usar cualquier convención en la notación que le resulte más con-
veniente.
Una vez trazados los fasores en régimen de carga, se suman fasorial-
mente las caídas de impedancia del devanado 2 o secundario al voltaje de
carga, obteniéndose así el voltaje inducido en el secundario aE2 • Las com-
ponentes de corriente magnetizante se suman a la corriente de secundario,
dando la corriente de entrada o de primario 11 • En seguida se calculan las
caídas de voltaje del primario, para obtener el voltaje VI de entrada. Nó-
tese que el diagrama de fasores se traza siempre en términos de un devanado
o del otro (en la figura 3.13 se usó el devanado 1); por consiguiente, los
cambios en magnitud de voltaje y corriente, atribuibles al transformador
ideal, no aparecen y en modo alguno dilucidan lo que se pretende con el
diagrama de fasores.
En seguida se ilustrarán algunos de los usos del circuito equivalente y
del diagrama de fasores.
Ejemplo 3.10
Los valores de régimen de un transformador son: 500 kVa, 2400:480 V y

115. Grcuitos equivalentes del transformador 113
v,
FIGURA 3.13. Diagrama fasorial de un transformador con carga.
60 Hz. Las impedancias (en OhIl).s) del circuito equivalente para este trans-
formador son las siguientes (el subíndice 1 corresponde al devanado de alto
voltaje y el 2 al de baja tensión):
r l =0.058
XI =0.29
'2=0.002
x2=0.012
X</> =400
'e =2000
La carga se conecta al devanado de bajo voltaje y extrae la corriente no-
minal a factor de potencia 0.866, atrasada con respecto al voltaje nominal
en las terminales de este devanado. Para esta condición de carga, determi-
nan el voltaje terminal en el devanado de alta tensión, la corriente, el fac-
tor de potencia y la eficiencia del transformador.
La relación de vueltasa es 2400/480 =5 Yla corriente nominal de deva-
nado de carga es 500,000/480 = 1040. Los cálculos que siguen se muestran
hechos "a mano", aunque pueden programarse fácilmente en una calcula-
dora programable o computadora. El diagrama de fasores de la figura 3.13
será de utilidad para ejecutar los complejos cálculos algebraicos para las
componentes de voltaje y corriente que se indican en seguida. Este
problema se resolverá en términos del devanado de alto voltaje (devanado
1).
El voltaje inducido en el devanado secundario (en términos de prima-
rio) es:

116. 114 Transformadores
E~ = 5 X 480 + 10
5
40 L - 30° X (25 X 0.002 + j25 X 0.012)
=2440+j49 V
Nótese que el voltaje de carga se usa como fasor de referencia. La corrien-
te de excitación es
. 2440 + j49 2440 + j49
1ex= le +JI</> = 2000 + j400
= 1.2425 - j6.0755 A
La corriente de primario (devanado 1) es
1
11 = 1ex + -2 = 1.2425 - j6.0755 + 208 L - 30° = 182.2425
a
-ji 10.0755=213 L -31.2° A
El voltaje de primario es
VI =2440+j49+ (213 L - 31.2) X (0.058 + jO.29)
= 2482.5 + j95.5 = 2483 L 2.2° V
El factor de potencia en las terminales del devanado 1 es el coseno del
ángulo entre VI e I I , o sea cos 33.4° = 0.832. La eficiencia del transfor-
mador es
1040 X 480 X 0.866
(1040) X 480 X 0.866 + (l040)2 X 0.002 + (213)2 X 0.058 + ;~~
_ 433,000
- 440,760
=0.98
Ejemplo 3.11
Determinar la impedancia equivalente en serie del transformador: (1) en
términos del alto voltaje (devanado primario) y (2) en términos del bajo
voltaje para el ejemplo 3.10.
1. La impedancia equivalente en serie, en términos del devanado 1, es
Z leq = 0.058 + 25 X 0.002 + j (0.29 + 25 X 0.0 12)
=0.108+jO.59 = 0.6 L 79.6°.

117. arcuitos equivalentes del transformador 115
2. En términos del devanado 2:
Ejemplo 3.12
Z2eq = 0'f;8 + 0.002 +j ( °i;9 + 0.012)
= 0.00432 +jO.0236 = 0.024 L.. 79.6°.
Para el transformador del ejemplo 3.10, determinar la impedancia equiva-
lente de Thévenin del circuito de carga del transformador, visto desde las
terminales del primario.
Para este cálculo, se necesitará la impedancia de la carga en términos
del primario (devanado 1). Se encuentra así:
ZL = 1040~~300 = 0.451 L.. 30° = 0.392 +jO.226 ohm
y en términos de primario
Z(L =25 X ZL = 11.3 L.. 30° =9.8 +j5.65
La impedancia total del circuito secundario, incluyendo la impedancia de
devanado y de carga, en términos de primario, es:
Z;/ =25(0.002+jO.Ol2) +9.8+j5.65=9.85+j5.95
= 11.5 L.. 31.2°
Esta impedancia está en paralelo con las dos impedancias de excitación
(x<¡j y re):
1
Za = -1/-:-:2=-=-000-::-::--+-:1---:/j-AC::-
00-==-+-1=-/7-:-1":"'"1.5-::-'L..-:-3::-:1-=.2C::-o
= 11.22 L.. 32.3°
=9.5+j6
Esta impedancia equivalente queda en serie con la del primario (devanado
1):
ZTH =0.058+jO.29 +9.5 +j6=9.558 +j6.29 = 11.45 L.. 33.4°
Obsérvese que el ángulo de esta impedancia equivalente de entrada es igual
al ángulo entre los fasores de voltaje y corriente de entrada encontrado en
el ejemplo 3.10.
Enseguida se describirán las pruebas para obtener las componentes
del circuito equivalente y algunos otros parámetros del transformador.

118. 116 Transformadores
3.4. PRUEBAS DE TRANSFORMADOR
3.4.1 Polaridad del transformador
La polaridad de un transformador es la característica que describe la direc-
ción relativa de las componentes de voltaje inducido y corriente de carga
en los dos devanados del transformador. La dirección relativa de estos
parámetros en los dos devanados depende, sobre todo, de la propiedad
inherente descrita por la ley de Lenz, dada en la sección 2.8. Las caracte-
rísticas direccionales de esta relación las definen las propiedades vectoria-
les descritas por la ecuación (2.2) y las "reglas de mano" asociadas a las
propiedades vectoriales. Entra un segundo factor en las características di-
reccionales de los dos devanados y es la dirección relativa alrededor del
núcleo según la cual se enrollan los devanados. Esto se puede entender
al observar los arreglos esquemáticos de los devanados de las figuras 3.1 y
3.5. Cada devanado puede enrollarse en el sentido de las manecillas del
reloj o en sentido contrario alrededor del núcleo. Esta selección se basa en
consideraciones prácticas durante el proceso de ensamblado del transfor-
mador. Al adquirir un transformador no hay, en general, manera de ver las
direcciones relativasde devanado y, consecuentemente, no existen medios vi-
suales para determinar las direcciones relativas de voltaje inducido y co-
rriente de carga.
En casi todo los transformadores hay alguna forma de marcado, su-
ministrado por el fabricante, para indicar estas propiedades direccionales.
Estas marcas se conocen como marcas de polaridad. La más sencilla de es-
tas marcas es un punto en una terminal de cada devanado, como se ilustra
en la figura 3.14, cuyo significado es el siguiente: en el instante en que el
voltaje inducido en un devanado es positivo desde la terminal punteada a
la otra, también lo es desde la terminal sin punto a la punteada en el otro
devanado. O bien, en términos de componentes de corriente de carga en
estado estacionario, sería: cuando la corriente de carga fluye hacia la ter-
minal punteada de un devanado, sale de la terminal punteada en el otro.
Las convenciones de polaridad a base de puntos puede verificarlas el lector
mediante las "reglas de mano" o la notación vectorial de (2.2) descritas en
el capítulo 2, usando los diagramas esquemáticos simples de transformador
de la figura 3.1 o de la 3.5.
En los grandes transformadores de potencia usados en sistemas de
potencia se emplea otro tipo de convención de polaridad. Esta convención
identifica a las cuatro terminales del transformador: las de alto voltaje
con I-Il y I-I2 Y las de bajo voltaje con Xl y X 2 • Aquí, el subíndice 1 equi-
vale a las terminales punteadas de la anterior convención.
Cuando haya duda acerca de la polaridad del transformador, puede
verificarse con una prueba sencilla, que sólo requiere mediciones de volta-
je con el transformador sin carga. En esta prueba de polaridad, se aplica
el voltaje nominal a un devanado, generalmente al que resulte más conve-

119. Pruebas de transformador 117
• • • •
+ +
;,
FIGURA 3.14. Convención de polaridad por puntos
• •
v
FIGURA 3.15. Prueba de polaridad. Como se muestra, el voltímetro leerá
(Vin - V2 ) y la polaridad será sustractiva.
niente para la fuente de voltaje disponible. Se establece una conexión
eléctrica entre una terminal de un devanado y una del otro. Por lo general
las terminales se conectan físicamente más próximas de cada devanado.
En seguida se mide el voltaje entre las dos terminales restantes, una de cada
devanado. Si este voltaje medido es mayor que el voltaje de prueba de
entrada, a la polaridad se le llama aditiva y si es menor, se le llama sustrac-
tiva. Esta prueba puede fácilmente relacionarse con la convención de pola-
ridad, como se muestra en la figura 3.15.
3.4.2 Prueba en circuito abierto (prueba sin carga)
El objeto de esta prueba es obtener las impedancias de la rama de excita-
ción en el circuito equivalente, la pérdida sin carga, la corriente sin carga
y el factor de potencia. Esta es una prueba sencilla que se efectúa como su
nombre lo implica: un devanado está en circuito abierto y al otro devana-
do se aplica un voltaje (generalmente el voltaje nominal a la frecuencia
también nominal). Se miden el voltaje, la corriente y la potencia en las ter-
minales de este devanado. También se mide el voltaje con circuito abierto
del segundo devanado y con esta medición puede obtenerse una verifica-

120. 118 Transformadores
ción de la razón de vueltas. Por lo general es más conveniente aplicar el
voltaje de prueba al devanado que tenga un voltaje nominal igual al de la
fuente de potencia disponible. En transformadores elevadores del voltaje,
el voltaje en circuito abierto del devanado secundario será mayor que el
voltaje aplicado y, en algunos casos, mucho mayor. Debe tenerse cuidado
con las terminales de este devanado, garantizando la seguridad del perso-
nal de prueba y evitando que estas terminales queden muy próximas a
otros circuitos eléctricos, instrumentos, tierra, etc.
Al presentar los parámetros en régimen sin carga que se obtuvieron a
partir de datos de prueba, se supuso que el devanado 1 es al que se le apli-
có el voltaje, y que el 2 estaba abierto. La pérdida de potencia sin carga es
la de la lectura del wattmetro en esta prueba; la pérdida por núcleo se
encuentra restando la pérdida óhmica del devanado 1, que generalmente es
pequeña y puede ignorarse en algunos casos:
(3.27)
El factor de potencia sin carga es igual a WN L/V111 N L ; el voltaje inducido
del devanado 1 es
(3.28)
donde eN L es el ángulo del factor de potencia sin carga. La resistencia de
pérdida por núcleo equivalente re YIr reactancia inductiva magnetizan-
te se encuentran así:
E?NL
(3.29)r=--
e Pe
Pe
(3.30)1=--e E1NL
1<1> =y1rNL - le
2
(3.31 )
EINL
(3.32)X = - -
<1> 1
<1>
VI
(3.33)a~--
E2NL
Muchos transformadores de circuitos electrónicos se excitan con
fuentes de formas de onda no sinusoidales. De ser posible, es conveniente
efectuar la prueba sin carga con la excitación de entrada igual a la excita-
ción real bajo la cual va a operar el transformador. Esto es particularmente
importante al medir la pérdida de potencia sin carga, que depende en alto

121. Pruebas de transformador 119
grado de la forma de onda de excitación. Debe tenerse cuidado para usar
los instrumentos adecuados al emplear tales formas de onda irregulares.
Los instrumentos con termopar son los más indicados para estas me-
diciones, ya que sus lecturas son valores rcm, independientemente de la
forma de onda. No obstante, también debe considerarse la respuesta en fre-
cuencia de los instrumentos, pues la excitación pulsante puede tener compo-
nentes de muy alta frecuencia, aun cuando la frecuencia fundamental sea
relativamente baja. Las mediciones de potencia son las más difíciles de
obtener con exactitud, no sólo por las formas de onda no sinusoidales, sino
también por el factor de potencia muy bajo asociado a la prueba sin carga
en muchos transformadores. El factor de potencia puede quedar en el ran-
go de 0.50 a 0.2. Los watímetros de dinamómetro por lo general no son
aplicables en estas circunstancias. Los watímetros de multiplicador elec-
trónico son probablemente los medios más generales para realizar medicio-
nes de potencia en transformadores sin carga bajo condiciones de bajo
factor de potencia y formas de onda no sinusoidales en grado considerable.3
Esos watímetros pueden construirse con componentes de laboratorio su-
mamente accesibles. Para una discusión más amplia sobre estas pruebas,
véase la referencia 5.
3.4.3 Prueba de cortocircuito
La prueba en cortocircuito queda bien descrita por su nombre. Uno de los
devanados se cortorcircuita y al otro se le aplica un voltaje reducido. Este
voltaje reducido es de una magnitud tal que da lugar a un valor específico
de corriente (generalmente la corriente nominal o una fracción de ella) que
fluye en el devanado cortocircuitado. La selección del devanado que va
a ser cortocircuitado es de nuevo arbitraria en cierto sentido, y se deter-
mina por lo general por el equipo de medición que va a usarse en la prueba.
Sin embargo, debe tenerse cuidado de anotar cuál devanado es el que está
en cortocircuito, porque esto determina el devanado de referencia para ex-
presar las componentes de impedancia obtenidas de esta prueba. Estas
componentes pueden fácilmente referirse al otro devanado mediante
las relaciones a2
obtenidas en secciones anteriores de este capítulo. Para
describir esta prueba se supondrá que el devanado 2 es el cortocircuitado
y que el voltaje reducido se aplica al 1.
El objeto principal de la prueba en cortocircuito es obtener las im-
pedancias en serie. Un segundo objetivo es obtener las pérdida de potencia
en cortocircuito. Esto es de utilidad para evaluar los efectos peliculares en
los devanados, la elevación de temperatura y la resistencia equivalente por
unidad. La prueba en cortocircuito se efectúa por lo general a la frecuencia
nominal del transformador. En transformadores con pulsos puede ser
conveniente efectuar esta prueba dentro de un rango de frecuencia que
está relacionado con las componentes de frecuencia presentes en los pulsos
con los que va a operar el transformador. La discusión acerca de la instru-

122. 120 Transformadores
mentación dada en la sección anterior se aplica también a las pruebas en
cortocircuito.
En la prueba en cortocircuito con un voltaje muy bajo aplicado al
devanado no cortocircuitado, las pérdidas por núcleo y las componentes de
corriente magnetizante llegan a ser muy pequeñas. Esto implica que, bajo
esta condición, las impedancias de pérdida por núcleo y magnetizantes
alcancen valores relativamente altos. Dado que estas impedancias están eléc-
tricamente en paralelo con la impedancia en serie del devanado en cortocir-
cuito, las impedancias magnetizantes pueden por lo general despreciarse en
la prueba en cortocircuito. El lector puede verificar esta conclusión con las
ecuaciones y teoría desarrolladas en secciones anteriores de este capítulo.
Con esta hipótesis se determinan las impedancias en cortocircuito como
sigue:
Pise
rlse=T
Ise
(3.34)
(3.35)
(3.36)
Estas impedancias en cortocircuito son aproximadamente iguales a las im-
pedancias equivalentes dadas en la ecuación (3.25) en términos del devanado
1. La aproximación se debe a los efectos de la rama de excitación que pue-
de ser o no de consideración. Por lo general, se supone que las impedancias
en cortocircuito para análisis de ingeniería son iguales a las equivalentes.
Es también común suponer que las dos impedancias de devanado, referidas
al mismo devanado, son iguales. Esto permite obtener las impedancias de
devanado individuales de la prueba en cortocircuito, siendo válida esa
suposición en muchos problemas de ingeniería y se empleará en los proble-
mas de fin de capítulo, a menos que se diga lo contrario. Sobre la base de
estos dos supuestos.
(3.37)
2 xlse
x¡=a x2=-2- (3.38)
2 zlse
z¡ =a Z2=--
2
(3.39)
Es posible obtener una separaClOn más precisa de las resistencias de los
devanados 1 y 2 midiendo la resistencia óhmica de cada uno de ellos y su-

123. Pruebas de transformador 121
poniendo que las resistencias efectivas se dividen según la misma razón
que las resistencias óhmicas medidas.
3.4.4 Otras pruebas de transformador
Existen otras pruebas de importancia en los transformadores de circuitos
electrónicos que se describen en la referencia 5 y pueden ser de interés pa-
ra el lector:
1. La prueba de pérdida de retorno es una medición de impedancia termi-
nada que se emplea para limitar reflexiones en las líneas de transmisión
hasta valores mínimos. Esta medición requiere un circuito de puente
especializado, conocido como puente de pérdida de retorno.
2. La respuesta en frecuencia es de importancia al emplear transformado-
res en circuitos electrónicos que operan frecuencias variables. Por regla
general, la respuesta en frecuencia se determina para un sistema del
cual el transformador es un componente.
3. La respuesta a pulsos es una prueba para determinar las características
dinámicas de un transformador con excitación pulsante. Son aplica-
bles las técnicas de medición en pulsos convencionales.
Ejemplo 3.13
Las mediciones sin carga en un cierto transformador dieron las siguien-
tes lecturas: para el devanado 1:115 V, 60 Hz, 80 W y 3 A; las impedan-
cias serie del devanado 1 fueron rl = 0.02, Xl = 0.1 D.. Determinar re y
xQ •
El ángulo de factor de potencia sin carga es
El voltaje inducido en el devando 1 sin carga es
E1NL = liS - (3 L. -76.6°)(0.02 +jO. I) = 114.7 L. 0°
80
le = 114.7 =0.7 A
114.7
r =--=1640hms
e 0.7

124. 122 Transformadores
114.7
x</> = 2.93 = 39.2 ohms
Se ve que si se ignoraran las caídas de voltaje en el devanado 1, se tendrían
cambios insignificantes en los valores de reY x<jJ •
Ejemplo 3.14
Un transformador cuyos datos de placa son 10 kVa, 7200:120 V y 60 Hz
se prueba en cortocircuito en el devando de alto voltaje con los siguientes
valores medidos:220 V.1.39 A, 200 W, y 60 Hz. Determinar las impedan-
cias equivalentes en serie.
Dado que el voltaje aplicado para esta prueba es alrededor del 3% del
valor nominal, pueden despreciarse las componentes de excitación:
220
Zsc = 1.39 = 156 ohm
200
rsc = --2 = 104 ohm
1.39
Xsc = V1562- 1042 = 116 ohm
Si se supone que las impedancias se dividen en partes iguales,
104
'1 =a2'2 = T =52 ohm
116
XI =a2
x2 = - =58 ohm
2
52
'2= 3600 =0.144 ohm
58
X 2 = 3600 =0.161 ohm
3.5 CAPACITANCIA DEL TRANSFORMADOR
La capacitancia existe entre muchas partes físicas de cualquier transforma-
dor. Los elementos principales de capacitancia están entre las vueltas de
los devanados, entre las capas de los devanados, entre el núcleo y las vuel-
tas, entre las vueltas y el tanque (o caja si es metal), y entre las terminales
y los conductores externos. Estos elementos capacitivos se distribuyen en
general en todo el volumen del transformador, aunque el efecto combinado
de la capacitancia distribuida puede a menudo tratarse en términos de

125. +
v,
+
e,
e,
Capacitancia del transformador 123
+
+
FIGURA 3.16. a) Circuito equivalente que incluye capacitancia concentrada
para representar capacitancias distribuidas. C1, capacitancia distribuida de
devanado 1 (primario); C2 , capacitancia distribuida de devanado 2 (secunda-
rio); C12, capacitancia de puente y de fuga directa entre salida y entrada. b)
Modificación del circuito de la figura 3.16a para eliminar el transformador
ideal.
capacitancias concentradas e incluirse en el circuito equivalente que se exa-
minó antes. Los efectos de capacitancia sólo tienen importancia para-apli-
caciones en altas frecuencias y pulsos, aunque se deben considerar los
gradientes de voltaje entre vueltas, atribuibles a capacitancias entre vueltas,
al diseñar los sistemas de aislamiento para transformadores de alto voltaje
en frecuencia de potencia.
Por lo común, se usa un circuito con tres capacitancias para describir
la capacitancia distribuida de un transformador.3
Este circuito se muestra
en la figura 3.16 a. Puede eliminarse el transformador ideal del circuito equi-
valente, de una manera semejante a la eliminación que se hizo en otros
circuitos eqpivalentes, salvo por el término de capacitancia mutua el 2 .
Esta variante se muestra en la figura 3.16 b.

126. 124 Transformadores
Estos circuitos equivalentes, que contienen capacitancias, son ade-
cuados para modelar transformadores en frecuencia donde tiene impor-
tancia la capacitancia distribuida.
En la referencia 9 se dan los métodos para medir las capacitancias concen-
tradas equivalentes CI , C2 y C12 • Los análisis de circuitos equivalentes
con capacitancias mediante cálculos "a mano" son sumamente tediosos,
por lo que es casi una necesidad usar programas de análisis de circuitos por
computadora.
3.6 CORRIENTE DE IRRUPCION
Gran parte de este capítulo se ha dedicado a la teoría y análisis de trans-
formadores en estado estacionario. Empero, hay un aspecto de las carac-
terísticas transitorias del transformador que merece atención especial: la
alta corriente, potencialmente hablando, que puede surgir en el preciso
momento de energizarlo con una fuente de voltaje sinusoidal. Este pico de
corriente inicial, llamado corriente de irrupción, es incontrolable desde un
punto de vista práctico. Puede resultar un pico de corriente varias veces
superior a la corriente nominal del transformador o puede ser inobservable.
Es el tóxico del estudiante (o instructor) de laboratorio de máquinas eléc-
tricas y tiene suma importancia durante la energización de los grandes trans-
formadores de potencia. Es posible explicarla de una manera relativamente
simple, como sigue.
La corriente de irrupción se modifica en cierto modo por la carga del
transformador. Es más observable en el régimen sin carga, y bajo esta con-
dición se ilustrará este fenómeno. Sin tomar en cuenta la pérdida por núcleo
y la resistencia del primario, la relación entre voltaje y flujo en régimen sin
carga puede describirse de la ecuación (3.3) y (3.4) así:
(3.40)
donde a = argumento del término seno en t = O. La solución de esta ecua-
ción diferencial lineal de primer orden es
V1m ]
cp= wN [cosa-cos(wt+a)
=<I>m[cosa -cos(wt+ a)] (3.41)
Se ve que el flujo tiene dos componentes: la transitoria y la de estado
estacionario. Puesto que no se ha considerado la pérdida por núcleo ni la
resistencia de primario, el término transitorio 1>m cos a no tiene factor de
decremento alguno. Desde luego en un transformador práctico está presen-

127. Corriente de irrupción 125
te un término de esa naturaleza y la componente transitoria decae expo-
nencialmente con una constante de tiempo que es función de la resistencia
del transformador y de la pérdida por núcleo. En transformadores peque-
ños, esta constante de tiempo es generalmente del orden de unos pocos
milisegundos; en los grandes transformadores de potencia puede ser de un
segundo o mayor.
Sin olvidar que la componente transitoria debe decaer, se analizarán
ahora las implicaciones de la ecuación (3.41). En primer lugar, se obser-
va que la magnitud de la componente transitoria es una función del instante
en que el transformador se conecta a la fuente de voltaje, función deter-
minada por el ángulo a en la ecuación (3.41). Si a es rr/2 (lo que significa
que la fuente de voltaje en t = O se encuentra en-su máximo positivo), el
término transitorio es cero y no hay corriente de irrupción. Si a es cero,
el término transitorio es máximo y puede producirse un pico de corriente
elevado durante los primeros ciclos después de energizar al transformador.
Este es el peor de los casos y se ilustra en la figura 3.17. Después de un
cuarto del período se observa que las dos componentes de flujo son aditi-
vas y que en w t = rr el flujo en el núcleo del transformador será 2CPm , sin
considerar el decaimiento del término transitorio. En la realidad, este
primer pico de flujo puede ser más del doble del flujo máximo normal, ya
que con frecuencia existe magnetismo residual en el núcleo si en un prin-
cipio estaba energizado. Si el flujo residual tenía la dirección adecuada, se
sumaría al flujo calculado según la ecuación (3.41).
El pico de corriente asociado a este pico de flujo es proporcionalmen-
te mucho más grande, en virtud de la saturación de núcleo. En la mayoría
de los transformadores, el núcleo y los devanados se diseñan de tal mane-
ra que, bajo el voltaje nominal, el flujo máximo de estado estacionario
quede alrededor de la rodilla de la curva de saturación. Por consiguiente,
la condición descrita durante la energización inicial de un transformador,
que requiera un flujo de dos o más veces el flujo máximo en estado esta-
cionario, puede necesitar una corriente de excitación de varios cientos
de veces la corriente de excitación normal a causa de la saturación del nú-
cleo. Esta posibilidad debe considerarse al escoger la fuente para el circuito
y para la protección de cualquier circuito que involucre un transformador.
La referencia 2 da una buena aproximación para relacionar el primer pico
de corriente de irrupción (en amperes) con los parámetros de diseño del
transformador:
donde b
As
bAc(Br+2Bm -1.95)
IpK
= /LoAs N (3.42)
longitud de la bobina a lo largo de su eje, en m
área total del espacio encerrado por el devanado medio de
la bobina excitada, en m2.

128. 126 Transfromadores
9. v,
t
V1 = V1111 sen wt
--_ _ wt
FIGURA 3.17. Relaciones de flujo en las que se muestra la energización ini-
cial de un transformador activado en a = 0, ecuación 3.41.
Ac área neta de la sección transversal del núcleo magnético, en
m2
número de vueltas de devanado de la bobina excitada
densidad de flujo residual en t = 0, en Teslas
diseño máximo de densidad de flujo en estado estacionario,
en Teslas
3.7 ALGUNOS TIPOS PARTICULARES DE TRANSFORMADORES
Y CONEXIONES
La teoría y pruebas básicas de transformador presentadas en la sección
anterior se aplican en general a todo tipo de transformadores. No obstante,
existen muchos conceptos adicionales de teoría y práctica que son esen-
ciales en el análisis de muchas configuraciones y conexiones de transfor-
mador empleadas comúnmente. A continuación se discuten sucintamente
estas configuraciones y conexiones.
3.7.1 Transformadores de pulsos
Los transformadores que operan normalmente excitados por una fuente
discontinua de excitación se conocen como transformadores de pulsos.
Esta forma de excitación se traduce en algunas diferencias tanto en el di-
seño como en el análisis de los transformadores de pulsos, comparados con

129. Algunos tipos de transformadores y conexiones 127
los que se diseñan para operar con una fuente de excitación continua, co-
mo una de voltaje sinusoidal. En esta sección se resumirán algunas técnicas
de análisis y al finalizar este capítulo varios problamas permitirán al lector
investigar aún más este tema.
La potencia promedio en un transformador de pulsos es generalmen-
te muy baja, aunque la potencia pico puede ser sumamente grande. Los
primeros transformadores, diseñados especialmente para excitación por pul-
sos, se elaboraron para ser usados en radares durante la Segunda Guerra
Mundial, siendo de muy elevada capacidad de potencia pico. En los acele-
radores lineales y en equipo semejante se usan transformadores de pulso
similares. Más recientemente, se han desarrollado transformadores de
pulsos de pico de potencia medio y bajo, para muchas aplicaciones elec-
trónicas y de control, como las que se encuentran en los circuitos de dis-
paro de compuerta de los thyristors de potencia. La excitación por pulsos
consiste típicamente de un pulso de voltaje rectangular o de una irrupción
breve de pulsos sinusoidales de alta frecuencia, aunque comúnmente se
usan muchas otras formas de pulsos. La magnitud y la rapidez de repe-
tición del pulso determinan la potencia promedio del transformador. En
el capítulo 8 se describen algunas pocas formas de onda pulsantes en
relación con el control electrónico de motores.
Cuando los pulsos de excitación se repiten con una rapidez de pulso
permanente, es posible resolver este modo de excitación en funciones expo-
nenciales continuas mediante los métodos de serie de Fourier. Pudiera
pensarse que la teoría presentada al principio de este capítulo, que se basa
en excitación sinusoidal, podría emplearse en el análisis del transformador
de pulsos. En general, esto no es posible, dadas las no linealidades del trans-
formador, debidas a la saturación del núcleo magnético. Además, el uso de
los métodos de la serie de Fourier proporciona poca información sobre la
operación física del transformador.
Más que el uso de los métodos de Fourier, el análisis del transforma-
dor de pulsos se basa en la solución de ecuaciones diferenciales, de una
manera fragmentada, usando los circuitos equivalentes de la figura 3.16 y
las modificaciones de estos circuitos. Los parámetros del transformador
de pulsos se definen en términos de una forma de onda pulsante normal,
mostrada en la figura 3.18. Esta forma de onda puede representar un vol-
taje o corriente, resultante de una excitación pulsante rectangular y, con-
secuentemente, se describe mediante un símbolo generalizado A. Los
principales parámetros de pulso relacionados con esta onda se muestran
también en la figura 3.18. Puede verse que estas definiciones de parámetros
siguen a las usadas en análisis de circuitos y en la teoría del control. La
forma real y la magnitud de los pulsos de voltaje o corriente de salida re-
sultantes de la excitación de un pulso rectangular en un transformador
específico pueden determinarse por el análisis del circuito equivalente
completo de la figura 3.16.

130. 128 Transformadores
FIGURA 3.18. Forma de pulso normal de voltaje o corriente usada en el aná·
lisis y especificaciones de transformadores de pulsos. Am = amplitud de pulso,
Ao. =excedente,AD = bajada o declive,ABs = columpio posterior, Td =dura-
ción de pulso, Tr = tiempo de elevación de pulso y Tf = tiempo de caída de
pulso.
Como se hizo notar, un análisis tal requiere técnicas de simulación
en computadora, es tedioso e implica mucho tiempo. Sin embargo, como
se observó, es posible hacer una simplificación considerable del circuito equi-
valente completo durante varias partes del pulso. Estas simplificaciones se
muestran en las figuras 3.19 a, by c, suponiendo que todos los parámetros
se expresan en términos del secundario (devanado de salida).9.lo Todos es-
tos parámetros se definieron previamente, salvo CD , que es la capacitancia
distribuida del devanado secundario y CL , que es la capacitancia del cable de
terminación y la carga.
Tanto los VA pico y promedio como las capacidades de potencia,
deben tomarse en cuenta al diseñar y emplear transformadores de pulsos
que, por otra parte pueden ser de diversos órdenes de magnitud. Otra especi-
ficación importante en los transformadores de pulsos es la de producto
voltaje -tiempo, que se definé como la integral máxima de un pulso de vol-
taje rectangular que puede aplicarse a un devanado, antes de que los efectos
de saturación de núcleo hagan que la forma de onda del pulso de corrien-
te de excitación resultante se desvíe, en un porcentaje dado, de una rampa
lineal. La definición de la permeabilidad de núcleo magnético también se
modifica para la aplicación de pulsos, siendo ahora "el valor de la permea-
bilidad en amplitud cuando la razón de cambio de densidad de flujo se
mantiene sustancialmente constante durante cierto lapso en cada ciclo"l I ,

131. Algunos tipos de transformadores y conexiones 129
ó
(3.43)
donde /::,B cambio en la densidad de flujo durante el lapso estableci-
do y
/::,H cambio asociado en la intensidad de campo magnético.
Generador
de pulsos
Generador
de pulsos
eL
FIGURA 3.19. a) Circuito equivalente simplificado para evaluar la arista an-
terior de un pulso de transformador (tiempo de elevación) con una carga resisti-
va. b) Circuito equivalente simplificado para evaluar la cima de un pulso de
transformador. e) Circuito equivalente simplificado para evaluar la arista poste-
rior (tiempo de caída y columpio posterior) de un pulso de transformador.
3.7.2 Conexiones polifásicas
En muchas aplicaciones en potencia, rectificación y control de motores,
se emplean circuitos polifásicos para reducir las pérdidas en conductores y
máquinas. El sistema polifásico más común es el trifásico, aunque los sis-
temas de 2,6 y hasta 12 fases se usan en diversas aplicaciones. La mayoría

132. 130 Transfonnadores
de los sistemas de generaclOn, transmisión y distribución de potencia y
muchos sistemas de control de motores en c.a. son también trifásicos. En
~~ª-istemas trifásicos balanceadqs, los fasores de corriente y voltaie_ epTas
tres fases esfán desplazados unos de otros por un ángulo eléctrico d~..
Cuando se requieren transformaciones de voltaje'oco~~iente en siste-
mas polifásicos, deben usarse las conexiones de transformadores polifásicos.
Los transformadores trifásicos pueden consistir de tres transformadores
individuales conectados adecuadamente, o bien de un solo núcleo, en el
que se colocan tres conjuntos de devanados de una manera conveniente.
El último arreglo, conocido como un transformador trifásico, se traduce en
una cierta reducción del tamaño y peso del núcleo y del tanque en compa-
ración de los tres transformadores individuales de los mismos valores no-
minales totales. En transformadores enfriados por aceite, se obtiene alguna
reducción en la cantidad de aceite requerido. No obstante, el análisis de los
dos tipos de sistemas de transformadores es el mismo, pero no así el análi-
sis del circuito magnético y el análisis térmico de los sistemas de cubierta.
El análisis de los transformadores polifásicos es en esencia idéntico al
de los de una fase, descrito en secciones anteriores de este capítulo. Algu-
nos de los principales asuntos en la aplicación de transformadores polifásicos
son las componentes armónicas de la corriente de excitación, el efecto de
la carga fuera de balance de las fases y los efectos de las componentes de c.c.
Puesto que los transformadores usados en aplicaciones de transmisión y
distribución de potencia son frecuentemente de capacidades en VA muy
altas, sus magnitudes de corriente de excitación pueden ser relativamente
grandes. Las armónicas de alta frecuencia de estas corrientes pueden causar
interferencia electromagnética con líneas telefónicas vecinas, calentamien-
to indebido en ciertas partes de los circuitos polifásicos y voltajes desba-
lanceados en algunas conexiones del transformador.
Otro tema en la aplicación de la conexión del transformador trifásico
consiste en tener una comprensión razonable de las relaciones de potencia,
voltaje y corriente en los sistemas trifásicos, que se ha convertido casi en
arte perdido para los ingenieros actuales. Por consiguiente, como una ayuda
para aquellos lectores cautivos de la fascinación de la electrónica, de las
computadoras y los circuitos integrados, pero que tienen aún ocasional-
mente qué explicar por qué se funden constantemente los fusibles de la
planta de aire acondicionado o por qué no arranca un motor de inducción,
se dará un resumen breve de las relaciones de voltaje, corriente y poten-
cia en los transformadores trifásicos.
Las dos conexiones más comunes de transformadores trifásicos se
conocen como delta e "Y", así denominadas por los diagramas de fasores
que representan a estas conexiones, que esquemáticamente se muestran
en la figura 3.20 a. Obsérvese que 'los devanados del transformador se orien-
tan para mostrar las relaciones de fase. En general, los devanados primario
o secundario de un transformador trifásico pueden conectarse en delta o

133. 1¡ I(nea
+
V¡ I(nea
A
9
cT
~
1¡ fase
Algunos tipos de transformadores y conexiones 131
c~"
+
V:l I(nea
+
,,-1----------.(
FIGURA 3.20a. Conexión de transformador en delta - Y
FIGURA 3.20b. Diagrama fasorial para el devanado en delta de la figura 3.20a.
(Ver ejemplo 3.15).
"Y", La selección depende de los requerimientos de la aplicación específi-
ca, de la necesidad de un alambre neutro (como en sistemas de potencia),
la necesidad de suprimir armónicos y consideraciones de tierra. En siste-
ma de potencia, las conexiones deltajY son las más comunes.
Las relaciones fasoriales en cualquier transformador trifásico balancea-
do pueden describirse todas por el diagrama simétrico mostrado en la figura

134. 132 Transformadores
e
A ........-------~B
FIGURA 3.21. Diagrama para analizar transformadores trifásicos.
3.21. Los lados exteriores de este diagrama son las lados de un triángulo
equilátero y N representa el centro geométrico de este triángulo. En la
figura 3.22 se muestran las conexiones físicas de un transformador delta/Y.
La secuencia de letras en el triángulo de la figura 3.21 y el diagrama de co-
nexiones de la figura 3.22 son arbitrarios, salvo en lo que respecta a la se-
cuencia de fases. La secuencia de fases es el orden en que las letras pasan
frente a un observador situado fuera del triángulo cuando éste gira en el
sentido contrario al de las manecillas del reloj en la figura 3.21. La secuencia
de fases en la figura 3.21 es A-C-B. ~~~!~~J1.(ܪd~ fases,no tiell~il!!Portan::.-
9.i.!l: ell..el ªná.J.j.sis..cte tran.sf.Qrmªdºr~s t:ifás!90~.p~arlCeadºª-, aunque de-
termina la dirección de rotación de bs motores polifásicos que pueden
conectarse al secundario del transforn .ador. Puesto que se estudia el trans-
formador en este capítulo, procede igllorar la secuencia de fases.
En los sistemas polifásicos a los voltajes entre las líneas que entran o
salen del transformador se les llama voltajes de línea y a las corrientes en
estas líneas se les denomina corrientes de línea. Los voltajes a través de
los devanados del transformador se llaman voltajes de fase y las corrientes
en estos devanados son las corrientes de fase~ En la conexión delta se ve
que los voltajes de fase y línea son uno y el mismo. En la conexión Y, las
corrientes de fase y línea son iguales. En esta conexión las corrientes y
voltajes de fase se conocen comúnmente como corrientes y voltajes de lí-
nea a neutro.
Veamos nuevamente la figura 3.21. Pueden usarse los segmentos de
línea en este diagrama para representar las relaciones de fase de voltaje y
corrientes en ambas configuraciones. Para estar seguros de lo que significan
las relaciones de fase, véase la figura 3.21. La línea A-a-B representa un fa-
sor en 0°; la B-aC uno en 1200
, laN-a-A uno en 2100
; la C-a-N uno en -900
y así sucesivamente.
El último concepto básico requerido para el análisis de las conexio-
nes trifásicas necesita las relaciones de la ley de Kirchhoff, que establece
que para una línea o fase,

135. A
B
e
Algunos tipos de transformadores y conexiones 133
~ (voltajes) =0
~ (corriente) = O
H, X,
¡-~
No. 1: )1
1 )
-j.....=-.-..,--......
1 ¡
L_ _ _...1
'-----a
H2
H,
,--I
)1
No. 21
I
IL __
H2
H,
r--
1
)1No.31
1
1L __
~-+-------b
- -.,I
1
1
I
_J
.--_____ c
6---+-+------N
(3.44)
(3.45)
FIGURA 3.22. Conexiones para tres transformadores idénticos conectados
en delta -Y.
En una c.ºJJ~xió.rLY de transformador puede hacerse la siguiente ase-
veración: en la figura 3.21 si la X en el ceJ),tro del triángulo representll,Jas
relaQ!O.!!es de Jªse de los yºltªj~s de fase, el t!'!ªI!gulo .e:x:~~!.tq!.rep_reseIlt!g'á
las__!.~la.~!ºIl,es d~ Jª~ege los vqHlij~~.Q~1J!!~.li. Las líneas correspondientes
representan además las magnitudes de los voltajes de fase y de línea. En
una conexión delta, si el triángulo exterior representa la fase y la magnitud
de las corrientes de línea, la Y interior representará la fase y la magnitud de
las corrientes de fase. También, si el triángulo exterior representa la fa-
se de los voltajes de línea, en el lado delta de un transformador deltajY, la
y interior representará la fase -pero no la magnitud- de los voltajes de
línea en el lado Y del transformador. Existen varios juegos más que pueden
hacerse con este diagrama simple que son de utilidad en el análisis de las
conexiones de los transformadores trifásicos. Pero ahora se analizarán
las relaciones de magnitud en los transformadores trifásicos. En una co-
nexión delta,
llínea = V3 1fase (3.46)

136. 134 Transformadores
En una Y,
Tiínea = V3 Vfase
(3.47)
La potencia en la conexión trifásica es
P=3(Vfase )(Jfase )(cos8fase )
(3.48)
Obsérvese que el único ángulo de factor de potencia con significado en
sistemas polifásicos es el que existe entre las componentes de fase.
Ejemplo 3.15
Los devanados de alto voltaje de tres transformadores con especificaciones
100 kVa, 19 000 V se conectan en delta. Determinar la magnitud y fase
de los voltajes y corrientes de fase y línea de esta conexión cuando los de-
vanados de fase llevan la corriente nominal con un factor de potencia de
0.866 en atraso.
Puede suponerse una conexión de devanados como la delta de la figu-
ra 3.20 a. La corriente nominal por devanado es 100 000:19 000 = 5.26 A.
La corriente de línea nominal es v'3 x 5.26 = 9.1 A. Para trazar el diagra-
ma de fasores, se supone arbitrariamente que los voltajes de devando tri-
fásico son los del conjunto de la figura 3.21, a saber: VABLO°, VBc L120°
y V CA L240°. Las corrientes de fase se localizan respecto a estos voltajes
de fase mediante el ángulo del factor de potencia, que en este ejemplo
es cos-¡ 0.8666 = 30°. Para obtener la fase de las corrientes de línea, se
tiene que suponer una dirección de flujo de corriente en el diagrama de la
figura 3.20 a. Un conjunto consistente de corrientes de línea es el forma-
do por las corrientes que entran o las que salen de la delta. Otra suposición
acerca del flujo de corriente (por ejemplo, una corriente que penetre y
las otras dos que salgan) no daría los fasores trifásicos. Se supondrá arbi-
trariamente que la corriente entra en las terminales de la delta en todas
las tres líneas. Las corrientes de línea se obtienen aplicando la ley de co-
rrientes de Kirchhoff en los vértices de la delta. Por ejemplo, lA = lAB -
lCA = 5.3 L - 30° -5.3 L210° =9.1 LOo. En la figura 3.20 b se muestra el
diagrama de fasores.
Debe notarse que todas las relaciones anterivres se aplican sólo a un
~istema trifásico equilibrado; esto es, uno en el que todos los voltajes y
corrientes de fase y línea sean iguales en magnitud y con defas~~mléñf6:S-:­
de 120° uno respeCtba éítro.En estos sistemas el conductor neutro sólo
se utiliza como conexión de tierra. ~~!luilibrisu!eill~ststel1}_as trifás}
cos se origina por cargar fuera de balance a las fases individuales y por los-- ' . .~ _. .. .., "'---~ --

137. Algunos tipos de transformadores y conexiones 135
efectos de los armónicos del las corrientes de excitación del transformador.
Las dos conexiones reaccionan de modo diferente a estos desequilibrios.
En la conexión delta, el desequilibrio se manifiesta como una corrien-
te que circula alrededor de ella, dando lugar a pérdidas óhmicas adicionales
en los devanados del transformador, que pueden calentarlos excesivamente.
Sin embargo, esto se considera como una de las ventajas de la conexión
delta, pues "atrapa" las corrientes armónicas y tiende a mantener iguales
a los voltajes de fase y línea en el lado Y de la conexión. Ambos tipos de
desequilibrios (por cargas desbalenceadas y armónicos) tienden iCau-ia-i
córrÍe-nte eñ el neutro sobre el lado Y de la conexión. Esta corriente puede
reducirse al mínimo si el otro lado de la conexión es una delta. Si no hay •
conexión de alambre neutro, el voltaje del neutro tiende a desubicarse
del centro del triángulo de la figura 3.21, lo que se traduce en un voltaje
anormalmente elevado, cuando menos en uno de los transformadores o
secciones del transformador trifásico, lo que es una condición indeseable.
Por esta razón, rara vez se usan actualmente conexiones Y sin tierra.
Lo anterior exige una explicación de las relaciones de fase de armó-
nicos en las conexiones trifásicas. Es posible demostrar que las relaciones
de fase de armónicos en transformadores polifásicos varía en función del
orden de la fase 7,12. Por ejemplo, en un transformador trifásico, el ter-
cer armónico de la fase desplazada en 120
0
de la fase de referencia se des-
plaza en 3 X 1200
= 3600
• El tercer armónico en la fase desplazada en
2400
respecto a la fase de referencia, está desplazada 3 X 2400
= 720
0
• Por
consiguiente, en los transformadores trifásicos, los terceros armónicos en
los tres transformadores están en fase. Esto se aplica también a todos los
armónicos que sean múltiplos impares del tercero.
En una conexión delta, los terceros armónicos (y los múltiplos im-
pares) de corriente se suman unas a otras y forman corrientes que circulan
alrededor de la delta, siendo ésta la razón por la cual se llama a esta cone-
xión una trampa para los armónicos. En forma semejante, en una, Y sin
tierra, los terceros armónicos de voltaje se suman unos a otrosyti~nden a
empujar al neutro en la figura 3.21 fuera del neutro geométrico. Esta es
una explicación simplista de por qué la conexión delta es útil para supri-
mir armónicas y por qué la Y no puesta a tierra es indeseable. Debió haber-
se precedido probablemente de una aseveración asentando que las corrientes
de excitación de un transformador polifásico pueden contener sólo armó-
nicas impares, lo que remite a las bases de la teoría de las series de Fou-
rier.J2
,13 Esta conclusión se deja al lector para que la pondere con la ayuda
de las referencias 2,7,12 y 13.
Hagamos una última alusión a la simetría de las conexiones trifásicas.
En primer término, debe notarse de lo anterior que la delta y la Y son
conexiones duales, en el sentido de que las relaciones de voltaje y corrien-
te en los dos sistemas son inversas una de otra. La discusión de simetría de
las discusiones trifásicas introduce alguna de las más estéticas caracterÍsti-

138. 136 Transformadores
FIGURA 3.23. Conexión delta abierta usada en bancos de transformadores
trifásicos.
cas de muchos sistemas de ingeniería. La simetría geométrica de los sistemas
trifásicos ha sido descrita por muchos como "hermosa" y esta percepción
no debiera olvidarla el estudiante de ingeniería o el ingeniero en ejercicios
cuando se esfuerza en comprender los significados fisicomatemáticos de
estos sistemas. Los sistemas de potencia trifásicos son la base de la econo-
mía industrial de casi todo el mundo y, dado que la conservación de la
energía ha llegado a ser imperiosa, reviste una gran importancia optimi-
zar estos sistemas. Por lo tanto, aunque estos aspectos de transformadores
e ingeniería de potencia maduraron hace mucho~ años, no debe ignorarse el
significado y posibilidades de futuras mejorías. .
Algunas otras conexiones polifásicas tienen cierta importancia. La
conexión delta abierta, como su nombre lo indica, es una conexión del-
ta sin un transformador (Fig. 3.23). Puesto que para cualquier sistema tri-
fásico, cualquier fase de voltaje es la suma fasorial de las otras dos (3.44),
el voltaje entre los puntos del lado abierto de la delta es el voltaje de la
tercera fase. Esto permite tener un transformador trifásico con sólo dos
transformadores. La conexión delta abierta es una conexión desequilibra-
da y los dos devanados de transformador operarán en diferentes factores de
potencia, aun cuando están conectados a una fuente equilibrada y a impe-
dancias de carga también en equilibrio. Por consiguiente, la capacidad per-
misible en la conexión delta abierta es sólo y'3 veces los Va nominales de
un transformador.
La conexión Seott, mostrada en la figura 3.24, es una manera de con-
vertir tres fases a dos, o viceversa. Requiere una derivación a 0.866 en un
transformador, y otra a la mitad del devanado del otro transformador. Co-
mo la delta abierta, se trata de una conexión desbalanceada. En la figura
3.25 se muestra la conexión estrella hexafásiea. Es un medio por el cual se
pasa de tres a seis fases y se usa en muchos circuitos rectificadores y
de thyristor, donde se requiere una trayectoria para la corriente de c.c.
El ángulo característico de un sistema hexafásico es 60°.

139. 3-1>
transformador
B
Algunos tipos de transformadores y conexiones 137
X'A _ - - - - - - - - - - -
2-1>
Transformador A
FIGURA 3.24. Conexión de Scott para transformación de tres a dos fases.
3-1>
FIGURA 3.25. Conexiones delta trifásica y estrella hexafásica.
3.7.3 Autotransformadores
El devanado único o autotransformador es un dispositivo muy útil para
algunas aplicaciones debido su sencillez y bajo costo, en comparación con
los transformadores de devanado múltiple. No obstante, no proporciona
aislamiento eléctrico y, por lo tanto, no puede emplearse cuando se re-
quiere dicho aislamiento. El circuito del autotranformador se muestra en
la figura 3.26. Puede obtenerse de un transformador de dos devanados co-
nectados eléctricamente en serie, de tal suerte que se sumen las polaridades.
Supóngase que se hizo lo anterior en el circuito de la figura 3.26, donde el
primario del transformador de dos devanados es el devanadoA-B y el secun-
dario de ese transformador es el devanadoB-C. El primario del autotransfor-
mador es ahora la suma de esos dos devanados, llamada A-C. El secundario
del autotransformador es el devanado B-C. La razón de voltajes y vueltas
en dos devanados es
(3.49)

140. 138 Transformadores
FIGURA 3.26. Transformador convencional de dos devanados, conectado co-
mo autotransformador reductor.
La razón de voltajes y vueltas del autotransformador es
(3.50)
La ecuación 3.50 muestra que la razón de transformación de un autotrans-
formador es mayor que si se conectara el mismo conjunto de devanados
para formar un transformador de dos devanados. Esto se debe a que parte
de la transferencia de VA del primario al secundario en un autotransforma-
dor se lleva a efecto por conducción y también por inducción, como en un
transformador de dos devanados. Puede demostrarsel
2 que un conjunto de
devanados puede entregar más VA cuando se conecta como autotransfor-
mador que cuando opera como transformador de dos devanados. Un tipo
común de autotransformador, que se encuentra en muchos laboratorios,
es el autotransformador de razón variable, en el que el punto B en la figura
3.26 es móvil.
3.7.4 Transformadores de corrientes
Un transformador de corriente es un transformador de dos devanados uti-
lizados en instrumentación, para medir o detectar corrientes. El primario se
conecta en serie con una fuente o una carga, que puede considerarse como
un modo de excitación de corriente constante. El transformador de corrien-
te se excita esencialmente con una fuente de corriente constante y se opera
de una manera dual o inversa al de voltaje. La condición de régimen sin
carga de un transformador de corriente tiene lugar cuando el secundario
se cortocircuita sobre sí mismo. Con el secundario abierto pueden produ-
cirse voltajes peligrosamente altos.
La impedancia o carga en el secundario se conoce como "peso" del
transformador, ya que es un elemento indeseable, aunque necesario, y que

141. Algunos tipos de transformadores y conexiones 139
siempre se reduce al mínimo. El objeto de diseñar y aplicar transformadores
de corriente es alcanzar exactitud en la fase y magnitud de la razón de
corriente, más que obtener cualesquiera capacidades de soportar carga. En
la figura 3.13 se vio que el origen de la inexactitud en la razón de corriente
es la corriente de excitación y, por consiguiente, se trata de reducir a ésta
al mínimo. Las razones del transformador de corriente son casi invariable-
mente razones de reducción de corriente y a menudo, el primario no es
una parte integrante del transformador mismo, sino que forma parte del
alambre cuya corriente se mide.
Bibliografía
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13. P. Franklin, Fourier Methods, McGraw-Hill Book Company, Nueva York, 1949.
Problemas
3.1 Una onda cuadrada simétrica de voltaje se aplica al devanado primario de un trans-
formador con el secundario abierto (sin carga). Determinar y trazar la forma de
onda del flujo magnético en el núcleo. No considerar la resistencia del primario y
las pérdidas por núcleo.
3.2. Encontrar la relación entre el valor rcm del voltaje aplicado al primario, el flujo
máximo en el núcleo y la frecuencia de la onda cuadrada para el problema 3.1.
Esta ecuación será análoga a la relación para excitación sinusoidal (3.11).

142. 140 Transformadores
3.3. Repetir los problemas 3.1 y 3.2 para un voltaje aplicado cuya forma de onda sea
una onda triangular simétrica.
3.4. Se va a ensamblar un transformador usando un núcleo magnético construido
con laminaciones de acer<! de transformador M-19 (ver Fig. 2.4). En área neta de
la sección transversal del núcleo es de 10 cm2
• El transformador se excitará con
una fuente sinusoidal de voltaje de 100 V (rcm) en 400 Hz. Determinar el número
de vueltas del devanado primario, de tal suerte que la densidad de flujo máxima
en el núcleo, para el voltaje nominal aplicado, se localice en la rodilla de la curva de
saturación para el acero M-19 (1.2 T). Despreciar la resistencia del devanado y
las pérdidas por núcleo.
3.5. La longitud magnética media del núcleo del problema 3.4 es 40 cm. Determinar
el valor rcm de la corriente magnetizante para el voltaje nominal aplicado, usan-
do las vueltas calculadas en ese problema.
3.6. El flujo alterno en el núcleo de un transformador aumenta en proporción al cua-
drado del tiempo, desde cero al principio del período de flujo hasta 2.4 X· 10-3
Wb en t == 10 mseg. Enseguida se hace nulo de 5 a 20 mseg a lo largo de una cur-
va que es simétrica con la curva de flujo ascendente alrededor de un lapso igual a
un cuarto del período. La mitad negativa del período es simétrica a la mitad po-
sitiva con respecto al eje del tiempo. .
(a) Trazar la curva que muestre el voltaje aplicado a un devanado de 500 vueltas
que daría lugar a estas características de flujo, y
(b) Determinar los valores máximo, rcm, y promedio en un medio período de la
onda de voltaje aplicado, así como su factor de forma.
3.7. El transformador del ejemplo 3.1 se excita con una fuente de corriente (excita-
ción de corriente seno). El valor rcm de la corriente de excitación es 2.0 A. Con
un procedimiento gráfico similar al utilizado en el ejemplo 3.1, determinar la
forma de onda, en medio período, del flujo en el núcleo. Trazar la forma de on-
da aproximada para medio período del voltaje inducido en el primario.
3.8. Para el transformador del problema 3.4, determinar la corriente de irrupción pi-
co, -mediante la ecuación (3.42). Emplear la razón de vueltas calculada en el pro-
blema 3.4 y suponer una longitud de la bobina de 10 cm, un área media de vuelta
(As) de 12 cm2
y una densidad residual (Br) de 0.3 T.
3.9. Un voltaje no sinusoidal v == 120 sen 377 t - 60 sen 1885 t se aplica al devanado
de 200 vueltas de un transformador. ¿Cuál es la ecuación de la variación en el
tiempo del flujo en el núcleo? Determinar el valor máximo del flujo y trazar las
formas de onda del voltaje y del flujo.
3.10. Un transformador está especificado en 100 kVA, 11,000:2 200 V Y 60 Hz. La
prueba sin carga en el devanado de bajo voltaje dio 2200 V, 2 A, 100 Wy 60 Hz.
Si esta prueba se efectuara en el devanado de alto voltaje, determinar cuáles se-
rían la corriente y potencia medidas.

143. Problemas 141
3.11. El voltaje v = 100 sen 377 t se aplica al devanado de un transformador en una
prueba sin carga. Se encuentra una corriente i = 5 sen (377t - 60°) + 2 sen (1131
t - 120°) A. Determinar la pérdida por núcleo y el valor rcm de la corriente de
excitación.
3.12. Una prueba en régimen sin carga en un cierto transformador dio los siguientes
datos: 120 V, 2.3 A, 75 W y 60 Hz. Sin tomar en cuenta la resistencia de deva-
nado y la reactancia de fuga, determinar el valor de la reactancia magnetizante
xq>, la resistencia equivalente de pérdida por núcleo reY el factor de potencia en
ese régimen.
3.13. Si la resistencia (y la reactancia del devanado) del transformador del problema
3.12 fueran 0.4 ohms y 1.5 ohms, respectivamente, Jecalcular xrjJ y re, incluyen-
do los efectos de estas impedancias de devanado.
3.14. Un transformador especificado en 220:440 V, 25 kVa y 60 Hz, se prueba de la
manera siguiente: en régimen sin carga, la prueba en el devanado de 220 V dio
220 V, 10 A, 700 W y 60 Hz; la prueba en cortocircuito, efectuada en el devana-
do de 440 V, dio 37 V, la corriente nominal, 1 000 W y 60 Hz. Determinar las
impedancias del circuito equivalente completo (Fig. 3.9) en términos del devana-
do de 440 V. Establecer la suposiciones hechas para obtener estas impedancils.
3.15. Determinar el circuito equivalente completo en términos del devanado de ::20 V
para el transformador del problema 3.14.
3.16. La regulación de voltaje de un transformador se define como la diferencia del
voltaje del secundario (o voltaje de carga) en régimen sin carga, y el voltaje del se-
cundario con carga, dividida entre el primero de esos voltajes. En porcentaje, se
expresa:
V z(sin carga) - Vz(con carga)
regulación de voltaje % =100 -------------
V2 (sin carga)
Por lo general, este cálculo se hace sin considerar las componentes de excitación;
esto es, usando el circuito equivalente aproximado de la figura 3.12. Para el trans-
formador del problema 3.14, determinar la regulación de voltaje con los siguien-
tes datos:
(a) carga nominal en el devanado de 440 V con un factor de potencia de 0.85
en atraso
(b) carga nominal en el devanado de 440 V con un factor de potencia de 0.85
en adelanto.
(c) un medio de la carga nominal en el devanado de 440 V con un factor de po-
tencia de 0.85 en atraso.
3.17. Un cierto transformador se especifica para 1 000 kVA, 11 000:2 200 V Y60 Hz.
La prueba de cortocircuito en el devanado de 11 000 V da 1 000 V, corriente
nominal y 9 kW. Determinar la resistencia serie equiyalente, la reactancia e impe-
dancia en términos de ambos devanados.

144. 142 Transformadores
3.18. Un transformador con valores nominales de 500 kVA, 2400: 120 V Y60 Hz tie-
ne una pérdida en régimen sin carga (al voltaje nominal) de 1 600 W y una en
cortocircuito (en corriente nominal) de 7 500 W. Determinar la eficiencia de este
transformador bajo las siguientes condiciones de carga:
(a) Corriente nominal con factor de potencia de 0.8 en atraso
(b) 300 kW con factor de potencia de 0.8 en adelanto
(c) 100 kW con factor de potencia de 0.8 en atraso
3.19. Tres transformadores idénticos tienen valores nominales, cada uno, de 200 kVA,
13 200:2 300 V Y 60 Hz. Los devanados de alto voltaje se conectan en delta y
los de bajo voltaje en Y. Determinar los voltajes y corrientes nominales de los
devanados de línea y fase en ambos lados de la conexión polifásica.
3.20. Una carga trifásica equilibrada de 300 kVA en 460 V va a conectarse a un siste-
ma trifásico de 2 300 V mediante un banco de transformadores conectados en
delta. Especificar los valores nominales de corriente, voltaje y kVA de los deva-
nados de cada transformador.
3.21. Dos transformadores, del tipo descrito en el problema 3.19, se conectan en delta
abierta en primario y secundario.
(a) Determinar los kVA de carga que pueden suministrarse con esta conexión.
(b) Una carga trifásica conectada en delta, de 300 kVA, 0.866 de factor de po-
tencia y 2 300 V se conecta a las terminales de bajo voltaje de este transfor-
mador en delta abierta. Determinar las corrientes del transformador en el
lado de 3 200 V de esta conexión.
3.22. El transformador del problema 3.14 se conecta como autotransformador para
bajar 660 V a 220 V.
(a) Determinar la razón de autotransformación a'.
(b) Determinar la capacidad, en VA, del autotransformador
(c) Con una carga de 25 kVA Yun factor de potencia de 0.866 en atraso, conec-
tada a las terminales de 220 V, determinar las corrientes en la carga yen los
dos devanados del transformador.
3.23. Una carga de 12 kVA con un fp de 0.7 en atraso va a alimentarse en 110 V, de una
fuente de 120 V, mediante un autotransformador. Especificar los valores de vol-
taje y corriente de cada sección del autotransformador.
3.24. Un transformador con polaridad aditiva se especifica en 15 kVA, 2 300:115 V y
60 Hz. En estas condiciones nominales, el transformador tiene una pérdida por
excitación de 75 W y una por cortocircuito de 250 W. Se va a conectar como
autotransformador para subir 2 300 V a 2 415 V. Con un fp de carga de 0.8
en atraso ¿qué carga en VA puede suministrarse sin exceder la capacidad de co-
rriente en ningún devanado? Determinar la eficiencia en esta carga.

145. Capítulo 4
Sistemas
electrornecánicos
Hasta ahora, en este estudio, no se ha incluido ningún movimiento
mecánico. En capítulos anteriores se señaló que el proceso de conversión
de energía electromecánica implica necesariamente movimiento, tanto me-
cánico como eléctrico. Por movimiento mecánico se entiende las variacio-
nes de posición y velocidad de un circuito, ya sea eléctrico, magnético o
electromagnético, con respecto a otro. El movimiento eléctrico implica
cambios en la corriente, voltaje y eslabonamiento de flujo en el circuito.
En la práctica con frecuencia se considera más de un circuito y no se per-
mite que los voltajes y corrientes terminales varíen en forma simultánea.
El movimiento mecánico de un dispositivo se puede originar debido
a fuerzas mecánicas aplicadas exteriormente, como en los generadores
eléctricos, a fuerzas de origen electromagnético, como en los motores eléc-
tricos. No obstante es necesario saber qué fuerzas electromagnéticas tam-
bién están presentes en los generadores, pero éstas tienden a oponerse a las
fuerzas mecánicas externas. Además, a causa del movimiento mecánico,
surgen en los motores voltajes inducidos internos. La comprensión de la
producción de fuerzas por efectos electromagnéticos es un auxiliar para el
desarrollo de las máquinas eléctricas. Antes de evaluar en forma cuantita-
tiva estas fuerzas, se considerarán cualitativamente en términos de princi-
pios de trabajo, mostrando algunos ejemplos.
En este capítulo, el estudio se limitará a sistemas electromecánicos de
parámetros concentrados, donde los campos son cuasiestacionarios y don-
de los efectos mecánicos y eléctricos pueden expresarse en términos de un
número finito de variables. Con frecuencia se supondrá un movimiento in-
cremental, para simplificar el análisis. Como ejemplos típicos de sistemas
electromecánicos con movimiento incremental, se tienen diversos trans-
143

146. 144 Sistemas electromecánicos
ductores, tales como altoparlantes, micrófonos, relevadores electromagné-
ticos y otros.
4.1 FUERZAS MECANICAS DEBIDAS A CAMPOS MAGNETICOS
Los dos efectos fundamentales de campo magnético, que se obtienen en la
producción de fuerzas mecánicas son a) alineamiento de las líneas de flu-
jo y b), la interacción de campos magnéticos y conductores portadores
de corriente. En las figuras 4.1 a, b y c, se muestran ejemplos de "alinea-
miento". En la figura 4.1a, la fuerza sobre las piezas ferromagnéticas las
hace alinearse con las líneas de flujo, reduciendo así la trayectoria de
Estator
(b)
Eje del
estator
Piezas ferromagnéticas
Eje del
rotor
F"
(e)
Líneas de flujo
¡magnético
FIGURA 4.1 Efectos de campo magnético produciendo una fuerza de origen
eléctrico, a) Alineación de piezas ferromagnéticas en un campo magnético. b)
Un motor de reluctancia. e) Alineación de dos bobinas portadoras de corriente.

147. Fuerzas mecánicas debidas a campos magnéticos 145
flujo magnético y aminorando la reluctancia. La figura 4.1b muestra una
forma simplificada de un motor de reluctancia, en el que la fuerza eléctri-
ca tiende a alinear al eje del rotor con el del estator. La figura 4.1c muestra
el alineamiento de dos bobinas portadoras de corriente. En las figuras
4.2 a, b, y e, se muestran algunos ejemplos de interacción, en los que los
conductores con corriente experimentan una fuerza mecánica al colocár-
seles en un campo magnético. Por ejemplo, en la figura 4.2b se produce
una fuerza por la interacción de las líneas de flujo y la corriente de bobi-
na, que da lugar a un par en la bobina móvil. Este mecanismo es la base
de una gran diversidad de instrumentos de medición eléctrica. Casi todos
los motores industriales de c.c. trabajan de acuerdo al principio de "in-
teracción".
1-.....-----
-+--+-5 .,
(a)
(b)
N
(e)
FIGURA 4.2 Fuerza eléctrica producida por la interacción de conductores
con corriente y campos magnéticos. a) Bobina de una vuelta en un campo
magnético. b) Un amperímetro de bobina móvil e imán permanente. e) Una
bocina de bobina móvil.

148. 146 Sistemas electromecánicos
Más tarde se considerará la evaluación cuantitativa de la fuerza mecá-
nica de origen electromagnético. Aquí se estudiarán sólo algunos de los
principios de producción de fuerza. Se debe señalar que la fuerza tiene
siempre una dirección tal que se reduce la reluctancia magnética o baja al
mínimo la energía almacenada en el campo magnético. Además pueden
producirse fuerzas de magnitud relativamente pequeña, en virtud de la
deformación de un material ferromagnético por magnetostricción, el cual
no se considerará en este libro.
4.2 CONSERVACION y CONVERSION DE ENERGIA
Se han proporcionado algunos ejemplos que muestran cómo los campos
magnéticos producen fuerzas mecánicas. Es obvio que para la conversión
de energía, es decir, para realizar trabajo, el movimiento mecanico es tan
importante como la fuerza mecánica. De esta manera, durante un movi-
miento mecánico, la energía almacenada en el campo magnético asociado
se perturba. Por ejemplo, en la figura 4.2b, la mayor parte de la energía
de campo magnético se almacena en el entrehierro de aire que separa al
rotor del estator. Al campo de ese entrehierro puede llamársele el campo
de acoplamiento. La conversión de energía electromecánica ocurre cuando
se alteran los campos de acoplamiento, de manera que la energía almace-
nada en los campos cambia con el movimiento mecánico. Es posible justi-
ficar esta aseveración mediante principios de conservación de energía, que
permiten determinar las magnitudes de las fuerzas mecánicas que resultan
de efectos de campos magnéticos.
El principio de la conservación de la energía, en relación a los siste-
mas electromecánicos, puede enunciarse de diferentes maneras. Por ejem-
plo, puede decirse que:
energía energía aumento en energía
eléctrica + mecánica = la energía + disipada (4.1)
de entrada de entrada almacenada como calor
o bien
energía trabajo incremento en energía
eléctrica mecánico + la energía + disipada (4.2)
de entrada realizado almacenada como calor
0, si sólo se considera la porción conservativa (sin pérdidas) del sistema, se
obtiene

149. o bien,
suma de energía
de entrada
energía
eléctrica
de entrada
=
=
trabajo
mecánico
realizado
La ecuación de fuerza 147
cambio en la
(4.3)
energía almacenada
+
incremento
en la energía (4.4)
almacenada
En la figura 4.3 se da una representación esquemática de la separa-
ción de la parte conservativa de un sistema respecto a la disipativa. La
energía total almacenada se obtiene sumando la de los campos eléctricos y
magnéticos. No obstante, en la práctica la energía almacenada en el campo
eléctrico es casi despreciable.
¡' F'
+ +
Entrada eléctri-
ca al sistema
Entrada eléctri-
ca a la 'parte
conservativa
Entrada mecán Ica Entrada mecánica
a la parte al sistema
conservativa
FIGURA 4.3 Representación de un sistema electromecánico.
4.3 LA ECUACION DE FUERZA
En las observaciones anteriores, se vio que la conversión de energía es po-
sible por el intercambio de energías eléctrica y mecánica vía los campos de
acoplamiento. Este hecho conduce, a su vez, a un método para determinar
las fuerzas mecánicas que resultan de los cambios de energía almacenada.
Así, con referencia a la figura 4.4, la ecuación (4.3) implica que
F dx+vidt=dW (4.5)
donde
F dx entrada de energía mecánica
vi dt = entrada de energía eléctrica
dW = incremento en la energía almacenada.

150. 148 Sistemas electromecánicos
Ahora, si Fe es la fuerza de origen eléctrico y actúa contra F (figura 4.3),
es decir, Fdx = -Fedx Y si dWm es la energía almacenada en el campo
magnético -suponiendo que la energía almacenada en el campo eléctrico
es despreciable-, la ecuación (4.5) se puede reescribir como
Fedx= -dWm+vidt (4.6)
Según la ley de Faraday de voltaje, v puede expresarse en términos de /1..,
eslabonamiento de flujo, como
d/l..
v=-
dt
(4.7)
de manera que la ecuación (4.6) se convierte en
(4.8)
(a) (b)
A A
t t
- i - i
(e) (d)
FIGURA 4.4 Equilibrio energético en un sistema electromecánico. a) Un sis-
tema sencillo. b) Operación con corriente constante. e) Operación con voltaje
constante (o eslabonamiento de flujo). d) Un caso general.

151. La ecuación de fuerza 149
Antes de continuar, es necesario señalar que la ecuación (4.8) es un re-
planteamiento de la ecuación (4.4).
En un sistema electromecánico, (i, x) o (A, x) pueden considerarse
como variables independientes. Si se toma (i, x) como independiente, el
esolabonamiento de flujo Ase obtiene como A=A(j, x), expresable en tér-
minos de cambios pequeños:
aA . aAdA=-dl+-dx
ai ax
Se tiene, además, Wm =Wm (i, x) de manera que
aWm aWm
dW = --di+ --dx
m ai ax
Así, al sustituir (4.9a) y (4.9b) en (4.8) se tiene
aWm aWm . • aA .aA .F dx= - --dx- --dl+l-dx+l-dl
e OX ai ax ai
o bien
F dx= - - - +1- dx+ - - - +1- di(
aWm . aA ) (aWm • al..) .
e ax ax ai ai
(4.9a)
(4.9b)
(4.10)
Dado que los cambios incrementales di y dx son arbitrarios, Fe debe ser in-
dependiente de esos cambios. Así, si Fe no depende de di, su coeficiente
en (4.10) debe ser cero y, por lo tanto, esta ecuación se convierte en
F aWm ( . ) + .aA (. )e=-~/,X laxl,x (4.11)
que es la ecuación de fuerza. Esta ecuación es válida si i es la variable in-
dependiente. Por otra parte, si A se toma como variable independiente, es
decir, si i =i(A, x) yWm =Wm (x, x) entonces
la que, al sustituirse en (4.7) da
aWm aWm .
F dx= - --dx- --dA+ldA
e ax aA (4.12)
Pero fidA =Wm , de modo que (4.12) queda finalmente

152. 15O Sistemas electromecánicos
aWm
F =--( x)
e ax'
(4.13)
Se observa que la derivación anterior supone a i o a A como variable
independiente. El caso en que i sea la variable independiente, corresponde
a un sistema excitado con corriente. Para un sistema electromécanico,
como el que se muestra en la figura 4.4a, la corriente en la bobina se man-
tiene en un valor constante lo durante el lapso en que la armadura pasa de
la posición (1) a la (2). Durante este movimiento, el eslabonamiento de flujo
cambia deA¡ aA2 ylaentradadeenergíaeléctricasehacedWe =10(A2 -Al).
La energía eléctrica proviene de la fuente de corriente, como se ilustra en
la figura 4.4b. También, durante el proceso, el incremento en la energía de
campo es dWm =tlo (A2 -- Al).
De esta manera, de (4.5), se tiene
ó
o bien
1Fdx=--/ ( -A)2" 2 J (4.14)
donde F puede considerarse como una fuerza mecánica aplicada externa-
mente; el signo negativo, asociado a dx, indica que el movimiento tiene
lugar contra la dirección positiva de las x. Es obvio que el segundo miem-
bro de (4.14) es negativo, A2 > Al YFdx =-Fedx. Así, (4.14) se convier-
te en
(4.15)
indicando que para un sistema excitado con corriente, la entrada de ener-
gía eléctrica se divide en partes iguales entre la energía almacenada que va
en aumento y la realización de trabajo mecánico.
A continuación se considera el caso en que el eslabonamiento de flu-
jo se mantiene constante en Aa y se permite que la corriente varíe de i1 a
i2 (i2 < i l ) durante el movimiento, como se muestra en la figura 4.4c.
En este caso no hay entrada de energía eléctrica proveniente de la fuente,
como puede verse comparando las figuras 4.4b y c. El cambio en la ener-
gía almacenada es

153. La ecuación de fuerza 151
que es negativo. De este modo, de (4.5) se obtiene
Fdx = dWm
ó
o bien
(4.16)
indicando que el trabajo mecánico realizado es igual a la reducción en la
energía almacenada.
En las anteriores discusiones teóricas se ha considerado que i o A
permanece constante. Sin embargo, en realidad, ninguna condición se sos-
tiene y el cambio de la posición (1) a la (2) sigue una trayectoria como la
que se muestra en la figura 4.4d. No obstante, siguen siendo útiles los prin-
cipios de la conservación de la energía para determinar la fuerza eléctrica.
Si no se considera la saturación, las ecuaciones (4.11) y (4.12) dan
de tal manera que
F=.l¡2aL=_.lA~
e 2 ax 2 ax
",
I
I
I
I Masa de
I hierro
I
I
I
I
J
" /
Núcleo-------
FIGURA 4.5 Un sistema electromecánico.
(4.17)
(4.18)

154. 152 Sistemas electromecánicos
Con los ejemplos siguientes se ilustrará la aplicación de la ecuación de
fuerza.
Ejemplo 4.1
En un sistema electromecánico (figura 4.5), la corriente, el eslabonamien-
to de flujo y la posición se relacionan mediante
Encontrar la fuerza en la masa de hierro en x =0.5.
Recuerde que Wn =fidA Yde la expresión dada para i, se obtiene
Por lo tanto, la fuerza eléctrica, calculada con (4.12) es
Pudo llegarse al mismo resultado calculando ai/ax como
a"_1 =4A(x-l)
ax
y sustituyendo esta expresión en (4.18) para obtener
En x = 0.5, Fe = A2
, lo que indica que la fuerza es proporcional al cuadra-
do del eslabonamiento de flujo, si no se toma en cuenta la fuga.
Ejemplo 4.2
En la figura 4.6 se muestra una máquina elemental de reluctancia. La má-
quina se excita por separado, es decir, tiene sólo un devanado en el estator.
El devanado de excitación se enrolla en el estator, lo que deja libre al rotor
para que gire. La forma del rotor y estator es tal, que la variación de la in-
ductancia de los devanados es sinusoidal con relación a la posición del
rotor. La variación espacial de la inductancia es de frecuencia doble; es
decir
L(B)= L" + L' cos2B
donde los símbolos tienen el significado que se indica en la figura 4.6. Para
una excitación

155. Estator
+
l' ,'
(/,)
Eje del
estator
La ecuación de fuerza 153
lI~delrotor
FIGURA 4.6 a) Una máquina de reluctancia. b) Variación de inductancia.
i= l",senwt
determinar los valores instantáneo y promedio del par.
La energía almacenada es
y el eslabonamiento de flujo
>'(B)=L(B)i
donde i es la variable independiente.
Por consiguiente, de (4.11),

156. 154 Sistemas electromecánicos
la que, expresada en términos ·de inductancia y corriente, se convierte en
Para variaciones dadas de corriente e inductancia,
Si se permite que el rotor gire con una velocidad angular w m tal que en
cualquier instante
O=Wmt - o
.(o es la posición del rotor en t =O, cuando la corriente i es también cero),
la expresión para el par instantáneo queda entonces en términos de W y
Ü)m como
Te = - ~ I~L'{sen2(wmt- o) - ~ [sen2(wmt +wt- o)
+sen2(wm t -wt - o) ] }
Para obtener la forma final anterior, se usaron las siguientes identidades
trigonométricas:
sen2
A = -!(1-cos2A)
y
1 1
sen ecos D =2' sen (e + D) + 2' sen (e - D)
De la expresión anterior se concluye que el par promediado en el tiempo
es cero, ya que el valor de cada término integrado en un período es cero.
El único caso en que el par promedio no es cero es cuando w =W m • Para
esta frecuencia particular, la magnitud del par promedio es
o, de la figuro:) 4.6b,
T - 1]2 L' ')<
prom - 4. m sen_o
Tprom =iI~ (L d - Lq )sen2ú
Así, por ejemplo, en 1m =4 A, Ld =0.2 H y Lq =0.1 H y el par promedio
máximo es 0.2 N-m (Newton-metro).

157. La ecuación de fuerza 155
Pueden sarse varias conclusiones del análisis anterior. La máquina de-
sarrolla un par promedio sólo en una velocidad particular, correspondiente
a la frecuencia w = wm , que se conoce como velocidad síncrona. La má-
quina de reluctancia es por lo tanto una máquina síncrona. El par desarro-
llado por la máquina se denomina par de reluctancia, que será nulo si
Ld = Lq . El par varía sinusoidalmente con el ángulo o, llamado ángulo de
par. Las inductancias Ld y Lq son los valores máximo y mínimo de la in-
ductancia y se les conoce como inductancia de eje directo e inductancia de
eje en cuadratura, respectivamente. El máximo par tiene lugar en el punto
en que o= 45°, llamado par de tirón exterior. Cualquier carga que requie-
ra un par mayor que el máximo, se traduce en una operación inestable de
la máquina.
Ejemplo 4.3
En este ejemplo se estudia el efecto de incluir en el análisis la resistencia
de una bobina excitada con voltaje, como la de la figura 4.5. Sea r la resis-
tencia de la bobina de N vueltas. Sin tomar en cuenta la saturación, deter-
mine los valores instantáneo y promedio de la fuerza eléctrica si el vol taje
de terminal es v =Vm sen wt y la reluctancia del circuito eléctrico corrple-
to puede expresarse como R =a + bx, donde a y b son constantes.
La energía almacenada en el campo magnético se expresa así:
donde N1> = A es el eslabonamiento de flujo de la bobina. Por lo tanto, se
tiene
ya que R =a + bx.
El problema se reduce ahora a relacionar 1> y v como sigue:
. dcp
v=n+Ndi'
Ni
where cp= R
Así, bajo condiciones de régimen estacionario,
donde

158. 156 Sistemas electromecánicos
y
La fuerza instantánea es, por consiguiente,
El valor promedio en el tiempo se determina de
Obsérvese que el valor promedio de sen2
(o cos2
) es 1/2.
4.4 VARIACIONES DE CORRIENTE Y FLUJO
En un sistema excitado con voltaje es necesario investigar la variación de
la corriente de entrada en función del tiempo. La discusión siguiente es
sólo cualitativa. Más tarde se verá un ejemplo numérico.
Consideremos el sistema mostrado en la figura 4.7. Cuando no hay
voltaje aplicado, el hierro móvil (armadura) se encuentra, digamos, a una
distancia X o del núcleo. La inductancia correspondiente es Lo -valor mÍ-
nimo de la inductancia- y la constante de tiempo 70 es Lo/r. Si se mantie-
ne el hierro en la posición original y se aplica un voltaje escalón, el circuito
se comporta como un circuito rL, con constante de tiempo 70 • La corrien-
te final es V/r, donde Ves el voltaje aplicado. No obstante, si se le permite
¿(x)
FIGURA 4.7 Modelo de un relevador electromagnético.

159. 2l
e
"Eo
U
t
Dinámica de los sistemas electromecánicos 157
Corriente final ~
r
Principia el movimiento mecánico
FIGURA 4.8 i(t) para un voltaje de entrada escalón.
al hierro desplazarse y su posición final es xf, la inductancia del circuito
aumenta a Lf y la constante de tiempo correspondiente es Tf =Lf/r. Es evi-
dente que Tf > To . Para las posiciones inicial y final del hierro móvil, se
muestran las corrientes en la figura 4.8 por las curvas a) y b), respectiva-
mente. Sin embargo, la transición de a) a b) no es continua, porque tan
pronto como el hierro principia a moverse, la constante de tiempo mecá-
nica T m entra en juego. Debe reconocerse que T m > T f > T o. Esto explica
la naturaleza de la variación de corriente cuando al hierro móvil se le per-
mite moverse en un voltaje constante.
En el caso de excitación con corriente constante, son de interés las
variaciones de flujo. Para la posición inicial Xo la reluctancia es máxima y
el flujo correspondiente 1>0 es un mínimo. El flujo alcanza su valor máxi-
mo 1>f cuando se completa el movimiento. La variación del flujo la gobier-
nan tanto la constante de tiempo mecánica como la eléctrica, como en el
caso anterior. Es interesante obtener la variación de flujo en función del
tiempo. (Ver Probo 4.12).
4.5 DINAMICA DE LOS SISTEMAS ELECTROMECANICOS
En las discusiones precedentes se supuso un movimiento mecáncio y
eléctrico durante el proceso de conversión de energía electromecánica.
En esta' sección se estudiará la dinámica electromecánica, derivando las
ecuaciones pertinentes del movimiento y resolviéndolas en seguida para
varias condiciones de operación. Se obtendrá así el comportamiento di-
námico de un sistema dado. También se considerarán algunos ejemplos
ilustrativos.
Al tratar de obtener la información cuantitativa necesaria acerca de
un dispositivo de conversión específico, por lo general surgen varias difi-
cultades. En primer lugar, los parámetros involucrados en las ecuaciones
de movimiento son difíciles de evaluar. Tienen que hacerse aproximacio-

160. 158 Sistemas electromecánicos
nes liberales para obtener modelos susceptibles de análisis. Para citar un
ejemplo específico, al calcular las inductancias de varios devanados de
un dispositivo electromagnético, se menosprecian con frecuencia los efec-
tos de saturación como una primera aproximación. Del mismo modo, en
conversores rotatorios de energía no es conveniente tomar en cuenta cier-
tas consideraciones prácticas como armónicas, fugas y efectos de ranuras y
dientes, a pesar de que cada uno de estos factores contribuye a la opera-
ción del dispositivo. En estos casos se reemplaza el dispositivo por un mo-
delo idealizado. Se introducen supuestos para simplificar y cuando es
necesario obtener cierto grado de exactitud, se incluyen los efectos de se-
gundo orden en la solución, mediante técnicas especiales, como métodos grá-
ficos y numéricos. Una vez determinados los parámetros en las ecuaciones
de movimiento -un paso de suma importancia para estudiar los dispositi-
vos de conversión de energía-, la formulación de las ecuaciones mismas
(que se estudiará después) es un asunto de rutina.
El segundo paso difícil en el estudio de un dispositivo de conver-
sión de energía, es resolver las ecuaciones de movimiento obtenidas. Estas
ecuaciones casi siempre no son lineales con coeficientes variables en el
tiempo. No existen métodos generales para resolver este tipo de ecuacio-
nes y es necesario hacer aproximaciones para obtener los resultados fina-
les. Por ejemplo, en el caso de transductores, se supone un movimiento
incremental (a menudo no demasiado fuera de la realidad) y se linealizan
las ecuaciones no lineales resultantes, alrededor de un punto de operación
en reposo.
Una vez linealizadas, las ecuaciones se resuelven por un método usual.
Para conversores de energía rotatorios, como los motores y generadores,
el procedimiento para formular las ecuaciones de movimiento es semejante
al del transductor. La solución de estas ecuaciones se facilita mediante
transformaciones lineales o por alguna otra técnica, como métodos numé-
ricos, o por el uso de computadoras analógicas o digitales, que también
pueden utilizarse para resolver las ecuaciones de movimiento sin lineali-
zarlas.
El análisis y estudio de los conversores de energía electromagnéticos
incluye, por lo tanto, los siguientes aspectos:
1. Consideraciones topológicas y descripciones físicas: proporcio-
nan las ubicaciones de las terminales de entrada y salida; identifi-
can los elementos móviles y fijos y especifican la estructura del
circuito magnético, de datos de devanados y de otras dimensiones
físicas.
2. Elección de un modelo y de supuestos para simplificar: Por lo
general dependen del problema que se trate y del grado de exac-
titud deseado en la solución. Por ejemplo, en un dispositivo mag-
nético, en una primera aproximación no se toman en cuenta los

161. Dinámica de los sistemas electromecánicos 159
efectos de borde, la saturación y la histéresis. Se supone que la
permeabilidad del material magnético es infinitamente mayor que
la del espacio libre y, en consecuencia, se supone que la energía
magnética se almacena sólo en el entrehierro.
3. Determinación de los parámetros del sistema: aquí se incluye la
evaluación de las resistencias, inductancias y capacitancias de
la parte eléctrica del sistema, así como la determinación de la
masa (o momento de inercia), rigidez y coeficiente de rozamien-
to para la parte mecánica. Los parámetros se obtienen casi siem-
pre de la descripción física del sistema y de las suposiciones para
simplificar la elección del modelo. En la mayoría de los casos de
importancia práctica, la determinación de los parámetros consiste
en el cálculo de varias inductancias, un paso difícil pero impor-
tante, del que depende el rendimiento de un dispositivo electro-
magnético.
4. Formulación de las ecuaciones de movimiento eléctrico y mecáni-
co: estas son, respectivamente, las ecuaciones volt-ampere y las
de equilibrio de fuerzas (o de equilibrio de pares). Estas ecuacio-
nes se pueden derivar de uno de los métodos que se estudiarán
después.
5. Solución de las ecuaciones de movimiento: este paso se efectúa
una vez que se formulan las ecuaciones de movimiento. Casi siem-
pre, las ecuaciones diferenciales resultantes son no lineales. En
casos sencillos, como en el de transductores para aplicaciones de
señales débiles, primero se linealizan las ecuaciones de movimien-
to y después se resuelven como si fueran ecuaciones diferenciales
lineales con coeficientes constantes. En casos complicados de
máquinas eléctricas rotatorias, son necesarios ciertos tipos de trans-
formaciones lineales. No se dispone de un método general que
abarque todos los casos. Si se dispone de computadoras digitales,
es muy fácil obtener soluciones numéricas, aun sin linealizar las
ecuaciones de movimiento.
4.5.1 Formulación de las ecuaciones de movimiento
Las características eléctricas y mecánicas de un sistema electromagnético
las proporcionan, respectivamente, las ecuaciones de movimiento eléctri-
co y mecánico, que son las de equilibrio de voltajes (o corrientes) y de
equilibrio de fuerzas, (o pares) que pueden obtenerse igualando las "fuer-
zas aplicadas" con las de "restauración". En la ecuación eléctrica, las
fuerzas eléctricas de origen mecánico se obtienen de la ley de Farday.
Las fuerzas mecánicas de origen eléctrico se determinan mediante la
ecuación de fuerza establecida antes. Al formular la ecuación mecánica, se
considera la fuerza mecánica que resulta del efecto de campo magnético

162. 160 Sistemas electromecánicos
lE ~__ 1
1
- 1
0
---- _j
I I+----~---- x -------- - ---- - ~
I Masa M ~
~ b Coeficiente
de rozam iento
a Sección
transversal
FIGURA 4.9 Un sistema electromecánico.
como una fuerza aplicada exteriormente. Se denominará esta fuerza como
una fuerza eléctrica y se designará con Fe' Con el ejemplo que sigue se ilus-
trará la formulación de las ecuaciones de movimiento.
Un ejemplo de relevador electromagnético es el modelo de un sistema
de parámetros concentrados, que se muestra en la figura 4.9. No hay fuer-
za mecánica aplicada exteriormente. Se desea, en primer lugar, formular
las ecuaciones dinámicas de movimiento de acuerdo con los pasos siguientes:
1. Suposiciones. No se tomará en cuenta la saturación del circuito magné-
tico, el cual se supone es de permeabilidad infinita, y también se igno-
rarán los flujos de fuga y de efectos de borde. Además, se supone que
la fuerza de rozamiento es linealmente proporcional a la velocidad, y
la del resorte también linealmente proporcional a la elongación.
2. Parámetros. Los parámetros mecánicos son: masa M, coeficiente de
rozamiento b y la rigidez del resorte k. Los parámetros del circuito
eléctrico son: resistencia r, e inductancia L, que pueden expresarse en
términos de las dimensiones mostradas en la figura 4.9 como sigue:
/LoaN
2
A
L(x)=--=--
ll-x C+x
(4.19)
donde A yC son constantes. (Observar que A = -l1o aN2 y e = -tI)'
3. Ecuaciones de movimiento. Ahora se pueden identificar las diferentes
fuerzas que actúan sobre el sistema.
a) Eléctricas:
ri+ :r(Li)=v (4.20)

163. Dinámica de los sistemas electromecánicos 161
donde los términos del primer miembro denotan a las fuerzas de res-
tauración o caídas de voltaje.
b) Mecánicas:
Mx+bx+k(x-l )=F = !"i2 oLo e 2 OX
(4.21)
donde el primer miembro es la suma de las fuerzas de restauración,
y donde Fe, la fuerza eléctrica considerada como fuerza externa, se
obtiene de la ecuación (4.11) o la (4.18).
4.5.2 Una reconsideración de (4.20) y (4.21)
Aquí se reconsideran las ecuaciones de movimiento, en vista de que son
importantes para determinar el comportamiento de un sistema. En la ecua-
ción eléctrica, el término que resulta del movimiento mecánico es de par-
ticular importancia y en la ecuación mecánica reviste especial interés el
término que se atribuye al "movimiento eléctrico". Así, en la ecuación
(4.20), se tiene d(li)jdt, que también puede escribirse como
d (L') _ L di + .dL _ L di + .dL .- ¡ - - ¡ - - - ¡-X
dt dt dt dt dx
(4.22)
donde x=dx/dt =velocidad mecánica, que es un cambio de la inductancia
con respecto al tiempo. Obsérvese que el segundo término en (4.22) pro-
viene del movimiento mecánico y se denomina voltaje de movimiento.
Además, la presencia de los términos (4.22) en (4.20) la hace una ecuación
diferencial no lineal. Más tarde se insistirá en este punto.
Consideremos ahora el segundo miembro de (4.21), que junto con
(4.19) da
li2_oL_ = lp_O_(_A_) = _ A _...:.i_2_
2 OX 2 ox e+x 2 (e+ X)2
(4.23)
que es también un término no lineal que hace a (4.21) una ecuación dife-
rencial no lineal. Nótese que A =-Ji Q aN2
Ye =--/1' lo que implica que la
fuerza eléctrica sea po~tiva y actúe en la dirección positiva de las x.
4.5.3 Soluciones anal íticas de las ecuaciones de movimiento
Por conveniencia, se reescribirán las ecuaciones de movimiento (4.20) Y
(4.21) como sigue:
L
di .dL. .
-+¡-x+n=v
dt dx
(4.24)

164. 162 Sistemas electromecánicos
(4.25)
Como se mencionó en la última sección, estas ecuaciones son no lineales y
no es posible obtener soluciones analíticas explícitas. No obstante, para
señales débiles y movimiento incremental, puede obtenerse información
útil sobre el sistema resolviendo las correspondientes ecuaciones de movi-
miento diferenciales linealizadas.
Además de la limitación a señales débiles, la linealización de las ecua-
ciones para un sistema físico dado, requiere que exista un punto de equi-
librio estable. Las señales pequeñas (o movimiento) son los recorridos
alrededor de este punto de equilibrio. Sea que (Vo, lo, Xo ) denoten al
punto de equilibrio estable en estado estacionario, tales que
v(t)= Vo+VI(t)
i(t)=lo+il(t)
x(t)=Xo+xl(t)
(4.26)
donde (v, i, x) son las variables originales y (v 1, Xl, i 1) pequeñas per-
turbaciones alrededor de (Vo, lo, Xo ). La pequeñez se mide por hecho
de que términos de tipo producto como ¡2, i1 X 1 etc., son desprecia-
bles. Sin perder de vista estas limitaciones, se examinarán los términos
no lineales en (4.24) Y (4.25). Por ejemplo, sustituyendo x = Xo + Xl
en (4.19), se obtiene
/LoaN
2
/LoaN
2
( 1 )
L= ll-X = II-Xo-x l =Lo 1-xl/(lI-Xo)
(
X )-1=Lo 1___1_
ll-Xo
(4.27)
donde Lo = [JloaN2
/(11 - Xo )]. Para valores pequeños de Xl' (4.27) pue-
de desarrollarse en serie binómica como
L=Lo 1+--+ - - + - - + ...
[
XI (X I )2 ( XI )3 111- Xo tI - Xo 11- Xo
(4.28)
Además, de (4.28) se obtiene
- = - - 1+--+3 - - + ...aL Lo [ 2xI (X I )2 1
aXI 11 - Xo 11- Xo 11
- Xo
(4.29)

165. Dinámica de los sistemas electromecánicos 163
Las formas linealizadas de (4.28) Y (4.29) serían entonces
(4.30)
y
(4.31)
donde se supone que XI / (1 1 - X o ) <{L y todos los términos de segundo or-
den y de orden superior a éste en (4.28) y (4.29) no se toman en cuenta.
El eslabonamiento de flujo A se hace entonces
A=Li
(despreciando xli1 )
y
(4.32)
(4.33)
La sustitución de (4.26), (4.32) Y (4.33) en (4.20) da
(4.34)
El punto de operación en c.c. o en estado estacionario se obtiene de
(4.35)
y los términos restantes en (4.34) dan la dinámica eléctrica (alrededor de
este punto como
(4.36)

166. 164 Sistemas electromecánicos
Esta es la ecuación linealizada de movimiento.
En seguida se considerará el segundo miembro de (4.21), en el que se
sustituye (4.31) y
para obtener
'2_ 12 +21 . + '2_ 12 21'I - o ol¡ I¡ - 0+ ol¡ (despreciando ij )
Lo10
2
Lolo . Lo1;
---- + - - I ¡ + x¡
2(l¡ - Xa> I¡ - Xo (l¡ - Xo)2
(4.37)
(no considerando al término i¡x¡). Al sustituir (4.26) y (4.37) en (4.21)
se obtiene
El equilibrio mecánico de estado estacionario lo da
L 12
k(X -/)= _ o o
o o ;V¡-Xo)
(4.38)
(4.39)
mientras que la dinámica mecánica, obtenida de los términos restantes de
(4.38), la da la ecuación linealizada siguiente:
.. . [ Lo1; 1 Lolo.Mx¡+bx¡+ k- x¡=lYI¡
(l¡-Xo)2 ¡- o
(4.40)
La dinámica electromecánica puede obtenerse resolviendo las ecua-
ciones linealizadas (4.36) y (4.40) por alguno de los métodos usuales. Las
soluciones se discuten en la sección 4.5.4.
4.5.4 Existencia del punto de equilibrio
Insistimos el1 que (4.35) y (4.39) proporcionan los puntos de operación en
estado estacionario. Es obvio que (4.35) es la ley de Ohm para un circuito
resistivo, de donde para una r dada, puede determinarse (Vo• lo)' Si se co-
noce lo, puede resolverse (4.39). La solución se ilustra gráficamente en la
figura 4.10, donde se grafican como funciones de X o las fuerzas del re-

167. Dinámica de los sistemas electromecánicos 165
1.0r-----r---_._---r------,r---~---_._--__,
0.9
0.8
0.7
t
0.6
z
.. 0.5 ló> lo~
Q)
:J
lL
0.4
0.3
Fuerza elástica
0.2
0.1
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Xo(cm) -
FIGURA 4.10 Fuerza contra distancia. I~ =2.45 A;I~'= 20 A; 11 =3 cm, 19 =
2 cm, N =200 vueltas; a =1 cm2
; 110 = 41T X 10-7
H/m y k =1 N/cm.

168. 166 Sistemas electromecánicos
sorte y la eléctrica, para dos corrientes diferentes. Existe un punto de
equilibrio si la línea que representa a la fuerza del resorte corta a la curva
de la fuerza eléctrica. Así, para una corriente mayor que lo (2.5A) no hay
punto de equilibrio y la fuerza eléctrica es siempre mayor que la del re-
sorte, llevando a la masa de hierro a la posición extrema (Xo =11 ). Para la
corriente l~ en el punto 3 (Xo =2.3 cm) la fuerza del resorte es igual a
la eléctrica. Sin embargo, una ligera perturbación alrededor de este punto
haría que la fuerza eléctrica excediera a la de restauración del resorte. En
consecuencia, para I~ = 2.45 A, Xo = 2.3 no es un punto de operación
estable.
En seguida, si la corriente se reduce a li;' (= 2.0 A), obtenemos los
puntos 1 y 2 como puntos de equilibrio. En el punto 2, si la masa se des-
plaza a la izquierda (Xo incrementada), la fuerza eléctrica se hace siempre
mayor que la del resorte, originándose un movimiento continuo hacia la
izquierda hasta que Xo =11 • Por otra parte, si la masa se moviera a la de-
recha, (Xo decrementada) la fuerza del resorte sería siempre mayor que la
eléctrica y el movimiento continuaría hasta el punto 1 (Xo = 2.13 cm),
que es el punto de equilibrio estable. Una perturbación a la izquierda o a
la derecha del punto 1 haría que la masa regresara a 1. Por consiguiente, la
operación estable en reposo para el sistema es (Va = 6 V; lo = 2 A; Xo =
2.13 cm).
4.5.5 Soluciones numéricas
El uso de variables de estado en la teoría de sistemas lineales es una prác-
tica común y una formulación de ecuaciones en términos de estas variables
facilita el estudio de los sistemas dinámicos. Los dispositivos electromecá-
nicos, tales como transductores y máquinas rotatorias, se consideran como
sistemas dinámicos. Con la ayuda de rutinas normales de computadora,
puede obtenerse la solución de la ecuación de estado y estudiarse las carac-
terísticas dinámicas del sistema. No es más difícil programar la ecuación
no lineal que el sistema lineal, por lo que se evita el paso de linealización.
El análisis de un sistema no lineal es en realidad más fácil que el de la apro-
ximación linealizada del sistema.
Las ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema elec-
tromecánico puede reducirse a la formulación de estado
y=f(y, v,t)
donde y es el vector de estado y v es el vector de entrada. Si se supone un
movimiento pequeño alrededor de algún punto estable, la ecuación de es-
tado puede linealizarse como
y=Ay+Bv

169. )
Dinámica de los sistemas electromecánicos 167
donde las matrices A y B se forman con parámetros del sistema. Como
muestra el ejemplo, si se busca una solución por computadora, es más fá-
cil operar con las ecuaciones no lineales.
Para el relevador electromagnético se determi.narán la corriente, po-
sición de armadura y la velocidad, en función del tiempo para una entrada
de voltaje escalón. Sean y 1 =i, Y2 =X, Y3 =Xlas variables de estado en las
ecuaciones de movimiento (4.20) y (4.21), con una L dada. Las ecuacio-
nes de estado se convierten en
Las ecuaciones linealizadas (4.36) y (4.40) se expresan ahora como
donde
{3= k _ Lo!;}
(tI - Xo )2
En la forma de estado, estas ecuaciones quedan
YI = ¡ ('YI - 'YY3 +VI)
o
(4.41)
(4.42)
(4.43)
Aún con un sistema de ecuaciones tan sencillo como el (4.43), se
puede utilizar la computadora para determinar y graficar la solución. Una
vez que se decIde usar este recurso, se hace evidente que no es más difícil

170. 168 Sistemas electromecánicos
SUBROUTINE FCT (X, Y, DERY, NDIM)
REAL*4Y(NT)IM), DERY(NDIM), SOL(lOO,4)
COMMON SOL,N,V,AM,AK,R,OL,B,C,A
IF(Y(2» 1,1,2
DERY (1)=(V - Y(l)*R)*CjA
DERY (2)=0.
DERY(3)=0.
RETURN
2 DERY (1)=(V - Y(1)*R)*(Y(2)+C)jA+ Y(1)*Y(3)j(Y(2)+C)
DERY (2)- Y(3)
DERY (3)= - B*Y(3)jAM -AK*(Y(2)-OL)jAM -A*Y(1)*Y(1)j(2.*AM*(Y(2)+C)*
1(Y(2)+ C»
RETURN
END
6.0
t 4.0
2.0
FIGURA 4.11 Programa para la solución de un sistema no lineal.
OL-----~____~____~____~____-L____~
0.3
t 0.2
E
2
20 40
20 40
60 80
¡(ms)_
(a)
60
¡(ms) ~
(b)
80
100 120
100 120
FIGURA 4.12 a) i(t) para una entrada escalón. b) x(t) para una entrada de
voltaje escalón.

171. arcuitos eléctricos equivalentes 169
programar (4.41) que (4.43). Si se usa la ecuación no lineal, no hay que
realizar ningún trabajo adicional para linealizar.
Para analizar el relevador de la figura 4.9 se utiliza la subrutina RKGS
y se grafican los resultados. La figura 4.11 muestra las ecuaciones progra-
madas para el sistema no lineal. Estas ecuaciones se introducen a la RKGS
mediante la subrutina exterior FeT. La figura 4.12 muestra la corriente y
la posición para un voltaje escalón aplicado. Las constantes empleadas en
este ejemplo son M = 10 g, b = 0.0001 N seg/cm, k = 1 N/cm, R = 1 n,
Xo =2.13; en la figura 4.10 se mostraron el resto de los datos.
4.6 CIRCUITOS ELECTRICOS EQUIVALENTES
Se sabe que la representación por circuito equivalente (como la estudiada
antes de los transformadores) es sumamente útil para analizar un sistema
y los sistemas electromecánicos pueden representarse mediante circuitos
equivalentes solamente eléctricos. En el ejemplo que sigue, se ilustra el
método para desarrollar un circuito equivalente de un sistema mecánico.
Un sistema solamente mecánico está constituido por un resorte, una
masa y un amortiguador, como se ilustra en la figura 4.13a, donde se supo-
ne que la fuerza de amortiguamiento es directamente proporcional a la
velocidad. Si Fex t es una fuerza externa aplicada, la ecuación de equilibrio
de fuerzas, de acuerdo con la ley de Newton es entonces
M.i+b.i+kx=FeXI
Si se supone que la fuerza Fext es análoga al voltaje v, entonces el circuito
de la figura 4.13 puede trazarse a partir de las siguientes correspondencias:
(a) (b) (e)
FIGURA 4.13 a) Un sistema mecánico. b) Circuito equivalente elédrico fuer-
za-voltaje. e) Circuito equivalente eléctrico fuerza-corriente.

172. 170 Sistemas electromecánicos
Analogía fuerza-voltaje
FuerzaF
Velocidad x
Amortiguación b
Masa M
Constante de resorte k
Voltaje v
Corriente i
Resistencia r
Inductancia L
Elastancia l/C =recíproca de la
capacitancia
Si la fuerza se toma como análoga de la corriente, también se tiene
la siguiente analogía, en base al principio de dualidad.
Analogía fuerza-voltjae
FuerzaF
Velocidad x
Amortiguación b
Masa M
Constante de resorte k
Voltaje v
Corriente i
Resistencia r
Inductancia L
Elastancia l/C =recíproca de la
capacitancia
Esto da como resultado el circuito que se muestra en las figuras 4.l3(b) Y
(e).
En el ejemplo anterior se trató con un sistema puramente mecánico
muy sencillo, pero el método también se aplica a sistemas electromecáni-
cos más complicados. Con base en el análisis anterior, puede desarrollarse
un circuito equivalente para el "relevador" que se estudió en la última sec-
ción. Para este propósito, se recordará la ecuación (4.42):
di¡ . .
L0dt +n¡ +YX¡ = v¡ (4.44)
Mi¡ +bx¡ +{3x¡- yi¡ =0
Si se hace 'YXl =V2, (4.44) puede escribirse como
Sustituyendo 'YXl =V2 en (4.45), se tiene
M
.. M.
x¡=-v2'
y
b
. b
x¡ = -v2'
y
(4.45)
(4.46)

173. Circuitos eléctricos equivalentes 171
VVv-~~----~----~-----+
+
FIGURA 4.14 Un circuito equivalente para el sistema electromecánico.
de tal suerte que (4.45) se hace
(4.47)
donde C2 =M/,,(2, L2 ="(2 /{3 Y G2 =b1'Y2
• Con el empleo de estas constan-
tes, (4.46) y (4.47) pueden representarse por el circuito equivalente de la
figura 4.14.
Por otra parte, (4.44) y (4.45) pueden también escribirse como
(4.48)
(4.49)
donde b =r 2 YC2 =1/{3. Obsérvese que la reciprocidad de interacción mu-
tua no es válida aquí, en virtud de que los coeficientes de los términos de
acoplamiento en las dos ecuaciones no aparecen con el mismo signo. Esto
puede tomarse en cuenta mediante el uso de un girador y el circuito equi-
valente se transforma entonces como se muestra en la figura 4.15.
G e,
FIGURA 4.15 Un circuito equivalente alterno.

174. 172 Sistemas electromecánicos
4.7 SISTEMAS CON EXCITACION DOBLE y MULTIPLE
Hasta aquí sólo se han considerado sistemas con una sola bobina (es decir,
con entrada eléctrica única), pero los principios se aplican igualmente a
sistemas de bobina múltiple (o sistemas multiexcitados). Para determinar
la fuerza eléctrica, por ejemplo, es necesario determinar la energía almace-
nada. Así, para un sistema con doble excitación (o de dos bobinas) como
el de la figura 4.16, pueden expresarse los eslabonamientos de flujo en
términos de las inductancias de la manera siguiente:
A) = L))i) + L 12i2
A2 = Ll2i) +L 22i2
Supóngase que existen cambios incrementales en los eslabonamientos de
flujo, de tal manera que
dA) = Llldi) + L 12di2
dA2 = L 12di) + L22di2
Para encontrar el cambio en la energía magnética almacenada, se multi-
plican las dA anteriores por las corrientes apropiadas. Por lo tanto
dWm =i)dA) +i2dA2
La energía total almacenda se calcula integrando esta ecuación para obtener
W l L ·2 L .. + l L ·2
m="2 11/)+ )2/)/2 "2 22 /2
l (L ·2 L .. + L ., + L '2)="2 ))/) + 121)/2 12/)/2 2212
Además,(4.50) puede generalizarse
o, en notación matricial,
W };L"= -1 I
m 2
(4.50)
(4.51)
(4.52)

175. Problemas de valores instantáneos, medios y RCM 173
Ii,
(
L l1
i2
L'2
f'JL 22
I
FIGURA 4.16 Un sistema doblemente excitado.
donde i es una matriz columna, i es la transpuesta de i (es decir, i es una
matriz fila) y L es la matriz de inductancia del sistema.
Una vez que se determine la energía almacenada, el resto del proce-
dimiento en el estudio de un sistema multiexcitado es semejante al ·lue
se vio antes.
4.8 PROBLEMAS DE VALORES INSTANTANEOS, MEDIOS
y RCM
Los valores instantáneo y promedio de una fuerza de origen eléctrico son
importantes en el estudio de sistemas electromecánicos. Por ejemplo, para
que se inicie el movimiento mecánico la fuerza instantánea no debe ser
nula. En forma análoga, para un movimiento continuo, la fuerza promedio
debe ser diferente de cero. La fuerza promedio se define como
(4.53)
donde T es un lapso conveniente y Finst es la fuerza instantánea.
De la definición de fuerza promedio surge una nueva interpretación
de valor rcm (valor raíz cuadrático medio o eficaz), que se ilustra en las
siguientes ecuaciones.
Para un sistema inductivo excitado con corriente, la fuerza instantá-
nea es
(4.54)

176. 174 Sistemas electromecánicos
donde la corriente i puede tener cualquier forma de onda. La fuerza pro-
medio será, de (4.53) y (4.54),
_ 1 aL 1 (T' 2
Ji',rom- 2' ax T Jo 1 dt (4.55)
Si al sistema lo excita una corriente directa [c.c., la fuerza promedio es
F' = 1. aL [2
prom 2 ax C.c.
(4.56)
El valor de la corriente directa que produce la misma fuerza promedio es,
por lo tanto, de (4.55) Y(4.56),
[ =(.1 (T¡2dt){
c.c. T Jo (4.57)
Nótese que (4.57) coincide con la definición de valor rcm o eficaz. Así,
con el objeto de que se ejerza la misma fuerza promedio para ambos tipos
de excitación: c.c. y c.a., es necesario que el valor rcm o eficaz de la co-
rriente alterna sea lineal a la magnitud de la corriente directa.
En resumen, en este capítulo se han estudiado los principios funda-
mentales que gobiernan al proceso de conversión de energía electromecá-
nica. Se aplicaron estos principios al estudio de la dinámica de diversos
sistemas electromecánicos.
Problemas
4.1 El sistema electromecánico de excitación única que se muestra en la figura 4.17
está restringido a desplazarse sólo horizontalmente. Las dimensiones pertinentes
se muestran en el diagrama. Determinar la fuerza eléctrica ejercida sobre el
miembro móvil de hierro para
a) excitación con corriente
¡ = 1coswt
b) excitación con voltaje
v= Vcoswt
En ambos casos, no considerar la resistencia de devanado, los campos de fuga ni
los efectos de borde. Se supondrá que toda la energía se almacena en los entre-
hierros de aire; es decir, que la permeabilidad del hierro es muy grandecomparada
con la del espacio libre. ¿Qué modificaciones habría que hacer si no se desprecia-
ra la resistencia de devanado?

177. R
+
v
Problemas de valores instantáneos, medios y RCM 175
w X w Sección transversal
Dirección
posible de -
movimiento
fl-x
/ , ,
Núcleo
fijo
Elemento
móvil
FIGURA 4.17 Problema 4.1
4.2 Una estructura electromagnética se caracteriza por las siguientes inductancias
dependientes de 8:
LII =2+cos28=L22
L12 = 1+O.5cos8= L21
Supóngase nula la resistencia de devanado. Encontrar el par (en función de 8)
cuando ambos devanados estén conectados a la misma fuente, de tal manera que
VI = V2 = 155 sen 377 t.
4.3 El sistema mostrado en la figura 4.18 tiene dos bobinas, con autoinducciones
L 11 YL 22 e inductancia mutua L 12. La bobina 1 lleva una corriente i 1 =11 sen
No, 1
No,2
...-_ _ _----,___x
l1
;,
o--L~"-1>
0-'-;'2_-+----+-)2
L22
FIGURA 4.18 Problema 4.3
I
I
I
I
I
I
I

178. 176 Sistemas electromecánicos
WI t Yla 2 una i2 = 12 sen W2 t. Las inductancias son LII =kl/x, L 22 =k2/X y
L I2 = k3/~ siendo k¡, k 2 Y k3 constantes. Establecer una expresión para la
fuerza instantánea en la armadura: Dar una expresión (en forma integral) para la
fuerza promedio. Encontrar una relación entre W1 YW2 para i) fuerza promedio
máxima y ii) fuerza promedio mínima. Determinar los valores máximo, mínimo
e intermedio de la fuerza promedio.
4.4 Un sistema mecánico está constituido por un resorte, masa y amortiguamiento,
como se muestra en la figura 4.19. Seleccionar un sistema de coordenadas ade-
cuado y establecer las ecuaciones de movimiento en base a las leyes de Newton.
Obtener su circuito eléctrico equivalente usando
a) La analogía fuerza-voltaje
b) La analogía fuerza-corriente
FIGURA 4.19 Problema 4.4
4.5 Los datos siguientes corresponden al sistema de la figura 4.20: rl, r2 = resisten-
cias de los dos devanados; i1, i2 = corrientes especificadas; ni, n2 número de
vueltas; /10 = permeabilidad del espacio libre; A = área de la sección transversal
del vástago central y de los de los extremos; M = masa de la armadura; k = cons-
tante del resorte b =coeficiente de rozamiento y lo =longitud del resorte cuando
i = O. Suponer que toda la energía se almacena en el entrehierro de aire.
a) Si i 1 = lc.c. e i2 = 1m sen t, escribir
;, "o- .A/lllt r+ 2
? ;2
JVvv
v, v2
-
-
Núcleo
fino ¡;. = =
A
r n2
A
v
A
J
n,
I
J
Armadura móvil. ¡;. = =
Masa
Wff//,iff~Coeficiente de rozamiento = b
FIGURA 4.20 Problema 4.5

179. Problemas de valores instantáneos, medios y RCM 177
i) Las ecuaciones eléctricas de movimiento en notación matricial.
ii) La ecuación mecánica de movimiento.
iii) Si las ecuaciones anteriores son no lineales, identificar los términos no li-
neales.
b) Si i 1 = le.c. e i2 = Oobtener el punto de operación estable y linealizar la ecua-
ción alrededor de este punto.
4.6 Dos bobinas tienen sus autoinductancias e inductancia mutua (en Henries) como
funciones del desplazamiento x (en metros) de la manera siguiente:
2
L¡¡=L22=3+ 3x;
Las resistencias son insignificantes. Ambas bobinas están excitadas por la misma
fuente de voltaje VI =V2 =V =100 cos 50 t volts.
a) Encontrar una expresión para la fuerza eléctrica (esto es, la fuerza de origen
eléctrico).
b) Calcular el valor promedio en el tiempo de la fuerza en x = 1.
e) ¿Tiende la fuerza a incrementar o reducir a x?
4.7 En la figura 4.21 se muestra un sistema electromecánico. La estructura del nú-
cleo es cilíndrica. En la misma figura se indica el resto de datos. La bobina tiene
una resistencia insignificante y un voltaje ven sus terminales.
a) Establecer las ecuaciones generales de movimiento eléctrica y mecánica.
b) Dados a = 1 cm; lo = 5 cm; I1 =4 cm; w =0.1 cm y N =100 vueltas, calcular
la inductancia de la bobina para x = lo-
e) Con los datos de b), determinar la fuerza en la tara para x = 2 cm e i = 2 A c.C.
Cojinete
cil índrico no
magnético
N - vueltas r-l--+-_;...-----o+
v
Radio = a
FIGURA 4.21 Problema 4.7

180. 178 Sistemas electromecá~icos
4.8 En un electroimán la relación i -A es
donde x es cierto entrehierro de aire arbitrario. Si Aes la variable independiente,
a) encontrar una expresión para la fuerza electromagnética en x = 0.5 Yen x = 1.
b) ¿Se modifica la fuerza con x? Explicar.
4.9 El electroimán del Probl. 48 se excita con corriente continua de 3 A en una bo-
bina de N vueltas. Si se requiere que el imán desarrolle una fuerza de 12 Nw en
x = 1.0 cm, calcular N.
4.10 Para el sistema electromecánico de la figura 4.22, obtener una expresión para la
fuerza eléctrica que se desarrolla. Establecer todas las hipótesis de simplificación
que se hagan para esa obtención. Escribir las ecuaciones de movimiento eléctrica
y mecánica. Encontrar la posición de equilibrio. ¿Cuál es la dirección de la fuer-
za eléctrica? Supóngase en seguida que se elimina el resorte y que no se toma en
cuenta la fricción. Se aplica una fuerza externa para jalar al émbolo una distan-
cia d. Determinar el cambio en la energía almacenada en el campo de acopla-
miento. De haber un cambio en la energía almacenada ¿a dónde pasaría? O bien
¿de dónde provendría, según el caso?
+
v
J.I.:::::OO
N = Vueltas
I
~x
x = O
Sección transversal del núcleo w X w
Cojinete no magnético
---;--1' = 1'0' Coeficiente
de rozamiento b
FIGURA 4.22 Problema 4.10
4.11 La sección transversal del circuito magnético de la figura 4.23 es a. La tapa co-
rrediza soporta una fuerza de amortiguamiento viscoso Ffrie = bx que se opone a
su movimiento y que actúa en el soporte. La posición de x igual a Xo se obtiene
sin excitación eléctrica. Con un v = Vm cos cot y sin tomar en cuenta la resisten-
cia de devanado, determinar 10 que sigue, en términos de los símbolos dados:
a) La fúerza magnética que actúa sobre la tapa corrediza

181. Problemas de valores instantáneos, medios y RCM 179
r x
r---------------~
N
Circuito magnético
+ v
FIGURA 4.23 Problema 4.11
b) La distancia x en función del tiempo en estado estacionario, así como la vali-
dez de esta expresión.
e) La potencia promedio suministrada por la fuente de voltaje si el material mag-
nético carece de pérdidas.
4.12 Para el sistema mostrado en la figura 4.9, con los parámetros definidos en el tex-
to, (Sec. 4.5.5), determinar la variación de flujo en función del tiempo para una
corriente de entrada de 2 A.

183. Capítulo 5
La máquina
con conmutador
para C.C.
En este capítulo se introduce un grupo de dispositivos electromagné-
ticos rotatorios: la máquina con conmutador para c.c. Al analizar este tipo
de máquinas se emplearán muchos de los principios que se utilizaron en
capítulos anteriores, en especial los conceptos de circuito magnético del ca-
pítulo 2 y las relaciones de fuerzas vistas en el capítulo 4. El material que
se estudia en este capítulo generalmente se conoce sólo como "máquinas
de c.c,". Se ha utilizado la palabra conmutador por varias razones. En pri-
mer lugar, el conmutador es la característica distintiva de los dispositivos
que se discuten aquí. Sin él, estas máquinas no se diferenciarían de muchos
otros tipos de máquinas. El conmutador es un rectificador/inversor mecá-
nico que posibilita la conexión con una fuente de c.c. y, durate el proceso,
otorga a esta configuración de máquina algunas de las más útiles caracte-
rísticas, como motor, generador y un dispositivo de control.
En segundo lugar, el conmutador no es el tipo único de máquina de
c.c. De hecho, no es del todo verdaderamente una máquina de c.c., si por
"c.c." se entiende un dispositivo cuyas corrientes y voltajes son unidireccio-
nales bajo una condición dada de velocidad y par. Los lectores con tenden-
cia a la electrónica objetarán probablemente la inclusión de un rectificador/
inversor "mecánico" como parte de un dispositivo que se usa tan a menu-
do en sistemas electrónicos y de control, y preguntará: ¿por qué no realizar
la función de rectificación/inversión con un dispositivo de estado sólido?
Tales dispositivos son bastante conocidos actualmente y se les conoce co-
mo máquinas de c.c. sin escobillas. Si aún se tiene curiosidad por saber
qué es la verdadera máquina de c.c., se debe tener presente que se trata de
un dispositivo conocido como máquina homopolar, derivado del generador
de disco de Faraday, desarrollado por Michael Faraday' en los años 30 del
181

184. 182 La máquina con conmutador para e.e.
siglo pasado. En varias aplicaciones aeroespaciales se ha usado una versión
en metal líquido de esta configuración. Por consiguiente, se utiliza aquí la
denominación "máquinas con conmutador para c.c." con el objeto de tipi-
ficar una configuración específica de máquinas de c.c.
El término c.c. se emplea para describir esta clase genérica de máquinas
e indicar que están energizadas convencionalmente por una fuente de ener-
gía eléctrica en c.c. Hay varios tipos de máquinas con conmutadores que
operan normalmente con fuente de c.a.: incluyen motores de repulsión y
máquinas polifásicas con conmutador. Estas últimas se usan en Europa para
aplicaciones que en los EE.UU. utilizan máquinas con conmutador en c.c.
Para finalizar, debe mencionarse que existe un tipo muy común de motor
con conmutador en C.C., conocido como motor universal, que opera con
fuentes de baja frecuencia en c.a.
La máquina con conmutador de c.c. es un dispositivo rotatorio muy
versátil y se construye en un rango amplio de dimensiones, desde dispositi-
vos de control muy pequeños para potencias nominales del orden de 1 W
hasta motores de grlndes dimensiones para potencias de 10,000 c.f. (HP)
o mayores, para aplicaciones en molinos de laminado. Su uso principal es
actualmente como motores industriales de impulsión, especialmente don-
de se requiere un par de gran magnitud controlado con toda precisión.
Motores de este tipo de emplean en molinos de laminación para acero y
alumnio, en motores de tracción, en grúas de construcción y móviles, tre-
nes eléctricos, vehículos eléctricos y C~,J.TOS para golf. Las máquinas con
conmutador se usan en herramientas p,)rtátiles alimentadas con baterías,
en vehículos automotrices en calidad (le motores de arranque, en motores
para ventiladores y en muchas aplicaciones de control, como activadores
y dispositivos sensores de velocidad o de posición.
Casi no existen usos modernos de máquinas con conmutador como
generadores de potencia, aunque en las etapas iniciales de distribución de
potencia electrica el sistema de tres hilos de Edison y el generador con
conmutador de c.c. fueron los medios principales para suministrar energía
eléctrica a usuarios domésticos e industriales. Aún quedan vestigios de es-
tos sistemas en las zonas céntricas de las grandes ciudades. Sin embargo,
debe notarse que la máquina con conmutador en c.c. es un dispositivo bi-
lateral y que muchos motores con conmutador de c.c. operan a menudo
como generadores en modo "regenerativo" o de "frenado dinámico", es-
pecialmente en aplicaciones de tracción.
5.1 DESCRIPCION DE UNA MAQUINA CON CONMUTADOR EN C.C.
Las figuras 5.1 a 5.4 muestran ejemplos de este tipo de máquinas. Física-
mente, constan de un miembro rotatorio, llamado rotor o armadura, y de
uno estacionario, denominado estator. Existen dos tipos de geometría co-
munes a todas las clases de máquinas rotarorias y que se designan por la

185. Descripción de una máquina con conmutador en C.C. 183
FIGURA 5.1 Vista en corte de un motor de 4 000 Hp Y 700 V (Cortesía de
General Electric Company).
Motores de tracción
"JB" General Electric
.. .ligeros _ de larga vida
• funcionamiento versátil
1) Coraza de aca,o magne'
tleo P8,a al marCO del mo'
tor,8copladoconunoKtre"
mo corrugado da unapiua.
Las tapas s& maqulnaron
contenu,a.pareasegu,.'
una alln&aclon eKscta Vpro'
porclona, soporte. dgldol
pa.alolcojlnel.l.
4) LOj <;ojlnetelde bo·
le,<;ongran<;ap8<;lded
daampujeradlelyexlal,
son prelubrlcedos pe,e
oparer durenteunel/lde
prolongada $In n&cell·
dedde engrne.
• #<
2) l.o,poltestllrminelesNdlman·
sloneron par. co08xl6o rápida y
6) LOI Illteme, de ¡)o'ta'allCobt-
lIas M optimizan para condlero·
n"d8valocldad,corrlente,voltaja
y C81'111, proPorcionando unS SUI-
tltllclón,Implade81CObllluyuna
Mavo,eXllectatlvadevldeutll.
5)!.olconmutedo-
r8s.conconl"true·
ción de "10rduu
da a,o y acoplados
con cobre plataa-
do y mica "pre-
mlum" ..I.cclo·
nada, <;ontrlbuvan
a fo,""a. una unl·
dad de conmuta-
<;i6n estable Y só·
3) Le armadura V hll bobina. de
<;ampo se caracterizan por SUI<;on·
du<;toras de tipo barra,ailladOI
<;on matarlales cuidadosamente
sale<;clonado. Y probados para
asegura, una l/Ida de motor
larga y <;onfiable.
FIGURA 5.2 Motor con conmutador en c.c. para aplicaciones de tracción
(Cortesía de General Electric Company).

186. 184 La máquina con conmutador para e e
FIGURA 5.3 Generadores y motores de control típicos (Cortesía Servo·Tek
Products Company).
coordenada dimensional del entrehierro; a saber, la de entrehierro radial-la
más común- y la de entrehierro, asociada frecuentemente con lo que se co-
noce como "motores de disco". El elemento rotatorio del primer tipo tiene
por lo general forma cilíndrica y se ajusta dentro del estator, que es un ci-
lindro hueco o de forma anular, concéntrico con el rotor. El entrehierro es

187. Descripción de una máquina con conmutador en C. C. 185
el espacio radial, medido sobre un radio con origen en el eje de rotación del
rotor, entre el diámetro exterior del rotor y el interior del estator. En el
otro tipo, las formas del rotor y estator difieren y el entrehierro es la dis-
tancia paralela al eje de los discos concéntricos entre dos superficies
adyacentes de éstos.
La teoría y análisis desarrollados en este texto son válidos para ambas
geometrías. No obstante, cuando sea menester incluir alguna de ellas en la
formulación de una ecuación, se hará en términos de la más común (la
geometría radial). En cualquier geometría se dispone de un sistema de co-
jinetes y lubricación para sostener al rotor y permitir su rotación con un
mínimo de pérdidas por rozamiento y excentricidad mínima. Los cojinetes
se sostienen o se fijan a la coraza, que es la porción estructural exterior del
estator. La configuración de coraza varía con el tipo de sistema de ventila-
ción usado para enfriar la máquina y con los medios utilizados para evitar
que penetren polvos u otras partículas extrañas a la máquina. Las máquinas
pequeñas a menudo se sellan herméticamente y el calor que se produce en
su interior se transfiere a la superficie exterior de la máquina sólo por con-
ducción. En las fotografías de las figuras 5.1 a 5.4 pueden observarse al-
gunas de estas características estructurales.
FIGURA 5.4 Cuerpo de rotor de un motor de 3 500 HP, 220 V, 40/80 rpm-
un medio con estampados (Cortesía Brown Boveri Company).

188. 186 La máquina con conmutador para ce
FIGURA 5.5 Armadura en corriente directa con conmutador doble para un
generador de 2 000 kW, 450 rpm (Cortesía Brown Boveri Company).
Desde un punto. de vista electro.magnético., la máquina co.n co.nmuta-
do.r de c.c. está fo.rmada po.r des o. más fuentes de excitación magnética,
aco.pladas magnéticamente mediante un circuito. magnético.. Les des siste-
mas principales de excitación sen el campo. o. sistema excitado.r, que pue-
de ser un devanado. eléctrico. o. un imán permanente que se ubica en el
estato.r y el devanado. de armadura lo.calizado. en el ro.to.r (figura 5.5.). De
este medo., la máquina en cuestión es una máquina do.blemente excitada.
El circuito. magnético. co.nsiste del material magnético. dúctil o. imanes per-
manentes) y del yugo., que fo.rma parte frecuentemente de la co.raza de la
máquina. Resultan fuentes adicio.nales de excitación po.r el uso. de interpe-
les y devanado.s de co.mpensación (figura 5.6) que se describirán después
en relación co.n pro.blemas de co.nmutación.
Obviamente, la función de sistema de campo. co.nsiste en suministrar
energía para establecer un campo. magnético. en el circuito. magnético.. El
uso. de un devanado. eléctrico. de campo. (figura 5.7) pro.po.rcio.na la gran di-
versidad y variedad de características de o.peración que caracterizan a las
máquinas de co.nmutador de c.c. La excitación po.r imán permanente del
8istema de campo. es casi siempre menos Co.sto.sa y o.cupa meno.r espacio.
que la excitación eléctrica, y elimina la necesidad de una fuente de energía
eléctrica separada.

189. Descripción de una máquina con conmutador en C. C. 187
Al devanado de armadura se le conoce a menudo como devanado de
potencia de la máquina de conmutador de c.c, pues el par electromagnéti-
co de la máquina es función de la corriente de devanado de armadura y las
terminales de este devanado se conectan a la fuente de potencia exterior a
través del sistema conmutador/escobilla. Como se habrá notado, este sis-
tema sirve de conexión eléctrica. El sistema opera como un dispositivo de
conmutación mecánico entre el circuito de armadura externo y los devana-
dos de armadura dentro de la máquina, donde las corrientes y voltaje induci-
dos están variando en el tiempo con polaridades inversas. Como dispositivo
bilateral, el sistema conmutador/escobilla es en cierta manera análogo a la
acción de una pareja antiparalela de rectificadores.
El rotor o armadura de una máquina con conmutador de c.c. con en-
trehierro de aire radial tiene forma cilíndrica y se monta en una flecha sos-
tenida por los cojinetes (figura 5.5). Uno o ambos extremos de la flecha
sobresalen de la coraza de la máquina. Esta es la "terminal" de entrada/sa-
lida de la máquina, y puede acoplarse mecánicamente al dispositivo de car-
ga o fuente de energía mecánica, dependiendo de que la máquina funciona
como motor o generador. En muchas máquinas, la parte "activa" del rotor,
esto es, la porción que sirve como conductor magnético en el circuito rrag-
nético, es un cilindro hueco de material magnético dúctil, apoyado e 1 la
flecha mediante un miembro puramente estructural conocido como a 'aña
o cangrejo. Esta forma de construcción se utiliza para reducir el peso en
relación a la que usara un cilindro sólido.
Sobre la superficie del rotor se tienen numerosas ranuras axiales y pa-
ralelas, por lo general uniformemente espaciadas alrededor de la circunfe-
rencia del rotor, en las que se ubican las bobinas de armadura que consti-
tuyen el devanado de armadura. En máquinas mayores, se preforman estas
bobinas y se disponen en las ranuras según reglas de devanado, que se verán
en la sección 5.2. Se usan varios tipos de aislamiento eléctrico para aislar
las bobinas de las superficies conductores de las ranuras de acero, depen-
diendo de los voltajes desarrollados en las bobinas, del tipo de enfriamiento
o técnica para la transferencia de calor utilizada para eliminar el calor de
las bobinas y del sitio donde vayan a funcionar las bobinas.
Para proporcionar soporte mecánico, protección contra raspaduras
y para tener un aislamiento eléctrico adicional, a menudo se insertan fo-
rros no conductores entre las bobinas y las paredes de ranuras. Se denomi-
nan "dientes" a los materiales magnéticos entre ranuras. En la figura 5.8 se
muestran algunos esquemas de sección transversal de la geometría de ranu-
ra/diente común. La sección transversal de la ranura o muesca, aunque
pueda verse como un detalle trivial de diseño, tiene una gran influencia so-
bre la característica de operación final de la máquina y afecta a factores
como la inductancia de armadura, saturación del diente, pérdidas por co-
rrientes de torbellino inducidas en los polos del estator, así como al costo
y complejidad del devanado de bobinas en las ranuras.

190. 188 La máquina con conmutador para e.e.
FIGURA 5.6 Estator de un motor de 1 030 kW mostrando las barras como
pensadoras y los interpolos (Cortesía Brown Boveri Company).

191. 146860
Brown Bovet.í
Descripción de una máquina con conmutador en e.e. 189
FIGURA 5.7 Polo magnético de un motor de 2550 kW en c.c. para lamina-
doras (Cortesía de Brown Boveri Company).

192. 190 La máquina con conmutador para e.e.
lIU
FIGURA 5.8 Armadura típica de la geometría de ranuras.
El diseño mecánico y estructural de las máquinas rotatorias es un tema
desafiante por sí mismo y es un área que cambia continuamente con la dis-
ponibilidad de materiales magnéticos, eléctricos y aislantes perfeccionados,
con el uso de técnicas de transferencia de calor más elaboradas y con el
desarrollo de nuevos procesos de manufactura. La referencia proporciona
un buen tratamiento de muchos de los aspectos estructurales más detalla-
dos de las máquinas rotatorias de c.a. y c.c. Sin embargo, para los propósi-
tos de este libro interesa más el desarrollo de los principios electromagné-
ticos que hacen que trabajen las máquinas.
5.2 DEVANADOS DE ARMADURA
Muchos tipos de devanados de armadura se han usado en máquinas con
conmutador de c.c., siendo la primera configuración la llamada tipo anillo
de Gramme, que se devanaba en rotores de forma toroidal. En las máqui-
nas actuales de entrehierro de aire radial, la mayoría de los devanados de
armadura son del tipo imbricado o del tipo ondulado. Los rotores peque-
ños se devanan a máquina por lo general haciendo girar el eje del rotor de
extremo a extremo, mientras se introduce alambre a las ranuras una vuelta
por vez. En rotores de mayores dimensiones, el devanado se compone de
bobinas preformadas que se ubican en las ranuras (figura 5.5). Las referen-
cias 1 y 2 dan descripciones más detalladas sobre devanado de máquina.
Un devanado de armadura es un devanado continuo, es decir, no tie-
ne principio o fin. Se forma por un cierto número de bobinas en serie, uno
de cuyos extremos se conecta eléctricamente a una barra de conmutador.
Una bobina puede estar formada por una vuelta o bucle de alambre, o por
una cierta cantidad de vueltas en serie (figura 5.9). Sólo el principio de la
primera vuelta y el final de la última de una serie de vueltas que constitu-
yen la bobina se conectan a las barras de conmutador. La forma en que
los extremos de la bobina se conectan a las barras de conmutador determi-
na si el devanado es imbricado u ondulado.
Las apariencias de bobina de los dos tipos de devanados son general-
mente iguales y no es posible determinar el tipo de devanado por inspec-

193. Devanados de armadura 191
FIGURA 5.9 Bobina ondulada de vueltas múltiples.
ción visual de la armadura devanada por completo y del conmutador. En
las figuras 5.10 y 5.11 se ilustran las diferencias entre los dos tipos. Para en-
tender estos diagramas de devanado, imagínese que se practicó un "corte"
axial en la superficie del rotor y del conmutador y que las dos superficies
cilíndricas se extendieron llanamente. Las superficies resultantes aparece-
rían como se ven en las figuras 5.10 y 5.11, si por el momento se ignorara
el hecho de que otro conjunto de líneas axiales debería aparecer en estos
diagramas para indicar los lados de ranura. El término imbricado resulta
del hecho de que como el devanado avanza alrededor del rotor, el extremo
de la bobina se traslapa posteriormente sobre sí mismo y se conecta a la
barra de conmutador adyacente a la barra a la cual se conectó el principio
de la bobina. El origen del término ondulado es más oscuro, salvo que
cuando el devanado se traza como en la figura 5.11 se tiene un patrón ge-
neral de onda. '
Los dos lados de una bobina se colocan generalmente en ranuras que
están separadas por un paso polar. El paso polar es un medio de establecer
la distancia entre los centros de los polos de campo y puede expresarse en
unidades de ranura (número total de ranuras dividido entre el número total
de polos) o en grados:
360
a=--
p
(5.1 )
donde p = número de polos. Un devanado en el que los lados de bobina
estén separados por un paso polar se denomina devanado de paso comple-
to. Por varias razones, a veces es conveniente tener los lados de bobina se-
parados en menos de un paso polar. Un devanado de este tipo se conoce
como devanado de paso corto o fraccionario. Esta práctica es mucho más

194. r
I
I
I
I
I
I
I
L
Escobilla
¡..¡---v------,..¡
Terminales
de armadura
r-
I
I
I
I
I
I
I
L__ _
r-----...,
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I
I ¡pala
I I
I I
L_____ ..J
FIGURA 5.10 Esquema parcial de una armadura con embobinado imbricado.
e
b
~N ~l· S
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e
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I
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I-E----V--~
Terminales
de armadura
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I
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L
FIGURA 5.11 Esquema parcial de un devanado ondulado de armadura.
I
I
¡Pala
I
I
a

195. Devanados de armadura 193
FIGURA 5.12 Esquema devanado de circuito impreso para un motor tipo dis-
co (Cortesía de PMI Motors, Division of Kollmorgen Corporation).
común en devanados de estator de máquinas de c.a. que en devanados de
armadura de c.c.
Las conexiones externas a los devanados de armadura se hacen a tra-
vés de escobillas que descansan en el conmutador y que se mantienen en
posiciones fijas al girar el conmutador y el rotor. Las posiciones de escobi-
lla se localizan en forma semejante separadas por un paso polar. En un de-
vanado imbricado se requiere un número de posiciones de escobilla igual al
número de polos. La mitad de las posiciones están en polaridad positiva y
la otra mitad en negativa, quedando los grupos positivo y negativo en para-
lelo a través de conexiones eléctricas externas.

196. 194 La máquina con conmutador para e.e.
Con un devanado ondulado sólo se requiere dos posiciones de esco-
billa (una positiva y otra negativa), aunque a menudo se usan más posicio-
nes para reducir la densidad de corriente en las escobillas. La diferencia
principal entre los dos devanados, en lo que concierne a la operación eléctri-
ca de la máquina, radica en el número de trayectorias eléctricas en paralelo
a través del devanado entre las terminales positiva y negativa de la armadu-
ra. Si se designa con a el número de trayectorias en paralelo entre las ter-
minales de devanado de armadura, se tendrá
para devanado imbricado a = p
para devanado ondulado a = 2
(5.2)
En uno de los problemas de la parte final de este capítulo el lector puede
verificar esta conclusión. Dado que el devanado imbricado proporciona más
trayectorias en paralelo en el devanado de armadura que el ondulado para
todas las máquinas excepto para la de dos polos, el primero es generalmen-
te más adecuado para aplicaciones en bajo voltaje y corriente elevada,
mientras que el segundo se usa con más frecuencia en las de alto voltaje. En
la figura 5.12 se muestra una forma común de devanado en una máquina
de entrehierro de aire axial.
5.3 VOLTAJE DE ARMADURA
En esta sección se establecerán expresiones para el voltaje inducido en el
devanado de armadura cuando ésta gira en un campo magnético produci-
do por los polos del estator. Hay varias formas posibles en las que puede
expresarse este voltaje, en términos de autoinductancias e inductancias
mutuas, como se vio en la sección 4.7. En el análisis de máquinas con
conmutador en c.c. ha sido costumbre establecer expresiones para voltaje
de armadura en términos de flujo de campo, más que en términos de in-
ductancias propias y mutuas como en la sección 4.7 citada. Este énfasis re-
laciona el voltaje de armadura con las dimensiones físicas del sistema de
campo. Puesto que una gran cantidad de máquinas con conmutador en c.c.
se excitan con imanes permanentes y no con devanados eléctricos, resulta
casi imposible usar expresiones de inductancia en los cálculos de operación
de máquina.
Se usará aquí entonces el método convencional en términos de flujo
magnético y se observará que esta componente puede calcularse de una
manera directa y relacionarse con las dimensiones físicas de los polos de
campo y con el devanado eléctrico mediante los principios expuestos en
el capítulo 2. Al resolver un problema referente a máquinas rotatorias,
deben tenerse presentes las líneas directrices generales para seleccionar el
modelo apropiado, según se vio en la sección 4.5.

197. Voltaje de armadura 195
Se utilizará una forma sumamente simple de máquina de c.c. para el
siguiente desarrollo (ver figura 5.13) que corresponde a una vista de la sec-
ción transversal de una máquina sencilla de dos polos). Se muestran las dos
secciones transversales de conductores, que son los lados de una bobina de
una sola vuelta. El eje de referencia para la posición E>m de bobina es el eje
vertical. Si rpp es el flujo total que emana de un polo, supuesto perfecta-
mente horizontal, el flujo que eslabona con la bobina, en función de la po-
sición de bobina (rotor), es
(5.3)
Si el rotor gira con una velocidad angular w m rad/seg, la posición en
función del tiempo será
(5.4)
De la ley de Faraday, para una bobina de una sola vuelta el voltaje in-
ducido en ella es
(5.5)
Si hubiera p polos en el estator en lugar de los dos mostrados en la
figura 5.13 la frecuencia del voÍtaje inducido en la bobina se incrementa-
ría p /2 veces, precisamente como si la velocidad de rotación se hubiese
incrementado en p/2. Es posible redefinir el ángulo E>m mostrado en la
figura 5.13 como un ángulo "eléctrico" equivalente:
N
--~"<Pp
s
FIGURA 5.13 Sección transversal axial simplificada de una máquina de dos
polos, en la que se muestra sólo una bobina de armadura.
(5.6)

198. 196 La máquina con conmutador para e.e.
A las unidades de este ángulo eléctrico se les llama con frecuencia
radianes eléctricos o grados eléctricos, y se relacionan con el ángulo me-
cánico verdadero mediante el número de pares de polos p/2. Al sustituir
E>m por E>e en el análisis anterior, se encuentra la siguiente expresión
para el voltaje inducido en la bobina de armadura
(5.7)
Para N vueltas en serie, (5.6) se tiene
p p
e= N'" -w sen-w t't'p 2 m 2 m (5.8)
El voltaje que aparece en las terminales de la armadura es el promedio de
media onda del valor máximo del voltaje instantáneo, en virtud de la ac-
ción del conmutador:
P 12'lT/P 2 ( P ) Nprppwm
E= - e d(w t)= - <p N-w = ---'---
2'1T o m '1T P 2 m '1T
(5.9)
Es costumbre en la práctica con máquinas con conmutador en c.c. expre-
sar las vueltas en serie en términos de Z, "(jonductores", (lados de bobina)
y de a trayectorias paralelo:
'}
N=--
2a
Introduciendo esta N en (5.9), se tiene
donde ka = Zp /2rra, llamada a menudo constante de armadura.
(5.10)
(5.11)
Las expresiones anteriores dan el voltaje inducido de armadura en
función de la velocidad del rotor, del flujo magnético por polo de campo
y de la configuración del devanado. Este voltaje es completamente inde-
pendiente de que la máquina opere como motor o generador; esto es, no
depende de la dirección del flujo de corriente en la armadura. En opera-
ción de motor, a este voltaje se le llama frecuentemente" fuerza contra-
electromotriz". La ecuación (5.11) se conoce generalmente como ecuación
de fem.
5.3.1. Una derivación alternativa
La ecuación de fem también se puede derivar, quiz.á en forma más sencilla,
si se considera sólo un conductor de la figura 5.13. Este conductor gira en

199. Voltaje de armadura 197
el sistema de campo de tal suerte que el flujo total, </>, cortado por el con-
ductor en n revoluciones se determina como
(5.12)
Así, el flujo "cortado" en la unidad de tiempo que da el voltaje inducido
en el conductor es simplemente
(5.13)
donde n =velocidad en r.p.m. Finalmente, el voltaje total inducido en el
devanado puede expresarse como
(5.14)
donde los símbolos han sido definidos con anterioridad.
La representación gráfica de (5.11) es una de la herramientas princi-
pales para el análisis de máquinas con conmutador en c.c. excitadas eléctri-
camente y se le conoce como curva de magnetización o de excitación. Se
obtiene impulsando a la máquina en una velocidad mecánica constante W m
y variando la corriente de campo (la que modifica a </>p) midiéndose entre-
tanto al voltaje inducido E en las terminales de armadura en circuito abier-
to. En la figura 5.14 se muestran curvas de magnetización típicas para dos
velocidades mecánicas diferentes. Este procedimiento experimental se de-
nomina prueba "sin carga" y se describe en la sección 5.10.
Si se conocen ciertas dimensiones físicas de la máquina, tales como la
longitud del entrehierro de aire y el área de la cara de polo, pueden con-
vertirse las unidades de las ordenadas de la figura 5.14 en unidades de By
H Ylas curvas de magnetización de la máquina se expresan frecuentemente
en estas unidades, así como en unidades de </>p ver sus Ir' Si se dispone de
instrumentos detectores de flujo adecuados tales como las pruebas de Hall
o un fluxómetro de integración, pueden medirse directamente las variables
B o </>p en el entrehierro de aire de la máquina a cero velocidad, de una ma-
nera semejante a la que se usa en cualquier otro circuito magnético. No
obstante, la medición de voltaje en circuito abierto es mucho más sencilla
que la típica de flujo o de densidad de flujo y se dispone por lo general más
fácilmente de un vóltmetro que de un instrumento para medir flujos. Por
consiguiente, la relación voltaje versus ampere vueltas (o, de manera más
precisa, corriente de campo) se usa más comúnmente para describir las ca-
racterísticas magnéticas del circuito magnético de la máquina.
La forma de la ecuación (5.11) en términos de flujo no siempre es
conveniente. Por esta razón, (5.11) se expresa frecuentemente en términos
de corriente de campo más que en términos de flujo de campo. Así,
(5.15)

200. 198 La máquina con conmutador para e.e.
140
120
100
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.o
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c: 60.,.,
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20
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500 1000 1500 2000 2500 3000
Excitación de campo (AV/polo)
FIGURA 5.14 Curva de magnetización típica de una máquina con conmuta-
dor en c.c.
La relación entre Kt de esta ecuación y la constante de armadura Ka
de (5.11) es la que existe entre el flujo magnético en el polo y la corriente
excitatriz o corriente de campo. Esta relación se analizó en el capítulo 2.
Se habrá observado que (5.11) es una ecuación lineal y que (5.15) no
lo es, en virtud de la relación no lineal entre ~p e Ir' La cantidad Kt es no li-
neal y varía con la pendiente de la curva de magnetización en la figura
5.14. Dado que esta característica puede obtenerse experimentalmente, la
constante Kt es relativamente fácil de obtener en comparación con la Ka
de la ecuación (5.11). Además, muchas máquinas, especialmente las de
control, se operan en la región lineal de la curva de magnetización y, en
tales casos, pueden ignorarse las no linealidades de la ecuación (5.15).
5.4 PAR ELECTROMAGNETICO
Se regresará brevemente a la semántica y se examinarán las dos palabras que
constituyen el título de esta sección, pues estos términos aparecerán con

201. Par electromagnético 199
frecuencia al estudiar máquinas rotatorias. La primera de ellas, par, proba-
blemente le sea familiar al lector y pueda invocar ya una imagen física. El
par, a menudo llamado momento, es el producto de una fuerza por un bra-
zo de palanca. Algunas veces se representa como un vector:
T=rxF (5.16)
donde F representa la fuerza y r el brazo de palanca o radio alrededor de un
eje de rotación, con dirección hacia afuera del eje de rotación.
El aspecto de interés en la ecuación (5.16) es la dirección asociada con
el par. En máquinas rotatorias electromagnéticas, r es generalmente el radio
del elemento rotatorio de la máquina: el rotor, y F es la fuerza que actúa
sobre un conductor portador de corriente en la superficie del rotor o cerca
de ella. En maquinas con conmutador en c.c. y en otras muchas clases de
máquinas rotatorias, estos dos vectores son ortogonales. Del álgebra de
vectores para el producto cruz de la ecuación (5.16) se ve que esta situación
se traduce en una dirección para el vector par a lo largo del eje de rotación,
esto es, paralela a Ja flecha de la máquina. Se observa que hay sólo dos po-
sibles direcciones para las dos paralelas al eje de rotación. Se destaca este
punto, aunque sea obvio, ya que es un error común asociar la dirección
del par T con la de la fuerza F.
Al par se le trata más comúnmente como una cantidad escalar. Sus
unidades son las de trabajo o energía, como puede verse en la ecuación
(5.16). En unidades del SI, las unidades de par son newton-m yen unida-
des inglesas libra-pie. Resulta más fácil establecer el par electromagnético a
partir de variaciones en la energía magnética almacenada tratándolo como
magnitud escalar, como se describió en el ejemplo 4.2.
La segunda palabra del título de esta sección, electromagnético, im-
plica una interacción entre los campos eléctrico y magnético, que es el nú-
cleo del proceso de conversión de energía en las máquinas rotatorias. La
ecuación 5.8 de este capítulo y la ecuación (4.15) del 4 ilustran bastante
bien lo anterior. Estas ecuaciones describen el mecanismo mediante el cual
la energía eléctrica se convierte en mecánica y viceversa, tanto en motores
como en generadores.
Este proceso de conversión de energía, a pesar de ser la "raison d'etre"
fundamental de las máquinas rotatorias, se describe por una relación suma-
mente sencilla:
(5.17)
donde Td es el par desarrollado electromagnéticamente e la es la corriente
de armadura. Aquí, la nomenclatura es la usada para las máquinas con con-
mutador en C.C., aunque el significado de ambos miembros de la ecuación
(5.17) se extiende a cualquier tipo de máquina rotatoria. El primer miem-
bro de esta ecuación representa potencia eléctrica y el segundo potencia

202. 200 La máquina con conmutador para e.e.
mecánica. Obsérvese que dicha ecuación es bilateral y describe la acción de
motor o de generador.
La ecuación (5.17) proporciona un medio sencillo para establecer una
expresión para el par electromagnéticamente desarrollado en una máquina
con conmutador en c.c. Resolviendo para Td y sustituyendo E de la ecua-
ción (5.11), se obtiene
N-m (5.18)
La expresión anterior puede aún dejar en el ánimo del lector la im-
presión de que el par es una cantidad más bien oscura, con poco significa-
do físico. Por lo tanto se establecerá la ecuación la (5.18) a partir de (5.16),
lo que dará oportunidad de introducir la fuerza de Lorentz (2.4). En pri-
mer lugar, el lector debe observar que las condiciones que conducen a la
forma de la fuerza de Lorentz, expresada por la ecuación (2.6), son aplica-
bles a las máquinas con conmutador en c.c. Sustituyendo esta ecuación en
la (5.16), y suponiendo una relación ortogonal entre r y F, lo que condu-
ce a una forma escalar de (5.16), se obtiene
N-m
que es el par sobre un conductor de armadura de longitud la en un radio
r, con una corriente la' Para los conductores Z, de armadura conectados
de tal suerte de tener a trayectorias, la ecuación (5.19) se convierte en
ZBlrla
T=--d a N-m (5.20)
Si se supone que la densidad de flujo es uniforme sobre el área de armadu-
ra opuesta al polo de campo Cpp, puede expresarse el flujo por polo como
cp =B XA =B X (2'TTrl )P P P
(5.21 )
Al sustituir para B de (5.21) en (5.19), da
N-m
que concuerda con (5.18). Como en el caso de (5.11), a menudo conviene
expresar el par en términos de corriente de campo y no de flujo de campo;
así:
(5.22) 1

203. Máquina con conmutador en corriente continua 201
5.5. CONFIGURACIONES DE MAQUINA CON CONMUTADOR EN CO-
RRIENTE CONTINUA
Las características de operación de una máquina con conmutador en c.c.
varían considerablemente en función del modo en que se interconecten
los circuitos de campo y armadura. Antes de describir estas conexiones,
se resumirán las tres ecuaciones principales para las máquinas con conmu-
tador en c.c., que serán de utilidad para observar los efectos de esas inter-
conexiones:
donde Ra representa la resistencia del circuito de armadura.
(5.11)
(5.18)
(5.23)
La última ecuación relaciona el voltaje terminal, V, de armadura
con el inducido, E. El signo del segundo miembro de esta ecuación depen-
de de que la máquina se opere como motor o como generador; el signo po-
sitivo se usa para la operación motor. Las relaciones de velocidad para una
máquina pueden observarse sustituyendo (5.11) en (5.23) y resolviendo
para la velocidad, lo que da
w =m (5.24)
La figura 5.15 ilustra esquemáticamente los diferentes métodos de
conexión de los circuitos de campo y armadura en las máquinas con con-
mutador en c.c. El símbolo circular representa sólo la porción activa del
circuito de armadura, esto es, el voltaje generado descrito por (5.11). Debe
tenerse en cuenta que existen además elementos pasivos de circuitos en el
circuito de armadura, los cuales representan la resistencia e inductancia del
devanado de armadura y de otros devanados conectados en serie con ésta
para mejorar la conmutación. Los cuadrados sobre las circunferencias del
símbolo de armadura indican que la conexión a la armadura se hace a tra-
vés del sistema de conmutador por escobillas.
Hay otro aspecto de naturaleza simbólica en los circuitos mostrados
en la figura 5.15. Los circuitos de campo y armadura están trazados siem-
pre formando ángulos de 90°. Este trazo representa la orientación real en
el espacio de los campos magnéticos producidos por estos circl~itos en una
máquina con conmutador en c.c. Debe hacerse notar que aunque se mues-
tra el ángulo entre los dos circuitos como ángulo físico de 90° , esto repre-
senta un ángulo eléctrico de 90° en la máquina multipolar general.

204. 202 La máquina con conmutador para e.e.
La dirección de la flechas en las figuras 5.15d ye es también un sÍm-
bolo de la dirección de los campos magnéticos asociados con los dos deva-
nados de campo. Los cuatro últimos circuitos representan únicamente dos
configuraciones de máquina: la compuesta diferencial y la compuesta acu-
mulativa. Los circuitos en derivación-larga y en derivación-corta se mues-
tran para indicar los dos posibles medios de conectar el devanado de campo
en derivación en una máquina compuesta. Existe sólo una diferencia des-
preciable entre las características de operación de máquina para los dos ti-
pos de conexión.
A las cinco configuraciones básicas que se muestran en la figura 5.15
debe agregarse una sexta: la máquina con conmutador de c.c. excitada con
imán permanente. Esta puede considerarse como una forma de máquina
excitada separadamente, la de la figura 5.15a, con una excitación constan-
te aunque separada, producida por un imán permanente y no por el deva-
nado eléctricamente energizado que ahí se muestra. Cualquiera de las seis
configuraciones es capaz de operar como motor o como generador, aun-
que, como se hizo notar al principio de este capítulo, el modo motor es el
más común de las aplicaciones de la máquina con conmutador en c.c. en la
actualidad. La primera de las seis configuraciones, la excitada separada-
mente, es la más flexible, ya que es factible un control total de los circuitos
de armadura y campo, siendo también la más versátil, pues hace posible
una amplia variación de respuestas como motor o como generador.
Una configuración muy usada de máquina con conmutador en c.c. es
el motor de campo serie de la figura 5.15c, que es el motor de tracción prin-
cipal en uso en la actualidad y que tiene además muchas otras aplicaciones
como motor "universal" para operación en c.c. o en c.a.
La configuración en derivación de la figura 5.15 b se usa principalmente
en aplicaciones de baja potencia y velocidad fija, donde se insertan circui-
tos adicionales en el circuito de campo. Esta configuración se convierte en
una variante de la de motor excitada separadamente (figura 5.15a). Como
generador, la configuración en derivación se conoce como generador au-
toexcitado y posee características interesantes denominadas "construcción"
de voltaje. Este fenómeno es el proceso de la armadura que suministra su
propia excitación de campo y es de utilidad en aplicaciones de generador
cuando no se dispone de fuente de excitación externa, como en haciendas
aisladas o en campamentos.
La construcción de voltaje requiere que exista algún magnetismo re-
sidual en el circuito magnético del generador para lograr que el proceso
arranque. Además, el circuito de campo debe conectarse al de armadura
de tal manera que, para la dirección dada de rotación de armadura, el vol-
taje de armadura genere una corriente que fluya en el circuito magnético
con una dirección específica, para que el campo magnético asociado a esta
corriete ayude al magnetismo residual. El lector puede observar el proceso
con la ayuda de la figura 5.16.

205. Máquina con conmutador en corriente continua 203
r--------------oA
Campo Armadura
n ~-------------oA
F F
(a)
(b) (e)
-
(d) (e)
(g)
FIGURA 5.15 Clasificación de maquinas de c.c. a) Excitada separadamente.
b) En derivación. e) En serie. d) Compuesta acumulativa. e) Compuesta dife-
rencial. nEn derivación larga. g) En derivación corta.

206. 204 La máquina con conmutador para e.e.
La curva de magnetización para una máquina típica se muestra con
una "línea de resistencia de campo", que no es otra cosa que la gráfica de
voltaje versus corriente para la resistencia del circuito de campo del gene-
rador en paralelo autoexcitado. Si se supone lineal la resistencia del campo
paralelo, la gráfica es una línea recta. El proceso de construcción es como
sigue: supóngase que el circuito decampo está inicialmente desconectado del
de armadura. La armadura gira a una velocidad dada, lo que origina un vol-
taje inducido residual Er. Cuando el circuito de campo paralelo se conecta
al de armadura, no hay corriente inicial en el circuito de campo en virtud
del efecto de su inductancia.
El voltaje Er
, que aparece en las terminales del circuito de armadura,
origina una corriente que fluye en el circuito de campo. La tasa de creci-
miento de 11 depende de la constante de tiempo de este circuito; no obs-
tante, con la 11 excitando al campo, el voltaje de armadura -de acuerdo
con la curva de magnetización- construye a El. El voltaje de armadura in-
crementado hace que la corriente de campo aumente hasta 12 , la que a su
vez edifica al voltaje de armadura hasta E 2 •
Este proceso continúa hasta que la curva de magnetización y la línea
de resistencia se intersectan, en cuyo punto cesa el proceso de construcción
de voltaje. Puede continuar ahora una operación estable como un genera-
dor en derivación que suministra corriente de carga. Debe notarse que al
crecer la resistencia del circuito de campo, la línea de resistencia de campo
en la figura 5.16 gira en sentido contrario de las menecillas del reloj. En
cierto valor de resistencia, se aproxima casi hasta coincidir con la porción
lineal de la curva de magnetización, lo que se traduce en una condición de
voltaje inestable, en lo referente al suministro de potencia. No obstante,
esta coincidencia tiene algunas características útiles como dispositivos de
control. En algunas ocasiones se le llama "generador sintonizado" y su
nombre de mercado es Rototrol. Si la resistencia crece más allá de este va-
lor, no es posible la construcción de voltaje.
Las configuraciones compuestas poseen también algunas caracterÍsti-
cas de interés. La configuración compuesta acumulativa de la figura 5.15d
implica que se sumen los campos magnéticos de los dos devanados. La
composición acumulativa tanto de motores como de generadores se usa con
frecuencia para reunir las ventajas de la excitación en serie con la que está
en paralelo, aunque con el advenimiento de las técnicas de control electró-
nico para los circuitos de armadura y de campo este método ha caído casi
en desuso.
La máquina compuesta diferencial se emplea cada vez menos salvo
quizá en el laboratorio, donde el estudiante neófito de maquinaria pueda
inadvertidamente ponerla en operación. En esta configuración se oponen
los flujos de los campos en serie y en derivación y es posible que no exista
flujo dentro del campo magnético en algun estado de operación. Si esto tie-
ne lugar en operación de motor, (5.24) puede ocasionar que la velocidad

207. Máquina con conmutador en corriente continua 205
E
L (nea de resistencia de campo
FIGURA 5.16 Construcción de voltaje en un generador autoexcitado.
del motor llegue a ser peligrosamente alta. Esto debe evitarse; la conexión
diferencial tiene algunas características útiles en aplicaciones de control,
aunque en general conduce a operación inestable que puede dañar a la má-
quina.
Ejemplo 5.1
Un generador con conmutador en c.c., de seis polos y 30 ranuras, tiene de-
vanado imbicado de armadura. Determinar mediante la ecuación (5.12) la
constante de armadura Ka para esta máquina.
Este tipo de devanado tiene un número de trayectorias en paralelo
igual al número de polos, en este caso, a = 6. El número de conductores
activos en un devanado de doble capa es igual al doble del número de ra-
nuras (hay dos conductores por cada ranura), por lo que Z =2 X 30 =60
conductores. Sustituyendo estos valores en la ecuación (5.11), se obtiene
K = 60x6 = 30 =9.55
a 2?Tx6 ?T

208. 206 La máquilUl con conmutador para e.e.
Ejemplo 5.2
El generador del ejemplo 5.1 se opera con un campo excitado separada-
mente, de tal suerte que el flujo de campo por polo es de 0.04 Wb. Si se
impulsa el generador a una velocidad de 3 000 rpm, determinar el voltaje
de armadura sin carga.
Como 3 000 rpm equivalen a 314.16 rad/seg, el voltaje sin carga será
E=9.55 x.04x314.l6= 120 V
Ejemplo 5.3
El generador del ejemplo 5.1 se operará ahora como motor. El circuito de
campo se ajusta como en el ejemplo 5.2, de tal manera que el flujo sea
de 0.04 Wb/polo. Se desea alimentar una carga que requiere un par de 50
Nw-m en 4 000 rpm. ¿Cuáles deben ser la corriente y voltaje de armadura
para alimentar a esta carga? La resistencia del circuito de armadura se to-
mará igual a 0.075 Ohms.
La corriente de armadura puede determinarse directamente a partir
de (5.18):
la = 50/(9.55 X 0.04) = 130.9 A
La fcem es
E=9.55 xO.04x418.9= 160 V
El voltaje de armadura necesario, de acuerdo con (5.23), es
v= 160+ 130.9 x 0.075 = 160+9.8= 169.8 V
Ejemplo 5.4
Un cierto generador en derivación excitado separadamente tiene la caracte-
rística de magnetización que se muestra en la figura 5.14. Se impulsa a
5 000 rpm con una excitación de campo de 2 000 amp-vueltas y suministra
una corriente de carga de 150 A. La resistencia total del circuito de arma-
dura es de 0.08 ohms. Determinar el voltaje terminal, la salida de potencia,
la potencia electromagnética y la entrada de par electromagnético requeri-
do para la condición de carga estipulada.
De acuerdo con la figura 5.14, el voltaje sin carga para 2000 Amp-vuel-
tas es 131 V. Para la corriente de carga fijada, el voltaje terminal es (sin
considerear la reacción de armadura).
v= 131 - 150X 0.08 = 119 V

209. Caracteristicas de armadura y de circuito de campo 207
La potencia de salida es P = 119 X 150 = 17, 850 W. La potencia elec-
tromagnéticaes Pe =EI =131 X 150 =19,650W. La entrada de par electro-
magnético es 19 650/523.6 = 37.5 Nw.-m.
5.6. CARACTERISTICAS MAGNETICAS DE ARMADURA Y DE
CI RCUITO DE CAMPO
Hay varios tipos de diagramas útiles para ilustrar relaciones espaciales entre
los campos magnéticos producidos por diversas fuentes de excitación. La
figura 5.17 ilustra de un modo esquemático la sección transversal (perpen-
dicular al eje de rotación) de una máquina con conmutador de c.c. de dos
polos. En esta representación simplificada no se muestra el conmutador,
aunque sí se indican las escobillas que conectan al circuito de armadura ex-
terno, en su ubicación física propia respecto a las porciones "activas" de
los conductores de armadura; esto es, las porciones localizadas en las ranu-
ras de armadura.
Conviene que el lector relacione este tipo de diagrama con los esque-
mas de las figuras 5.10 Y 5.11. La máquina de dos polos se usa para simplifi-
car el diagrama y la explicación subsecuente. En una máquina multipolar
con p polos se repetiría el patrón de la figura 5.17 p/2 veces alrededor de
la circunferencia de la armadura. Esta forma de representación de máquina
es independiente del hecho que el devanado sea imbricado u ondulado. Es
aún más" aproximarlo para una máquina práctica con devanado tipo circui-
to impreso (figura 5.12), en el cual no existe conmutador y las escobillas
hacen contacto eléctrico con los conductores. El lector debe verificar que
el flujo de campo y la rotación de la armadura, para las direcciones de co-
rrientes de armadura de la figura 5.17, correspondan a la operación como
motor.
Los polos de campo y su flujo magnético asociado <Pf pueden caracte-
rizarse por excitación eléctrica o por imán permanente, por lo que ya no
se insistirá sobre este punto. El flujo magnético <Pa que resulta de la corrien-
te de armadura se observa que es ortogonal al flujo de campo y colineal
con los ejes de las escobillas. Las flechas del diagrama representan flujo
magnético y no deben interpretarse como vectores, sino más bien como
líneas centrales o ejes de las líneas de flujo magnético o líneas de flujo pro-
ducidas por el campo y las fems de armadura. Se sustituyen a menudo las
flechas direccionales de flujo por vectores de densidad de flujo, aunque este
tipo de representación vectorial puede describir densidad de flujo sólo en
un punto, a saber, a lo largo de los ejes horizontal y vertical de la figura 5.17.
El punto importante que hay que observar es que la dirección de las
líneas de flujo de armadura o la densidad de flujo resultante de la corriente
de armadura a lo largo del eje, es estacionaria en el espacio e independiente
de la velocidad de rotación de la armadura. Esta situación proviene de la

210. 208 La máquina con conmutador para e.e.
1>(
..
N
I
PNG
r
s
FIGURA 5.17 Escobillas en el plano geométrico neutral (GNP: geometric
neutral plan).
acción de las escobillas, pues al pasar un conductor por la posición de es-
cobillas, la corriente en él invierte su dirección. A este proceso se le llama
conmutación. Con referencia a la figura 5.17, todos los conductores de la
mitad izquierda de la armadura tienen siempre el flujo de corriente en la
dirección mostrada. Los de la mitad derecha tienen también siempre co-
rriente en la dirección opuesta, aunque estén girando constantemente los
conductores en la dirección que se indica. Esta condición existe si se supo-
ne que no hay cambio en la dirección de excitación de campo, ni en la
dirección de rotación o en la dirección de corriente de armadura en el cir-
cuito de armadura externo. La interacción entre el campo magnético esta-
cionario- que resulta del flujo de corriente de armadura y el campo
magnético producido por el devanado de campo se denomina reacción de
inducido (conocida también como reacción de armadura).
Puesto que el eje de escobilla determina al eje del campo magnético
de la armadura, puede desplazarse el eje magnético al desplazar el de esco-
billa. Esta técnica se empleó en muchas máquinas primitivas con conmuta-
dor en C.C., para mejorar la conmutación antes del advenimiento de los
devanados compensadores. El método se usa aún en motores de arranque

211. Caracteristicas de armadura y de circuito de campo 209
automotrices, donde puede lograrse una conmutación adecuada con esta
técnica sin el costo adicional de los devanados compensadores. La figura
5.18 es una representación esquemática semejante a la de la figtira 5.17. En
la figura 5.19, las superficies circunferenciales de los polos de campo y la
armadura se han "desenrollado" de una manera similar a los esquemas de
devanado de las figuras 5.10 y 5.11, para dar un diagrama lineal de estas
superficies. La figura 5.19a ilustra las superficies de entrehierro linealiza-
das. En la figura 5.19b se muestran las distribuciones de fmm y flujo mag-
nético debidas sólo a la excitación de campo, en tanto que la 5.19c ilustra
las distribuciones de fmm y de flujo magnético debidas a la excitación de
armadura únicamente. Las fmms de la figura 5.19 se obtienen aplicando
la ley de Ampere (2.2), bajo el supuesto de que las porciones magnéticas
de la máquina son materiales magnéticos ideales.
Para aplicar esta relación, debe escogerse la trayectoria cerrada de in-
tegración de tal manera que se incluyan todas las fuentes magnéticas dentro
de un paso polar (5.1). En la figura 5.19a se muestra una trayectoria de es-
ta naturaleza, a través de las líneas centrales de los dos polos magnéticos.
La fmm debida sólo a los devanados de campo (figura 5.19b) es una apli-
cación directa, conveniente de la ecuación (2.2), que no requiere de expli-
N s
FIGURA 5.18 Escobillas corridas del plano geométrico neutral.

212. 210 La máquina con conmutador para e.e.
, _______________ -, Yugo
1 ® ® I ®
NI ® ® is ~Devanado
I ® ® I ® de campo
I I X Polo
I L..-_ _ _1-
1
---~ ESC¡illa : I
(a)
® ® ® ® ® L~_~_~_~_~__~_~_~J ~ ® ® ® ®
~wm 'Conductores
de armadura
---_~~-----r-~---~L-~-----L-~------(b)
FMM.
----------------I'=-------------~----(d)
FIGURA 5.19 a) esquema de campo y armadura. b) Flujo Yfmm debidos sólo
al campo. C) Flujo y fmm debidos sólo a la armadura. d) Flujo debido a la ac-
ción combinada de campo y armadura.

213. azracteristicas de annadura y de circuito de campo 211
cación adicional. La magnitud de fmm de campo, obtenida de este modo,
esN,ff·
Es más difícil darse una imagen de la distribución de fmm de armadu-
ra. Para la trayectoria que se muestra en la figura 5.19b, la fmm debida a
los conductores de armadura es cero, pues en la trayectoria cerrada se in-
cluyen igual número de conductores con corrientes positivas y con corrien·
tes negativas. Si esta trayectoria se moviera a la derecha se incluiría un
exceso de conductores portadores de corriente positiva dentro de la trayec-
toria, originándose una fmm positiva. Si la geometría de la trayectoria ce-
rrada se mantiene constante al moverse estatrayectoria,la fmm se incrementa
según un patrón de función escalón al pasar las fronteras conductoras. La
función triangular mostrada en la figura 5.19c, es un promedio de estos
cambios escalón de la fmm.
En rigor, esta función triangular continua representa la fmm de una
"lámina de corriente". La función ocurre cuando a una distribución cir-
cunferencial uniforme de corriente de armadura de una polaridad entre po-
siciones de escobilla le sigue una distribución de corriente de armadura
uniforme de polaridad opuesta entre el siguiente conjunto de posiciones de
escobilla. La función triangular continua se aproxima por una máquina
con conductores y ranuras discretos, si existe un número grande de ranu-
ras profundas y estrechas entre las posiciones de escobilla.
El significado de estos diagramas de fmm puede interpretarse median-
te la ecuación (2.2). La fmm descrita por estos diagramas es la que tiene
lugar dentro de un paso polar, en función de la naturaleza circunferencial
de la ubicación de la trayectoria cerrada cuando cruza el entrehierro de
aire. Dado que no hay caída de reluctancia en los miembros magnéticos
cruzados por la trayectoria cerrada (bajo la suposición de que se trata de
materiales magnéticos ideales), la caída total de reluctancia de 1 H • dI
en el primer miembro de la ecuación (2.2) tiene lugar en el entrehierro de
aire.
Los diagramas de fmm representan también la magnitud de la intensi-
dad de campo magnético H alrededor de la circunferencia del entrehierro
de aire. Mediante las gráficas de fmm para representar intensidades de cam-
po en el entrehierro y considerando la reluctancia de la trayectoria cerrada,
se puede estimar cualitativamente la densidad de flujo magnético en fun-
ción de la posición circunferencial, en virtud tanto de la fmm de campo
como de la de armadura. Estas gráficas de flujo aproximadas se muestran
en las figuras 5.19b -5.19d.,
Se observa que la distribución de densidad de flujo de la fmm de cam-
po corresponde generalmente a la gráfica de fmm, con alguna tolerancia
para los efectos de borde en los lados de polo. La correspondencia provie-
ne de la baja reluctancia de la trayectoria de integración, cuando esta tra-
yectoria incluye a los dos polos. En contraste, cuando la fmm de armadura
es máxima, la trayectoria de integración atraviesa los espacios de aire de

214. 212 La máquina con conmutador para C.C.
alta reluctancia entre los polos. Bajo estas circunstancias, la distribución
de densidad de flujo no corresponde a la gráfica de fmm. Debe notarse otra
vez que la gráfica de densidad de flujo de la figura 5.19 se basan en la su-
posición de materiales magnéticos ideales y no toman en cuenta los posibles
efectos de saturación en el interior de materiales magnéticos reales.
Lo anterior, junto con las figuras 5.7 a 5.19, ilustra la naturaleza del
campo magnético de armadura o de la reacción de inducido. El efecto real
de ésta sobre la operación de una máquina dada depende de muchos facto-
res, además de las relaciones básicas descritas arriba. Estos factores son las
magnitudes relativas de campo y de fmms de armadura, bajo condiciones
normales de operación; la longitud del entrehierro de aire, la geometría de
las ranuras de armadura, el tipo de excitación de campo (eléctrica o de imán
permanente) y las diversas medidas correctivas que se adopten para mejo-
rar la conmutación. Las siguientes consideraciones sobre los efectos de la
reacción de inducido son de carácter general y pueden variar considerable-
mente de una máquina a otra, dependiendo de la construcción de la má-
quina y su aplicación.
1. La reacción de inducido es fundamentalmente un campo magneti-
zante cruzado en una máquina con conmutador en C.C., pues es
ortogonal al campo de la fuente de excitación principal. Esta rela-
ción espacial se observa con toda claridad en la figura 5.17.
2. Los efectos magnetizantes cruzados de la reacción de inducido son
básicamente distorsiones del campo magnético de la fuente de ex-
citación principal. Las dos distorsiones importantes de este campo
son:
a) Crear un campo magnético en las regiones de interpolos, donde
los conductores de armadura soportan la conmutación.
b) Distorsionar el campo bajo los polos de campo principal, agre-
gando fmm a un lado del polo y restándola en el otro. Como se
ve de la figura 5.19d, esto tiende a aumentar la densidad de flu-
jo debajo de una punta de un polo de campo principal.
Los dos efectos distorsionantes de la reacción de inducido tien-
den a tener efectos adversos sobre el proceso de conmutación.
El flujo en la región interpolar significa que la bobina que expe-
rimenta la conmutación se mueva a través de un campo magné-
tico durante el tiempo en que esté en corto por las escobillas. El
elevado nivel de flujo en una punta de un polo de campo prin-
cipal implica que la bobina que pasa a través de este flujo tenga
voltajes más altos que los normales que se inducen en ella. Esta
circunstancia puede originar una ruptura de voltaje a través de
las barras del conmutador a las que está conectada la bobina. Es-
tos dos fenómenos tienden a originar chispas en la región esco-
billa/conmutador.

215. Conmutación 213
3. Pueden presentarse algunos efectos desmagnetizantes, provenientes
del campo magnetizante cruzado de la reacción de armadura:
a) En la región bajo los polos principales, la suma de fmm en un la-
do y la sustracción en el otro, originadas por la reacción de in-
ducido, es una suma algebraica de fmms. El flujo que resulta de
esta suma depende del grado de saturación del circuito magné-
tico. Si se diseña la excitación de campo nominal para hacer que
el circuito magnético se excite alrededor de la "rodilla" de la
curva de saturación del material magnético, la suma de fmm en
un lado del polo se traducirá en un incremento más pequeño en
la densidad de flujo que la sustracción de fmm en el otro lado.
Por consiguiente, habrá una reducción neta en el flujo total que
emana de la parte baja de un polo principal.En una máquina con
conmutador en c.c. típica, este fenómeno se traduce general-
mente en una reducción en el voltaje de generador (o fcem del
motor) con carga completa del 2 al 5% .
b) El desplazamiento de las escobillas produce una fmm magneti-
zante o desmagnetizante. En la figura 5.18 se ve que la fmm de
armadura ya no es ortogonal a la fmm de campo principal. Po-
see componentes cruzadas y desmagnetizantes. Si las escobillas
se desplazan de tal manera que se mejore la conmutación, el
campo magnetizante no cruzado será siempre un campo des-
magnetizante.
4. Los efectos de la reacción de inducido sobre la fmm de campo prin-
cipal son de signo algebraico opuesto, dependiendo de si la máqui-
na opera como motor o como generador, debido a que la diferencia
entre las dos operaciones la gobierna el signo de la corriente de ar-
madura.
5.7 CONMUTACION
Se ha mencionado el término conmutación en varias secciones de este ca-
pítulo sin haberse dado una definición específica de él. En las máquinas
con conmutador en c.c., la conmutación se refiere al proceso de inversión
de la corriente en la bobina de armadura. Este proceso tiene lugar cuando
las barras de conmutador a las que se conecta la bobina pasan bajo una es-
cobilla estacionaria conectada al circuito de armadura externo. La conmu-
tación, en el sentido más amplio, se asocia frecuentemente al concepto de
bloqueo de una corriente, como tiene lugar, por ejemplo, en un thyristor
(SeR: silicon controlled rectifier: rectificador de silicio controlado). El
término no es incompatible con su uso en máquinas con conmutador en
c.c., pues la corriente de armadura debe primero bloquearse y enseguida
hacerse circular en el sentido opuesto. La conmutación ideal, en una má-

216. 214 La máquina con conmutador para e.e.
I
I Tiempo de
conmutación
---=-- t
FIGURA 5.20 Conmutación lineal o ideal.
quina con conmutador en c.c, es la variación lineal de la corriente de
armadura desde + la hasta - la' como se ilustra en la figura 5.20. La con-
mutación lineal es una meta que debe procurarse, aunque rara vez se alcan-
za en el diseño u operación de una máquina con conmutador en c.c. Los
principales obstáculos para alcanzar la conmutación lineal -algunos de
los cuales han sido ya descritos- son:
1. Flujo magnético en la "zona espacial de conmutación"; esto es, en el
área que rodea a los conductores que experimentan conmutación. Este
flujo se debe a los efectos distorsionan),es de la reacción de inducido.,
di
2. Voltaje de reactancia propia: el volb .je igual a L t---:-:-i asociado con la
dt
inductancia de la bobina que experimenta conmutación.
3. Voltaje de reactancia mutua: el voltaje igual a M(:i) asociado con bobi-
nas adyacentes que experimenten conmutación. t
4. Voltajes elevados de barra a barra, inducidos por el flujo excesivo en una
punta de polos. Se originan por los flujos de reacción de inducido, que
ayudan al flujo de campo principal en un lado del polo, como se vio en
la sección anterior.
Existen varias soluciones que se han desarrollado para compensar estos
efectos de reacción de inducido, que son:
1. Interpolos: se trata de polos auxiliares ubicados entre los polos del
campo principal, es decir, aproximadamente en la región opuesta a las es-
cobillas. Se diseñan para suministrar un flujo con polaridad opuesta al flu-
jo que existe en la región interpolar originado por la reacción de inducido,
como se muestra en la figura 5.19d, más un flujo adicional diseñado para
contrarrestar los efectos de los voltajes de reactancia propia y mutua.
La fmm requerida para contrarrestar al flujo de la reacción de induci-

217. Conmutación 215
do puede obtenerse refiriéndose a la figura 5.19c: la fmm magnetizante
cruzada por posición de escobilla es
1 la
Nlb = (conductores en - claro de polo) X-
2 a
(5.25)
La fmm del interpolo debe ser mayor que el valor obtenido al aplicar la
ecuación (5.25) por la necesidad de compensar los efectos de los voltajes
de reactancia propia y mutua. Este valor varía con la construcción de
cada máquina, pero en general es del orden de 1.25 veces la fmm obtenida
a partir de la ecuación (5.25).
El devanado que produce la fmm de interpolo se conecta en serie con
el circuito de armadura, pues la reacción de inducido que va a compensar-
se por el interpolo varía linealmente con la corriente de armadura. La figura
5.22 ilustra la función de los interpolos en la reducción del flujo interpo-
lar y en la sobrecompensación de los voltajes de reactancia.
2. Devanados compensadores. Estos devanados se ubican en las caras
de polo de los polos principales y se diseñan para compensar los efectos de
distorsión de la reacción de inducido bajo los polos principales. La figura
5.22 ilustra la colocación de los devanados compensadores. Al aplicar la
ecuación (2.2), se ve que los devanados compensadores "compensan", esto
es, eliminan la fmm de reacción de inducido bajo los polos principales. Los
devanados compensadores, al igual que los devanados interpolares, se co-
nectan en serie con el devanado de armadura.
3. Desplazamiento de escobillas. Este es un método arcaico de com-
pensar los efectos de reacción de inducido. La figura 5.18 ilustra la manera
en que la fmm de reacción de inducido cambia; de ser una fmm puramen-
te magnetizante cruzada, a una con componentes mangnetizante cruzada
y desmagnetizante, mediante un desplazamiento de escobillas. Esta técnica
se usó para compensar los efectos de la reacción de inducido antes de la in-
troducción de los interpolos y devanados compensadores. Todavía se usa
para este propósito en máquinas donde es prohibitivo el costo de interpo-
los o devanados compensadores, como por ejemplo en motores de arranque
automotrices. El desplazamiento de escobillas se aplica sólo para un tipo
de conversión de energía; esto es, para acción de motor o de generador.
Además, los efectos del desplazamiento de escobillas se fijan en magnitud
como función de la corriente de armadura, en contraste con la corrección
por interpolos o por devanados compensadores.
Los diversos métodos de compensación de efectos de reacción de in-
ducido se utilizan en las máquinas con conmutador en C.C., en función de
la ubicación de la máquina en términos de costo, aplicación y tiempo de vi-
da de operación útil de la máquina. Por su parte, una compensación de
conmutación impropia conduce a un mantenimiento en exceso de la má-
quina, en virtud del desgaste y deterioro. El empleo de una u otra de las

218. 216 La máquina con conmutador para e.e.
(a)
(b)
® ®
® ®
® ®
Escobilla
l ®®®®j!)
conductores/ Interpolo
de armadura
s
r-:®",--_...s Yugo
~Devanado
® de campo
X
Polo
~W'"
FIGURA 5;21 a) Esquema mostrando ubicación de interpolos. b) Flujo y fmm
debidos al interpolo. e) Flujo resultante de excitación de campo principal, de
armadura y de interpolo. (Comparar con figura 5.19d).
s
®®®®ftJ®®®
conductores/' Escobilla
de armadura compensadores
FIGURA 5.22 Devanados compensadores.

219. Pérdidas y eficiencia 217
técnicas de compensación descritas es un compromiso entre costo inicial
de la máquina contra costo de operación y mantenimiento.
5.8 PERDIDAS Y EFICIENCIA
Una de las características de cualquier máquina es su eficiencia en potencia
o energía, definida en el capítulo 1. La eficiencia en energía es de utilidad
en aplicaciones de velocidad y par variables, como las aplicaciones en trac-
ción. La eficiencia en potencia de las máquinas con conmutador en c.c. varía
considerablemente con el par. Por lo tanto, la eficiencia en potencia de la
máquina, en una cierta condición de velocidad y par, puede no ser en abso-
luto señal de la eficiencia promedio dentro de un rango determinado de
condiciones de velocidad y par. Por esta razón, la eficiencia en energía du-
rante un ciclo de operación específico o "ciclo de trabajo mecánico", tie-
ne más sentido con frecuencia para especificar la operación de una máquina
que no funciona en condiciones constantes de velocidad y par. En el desa-
rrollo que sigue, las componentes de pérdidas y las eficiencias se expresan
en términos de potencia. Los términos en energía pueden obtenerse me-
diante integrales en el tiempo de las cantidades que expresen potencia.
La potencia mecánica en la flecha de una máquina electromagnética
rotatoria es
(5.26)
Esta potencia, en un motor, es la potencia de salida disponible; es decir, la
potencia que puede suministrarse a una carga mecánica externa como una
bomba, un generador o una grúa. En un generador, ésta es la potencia de
entrada requerida. La potencia eléctrica en las terminales de una máquina
con conmutador en c.c. es
(5.27)
donde V e 1 son el voltaje y corriente, respectivamente, del sistema eléctri-
co externo conectado a la máquina y Pf es la potencia suministrada al de-
vanado de campo excitado separadamente, si la máquina se opera con un
campo de esta índole. En un motor, Pe es la potencia de entrada; en un ge-
nerador, la componente VI de Pe es la potencia de salida. La razón de Pm
a Pe es la eficiencia en potencia de la máquina.
La diferencia entre la entrada y salida consta de varias componentes
de las pérdidas internas de la máquina descritas con el auxilio del diagrama
de flujo de energía de la figura 5.23. En este diagrama, el flujo de potencia
(o de energía) puede tener una u otra dirección, dependiendo de si la má-
quina funciona como motor o como generador. Muchas de las componen-
tes de pérdida son típicas de cualquier máquina rotatoria electromagnética,

220. 218 La máquina con conmutador para C.C.
Salida
Entrada
Potencia desarrollada
por la armadura
(a)
Potencia desarrollada
por la armadura
(b)
Pmag
V¡ l¡ +
Tswm
Entrada
Tsw m
Salida
FIGURA 5.23 Flujo de potencia en una máquina con conmutador en c.c. a)
Generador. b) Motor.
aunque las descripciones que se dan enseguida están en términos de la má-
quina de conmutación en c.c.
1. Pérdidas mecánicas. Hay tres componentes de pérdidas mecánicas
en una máquina con conmutador en C.C.:
a) Rozamiento de cojinete. Esta componente varía con el tipo y
calidad del cojinete usada en la máquina, con la carga de par
(axial o radial) sobre el cojinete y con la velocidad de rotación.
Para una evaluación exacta del rozamiento de cojinete debe con-
sultarse al fabricante. Una relación aproximada de la pérdida, en
función de la velocidad de rotor de la máquina la da3
(5.28)
donde K b es una constante que depende de las dimensiones del
cojinete y del tipo y método de lubricación. Para dos cojinetes
similares por máquina y lubricación por película de aceite, Kb
se encuentra entre 1.1 y 1.7.

221. Pérdidas y eficiencia 219
b) Vendaval. Esta componente se debe al movimiento del aire en el
entrehierro y en las regiones interpolares, originado por la rota-
ción de la armadura. Depende de muchas de las características
de construcción de la máquina, aunque tiene más influencia en
ella la inducción de flujo de aire laminar o turbulento en las re-
giones del entrehierro de aire. La pérdida por vendaval de una
configuración de entrehierro de aire axial es por lo general me-
nor que la de una radial de capacidad de potencia equivalente.
Una fórmula útil para estimar las pérdidas por vendaval en una
máquina con entrehierro de aire radial, suponiendo flujo turbu-
lento, es4
(5.29)
donde R Y I son el radio y la longitud del rotor cilíndrico, res-
pectivamente; p es la densidad del aire y Cd es un coeficiente
de rozamiento pelicular, determinado de
_1_ = 2.04+ 1.768 ln(Re-ve; )
-ve;
(5.30)
donde Re es el número de Reynolds para el entrehierro de aire
radial.
c)Rozamiento de escobilla. Esta componente es privativa de las má-
quinas rotatorias que requieren sistema de escobilla/conmutador.
Con frecuencia es la componente más grande de las pérdidas me-
cánicas y uno de los aspectos indeseables de esta clase de máquinas.
La pérdida por rozamiento de escobilla depende de la velocidad
de rotación, de la presión de escobilla y de la composición de las
escobillas. El último aspecto se selecciona sobre la base de un
"compromiso de ingeniería", ciertamente complicado, entre un
número elevado de parámetros que incluye rozamiento de escobi-
lla, resistencia eléctrica de escobilla, tiempo de vida de escobilla,
densidad de corriente de escobilla, presión de escobilla, costo de
ensamblado de escobilla y otros. Las escobillas se construyen con
un material a base de carbón (grafito) mezclado con cobre o algún
otro material conductor. En general, el material conductor, al
aumentar la conductividad eléctrica, reduce las características
lubricantes del grafito. Origina una pérdida por rozamiento adi-
cional, desgaste y rasgaduras en el conmutador y ruido audible
por el "rechinido" de escobilla. Es difícil calcular la magnitud
de esta componente de pérdida y debe obtenerse de mediciones
experimentales.

222. 220 La máquina con conmutador para e.e.
2. Las pérdidas magnéticas o pérdidas en el núcleo se presentan en sec-
ciones magnéticas de máquinas con conmutador en c.c. en las que
existe un campo magnético que varía con el tiempo. En el capítulo
2 se describió la naturaleza de estas pérdidas. Las pérdidas magné-
ticas tienen lugar principalmente en la armadura, ya que el campo
magnético en las secciones de polo y yugo es relativamente cons-
tante. El material magnético de la armadura está girando continua-
mente a través del flujo de campo principal, por lo que generalmente
se construye en láminas para reducir al mínimo las corrientes de
torbellino. Sin embargo, existe una fuente de estas corrientes y la
pérdida asociada se localiza en las regiones de polos adyacentes al
entrehierro de aire. A esta área se le llama "cara de polo".
3. Pérdidas por devanado, a menudo llamadas "pérdidas en el cobre",
son pérdidas óhmicas en la armadura, en el campo en los interpolos
y en los devanados compensadores. Estas pérdidas se calculan de
inmediato si se conocen las resistencias de devanado, mediante los
inétodos experimentales descritos en la sección 5.9. Las resistencias
de la armadura, interpolos y polos compensadores generalmente se
reúnen para formar la resistencia total de circuito de armadura. Las
resistencias de devanado se miden por lo general a la temperatura
ambiente, que es menor que la temperatura a la que van a operar
los devanados. Al usar resistencias medidas para calcular pérdidas
o caídas de voltaje, estos valores medidos deben corregirse para
que correspondan a las temperaturas reales de operación.
4. Pérdidas eléctricas por escobilla. El material de grafito al carbón
que se utiliza como material básico en las escobillas, tiene una ca-
racterística de resistencia que difiere de la de los conductores me-
tálicos; a saber, tiene una característica resistencia-temperatura
negativa, semejante a la de un semiconductor. Además, la pérdida
por escobilla proviene en parte de la resistencia de contacto entre
escobilla y conmutador, que no puede describirse tampoco como
una resistencia óhmica convencional. Por esta razón, la caída de
voltaje en la escobilla y la pérdida de potencia se tratan separada-
mente del voltaje y pérdida del circuito de armadura. La pérdida
por escobilla depende de muchos factores, incluyendo la composi-
ción de las escobillas, la presión de contacto, la temperatura de las
escobillas, la condición de la superficie del conmutador, y otros.
Para escobillas de grafito puro a menudo se supone que es constan-
te la caída de voltaje en las terminales de la resistencia escobilla/
contacto, con un valor de 2.0 V, en función de la corriente de ar-
madura, por lo que la pérdida por armadura es 2 la W. Sin embar-
go, en la práctica, la caída de voltaje varía considerablemente con
la composición de las escobillas y debe determinarse para cada má-
quina. En máquinas pequeñas, la caída de escobilla y pérdida se in-

223. Especificaciones de placa 221
cluyen por lo general en los parámetros de circuito de armadura
total.
5. Pérdida por carga parásita. Es una pérdida en cierta forma anómala,
que se usa para tomar en cuenta el incremento de pérdida causado
al cargar la máquina. Se atribuye principalmente al incremento en
pérdidas magnéticas originado por los cambios en la distribución
de flujo del campo de reacción de inducido. Esta pérdida tiene más
importancia en máquinas grandes. La pérdida por carga parásita es
difícil de medir con exactitud (ver sección 5.9), y con frecuencia
se asigna un valor del 1% de la salida de máquina en máquinas gran-
des para tomarla en cuenta.
5.9 ESPECIFICACIONES DE PLACA
La "especificación" de una máquina se refiere a las condiciones de voltaje,
corriente, velocidad y potencia en las que la máquina opera normalmente.
Hay varias especificaciones asociadas con las máquinas de conmutador en
c.c., siendo la principal la que se conoce como especificación continua o
especificación en una hora, que es la que se describe en la nomenclatura de
placa. La especificación de potencia continua en una máquina es una ca-
pacidad térmica. A esta potencia puede operarse la máquina durante lapsos
grandes sin que la temperatura se eleve más allá de los límites de los mate-
riales aislantes de conductores, de los cojinetes y de otras componentes
que se afectan críticamente con la temperatura. Hay varias especificacio-
nes adicionales para lapsos breves que no se estipulan en la nomenclatura
de placa, pero que pueden obtenerse del fabricante.
Durante lapsos cortos, muchos tipos de máquinas con conmutador en
c.c. pueden operarse en condiciones de potencia y/o par que exceden con-
siderablemente a la capacidadcontinua. Por ejemplo, los motores industria-
les pueden operarse por lo general en forma intermitente o en intervalo de
un minuto en pares tres a cinco veces mayores que el par continuo.5
La
potencia nominal se refiere a una potencia de salida, esto es, a la potencia
de salida de flecha para un motor y a la potencia de terminal de salida para
un generador.
La especificación de velocidad para las máquinas con conmutador en
c.c. es más compleja que su capacidad en potencia, pues la mayoría de las
máquinas de c.c. son dispositivos de velocidad variable. En máquinas pe-
queñas o en máquinas de control a menudo se da un rango de velocidad.
En motores excitados separadamente o en derivación, una especificación
de velocidad se refiere a la velocidad máxima en la cual se puede sostener
la excitación de campo completa. De las ecuaciones (5.11) y (5.24), se
observa que esta velocidad se determina por el voltaje final y la dimensión
del circuito magnético de la máquina (que fija el valor de <f¡ antes de la sa-

224. 222 La máquina con conmutador para e.e.
turación). La máquina puede operarse arriba de esta velocidad por "debili-
tamiento de campo", es decir, reduciendo el valor de <p.
En la nomenclatura de placa se da una segunda velocidad, que es un
límite superior de velocidad de operación en el rango de debilitamiento de
campo de operación. En un motor en serie, la velocidad nominal se refiere
a la velocidad posible con salidas estipuladas de voltaje y potencia en el
motor. Además de estas velocidades tasadas o nominales, existe un límite
de seguridad de velocidad de operación: la velocidad más alta en que puede
operarse la máquina antes de que tenga lugar un daño mecánico. En las
máquinas con conmutador en c.c., este límite de velocidad se determina
mediante el diseño de ensamblado de conmutadorjescobilllas, y no puede
excederse. El fabricante puede informar al respecto.
Una indicación nominal de potencia de motor incluye, cuando menos,
la siguiente información: salida de potencia (por lo general en caballos de
fuerza), velocidad (r.p.m.), voltaje terminal, corriente de armadura para sa-
lida nominal, corriente de campo bajo condiciones nominales de operación
y factor de servicio. Este último es un multiplicador que puede aplicarse a
la capacidad de salida de la máquina para permitir operación en salida in-
crementada bajo condiciones particulares especificadas por al fabricante.
Para una discusión más detallada de especificaciones nominales, consúlten-
se las referencias 6 y 7.
Rara vez se estipula el par en las nomenclaturas de placa de motores
de potencia, aunque puede obtenerse a partir de datos nominales mediante
las relaciones
21f NT
P (en caballos de fuerza) = ---
33,000
NT
P (en Watts) = --
7.04
(5.31)
donde T está en libra-pie y N en rpm. La ecuaciones (5.31) aparecen en la
forma anterior en virtud de que la libra-pie se encuentra aún con mucha
frecuencia en la práctica comercial.
Las nomenclaturas de placa de motores de control generalmente inclu-
yen voltaje, corriente y par y, a menudo, inercia de rotor. Las especifica-
ciones nominales para generadores de potencia son semejantes a las de los
motores de potencia, salvo que la salida de potencia se da en kilowatts.
5.10 DETERMINACION EXPERIMENTAL DE PARAMETROS DE
MAQUINA
Para predecir la operación de una máquina o para ajustar las posibilidades
de una máquina a una cierta aplicación, es necesario conocer los valores de

225. Determinación de parámetros de máquina 223
algunos de los parámetros internos de máquina. Son de particular impor-
tancia, sobre todo en aplicaciones de control, la inductancia y resistencia
de la armadura y de los circuitos de campo. Pueden determinarse general-
mente por medio de los métodos convencionales de puente o por medi-
ciones de voltaje-corriente, como para cualquier otro tipo de circuito. Es
a menudo deseable medir la resistencia e inductancia del circuito de arma-
dura sin incluir la de las escobillas. Esto puede hacerse colocando las puntas
de los instrumentos debajo de las escobillas, en el circuito del conmutador.
La resistencia del circuito de armadura se obtiene con frecuencia a
partir de una prueba normal de máquina, llamada prueba de rotor bloquea-
do. En esta prueba se bloquea mecánicamente el ro.tor, para evitar que gire.
Esto se realiza afianzando un brazo de freno a la flecha de rotor, entonces,
puede usarse una escala para medir el par desarrollado por la máquina. En
una máquina en derivación o excitada separadamente, debe energizarse el
campo con una fuente de voltaje variable, para variar la corriente de cam-
po. El circuito de armadura se alimenta con una fuente de voltaje relativa-
mente bajo, pues la única impedancia en el circuito de armadura en reposo
es la resistencia del mismo.
El procedimiento de prueba es como sigue: con el rotor bloqueado y
la corriente de campo (si se opera en paralelo) establecida en un valor pres-
crito, aumentar el voltaje de armadura desde cero hasta un valor que dé la
corriente de armadura deseada. Medir el voltaje y corriente de armadura,
la fuerza en el brazo de palanca (que puede dar el par, si se conoce su lon-
gitud) y la corriente de campo. Esta ;;.-ueba se repite generalmente para
otros valores de corriente de campo y de armadura. La resistencia de cir-
cuitos de armadura puede obtenerse de la razón entre voltaje de armadura
y corriente de armadura y, por lo general, es más indicativa de la resisten-
cia que existe bajo condiciones reales de operación, que las mediciones que
se hacen en niveles bajos de corriente, como en mediciones con puentes.
La constante de par de máquina (5.22) se obtiene de mediciones de par
de armadura y corriente de campo. La prueba con rotor bloqueado requie-
re niveles de potencia relativamente bajos (en comparación con pruebas
con carga real) y simula por lo general los efectos de la reacción de inducido
bajo condiciones de carga, en la medida que determinan la producción de
par.
Otra prueba de máquina útil es la prueba sin carga. La máquina que
va a evaluarse se impulsa como generador con una fuente externa a una ve-
locidad constante y con una corriente de armadura de cero (con circuito de
armadura abierto). La medición del voltaje de armadura en función de la
corriente de campo produce los datos de curva de magnetización, como se
muestra en la figura 5.14. A partir de estos datos también se puede obtener
la constante de par, K t , como se vio en la ecuación (5.15). Si la máquina
se impulsa con una fuente cuyo par de salida pueda medirse, como un di-
namómetro de motor o una máquina de c.c. calibrada, se mediría este par

226. 224 La máquina con conmutador para e.e.
para cada valor de corriente de campo. El producto del par de entrada
(en Nw-m) por la velocidad de flecha (en rad/seg) es la potencia suminis-
trada a la máquina sujeta a prueba. El producto es una medida de la pérdi-
da sin carga de la máquina, para valores particulares de velocidad y corriente
de campo. Esta pérdida es la suma de las pérdidas mecánicas y magnéticas.
La prueba sin carga se repite para varios valores de velocidad que abarcan
el rango de velocidad de operación de la máquina que se prueba. La familia
de curvas resultante describe la variación de las pruebas mecánicas y magné-
ticas dentro del rango de velocidad y excitaciones (corrientes de campo)
utilizadas en la prueba.
En algunas máquinas en serie y en muchas de bajo potencia, no están
accesibles las terminales de devanado de campo y la prueba descrita arriba
no puede efectuarse. Además, muchos laboratorios y recursos de prueba no
cuentan con una máquina de impulsión adecuada para operar la máqui·
na en prueba como generador. En circunstancias que imposibiliten la prue-
ba sin carga, puede obtenerse alguna información del mismo tipo, operando
la máquina en prueba como motor sin carga. Las curvas de magnetización
se pueden obtener variando el voltaje de armadura al cambiar la corriente
de campo, para"mantener una velocidad constante y midiendo la corrien-
te y voltaje de armadura, la corriente de campo y la velocidad.
El rango de valores de corriente de campo que puede obtenerse a ve-
locidad constante de esta manera, es menor que el que se logra por el mé-
todo del generador sin carga. Como el motor carece de carga, será pequeña
la corriente de armadura y los efectos de la reacción de inducido no serán
de consideración. El voltaje inducido E se calcula restando la pequeña caÍ-
da de voltaje en la resistencia de armadura al voltaje terminal de armadura
medido. La pérdida sin carga se determina restando de la entrada de po-
tencia de armadura la pérdida ]2 r de armadura. El minuendo es igual al
producto de corriente de armadura por el voltaje terminal de armadura.
Deben tomarse precauciones al operar un motor sin carga externa, para
que la velocidad de operación máxima, dentro de las normas de seguridad
del motor, no se exceda durante la prueba en valores bajos de corriente de
campo.
5.10.1 Calibración de la máquina
La máquina con conmutador excitada separadamente o en derivación es
un dispositivo muy versátil, ya que su par puede controlarse en un rango
bastante amplio de velocidades, en operación como motor o como genera-
dor. En virtud de esta posibilidad, se le usa ampliamente en el laboratorio
como un dispositivo de carga para probar máquinas eléctricas rotatorias,
máquinas de combustión interna y muchos otros tipos de máquinas. La
principal aplicación de la máquina de conmutador de c.c. excitada separa-

227. Determinación de parámetros de máquina 225
damente en calidad de instrumento de prueba, es el dinamómetro. En éste,
el estator se "mece" y se libera para que gire en un ángulo pequeño, con la
intención de medir el par electromagnético desarrollado. Sin embargo, una
máquina convencionalexcitada separadamente y con estator fijo es también
muy útil como dispositivo de carga o impulso para probar otras máquinas
rotatorias o mecanismos. Para estas aplicaciones, debe "calibrarse" prime-
ramente la máquina en forma experimental; es decir, debe determinarse la
relación entre la potencia de entrada y la de salida dentro de un rango am-
plio de velocidad y par.
Para calibrar una máquina con conmutador en C.C., lo que implica de-
terminar las pérdidas en potencia en función de la velocidad y del par, se
requieren las pruebas que siguen:
1. La máquina que va a calibrarse se acopla mecánicamente a otra que
la impulsa. Es conveniente que esta última ya esté calibrada o que se
conozcan sus características, aunque si se dispone de instrumentos
precisos, cualquier máquina con conmutador en C.C., capaz de im-
pulsar a la que se prueba, es adecuada. La máquina impulsora debe
tener una capacidad de potencia mayor que las pérdidas que se es-
peran en la máquina en prueba. (Por lo general, cuando menos un
15% de la salida de potencia estipulada para la máquina sujeta a
prueba). Esa máquina se denominará máquina "impulsora" en los
parráfos siguientes.
2. La máquina impulsora se opera como motor, desacoplado a la má-
quina en prueba, dentro del rango total de velocidad que va a usar-
se para la máquina en prueba.
3. Se acoplan mecánicamente el motor impulsor y la máquina en
prueba. Se impulsa ésta dentro de su rango de velocidad y la entra-
da de aquél se mide en cada punto de velocidad. La diferencia en-
tre la entrada de potencia al motor impulsor en cada punto de
velocidad, determinada en los pasos 2 y 3, es la pérdida mecánica
del motor en prueba. Graficando estos puntos en función de la ve-
locidad se tiene la pérdida mecánica en función de la velocidad. La
pérdida mecánica puede descomponerse en dos componentes, si se
desea así, efectuando dos veces esta prueba: primero, con las esco-
billas de la máquina en prueba levantadas, lo que da las pérdidas
por fricción de cojinetes y vendaval y, segundo, con las escobillas
montadas al conmutador, lo que proporciona las pérdidas mecánicas
totales. La diferencia entre estas dos pruebas es la pérdida mecáni-
ca por rozamiento de escobillas.
4. Se repite la prueba descrita en el paso 3, con la corriente de campo
de la máquina en prueba establecida en el valor prescrito. Además
de medirse la entrada de potencia al motor impulsor, deben tam-
bién medirse la corriente de campo y el voltaje de armadura de la

228. 226 La máquina con conmutador para e.e.
máquina en prueba. La diferencia entre la entrada de potencia al
motor impulsor medida en este paso y la medida en el paso 3 para
cada punto de velocidad, es la pérdida magnética de la máquina en
prueba para el valor prescrito de corriente de campo. Este paso de-
be repetirse para diferentes valores de corriente de campo -los su-
ficientes para cubrir el rango de operación de la máquina en prueba
ya que va a usarse como una máquina "calibrada".
5. Debe obtenerse un valor exacto de la resistencia de armadura de la
máquina en prueba, que puede incluir o no la resistencia por con-
tacto de escobilla, dependiendo de los factores que se trataron en
secciones anteriores de este capítulo. Deben conocerse las caracte-
rísticas de resistencia contra temperatura de la resistencia de arma-
dura y de la resistencia por contacto de escobilla. Esta es una tarea
bastante sencilla para el propio devanado de armadura, si se cono-
ce el material conductor. Si va a tratarse la pérdida eléctrica por es-
cobilla independientemente de la pérdida por devanado de armadura
(lo que se hace con frecuencia para máquinas de potencia con es-
cobillas de grafito), debe medirse la caída de voltaje por contacto
de escobilla en función de la corriente de armadura. En máquinas
pequeñas o en las de escobillas con grafito al metal, puede general-
mente agruparse la resistencia por contacto de armadura con la
de devanado de armadura y la resistencia medida en las terminales de
armadura puede emplearse para calcular la pérdida eléctrica de ar-
madura. Se hacen variaciones de temperatura de resistencia, supo-
niendo, en este caso, las características del material conductor de
devanado.
6. El último paso implica la medición de la pérdida por carga parási-
ta. Como se habrá observado antes, esta pérdida a menudo se igno-
ra. La prueba que sigue puede usarse para determinar si tiene o no
importancia: la máquina en prueba se impulsa a una velocidad dada
por el motor impulsor como en los pasos anteriores. Con excitación
de campo nula se cortocircuita el circuito de armadura. Aparecerá
una corriente de armadura pequeña en virtud del magnetismo resi-
dual. Auméntese lentamente y con sumo cuidado la excitación de
campo de cero hasta un valor que haga que fluya la corriente de ar-
madura de régimen. Mídanse las corrientes de campo y armadura,
así como la potencia de entrada del motor impulsor. Calcúlense las
pérdidas de armadura ]2r y de escobilla para la corriente de arma-
dura estipulada, a partir del valor de resistencia determinado en el
paso 5, haciendo las correcciones por elevación de temperatura de
armadura, como se indicó. Determínense las pérdidas mecánica y
magnética del motor en prueba para la velocidad y corriente de
campo utilizadas con los datos de los pasos 2, 3 y 4. Réstense las
pérdidas ]2 r, las de escobilla mecánica y magnética, de la pérdida

229. Predicción de caracteristicas de operación 227
medida. La diferencia es la pérdida por carga parásita para esta velocidad
y corriente de armadura.
La prueba debe repetirse para otros valores de corriente de armadura
y para otras velocidades, si la máquina va a operarse en velocidad variable.
Si la diferencia del párrafo anterior resulta negativa, o tan pequeña que
pueda atribuirse a errores por inexactitudes de los aparatos de medición,
puede ignorarse la pérdida por carga parásita. (Nota: la pérdida total en
esta prueba es la entrada de potencia medida en el motor impulsor menos
la medida en el paso 2. Si la corriente de armadura o la de campo difiere
de la medida en el paso 2, deben introducirse correcciones para la varia-
ciones en las pérdidas ¡2 r de campo y de armadura en las entradas del mo-
tor impulsor, para considerar esos cambios).
Los datos obtenidos a partir de las pruebas anteriores, pueden emplear-
se para predeGir la operación de la máquina para trabajar como motor o
como generador, bajo casi cualquier condición de operación. Este proceso
puede simplificarse aún más si se presentan gráficamente los resultados. Así:
a) Gráfica de pérdidas mecánicas contra velocidad, del paso 3.
b) Pérdida magnética y voltaje de armadura inducido contra veloci-
dad, para los valores seleccionados de corriente de campo del paso
4. (Se tendrá una familia de curvas).
e) Pérdida por carga parásita (si es de consideración) contra corriente
de armadura, para los valores escogidos de velocidad del paso 6 (una
familia de curvas).
Al usar estos datos, será frecuentemente necesario interpolar entre
las curvas de pérdidas magnéticas y de carga parásita, así como de voltaje
inducido.
5.11 PREDICCION DE CARACTERISTICAS DE OPERACION
Para la predicción de operación en estado estacionario, debe disponerse de
los datos gráficos de los párrafos a, b y e de la sección anterior. Este méto-
do puede utilizarse para la predicción de características tanto de motor
como de generador. Es más adaptable para las configuraciones en derivación
y de excitación separada, aunque puede aplicarse con algunas modificacio-
nes a las configuraciones en serie y compuesta. Se ilustrará el método para
un motor excitado separadamente. El diagrama de pérdida de potencia de
la figura 5.23 auxiliará para conservar el trazo de las componentes de pér-
dida durante las adiciones de potencia usadas en el método. Para iniciar
la predicción de operación, es necesario suponer la entrada de potencia o
la de salida. Esta selección se hace sobre la base de la forma en que se use
y se controle la máquina. Para motor con control en campo y en armadura,
es práctica común suponer los parámetros de salida.

230. 228 La máquina con conmutador para e.e.
1. Supóngase un par de salida Ts y una velocidad de flecha W m ; el
producto de Ts (en Nw-m) por la w m (en rad/seg) da la potencia
de salida mecánica.
2. Para la velocidad particular wm supuesta, determinar la pérdida
mecánica Pm e e de la curva del párrafo a.
3. Supóngase un valor Ir de corriente de campo. Dado que el méto-
do va a repetirse para diferentes valores de corriente de campo,
no importa mucho qué valor se suponga. No obstante, la corrien-
te de campo debe quedar dentro del rango de corriente de campo
utilizadas en los datos de prueba y en el que se espera vaya a uti-
lizarse durante la operación real de la máquina. Para los valores
de corriente de campo y velocidad supuestos, determinar el bol-
taje inducido E y la pérdida magnética Pm al< a partir de la curvas
del párrafo b.
4. Determinar o suponer un valor de pérdida por carga parásita Ps L
de la curva del párrafo c.
5. La potencia electromagnética o desarrollada de la máquina es
Pe = Tswm+ Pmee + Pmag + PSL (5.32)
6. La corriente de armadura para la salida supuesta y la corriente de
campo es
Pe
1 =-
a E (5.33)
7. Puede insertarse aquí un paso iterativo para lograr más exactitud.
Una vez conocida la corriente de armadura, puede obtenerse la
pérdida por carga parásita de la curva del párrafo c. Encontrar es-
te valor y compararlo con el calculado en el paso 4. Si difiere
considerablemente, introducir el nuevo valor en (5.32) y deter-
minar un nuevo valor de corriente de armadura en (5.33). Este
proceso puede repetirse varias veces hasta que los valores de Ps L
e la sean consistentes con los datos medidos del párrafo c. Si este
método se hace en computadora, puede introducirse el paso de
iteración como una simple rutina. Deben usarse algunos criterios
en la rutina, basados en la diferencia deseada entre el valor Ps L
calculado y el valor dado por el párrafo c; esta diferencia se usa
para detener el proceso de iteración.
8. Calcular la pérdida del circuito de armadura PCu y la de escobi-
lla Pb (si se trataron separadamente).
9. Calcular la pérdida de devanado de campo Pr.
10. La eficiencia del motor es

231. Predicción de características de operación 229
(5.34)
11. La entrada de potencia requerida para las condiciones de salida
supuestas es, desde luego, el denominador de (5.34).
12. El voltaje terminal de armadura, si no se considera la reacción de
inducido, es
(5.35)
donde Ra se corrigió para una elevación de temperatura e inclu-
ye la caída de escobilla. Esta caída puede tratarse independiente-
mente como se indicó en la sección 5.8.
13. Es posible incluir los efectos desmagnetizantes de la reacción de
inducido en vez de usar (5.35), si se conocen los ampere-vueltas
de armadura desmagnetizantes. Este es un parámetro difícil de
calcular numéricamente, puesto que varía con la saturación del
circuito magnético de la máquina. Puede obtenerse sólo después
de pruebas de carga extensas, en virtud de los efectos desmagne-
tizantes de la reacción de inducido. Este parámetro tiende a
frustrar los intentos de la técnica descrita, que se orienta a pre-
decir operación con el uso sólo de datos de prueba en regímenes
sin carga y en cortocircuito. Por consiguiente, si van a conside-
rarse los efectos desmagnetizantes de reacción de inducido, jun-
to con el método en cuestión, deben usarse valores estimados
para este parámetro, o utilizar pruebas con carga completa.
Para introducir los efectos de reacción de inducido ~n este méto-
do, debe expresarse la abscisa de las curvas del párrafo b en am-
pere-vueltas. La corriente de campo supuesta en el paso 3 puede
entonces expresarse como un valor supuesto de ampere-vueltas.
Agregar a este valor el valor supuesto de ampere-vueltas des-
magnetizantes de reacción de inducido RI. Determinar un nuevo
valor E de las curvas del párrafo b, para introducirlo en (5.35) y
determinar así V. Observar que E se utilizó aún para determinar
las pérdidas magnéticas del paso 3 y la corriente de armadura del
6, pues la pérdida magnética y el voltaje inducido son funciones
del flujo (no de la fmm). Sin embargo, la verdadera corriente de
campo requerida ahora debe ser
(5.36)
Este nuevo valor I'f de corriente de campo debe usarse para
calcular las pérdidas por devanado de campo del paso 9.

232. 23 O La máquina con conmutador para C. C.
40
30
~ .
...,
.!!
e.., 20()
CD
E
...,
:Q
"E 10.Q)
o..
O~----~------~----~----~------~---
500 1000 1500 2000 2500
Velocidad de la flecha (rpm)
FIGURA 5.24 Pérdida mecánica en una máquina de 1 HP.
250
200
~
~
I 150 30
'-'l
100
~
.. 20
'"()
..'CD
e
Cl
'"50 E 10
'"., p. - 875 rpm
mag
:Q
".¡
o..
O O
O 100 200 300 400 500
Corriente de campo (mA)
FIGURA 5.25 Pérdida magnética y voltaje inducido en una máquina de 1 HP.

233. 20
~ 15
ro
~
ro
u
(; 10
o.
..ro
"O
ro
e
E 5
~
'""O
,<::
..ro
Predicción de caracten'sticas de operación 231
:Q 0-=;'----'-----'----........---'-----'---
"O
.~
a.
2 3
la (A)
4 5
FIGURA 5.26 Pérdida por carga parásita en una máquina de 1 HP.
14. Repetir los pasos 3 a 13 para otros valores de corriente de campo
(o ampere-vueltas si va a incluirse la reacción de inducido).
15. Repetir los pasos 1 a 13 para otros valores de par de salida y ve-
locidad.
Esta técnica de predicción de operación sencilla requirió muchas pa-
labras para describirse, aunque necesita realmente poco tiempo para sus
cálculos, aún hechos a mano si las curvas de los párrafos a b y e están dis-
ponibles. Sin embargo, dado que esta técnica puede llevarse fácilmente a
cálculos por computadora, es conveniente hacerlo así siempre que sea fac-
tible.
Ejemplo 5.5
Un motorexcitado separadamente tiene las siguientes especificaciones: 1HP,
220 V 4.6 A 1750 rpm y 350 mA de corriente de campo. La resistencia de
armadura es de 4.8 ohms, incluyendo correción por temperatura; la de cam-
po es de 630 ohms. Las pruebas de laboratorio dieron como resultado la
información de pérdidas·y la curva de magnetización mostradas en las fi-
guras 5.24 a 5.26. Determinar el voltaje de armadura de entrada requerido,
la potencia de entrada y la eficiencia cuando se opera para suministrar el
par nominal a la velocidad estipulada.
El par nominal, aunque no se requiera para las soluciones de este pro-
blema, puede determinarse mediante las ecuaciones (5.30) ó (5.31), con
un valor de 3.0 libra-pie o 4.06 Nw-m. La potencia de salida, en W, es 746.

234. 232 La máquina con conmutador para e e
Sígase el procedimiento anterior delineado en los pasos 1 a 15. De la figu-
ra 5.24 (párrafo a), la pérdida mecánica a la velocidad estipulada es 26 W.
De la figura 5.25 (párrafo b) la pérdida magnética, en la corriente de cam-
po estipulada, de 350 mA, es 22 W. De la figura 5.26 (párrafo e), supo-
niendo que la corriente de armadura se estipulara en 4, 6 A, la pérdida por
carga parásita, a la velocidad estipulada, sería de 17 W. La potencia elec-
tromagnética es, por consiguiente, 746 + 26 + 22 + 17 =811 W. De la fi-
gura 5.25, el voltaje inducido, para 350 mA, es 192 V, dando una corriente
de armadura de 811/192 =4.25 mA. Este valor es lo suficientemente cer-
cano al valor supuesto que se usó para determinar la pérdida por carga pa-
rásita, así que no se requiere una iteración. La caída de voltaje es 4.25 X
4.8 =20. 4V; la pérdida por cobre de armadura es 4.252
X 4.8 =87 W y la
de cobre de campo es 0.352
X 630 =77 W. La entrada de potencia es 811
+ 87 + 77 =975 W. La eficiencia es 746/975 ó 77%.
5.12 CARACTERISTICAS DE LAS MAQUINAS DE CONMUTADOR
EN C. C.
Se presentarán ahora con más detalle las configuraciones de máquinas con
conmutador en c.c. más comunes.
5.12.1. Motores en serie
El motor en serie ha sido, por muchos años, el principal dispositivo de trac-
ción eléctrica y se usa aún ampliamente en vehículos eléctricos, trenes
eléctricos, tranvías, grúas industriales elevadas, motores de arranque auto-
motrices y en otros. El par más elevado por unidades de corriente de en-
trada puede obtenerse con un motor en serie. Esta característica es obvia
observando las ecuaciones de par (5.18) ó (5.22).
Si se conecta en serie el devanado de campo con el de armadura, las
corrientes de campo y armadura se hacen iguales y la ecuación de par pue-
de expresarse como
T=K /2m a
(5.37)
donde Km es una nueva constante relacionada con la de armadura de la
ecuación (5.18) Y con la característica del circuito magnético. En valores
de corriente que no conduzcan a condiciones de saturación del circuito
magnético, el par de un motor en serie varía con el cuadr.adQ_de la co-
rri~llt~ de arllladura,. Arriba de la saturación, varía con la primera potencia
de la corriente de armadura, como en una máquina en paralelo o excitada
separadamente. La ecuación (5.37) se aplica para la región no saturada de
operación del circuito magnético. En la figura 57 se muestran las caracte-

235. ~
'"a..
t
Caracteristicas de las máquinas de conmutador en c.e 233
~Velocidad
FIGURA 5.27 Característica velocidad-par de un motor en serie.
rísticas generales de un motor en serie excitado con una fuente de voltaje
constante.
Una característica indeseable del motor en serie es su tendencia hacia
velocidades excesivas con cargas ligeras. Esto puede verse mejor en la ecua-
ción (5.24). Si la máquina se carga ligeramente, la corriente de armadura
es pequeña. En una máquina en serie, es pequeño por consiguiente el flujo
de campo en serie, lo que conduce a un valor pequeño para el denominador
de (5.24) y requiere un valor elevado de velocidad mecánica w m . Esto es
una causa frecuente de "desbocamiento de la máquina" en los laboratorios
típicos escolares.
5.12.2 Motores excitados separadamente
Esta es la forma más versátil del motor con conmutador en C.C., como se
mencionó antes en este capítulo. La máquina excitada separadamente tie-
ne la capacidad de controlarse en armadura y campo, lo que implica un
control independiente de velocidad y par. El sistema Ward-Leonard cons-
tituyó una forma primitiva de explotar esta característica y se usa aún pro-
fusamente en aplicaciones de alta potencia que requieren control de par
-y velocidad variables, como en las laminadoras de acero y aluminio.En la
figura 5.28 se da una representación esquemática de sistema Ward-Leo-
nardo La configuración excitada separadamente se adapta en forma espe-
cial para control con retroalimentación. Por ejemplo, pueden compensarse
los efectos de reacción de inducido desmagnetizantes y las caídas de resis-
tencia de armadura y de escobilla con una excitación de campo incre-
mentada.
Una característica común velocidad/par que se usa en muchas aplica-
ciones de velocidad variable se muestra en la figura 5.29. Esta característica
tiene dos secciones: una sección de par constante en velocidades bajas has-
ta la "velocidad de corte", N b , y una de potencia constante en velocidades
arriba de la velocidad de ruptura. La máquina excitada separadamente se

236. 234 La máquina con conmutador para e.e.
n nGenerador Motor
FIGURA 5.28 Diagrama esquemático de un sistema Ward-Leonard.
~
lO
o..
t
---=- Velocidad
FIGURA 5.29 Característica par-velocidad de un motor de tracción.
opera a menudo de esta manera, usando el sistema Ward-Leonard o diversos
tipos de controles electrónicos. En la región de par constante, la operación
se encuentra por lo general en un valor constante de excitación de campo
(la excitación máxima en esta región determina la capacidad de par máxi-
mo). Se realiza el control de par gobernando al voltaje de armadura (o co-
rriente).
En las regiones de potencia constante en velocidades mayores, la co-
rriente de armadura se mantiene constante y el par y la velocidad se hacen
variar modificando la corriente de campo o "por debilitamiento de campo".
Estos dos modos de operación se refieren a las ecuaciones (5.15) y (5.21).
Por ejemplo, potencia electromagnética constante implica que
P = E/a = K¡ /¡Wm/a = constante (5.38)
Si se mantiene constante la corriente de armadura en (5.38), debe
mantenerse constante el producto Ifwm , indicando una relación inversa
entre velocidad y corriente de campo. Esta es la situación real en la re-

237. Caracteristicas de las máquinas de conmutador en e.e. 235
gión de potencia constante de la figura 5.29 y se traduce en la caracte-
rística parabólica por arriba de la velocidad de corte, pues como se vio en
la ecuación (5.22), el par decrece con If (o inversamente con w m ). La ve-
locidad, el par y la excitación requerida para la velocidad de ruptura deter-
minan las dimensiones de un motor que se diseñe para satisfacer este tipo
de características.
Una comparación de las características del motor en serie y del excita-
do separadamente, según las figuras 5.27 y 5.29, indique que hay mucha
semejanza entre ambas. El segundo es capaz de controlar los dos extremos
de la caraterística -para velocidades muy bajas y muy altas que son rela-
tivamente incontrolables en la configuración en serie directa. No obstante,
debe añadirse que con control de voltaje de armadura variable, la caracte-
rística velocidad/par del motor en serie puede hacerse semejante a la de la
figura 5.29.
5.12.3. Generadores excitados separadamente
En la actualidad se usan principalmente como fuentes de excitación para
alternadores síncronos grandes en estaciones generadoras de potencia, co-
mo el generador de control en sistemas Ward-Leonard, y como fuentes de
potencia auxiliares y de emergencia. El generador excitado separadamente
posee toda la flexibilidad de control del motor excitado separadamente.
Una característica importante utilizada para especificar un generador y su
control de excitación es la regulación de voltaje. Esta regulación es una
medida de la variación en voltaje de salida de generador con carga, y se de-
fine como
., . V (sin carga)- V (carga)
regulaclOn en porcentaje = V() X 100
carga
(5.39)
En un generador excitado separadamente, el término carga es sinónimo de
corriente de armadura.
La regulación de voltaje se especifica usualmente en términos de carga
completa o condición de carga nominal, aunque la fórmula anterior se apli-
ca a cualquier otra carga. La variación de voltaje con carga en un genera-
dor excitado separadamente proviene de do!! causas: caída de voltaje por
resistencia de armadura y los efectos desmagnetizantes de la reacción de
inducido. Con un valor fijo de excitación de campo, una característica de
voltaje típica se puede asemejar a la mostrada en la figura 5.30. La caída
de voltaje con carga creciente se puede eliminar al aumentar adecuadamen-
te la excitación de campo. Esto se hace en general mediante un sistema de
control con retroalimentación, usando el voltaje de armadura como la se-
ñal de retroalimentación.
..

238. 236 La máquina con conmutador para e.e.
-¡¡;
e
§
eQ)
.~
o
>
t In,
____ Corriente de armadura
FIGURA 5.30 Característica de voltaje de un generador.
5.12.4. Máquinas en derivación
Los términos campo en derivación y campo excitado separadamente se usan
en forma intercambiable en la práctica. Sin embargo, en este texto se.han
hecho distinciones entre ellos y se les ha tratado como dos configuraciones
diferentes de máquina. La designación "máquina en derivación" se refiere
a la configuración en la cual el campo está permanentemente conectado en
paralelo (o "en derivación") con la armadura, como se muestra en la figura
5.15b, sin resistencia variable en serie con el campo. La máquina en deriva-
ción obviamente carece de la flexibilidad en control de la excitada separa-
damente que se analizó en las dos secciones previas. En la sección 5.5 se
vio sucintamente el generador en derivación o autoexcitado. Los motores
en derivación se usan en aplicaciones automotrices donde no se requiere
un control preciso de velocidad y par.
;R-~-- En la figura 5.31 se muestra la relación par velocidad para un motor
en derivación típico. La característica declinante velocidad versus par se
origina por la caída de voltaje en la resistencia de armadura y por la reac-
ción de inducido. En cierto valor de par, generalmente en uno alrededor
de 2.5 veces el nominal, llega a ser excesiva la reacción de inducido, origi-
nando un descenso rápido en el flujo de campo y una declinación acelerada
en el par desarrollado hasta caer en una condición obstaculizada. Esta caí-
da brusca en el par desarrollado, que conduce a menudo a operación ines-
tableen sobrecargas elevadas,puede suavizarse considerablemente agregando
un devanado de campo en serie, conectado así con el circuito de armadura.
A una configuración de esta forma se le llama devanado estabilizador aun-
que, opuestamente a su nombre, produce una gran variación en velocidad
dentro del rango normal de par operante. En la figura 5.31 se muestra
además esta característica. A una configuración de este tipo se le llama
motor compuesto. Los motores en derivación y compuesto se utilizan
donde se requiere una característica velocidad versus par razonablemente
constante y donde el costo de control de campo no se justifica.

239. ro
Il.
t
Compuesto
acumulativo
Características de las máquinas de conmutador en e.e. 237
DerIvación
- - - Velocidad
FIGURA 5.31 Característica par velocidad de motores en derivación y com-
puestos.
ro
Il.
t
---Velocidad
FIGURA 5.32 Característica par-velocidad de un motor de control.
5000
4000
E
e-
u 3000
ro
:2
<J
~
.. 2000
>
1000
o
o 40
Par (onz. Pulg.)
(7)
FIGURA 5.33 Características velocidad-par de motores en serie de 12 v con
imán permanente.

240. 238 La máquina con conmutador para C. C.
5.12.5 Motores de control
Los motores de control son motores de capacidad de potencia relativamen-
te baja (generalmente menor que algunos centenares de Watts) con excita-
ción de campo fija. Esta excitación de campo fija añade otra variación a la
ecuación básica de par (5.22):
T=KJa (5.40)
donde Kc es una nueva constante en Nw-m/Amp. Los motores de control
tienen corriente de armadura relativamente alta para disminuir los efectos
de reacción de inducido y proporcionar una relación lineal entre voltaje y
par, que es la base para las aplicaciones como dispositivo de control. La re-
lación deseada velocidad-par de un motor de control puede demostrarse
que es una degeneración de la característica del par de motor en derivación
ilustrada en la figura 5.31, que resulta en virtud de un aumento considera-
ble en la resistencia de armadura, como se muestra en la figura 5.32. Esta
y la 5.33 muestran las características físicas de varios tipos de motores de
control.
La excitación de campo se obtiene mediante imanes permanentes o
por devanado de campo.
Un parámetro importante en motores de control es la inercia del ele-
mento rotatorio, que debe reducirse al mínimo para permitir una respuesta
rápida a los cambios escalón en la función de control de entrada. Un pará-
metro de utilidad para evaluar los motores de control es la razón par/iner-
cia, que se calcula por lo general usando el par obstaculizado de motor (el
par en el cual la característica par/velocidad corta la ordenada en la figura
5.32).
5.12.6 Motores con imán permanente
El empleo de excitación con imán, en vez de devanados de campo excita-
dos eléctricamente, ofrece ciertas ventajas en máquinas con conmutador
en c.c. y presenta ciertos riesgos. En máquinas sumamente pequeñas, la
excitación con imán permanente se traduce casi siempre en un costo de
manufactura más bajo. En la medida en que la dimensión de la máquina
crece, la ventaja en costo por lo general se reduce, dependiendo de la apli-
cación específica. Los motores comerciales con imán permanente se cons-
truyen en dimensiones de 5 HP y mayores.
La eficiencia de una máquina con imán permanente es generalmente
mayor que la de una máquina con devanado de campo, en virtud de la eli-
minación de la pérdida eléctrica de campo. En algunos casos, una máquina
con imán permanente puede ser menor que una con devanado de campo
de igual capacidad de potencia. Además, donde no se necesita campo de

241. Caracteristicas de las máquinas de conmutador en e.e. 239
control, el uso de excitación con imán permanente simplifica la construc-
ción de la máquina y elimina dos terminales eléctricas y su alambrado
asociado.
Los problemas y riesgos de usar excitación con imán permanente in-
cluyen:
1. El imán de campo puede desmagnetizarse por la fmm de la reacción
de inducido, dando lugar a que la máquina deje de operar. La des-
magnetización puede provenir de un diseño inadecuado, de una
corriente de armadura excesiva originada por una falla o por un
transitorio, o bien por una conexión inadecuada del circuito de ar-
madura; también influyen un desplazamiento impropio de escobi-
llas y los efectos de la temperatura.
2. Las densidades de flujo en las que pueden operar los imanes per-
manentes (ver tabla 2.2) conducen a densidades de flujo de entre-
hierro mucho menores que las densidades correspondientes en las
máquinas con devanado de campo. Esto es particularmente cierto
para los imanes de ferrita (cerámica) que son la clase de costo más
bajo entre los imanes permanentes y los más utilizados en aplica-
ciones de máquina. De esta manera, se necesita un incremento en
la dimensión de armadura (en comparación con una máquina con
devanado de campo de la misma capacidad) para compensar la di-
mensión reducida del imán en relación al tamaño de campo con
devanado.
La característica velocidad contra par de un motor con imán perma-
nente es más plana que la de un motor en derivación, pues el flujo del imán
permanente sufre menos los efectos de la fmm de reacción de inducido
que el flujo de una configuración de polo con devanado. La figura 5.33 ilus-
tra las características velocidad contra par de una serie de motores con imán
permanente de 12 V, 3" de diámetro y longitud variable. Este tipo de mo-
tor se energiza con baterías y se usa en aplicaciones automotrices como ven-
tiladores de calefacción y de acondicionadores de aire, bombas eléctricas
de combustible, arrancadores de motores marinos, sillas radiales y herra-
mientas de potencia sin cordón.
El diseño y aplicación de un motor con imán permanente se asemejan
a los de los motores con devanado de campo salvo en lo que concierne a la
consideración de fmm desmagnetizante de reacción de inducido. El diseño
debe garantizar que bajo cualquier condición previsible de operación, in-
cluyendo condiciones de fallas, no se desmagnetizará el imán permanente.
La desmagnetización del imán proviene de la reacción de inducido magne-
tizante cruzada debajo de las caras de polo, que se describió en la sección
5.6 y se ilustró en la figura 5.19. Como se observó en aquella sección, la

242. 240 La máquina con conmutador para e e
reacción de inducido ayuda al flujo principal debajo de una mitad de la ca-
ra de polo y se le opone debajo de la otra mitad. En un motor, la fmm
opositora ocurre en lo que se denomina "borde de cola" del polo; esto es,
la mitad de la cara del polo sobre la cual pasa al final un conductor de ar-
madura al girar a través del claro de polo.
Es esa la fmm que tiende a desmagnetizar al imán. El máximo efecto
de reacción de inducido tiene lugar en el nivel máximo de corriente de ar-
madura que existe en un motor en la condición de arranque u obstaculiza-
do con máximo voltaje de armadura aplicado. La fmm de reacción de
inducido de borde de cola es, de acuerdo con (5.25),
fmmbc = (conductores debajo
1 .
2 cara de polo) X Istl A (5.41)
donde 1st es la corriente de armadura de arranque u obstaculizada con el
voltaje máximo de armadura aplicado. La intensidad de campo magnético
resultante de esta fmm es
H = mmfbc
be (1m + Ig)
(5.42)
donde 1m y. 19 son las longitudes radiales del imán (polo) y del entrehierro
respectivamente. Utilizando las unidades normalizadas del SI, estas longi-
tudes se expresan en metros, y H tc
quedará en Alm. Todavía es práctica
común expresar las características de los imanes permanentes en unidades
cgs (H en oersteds y B en Gauss). Por consiguiente, puede desearse conver-
tir H sc de la ecuación (5.42) en unidades cgs:
H(O )= H(A/m)
e 79.577
(5.43)
En el capítulo 2 se hizo un análisis de un sistema magnético perma-
nente con un entrehierro variable y se ilustró con la figura 2.17. En la sec-
ción 2.11 y en la figura 2.17 se mostró que un aumento en el entrehierro
o la permeancia externa al imán permanente daba lugar a un efecto des-
magnetizante sobre el imán. El efecto desmagnetizante de la reacción de
inducido es un fenómeno semejante, aunque requiere un análisis gráfico
diferente al mostrado para la desmagnetización por entrehierro variable
en el capítulo 2. Las variaciones en la permeancia del circuito magnético
externo cambian la pendiente de la línea de operación DA de la figura 2.17,
mientras una fmm desmagnetizante aparece como componente de la in-
tensidad de campo magnético a lo largo de la abscisa de la figura 2.17.
Para ilustrar este análisis, en la figura 5.34 se muestra la característica
desmagnetizante de imán permanente de un imán de cerámica. Puede su-
ponerse que el entrehierro de un motor con imán permanente es constante

243. Cllracteristicas de las máquinas de conmutador en C. C. 241
para todas las posiciones de rotor. Se supondrá que el entrehierro produce
la permeancia del circuito para dar la línea de operación OA con pendien-
te aA de la figura 5.34. En esta figura se muestra además la curva de des-
magnetización intrínseca. La inducción intríseca (densidad de flujo magné-
tico) se define como9
"la diferencia de vectores, en un punto dentro de un
cuerpo magnético, entre la inducción magnética en ese punto y la que exis-
tiría en el vacío bajo la influencia de la misma fuerza magnetizante" y se
expresa por la ecuación.
(5.44)
La inducción intrínseca se define también como la contribución del mate-
rial magnético sólo a la inducción magnética total. En un material homo-
géneo y lineal, la diferencia vectorial (5.44) puede reemplazarse por una
diferencia algebraica.
En el segundo y tercer cuadrante del ciclo de histéresis para un mate-
rial magnético, H es negativa y el proceso de sustracción indicado por (5.44)
se convierte en suma. Por consiguiente, en el segundo cuadrante, la curva
de desmagnetización intrínseca se encuentra arriba de la curva de desmag-
netización normal. La primera puede obtenerse fácilmente cuando se gra-
4.0
--- 3.0
~:;¡
2.0 E
<1:)
1.0
1000 500
H (Oe)
FIGURA 5.34 Curva BH de un imán permanente.

244. 242 La máquina con conmutador para C.C.
fica la segunda en unidades cgs, pues en este sistema, J.l.o = 1, Yun punto
de la curva intrínseca puede obtenerse a partir de cualquier punto de la
normal con coordenadas Bd y Hd , según la relación.
(5.45)
De aquí se ve que para materiales con fuerza coercitiva sumamente gran-
de (como ferritas y aleaciones de cobalto-tierra rara), la curva de desmag-
netización intrínseca diferirá considerablemente de la normal.
La construcción gráfica para evaluar los efectos desmagnetizantes de
la reacción de inducido en un imán permanente se explicará ahora con la
ayuda de la figura 5.34. La aplicación de una intensidad de campo magne-
tizante Ha externa da lugar a que la línea de operación OA se corra a la
izquierda paralelamente a sí misma, hasta una nueva posición MB, siendo
B el punto donde la nueva línea de operación corta a la curva intrínseca.
La proyección vertical del punto B sobre la curva normal, punto B', da la
densidad de flujo que existiría en presencia del campo magnético externo.
Si este campo externo se removiera, el punto de operación no regresaría a
lo largo de la curva normal, sino más bien a lo largo de un ciclo de histére-
sis menor hasta el punto e', que es la proyección del punto e sobre la lí-
nea de operación odginal.
Si se volviera a aplicar el campo magnético externo, el punto de ope-
ración regresaría a B' en la parte superior del ciclo de histéresis menor. La
pendiente media de este ciclo se determina por la característica de imán
permanente, conocida como permeabilidad de rebobinado, definida en la
sección 2.11. Esta pendiente es muy cercana a la unidad para imanes per-
manentes de cerámica, implicando que la línea B'e' sea casi horizontal en
la figura 5.34. Esto significa que la variación de densidad de flujo en un
motor con imán de cerámica, originada por la reacción de inducido magne-
tizante, es pequeña en comparación con la de un motor con devanado de
campo.
Si con el desplazamiento de la línea de operación Ha es mayor que
He /, la mitad del borde de cola del imán se desmagnetizará. En la realidad,
Ha debe ser considerablemente menor que Hci para proporcionar un mar-
gen de seguridad que tomen en cuenta las variaciones de la curva de des-
magnetización con la temperatura, con los cambios en otras constantes
materiales, con las inexactitudes en los cálculos de diseño, con las varia-
ciones menores de entrehierro por soporte de cojinete y con otros factores.
La referencia sugiere que si Ha = Hte , la intensidad de campo resultante
en virtud de la máxima fmm de borde de cola por reacción de inducido
(ver (5.42)), la línea MB de la figura 5.34 sería tal que B = 0.8 Br, donde
Br es la densidad de flujo residual.

245. Dinámica de las máquinas con conmutador en e e 243
5.13 DINAMICA DE LAS MAQUINAS CON CONMUTADOR EN C. C.
Al igual que en el caso del establecimiento de las relaciones de estado esta-
cionario, las ecuaciones dinámicas variarán en cierta forma, dependiendo
de las configuración de la máquina específica, ya se trata de una serie o una
en derivación, del tipo de fuentes de voltaje y cargas, etc. La mayor parte
del estudio que sigue se basa en la configuración excitada separadamente
(figura 5.35). Para establecer las ecuaciones dinámicas, ésta es la configura-
ción más general y pueden modificarse para utilizarse en otras configuracio-
nes. Las letras minúsculas representan funciones del tiempo o parámetros
que varían con él.
Al sumar voltaje en el circuito de armadura, se obtiene
. dia
va = e +laRa +La dI (5.46)
(5.47)
donde La es la inductancia de armadura en Hy. La ecuación (5.46) se esta-
bleció para operación como motor. Para describir la operación como gene-
rador, se cambian los signos de La y de dia¡dt. La similitud entre estas
ecuaciones y sus contrapartes en estado estacionario (5.23) y (5.15), debe
ser evidente para el lector. Al sumar voltaje en el circuito de campo, se tiene
(5.48)
La inductancia de circuito de campo Lf{if) se indica como función no li-
neal de if para mayor generalidad al conjunto de ecuaciones. Esta función
no lineal se relaciona con la curva de magnetización de la máquina o con la
característica flujo-ampere-vuelta del circuito magnético de la máquina. Al
sumar los pares que actúan sobre la flecha del motor, se obtiene
(5.49)
(5.50)
donde D es un coeficiente de amortiguamiento viscoso que representa un
par de pérdida rotacional en Nw-m-seg.; J es el momento de inercia del sis-
tema rotatorio total, incluyendo al rotor, carga y flecha, expresando en
kg-m o en Nw-m-seg2
y TL es el poder de carga en Nw-m.
La ecuación (5.49) se estableció para operación como motor. Para
describir la operación como generador, se invierten los signos de Td YTL •

246. 244 La máquina con conmutador para e.e.
+
L,
n",(
+
FIGURA 5.35 Diagrama esquemático para análisis dinámico.
Un coeficiente de amortiguación líneal representa otra linealización usada
en análisis de máquinas. El par de carga TL es una función del tiempo, aun-
que aparezca con letra mayúscula aquí, lo cual se hace para evitar confusión
con el símbolo para el tiempo. El conjunto de ecuaciones para la máquina
con conmutador en c.c. es no lineal, no sólo por los coeficientes no linea-
les como Lf y problemente D, sino además por el término producto en las
expresiones de par y voltaje (5.47) y (5.50).
Las ecuaciones (5.46) y (5.50) proporcionan un conjunto de ecuacio-
nes de estado de utilidad en el análisis de un gran número de problemas de
máquina. Con el objeto de aplicar estas ecuaciones, deben introducirse
de una manera análitica las condiciones físicas del problema específico. Es-
tas condiciones incluyen valores numéricos para los coeficientes del circui-
to: las Rs, Ls, D y J; descripciones de los tres términos de entrada va' V
f y
TL Y condiciones iniciales para las variables de estado. Las condiciones in-
cluyen también modificaciones de las ecuaciones para ajustarlas a la confi-
guración del circuito del problema específico;por ejemplo,una modificación
para excitación de campo en serie. Debe dilucidarse el significado relativo
de las no linealidades y desarrollarse técnicas matemáticas para manejarlas.
Antes de proceder con algunos ejemplos sencillos de aplicación de estas
ecuaciones, se hará una disquisición breve sobre sus implicaciones físicas.
La ecuación (5.49) es útil para comprender el mecanismo mediante el cual
se carga una máquina con conmutador en c.c. Para el efecto, es convenien-
te reagrupar (5.49) de la manera siguiente:
(5.51)
Considérese en primer término la operación como motor. El arranque del
motor sólo es posible si el par electromagnético Td es mayor que el de car-
ga TI~' Al arrancar, la velocidad es cero y la diferencia entre estos dos pares

247. Dinámica de las máquinas con conmutador en e.e. 245
determina la aceleración inicial de la máquina. Los motores con conmuta-
dor en c.c. son capaces de desarrollar pares de arranque sumamente elevados
(como se denomina al par en cero velocidad) y se utilizan con frecuencia
en virtud de esta capacidad. Mientras el primer miembro de (5.51) sea ma-
yor que el segundo, el motor continuará con aceleración.
Se alcanza una condición de equilibrio cuando Td - TL =D wro , sien-
do en este instante cero la aceleración y el motor opera a velocidad cons-
tante. Esta situación se muestra en la figura 5.36 para dos diferentes tipos
de pares de cargas. Si se hace negativo el primer miembro de la ecuación
(5.51), lo que puede ocurrir si el par de carga se incrementa o el electro-
magnético se aumenta arriba de sus valores en la velocidad de equilibrio, el
segundo miembro debe ser también negativo. Esta situación se alcanza me-
diante una aceleración negativa, esto es, una desaceleración que haga que la
velocidad disminuya hasta una nueva condición de equilibrio. El proceso
de carga y variación de velocidad es, en general, un proceso estable en má-
quinas con conmutador en C.C., salvo durante condiciones de excitación
de campo muy baja o de reacción de inducido excesiva con valores bajos
de par de carga, que puede traducirse en una velocidad excesiva.
5.13.1 Arranque de motor
El arranque y la condición obstaculizada deben considerarse en el uso de
la máquina. La obstaculización puede presentarse si TL en (5.51) es dema-
siado grande o como resultado de una diversidad de fallas en la máquina o
en sus controles. En arranque u obstaculización, la fcem del motor es cero
y la corriente de armadura es igual al voltaje aplicado dividido entre la resis-
tencia de armadura. Esta condición lleva a tener una corriente de armadura
excesiva en comparación con la corriente nominal para el conjunto escobi-
lla/conmutador y el devanado de armadura.
Puede tolerarse una situación tal sólo durante unos segundos en la
mayor parte de las máquinas, antes de causar un daño permanente en al-
gunas componentes de la máquina. En muchas máquinas que usan control
de voltaje de armadura se evita esta situación mediante circuitos de con-
trol, los cuales incluyen señales de retroalimentación de corriente de arma-
dura. En máquinas con diagramas de control sencillos, generalmente se
agrega una resistencia de armadura en el arranque para limitar la corriente
de armadura a valores de seguridad. El arranque de motor con conmutador
en c.c. está formadó por pasos discretos de resistencia y tienen posibilidad
de conmutar a varios valores de resistencia para controlar la corriente de
arranque y el par.
5.13.2 Frenado regenerativo y dinámico
La característica más útil de las máquinas con conmutador en c.c. es su ca-
pacidad para pasar en forma continua de operación motor a generador y

248. 246 La máquina con conmutador para C.C.
..lO
Q.
t
FIGURA 5.36 Característica de par de carga y de motor.
viceversa. Esta es una de las razones por las que sigue usándoseles profusa-
mente como dispositivo de tracción, a pesar de sus desventajas evidentes
debidas al montaje conmutador/escobilla. En la mayoría de las aplicacio-
nes de tracción se pierde mucha energía en el proceso de frenado o desace-
leración del vehículo. Esta energía se transforma en calor en las zapatas o
bandas de freno. Existen dos esquemas para eliminar el desgaste de las
componentes de frenado en aplicaciones de tracción donde se utilicen má-
quinas de conmutador en c.c; una es e', frenado dinámico. La energía ciné-
tica de un vehículo en movimiento se amortigua en una resistencia mediante
la acción de una máquina de conmutador en c.c. como generador. En el
frenado regenerativo, también muy valioso como esquema para economi-
zar energía, la energía cinética se almacena en una batería, volante u otro
tipo de sistema de almacenamiento de energía, mediante la acción de la
máquina como generador.
Hay un tercer tipo de frenado eléctrico, empleado algunas veces en
motores industriales con conmutador en C.C., como grúas elevadas o motores
de camiones de carga ligeros, que se conoce como obturación. Involucra
una inversión repentina de las conexiones, ya sea del devanado de campo o
de armadura, durante la operación motor, que da lugar a un par de direc-
ción opuesta desarrollado en gran escala. En este caso, se disipa la energía
cinética del sistema en movimiento en la resistencia de armadura. Este es-
quema de frenado requiere un montaje escobilla/conmutador sobrediseñado
y devanados de armadura pesados. El frenado eléctrico de cualquier tipo
se hace menos efectivo en la medida en que decrece la velocidad, pues de-
crece el par cuando la velocidad se aproxima a cero. Por consiguiente, se
requiere generalmente frenos convencionales de mando mecánico o hidráu-
lico con el frenado eléctrico.

249. Dinámica de las máquinas con conmutador en C.C. 247
En el frenado regenerativo sólo una parte de la energía cinética está
disponible para cargar una batería o un volante, pues una porción de ella
se disipa por pérdidas de devanado, de rozamiento del motor y vehículo,
y en pérdidas eléctricas del motor durante la desaceleración. Por lo tanto, la
efectividad del frenado regenerativo, como medio de conservar energía en
aplicaciones de tracción, se rige por la eficiencia en energía de las compo-
nentes eléctricas en el tren de impulsión. Se ha demostrado que alrededor
de un 35% de la energía entregada a un vehículo automotriz durante su
uso urbano típico es teóricamente recuperable mediante frenado regene-
rativo. Cuando se reduce esta energía en la cantidad necesaria para com-
pensar las pérdidas del sistema eléctrico y las mecánicas del vehículo,
alrededor del 10 al 15% del suministro de energía al vehículo puede re-
cuperarse y almacenarse en baterías, volantes y en otros dispositivos. El
valor exacto de la energía recuperable depende del tipo de conducción, de
la eficiencia del tren de impulsión, de la razones de engranado en el tren
de impulsión y de otros factores.
El frenado dinámico, esto es, la disipación de energía cinética en una
resistencia externa a un motor de tracción, se describe fácilmente en for-
ma analítica. Para este caso, (5.46) y (5.50) se convierten en
(5.52)
donde rb es la resistencia que se agrega al circuito de armadura para disipar
la energía cinética de frenado:
dWm
-T -T =Dw -J-L d m dI
(5.53)
Las ecuaciones (5.47), (5.48) Y(5.50) no se modifican para operación mo-
tor o generador. La solución de estas ecuaciones, representantes de frenado
dinámico, se propone como problema al final de este capítulo.
El término inercial J y el de amortiguamiento viscoso D son paráme-
tros importantes en el análisis de dinámica de máquinas. Un método ex-
perimental sencillo para obtener estos parámetros se conoce como prueba
de retardación. Esta prueba consiste en la medición exacta de la velocidad
del rotor en función del tiempo, cuando se permite que el rotor arriba a
una pausa con excitación nula de armadura o campo. La velocidad se mide
óptimamente con un tacómetro que dé un voltaje proporcional y regis-
trando este voltaje en una grabadora de cinta.
En la figura 5.37 se muestra una característica típica de retardación
en velocidad. Pueden obtenerse los parámetros de esta prueba mediante
(5.53). Durante el arribo a una pausa sin excitación de campo o armadura
y sin par de carga, (5.53) se hace

250. 248 La máquina con conmutador para e.e.
dWm
Dw =J-
m dI (5.54)
Al multiplicar ambos miembros de la ecuación (5.53) por la velocidad me-
cánica w m se obtienen dos terminos de potencia:
"O
ro
:E
()
E
>
t
___ Tiempo
FIGURA 5.37 Velocidad contra tiempo en una prueba de retardación.
(5.55)
El primer miembro de la ecuación (5.55) es la pérdida mecánica de la má-
quina y el derecho es la razón en que se suministra energía cinética al sis-
tema rotatorio.
La inercia se encuentra tomando un cierto valor de velocidad, deter-
minando las pérdidas mecánicas en esta velocidad por el método delineado
en la sección 5.9; determinando en seguida la pendiente velocidad-tiempo
para ese valor de velocidad por la prueba de retardación y, finalmente, des-
pejando a J de (5.55). Obsérvese que sólo se requiere la curva de retarda-
ción alrededor de la velocidad seleccionada. Puede obtenerse un valor para
el coeficiente de amortiguamiento lineal, para la velocidad escogida, divi-
diendo las pérdidas mecánicas entre el cuadrado de la velocidad mecánica.
El valor del coeficiente de amortiguamiento variará considerablemente den-
tro del rango de velocidad de la máquina.
5.13.3 Funciones de transferencia para máquinas con conmutador en c.c.
Volvamos a las ecuaciones (5.46) a (5.50). Existen varios tipos de proble-
mas para los que son aceptables las formas lineales de estas ecuaciones
usándose generalmente los métodos de la teoría del control lineal para es-
tudiar la dinámica de máquinas o para realizar modelos'de máquina dentro
de sistemas mayores. Una configuración en la que se aplican los métodos lí-

251. Dinámica de las máquinas con conmutador en ce 249
neales y que se usa mucho en sistemas de control de posición y velocidad,
es el motor con imán permanente o excitado separadamente con excitación
constante.
Para la configuración anterior, la ecuación (5.48) no es necesaria. En
lo que sigue no se tomará en cuenta el par de carga. Aplicando las trans-
fromaciones de Laplace a las ecuaciones restantes, se obtiene
(5.56)
(5.57)
(5.58)
(5.59)
Las mayúsculas para las variables en estas ecuaciones indican la variable
transformada F(s). La nueva constante Ks es el producto Ktlf para las
máquinas excitadas separadamente y un término similar para las de imán
permanente. La constante Ks se obtiene usualmente como la pendiente
de la curva de voltaje en circuito abierto contra velocidad (en rad/seg).
Hay varias maneras de representar estas ecuaciones dentro de la teoría del
control lineal. La representación más simple es un diagrama en bloques
que deja al término de fcem como una señal de retroalimentación -lo que
es en realidad- (ver figura 5.38). Las dos principales constantes de tiempo
de este tipo de máquina, la eléctrica 7 a y la mecánica 7 m , se introducen en
la figura 5.38. Se definen así:
J7" =-
m D
(5.60)
(5.61)
•
En sistemas donde deba considerarse el par de carga, puede modifi-
carse el diagrama de bloques de la figura 5.38 para convertirse en un dia-
grama de entrada múltiple con TL como la segunda entrada. Esto se ilustra
en la figura 5.39. A menudo es más conveniente escribir la dinámica del
motor combinando la ecuación (5.56) con la (5.59):
Qm Ks
Va K}+ RaD+s(LaD+ RaJ)+s2JLa
(5.62)
Puede obtenerse una expresión semejante con TL como la función de en-
trada. Las constantes de tiempo se obtienen experimentalmente por me-

252. 250 La máquina con conmutador para e.e.
FIGURA 5.38 Diagrama de bloques de un motor con excitación constante.
diciones de respuesta enfrecuencia. Se obtienenal factorizar el denominador
de (5.62) y no en forma explícita como las darían las ecuaciones (5.60) y
(5.61). Para aplicaciones de control de posición, puede introducirse la fun-
ción e de posición angular en las ecuaciones (5.56) a (5.59), mediante la
relación !2m = se. La función completa de transferencia del motor se
convierte entonces en
e K,
Va = s[K/+RaD+s(LaD+RaJ)+s2JLa]
(5.63)
Esta misma configuración se usa con frecuencia como generador en
forma de tacómetro o dispositivo detector de velocidad. Dado que la salida
de un generador-tacómetro alimenta generalmente a una carga de alta im-
pedancia, como un voltímetro, pueden ignorarse la resistencia e induc-
tancia de armadura y la función de transferencia se hace, de (5.57):
E
-=Kn s
m
(5.64)
El generador excitado separadamente puede considerarse como un
amplificador y así se usó anteriormente al advenimiento de los dispositivos
FIGURA 5.39 Diagrama de bloques de un motor con entradas múltiples.

253. Dinámica de las máquinas con conmutador en C.C. 251
semiconductores de alta potencia. Como amplificador, el generador opera
a velocidad constante y se controla por el voltaje V, de campo de entrada.
Pueden observarse las características amplificadoras regresando a (5.48) y
no considerando las (5.49) y (5.50). Se agregará demás una resistencia RL
en el circuito de armadura y se definirá la salida de amplificador como el
voltaje a través de esta resistencia. Las ecuaciones transformadas para esta
configuración son
E= [(Ra+ RL)+sLa)Ia
E=K¡I¡
V¡=(R¡+ sLf)If
(5.65)
(5.66)
(5.67)
(5.68)
Se supuso una inductancia de campo lineal L, y una constante de voltaje
K, con objeto de usar la notación de la teoría de control lineal. Este mé-
todo es aceptable si el rango de control de campo queda completame'lte
dentro de la región saturada o no saturada de la curva de magnetizació.1 o
si se usan técnicas lineales seccionadamente. Nótese que K, es la pendi( nte
de la curva de magnetización (figura 5.14).
La función de transferencia para este sistema es
K¡( RL )
VL Rf RL+Ra
Vf = (1 +ST¡)( 1+srL)
(5.68)
L¡
T
f
=-
Rf
(5.69)
(5.70)
Puesto que R L es generalmente mayor que la resistencia de armadura R A '
se ve qu la ganancia en régimen estacionario de este "amplificador" esK,/R,.
Puede agregarse una segunda etapa de amplificación a este amplifica-
dor, cortocircuitando las escobillas de armadura y añadiendo un segundo
grupo de escobilla en un eje a 90 grados eléctricos del eje de escobillas
principal. Es evidente, de las figuras 5.17 a 5.19, que este segundo grupo
de escobillas se halla en la posición adecuada para sacar del devanado de
armadura el voltaje inducido por el flujo de reacción de inducido. Este

254. 252 La máquina can conmutador para e.e.
es un ejemplo de configuración de máquina en el que la reacción de indu-
cido desempeña una función útil. Se conoce comercialmente en el registro
de marca General Electric como "amplidyne" y posee muchas aplicaciones
como amplificador de potencia. El cortocircuito de las escobillas en la po-
sición normal genera un campo de reacción de inducido muy grande, que
da lugar a que se induzca un voltaje relativamente alto en el segundo gru-
po de escobillas. En efecto, esto añade un segundo factor Kf a la parte de
ganancia en régimen estacionario de (5.69).
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Problemas
5.1 Un motor de 10 polos tiene 123 ranuras y se devana en tipo ondulado con dos
bobinas por ranura y cuatro vueltas por bobina. Determinar el factor de arma-
dura Ka y el paso polar ex en grados.
5.2 Una máquina de 4 polos, devanada en tipo imbricado, tiene 48 ranuras, con dos
bobinas por ranura y tres vueltas por bobina. Determinar el factor de armadura
Ka y el paso polar ex en grados.
5.3 La máquina del problema 5.2 se impulsa a 5 000 rmp y se excita para dar un flu-
jo de 0.015 Wb/polo. Determinar el voltaje inducido de armadura E.

255. Problemas 253
5.4 Determinar, completando los diagramas de devanado de las figuras 5.10 y 5.11, el
número de circuitos eléctricos en paralelo entre las terminales de armadura en ca-
da caso. ¿Se correlaciona su respuesta con las reglas generales dadas en la ecua-
ción 5.2?
5.5 El motor del problema 5.1 se opera con un flujo de entrehierro de 0.012 Wb/polo
y una corriente de armadura de 100 A. Determinar el par electromagnético de-
sarrollado.
5.6 Un motor excitado separadamente tiene una especificación nominal de 50 hp
440 V Y3 000 rpm.
a) Determinar el par nominal en Nw-m.
b) Si se supone que la máquina tiene una eficiencia del 85% en su salida nominal
¿cuál es la corriente de armadura a la salida nominal con el voltaje de régimen
aplicado?
5.7 Demostrar que las constantes Kt en (5.15) y (5.22) son equivalentes dimensio-
sionalmente.
5.8 Repetir el problema 5.7 para las constantes Ks en (5.57) y (5.59). ¿Cuál es la uni-
dad SI (MKS) para Ks?
5.9 En la práctica y en muchas nomenclaturas de placa de motor, las unidades de Ks
en (5.57) se dan en V -seg/rad o sólo V-seg y las de K. en (5.59) en lb-pie/A. De-
mostrar que las dos unidades son dimensionalmente equivalentes.
5.10 El motor caracterizado por la curva (4) de la figura 5.33 tiene una corriente obs-
taculizada de 42 A (en cero rmp). Determinarla constante de velocidadKs ' ¿Cuál
es el voltaje inducido sin carga (cero corriente o cero par) de este motor?
5.11 Una máquina excitada separadamente tiene las características de magnetización
que se muestran en la figura 5.14. La máquina tiene una resistencia de armadura
de 0.1 ohm y una de circuito de campo de 40 ohms. Hay 500 vueltas por polo
en el devanado de campo. Con 120 V aplicados al circuito de campo.
a) ¿Cuál es el valor del voltaje de armadura sin carga o con circuito abierto a
5000 RPM?
b) Si la máquina se opera como generador, con una corriente de armadura de
100 Amp. ¿Cuál es el valor del voltaje terminal de armadura? (Ignora la reac-
ción de inducido).
e) Si la reacción de inducido a 100 Amp, produce una fmm desmagnetizante de
220 A-V/polo, encuentre el voltaje final de armadura con 100 Amp.
5.12 El motor del problema 5.10 tiene una resistencia de armadura de 0.4 ohms y se
opera con una fuente de 12 V. Cuando el motor toma una corriente de 10 A,
¿cuál es el valor de la velocidad y del par en que está operando el motor?
5.13 Los datos de prueba para una máquina en derivación en 2 400 rpm dieron los
siguientes puntos para la curva de magnetización:
Corriente de campo (A) O 1.0 2.0 2.0 4.0 5.0
Voltaje de armadura (V) 4 75 133 160 172 182
a) Expresar gráficamente este resultado
b) Si va a operarse la máquina como generador en derivación autoexcitado, de-
terminar la resistencia de campo en derivación para obtener un voltaje en régi-
men sin carga de 150 Ven 2 400 rpm.
e) Determinar la resistencia "crítica" de campo en derivación para la construcción
del voltaje autoexcitado.

256. 254 La máquina con conmutador para e.e.
5.14 Un motor de 120 V, excitado separadamente, desarrolla un par de 20 lb-pie
cuando la corriente de armadura es de 8 A.
a) Determinar la corriente de armadura cuando el par desarrollado sea de 60 lb-pie,
suponiendo que no haya cambio en la corriente de armadura y no consideran-
do la reacción de inducido.
b) Si la velocidad es un 6% más alta con el par de 20 lb-pie que con el de 60,
determinar la resistencia de armadura.
5.15 Un generador compuesto en derivación-larga tiene la curva de magnetización de
la figura 5.14. El campo en derivación tiene 700 vueltas/polo y el serie 5 vuel-
tas/polo. La resistencia del circuito de armadura (incluyendo escobillas) es de
0.08 ohms y la resistencia de campo serie es de 0.005 ohms. A 5000 rpm, de-
terminar el voltaje terminal cuando la corriente de campo sea de 2.0A y la
de armadura 150 A. No tomar en cuenta la reacción de inducido.
5.16 El motor de imán permanente, cuya característica velocidad-par se da aquí como
curva (7) de la figura 5.33, se usa con frecuencia para impulsar ventiladores para
acondicionamiento de aire. Supóngase una característica velocidad- par de ven-
tilador descrita por la ecuación T = 0.15 X 10~ vi, donde T está en Nw-m
y wm en rad/seg. Determinar la velocidad en régimen estacionario a la que el mo-
tor impulsará al ventilador. Nota: este problema puede resolverse gráfica o analí-
ticamente. Si se usan técnicas gráficas, conviene retrazar la curva 7 de la figura
5.33 con la velocidad como abscisa. Téngase también presente la diferencia en
unidades entre los datos de la curva 7 y los de la ecuación anterior.
5.17 Un motor serie tiene la característica magnética mostrada en III-1 del Apéndice
III. El campo serie está formado por 6 vueltas/polo y tiene una resistencia de
0.008 ohms. El circuito de armadura, incluyendo escobillas, tiene una de 0.017
ohms. La constante Ka de armadura es 32. Para una cierta carga, la corriente es
de 400A con 24 V aplicados.
a) Determinar la velocidad y el par para este valor de corriente de armadura.
b) Repetir el inciso anterior para corrientes de 200,100 y 50 A, con 24 V.
e) Trazar la características resultante de velocidad-par.
5.18 Las pérdidas mecánica y magnética para el motor del problema 5.17 se deter-
minaron experimentalmente y se muestran en las curvas de la figura 5.40. De-
terminar la eficiencia de este motor en serie para los cuatro valores de corriente
usados en el problema 5.17. No considere las pérdidas por carga parásita.
5.19 Considérese la máquina descrita en el problema 5.11
a) Determinar la corriente de armadura inicial (t =0), si la armadura está conec-
tada directamente a una fuente de 120 V.
b) Determinar la resistencia que debe concectarse en serie con la armadura a fin
de limitar la corriente de armadura a 200 A.
5.20 Para el motor del ejemplo 5.5, calcular el voltaje terminal de armadurarequerido,
la potencia de entrada y la eficiencia cuando
a) se opera como motor para suministrar un medio del par nominal en un medio
de la velocidad estipulada.
b) se opera como generador para suministrar el voltaje terminal nominal con co-
rriente de armadura y velocidad de régimen_

257. Problemas 255
5.21 Establecer una expresión para la función de transferencia
para el análisis de un motor cuando se tome al par de carga TJ, como entrada y
a la velocidad de flecha n." como salida.
800
700
600
500
~
VI
111
:Q
'E-Q)
40011.
300
200
100
O~~--~~--~~----~------~----~----
Velocidad (rpm)
FIGURA 5.40 Pérdidas en un motor en serie (problema 5.11).

258. 256 La máquina con conmutador para c.e
5.22 El material de imán permanente usado en un motor tiene un efecto considerable
sobre las características del motor. Para el ejemplo descrito en este capítulo (sec-
ción 5.13.6 y figura 5.34) se usó un imán de cerámica (ferrita). 'Este tipo de
material hace que el motor opere con una densidad de flujo de entrehierro rela-
tivamente baja, pero que puede soportar niveles relativamente elevados de reac-
ción sin desmagnetizarse. Compara el motor de cerámica con uno que utilice
Alnico VI (figura 5.16 y tabla 2.2) de acuerdo con los pasos siguientes:
a) Trazar la curva de desmagnetización par el Alnico VI. ¿Cuál es Hci para el Al-
nico VI? Se necesitará también la curva de desmagnetización normal.
b) Se vio que el Alnico VI debe operarse en una razón de permanencia mucho
más alta que el material cerámico (pendiente de la línea OA en la figura 5.34).
Ya que la razón de permeancia es una función de la permeancia magnética del
circuito magnético externo, sobre todo de la longitud del entrehierro, ¿qué
consecuencias tiene sobre la longitud utilizable de entrehierro en el motor de
Alnico VI comparada con la del motor de cerámica?
c) Supóngase una razón de permeancia (Bd/Hd) de 50 para el Alnico VI ¿Qué ra-
zón de permeancia se usó en la figura 5.34?
d) ¿Qué reacción de inducido (en términos de intensidad de campo Ha) puede
tolerarse en el Alnico VI antes de que la densidad de flujo caiga hasta. 0.8 Br?
(Punto B en la figura 5.34).
e) Supóngase dos motores diferentes: uno con polos de Alnico VI y el otro con
cerámicos, aunque de dimensiones y devanados iguales (como en la figura 5.35).
¿Cuál será la razón aproximada de fcem o de niveles de voltaje entre los dos
motores?
nInténtese estimar la capacidad de potencia de los dos motores (relacionada con
el producto de E por la) Y discútanse los méritos relativos de ambos tipos de
materiales magnéticos para aplicaciones de motor.
5.23 Suponer un coeficiente de amortiguamiento lineal D como en la ecuación (5.53)
y al hacer TL = O, determinar la velocidad de motor en función del tiempo, d1l-
rante una operación de frenado dinámico. Ver las ecuaciones (5.47), (5.48),
(5.50) Y (5.52). Considerar que la operación de frenado se inicia en t =Ocuando
ia =10 y wm =no' Suponer además que Vr e ir se mantienen constantes durante
esa operación.
5.24 Un motor de control (excitado con imán permanente) impulsa una carga inercial
mediante un tren de engranes de razón global R. Si se designa la carga inercial con
JL Y el par de carga TL es nulo, establecer la función de transferencia para la ve-
locidad de control.
¿Cómo puede usarse la razón de engrane para alterar la constante mecánica 7m
del sistema?
5.25 Para un motor excitado separadamente, con control de armadura, descrito por
(5.56) a (5.59) y la figura 5.38, suponer que TL YD sean mulos. El motor se en-
cuentra inicialmente en pausa y se excita con corriente de campo nominal. El
voltaje de armadura nominal se aplica repentinamente en t =O. Encontrar la
energía total disipada en la resitencia Ra de armadura durante el tiempo requeri-
do para que el motor alcance su velocidad final de régimen estacionario. Com-
parar esta energía con la cinética almacenada en la inercia rotatoria a la velocidad
de régimen estacionario. Repetir el cálculo si D no es cero.

259. Capítulo 6
Máquinas de
inducción
El motor de inducción es el más común de los motores. Como la má-
quina de c.c. que se estudió en el capítulo anterior, una máquina de induc-
ción está constituida por un estator y un rotor montado en cojinetes y
separado de aquél por un entrehierro. Electromagnéticamente, el estator
está formado por un núcleo constituido por horadaciones (o laminaciones)
que llevan conductores alojados en ranuras. Estos conductores se interco-
nectan de alguna manera prevista y constituyen los devanados de armaduras.
En la siguiente sección se verán algunos detalles de devanados de armadu-
ra.
Se suministra corriente alterna a los devanados del estator, induciendo-
se así corrientes en los devanados del rotor. Este elemento es cilíndrico y
porta (1) barras conductoras cortocircuitadas en ambos extremos, como en
una máquina tipo jaula -figura 6.1- o (2) devanados polifásicos con termi-
nales conectadas a anillos colectores para las conexiones externas, como
en una máquina de rotor devanado (figura 6.2). Un devanado de rotor con
arrollamiento es semejante al del estator. Algunas veces a la máquina tipo
jaula se le conoce como máquina sin escobillas y a la máquina con rotor de-
vanado se le denomina máquina de anillos colectores. En la figura 6.3 se
muestran las tres diferentes etapas de producción del estator y rotor. El mo-
tor se especifica para 2500 kW, 3 kV, 575 A, dos polos de 400 Hz. En la fi-
gura 6.4 se ilustra un rotor terminado tipo jaula de 3400 kW, 6 kV y la 6.5
muestra el rotor devanado de un motor de inducción de cuatro polos, 16,200
kW, trifásico de anillos colectores. En la 6.6 se muestra una vista en corte
de un motor totalmente armado, con rotor tipo jaula.
Una máquina de inducción opera sobre la base de la interacción de las
corrientes inducidas en el rotor con los campos del entrehierro. Si el rotor
257

260. anillos terminales.
FIGURA 6.1 Rotor tipo jaula
Devanados insertos
en ranu ras, con
terminales a los
anillos colectores
FIGURA 6.2 Rotor devanado.
Escobillas
FIGURA 6.3 Rotor para un motor de 2,500 kW, 3 kV, dos polos, 400 Hz, en
diferentes etapas de producción. (Cortesía de Brown Boveri Col.

261. FIGURA 6.4 Rotor completo de un motor de 3,400 kW, 6 kV, 990 rpm. (Cortesía de
Brown Boveri Company).
FIGURA 6.5 Rotor de un motor de inducción trifásico; 12,500 kW, con anillos
colectores. (Cortesía de Brown Boveri Company).

262. 260 Máquinas de inducción
FIGURA 6.6 Vista en corte de un motor dl~ inducción (Cortesía de General Electric
Company).
puede girar bajo la acción del par desarrollado por esta interacción, la má-
quina trabajará como motor. Por otra parte, si el rotor puede impulsarse
por una fuente externa arriba de una velocidad tal que la máquina principie
a entregar potencia eléctrica, opera como un generador de inducción (y no
como motor de inducción que absorbe potencia eléctrica). Se ve así que
la máquina es capaz de trabajar como motor o como generador. No obstan-
te casi siempre se usa como motor y rara vez como generador.
Antes de considerar en detalle ei motor de inducción, es de interés
estudiar la construcción de su estator y el campo magnético producido
por los devanados de estator (o armadura), de la manera siguiente.
R1FMMSDELOSDEVANADOSDEARMADURA
En el capítulo anterior se vio que la armadura de una máquina de c.c. po-
see un devanado distribuido alrededor de la periferia de la armadura. De
este modo, los conductores alojados en las ranuras, que cubren la superfi-
cie total de la armadura, conectados de una manera predeterminada, cons-
tituyen el devanado de armadura de una máquina de c.c.

263. Devanado de estator
FMMS de los devanados de armadura 261
Fase e
circu itados mediante
anillos terminales
oNúcleo del rotor
FIGURA 6.7 Devanados de estator y rotor. Clave: 0, fase A; x, fase B; fase C.
De forma semejante, en una máquina de inducción se forman los deva-
nados de armadura interconectando los diversos conductores en las ranuras
distribuidas sobre la periferia del estator de la máquina. Con frecuencia, se
encuentra más de un devanado independiente en el estator. En la figura
6.7 se muestra una distribución de devanado de estator trifásico. Obsérve-
se que los devanados de estator se distribuyen en las ranuras sobre toda la
periferia del estator. Cada ranura contiene dos lados de bobina. Por ejemplo,
la ranura No. 1 tiene lados de bobina de fases A y B, mientras que la 2 con-
tiene dos capas (o dos lados de bobina) de la fase A únicamente. Un devana-
do de este tipo se conoce como devanado de doble capa. Además, se trata de
un devanado de cuatro polos alojado en treinta y seis ranuras (figura 6.7)
y de este modo se tienen tres ranuras por polos por fase.
Para producir el flujo de cuatro polos, cada bobina debe tener una
abertura (o paso) de un cuarto de la periferia. En la práctica, el paso es un
poco menor y cada bobina abarca ocho dientes. El paso de bobina es alre-
dedor del 89% del polar y el devanado es, por lo tanto, un devanado depaso
fraccional (o cardado). En la Ref. 1 se dispone de más detalles sobre deva-
nados de armadura.

264. 262 Máquinas de inducción
(a)
Bobina de paSO
completo de N vup.ltas, con
corriente i
/~_.- ...., t /- --....,
I ,,-- --.... I I /-- ---
, I _- -~ " Ni , ,/ ~ - -.... "
1/ 1 - I
rNi
')------v.}-...I..------'~ x
(b)
I , /" - I 1 I T I I 1 /- -, , I I
A +.+, "ex") 'f 'f 'f t t t 't' 'f 'f e.") " '" .+, t
I : 1, '-¡"./Ó---CMIlf---I.l_ r 1 1 l. ,- _/ J ,1 I
, -- _/ l' 1 --f---' I
'-- ____ ./ I ",--- - _/' I
',--- ---_/ ...... _-- --_/
(e)
FIGURA 6.8 Flujo y fmm producidos por un devanado concentrado. a) Líneas de
flujo producidas por una bobina de N vueltas. b) Fmm produicida por la bobina de N
vueltas. e) Fmm por polo.
Se considerará, por ahora, la fuerza magnetomotriz producida por
los devanados de armadura. En primer lugar, supóngase una bobina simple
de paso entero, donde la apertura de ranura sea insignificante. Es obvio
que la máquina tendrá dos polos (figura 6.Sa). De la Ley Ampere, se tiene
1 H . dQ == Ni, válida para cualquier línea de fuerza. En otras palabras, la
fmm tiene un valor constante Ni entre los lados de bobina, como se mues-
tra en la figura 6.Sb. Por costumbre, los efectos magnéticos de un devanado
se consideran sobre una base por polo en una máquina eléctrica. Así, si i
es la corriente en la bobina, la fmm por polo es Ni/2, cuya gráfica se mues-
tra en la figura 6.Se. La razón para una representación de este tipo es que
esta figura ilustra asimismo una densidad de flujo, aunque a otra escala. Evi-
dentemente, la densidad de flujo sobre un polo (digamos el norte) puede
ser opuesta a la del otro (sur), conservándose así iguales los flujos que en-
tran y salen de la superficie del rotor. Comparando las figuras 6.Sb y 6.Sc,
se observa que la representación de la curva de fmm con áreas positivas y
negativas (figura 6.Se) tiene la ventaja de dar la distribución de densidad de

265. FMMS de los devanados de armadura 263
flujo, que debe necesariamente contener áreas positivas y negativas. Pue-
de descomponerse la distribución de fmm mostrada en la figura 6.Se en sus
componentes armónicas mediante la serie de Fourier. El período de la com-
ponente fundamental es el mismo (27) que el de la onda rectangular de
fmm. Por consiguiente, la componente fundamental de la distribución
de fmm se obtiene de
4 Ni 17F(x,t)= - -cos-x
17 2 'T
Si i es sinusoidal, de tal suerte que i == 1m sen w t, (6.1) se hace
que se reduce a
V2 4 17X
F(x t)= -- -Nlcos-senwt, 2 'lT 'T
'lTX
F(x,t) =0.9NIcos-senwt
'T
(6.1)
(6.2)
(6.3)
donde 1 es el valor eficaz de la corriente. Nótese que la variación con el
tiempo del flujo resultante de la fmm es alterno y estacionario en el espa-
cio.
En una máquina eléctrica rara vez se tiene una bobina simple de N
vueltas (figura 6.Sa) en calidad de fuente de fmm de armadura. Se tiene más
bien devanados distribuidos sobre toda la periferia de la máquina, como el
mostrado en la figura 6.7. Además de utilizar todo el espacio disponible, dis-
tribuyendo el devanado, se reduce el contenido armonico de la distribución
de fmm, aunque la magnitud de la componente fundamental es menor que
la del devanado concentrado. Se intenta, idealmente, distribuir el devanado
de tal manera que la distribución de fmm resultante sea puramente sinu-
soidal.
En la práctica, como una primera aproximación, se supone una distribu-
ción sinusoidal de fmm. Para el estudio del motor de inducción se supondrá
una distribución tal. De este modo, se escribe para la distribución espacial
de fmm (o densidad de flujo) producida por tres bobinas idénticas, despla-
zadas una de otra en 1200
(figura 6.9):
F = F senwt cos 'lTX
a m 'T
Fb = Fmsen(wt - 1200
) cos( 17; - 1200
)
Fe = Fmsen(wt + 1200
) cos( 'lT; + 1200
)
(6.4)
Obsérvese que las tres bobinas se excitan con una fuente trifásica. Como
se vio que los devandos trifásicos están formados por tres bobinas de N

266. 264 MáquiTUls de inducción
, '''x'/, ,
-+;._-_.... ''-·t2 ·----
I (a)
e!)'l 8)e 'lb
'lR = Flujo resultante
'la
e!) 8)
e b
8)
a'
(b)
FIGURA 6.9 Producción de un campo magnético rotatorio por una excitación trifási.
ca.
vueltas (independientes), la Fm será igual a 0.9 NI, de acuerdo con (6.3) y
(6.4). Observando que sen A cos B = 1/2 sen (A - B) + 1/2 sen (A + B)
Ysumando Fa, Fb YFe, se obtiene al fmm resultante como
F(x,t) = 1.5Fm sen(wt - '1T'T
X
) (6.5)
La figura 6.10 muestra la posición de la fmm resultante en tres diferentes
instantes ti <t2 <t3 • Observar que al transcurrir el tiempo, un punto deter-
minado P se mueve a la derecha, implicando que la fmm resultante sea una
onda progresiva de amplitud constante. El campo magnético producido
por esta fmm en una máquina eléctrica se conoce como campo magnéti-
co rotatorio. Puede llegarse a la misma conclusión considerando la fmm
resultante en varios instantes, como se muestra en la figura 6.10. De estos
diagramas, puede verse claramente que con el transcurso del tiempo de ti
a t3 , la fmm resultante gira en el espacio de () 1 a () 3 • La existencia del cam-
po magnético rotatorio es esencial para la operación de un motor de induc-
ción.

267. FMMS de los devanados de armadura 265
Para determinar la velocidad del campo progresivo dado por (6.5),
imagínese un observador que viaje con la onda de fmm en un punto P. Para
él, la magnitud de la onda de fmm permanecerá constante (independiente
del tiempo), lo que implica que el segundo miembro sea constante. Mate-
máticamente,
o bien
sen (wt - 17;) = consto
wt - 17X = consto
'T
Al derivar ambos miembros respecto a t, se obtiene
o sea
w- .!.x=O
'T
. W'T 2'T A
x= - =2f'T=- = -mis17 T T
p
---~---~----y-------~~x
---------L--~~----y-----~~x
-----------J-r--~----y_--~x
(6.6)
(6.7)
FIGURA 6.10 La función sen rcot -1Tx/r 1en diferentes momentos tI <t <i2

268. 266 Máquinas de inducción
-Nt----
I
s
s
I
--LtN-
FIGURA 6.11 Definición de paso polar 7.
donde r = paso polar, w = 2wf y f es la frecuencia de las corrientes de en-
trada y T es el período correspondiente (esto es, f = liT). De (6.7) se con-
cluye que la onda de fmm (o de flujo), durante un ciclo, avanza dos veces
el paso polar (o una longitud de onda A). Por lo tanto, para un paso polar
y frecuencia dados, la velocidad del campo progresivo es constante y se co-
noce como velocidad síncrona.
Es posible ahora relacionar la velocidad síncrona (en m/seg) con la
velocidad en rpm, observando que una revolución alrededor del entrehierro
de la máquina corresponde a una distancia lineal p7 , donde p es el nume-
ro de polos (figura 6.11). La distancia recorrida por la onda en un minuto es
60(2fr). Así, la velocidad del campo progresivo, que corresponde ahora a
un campo rotatorio con n rpm, se obtiene de
60(217) 1201
n= =--rpm
p7 p
(6.8)
Es ésta también la velocidad fija, llamada síncrona, que generalmente se
denota con ns' De este modo, se reescribe (6.8) como
1201
ns=prpm
6.2 ACCION DE UN MOTOR DE INDUCCION POLlFASICO
(6.9)
Una excitación de estator trifásica produce un campo magnético rotatorio
en el entrehierro de un motor de inducción y el campo gira a una velocidad
síncrona dada por la ecuación (6.9). Al girar el campo magnético, "corta"
a los conductores de rotor y se inducen en estos voltajes, que a su vez dan
lugar a corrientes de rotor. Estas corrientes interaccionan con el campo del
entrehierro, produciéndose un par, que persiste mientras existan el campo
magnético y las corrientes de rotor inducidas. Como consecuencia, inicia

269. Deslizamiento y frecuencia de corrientes de rotor 267
su giro el rotor en la dirección del campo rotatorio. (Nota: Puede verificarse
fácilmente, aplicando el principio de la conservación de la energía, que el
rotor no girará bajo su propio par,en una dirección opuesta a la del campo ro-
tatorio). El rotor alcanzará una velocidad de régimen estacionario n, tal
que n < ns. Es evidente que cuando n = ns, no existirán corrientes induci-
das y consecuentemente el par será nulo. La condición n>ns corresponde
al modo generador.
Otra manera de explicar la operación del motor polifásico de induc-
ción es considerando la interacción del campo magnético de estator (exci-
tado) y el'campo magnético del rotor (inducido). La excitación del estator
produce un campo magnético rotatorio que gira en el entrehierro de aire con
una velocidad síncrona. Este campo induce corrientes polifásicas en el ro-
tor, que a su vez originan otro campo magnético rotatorio, que gira a una
velocidad síncrona igual a la del estator, y con respecto a éste. De esta ma-
nera se tienen dos campos magnéticos rotatorios girando a una velocidad
síncrona con respecto al estator, aunque estacionarios uno con relación al
otro. En consecuencia, de acuerdo con el principio de alineamiento de
campos magnéticos (capítulo 4), el rotor sufrirá un par (pudiera decirse que
el campo magnético del estator arrastra al rotor), girando en la dirección
del campo rotatorio del estator.
6.3 DESLIZAMIENTO Y FRECUENCIA DE CORRIENTES DE ROTOR
La velocidad real n del rotor se expresa a menudo como una fracción de la
velocidad síncrona ns , a través del deslizamiento s, que se define como
ns-n
s=--
ns
Puede también expresarse el deslizamiento como porcentaje:
n-n
por ciento de deslizamiento = _s__ X 100
ns
(6.10)
(6.11 )
En reposo, el campo magnético rotatorio que produce el estator tiene
la misma velocidad relativa respecto a los devanados de rotor que con rela-
ción a los de estator. Así, la frecuencia t2 de las corrientes de rotor es la
misma que la frecuencia de corrientes de estator ti .A la velocidad síncro-
na no hay movimiento relativo entre el campo rotatorio y el rotor y la fre-
cuencia de la corriente de rotor es cero. En otras velocidades, la frecuencia
de rotor es porporcional al deslizamiento s. Este puede demostrarse de la si-
guiente manera.
En primer lugar, se reescribe (6.10) así:

270. 268 Máquinas de inducción
s= (6. lOa)
donde W m = velocidad real del rotor en rad/seg. De (6.9) se observa que
(6.12)
Como la velocidad relativa entre el rotor y el campo rotatorio producido
por el estator es W s - W m , la frecuencia angular W r de las corrientes indu-
cidas de rotor es
(6.13)
Sustituyendo (6.10a) en (6.13) se obtiene
w =sw!!'" =swr s2 (6.14)
o sea
1,=s1 (6.15)
que se conoce como frecuencia de deslizamiento. En (6.15), fr = frecuencia
de las corrientes de rotor y f = frecuencia de corrientes de estator (entrada)
o de voltajes de estator.
Resumen de lo anterior.
1. El campo magnético rotatorio de estator gira con la velocidad síncrona
ws(con respecto a un observador estacionario).
2. La fmm de rotor produce un campo magnético rotatorio que gira tam-
bién a la velocidad síncrona y en la misma dirección que el campo produ-
cidopor la fmm de estator.De esta manera,los campos rotatorios producidos
por el estator y rotor son estacionarios uno respecto al otro.
3. El campo rotatorio producido por el rotor gira con una velocidad W s -
W m respecto al rotor, donde W m es la velocidad mecánica real del rotor.
4. Las corrientes (y voltajes) inducidos en el rotor son de frecuencia igual
al deslizamiento.
6.4 EL CIRCUITO EQUIVALENTE DE ROTOR
En virtud de que la frecuencia de las corrientes de rotor es la de desliza-
miento, puede expresarse la reactancia X; de fuga de rotor por fase en un
deslizamiento s, en términos de la reactancia X2 por fase en reposo como
(6.16)

271. El circuito equivalente de rotor 269
~
s
(a) (b)
FIGURA 6.12 Dos formas de circuito equivalente de rotor.
En seguida, se observa que la magnitud del voltaje inducido en el circuito
de rotor es también proporcional al deslizamiento.
Se justifica esta aseveración mediante la teoría del transformador (ca-
pítulo 3), pues puede verse el motor de inducción en reposo como un
transformador con entrehierro de aire. Se sabe de esa teoría, que un voltaje
inducido, digamos E 2 , se expresa como
(6.17a)
Pero en un deslizamiento s, la frecuencia se hace st, de acuerdo con (6.15).
Reemplazando este valor de frecuencia en (6.17a) se obtiene el voltaje E~
en un deslizamiento s como
E~ = 4.44sfN<Pm = sE2 (6.17b)
Se concluye, por lo tanto, que si E 2 es el voltaje por fase inducido en el
rotor en reposo, el voltaje E~ en un deslizamiento s se obtiene de
(6.l7c)
Con (6.16) Y (6.17c), puede obtenerse el circuito equivalente de rotor
mostrado en la figura 6.12a. La corriente 12 de rotor será
(6.18)
que puede reescribirse como
(6.19)

272. 270 Máquinas de inducción
que conduce a la otra forma de circuito equivalente que se muestra en la
figura 6.12b. Obsérvese que los circuitos mostrados en la figura 6.12 setra-
zaron sobre una base por fase. A este circuito puede agregársele ahora el
circuito equivalente de estator por fase, para obtener el circuito equivalen-
te completo del motor de inducción, que se analizará en la sección siguiente.
6.5 DESARROLLO DEL CIRCUITO EQUIVALENTE COMPLETO
Se hace notar nuevamente que en un motor de inducción sólo el estator se
conecta a la fuente alterna. El rotor por lo general no se conecta a una
fuente externa, produciéndose el voltaje y corri~mte de rotor por inducción.
Desde este punto de vista, puede considerarse el motor de inducción como
un transformador con entrehierro, con resistencia variable en el secundario.
De esta manera, se puede pensar que el primario del transformador corres-
ponde al estator del motor de inducción, mientras que el secundario co-
rresponde al rotor sobre base por fase. Por la presencia del entrehierro de
aire, el valor de la reactancia magnetizante X m tiende, no obstante, a ser
relativamente baja, en comparación con la de un transformador. Como en
un transformador, (analizado en el capítulo 3), se tiene un flujo mutuo que
eslabona al estator y al rotor, representado por la reactancia magnetizante y
por varios flujos de fuga. Por ejemplo, el flujo total de fuga de rotor se de-
signa con X2 en la figura 6.12. Aunque los flujos de fuga se subdividen en
varias componentes, como flujo de fuga por conexión final, flujo de fuga
por ranura, flujo de fuga por punta de diente y otras, no se considerarán
aquÍ. Se observa, sin embargo, que se asigna una componente adecuada de
reactancia de fuga a cada componente de flujo de fuga y que tales com-
ponentes no existen en un transformador.
Con relación a la analogía de un transformador, considérese que el
rotor se acopla al estator, como el secundario del transformador lo hace
al primario y puede así trazarse el circuito de la figura 6.13. Para avanzar en
el desarrollo de este circuito, es necesario expresar las cantidades de rotor
referidas al estator. Para esto, debe conocerse la razón de transformación,
como en un transformador. (Ver capítulo 3).
Es importante tener cuidado al definir la razón de transformación. La
razón de transformación de voltaje en el motor de inducción debe incluir
el efecto de las distribuciones de devanados de estator y rotor. En estas
condiciones, la razón de voltaje de rotor a estator se hace
E2 kw2N2
E¡ = kw¡N¡
(6.20)
donde kwl es el factor de devanado del estator, con NI vueltas en serie
por fase. Para un rotor tipo jaula, el número de vueltas por fase por par
de polos es 1/2. De esta manera, el número de vueltas por fase esN2 = (1/2)

273. Desarrollo del circuito equivalente completo 271
/1
r 1 Xl X 2 /2
)'
:::3 ~"
rrro' )'
t~
+
V1
FIGURA 6.13 Estator y rotor como circuitos acoplados.
(p /2), donde p es el número de polos. Además, para el rotor jaula, kw2 = lo
Para un rotor devanado estas cantidades se encuentran de una manera se-
mejante a las del estator. El factor de devando se define en los ejemplos
6.1 y 6.2. En seguida, considerando las fmm F¡ y F2 de estator y rotor,
puede escribirse, de acuerdo con (6.3),
(6.21a)
y
(6.21b)
donde m¡ y m2 son el número de fases en el estator y rotor, respectiva-
mente; en un rotor devanado, m ¡ = m2 . El resto de símbolos se interpretan
con las definiciones dadas antes. Para un rotor tipo jaula el número de fases
mz = número de barras por par de polos = Qz /p/2, siendo Q2 el número
de barras de rotor. Referir las cantidades de rotor a las de estator, implica
que el rotor tenga en efecto la misma fmm que el estator; en otras palabras,
una corriente de rotor 12' referida al estator y circulando en NI vueltas con
mI fases, produce la misma fmm que la F 2 original. De (6.12b), se tiene,
por consiguiente,
o bien
(6.22)
Aún más, los volt-ampere de rotor por fase, r~feridos al estator, deben ser
iguales a los volt-ampere de rotor originales. Así
(6.23)
Se sustituyen (6.20) y (6.22) en (6.23) para obtener el voltaje de rotor
referido al estator:

274. 272 Máquinas de inducción
(6.24)
La siguiente condición que debe satisfacerse es que las pérdidas de rotor
no deben cambiar. Matemáticamente,
(6.25)
donde r; es la resistencia de rotor por fase, referida al estator y r2 es la
resistencia de una barra. Las ecuaciones (6.22) y (6.23) dan
, mi (kwlNI)2r2=- - - r2
m2 kw2N2
(6.26)
Para finalizar, se requiere que la energía magnética almacenada en la reac-
tancia de fuga del rotor en reposo tampoco cambie; así
~mILí(Ií)2= ~m2L2li (6.27)
Al multiplicar ambos miembros de (6.27) por la frecuencia angular w de
estator y sustituir (6.22), se obtiene
mi (kWINI )2Xí=- - - X2
m2 kw2N2
que es la reactancia de fuga de rotor referida al estator.
(6.28)
En resumen, deben multiplicarse la corriente, voltaje, resistencia y
reactancia de rotor por los factores contenidos en (6.22), (6.24), (6.26) Y
(6.28), respectivamente.
Una vez demostrada la similitud entre motor de inducción y un trans-
formador, percatándose de las diferencias esenciales, es posible referir las
cantidades de rotor a las de estator. Se obtiene así el circuito equivalente
exacto (por fase) mostrado en la figura 6.14a, a partir de la figura 6.13.
Por razones que se aclararán de inmediato, r; /s se descompone en
r' r'
2 =rí+ 2(1-s)
s s
para obtener el circuito mostrado en 6.14b. Aquí, r; es simplemente la
resistencia de rotor en reposo referida al estator y r' (1 - s)/s es una resis-
tencia dinámica que depende de la velocidad del rotor y corresponde a la
carga en el motor. Nótese que todos los parámetros mostrados en la figura
6.14a y b son valores en reposo y el circuito es el equivalente exacto por
fase referido al estator. Se verá adelante la utilidad del circuito, aunque
se considere primeramente un ejemplo que muestre los cálculos de los fac-
tores utilizados para referir cantidades de rotor al estator.

275. Desarrollo del circuito equivalente completo 273
+
Vl
(a)
Xl
+
(b)
X'2
/'2
r'
-f (1 - s)
FIGURA 6.14 Dos formas de circuitos equivalentes de un motor de inducción.
Ejemplo 6.1
Establecer una expresión general para el factor de distribución en un deva-
nado de armadura en c.a. Indicar cómo se modifica la ecuación de voltaje
debido al factor de distribución. Recordando de capítulos anteriores (sobre
transformadores y máquinas de c.c.) que el voltaje E, inducido en una bo-
bina de N vueltas (en todas las vueltas) que eslabona a un flujo C/> alterno
de frecuencia f es
E=4.44fq,N (6.29)
Si estas N vueltas se distribuyeran en un cierto número de ranuras, como se
muestran en la figura 6.7, los voltajes inducidos en las bobinas se desplaza-
rán uno de otro en un ángulo de fase 01 entre ranuras, definido por
donde
180p 180
a=--=--
Q mq
m = número de fases; q = número de ranuras por polo-fase
p = número de polos y Q = número total de ranuras
(6.30)
El voltaje neto disponible en las terminales de las N vueltas sería entonces
la suma fasorial de los voltajes inducidos en cada bobina. La figura 6.15
muestra una adición fasorial de este tipo, de la que la razón

276. 274 Máquinas de inducción
FIGURA 6.15 Determinación de Kd.
(6.31)
voltaje resultante
kd ::: ------=-----------
suma de voltajes de bobinas individuales
y kd se conoce como factor de distribución. De la figura 6.15 se obtiene
Er 2 asen q(0:/2) sen q 0:/2
kd = qEe
= 2aqsen(0:/2) = qseno:/2 (6.32)
La ecuación de voltaje (6.29) se modifica por (6.32) de la manera siguien-
te
E =4.44 kd fcf>N (6.33)
En la tabla 6.1 se dan factores de distribución para algunos devanados tri-
fásicos.
TABLA 6.1 Factores de distribución para devanados trifásicos
Ranura/polo/fase 2 3 4 5 6 8 00
kd 0.966 0.960 0.958 0.957 0.957 0.956 0.955
Ejemplo 6.2
Con referencia a la figura 6.7 nuevamente, se ve que el paso de bobina difie-
re del paso polar. Un devanado de esta forma se denominó devanado de paso
fraccionario. El voltaje inducido en un devanado de paso fraccionario se
reduce por un factor conocido como factor de paso, en relación al volta-
je inducido en una bobina de paso entero. Establecer una expresión para
el factor de paso.
En la figura 6.16 se muestran bobinas de paso entero y fraccionario
para una densidad de flujo distribuida sinusoidalmente. El claro de bobina
de paso entero = paso polar =T. Sea (3 el claro de bobina de la de paso frac-
cionario, como se muestra ahí. La densidad de flujo que eslabona a la bobina

277. Desarrollo del circuito equivalonte completo 275
FIGURA 6.16 Determinación de Kp.
de paso fraccionario será proporcional al área sombreada (figura 6.16) en re-
lación al flujo que eslabona con la bobina de paso complero (es decir, pro-
porcional al área total bajo la curva). La razón del área sombreada a la total
es, consecuentemente, el factor de paso kp. Así
f.
("PJ 'TTX fT 'TTX 'TTf3
k = -'-sen-dxj sen-dx=senT
p (,;PJ T x =0 T T
(6.34)
Si se considera este factor, la (6.33) se modifica a
(6.35)
donde Kw = KdKp, llamado factor de devanado en la sección anterior. Véan-
se (6.20) a (6.28).
Ejemplo 6.3
El devanado de estator del motor de inducción tipo jaula, que se indica en
la figura 6.7, tiene 24 vueltas por fase. Determinar el factor por el que debe
multiplicarse la resistencia de rotor en reposo para referirla al estator.
Se observa de esa figura que el estator tiene tres fases: mI =3. Ade-
más, posee cuatro polos: p = 4. El número de ranuras por polo por fase
q = 36/4 X 3 = 3 y el ángulo a de ranura será 180/3 X 3 = 30, según (6.30).
Por lo tanto, de acuerdo con (6.32) o la tabla 6.1,
sen(3 x20j2)
kdl = =0.96
3 sen (20/2)
De la figura 6.7 nuevamente, r= 9 ranuras y {3 =8 ranuras. De esta manera,
de (6.34), se obtiene

278. 276 Máquinas de inducción
kp1 =sén ~; =sen80° =0.985
El factor de devanado para el estator
Para el rotor se tiene
P 2Q2 28
N2 =¡ = 1, and m2 = p =2x 4 = 14.
Sustituyendo estos valores en (6.26),
,= .l..(0.945 x 24)2 _ 110
'2 14 1x 1 '2 - '2
por lo que el factor requerido será =110.
6.6. CALCULOS DE OPERACION DE CIRCUITOS EQUIVALENTES
La mayor utilidad del circuito equivalente del motor de inducciónse encuen-
tra en sus cálculos de operación. Desde luego, se supone aquí que se conocen
todos los parámetros del circuito y que se han especificado las condiciones
de entrada o salida o una combinación de ambas. Por ejemplo, pueden
ser datos el voltaje de entrada y el deslizamiento de operación e incógnitas
la corriente de entrada, el factor de potencia, la eficiencia, etc. Se insiste
en que todos los cálculos se realizan sobre una base por fase, suponiendo
una operación balanceada de la máquina. Las cantidades totales se obtie-
nen utilizando un factor adecuado como se ilustró en el ejemplo 6.4.
Véase la figura 6.14 para aclarar lo que sigue. En la figura 6.17 se retra-
za este circuito, en la que se indica asimismo el flujo de potencia y varias
pérdidas de potencia en una fase de la máquina. Obsérvese que no han sido
tomadas en cuenta las pérdidas por núcleo, la mayor parte de las cuales se
ubican el estator; estas pérdidas se incluirán sólo en cálculos de eficiencia.
Por consiguiente, la potencia Pg que cruza el entrehierro de aire es la dife-
rencia entre la potencia de entrada Pi y la pérdida en estator Ii r1 : es decir,
wattj fase (6.36)
Esta potencia se disipa, claramente, en la resistencia r;/s de la figura 6.14.
Por lo tanto,

279. Cálculos de operación de circuitos equivalentes 277
2 r;Pg=I2 S (6.37)
Si se resta la pérdida en rotor I~ r~ de Pg , se obtiene la potencia electro-
magnética desarrollada Pd, de tal suerte que
(6.38)
Esta es la potencia que aparecería en una resistencia que tuviera un valor
óhmico r; [(1 - 8)/S], que correspondería a la carga. La potencia rotatoria
Pr puede restarse de Pd para obtener la potencia de salida de flecha Po.
Así,
(6.39)
Además
(6.40)
y la eficiencia n es la razón Po /Pi'
Se ilustrará este procedimiento, mediante el ejemplo que sigue.
Ejemplo 6.4
Los parámetros del circuito equivalente de la figura 6.17a, para un motor
de inducción, en 220 V, trifásico, 60 Hz, son
"
+--.....-v.A
F,
P,
•
1Il,,-Ipérdida
"" ~ P, - 1,2"
•
(,,)
Pd ~ (1 -s)p" Po
1 1
..
q'í - pérdida p, -pérdida
(b)
FIGURA 6.17 Flujo de potencia en un motor de inducción.

280. 278 Máquinas de inducción
r, =0.2 ohm rí=O.lohm
X, =0.5 ohm Xí=0.2 ohm
Xm =20.0ohm
Las pérdidas totales de hierro y mecánicas son de 350 W. Para un desliza-
miento del 2.5% , calcular a) la corriente de entrada, b) la potencia de sali-
da, e) el par de salida y d) la eficiencia.
Como se conocen las pérdidas por hierro, (350 W), se hace una apro-
ximación, sin tomar en cuenta la resistencia rm. Así, de la figura 6.17a, la.
impedancia total es
x (rí + XI)j m S j 2
21 = r, +jX, + --:-,-----
r
-2 +j(Xm +Xí)
S
. j20(4+jO.2)
= 0.2 +jO.5 + ----,----
4+j(20 + 0.2)
=(0.2+jO.5) + (3.8+jO.BI) =4.21 L 18°
Voltaje de fase =.221)/1/3 = 127 V
Corriente de entrada = 127/4.21 =30 A
Factor de potencia = cos 18° =0.95
Potencia de entrada total = 1/3 x 220 x 30 x 0.95
= 10.85 kW
Potencia total a
través del entrehierro de aire =3 x 3& x 3.8
= 10.25 kW
Potencia total desarrollada = 0.975 x 10.25 = 10.0 kW
Potencia de salida total = 10-0.35=9.65 kW
Par de salida total = potencia de salida/W m
=(9.65/184) X 1000=52.4 N m

281. El circuito a partir de datos experimentales 279
t200
~ 160
'"1::>
'"¡; 120
c:Q)
Q)
~ 80
c:
Q)
'Eo 40
U
1.0
i.!!! 0.8
(J
c:Q)
0 0.6
o.
Q)
1::>
B0.4
(J
'"u.
0.2
¡lOO
Q)
.~ 80
c:
'"(J
5 60
a.
.!!!
g 40
.C!!
.2
W20
120
-t100
E
I 80
~
60~
'""-
40
20
1.0
.-'--.---'
/
Y
/
O
FIGURA 6.18 Características de un motor de inducción. Tm =par máximo; Ts =par
de arranque. Clave: -, corriente de entrada A; - - -. factor de potencia; - . -. -,
eficiencia (%) y _. -, par en Nw-m.
donde Wm =0.975 x60x 17= 184 radjs
Ef" . 9.65 8907
lClenCia = 10.85 = 10
Mediante un procedimiento semejante, es posible calcular la operación
del motor para otros valores del deslizamiento, dentro de un ¡;ango de Oa
1. En la figura 6.18 se muestran las características así calculadas.
6.7 EL CIRCUITO EQUIVALENTE A PARTIR DE DATOS
EXPERIMENTALES
En el ejemplo anterior se mostró la utilidad de un circuito equivalente. No
obstante, en realidad no se utilizó el circuito exacto de la figura 6.10. Para
simplificar los cálculos, no se tomaría en cuenta la resistencia r m de la ra-
ma paralelo. En muchos cálculos para objetivos prácticos, se represente
la máquina de inducción por el circuito equivalente aproximado de la figura
6.19. Con el objeto de calcular la operación de la máquina, deben conocer-
se sus parámetros. Los correspondientes al circuito de la figura 6.19 se ob-
tienen mediante las dos pruebas siguientes.
1. Prueba sin carga. en esta prueba, se aplica un voltaje nominal a la má·
quina y se le permite operar sin carga. Se miden la potencia, voltaje y
corriente de entrada, que se reduce a valores por fase, denotán-

282. 280 Máquinas de inducción
11
Xl
+
V1
!i. (l-s)
s
FIGURA 6.19 Circuito equivalente aproximado para un motor de inducción.
dosele conPo, Vo elo , respectivamente. Cuando la máquina opera sin car-
ga, el deslizamiento es casi cero y la sección del circuito a la derecha de
la rama paralelo se toma como circuito abierto. De este modo, se deter-
minan los parámetros rm YX m de las siguientes ecuaciones:
v?o
(6.41), =-
m Po
Vo
(6.42)X =
m 'osell4>o
donde
_ _ Po
(6.43)CPo-cos v: /
o o
2. Prueba con rotor bloqueado: en esta prueba, se bloquea el rotor de la
máquina (8 = 1) Yse le aplica un voltaje reducido, de tal suerte que flu-
ya la corriente nominal a través de los devanados de estator. Se registran
la potencia, voltaje y corriente de entrada y se reducen a valores por
fase, que se designan con Ps , Vs e ls' respectivamente. En esta prueba
se suponen insignificantes las pérdidas por hierro y no considera la ra-
ma paralelo de la figura 6.19. Los parámetros se determinan así:
2 Ps
, =,+a '2=-(! /2
s
(6.44)
(6.45)

283. donde
El circuito a partir de datos experimentales 281
_) Ps
<l>s =cos VI
s s
(6.46)
En (6.44) Y (645), a es constante y es análoga a la razón de transfor-
mación de un transformador. Toma en cuenta el efecto de resistencia y
reactancia de rotor referidas al estator, como se vio en la sección 6.5. Las
pruebas descritas aquí son aproximadas, pudiendo afinarse. En las referen-
cias 1 y 4 se encuentran detalles al respecto. La resistencia por fase'l de
estator se puede medir directamente y conociendo re de (6.44) se puede
determinar r~ =a2
'2' resistencia de rotor referida al estator. No existe un
método simple para determinar las reactancias de fuga XI =X2 separa-
damente. El valor total de la reactancia de fuga se encuentra por (6.45) y,
aproximadamente, puede considerarse que XI =X2 • Se verá en seguida un
ejemplo para ilustrar los cálculos involucrados para determinar las constan-
tes de la máquina a partir de datos experimentales.
Ejemplo 6.5
Los resultados de las pruebas sin carga y con rotor bloqueado en un mo-
tor de inducción trifásico conectado en Y son los siguientes:
Prueba sin carga voltaje línea a línea 220 V
potencia de entrada total = lOOOW
corriente de línea 20A
pérdidas por rozamiento y vendaval = 400W
Prueba con rotor
bloqueado Voltaje línea a línea = 30V
potencia de entrada total 1500W
corriente de línea = 50A
Calcnlar los parámetros del circuito equivalente mostrado en la figura 6.19.
Así, de (6.41) a (6.43),
V = 220 = 127 V
0V3
/0=20 A
1
Po= } (1000-400) =200 W

284. 28'2 Máquinas de inducción
Ahora,
De (6.44) a (6.46),
1272
'm = 200 =80.5 g
,¡,. - -1 200 -860
't'o-cos 20x 127 -
127
Xm = 20xO.99 =6.4g
V =~=17.32 V
sV3
Is=50 A
p = 1500 =500 W
s 3
500
'e= 5Q2 =0.2 g
,¡,. -1 500 540
't's=cos 17.32x50 =
Una vez conocidas las constantes del circuito, puede calcularse la opera-
ción de la máquina, como en el ejemplo 6.4.
6.8 CRITERIOS DE OPERACION DE LOS MOTORES DE
INDUCCION
Los dos ejemplos anteriores mostraron la utilidad del circuito equivalente
y el método para determinar sus parámetros, a partir de datos experimen-
tales, con el objeto de calcular la operación del motor. La operación de
un motor de inducción puede caracterizarse por los siguientes factores:
1. Eficiencia
2. Factor de potencia
3. Par de arranque
4. Corriente de arranque
5. Par máximo

285. Criterios de operación de los motores de inducción 283
Obsérvese que estas características se muestran en la figura 6.18. Al diseñar,
deben incluirse las pérdidas por núcleo y las debidas a [2 r, así como los
medios para la disipación de calor. No se pretende en este libro presentar
una discusión detallada de los efectos de cambios de diseño -y consecuen-
temente de las variaciones de los parámetros- sobre cada característica
de operación. Aquí se resumen los resultados en calidad de direcciones gene-
rales. Por ejemplo, la eficiencia es aproximadamente proporcional a (1 - s);
de este modo, el motor sería compatible con una carga que corriera a la
velocidad más alta posible. En virtud de que la eficiencia depende obvia-
mente de las pérdidas P r, r~ y r) deben ser pequeñas para una carga dada.
Para reducir las pérdidas por núcleo, la densidad de flujo operante (B), debe
ser pequeña aunque esto impone un requerimiento conflictivo sobre la co-
rriente de carga (1;) puesto que el par, determinado por la carga, depende
del producto de B por [;. En otras palabras, un esfuerzo para reducir las
pérdidas por núcleo más allá de un cierto límite, se traduce en un aumento
de las pérdidas [2 r para una carga dada.
Puede verse de los circuitos equivalentes (desarrollados en la sección
6.5) que puede mejorarse el factor de potencia reduciendo las reactancias
de fuga y aumentando las magnetizantes. Sin embargo, no es prudente re-
ducir las reactancias de fuga a un mínimo, pues estas reactancias restringf.n a
un mínimo la corriente de arranque del motor. Se notan, otra vez, las ( on-
diciones conflictivas entre un alto factor de potencia y una corriente de
arranque baja. Además, el par máximo será más elevado con reactancias
de fuga más reducidas.
Un par de arranque elevado se produce con una r; grande; es decir,
mientras más grande sea la resistencia de rotor, mayor será el par de arran-
que. Una resistencia r; grande se encuentra en conflicto con un requeri-
miento de alta eficiencia.
Se puede llegar a las conclusiones anteriores considerando el circuito
de rotor sólo como se muestra en el ejemplo que sigue.
Ejemplo 6.6
Del circuito equivalente de rotor mostrado en la figura 6.12,a) encontrar r2
para la cual el par sea máximo; b) ¿cuál es el deslizamiento en este par má-
ximo? c) Determinar r2 para un par de arranque máximo y d) ¿cuál es
efecto de X2 sobre el par?
De la figura 6.12, la potencia desarrollada Pd por fase esta dada por
Pero la velocidad mecánica W m está relacionada con la síncrona por

286. 284 Máqui1llJS de inducción
Las dos ecuaciones anteriores proporcionan la expresión para el par elec-
tromagnético Te :
(6.47)
La corriente de rotor 12 la da
(6.48)
De (6.47) Y (6.48) se tiene
(6.49)
Para un Te máximo debe tenerse aTe/3r2 = 0, lo que, junto con (6.49), da
o sea
a)
y
b)
En el arranque, s = 1
c)
d) Para una resistencia de rotor dada, el par de arranque será un máximo si
X 2 :::: 0, según (6.49).

287. Control de velocidad en motores de inducción 285
Desde luego que el análisis anterior es sólo aproximado; no obstante,
es factible llegar a conclusiones similares usando el circuito equivalente exac-
to como se indicó en el problema 6.5.
6.9 CONTROL DE VELOCIDAD EN MOTORES DE
INDUCCION
Debido a su sencillez y solidez, el motor de inducción tiene numerosas
aplicaciones. Sin embargo, también tiene la desventaja de que su velocidad,
en contraste con los motores de c.c., no puede variarse eficiente y conti-
nuamente dentro de un rango amplio de condiciones de operación. Se revi-
sarán aquí sucintamente los posibles métodos para variar la velocidad del
motor de inducción, ya sea en forma continua o discreta. Sale de los obje-
tivos de este libro tratar todos estos métodos en detalle y el lector interesado
puede consultar las referencias dadas al final de este capítulo.
La velocidad del motor de inducción varía ya sea (1) modificando la
velocidad síncrona del campo progresivo (2), cambiando el deslizamiento.
Dado que la eficiencia del motor de inducción es aproximadamente pro-
porcional a (1 - s), cualquier método de control de velocidad que dependa
de la variación del deslizamiento ineficiente inherentemente. Por otra par-
te, si es constante la frecuencia de alimentación, variar la velocidad mediante
cambios de la velocidad síncrona conduce sólo a cambios discretos en la
velocidad del motor. Se tratarán estos métodos de control de velocidad con
algún detalle.
6.9.1 Control de velocidad por cambios en la velocidad síncrona
Recuérdese que la velocidad síncrona ns del campo progresivo de una má-
quina de inducción rotatoria está dada por
fn = 120-s p
donde p es el número de polos y f = frecuencia de alimentación, lo que
indica que n2 puede modificarse ya sea (1) alterando el número de polos o
bien (2) cambiando la frecuencia f. Ambos métodos se utilizan, por lo que
aquí se consideran los detalles cualitativos pertinentes.
1. El método de modificación de polos. En este método, el devando de es-
tator del motor se diseña de tal manera que, modificando las conexiones
de las diversas bobinas (cuyas terminales se sacan), pueda cambiarse el
número de polos del devanado en la razón 2 a 1, con lo que resultan dos
velocidades síncronas. Se notará que sólo dos velocidades de operación

288. 286 Máquinas de inducción
son factibles. Si se dispone de más devanados independientes (por ejem-
plo, dos) -cada uno dispuesto para modificación de polos- pueden
obtenerse más velocidades síncronas (por ejemplo cuatro). Sin embargo,
sólo pueden alcanzarse cambios discretos en la velocidad del motor me-
diante esta técnica. El método tiene la ventaja de que es eficiente y
confiable, pues el motor tiene un rotor jaula de ardilla sin escobillas.
Otro método de modificación de polos es por medio de modula-
ción en amplitud de polo. Se tienen informes sobre motoresjauladeardi-
Ha con devanado simple que dan tres velocidades de operación. Otro
método, basado en cambio de polos, con tres o cinco velocidades, se
conoce como "cambio de polo modulado en fase". Como el método
más simple de cambio de polo, los de modulación de amplitud y de
cambio de polo modulado en fase, dan variaciones discretas en la veloci-
dad síncrona del motor.
2. El método de la frecuencia variable. Se insiste en señalar que la veJoci-
dad síncrona es directamente proporcional a la frecuencia. Si es factible
variar la frecuencia de alimentación, podrá también modificarse la ve-
locidad síncrona del motor, en forma continua o discreta, según la
forma de variación de aquélla. Sin embargo, el par máximo desarrolla-
do por el motor es inversamente proporcional a la velocidad síncrona.
Si se desea un par máximo constante, deben incrementarse el voltaje y
frecuencia de alimentación, si se quiere aumentar la velocidad síncrona
del motor. La dificultad inherente en la aplicación de este método 'es
que la frecuencia de alimentación de que se dispone por lo común, es
fija, por lo que el método sólo es aplicable cuando se disponga de ali-
mentación en frecuencia variable. Con el advenimiento de los disposi-
tivos de estado sólido, con capacidades de potencia comparativamente
grandes, es posible ahora usar inversores estáticos para impulsar al mo-
tor de inducción. En el capítulo 8 se estudia con algún detalle el control
par estado sólido de motores de inducción.
6.9.2 Control de velocidad por cambio en el deslizamiento
Se comprenderá mejor el método de control de velocidad de un motor de in-
ducción observando la figura 6.20. La curva punteada indica la característica
velocidad-par de la carga. Las curvas en líneas llenas son las caracteristi-
cas velocidad-par del motor de inducción bajo diversas condiciones (como
resistencias de rotor diferentes: r~, r~', r;" o voltajes de estator diferentes:
VI, V2 ). Se dispone así de cuatro curvas distintas de velocidad-par y, por
lo tanto, puede correr el motor en cualquiera de las cuatro velocidadesN¡,
N2 , N 3 YN4 para una carga dada. Obsérvese que a la derecha del par pico
se localiza la región de operación estable del motor. En la práctica, puede
cambiarse el deslizamiento del motor por uno cualquiera de los métodos
siguientes.

289. t
Control de velocidad en motores de inducción 287
Velocidad __
v, > V2
'í» Tí' > ,;"
Región de
operación estable
para una máquina
con voltaje de
estator VI Y
resistencia de
rotor r2'"
FIGURA 6.20 Control de velocidad cambiando el deslizamiento.
1. Método del voltaje de estator variable. Dado que el par electromágneti-
co es proporcional al cuadrado del voltaje aplicado, se obtienen diferen-
tes curvas par-velocidad para distintos voltajes aplicados al motor. Para
una resistencia de rotor r2 dada, se muestran dos curvas de este tipo
para dos voltajes aplicados VI y V2 ; así, el motor puede correr a veloci-
dades N 2 Ó N 4 • Si puede variarse continuamente el voltaje de VI a V2 ,
la velocidad del motor puede también variar así entre N 2 y N 4 para
una carga dada. Este método se aplica a los motores de inducción tipo
jaula y a los de rotor devanado.
2. Método de la resistencia variable del rotor. Este método se aplica úni-
camente al motor con rotor devanado. En la figura 6.20 se muestra el
efecto de insertar resistencias externas en el circuito de rotor para tres
diferentes resistencias de rotor r~, r~' y r~". Para la carga dada son po-
sibles tres velocidades de operación. Desde luego que para variación
continua de la resistencia de rotor, es posible la variación continua de
la velocidad.
3. Control mediante conmutación de estado sólido. Además del motor
impulsado por inversor, puede controlarse la velocidad de motor de
rotor devanado, insertando al inversor en el circuito de rotor, o contro-
lando el voltaje de estator por medio de dispositivos de conmutación

290. 288 Máquinas de inducción
de estado sólido, como rectificadores de silicio controlado (SCR o thy-
ristores). La salida del SCR que alimenta al motor se controla ajustando
su ángulo de disparo. El método para hacerlo es similar al de voltaje va-
riable delineado antes. No obstante, se ha encontrado que el control
mediante un SCR da un rango más amplio de operación y es más efi-
ciente que otrosmetodosde controlpor deslizamiento (ver capítulo 8).
4. Control de velocidad mediante máquinas auxiliares. Existen otros di-
versos esquemas para controlar la velocidad del motor de inducción.
Incluyen concatenación, el motor Schrage, el control Kramer, el Scher-
bius, etc., descritos con algún detalle en la referencias 1 y 4.
En síntesis, debe señalarse que el método para regular la velocidad de un
motor de inducción controlando su deslizamiento es básicamente ineficiente
y puede tener además otras desventajas. El método basado en el control
de la velocidad síncrona es eficiente, aunque difícil de llevar a la práctica,
especialmente con máquinas sin escobillas (o tipo jaula) para variación conti-
nua de velocidad. Por lo que se ve está aún por desarrollarse un método
eficiente, económico y satisfactorio para el control de velocidad en motores
sin escobillas.
6.10 ARRANQUE DE MOTORES DE INDUCCION
En el capítulo anterior se estudiaron las condiciones de arranque de un mo-
tor de c.c. Para el arranque de uno de inducción se aplican condiciones en
cierta manera semejantes. Para acelerar el motor desde reposo hasta la ve-
locidad de operación en régimen estacionario, la entrada de energía debe
ser mayor que la energía cinética del motor y carga, cuando menos en la
cantidad de las pérdidas totales. La corriente de entrada no debe ser excesi-
va para que se pueda cumplir lo anterior. Por ejemplo, no debe exceder
más de seis veces a la corriente en carga total. El par de arranque debe
ser alrededor de 1.5 veces el de carga total.
Considérese en primer término la limitación de corriente. Algunos de
los métodos comunes para limitar la corriente de estator en el arranque son:
1. Arranque con voltaje reducido. En el arranque, se aplica un voltaje re-
ducido al estator que se incrementa hasta el valor nominal cuando el
motor se encuentra en el 25% de su velocidad final. Este método tiene
la limitación evidente de requerir una fuente de voltaje variable y ade-
más el par de arranque cae sustancialmente. El llamado método Y-delta
de arranque es un caso de arranque en voltaje reducido. Si el estator
está normalmente conectado en delta, la reconexión a Y reduce el
voltaje de fase, generándose una corriente menor en el arranque. Por

291. Arranque de motores de inducción 289
FIGURA 6.21 Arranque Y-delta. Los conmutadores en W corresponden a la conexión
Y y en D a la delta.
ejemplo, durante el arranque, si la corriente de línea es alrededor de
cinco veces la corriente en carga total en un estator conectado en delta,
la corriente en la conexión Y será menor que dos veces el valor en carga
total. Sin embargo, al mismo tiempo, el par de arranque para una co-
nexión Y sería alrdedor de un tercio de su valor en conexión delta. La
ventaja del arranque Y-delta es que no es caro y sólo requiere un con-
mutador de tres polos (o tres polos simples) doble tiro (o conmutado-
res de este tipo), como se muestra en la figura 6.21.
2. Limitación de corriente por resistencia en serie. Se usan resistencias en
serie, introducidas en las tres líneas algunas veces para limitar la corriente
de arranque. Estas resistencias se cortocircuitan una vez que el motor
gana velocidad. Este método tiene la desventaja obvia de ser ineficiente,
a causa de las pérdidas adicionales en las resistencias externas.
T
n = ns Velocidad
FIGURA 6.22 Efecto de modificar la resistencia de rotor sobre el arranque de un mo-
tor con rotor devanado.

292. 290 Máquinas de inducción
Con referencia nuevamente al par de arranque, se señala otra vez que
depende de la resistencia de rotor, como se vio en la última sección.
De este modo, una resistencia de rotor alta, se traduce en un par de
arranque elevado. Por lo tanto, en un máquina con rotor devanado (ver
figura 6.22), puede usarse convenientemente la resistencia externa en el
circuito de rotor con un rotor de barra profunda, donde la profundidad de
la ranura es dos o tres veces más grande que su anchura (ver figura 6.23). Las
barras de rotor alojadas en ranuras profundas proporcionan una resistencia
efectiva alta y un par grande en el arranque. Bajo condiciones normales de
operación, con deslizamientos bajos, la resistencia del rotor, sin embargo,
llega a ser más baja y más alta la eficiencia. Esta característica de la resisten-
cia de barra de rotor es una consecuencia del efecto pelicular. En virtud de
este efecto, la corriente tiende a concentrarse en la cima de las barras
durante el arranque, cuando la frecuencia de las corrientes de rotor es alta.
En este punto, la frecuencia de las corrientes de rotor será la misma que la
de entrada de estator (por ejemplo, 60 Hz). En operación normal, la
frecuencia de las corrientes de rotor (= frecuencia de deslizamiento = 3
Hz en % 5 de deslizamiento y 60 Hz,es mucho menor. A este nivel de
operación, el efecto pelicular es despreciable, y la corriente se distribuye
casi uniformemente en toda la sección transversal de la barra.
El efecto peculiar se usa en forma alterna en un rotor de doble jaula
(figura 6.24), donde la jaula interior está profundamente alojada en el hierro
y tiene barras de baja resistencia. En el arranque, a causa del efecto pelicular,
domina la influencia de la jaula exterior produciéndose así un par elevado de
arranque. Mientras se acelara, la corriente penetra a profundidad total den-
tro de la jaula inferior -por no haber casi efecto pelicular- lo que da lugar
a una operación eficiente en régimen estacionario. Obsérvese que bajo con-
diciones de velocidad normal, ambas jaulas llevan corrientes, incrementando
así un poco la capacidad del motor.
6.11 MOTORES DE INDUCCION MONOFASICOS
En secciones anteriores se consideraron el motor de inducción polifásico
-preferentemente el trifásico- operando bajo condiciones balanceadas.
Consideremos ahora un motor de inducción trifásico corriendo con carga
ligera. Si se desconecta una de las líneas de alimentación, el motor conti-
núa corriendo, aunque a velocidad diferente. Una operación tal de un motor
de inducción trifásico puede considerarse como operación de un motor mo-
nofásico.
Considérese ahora el motor trifásico en reposo y alimentado por una
fuente monofásica. Obviamente, el motor no arrancará porque se tiene un
campo magnético pulsante en el entrehierro de aire, en vez de uno magné-

293. Motores de inducción monofásicos 291
(a) (b)
FIGURA 6.23 a) Ranuras abiertas. b) Ranuras parcialmente cerradas.
FIGURA 6.24 Forma de ranuras para un motor de doble jaula.
tico rotatorio, que es el que se requiere para la producción del par, como
se analizó antes. Se concluye así que un motor de inducción monofási-
co no arranca por sí mismo, pero que si se arranca por algún medio conti-
núa girando, lo que implica que para que arranque por sí mismo debe
dotársele de medios auxiliares de arranque. En una sección posterior se exa-
minarán los diferentes medios de arranque del motor de inducción mono-
fásico.
Sin considerar el mecanismo de arranque, la diferencia esencial entre
el motor de inducción trifásico y el monofásico radica en que éste tiene un
devanado de estator único que produce un campo de entrehierro de aire
estacionario en el espacio, pero alterno en el tiempo. El trifásico posee un
devanado de tres fases que produce un campo magnético rotatorio invariante
en el tiempo dentro del entrehierro de aire. El rotor del motor de induc-
ción monofásico es casi siempre de tipo jaula, semejante al de un polifásico.
La capacidad de un monofásico de las mismas dimensiones que uno trifási-
co es menor, como era de esperarse y por lo general se especifica como
motor de potencia fraccionaria. Los motores monofásicos se usan profun-
damente en utensilios del hogar, en ventiladores, etc.
6.11.1 Análisis de operación de motores de inducción monofásicos
De lo que se ha expuesto antes, se insistirá en señalar que el campo magné-
tico producido por el estatorde un motor monofásico es alterno en eltiempo.
El campo induce una corriente y, consecuentemente, una fmm en el cir-
cuito de rotor y gira con el rotor. Puede analizarse un motor de inducción
monofásico considerando las fmms, los flujos, voltajes inducidos (tanto por
rotación como por efecto de transformador) y las corrienteS' producidas
separadamente por el estator y por el rotor. Un método así conduce a la

294. 292 Máquinas de inducción
teoría de campo cruzado. Empero, es posible también analizar el motor
monofásico de una manera semejante a la que se utilizó para el polifásico.
Se insistirá en que este último opera sobre la base de la existencia de un
campo magnético rotatorio. Este método se funda en el concepto de que
un campo magnético alterno equivale a dos campos magnéticos rotatorios
que giran en direcciones opuestas. Cuando este concepto se expresa ma-
temáticamente, el campo alterno es de la forma
B(O, t) = Bm cos Osenwt (6.50)
La ecuación (6.50) puede entonces reescribirse como
1
+"2 Bmsen(wt+ O) (6.51 )
En (6.51), el primer término del segundo miembro es un campo mag-
nético progresivo y el segundo término corresponde a uno regresivo. La
teoría basada en una resolución de un campo magnético alterno en dos
campos rotatorios encontrados u opuestos se conoce como teoría del cam-
po de doble revolución. La dirección d.: rotación del campo progresivo se
supone coincidente con la del rotor. Df' esta manera, si el rotor gira a n rpm
y ns es la velocidad síncrona en rpm, f'i deslizamiento sr del rotor respecto
al campo rotatorio progresivo coincide con s, definido por (6.10), o sea:
ns-n n
s1 = s = - - = 1- -
ns ns
(6.52)
Pero el deslizamiento Sb del rotor respecto al flujo rotatorio regresivo lo
da
ns -( - n) n
Sb = = 1+ - = 2- s
ns ns
(6.53)
Se conoce de la operación de motores polifásicos que n < n., (6.52) corres-
ponde a operación motor y (6.53) denota la región de frenado. De este
modo, los dos pares resultantes tienen una influencia opuesta sobre el ro-
tor.
La relación de par para el motor de inducción polifásico es aplicable
a cada uno de los dos campos magnéticos rotatorios del monofásico. ASÍ,
el par resultante de un motor de inducción monofásico puede escribirse
como

295. Motores de inducción monofásicos 293
li (1-s) li (1-s)
T =----r -----r
e Wm S 2 Wm (2 - S) 2
(6.54)
Se observa ahora de (6.51) que la amplitud de los campos rotatorios es un
medio del flujo alterno. Las reactancias de fuga y magnetizante del motor
pueden así dividirse equitativamente para corresponder a los campos rotato-
rios progresivos y regresivo. En la figura 6.25a se muestra el circuito equi-
valente aproximado de un motor de inducción monofásico, basado en la
teoría de campo de doble revolución. En la 6.25b se muestran las caracte-
rísticas par-velocidad en forma cualitativa. El ejemplo que sigue ilustra la
utilidad de ese circuito.
Ejemplo 6.7
Con referencia a la figura 6.25a, las constantes de un motor monofásico de
1/4 hp, 230 V, cuatro polos, 60 Hz son: rl = 10.0 n, XI = 12.8 n = X2 Y
x m = 258.0 n. Para un voltaje aplicado de 210 V, con deslizamiento
del 3%, calcular: a) la corriente de entrada, b) el factor de potencia; e) la
potencia desarrollada; d) la potencia en la flecha (si las pérdidas mecánicas
son de 7 W) y e) la eficiencia (si las pérdidas en el hierro son de 35.5 W en
210 V).
Para el circuito dado y con los datos proporcionados, se tiene
0.5r2= 11.65 =194.16Q
S 2xO.03
0.5r2 11.65
2-s = 2(2-0.03) =2.96Q
jO.5xm = j129Q
y
jO.5x2=jO.5x, =j6.4Q
Para el circuito de campo progresivo
194.16Xj129 .
Zf= 194.16+jI29 =59.2+}86
y para el de campo regresivo
2.96Xj129
Zb= 2.96+jI29 ;;;;;;2.96
La impedancia total serie Ze es
Ze = Z, + Zf+ Zb =(10+jI2.8) + (59.2+j89) + 2.96= 124L 55°

296. 294 Máquinas de inducción
+
v
/,
/,_......
/
x,
O·5xm
(a)
~
C1I
n.
/'
/
/
(b)
0.5 r2
s
0.5 r2 (2 - s)
Par por campo
positivo
/ -
/ '
/
/
,/
----/" /" Par por campo
negativo
FIGURA 6.25 a) Circuito equivalente para un motor monofásico, basado en la
teoría del campo de revolución. b) Características par velocidad de un motor
de inducción monofásico, basadas en la teoría del campo de revolución.

297. Motores de inducción monofásicos 295
1. Corriente de entrada
V 210 o
/= Z = 124L550 = 1.7 L -55 A
e
2. F¡¡.ctor de potencia cos 55° = 0.573 (atraso)
3. Potencia desarrollada
(
0.5r2 0.5r2 )P = __ /2- __ /2 (l-s)
d s f 2-s b
ya que s = 0.03 (pequeño). Pero V, = /Z, = 1.7 (59.2 + j89) = 182 V Y
Vb = IZb = 1.7 X 2.96 = 5.04 V. O sea
(
1822 5.042
)
Pd = 194 - 2.96 (1-0.03)= 156 W
4. Potencia en la flecha Ps = Pd - Prot = 156 - 7 = 149 W
5. Potencia de entrada VI cos e = 210 X 1.7 X 0.573 = 204 W potencia
113.5
de salidaPs - Ph = 149 .. 35.5 = 113.5 W eficiencia - - = 55.6%.
204
6.11.2 Arranque de motores monofásicos
Se sabe ya que por carecer de campo magnético rotatorio, cuando el rotor
de un motor monofásico está en reposo, no es posible que arranque por sí
mismo. Los dos métodos para arrancar un motor monofásico son: intro-
ducir un conmutador y escobillas, como en un motor de repulsión, o bien
producir un campo rotatorio por medio de un devando auxiliar, como un
divisor de fase. A continuación se analizará este último método.
De la teoría del motor polifásico, se sabe que para tener un campo
magnético rotatorio debe disponerse de dos fmms cuando menos, desplaza-
da una de la otra en el espacio y con corrientes que difieran en fase temporal.
Así, en un motor monofásico, un devando de arranque en el estator se
toma como segunda fuente de fmm. La primera de ellas proviene del deva-
nado principal de estator. Enseguida se resumen los diversos métodos para
alcanzar los corrimientos en fases espacial y temporal entre las fmms de
devanado principal y de devanado de arranque.
1. Motores con fase dividida. En la figura 6.26a se representa esquemá-
ticamente este tipo de motor, donde el devanado principal tiene una re-

298. 296 Máquinas de inducción
sistencia relativamente baja y una alta reactancia. El devando de arranque,
sin embargo, posee una alta resistencia y una baja reactancia y tiene un in-
terruptor centrífugo, como se indica. El ángulo de fase O' entre las dos
corrientes I m e Is es de 30 a 45°. El par de arranque Ts lo da
(6.55)
donde K es una constante. Cuando el rotor alcanza una cierta velocidad
(alrededor del 75% de su velocidad final) entra en acción el interruptor
centrífugo y desconecta del circuito al devanado de arranque. La carac-
terística par-velocidad del motor con fase dividida es de la forma mostrada
en la figura 6.26b. Motores de este tipo se utilizan en, ventiladores, soplado-
res, etc. y se especifican para potencias hasta de 1/2 hp.
Es posible desarrollar un par de arranque fuerte por un motor con
fase dividida, insertando una resistencia en serie en el devando de arranque.
Un efecto en cierta manera similar puede obtenerse insertando una reac-
tancia inductiva en serie en el devando principal. Esta reactancia se corto-
circuita cuando el motor desarrolla su velocidad de operación.
2. Motores con capacitor de arranque. Es posible aumentar el ángu-
lo O' en (6.55) conectando en serie un condensador con el devanado de arran-
que, como se muestra en la figura 6.27, con lo que el motor desarrollará
un par de arranque elevado. Motores de este tipo no se limita a capacidades
de potencia fraccionarias, pudiendo alcanzar hasta 10 hp. En 100 V, un
motor de un caballo requiere un condensador de 400 J.l F, aproximadamen-
te, mientras que uno de 70 J.lF basta para un motor de 1/8 de caballo. Los
capacitores que se usan generalmente son electrolíticos de bajo costo y
pueden proporcionar un par de arranque que es casi cuatro veces el nominal.
s = 1 s = O
~ Deslizamiento
(a) (b)
FIGURA 6.26 a) Conexiones para un motor de fase dividida. b) Una característica
par-velocidad.

299. '""''"''"''1e
Devanado de
arranque
Rotor
tipo jaula
Motores de inducción monofásicos 297
principal
FIGURA 6.27 Un motor con capacitor de arranque.
Como se ilustra en la figura 6.27, el capacitar es simplemente una ayu-
da para el arranque y se desconecta por el interruptor centrífugo cuando
el motor alcanza una velocidad predeterminada. No obstante, algunos mo-
tores carecen del interruptor centrífugo; en éstos, se tienen el devanado
de arranque y el capacitar como elementos para operación permanente y
los capacitares son muchos menores. Por ejemplo, un motor de 100 V,
1/2 hp requiere una capacidad de 15 pF.
Una tercera clase de motores con capacitar emplea dos capacitares:
uno que se deja permanentemente en el circuito junto con el devanado de
arranque y el otro que se desconecta por el interruptor centrífugo. Estos
motores son, de hecho, motores de inducción bifásicos desbalanceados.
3. Motores de polo sombreado. Otro método para arrancar motores
de inducción monofásicos muy pequeños es mediante el uso de una banda
sombreante sobre los polos, como se muestra en la figura 6.28, donde el de-
vanado principal monofásico se arrolla también sobre los polos salientes.
La banda sombreante es simplemente una tira de cobre cortocircuitada
arrollada sobre una porción del polo. Un motor de este tipo se conoce
como motor de polo sombreado. El objeto de la banda sombreante es
retardar la parte del flujo que pasa por ella en relación al flujo que emerge
del resto de la cara del polo. De esta manera, el flujo en la parte sin som-
bra alcanza su máximo antes que el ubicado dentro de la parte con sombra.
Se tiene así un desplazamiento progresivo del flujo desde la dirección de
la parte sin sombra hacia la sombreada del polo, como se muestra en la
figura 6.28. El efecto del desplazamiento progresivo del flujo es semejante
al de un flujo rotatorio y a causa de ello la banda sombreante proporcio-
na un par de arranque. Los motores con polo sombreado son los menos

300. 298 Máquinas de inducción
+
v
Rotor tipo
jaula
Espira de
,.."........,- sombra
FIGURA 6.28 Un motor con polo sombreado.
costosos de los motores de caballos de potencia fraccionarios y se especi-
fican hasta 1/20 de hp.
En resumen, en este capítulo se estudiaron las características de ré-
gimen estacionario de motores de inducción polifásicos y monofásicos,
operando bajo condiciones balanceadas. En el capítulo 9 se tratan temas
adicionales relacionados con el motor de inducción, como su dinámica y
operaciones desbalanceadas. En el 8 se introducen el control con estado
sólido de motores de inducción.
Bibliografía
1. A. S. Langsdorf, Theory of Alternating Current Machinery, McGraw-Hill Book Com-
pany, Nueva York, 1955.
2. D.C. White, and H.H. Woodson, Electromechanical Energy Conversion, John Wiley
& Sons, Inc. Nueva York, 1959.
3. S. Seely, Electromechanical Energy Conversion, McGraw-Hill Book Company, Nue-
va York, 1962
4. A.F. Puchstein, T.C. Lloyd, and A.G. Conrad, Alternating-current Machines, Terce-
ra Edición, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1954.
Problemas
6.1. Un motor de inducción de cuatro polos, 60 Hz, corre en 1710 rpm. Calcular:
a) el deslizamiento por ciento, b) la frecuencia de las corrientes de rotor y c), la
velocidad de campo magnético rotatorio producido por i) el estator y ii) el ro-
tor, respecto al estator, en rpm y en radfseg.
6.2. Un motor de inducción con rotor devanado, de dos polos, 60 Hz, tiene 120 V
por fase en las terminales del estator. El voltaje inducido es de 3.81 V por fase.

301. Problemas 299
Si se supone que el estator y el rotor tienen iguales números efectivos de vueltas
por fase, calcular: a) la velocidad del motor y b), el deslizamiento.
6.3. Un motor de inducción tipo jaula está constituido por 42 barras, cada una con una
resistencia de 4.12 X 10-5
Ohms (incluyendo la resistencia de los dos anillos
terminales). El devanado de estator tiene los datos siguientes: seis polos, trifási-
co, 36 ranuras, 144 vueltas por fase, y un factor de devanado de 0.836. Calcular
la resistencia de rotor equivalente por fase que se refiera al estator.
6.4 La potencia que cruza el entrehierro de aire de un motor de inducción es de 24.3
kW. Si la potencia electromagnética desarrollada es 21.9 kW, ¿cuál es el desliza-
miento. La pérdida rotacional en este deslizamiento es 350 W. Calcular el par de
salida si la velocidad síncrona es de 3600 rpm.
6.5. Obtener una expresión para el deslizamiento, utilizando la figura 6.17a, en el que
el motor desarrolle el par máximo. Establecer una expresión para este par.
6.6. Un motor de inducción trifásico, 230 V, 60 Hz, de dos polos conectado en Y,
opera con un deslizamiento del 3% mientras toma una corriente de línea de 22 A.
La resistencia de estator y la reactancia de fuga por fase son 0.1 y 0.2 Ohms,
respectivamente. La reactancia de fuga del rotor es de 0.15 Ohms. Calcular: a)
la resistencia de rotor, b) la potencia que cruza el entrehierro de aire y e) la po-
tencia desarrollada. No considerar a X m •
6.7. Las constantes por fase de un motor de inducción, conectado en Y, trifásico,
cuatro polos 600 v, 60 Hz, con rotor devanado son:
r¡ = 0.75 n
r2 = 0.80n
X¡=X2 =2.0n
Xm =50.0n
No se consideren las pérdidas por núcleo. a) Calcular el deslizamiento para el que
tiene lugar el par máximo desarrollado, b) encontrar el valor del par máximo; e)
especificar el rango de velocidad para una operación estable del motor y d), cal-
cular el par de arranque y compararlo con el máximo.
6.8. Repetir las partes a) y b) del problema 6.7, considerando sólo el circuito de rotor.
Suponer r¡ = X¡ = O, en cuyo caso pueden tomarse 600 V como el voltaje de
línea aplicado al rotor.
6.9. Un motor conectado en Y, dos polos, 25 Hz, 440 V, tiene una reactancia magne-
tizante de 10.5 Ohms por fase y una reactancia de fuga de rotor de 0.12 Ohms
por fase. Usando sólo el circuito de rotor, determinar el deslizamiento para un par
electromagnético máximo y una resistencia de fuga de rotor por fase de a) 0.03
Ohms, b) 0.06 Ohms y e) 0.1 Ohms. De estos resultados, mostrar el efecto de la
resistencia de rotor sobre las características par-velocidad del motor. No tomar
en cuenta a rl Y XI'
6.10. Para el motor del problema 6.7, determinar el valor por fase de la resistencia que
deba conectarse en el circuito de rotor para obtener el par máximo del motor al
arrancar.
6.11. Esbozar cualitativamente las características par-velocidad de un motor de induc-
ción, comparándolas con las normales y mostrando los efectos de lo que sigue:
a) variación de la frecuencia, conservando constante el voltaje aplicado;
b) variación del voltaje aplicado, conservando constante la frecuencia.
6.12. Un motor de inducción, conectado en Y, de cuatro polos, 60 Hz, trifásico, 220

302. 300 Máquinas de inducción
V, tiene una resistencia de estator por fase de 0.25 Ohms. Las pruebas sin carga
y de rotor bloqueado dieron los datos que siguen para este motor:
voltaje de estator en prueba sin carga = 220 V
corriente de entrada =3.0 A
potencia de entrada = 600 W
pérdida por razonamiento y vendaval =300 W
Prueba de rotor bloqueado: voltaje de estator = 34.6 V
corriente de entrada = 15.0 A
potencia de entrada = 720 W
a) Obtener el circuito equivalente aproximado para la máquina.
b) Si la máquina opera como motor con un 5% de deslizamiento, calcular la po-
tencia desarrollada, el par desarrollado y la eficiencia.
e) Determinar el deslizamiento para el que ocurre el par máximo y calcular el
valor de éste.

303. Capítulo 7
Máquinas,
slncronas
Las máquinas síncronas se encuentran entre los tres tipos más cm J.u-
nes de máquinas eléctricas. Las otras dos, la máquina con conmutado' en
C.c. y la máquina de inducción polifásica, se consideraron en los capít 110s
precedentes. La mayor parte de la potencia eléctrica para el uso diario se
produce mediante geb.eradores síncronos polifásicos, que son las máquinas
eléctricas más grandes de una sola unidad que se fabrican. Por ejemplo, son
muy comunes los generadores síncronos de algunos centenares de mega-
volts-ampere (MVA) y se espera que en los próximos años se produzcan
algunos de miles de MVA. Estas máquinas se denominan síncronas porque
operan a velocidades y frecuencias constantes bajo régimen estacionario.
Como la mayoría de las máquinas rotatorias, una máquina síncrona es ca-
paz de operar como motor o como generador. No obstante, ya que muy
pocos impulsores industriales funcionan a velocidades fijas, rara vez en-
cuentran las máquinas síncronas aplicaciones como motores de impulsión,
en comparación con los motores de inducción o de c.c. Encuentran más
bien una amplia aplicación como generadores, algunos de ellos operan en
paralelo en estaciones de potencia, donde comparten la carga con cada uno
de los otros y, en un tiempo dado, alguno puede no soportar carga. En un
caso así, en lugar de apagarlo, se le permite "flotar" en la línea en calidad
de motor síncrono sin carga. En una sección posterior se analizará una ope-
ración de este tipo de un motor síncrono.
La operación de un generador síncrono se basa en la ley de Faraday
de inducción electromagnética, y funciona de una manera muy semejante
a uno de c.c., en el que la generación de fmms se realiza por el movimiento
relativo de conductores y flujo magnético. Sin embargo, es obvio que un
generador síncrono no posee un conmutador como el de c.c. Las dos par-
301

304. 302 Máquinas sI'ncronas
tes fundamentales de una máquina síncrona son la estructura de campo
magnético, con un devanado excitado con c.c., y la armadura, que frecuen-
temente cuenta con un devanado trifásico en el que se genera la fem alter-
na. Casi todas la máquina síncronas modernas tienen armaduras estacionarias
y estructuras de campo rotatorias. El devanado de c.c. en la estructura de
campo rotatoria se conecta a la fuente externa a través de anillos colectores
y escobillas (véase nuevamente en el capítulo 6 la construcción del motor
de inducción de tipo anillos colectores). Algunas estructuras de campo no
disponen de escobillas, sino más bien de excitación sin escobillas, median-
te diodos rotarorios. En algunos aspectos, el estator que lleva los devanados
de armadura es similar al de un motor de inducción polifásico, estudiado
en el último capítulo. En la sección siguiente se analizarán algunos de las
características de construcción de máquinas síncronas.
7.1 CARACTERISTICAS DE CONSTRUCCION DE MAQUINAS
SINCRONAS
Algunos de los factores que norman la construcción de la máquina síncro-
na son los siguientes:
1. Forma de excitación. La estructura de campo es por lo general el
miembro rotatorio de una máquina síncrona y se alimenta con un
devanado excitado con c.c. para producir el flujo magnético. La
excitación de c.c. puede proporcionarse mediante un generador de
c.c. autoexcitado que se monta en la misma flecha que el rotor de la
máquina síncrona. A este generador se le conoce como el excitador.
La corriente continua generada de esta manera alimenta al devanado
de campo delamáquina síncrona como se muestra en la figura 7.1. En
máquinas de baja velocidad con capacidades elevadas, como gene-
radores hidroeléctricos, el excitador puede noser autoexcitado, sino
que con excitador piloto, autoexcitado o con imán permanente se
activa al excitador (figura 7.7). Los problemas de mantenimiento
de generadores de c.c. directamente acoplados imponen limitacio-
nes a esta forma de excitación en capacidades de 100 MW.
Otra forma de excitación se obtiene con diodos de silicio y thyris-
tores, que no ofrecen problemas de excitación para máquinas sín-
cronas grandes. Los dos tipos de sistemas de excitación con estado
sólido son:
a) Sistemas estáticos con diodos estacionarios o thyristores, en los
que se alimenta la corriente al rotor a través de anillos colectores.
b) Sistemas sin escobillas, con rectificadores montados en flecha y
que giran con el rotor, evitando así la necesidad de escobillas
y anillos colectores. La figura 7.2 muestra un sistema de excita-
ción sin escobillas.

305. Construcción de máquinas síncronas 303
FIGURA 7.1 Vista en corte de una máquina síncrona de polos salientes (Cor-
tesía de General Electric Company).
2. Estructura de campo y velocidad de máquina. Se mencionó ya que
la máquina síncrona es una máquina de velocidad constante. Esta
velocidad ns ' conocida como velocidad síncrona, la da (6.9). Se
repite en seguida esta ecuación por convenir así:
1201
n=--
s p (7.1)
De esta manera, una máquina síncrona de dos polos, 60 Hz, debe
girar a 3600 rpm, mientras la velocidad síncrona de una de 12 po-
los, 60 Hz, es de sólo 600 rpm. La estructura de campo de rotor
depende entonces de la velocidad de la máquina. Así, los turboge-
neradores, que son máquinas de alta velocidad, tienen rotores re-
dondos o cilíndricos (ver figuras 7.3 Y 7.4). Los generadores
hidroeléctricos y díeseleléctricos son máquinas de baja velocidad
y tienen rotores de polos salientes, como se ve en las figuras 7.5 y
7.6. Estos rotores son menos costosos en su fabricación que los

306. 304 Máquinas síncronas
FIGURA 7.2 Rotor de un generador síncrono sin escobillas, de 3360 kVA Y
6 kV.
Flujo de campo
Devanado de campo
FIGURA 7.3 Devanado de campo en un rotor redondo.

307. Construcción de máquinas síncronas 305
FIGURA 7.4 Rotor a turbina con enfriamiento de agua directo, durante el
montaje de los conductores huecos de amortiguamiento.
Flujo de campo
Devanado de campo
FIGURA 7.5 Devanado de campo en un rotor con salientes.

308. umas s(ncrolUlS306 Máq .
FIGURA 7MVA .6 Rotor de, 13.8 kA (Corte' polos salientes deSla de B una m' .rown Boveri compan;~uma síncrona de 152.5

309. Construcción de máquinas s{ncronas 307
redondos. Los de polos salientes no son adecuados en máquinas de
alta velocidad, a causa de las fuerzas centrífugas excesivas y esfuer-
zos mecánicos elevados que desarrollan en velocidades del orden
de las 3600 rpm.
Otro aspecto en la construcción de una máquina síncrona pro-
cede del montaje del rotor. Por ejemplo, una máquinaimpulsada por
turbina con rotor redondo (figura 7.4) o una impulsora con diesel
con rotor saliente (figura 7.1) tiene un rotor montado horizontal-
mente. Una máquina impulsada con rodete de agua (figura 7.7) tie-
ne invariablemente un rotor de polo saliente, montado en forma
vertical.
3. Estator. El estator de una máquina síncrona es semejante al de un
motor de inducción polifásico (ver figura 7.8). No hay, esencial-
mente, diferencia entre el estator de una máquina de rotor redondo
y uno de máquina con rotor saliente. Los estatores de los genera-
dores hidroeléctricos, tienen, no obstante, por lo general una ar-
madura de diámetro grande en comparación con otros tipos de
generadores (figura 7.9). El núcleo de estator está formado por
paquetes en laminados de alta calidad, con devanados imbricados
alojados en ranuras.
4. Enfriamiento. Puesto que las máquinas síncronas se construyen en
dimensiones extremadamente grandes, se diseñan para portar co-
rrientes sumamente altas. Una densidad de corriente de armadura
típica puede ser del orden de 10 A/mm en una máquina de buen
diseño. Además, la carga magnética del núcleo es tal que se satura
en muchas regiones. Las cargas eléctrica y magnética severas en una
máquina síncrona producen calor, que debe disiparse convenien-
temente. De esta manera, la forma en que las partes activas de una
máquina se enfrían, determina su estructura física global. Además
de aire, algunos de los refrigerantes usados en máquinas síncronas
incluyen agua, hidrógeno y helio. La figura 7.4 muestra un rotor
a turbina con enfriamiento directo con agua, durante el montaje
de los conductores huecos de amortiguamiento. En la 7.9 se mues-
tra la disposición de enfriamiento del estator de un generador a
turbina.
5. Barras de amortiguamiento. Hasta aquí sólo se ha hecho referencia
a dos devanados de una máquina síncrona: el de armadura trifásico
y el de campo, Se indicó, asimismo que en régimen estacionario,
opera la máquina a velocidad constante, a la síncrona precisamente.
No obstante, como cualquier otra máquina eléctrica, la síncrona ex-
perimenta transitorios durante el arranque y bajo condiciones anor-
males. Durante los transitorios, el rotor puede soportar oscilaciones
mecánicas y su velocidad se aparta de la síncrona, lo que constituye
un fenómeno indeseable.Para contrarrestar estefenómeno,se monta

310. 308 Máquinas s{ncronas
FIGURA 7.7 Montaje de un rotor de un generador hidroeléctrico (Cortesía
de Brown Boveri Company).

311. Construcción de máquinas síncronas 309
FIGURA 7.8 Proceso de montaje de conductoresen las ranuras de un medio
estator de una máquina síncrona (Cortesía de Brown Boveri Company).

312. 310 Máquinas slncronas
FIGURA 7.9 Región de devanado terminal de un generador a turbina (Cor.
tesÍa de Brown Boveri Company).

313. Principio de operación 311
en el rotor un conjunto adicional de devanados que semejan lajaula
de un motor de inducción. A este conjunto se le llama devanado
amortiguador y se ilustra en las figuras 7.1,7.4 y 7.6. Cuando la ve-
locidad del rotor difiere de la síncrona, se inducen ,;orrientes en el
devanado de amortiguamiento, que actúa como el rotor de jaula
del motor de inducción, produciendo un par que restaura la velo-
cidad síncrona. Además,las barrasde amortiguamientoproporcionan
un medio de arrancar la máquina como motor síncrono, que de
otra manera no sería de arranque propio.
En resumen, las figuras 7.1 a 7.9 muestran los diversos aspectos estruc-
turales de diferentes tipos de máquinas síncronas. En principio, la máqui-
na tiene tres devanados eléctricos: la armadura, el campo y el amortiguador,
localizados en el estrator yen el rotor, como se ilustra en la figura 7.1. En
la sección que sigue se inicia el estudio de una máquina síncrona en su for-
ma más simple.
7.2 PRINCIPIO DE OPERACION
Se mencionó antes que una máquina síncrona es capaz de operar como mo-
tor generador. En esta sección se considerarán los aspectos cualitativos de la
acción de una máquina síncrona,.primeramente como motor yen seguida
como generador.
7.2.1 Operación de un motor síncrono
De la discusión de la sección 7.1, se observa que hay semejanza entre el ro-
tor de polo saliente de una máquina síncrona y el de Uno de reluctancia,
discutido en el capítulo 4. De esta manera, de los principios de almacena-
miento y conversión de energía desarrollados en el capítulo 4, puede mos-
trarse cómo una máquina síncrona polifásica opera en calidad de motor. Se
demostró en el último capítulo que una excitación trifásica, como la que
se encuentra en el estator de un motor de inducción, da lugar a un campo
magnético rotatorio en el entrehierro de aire de la máquina. Con referen-
cia a la figura 7.l0a, se tendrá un campo magnético rotatorio en el entre-
hierro de aire de una máquina de polo saliente cuando sus devanados de
estator (o de armadura) se alimentan de una fuente trifásica. El rotor ten-
drá entonces siempre una tendencia a alinearse con el campo, con el objeto
de ofrecer la trayectoria de menor reluctancia. Así, si el campo gira, el ro-
tor tenderá a girar con él. En la figura 7.10b se ve que un rotor redondo
no tenderá a seguir al campo magnético rotatorio, pues el entrehierro de
aire uniforme ofrece la misma reluctancia en todo su alrededor y el rotor
no tiene ninguna dirección de preferencia para alinearse con el campo magné-
tico. Este par, que se tiene en la figura 7.10a pero no en la 7.l0b, se de-

314. 312 Máquinas síncronas
Eje rotor
(a)
(b)
Eje de la fase a
+----t---
FIGURA 7.10 a) Un motor síncrono trifásico con rotor de polos salientes.
b) Un motor síncrono trifásico con rotor redondo.
nomina par de reluctancia. Está presente en virtud de la variación de la
reluctancia alrededor de la periferia de la máquina.
Considérese en seguida que el devanado de campo (figura 7.10a o b)
se alimenta con una fuente de c.c. que produce un campo magnético de
rotor con polaridades definidas. Por el principio de alineamiento de cam-
pos (capítulo 4), se concluye que cuando se excita el rotor, tiende a ali-
nearse con el campo de estator y tenderá a girar con el campo magnético
rotatorio. Se observa que para un rotor excitado, tanto un rotor saliente

315. Principio de operación 3 13
como uno redondo tenderán a girar con el campo magnético rotatorio,
aunque el primero tendrá un par de reluctancia adicional en virtud de la
protuberancia. En una sección posterior, se establecerán expresiones para
el par electromagnético en una máquina síncrona, atribuible a la excitación
de campo y a la protuberancia.
Hasta este punto se ha indicado el mecanismo para producir par en
una máquina de rotor redondo y en una de protuberancia. Para recapitular,
puede decirse que el campo magnético rotatorio de estator tiene una ten-
dencia a "arrastrar" consigo al rotor, como si un polo norte en el estator
"se ligara" con uno sur en el rotor. Empero, si el rotor está en reposo, los
polos de estator tenderán a hacer que el rotor gire en una dirección y
en seguida en la otra, al girar ellos y barrer a través de los polos del rotor.
Por consiguiente, un motor síncrono no arranca por sí mismo. En la prác-
tica, como se mencionó antes, el rotor lleva barras amortiguadoras que
actúan como la jaula en un motor de inducción, proporcionando con ello
un par de arranque. Una vez que arranca el rotor, alcanzando casi la veloci-
dad síncrona, se orienta en posición con los polos de estator. El rotor se
empareja con el campo magnético rotatorio y gira con la velocidad síncro-
na, dejando de operar las barras de amortiguamiento. Cualquier diferencia
con la velocidad síncrona se traduce en corrientes inducidas en las barras
de amortiguamiento, que tienden a restaurar la velocidad síncrona. Las
máquinas que carecen de estas barras o máquinas muy grandes que sí las
tienen, pueden arrancarse mediante un motor auxiliar. Se discutirán poste-
riormente las características de un motor síncrono, aunque primeramente
se analizará la operación de una máquina síncrona accionando como gene-
rador.
7.2.2 Operación de un generador síncrono
Como el generador de c.c., un generador síncrono funciona en base de la
ley de Faraday. Si el flujo que eslabona a la bobina cambia en el tiempo,
se induce en ella un voltaje. Dicho de otra manera, un voltaje se induce en
un conductor si corta líneas de flujo magnético. Considerando la máquina
que se muestra en la figura 7.l0a sin tomar en cuenta los efectos de distri-
buciones de devanado, (es decir, se consideran bobinas concentradas para
cada fase), se encuentra que la distribución de densidad de flujo en el en-
trehierro de aire, producida por el devanado de campo, es
(7.2)
El flujo que eslabona una bobina de N vueltas, de radio r y longitud axial
se calcula como sigue:
f
'TT/2
eslabonamiento de flujo por polo = A=N B(O)/rdO
-'TT/2
(7.3)

316. 314 Máquinas slncronas
Las (7.2) Y (7.3) dan
(7.4)
De la figura 7.10a es obvio que cuando a = 0, A. es máxima y nula para a
=O. El valor de A. para cualquier posición a de rotor es, de (7.4),
(7.5)
El voltaje inducido en la bobina de N vueltas, correspondiente a la fase a, en
nuestro caso se obtiene de la ley de Faraday y de acuerdo con (7.5), da
v = - dA = _ dA da =2NB /rwsena
a dI da dI m
(7.6)
donde da/dt = w, es la velocidad del rotor. Además, puede ponerse a =
wt y 2Bm Ir = ifl en (7.6) para obtener la forma final para el voltaje, como
(7.7)
donde Vm = W N ifl. La conclusión evidente es que para una distribución
de densidad de flujo sinusoidal producida por el devanado de campo en el
rotor, el voltaje inducido en la fase "a" es sinusoidal y su frecuencia! =21T
/w depende de la velocidad de rotor.
Se considerará en seguida la máquina de rotor redondo de la figura
7.10, donde la distribución de densidad de flujo producido por la fmm de
rotor en el entrehierro de aire es uniforme. De acuerdo con la regla del
"corte de flujo", el voltaje inducido en la bobina de N vueltas es, para un
instante dado,
Va = B/Ui. (7.8)
donde U1, B YI son mutuamente perpendiculares. La velocidad lineal U se
relaciona con la angular mediante U =rw y, según la figura 7.1Ob, su com-
ponente vertical es U1 = U sen a. Sustituyendo estas expresiones en (7.7)
con a =wt, se obtiene
(7.9)
lo que implica también una generación de voltaje sinusoidal en la fase a.
Puesto que las fases b y e están desplazadas de la a en 120
0
, pueden escri-
birse los voltajes correspondientes como
(7.10)

317. Algunas consideraciones prácticas 315
(7.11)
En la figura 7.11 se representan gráficamente las expresiones anteriores.
7.3 ALGUNAS CONSIDERACIONES PRACTICAS
Antes de considerar los métodos de análisis usuados en máquinas síncronas
que llevan a la determinación de sus características operacionales, se revi-
sarán algunas de las suposiciones hechas o involucradas en las discusiones
anteriores. En primer lugar, al obtener la ecuación de voltaje en la sección
7.2.2 se representó un devanado de fase por una bobina de N vueltas. En
realidad, no es esto válido, como se analizó en el capítulo 6. Se insiste, de
la sección 6.1, que un devanado de fase está distribuido alrededor de la pe-
riferia del estator. El paso de bobina del devanado es una fracción del paso
polar, lo que significa que el devanado puede tener un paso fraccionario. Pa-
ra tener en cuenta la distribución de devanado y el paso fraccionario, se
utiliza el factor de devanado Kw <1, dado por
C·12)
mediante el cual se reduce el voltaje en una bobina de paso completo y
concentrada de N vueltas. En (7.12), Kd es el factor de distribución y Kp
es el de paso, definidos en la sección 6.1. Al distribuir un devanado de fase
en las ranuras alrededor del estator, la distribución resultante de fmm se
diseña teóricamente para aproximarse a una sinusoide tanto como sea po-
sible. No obstante, en la realidad un devanado de armadura contiene armó-
nicas, como indica la representación en serie de Fourier de la distribución
de fmm. Para mayores detalles, véanse las referencias 2 y 3.
En segundo lugar, para una máquina con polo saliente, se supuso una
distribución de flujo sinusoidal en el entrehierro de aire. Esta es una supo-
sición ideal nuevamente; en la práctica, la distribución de campo es no
sinusoidal y se aproxima a la forma mostrada en la figura 7.12b. Sin consi-
derar la reluctancia de la porción de hierro del circuito magnético, se en-
cuentra que la permeancia de cada tubo de flujo es proporcional a la razón
entre su sección transversal media y su longitud media. Así, la distribu-
ción de permeancia se conoce alrededor de la periferia del estator. Conocida
la distribución de fmm, puede obtenerse la distribución de densidad de
flujo.
En tercero, hasta este punto de dis.cusiones no se ha hecho ninguna
consideración acerca de la presencia de ranuras y dientes. De las figuras
7.13 a y b, es evidente que hay una variación de permeancia para el flujo
de entrehierro de aire a causa de las ranuras y dientes, que dará lugar a
que la forma de campo contenga fluctuaciones o rizos, como se muestra

318. Voltaje
inducido
FIGURA 7.11 Voltaje trifásico producido por un generador síncrono trifásico.
Estator
o
Rotor
---
(a)
Posición a lo largo del estator
(b)
FIGURA 7.12 a) Distribución espacial de campo: líneas de flujo; líneas equi-
potenciales. b) Distribución de densidad de flujo.
316

319. (a)
(b)
Armadura
(e)
Algunas consideraciones prácticas 3 17
Polo de campo
ranuras del
<'/ estator
;//
Ondulaciones en
la densidad de
flujo originadas
FIGURA 7.13 a) Distribución espacial de densidad de flujo cerca de las puntas
de dientes. b) Variación de permeancia a lo largo de la superficie de armadura.
e) Distorsión en la distribución espacial de flujo originada por las ranuras de
armadura.

320. 318 Máquinas síncronas
l.lnea de entrehierro de aire
c:
Q)
Q)
.~
"'O
>
t
_ _ Corriente de campo
Curva de
saturación
FIGURA 7.14 Características en circuito abierto de una máquina síncroná.
en la figura 7.13c, llamados rizos de diente. Estos rizos crean armónicas
en las fems inducidas, de frecuencias superiores a los 60 Hz, (por ejemplo
de 875 Hz). Las frecuencias, a su vez, originan ruido magnético. Un diseño
adecuado, como disponer de un número grande de ranuras con aberturas
pequeñas comparadas con el entrehierro de aire, o de ranuras oblicuas, o
bien, con un número de ranuras múltiplo no entero del número de polos,
reduce los rizos de diente en un máquina síncrona. En la figura 7.14 se
muestra, finalmente, el efecto de saturación sobre el voltaje en circuito
abierto.
7.4 CARACTERISTICAS DE OPERACION DE MAQUINASSINCRONAS
Se examinarán ahora algunas de las características de operación en régimen
estacionario de las máquinas síncronas desde un punto de vista cuantitati-
vo. Se considerará, por convenir así, la operación generador independien-
temente de la motor. Los detalles del método de análisis para la máquina
con rotor redondo diferirán en cierta maneradel procedimientopara una con
polo saliente. En cualquier caso, el análisis necesita de los parámetros de
máquina, que deben identificarse antes de proceder con los pormenores
analíticos.
Puesto que por ahora sólo se analiza el comportamiento en estado es-
tacionario de la máquina, no será necesario tomar en cuenta las constantes
de circuito del campo y de los devanados amortiguadores. La presencia del
devanado de campo se denotará con el flujo producido por la excitación
de campo. Respecto al devanado de armadura, se le representará sobre una

321. Conexión terminal
Conductor
activo
Caracterlsticas de operación de máquinas slncronas 319
Flujo de
dispersión en
la conexión
terminal
Flujos de dispersión en ranuras
FIGURA 7.15 a) Trayectoria de flujo de fuga en la conexión terminal.b) Tra-
yectorias de flujo de fuga en ranuras.
base por fase (como se hizo con el motor de inducción en el capítulo 6).
Desde luego que este devanado posee resistencia, aunque el valor óhmico
de ella debe incluir los efectos de la temperatura de operación y de las co-
rrientes alternas que fluyen en los conductores de armadura (que dan lugar,
por ejemplo, al efecto pelicular), por lo que el valor de la resistencia de ar-
madura se hace mayor en comparación a su resistencia en c.c. A este valor
mayor se le conoce como resistencia efectiva y se le denota con ra' Como
valor aproximado de esta ra se toma 1.6 veces el valor de la resistencia c.c.
Se consideran en seguida las reactancias asociadas al devanado de ar-
madura. En primer término, a la de fuga la originan los flujos de fuga que
eslabonan sólo a los conductores de armadura, en virtud de las corrientes
en ellos. Estos flujos no eslabonan con el devanado de campo. Como en el
motor de inducción, se divide, por conveniencia, esa reactancia de fuga en:
a) reactancia de fuga por conexión terminal; b) reactancia de fuga por ra-
nura; c) reactancia de fuga por zig-zag de punta de diente y d) reactancia
de fuga por cinturón. No todas estas componentes tienen importancia en
cualquier máquina síncrona; en la mayoría de las grandes máquinas las dos
últimas representan una parte pequeña de la reactancia de fuga total.

322. 320 Máquinas sincronas
En las figuras 7.15 a y b se muestran las trayectorias de flujo que con-
tribuyen a las reactancias por conexión terminal y por ranura. Con Xa se
denota la reactancia de fuga total del devanado de armadura por fase. Para
proceder con el análisis, considérese en primer término un generador sÍn-
crono con rotor redondo. Se introducirá además el concepto de rectancia
síncrona, el parámetro de mayor importancia para determinar las caracte-
rísticas en régimen estacionario de una máquina síncrona.
7.4.1 Operación de un generador síncrono de rotor redondo
Para iniciar, se desea puntualizar que se estudiará la máquina sobre una ba-
se por fase, implicando operación balanceada. De este modo, considérese
una máquina con rotor redondo operando como generador sin carga. Sea Vo
el voltaje de fase en circuito abierto para una cierta corriente Ir de campo.
Aquí, Vo es el voltaje interno del generador. Se supone que If es de tal
magnitud que la máquina opera bajo condición nO saturada. En seguida,
cortocircuítese la armadura en las terminales, conservando sin modificar
el valor If de la corrriente de campo y mídase la corriente de fase la de
armadura. En este caso, el voltaje interno total Vo cae a través de la im-
pedancia interna de la máquina. Matemáticamente
(7.13)
y Zs es la llamada impedancia síncrona. Una parte de Zs es 'a y la otra
la reactancia Xs ' conocida como reactancia síncrona; es decir,
Zs= ra+jX, (7.14)
En (7.14) X s es mayor que la reactancia de fuga de armadura analizada
con anterioridad. ¿De dónde proviene la reactancia adicional? En la dis"
. cusión que sigue se intentará responder esta pregunta.
Supóngase que el generador suministre una corriente de fase la a una
carga con factor de potencia unidad y con un voltaje terminal Vt voltjfase.
Esta relación se muestra en el diagrama fasoríal de la figura 7.16 donde Va
es la suma fasorial de Vt y la caída debida a la resistencia de armadura y
a la reactancia de fuga de armadura. Nótese que se tienen ahora dos fmms:
Fa' atribuible a la corriente de armadura y Ff a la corriente de campo pre-
sente en la máquina. Para encontrar la fmm Fr que produce el voltaje Va'
véase en la figura 7.17 la característica en circuito abierto del generador,
que muestra la Fr correspondiente a Va' El flujo producido por una fmm
está en fase con ella. De acuerdo con la ley e =-N dcjJjdt, el voltaje produ-
cido por un cierto flujo está, no obstante, atrasado en 90° respecto a la fmm.
Por consiguiente, se traza Fr 90° adelante de Va y Fa en fase con la' como
se ilustra en la figura 7.16. La fmm Fn se conoce como fmm de ,eacción

323. Características de operación de máquinas síncronas 321
de armadura. El campo debe suministrar una fmm suficiente para sobrepa-
sar a Fa' de tal suerte que se disponga de una Fr neta para producir a Va'
A causa de Fa' se traza a partir de Fr, una componente igual y opuesta Fa
de la fmm de campo, como se muestra en la figura 7.16. El fasor Ff es en-
tonces la fmm de campo total en la máquina. Correspondiente a esta fmm,
el voltaje en circuito abierto del generador es Vo ' dado por la figura 7.17.
Este voltaje se conoce como fem inducida nominal y se muestra también en
la figura 7.16. De la geometría del diagrama de fasores, puede verse con fa-
cilidad que los triángulos OST y OQR son semejantes. Se observa también
que QR es perpendicular a OP y que debe pasar por P, pues OP = Vt +la
ra • De esta manera, QRP es una línea continua y se tendrá
(7.15)
donde Xs ' reactancia síncrona, concuerda con las definiciones (7.12) Y
(7.13). La reactancia adicional, aunada a la Xa (figura 7.16), se introduce
por la reacción de armadura. Por lo tanto, la reactancia síncrona es la su-
ma de la reactancia de fuga de armadura y la reactancia de reacción de
armadura.
En una máquina síncrona real, excepto en las sumamente pequeñas,
se tiene siempre X. » ra Xs « ra, en cuyo caso Zs === jX•. Esta restric-
ción se usará en la mayor parte del análisis. Entre las características de ré-
gimen estacionario de un generador síncrono, las más importantes son las
de regulación de voltaje y de ángulo de potencia. Como se hizo para un
transformador y un generador de c.c., se define aquí la regulación de vol-
taje de un generador síncrono para una carga dada, como
regulación de voltaje en % =
v-vo IX 100
VI
(7.16)
FIGURA 7.16 Diagrama fasorial para un generador con rotor redondo con
factor de potencia unidad (para definir X.)

324. 322 Móquinas síncronos
o
3!
u
::l
"O
oS
.,
¡
o
>
t
V. 1------61'
~Fmm
FIGURA 7.17 Características en circuito abierto de un generador síncrono.
donde Vt es el voltaje terminal con carga y Vo es el terminal sin ella. Obvia-
mente, para un Vt dado, puede encontrarse Vo de (7.14) y de aquí la regu-
lación de voltaje, como se ilustra en el ejemplo que sigue.
Ejemplo 7.1
Calcular la regulación de voltaje en % para un turboalternador trifásico,
conectado en Y de 2500 kVA, 6600 V, operando en carga total y con un
factor de potencia de 0.8 en atraso. La reactancia síncrona por fase y la
resistencia de armadura son lOA y 0.0071 Ohms, respectivamente.
Es obvio que se tiene X s »ra' En la figura 7.18a se muestra el dia-
grama fasorial para el factor de potencia en atraso, no considerando el efec-
to de ra' Los valores numéricos son las siguientes
De (7.14),
y
6600
~= -- =3810 volt
V3
1 = 2500 x 1000 =218.7 A
a V3 x6600
Vo=381O+218.7(0.8 - jO.6)jlO.4= 5485 L 19.30
1 ., d 1t' 5485-3810 100 4407
regu aClon e vo aje en % = 3810 x = 10

325. Características de operación de máquinas síncronas 323
Ejemplo 7.2
Repetir los cálculos anteriores con el mismo factor de potencia, pero en
adelanto.
En este caso, se tiene el diagrama de fasores de la figura 7.18b, del que
se obtiene
Vo= 3810+ 218.7(0.8 +jO.6)jlO.4 = 3048 L 36.6°
y
1 ., d lt' 3048-3810 X 100 2001
regu aClOn e vo aje en % = 3810 =- 70
Se observa de los dos últimos ejemplos que la regulación de voltaje
depende del factor de potencia en la carga. A diferencia de lo que acontece
en un generador de c.c., la regulación de voltaje para un generador síncrono
puede áun llegar a ser negativa. El ángulo entre Vo y Vt se define como 8,
ángulo de potencia. Para justificar esta definición, reconsideremos la figura
7.18b, de la cual se tiene
(7.17)
De (7.16) Y(7.17),
(7.18)
que muestra que la potencia interna de la máquina es proporcional a sen &.
De la ecuación (7.18) se dice a menudo que representa la característica de
ángulo de potencia de una máquina síncrona.
I ......"'"a "'......
il.X.~X.
~:::""....--I.._-----"-¡I Vt V
t
I
/
I
I
......... /
..........-J
(a)
(h)
FIGURA 7.18 Diagramas fasoriales. a) Factor de poetencia en atraso. b) Factor
de potencia en adelanto.

326. 324 Máquinas s(ncronas
7.4.2 Operación de un motor síncrono con rotor redondo
Salvo para ciertos cálculos de precisión, puede despreciarse la resistencia de
armadura en comparación con la reactancia síncrona. Es por esta razón que
el circuito equivalente por fase en régimen estacionario de una máquina
síncrona se reduce al que se muestra en la figura 7.19a. Nótese que este cir-
cuito es similar al de una máquina de c.c., donde se ha sustituido la resis-
tencia de armadura en c.c. por la reactancia síncrona. En la figura 7.19a se
indica el voltaje terminal Vt , el voltaje Vo de excitación interna y la corrien-
te la de armadura "penetrando" a la máquina o "emergiendo" de ella,
dependiendo del modo de operación: "penetrando" para motor y "emer-
giendo" para generador. Con la ayuda de este circuito y (7.18), se estudia-
rán algunas de las características de operación en régimen estacionario para
un motor síncrono. En la 7.19b se muestran las características de ángulo
de potencia, dadas por (7.18). Aquí, la potencia y la opositivas implican
la operación generador, mientras que una (j negativa corresponde a la ope-
ración motor. Como oes el ángulo entre Vo y Vt , Vo adelante a Vt en un
generador, mientras que en un motor Vt adelante a Vo ' La ecuación de
balance en voltaje en un motor es
(7.19)
Si el motor opera en potencia constante, (7.17) y (7.18) requieren
que
(7.20)
Se insiste en que Vo depende de la corriente de campo Ir' Considé-
rense dos casos: 1) Ir se ajusta de tal suerte que Vo < Vt y la máquina está
subexcitada; 2) Ir se incrementa hasta un valor para el cual Vo > Vt y la
máquina llega a sobreexcitarse. En la figura 7.20a se muestran las relaciones
1
Motor
a-x,
------~~~-------+
+
---¡;;- Generador
v,
(a)
-Motor
Potencia
--- Generador
(h)
FIGURA 7.19 a) Un circuito equivalente aproximado. b) Características de
ángulo de potencia de una máquina síncrona.

327. Caracteristicas de operación de máquinas síncronas 325
/"
"
"
"
(a)
(b)
,
v,
FIGURA 7.20 a) Diagramafasorial para la operación motor. (V'o. ¡'a. ep' yo')
corresponden a operación subexcitada. (V"o. ¡"a. ep" y o") corresponden a
operación sobreexcitada. b) Curvas V de un motor síncrono.
voltaje-corriente para los dos casos. Para Vo > Vt en potencia constante, o
es mayor que la opara Vo < V p de acuerdo con (7.20). Obsérvese que un
motor subexcitado opera en un factor de potencia en atraso (la está atra-
sada respecto a Vt ), mientras que uno sobreexcitado opera con un factor
de potencia en adelanto. En ambos casos, el voltaje terminal y la carga en
el motor son los mismos. De este modo, se observa que el factor de poten-
cia operante del motor se controla variando la excitación de campo y,
consecuentemente, alterando a Vo ' Esta es una propiedad sumamente im-
portante de los motores síncronos. En la figura 7.20a se muestra también

328. 326 Máquinas síncronas
el lugar de la corriente de armadura en carga constante, de acuerdo con
(7.20). De aquí pueden obtenerse las variaciones de corriente la de arma-
dura con la de campo 1f (correspondiente a Vo ) y esto puede hacerse para
diferentes cargas, como se ilustra en la figura 7.20b. Estas curvas se cono-
cen como las curvas V del motor síncrono. Una de las aplicaciones de un
motor síncrono es la corrección del factor de potencia, como se muestra
en ejemplo siguiente.
Ejemplo 7.3
Una carga trifásica, conectada en Y, absorbe una corriente de 50 A en un
factor de potencia de 0.707 en atraso, con 220 V entre líneas. Un motor
síncrono, trifásico, conectado en Y con rotor redondo y con reactancia
síncrona de 1.27 Ohms por fase, se conecta en paralelo con la carga. La
potencia desarrollada por el motor es de 33 kW en un ángulo de potencia
de 30° . Sin considerar la resistencia de armadura, calcular: a) los kVA reac-
tivos del motor y b) el factor de potencia global del motor y la carga.
En la figura 7.21 se muestran el circuito y el diagrama fasorial, sobre
base por fase. De (7.18), se tiene
+
Vt
Motor
(a)
,,/
"
,
.
1 ,
v,
FIGURA 7.21 a) Diagrama de circuito. b) Diagrama de fasores.

329. Características de operación de máquinas síncronas 327
1 220 Vo o
Pd ="3 x33,000= V3 1.278 sm30
lo que da Vo =220 V. Del diagrama fasorial, laXs =127 o la =127/1.27
= 100 A Yl/>a = 30°. Los kVA reactivos del motor =ftVla =
=..j3 X 220 X 100 sen 30° =19 kVAr.
1000
El ángulo l/> de factor de potencia global lo da
de donde l/> = 7° Ycos l/> = 0.992 en adelanto.
7.4.3 Máquinas síncronas de polos salientes
En lo anterior, se analizó la máquina con rotor redondo y se utilizó amplia-
mente el parámetro de máquina que se definió como reactancia síncrona.
En virtud de la protuberancia, la reactancia medida en las terminales de una
máquina con rotor saliente variará en función de la posición de roto~, lo
que no sucede en la de rotor redondo (ver también el capítulo 4: Motor
de reluctancia).
Para superar esta dificultad, usamos la teoría de dos reacciones, pro-
puesta por André Blendel (ver también la sección 9.5). La teoría propone
descomponer las fmms de armadura dadas en dos componentes mutuamen-
te perpendiculares, una a lo largo del eje del polo saliente de rotor, conoci-
do como eje directo (o eje d) Y la otra en cuadratura, conocida como eje
de cuadratura (o eje q). La componente de fmm Fd' según el eje d, puede
ser magnetizante o desmagnetizante y la Fq , a lo largo del eje q, se traduce
en un efecto magnetizante cruzado. Así, si la amplitud de la fmm de arma-
dura es Fa' entonces
(7.21)
y
(7.22)
donde 1/1 es el ángulo de fase entre la corriente la de armadura y el voltaje
interno Vo (o de excitación). En términos de distribución espacial, se
muestra en la figura 7.22 las fmms y 1/1. Los efectos de Fd YFq se manifies-
tan en la producción de voltajes. En vía de ilustración, considérese un ge-
nerador de polo saliente, con un voltaje terminal alimentando a una carga

330. 328 Máquinas slncronas
Eje - d Eje-q
FIGURA 7.22 Fmm de armadura y sus componentes d y q.
con factor de potencia en atraso (cos cp ) y absorbiendo una corriente de
fase la' De acuerdo con la condición de operación (corriente de campo da-
da), se conoce también el voltaje Vo sin carga a partir. de las características
correspondientes. Estas características (Vt • VOl la y (J ) se muestran en la
figura 7.23. Para construir este diagrama, se toma a Vo como fasor de refe-
rencia y se desprecia la resistencia de armadura. Ahora, con carga en virtud
de la sola reacción de armadura, Vo se reducirá a Va' en función de Vd y
Vq , originados por Fd y Fq , respectivamente. De Va se obtiene V t restan-
do la caída de reactancia de fuga en armadura laXa' Si no se toma en cuenta
a Va' puede afirmarse que la diferencia entre Vo y V t es atribuible a la
reactancia de reacción de armadura y a la fuga de armadura; es decir, a
la reactancia síncrona. Puede resolverse la en sus componentes a lo largo
de los ejes d y q: Id e Iq , respectivamente, del mismo modo que la caída
IaXs mostrada en la figura 7.23 como Id Xd e Iq X q . Se completa así el dia-
grama fasorial (ver el ejemplo siguiente). Pueden darse interpretaciones fí-
sicas a las reactancias Xd y Xq ; a saber, las reactancias de eje directo y de
eje de cuadratura y los valores máximo y mínimo de la reactancia síncrona
de una máquina de polos salientes respectivamente. Estas reactancias pue-
den medirse experimentalmente como se verá en una sección posterior. Las
discusiones precedentes son válidas sobre una base por fase para una má-
quina balanceada. Con el ejemplo que sigue se mostrarán los detalles de al-
gunos de los cálculos.
Ejemplo 7.4
Un generador síncrono de polos salientes trifásico, conectado en Y, de 20
kVA, 220 V Y 60 Hz, alimenta una carga nominal en un factor de potencia
de 0.707 en atraso. Las constantes por fase de la máquina son ra =0.05 n
y Xd =2 X g =4.0 n. Calcular la regulación de voltaje para la carga especi-
ficada.

331. Caracteristicas de operación de máquinas sincronas 329
FIGURA 7.23 Diagrama fasorial de una máquina de polos salieI)tes
V¡ = 220 = 127 volt
v'3
1 = 20,000 = 52.5 A.
a v'3 x220
</>=cos-10.707=45°
De la figura 7.23, se tiene
o bien
o sea
Id = Iasen(S+cp)
Iq=Iacos(S+cp)
V/senS = IqXq= IaXq cos(S+ cp)
52.5x2xO.707 =037
127 + 52.5 X 2 X 0.707 .
S=20.6°
Id =52.5sen(20.6 +45) =47.5 A.
IdXq=47.5 x4= 190.0 V
Vo=V/cosS+IdXd
= 127cos20.6+ 190=308

332. 330 Máquinas síncro1llls
La regulación de voltaje en %
v.-v.= oV. / X 100%
/
El ejemplo anterior muestra la manera en que el diagrama de fasores
de la figura 7.23 puede emplearse para determinar la regulación de voltaje de
un generador síncrono de polo saliente. De hecho, el diagrama fasorial
describe las características de operación completas de la máquina. Por
ejemplo, para obtener las características del ángulo de potencia de una má-
quina de polo saliente, operando como generador o como motor, véase la
figura 7.23. De esta figura, se tiene, despreciando a ra y las pérdidas internas,
potencia de salida = V,Iacos«/>=potencia desarrollada =Pd (7.23)
y
Además,
IqXq= V,sen8
IdXd = Vo- V¡ cosl)
Id =l,pen(8+«/»
Iq = la cos(8-«/»
Sustituyendo (7.25) en (7.24) y resolviendo para la cos <p se obtiene
Vo V¡ V/
la cos«/> = ysen8+ 2X sen28- 2X sen28
d q d
Finalmente, la sustitución de (7.26) y (7.23) da
(7.24)
(7.25)
(7.26)
(7.27)
Esta variación de la potencia desarrollada Pd , en función del ángulo de po-
tencia 5 se muestra en la figura 7.24. Obsérvese que la potencia resultante
se forma con la potencia debida a la protuberancia -el segundo término
en (7.27) y la que origina la excitación de campo- el primer término en
:(7.27). Obviamente, cuando Xd =Xg , la máquina carece de protuberancia
y sólo el primer término en (7.27) es diferente de cero, lo que representa

333. Transitorios en máquinas síncronas 331
/ Potencia debida a la excltacl6n
' de campo. VtVo sen 8
Xd
Potencia debida a la
V?saliente, -2 (....!.... - ...1..) sen 28
Xq Xd
).,/
----~~--~~--~~--~----~-----8
-Motor Generador
FIGURA 7.24 Características de ángulo de potencia de una máquina de po-
los salientes.
la característica de ángulo de potencia en una máquina con rotor redondo.
Por otra parte, si no hubiera excitación de campo, lo que conduciría a Vo
= 0, se anularía el primer término de (7.27). Se tendrían entonces las ca-
racterísticas de ángulo de potencia de una máquina de reluctancia, dadas
por el segundo término, descutidas también en el capítulo 4. Como en una
máquina con rotor redondo discutida con antelación, las características
de ángulo de potencia dadas por (7.27) corresponden tanto a la operación
motor como a la generador. El término & es positivo para el último y nega-
tivo para el primero.
7.5 TRANSITORIOS EN MAQUINAS SINCRONAS
En las secciones precedentes se concentró la atención sobre el comporta-
miento en régimen estacionario de las máquinas síncronas. En esta sección
se verán sucintamente algunos casos que involucran transitorios en máqui-
nas síncronas. Son de particular interés a) el cortocirucito repentino en
las terminales de armadura de un generador síncrono y b) los transitorios
mecánicos originados por un cambio súbito en la carga de la máquina. Hay
otros casos numerosos que presentan transitorios en máquinas síncronas,
pero que no se considerarán aquí.
Se sabe, de consideracionesanteriores, que puede determinarse la ope-
ración de una máquina si se conocen sus parámetros para una determinada
condición. Por ejemplo, se han expresado ya las características de ángulo

334. ~• I
332 Máquinas síncronas
de potencia en régimen estacionario de una máquina síncrona de polos sa-
lientes en términos de las reactancias de ejes d y q. En forma semejante, las
constantes mediante las cuales se conoce el comportamiento transitorio de
una máquina síncrona, son las reactancias transitorias y subtransitorias y
las constantes de tiempo pertinentes. Estas cantidades se definen en la
subsección que sigue, refiriéndolas al estudio de un cortorcircuito de arma-
dura.
7.5.1 Cortocircuito repentino en las terminales de armadura
Al principio no se suposo saturación y se despreciaron las resistencias de
todos los devanados: de armadura, de campo y de amortiguamiento. De
esta manera, sólo permanecieron las inductancias, implicando que el flu-
jo que eslabonaba con un circuito cerrado (o armadura) no variara instan-
táneamente, de acuerdo con el teorema de eslabonamiento de flujo cons-
tante. Dicho de otro modo, la suma de los eslabonamientos de flujo era
constante para cada devanado. Con estas suposiciones en mente, considé-
rese una máquina de rotor redondo (figura 7.25) Y obsérvese la fase a y el
devanado de campo. Sea If la corriente de campo para t =O. Con anterio-
ridad a t =O, se supone abierta laa armadura. En t =O, el devanado de ar-
madura se cortocircuita súbitamente, cuando el eje de fmm de la fase
a se encuentra en ángulo recto con el del devanado de campo. Esto tiene
lugar de tal suerte que no nay acoplamiento mutuo entre los devanados. Es
obvio que en t =Oel flujo Aa que eslabona con la armadura es cero. Empe-
ro, el que eslabona con el devanado de campo Af =L/f , donde Lf es la in-
ductancia de devanado de campo. Se puede separar a Lf de tal manera que
(7.28)
donde L¡ es la inductancia de fuga de campo y Lad es la mutua entre
los devanados de campo y de armadura. Así, Lad corresponde también a la
reactancia de reacción de armadura. Puede reescribirse df usando (7.28)
como
(7.29)
donde 7 f =LdLad es el coeficiente de fuga de campo.
Transcurrido un tiempo t, supóngase que el rotor gira un ángulo e(ver
figura 7.25) en cuyo caso ia e ir + Ir fluirán a través de 1.os devanados de
campo y armadura, para mantener los eslabonamientos de flujo con estos
devanados. Por lo tanto, para el devanado de armadura se tiene
(7.30)

335. Transitorios en máquinas sincronas 333
IEje del campo
I
Eje de la fase a
FIGURA 7.25 Máquina trifásica de rotor redondo (sólo la fase a y el devana-
do de campo llevan corrientes).
donde 7 a =X¡/wLad es el coeficiente de fuga de armadura. De igual m me-
ra, para el devanado de campo, se tiene
A¡= (~+ /¡)LaA1+ 7¡) + iaLadsenO
=/¡LaAl +7¡)
Al resolver (7.30) y (7.31) para ia e ir se obtiene
. [(1 + 7¡)senO] /¡
1=
a sen20-(1+7a )(1+7¡)
. (sert-O)/¡
I¡= - sen20- (1 + 7
0
)(1 + 7¡)
(7.31)
(7.32)
(7.33)
Los valores máximos de estas corrientes tienen lugar en e = 1rJ2. En este
caso, se tiene
(7.34)
/
(i) = ¡
f máx 7 + (1 - 7 )7o o ¡
(7.35)
...

336. 334 Máquinas slncronas
Al multiplicar el numerador de (7.34) por wLad se obtiene
(7.36)
donde Vo =W Lad 1f es elvoltaje inducido (interno), X f =W Lad rf es la reac-
tancia de fuga del campo y XI = wLad -ra es la reactancia de fuga de arma-
dura. El circuito que corresponde a (7.36) se muestra en la figura 7.26 Y
la reactancia de entrada de este circuito es la reactancia transitoria X'd de
eje directo.
En seguida, para incluir los efectos de los devanados de amortiguamien-
to en el eje directo, observamos que el efe<;:to de devanado no se distingue
en impacto del de devanado de campo, salvo por la corriente que llevan.
Así, en el eje d, se tienen ahora en paralelo los devanados de armadura, de
campo y de amortiguamiento, como se muestra en la figura 7.27, donde
xD d es la reactancia de fuga de devanado. De esta figura, se tiene la reac-
tancia subtransitoria dada por
(7.37)
donde
XI
XJ-- X{
XI
Xi-
FIGURA 7.27 Circuito equivalente para la reactancia subtransitoria.

337. Transitorios en máquinas síncronas 335
Una vez definidas X'd para tomar en consideración el devanado de cam-
po y x"d para indicar el efecto del devanado de amortiguación, se puede
ahora tener presentes las diversas resistencias al determinar la corriente de
cortocircuito en la armadura. Obtener una solución explícita de esa co-
rriente, incluyendo los efectos de X'd y X"d' es una tarea sumamente labo-
riosa y se sale de los alcances de este libro. Sin embargo, puede llegarse a
algunas conclusiones útiles e importantes acerca de la forma de onda de co-
rriente transitoria mediante el razonamiento que sigue. Se supone que tiene
lugar un cortocircuito repentino en las terminales de armadura cuando la
corriente de régimen estacionaria pasa por cero, en cuyo caso la forma de
onda de corriente será como la mostrada en la figura 7.28. Aquí la razón
de descenso de los picos consecutivos la determina la constante de tiem-
po de los devanados. La corriente decae con el transcurso del tiempo en
virtud de existir resistencias. El devanado de amortiguamiento posee la
constante de tiempo más pequeña. De esta manera, la corriente máxima es
Vo /X"d. El efecto del amortiguador perdura sólo durante los primeros ci-
clos. En seguida, X'd determina la corriente máxima, de valor Vo !X'd. Fi-
nalmente, X d limita la corriente de régimen estacionario.
En la tabla 7.1 se dan valores típicos por unidad de diversas reactan-
cias de máquinas síncronas.
Tabla 7.1 Reactancias de máquina síncrona por unidad
Reactancia Máquina con rotor redondo Máquina con polos salientes
1.0 to 1.25
0.65 to 0.80
0.35 to 0.40
0.20 to 0.30
0.20 to 0.3
1.0 to 1.2
0.15 to 0.25
0.10 to 0.15
0.10 to 0.15
En esta tabla, los valores por unidad se basan en las especificaciones de
máquina.
7.5.2 Transitorios mecánicos.
La ecuación mecánica de movimiento de la máquina síncrona es
(7.38)
donde Te es el par desarrollado por la máquina, Tm es el par aplicado ex-
ternamente; J es el momento de inercia del sistema en rotación (incluyendo
la ~arga o móvil principal) y b es el coeficiente de rozamiento, incluyen-
do el amortiguamiento eléctrico.

338. 336 Máquinas sincronas
~
Vo/x~
Envolvente de
la corriente
1~~;~-~++++~~HHHH+t44++++----~
~er:do--+--Estado
"'"/~P-e-rf-Od-O-----:;:;~--transitOrlo permanente
su btran sltorlo
FIGURA 7.28 Gráfica de corrientes de armadura versus tiempo en un gene-
rador cortocircuitado.
Por vía de ilustración, considérese una máquina de rotor cilíndrico de
dos polos y supóngase que es pequeña la frecuencia de la oscilación mecá-
nica, de tal suerte que pueden usarse las características de ángulo de potencia
en régimen estacionario. Nótese que este análisis es solamente aproximado.
La potencia por fase desarrollada por la máquina la da
VoY¡
Pd = ---y-sen8
s
(7.39)
que representa también el par eléctrico a una escala diferente Con Llo. °m'
Ll Te Y Ll Tm se representarán los cambios sufridos por e T y T res-m' e rn'
pectivamente, originados por un cambio de carga brusco, de tal manera
que (7.39) se hace
(7.40)
El cambio en el par eléctrico es, de (7.39)
(7.41)
donde w m es la velocidad mecánica del rotor y coincide con la síncrona
en régimen permanente. En (7.41), para voltajes constantes, sólo varía sen
o para cambios en la carga. Para variaciones pequeñas, Ll(sen o) ~ LlO. Ade-
más, Llem ::::: LlO; el número de polos es dos. Por lo tanto, (7.41) se hace

339. Transitorios en máquinas síncronas 337
(7.42)
Se ve de la figura 7.24 que .l Te es negativo para la operación generador, así
que en (7.42), ke =- (Va VdwmXs)' De (7.40) y (7.42), se tiene
(7.43)
que es una ecuación diferencial lineal de segundo orden en términos de o,
ángulo de potencia. Si se compara esta ecuación con la ecuación diferencial
de segundo orden de un sistema mecánico, se observa que la frecuencia na-
tural de oscilación y la razón de amortiguamiento son, respectivamente,
(ver capítulo 4):
w =' {K:
n VJ (7.44)
K= b
2VK}
(7.45)
Ejemplo 7.5
Una máquina con rotor cilíndrico, de 30 hp, 220 V, trafásica, conectada
en Y, 60 Hz y 3600 rpm, alcanza su velocidad nominal, sin carga, median-
te un motor auxiliar y se conecta en seguida repentinamente a una fuente
trifásica de 220 V, en la secuencia de fase adecuada. Analizar los transito-
rios mecánicos a partir de los siguientes datos:
reactancia síncrona/fase = 2 Ohms
voltaje de excitación Va de (7.39) = 150 V/fase
momento de inercia de las partes rotatorias =1.5 unidades MKS
par b de amortiguamiento de (7.40) =12 Nw-m/rad/seg
Si se denota .lo con o', se encuentra que la ecuación de movimiento
es, de (7.43),
Jd
2
8' +b d8' +K 8'=0
dt2 dt e
(7.46)
En (7.46), Ke se conoce como par sincronizante. Para operación motor,
Ke (para la máquina trifásica) se obtiene de
(7.47)

340. 338 Máquinas slncronas
Para la máquina dada, Vo = 150 V, Vt =2201 y'3 =127 V, Xs =2.0 n y
wm = 120 1r rad/seg. Sustituyendo estas expresiones en (7.47), se obtiene
K = 150x 127x3 =756 N- / d
e 120'lTx2 m ra
La ecuación (7.46) se hace, consecuentemente,
(1.5p2+ 12p+756)8'=0
De (7.44) Y (7.45) y (7.48) se tendrá
.. fi56Wn'= VTI =22.5 rad/s
~= 12 =0.178
2V756X 1.5
(7.48)
En ciclos por segundo, la frecuencia natural de oscilación se obtiene de
o sea
J, = W
n
= 22.5 =3.6 e/s
n 2'17 2'17
Para la mayoría de las máquinas,
0.2<fn<2
~;;:;0.2
Si se conocen ~ y w n , puede obtenerse el comportamiento mecánico de la
ecuación
(7.49)
donde
(7.50)
y l)'.. es el ángulo de potencia en régimen estacionario.Obsérvese que (7.49)
es la solución de (7.46) para ~ <1.

341. Determinación de las reactancias de máquina 339
7.6 DETERMINACION DE LAS REACTANCIAS DE MAQUINA
La reactancia síncronaXs de una máquina con rotor cilíndrico puede obte-
nerse a partir de pruebas en circuito abierto y en cortocircuito de la má-
quina. En la figura 7.29 se muestran las curvas de saturación en circuito
abierto y la corriente de armadura en régimen estacionario, sobre una base
por fase. Para una corriente de campo de 2 A, la corriente en cortocircuito
es de 25 A, mientras que el voltaje en circuito abierto es de 57 V. En con-
secuencia, la impedancia síncrona es 57/25 =2.48 il. Sin considerar la re-
sistencia de armadura, Zs ~ Xs =AC/BC =2.48. Como se indica en la figura
7.29, Xs varía con la saturación.
Para la máquina con polos salientes menester que se conozcan Xd y
X q • El significado físico de estas reactancias se analizó antes, señalándose
que eran los valores máximo y mínimo de la reactancia de armadura, res-
pectivamente para diferentes posiciones de rotor. Estas reactancias se de-
terminan con la prueba de deslizamiento, en la que se excita la máquina
con una fuente trifásica (para una máquina trifásica) y se impulsa mecá-
nicamente a una velocidad que difiera ligeramente de la síncrona. El
devanado de campo queda sin excitación y en circuito abierto. Se toman
100
t~ 75
tU
'f-
5c.
U>
!:
o
.?
~ 50
tU
o
C
'¡¡;
~
::J
-g
E25
tU
Q)
'O
Q)
~
o
>
Linea del entreh ierro
de aire
sin carga
.ª::J
.g
100 o
S
5o
cQ)
~
::J
'O
50 E
:o
Q)
'O
ScQ)
';:
O~------~~------~--------~------~O
(;
u
O 4 6
Corriente de campo(A) -
FIGURA 7.29 Datos experimentales para determinar X•.

342. 340 Máquinas síncronas
los oscilogramas de la corriente de armadura y de los voltajes de armadura
y de campo inducido. En la figura 7.30 se muestran estas magnitudes. La
razón de la corriente máxima de armadura a la mínima de la razón Xd /Xq •
Por ejemplo, del diagrama, se encuentra que Xd /Xq =1.6. Si se conoce Xd
de las pruebas de circuito abierto y cortocircuito descritas antes para la
máquina con rotor cilíndrico, puede calcularse X q • Existen otros métodos
para la determinación de estas reactancias y el lector particularmente inte-
resado en ellos puede consultar las referencias 2 y 3.
Las reactancias transitorias y subtransitorias x'd y x"d se determinan
registrando las corrientes trifásicas al aplicar un cortocircuito a la máquina
cuando gira sin carga a la velocidad de régimen. Por lo general, las corrien-
tes en las diversas fases no son simétricas respecto al eje de los tiempos. No
obstante, pueden determinarse X'd y X"d 1) por eliminación de la compo-
nente de c.c. y 2) de un oscilograma como el de la figura 7.28.
--......- ------
---'...... ¡ --t'---..,.'" ....._-+-," .......-I
I
I
Envolvente del
voltaje de armadura
Corriente
de armadura
--++~~4-+-~r1-+~;-T-~~-t-+iH--------~t
Envolvente
FIGURA 7.30 Oscilogramas de la prueba de deslizamiento.

343. Motores slncronos pequeños 341
7.7 MOTORES SINCRONOS PEQUEÑOS
Se han supuesto, hasta este punto, que las máquinas síncronas trifásicas es-
tudiadas son de grandes dimensiones (del orden de varios centenares de kW
o aún mayores), pues se han considerado en función de posibles aplica-
ciones a sistemas de potencia eléctrica. Sin embargo, hay numerosas apli-
caciones que requieren motores síncronos de capacidades pequeñas (esto
es, de hp fracionarios). Más a menudo, este tipo de motores se diseña para
operar con una alimentación monofásica y no requiere una excitación de
c.c. o el uso de imán permanente. Desde este punto de vista, el motor sÍn-
crono de caballaje fraccionario difiere considerablemente de su contrapar-
tida trifásica, que posee una capacidad relativamente grande. Los dos tipos
de motores ¡¡íncronos pequeños son el motor de reluctancia y el de histé-
resiso Estos motores se emplean en relojes, cronómetros, tornamesas, etc.
7.7.1 El motor de reluctancia
En cierta medida se está familiarizado con el motor de reluctancia, como
puede recordarse del ejemplo 4.2. Se conoce que el par en este motor es
semejante al que resulta por la protuberacia en un motor síncrono de po-
los salientes. Puede también recordarse que el par, promediado en el tiem-
po, de un motor de reluctancia, sólo difiere de cero en una velocidad
correspondiente una frecuencia dada y que las características de ángulo de
potencia del motor se analizaron en el ejemplo 4.2.
Un motor de reluctancia arranca como uno de inducción, aunque ope-
ra normalmente como uno síncrono. El estator de un motor de reluctancia
es semejante al de uno de inducción (monofásico o trifásico). Así, para
arrancar un motor monofásico, puede emplearse cualquiera de los métodos
discutidos en la sección 6.11. Un motor de reluctancia trifásico arranca por
sí mismo cuando se inicia como uno de inducción. Después de arrancar, pa-
ra acelerarlo hasta su velocidad de régimen y en seguida operarlo como uno
síncrono, el motor trifásico debe tener una resistencia de rotor pequeña. En
la figura 7.31 se muestra una construccióntípica de un rotor de cuatro polos.
Aquí, el aluminio en las ranuras y en los espacios donde se removieron
los dientes, sirve como rotor de un motor de inducción para el arranque.
7.7.2 El motor de histéresis
Como el motor de reluctancia, el de histéresis no tiene excitación en c.c.,
aunque sí difiere de aquél en que no posee rotor con protuberancia. En lu-
gar de rotor, lleva un anillo de material magnético especial, como cromo,
acero o cobalto, montado en un cilindro de aluminio o de algún otro ma-
terial no magnético, como se indica en la figura 7.32. Su estator se aseme-
ja al de uno de inducción y se arranca como éste.

344. 342 Máquinas síncronas
Dientes y ranuras de una horadación
(dibujado~ exageradamente)
FIGURA 7.31 Rotor de un motor de reluctancia
~nillo de histéreris
~ A,bol"o m,,"''''o
FIGURA 7.32 Rotor de un motor de histéresis
Con el objeto de comprender la operación del motor de histéresis,
pueden considerarse las pérdidas por histéresis y por corrientes de torbelli-
no en el rotor. Se observa que, como en uno de inducción, el rotor tiene
una cierta resistencia equivalente. La potencia disipada en esta resistencia
determina el par electromagnético desarrollado por el motor, como se dis-
cutió en el capítulo 6. Puede concluirse que el par electromagnético desa-
rrollado por un motor de histéresis tiene dos componentes: una por las
pérdidas por corrientes de torbellino y la otra por las de histéresis. Se sabe
que las pérdidas por corrientes de torbellino pueden expresarse como
(7.51)
donde Ke es una constante; f2 es la frectlencia de las corrientes de torbe-
llino y B es la densidad de flujo. En términos del deslizamiento s, la fre-
cuencia f2 de rotor se relaciona con la ti de estator mediante
12=s11
Así, (7.51) Y (7.52) dan
El par Te se relaciona con Pe por (ver capítulo 6)
T =.!!..e SW
s
(7.52)
(7.53)
(7.54)

345. Motores sincronos pequeños 343
(a) (b)
i o~------------~--
'-- Velocidad síncrona- - - Velocidad
(e)
FIGURA 7.33 a) Rotor de hierro sin histéresis en un campo magnético. b) Un
rotor con histéresis en un campo magnético. e) Característicasde par de un mo-
tor con histéresis.
de tal suerte que (7.53) y (7.54) dan
Te=K's
donde K 1
=Ke f2 • B 2
/w. es una constante.
En seguida, para la pérdida por histéresis, se tiene
y para el par correspondiente se obtiene
donde K" =Kh f l Bl. 6 /ws es una constante.
(7.55)
(7.56)
(7.57)
Obsérvese que la componente Te, dada por (7.55), es proporcional al

346. 344 Máquinas síncronas
deslizamiento y decrece en la medida que el rotor adquiere velocidad. Even-
tualmente es cero a la velocidad síncrona. Esta componente ayuda en el
arranque del motor. La segunda componente Tn , dada por (7.57), per-
manece constante en todas las velocidades de rotor y es el único par cuan-
do el rotor alcanza la velocidad síncrona. La base física de este par es el
fenómeno de histéresis, que ocasiona un retraso del eje magnético del rotor
respecto al del estator. En las figuras 7.33a y b, respectivamente, la ausen-
cia y la presencia de histéresis se muestran medidas por el corrimiento del
eje magnético del rotor. El ángulo de atraso, mostrado en la figura 7.33b,
hace que el par se produzca por histéresis. Como se dijo arriba, este par no
depende de la velocidad del rotor (mostrada en la figura 7.33c) hasta que
se presenta el corte de par.
Bibliografía
1. V. J. Vickers, "Recent trends in turbogenerators," IEE-Reviews, Proceedings of the
lEE Vol. 121 No. llR, Nueva York, Noviembre 1974, páginas 1273-1306.
2. A. S. Langsdorf, Theory of Alternating Current Machinery, McGraw-Hill Book Com-
pany, Nueva York, 1955.
3. M. Liwschitz-Garik C. C. Whipple, AlternatingCurrent Machines, Reinhold Company,
Nueva York, Van Nostrand, 1961.
Problemas
7.1 Un generadór síncrono en 60 Hz alimenta a un motor de inducción de ocho polos,
que corre con un deslizamiento del 2%. ¿Cuál es la velocidad el motor? ¿A qué ve·
locidad debe correr el generador si tuviera a) dos polos? y b) si tuviera seis polos?
7.2 La distribución de densidad de flujo producida por la fmm de campo de una má·
quina síncrona con rotor saliente de dos polos es sinusoidal, con amplitud de 0.75
Tesla. Si el rotor corre a 3600 rpm, calcular la frecuencia y la amplitud del voltaje
inducido en una bobina de 150 vueltas sobre la armadura. La longitud axial de la
armadura es de 12 cm y su diámetro interior es de 10 cm.
7.3 El devanado de campo de una máquina síncrona de dos polos se excita con una
fuente de c.a., de tal suerte que la distribución de densidad de flujo es B(e, t) =
Bm cos Wl t cos e. La armadura tiene un diámetro de 2r y lontitud l. Obtener una,¡.
expresión para el voltaje inducido en una bobina de N vueltas soble la armadura,
si el rotor (o campo) gira a w2 rad/seg. Estudiar el caso especial en que Wl =w2
=w.
7.4 Un motor síncrono de rotor redondo, conectado en Y, 30 kVA y 230 V, opera a
carga completa con un factor de potencia en adelanto de 0.707. Una carga induc-
tiva trifásica, conectada en Y, con impedancia 4 +j3 Ohms por fase, se conecta
en paralelo con el motor. Calcular a) el factor de potencia global para el motor y

347. Problemas 345
la carga inductiva b) la potencia activa y reactiva para (i) el motor y (ii) la carga y
e) la corriente de línea para la combinación de motor y carga inductiva.
7.5 En el texto se obtuvo una expresión para las características de ángulo de potencia
de una máquina síncrona de rotor redondo, sin considerar la resistencia de arma-
dura. Si el valor de ésta es 'a' establecer la expresión modificada para las caracte-
rísticas de ángulo de potencia de la máquina.
7.6 Trazar el diagrama fasorial de un generador síncrono de polos salientes que alimen-
ta a una carga con un factor de potencia en adelanto. De este diagrama, obtener
una expresión para el ángulo Ó de potencia en función de las constantes Xd y X q
de máquina, de la corriente de armadura la y del ángulo 1>del factor de potencia.
No considerar la resistencia de armadura.
7.7 Un generador síncrono de polos salientes, está conectado en Y y opera en 220 V
(línea a línea) y en un ángulo de potencia de 30°. Las constantes de máquina por
fase son Xd =5 n, X q =3 n con una 'a despreciable. Si el generador desarrolla
una potencia total de 16 kW, calcular la regulación de voltaje para las condiciones
de operación dadas.
7.8 Un generador síncrono de polos salientes trifásico, conectado en Y, 60 Hz, 220 V
Y 20 kVA, alimenta una carga nominal en un factor de potencia de 0.707 en ade-
lanto. Las constantes porfase de la máquina son: resistencia dearmaudraRs =0.05
n; reactancia de eje directo XSd =4.0 n; reactancia de eje en cuadratura }t,¡ =
2.0 n. Calcular la potencia desarrollada y el porcentaje de regulación de potencia
para la carga especificada.
7.9 Un motor síncrono está entregando un par de 0.5 Nw-m en 1800 rpm. El par de
carga se recÍuce bruscamente a cero y se observa que el ángulo de par oscila inicial-
mente dentro de un rango de 12° con un período de 0.3 seg. Después de 7.5 seg,
decrecieron las oscilaciones hasta 4.420
_ Calcular el par sincronizante, J y b para
la condición de carga cero.

349. Capítulo 8
Control electrónico
de lTIotores
eléctricos
Este capítulo aborda básicamente, la teoría y aplicaciones de dispo-
sitivos y circuitos electrónicos en el control de motores eléctricos.
En los capítulos anteriores se describieron las características de der-
tos dispositivos electromecánicos, aunque ninguna de ellas puede realizarse
sin el uso de componentes adicionales y circuitos que pueden agruparse ba-
jo el rubro de controles de máquina. Un equipo así puede ser tan simple
como un conmutador de encendido/apagado o tan complicado como el con-
junto de semiconductores, componentes de circuitos y dispositivos mecá-
nicos que controlan la alteración de la velocidad completa de un motor de
laminadora de 10,000 hp usado en la fabricación de acero. Los controles
se aplican a ambos puertos de las máquinas rotatorias, esto es, a las ter-
minales eléctricas y a la flecha mecánica, a menudo con un enlace que
conecta ambos puertos, como un circuito de retroalimentación.
Existe una gran diversidad de componentes y sistemas que se emplean
para el control de máquinas rotatorias. En función de las aplicaciones prác-
ticas y análisis teórico, ningún otro aspecto de las máquinas rotatorias ha
sufrido cambios tan radicales en los últimos años o presenta más posibili-
dades potenciales de desarrollo de características de máquina en lo futuro,
que el control electrónico de máquinas eléctricas.
Muchos dispositivos mecánicos y fluidos se utilizan en el control de
motores, como embragues y frenos, acoplamientos hidráulicos, sistemas
de control por fluidos, etc. Existen además muchos dispositivos electro-
mecánicos que se usan en el control de motores: relevadores, contactares,
arrancadores, solenoides, amplificadores magnéticos, amplydines, etc. Es-
tos dispositivos forman parte del tipo todavía más común de control que
se encuentra en muchas aplicaciones de motores domésticos y automotri-
347

350. 348 Control electrónico de motores eléctricos
ces. Puesto que los sistemas de control mecánico, hidráulicos y electro-
mecánicos están descritos perfectamente en las obras técnicas que abordan
el tema y se les ha usado desde casi el principio de las aplicaciones de los
motores, se descubrirán o discutirán cuando venga al caso, por desempeñar
una función integral en un sistema de control electrónico, diferente.
8.1 ASPECTOS GENERALES ACERCA DEL CONTROL DE
MOTORES
El objeto de un sistema de control de motor es regular uno o más de los
parámetros de salida del motor, como la velocidad de flecha, posición an-
gular, aceleración, par de flecha y potencia mecánica de salida. El control
de temperatura en varios puntos del motor es también un objetivo frecuen-
te de los sistemas de control de motor, ya que son los parámetros mecáni-
cos del motor, los que van a controlarse por los parámetros eléctricos
de entrada; las características específicas del motor, esto es, las caracterís-
ticas que relaciona a las cantidades eléctricas de entrada con las cantidades
mecánicas de salida, son de vital importancia en el diseño y análisis de con-
trol electrónico. Por esta razón, se acostumbra discutir por separado el
control de motores de conmutador de C.C., del de los síncronos y de in-
ducción. La naturaleza de la carga y el tipo de alimentación influyen tam-
bién en la forma de control, la figura 8.1 ilustra la disposición básica del
control electrónico de motores. Esta figura muestra un sistema total de
motor, que incluye carga y fuente de potencia; los bucles de retroalimenta-
ción aparecen con líneas discontinuas, pues muchos esquemas de control
de motor son de bucle abierto. La caja de carga representa un concepto
muy general de carga y puede ser una inercial pura. La de potencia está
también generalizada y significa que abarca todas las fuentes de potencia
Señales
de entrada
Sistema
lógico de 1--
control
I
Fuente de
energía
t
Controlador f----1 Motor
l
Carga
I
t I
I t
Modificación 1_ - - _.-J I
retr~:I~~:~t~~ión - - - - - __ .-1
FIGURA 8.1 Flujo general de señal en control electrónico de motores.

351. Aspectos acerca del control de motores 349
o excitación requerida por el motor. Esta figura carece de valor analítico y
no debe confundirse con el diagrama de bloques que describe el flujo de
señal como los de la teoría del control. Aquí, simplemente se ilustra el es-
quema topológico general de los principales elementos de una sistema ge-
neral de control de motor. El tema básico de este capítulo se relacionará
con la caja rotulada "controlador".
Los materiales y aspectos estructurales de los semiconductores de po-
tencia usados en el control de motores difieren mucho de los dft los dispo-
sitivos electromecánicos. Por consiguiente, las características ambientales
y de operación son asimismo distintas. Es fundamental reconocer estas di-
ferencias en el diseño y uso del control electrónico de motores, en los que
se usan los dos tipos diferentes de componentes en un ámbito común y se su-
jetan a los mismos valores de corriente y voltaje; las diferencias principales
pueden resumirse en la siguiente forma:
1. Las características térmicas de los dispositivos semiconductores difie-
ren muchode las de los dispositivos electromecánicos,como los motores.
Los motores tienen capacidades térmicas grandes y pueden soportar so-
brecargas térmicas durante períodos de minutos. Los semiconductores
tiene constantes de tiempo térmicas muy cortas, que a menudo duran
menos de un segundo. También tienen trayectorias de conducción térmi-
ca naturales muy pobres y en muchas aplicaciones requieren disipadores
de calor.
2. Las características de sobrecarga de corriente en los dos tipos de dispo-
sitivos son en suma diferentes, en parte como consecuencia de las dife-
rencias térmicas señaladas antes. Los dispositivos de semiconductor
tienen capacidad de sobrecorriente relativamente pequeña. Los thyristo-
res tienen una capacidad ¡2 t, o de corriente de avalancha, que no es re-
currente. Frecuentemente, las características del dispositivo se alteran
durante lapsos pequeños que suceden a una avalancha. Las avalanchas
sucesivas, aún dentro de la capacidad de avalancha, conducen a una de-
gradación de las características del dispositivo. Por lo general, los mo-
tores soportan sobrecorrientes mientras no se excedan las capacidades
térmicas y pueden diseñarse para operaciones periódicas de corriente
de avalancha elevada, como durante la "obturación", que es un medio
de frenar rápidamente una máquina.
3. Muchos semiconductores están limitados por la razón de cambio de
corriente, como se explicará para los thyristores más adelante. En un
motor no hay una limitación equivalente.
4. Los thyristores están también limitados por una característica de razón
de cambio de voltaje, que no es un factor en la operación motor.

352. 350 Control electrónico de motores eléctricos
5. Los circuitos con semiconductores son muy susceptibles a la interferen-
cia electromagnética, tanto conductiva como inductiva, pero a los mo-
tores nunca se les afecta de manera semejante.
6. Los semiconductores son mucho más sensibles a choques y vibraciones
que los motores. No obstante, con montajes y embalajes adecuados, es
posible aplicar los semiconductores en la mayoría de los niveles de vi-
bración.
7. Tradicionalmente, los motores se operan de manera que conduzcan a
formas de onda de corriente y voltaje continuas, como la corriente con-
tinua estacionaria o corriente alterna sinusoidal. Cuando se controla
mediante sistemas a semiconductores, las formas de onda menos regula-
res y frecuentemente discontinuas, con frentes de onda que se elevan
con brusquedad; formas de onda así, tienen diversas amplicaciones en
las pérdidas de motor y características de excitación y en ciertos casos,
indican modificaciones del diseño del motor.
8. Los motores electromagnéticos son dispositivos de inducción esenciales
y con su operación normal se asocian grandes cantidades de almacena-
miento de energía inductiva. El manejo de energía inductiva durante la
acción rápida de conmutación de los dispositivos semiconductores, pa-
ra evitar picos de voltaje y valores excesivos de que puedan dañar a los
dispositivos, es un problema fundamental del diseño en el control elec-
trónico de motores.
Estas diferencias fundamentales entre los dispositivos semiconductores de
control y los motores eléctricos tienen importancia en casi todos los aspec-
tos de diseño y operación de control electrónico de motores.
8.2 FORMAS DE ONDA DE VOLTAJE Y CORRIENTE
Una de las características principales de los sistemas de control de motores
que usan dispositivos semiconductores, es la naturaleza de las formas de
onda de corriente y voltaje, que por lo general son irregulares y las fórmu-
las comunes, con base en formas de onda sinusoidales o estacionarias en c. c.,
resultan inadecuadas. El método de la serie de Fourier se usa con frecuencia
en el análisis de dispositivos electromagnéticos que poseen no lineali-
dades originadas por las características del material magnético. Las co-
rrientes y voltajes no lineales o los flujos magnéticos no lineales de trans-
formadores y máquinas de inducción, que, requieren en representación
en serie de Fourier, se discutieron en capítulos anteriores. Sin embargo,
cuando se excita un motor o transformador a través de un sistema elec-

353. Formas de onda de voltaje y corriente 351
trónico de control, las formas de onda aplicadas son no sinusoidales y
frecuentemente discontinuas. Debido a las características no lineales de
varios de los elementos del motor, resultan distorsiones o modificaciones
de la forma de onda aplicada.
Otra característica interesante del control electrónico es que las for-
mas de onda pueden cambiar significativamente en función del nivel del
par o de la velocidad de motor. Como consecuencia, tanto las componen-
tes de carga como de excitación de voltaje y corriente en sistemas de control
electrónico tienen formas de onda no sinusoidales. Esta característica tiene
muchas implicaciones para los que se ocupan del diseño, análisis u opera-
ción de sistemas de control electrónico de motores, de acuerdo con lo
siguiente.
1. La medición de voltajes y corrientes debe necesariamente efectuarse
con instrumentos capaces de indicar con exactitud el tipo de formas de
onda que se mide. Los instrumentos a termopar son adecuados para
medir componentes de potencia en la mayoría de los sistemas de control
electrónico de motores. Los osciloscopios son esenciales para el análisis
de forma de onda, tanto de los parámetros de señal de control, como de
potencia.
2. Las mediciones de pérdidas deben hacerse, si es posible, con el motor
excitado en la forma en que vaya a usarse y no con excitación sinusoi-
dal común o de c.c. El dato de pérdida por material magnético como el
que se discutió en el capítulo 2, se tiene con excitación sinusoidal y es a
menudo incorrecto para otros tipos de excitación. La medición de pér-
didas por núcleo es difícil cuando las formas de onda son como las se-
ñaladas antes. En estos casos, deben usarse wattmetros espaciales, como
un multiplicador electrónico o instrumentos de tipo térmico o de efec-
to Hall.
3. La teoría de circuitos estándar fundamentada en parámetros de onda
sinusoidal de una sola frecuencia, es inadecuada para el análisis de cir-
cuitos de control electrónico de motores. A menudo es necesario evaluar
la variación instantánea de corrientes y voltajes, tanto de potencia como
de control.
4. Los valores númericos estándar para las relaciones entre valores prome--
dia, eficaz y máximo de corrientes y voltajes, rara vez son aplicables.
5. El intervalo de frecuencia de las componentes de voltaje y corriente en
un sistema eléctronico de control de motores es mucho mayor que la
frecuencia fundamental aplicada al motor. Esto se ve claramente, si se
consideran las componentes de Fourier de una función periódica no

354. 352 Control electrónico de motores eléctricos
sinusoidal. La frecuencia fundamental proviene de la acción de conmu-
tación de los semiconductores de potencia en el sistema de control y se
localiza, por lo general, en el intervalo de frecuencias bajas de audio o
de potencia, rara vez arriba de los 3000 Hz. Sin embargo, el intervalo
de frecuencias en varias corrientes y voltajes fácilmente puede ser de
100,000 Hz o mayor. Este factor debe tenerse en cuenta al seleccionar
el instrumental que se usará en el laboratorio, al estudiar la interferen-
cia por ruido audible y electromagnético que proviene del sistema de
control; al diseñar filtros y al proteger los circuitos lógicos de control
que se usan para conmutar los dispositivos de potencia.
El cálculo .de los valores medio y eficaz de voltaje y corriente es suma-
mente importante en los sistemas de control electrónico para determinar
la potencia y el par de motor, el calentamiento de alambres y otros ele-
mentos y dimensionar componentes e instrumentación. Para realizar estos
cálculos, es necesario regresar a las definiciones de valores medio y eficaz
dadas en la sección 1.3. En la tabla 8.1 se catalogan varias de las formas de
onda comunes características de los sistemas de control electrónico y mues-
tra sus valores medios y eficaces. En todas las formas de onda de esta tabla,
To es la duración del pulso y Tp es el período de la señal. Las fórmulas
para valores medios y eficaces se aplican también si To = Tp o sea, si no
hay "tiempo fuera" de la señal. La frecuencia fundamental de la señal, en
función del período es
Ejemplo 8.1
1
~=Tp
(8.1 )
Calcular los valores eficaz y tiempo promedio de la forma de onda expues-
ta en la tabla 8.1, renglón 4.
En primer lugar, es necesario obtener una ecuación para la variación
instantánea del parámentro durante un período. Para la onda en cuestión
se trata de la ecuación simple de la línea recta:
Am
a=A --[m To
El valor eficaz (rcm) se obtiene extrayendo la raíz cuadrada del valor me-
dio (promedio) del cuadrado de la función. Este valor medio, en un período
es

355. 7.
Formas de onda de voltaje y corriente 353
TABLA 8.1 Formas de onda en circuitos de control electrónico de motores
VALOR EFICAZ
c--_ _ 1
Igual que el No. 3
Promedio
2 To
-·-·A
'1T r;, m
To
-·AT m
p
Igual que el No. 3
Nota; El símbolo An representa un valor máximo de una corriente o voltaje.
La raíz cuadrada de este término es el valor eficaz y es igual a
A=A'" V.mV3 T;
El tiempo promedio (no el promedio de media onda) se obtiene con la ecua-
ción (1.9):
ITO( A)1 T I T o 1 mI
- f.. Padl= - ( adl= - A m - - dI
r;,o r;,Jo r;, ~
O

356. 354 Control electrónico de motores eléctricos
Obsérvese que para el pulso diente de sierra con pendiente positiva, se ob-
tendrían las mismas expresiones para los valores rcm y tiempo promedio.
A las formas de onda del tipo expuesto en la tabla 8.1, se les deno-
minará ondas "recortadas". En circuitos de control electrónico de motores,
parte del circuito se energiza durante un lapso pequeño y se desconecta
mediante un dispositivo de conmutación de estado sólido en un intervalo
reducido, repitiéndose en seguida este proceso. En muchos circuitos, el pul-
so presente es de forma regular o puede tomarse casi con tal. En casos así, se
dispone de expresiones generales para los valores eficaz y medio:
(8.2)
(8.3)
En estas expresiones, Kf y KA son factores que dependen sólo de la forma
del pulso. Por ejemplo, para un pulso seno Kf = 1/2, KA = 2/rr; en uno
triangular, Kf = 1/3, KA = 1/2 yen uno cuadrado, Kf = KA = 1.
Ejemplo 8.2
Encontrar los valores tiempo promedio, media onda promedio y eficaz de
la forma de onda del renglón 1 en la tabla 8.1, si cada pulso alterno es ne-
gativo.
De la ecuación (8.2), el valor eficaz es
El promedio onda media, partiendo de la ecuación (1.8) es
AHWA = ; lTPsenwt= ; iT~en2'7T( 2~' )tp o p o o
=.1.. To [_cos~t]TO= eto .1
Tp '7T To o. ~ '7T
El tiempo promedio para un período es cero:
Aav=O

357. Dispositivos semiconductores de potencia 355
La diferencia entre el promedio y el promedio media onda se destaca en
estos ejemplos, ya que ambos tiene importancia en el análisis de ondas
recortadas y no sinusoidales. En las ondas con pulsos de una sola polaridad,
como se ve en la tabla 8.1, el promedio de media onda carece de significado
real. El factor KA en la ecuación (8.3) es realmente el promedio de media
onda del pulso mismo.
8.2.1 Restauración de componentes inductivas y condensadores
Las ondas unidireccionales del tipo expuesto en la tabla 8.1 se encuentran
en muchas partes de los circuitos de control de motores, así como en regu-
ladores de conmutación y sistemas similares. Formas de onda de este tipo
a menudo pueden conducir a una operación indeseada de inductores, trans-
formadores y capacitores, pues la polaridad de estos dispositivos no se
invierte en forma natural con una onda alterna. Los dispositivos con induc-
tancia en núcleos ferromagnéticos operan dentro de un ciclo de histéresis
menor. Para los núcleos de ciclo cuadrado, que comúnmente se usan en
circuitos de conmutación, esto significa que la señal hace que el núcleo
atraviese la parte plana de su ciclo de histéresis y que el dispositivo sea
"básicamente", no inductivo. De manera semejante, un condensador estará
totalmente cargado después de algunos pulsos, distorsionando en forma con-
siderable, los voltajes de circuito para la operación normal.
La operación normal de componentes inductivas bajo ondas unidirec-
cionales requiere de un devanado auxiliar acoplado al núcleo. La función
de este devanado es "restaurar" el núcleo a su estado magnético opuesto, du-
rante el tiempo-fuera (To a Tp en la tabla 8.1) de la señal principal. A me-
nudo se requiere que los voltajes del condesandor se inviertan mediante
circuitos auxiliares resonantes. En algunos problemas al final de este capí-
tulo se analiza la aplicación de estos circuitos tan útiles.
8.3 DISPOSITIVOS SEMICONDUCTORES DE POTENCIA
En la actualidad, se dispone de diversos tipos de semiconductores para apli-
caciones de control electrónico de motores. El tipo a usarse en una aplicación
específica, dependerá de diversos factores, principalmente de los requeri-
mientos de potencia, voltaje y corriente del motor que va a controlarse.
Otros factores incluyen aspectos ambientales, en especial la temperatura
ambiente de este recinto semiconductor; los modos de controlo filisofía de
control que va a emplearse y cuestiones del costo del sistema global. En
esta sección se resumirán las características principales de los más impor-
tantes semiconductores de potencia utilizados en el control de motores.
A los semiconductores de potencia y sus circuitos asociados se les co-
noce comúnmente como el circuito de potencia del sistema de control del

358. 356 Control electrónico de motores eléctricos
motor. La caja rotulada como "controlador" en la figura 8.1 contiene
al circuito de potencia del sistema de control del motor. Existe otro grupo
de circuitos y componentes requeridos en un sistema de control de motor
completo, que opere en niveles muy bajos de voltaje y corriente, compara-
dos con el circuito de potencia. A este grupo se le llama con frecuencia
"circuitos lógicos de control" o "circuitos de control de compuerta" o se le
da alguna designación semejante. Su función es poner en práctica la filoso-
fía de control para hacer que el motor opere de una manera prescrita. Este
grupo incluye circuitos para apagar y encender los semiconductores de po-
tencia.
La tabla 8.2 enlista los dispositivos principales usados en sistemas de
control de motores, también incluye los símbolos estándar para estos dis-
positivos en los diagramas de conexiones y las capacidades de cada tipo de
dispositivo, en voitaje y corriente máximos yen tiempo de respuesta, según
el actual "estado del arte". Estas capacidades rara vez se tienen en un solo
dispositivo, usualmente, sólo una de estas máximas capacidades se alcanza
en un dispositivo. Esta circunstancia y las diversas patentes disponibles en el
diseño de dispositivos semiconductores para usos específicos se discutirán a
continuación. El tiempo o parámetro de velocidad de la tabla 8.2 se refie-
re al tiempo mínimo de apagado accesible en cada clase de dispositivo, en
la columna con los símbolos del dispositivo, "A" significa ánodo; "K", cá-
tado; "G", compuerta; "E", emisor; "e", colector y "B", base. El diodo
Zener no es verdaderamente un dispositivo de control de potencia, como los
otros enlistados, aunque se incluye po.r su gran uso como dispositivo de
control y detección de voltaje en much,)s controladores de motor.
Los dispositivos de la tabla 8.2 pLeden catalogarse de acuerdo a su es-
tructura: dispositivos de dos capas, de los cuales el rectificador de silicio es
el más conocido; el de tres capas, tipificado por el transistor de potencia y
de cuatro capas o thyristor, "cuya acción biestable depende de la retroali-
mentación regenerativa p-n-p-n-"l. El término thyristor se emplea para
describir cualquier dispositivo de cuatro capas, incluyendo al conmutador
controlado de silicio (SCS: silicon controlled switch), el Triac, el diodo
Schockley, los dispositivos de apagado de compuerta (GTO: gate turnoff)
y el rectificador controlado de silicio (SCR: silicon controlled rectifier).
Este último fue el que más se usó en el control electrónico de motores, so-
bre todo porque hasta hace poco era el único dispositivo que podía cons-
truirse para manejar los niveles elevados de voltaje y corriente requeridos
en el control de motores. No obstante, en la actualidad se construyen
transistores de potencia y dispositivos Darligton con niveles de voltaje y
corriente capaces de manejar muchas aplicaciones de control de motores, co-
mo se puede ver en la tabla 8.2. Se espera que las capacidades de estos dis-
positivos aumenten más en el futuro.

359. Dispositivos semiconductores de potencia 357
8.3.1 Rectificador de silicio
Los rectificadores de silicio se cuentan entre los primeros dispositivos se-
miconductores de potencia que se desarrollaron y junto con los de germa-
nio, han desplazado casi por completo a los rectificadores de potencia de
tubos al vacío y gaseosos. La figura 8.2 muestra dos configuraciones de rec-
tificador de silicio de uso común; uno es el rectificador montado en torni-
llo, llamado así por el tornillo enroscado en la base del dispositivo (la que
eléctricamente es el cátodo) montado sobre una placa o disipador de calor.
El otro dispositivo de esa figura se conoce indistintamente como una con-
figuración de "paquete de prensa" o de "disco". Los dos contactos eléc-
tricos se localizan arriba y en la base del disco, que debe montarse a presión
entre las dos superficies conductoras planas para lograr un buen contac-
Tabla 8.2 Semiconductores de potencia
Dispositivo Símbolo Capacidades máximas
$
Amps. Velo-
Volts (rcm) cidad
Rectificador de silicio 5000 7500 ( JLs)
Rectificador controlado
4)SCR de silicio 5000 3000 1
TRIAC Interruptor bidireccional ~ 1000 2000 I
GTO Dispositivos de apagado
~ 400 0.2
GCS de compuerta 1000 200 2
Transistor de potencia ~(PNP) B
3000 500 0.2
Dispositivos Darlington ~ 1000 200 I
Diodo Zener $, 500 100

360. 358 Control electrónico de motores eléctricos
Rectificador controlado montado en tornillo
e) Rectificador de silicio montado en tornillo
FIGURA 8.2 Rectificadores de silicio y rectificadores controlados de silicio
(SCRs), mostrando a) dispositivos de disco (disco de goma); b) rectificador
controlado montado en tomillo; c) rectificador de silicio montado en tornillo
(Cortesía de International Rectifier Corporation).

361. Dispositivos semiconductores de potencia 359
i
it
----;-
+
PRV
I
I
----;-
v
(a)
(b)
FIGURA 8.3 Características del rectificador de silicio. a) Símbolos. b) Carac-
terísticas v-i.
to eléctrico. La ventaja principal de la configuración de disco es tener una
trayectoria mejorada para la transferencia de calor, con impedancia térmi-
ca baja entre ambas terminales eléctricas. En el diseño de montado en tor-
nillo, la impedancia térmica baja se tiene sólo a través de una terminal.
Los parámetros principales de un rectificador de silicio son el volta-
je pico inverso reiterativo (PRV: peak reverse voltage) o voltaje de bloqueo,
la corriente media progresiva y la temperatura de operación de la unión,
que es de 125
0
e para la mayor parte de los dispositivos de silicio. En la
figura 8.3 se muestra la característica J1 - i En el modo de conducción
progresivo el rectificador de silicio no es un conductor perfecto, aunque
tiene una caída de voltaje progresiva de un volt más o menos, en todos los
niveles de corriente dentro de su capacidad. Existen también corrientes de
avalancha y niveles de sobrevoltaje asociadas con el rectificador, que pue-
den tener importancia en determinada aplicación.
Otra característica importante en ciertas aplicaciones es el tiempo de
recuperación del rectificador, que es el lapso que transcurre desde el término
de la conducción progresiva hasta que el rectificador recobra su capacidad
inversa de bloqueo total. Esta característica se conoce como operación de
"recuperación inversa" de un diodo y está relacionada con el tiempo re-
querido para "arrastar" a los portadores de carga minoritarios, almacenados
en el diodo inmediatamente después del término de la conducción. Este
lapso es de microsegundo y requiere un flujo de corriente en la dirección
del bloqueo, esto es, opuesta al flujo normal de corriente del diodo. Este
fenómeno puede ser la fuente de ruido electromagnético o repiqueteo en
un sistema de control de motores y debe tomarse en cuenta en su diseño.

362. 360 Control electrónico de motores eléctricos
o~--
~t(/1S)
Convencional
FIGURA 8.4 Comparación de rectificadores de silicio convencionales y de
"recuperación rápida" en la región de recuperación inversa.
Las características de recuperación determinan la razón a la que se puede
reaplicar el voltaje de bloqueo al rectificador y por consiguiente, la frecuen-
cia de operación del rectificador. Muchos usos de rectificadores en control
de motores necesitan tiempos de recuperación muy cortos y con este pro-
pósito se han desarrollado dispositivos de rápida recuperación, en los que
ese tiempo puede ser de sólo varios centeneres de nanosegundos. En la fi-
gura 8.4 se muestra una comparación de las características de recuperación
de rectificadores de silicio convencionales y de rápida recuperación.
El diodo de "rueda libre", es una función común ejecutada por los
rectificadores de silicio en sistemas de control de motores. Esta función
otorga una trayectoria para la continuación de la corriente de motor que
sucede a la conmutación de apagado de otro dispositivo de potencia, en-
tre las terminales de motor y la fuente de energía. El diodo de rueda libre
se presentará en muchos de los sistemas de control que se analizarán más
adelante en este capítulo.
8.3.2 Rectificador controlado de silicio
A este dispositivo se le llama con frecuencia thyristor, aunque aquí se pre-
fiere usar esta denominación como el nombre general de los dispositivos
de cuatro capas. El rectificador controlado de silicio o SCR tiene tres ter-
minales: ánodo, cátodo y compuerta. En la dirección inversa o de bloqueo,
las funciones del SCR se parecen bastante a las del rectificador de silicio
descrito en la sección anterior. En la dirección progresiva, la conducción
puede controlarse en forma limitada por la acción de la compuerta, conec-
tada a los circuitos de señal débil que pueden aislarse eléctricamente de los
de potencia, conectados al cátodo y ánodo. El control es limitado, pues la
compuerta puede encender el dispositivo, esto es, iniciar las condiciones

363. Dispositivos semiconductores de potencia 361
para flujo de corriente progresiva, pero no puede detener el flujo de corrien-
te. El control por compuerta es sólo momentáneo, durante el cual se in-
yectan los portadores al material inferior de base para dar lugar al corte
de voltajes de uniónp-n; este proceso se le llama corte por avalancha. Cuando
principia el flujo de corriente a través del ánodo, el SCR conduce y perma-
nece así hasta que por medios externos se le "apaga". El proceso de apaga-
do del SCR se conoce como conmutación y se discutirá en detalle en la
sección 8.4. La figura 8.2 muestra las dos configuraciones principales de
SeR, la montada en tornillo y la de disco. Salvo por el conductor de com-
puerta, ambas configuraciones se asemejan a la del rectificador de silicio. La
figura 8.5 ilustra un "paquete" típico de SeR de disco, incluyendo al disi-
pador de calor y fusibles.
La figura. 8.6 es una copia de la lámina comercial de datos de SeR de
potencia. Los parámetrosprincipales (y magnitudes para este dispositivo par-
ticular, el No. CA19PN) para utilizar los SCRs en sistemas de control de
motores son:
1. Voltaje de pico inverso reiterativo (PVR), 1800 V.
2. Valor máximo de corriente media en estado de excitación, 2/11 X 850
= 540 A. Este parámetro se relaciona con el calentamiento dentro del
semiconductor.
3. Valor máximo de la corriente eficaz en estado de excitación 850 Amps.
Esta es la capacidad de corriente de las partes conductoras de metal del
dispositivo, como la cola de cerdo de ánodo en dispositivos de clavija.
4. Corriente pico en un ciclo en estado de excitación, es decir, el límite'
de corriente de avalancha 6500 A.
5. Razón crítica de elevación de voltaje de bloqueo progresivo, 200V/p. seg.
Por lo general hay dos especificaciones: la inicial, cuando se enciende el
dispositivo por vez primera y la reaplicada, que es la que sigue a la con-
mutación.
6. Tiempo de apagado: el tiempo de apagado requerido que sucede a la
conmutación antes de que pueda reaplicarse el voltaje progresivo 40 p.
seg. (Ver sección 8.4).
7. Valor máximo de elevación de corriente anódica durante el encendido;
una di/dt demasiado elevado puede conducir al calentamiento del pun-
to caliente, que es una de las principales causas de falla del dispositivo:
300 A/p. seg.
8. Temperatura máxima operante de unión: 1250
C.

364. 362 Control electrónico de motores eléctricos
FIGURA 8.5 Thyristor de tipo disco mostrando disipador de calor y fusibles
(Cortesía de Westinghouse Electric Corporation).

365. Tasas máximas permisibles
Tipos
C449PN
C449PS
C449PM
C449PE
Voltaje repetitivo en
apagado vDRMa
Tj =40 a + 125°C
1800 volts
1700
1600
1500
Dispositivos semiconductores de potencia 363
Voltaje pico inverso
repetitivo VRRMa
Tj =0.40 a + 125°C
1800 volts
1700
1600
1500
Voltaje pico inverso
no repetitivo VRSMa
Tj = + 125°C
2040 volts
1920
1790
1700
aForma de onda seno medio, con anchura de pulso máx. de 10 mseg. Consultar a la fábrica acerca
de disPositivos de voltaje en tasas menores.
Corriente pico en encendido (no repetitiva) de
impulso en un ciclo 1TSM
Razón de elevación crítica de corriente en encendido (no repetitiva)t
Razón de elevación crítica de corriente en encendido (repetitiva)t
Disipación de potencia promedio en compuerta PG (av)
Temperatura de almacenamiento T stg
6500 amperes
500 A//ls
300 A//ls
5 watts
-40 a + 150°C
-40 a + 125°CTemperatura de operación Tj
Fuerza de montaje requerida 3000 lb + 500 lb - Olb
13.3 KN + 2.2 KN - OKN
FIGURA 8.6 Lámina de datos del SCR (Cortesía de General Electric Com-
pany).
Existen parámetros adicionales de importancia en el uso de los SCRs,
como lo prueba la lámina de datos de la figura 8.6. El manejo térmico del
SCR es extremadamente crítico en todas sus aplicaciones. La mayor parte
de los parámetros que acaban de mencionarse varía de manera significativa
en función de la temperatura del dispositivo, que también caracteriza a
otros tipos de semiconductores. Es por ello que gran parte del trabajo de
ingeniería que se requiere en la aplicación de un SCR radica en el diseño
de su radiador de calor, en el método de montado y en el enfriamiento
auxiliar (si se requiere). El uso del SeR en conexiones eléctricas serie o
paralelo ayuda a encontrar los requerimientos térmicos.
Existen muchas clases de SCRs; para el uso en controlador de motores
hay dos amplias clasificaciones, llamadas a veces tipo inversor y tipo supre-
sor. El primero se aplica a inversores, cicloconversores y sistemas de moto-
res en C.C., sin escobillas, mientras que el segundo se usa en recortadores, rec-
tificadores controlados en fase, reguladores, etc. La diferencia básica entre
los dos tipos es,. básicamente su tiempo de respuesta, relacionada con los
parámetros quinto, sexto y séptimo enlistados con anterioridad. Por lo
general los tipos inversos son más costosos que los recortadores. Hay otras
maneras de clasificar los SCRs, especialmente en las capacidades más pe-

366. Prueba
Corriente pico repetitiva
y en encendido.
Corriente pico inversa
repetitiva y de bloqueo
en apagado.
Resistencia ténnica
Tasa de elevación lineal
crítica de voltaje en
apagado (Valores más
altos pueden originar
conmutación del
dispositivo).
Corriente de disparo
de compuerta
-
Voltaje de disparo de
compuerta
Características
Símbolo Mín. Tipos Máx. Unidades Condiciones de prueba
IRRM - 10 25 mA T¡=+250 C, V=VORM=VRRM
y
IORM
IRRM - 45 60 mA T¡=+1250 C, V=VORM=VRRM
y
IORM
ROJe - - .04 OC/watt Unión a cubierta. Enfriado en ambos lados.
dv/dt 200 - - V/¡.¡séc T¡ =+ 125°C, VORM =0.80 de tasa, com-
puerta abierta. Fonna de onda exponencial o
elevación lineal. Exponencial
di/ dI =0.8 VDRM (0.632)/ T
Selecciones de dv/d t mínimas más altas disponibles (consultar al fabricante).
IGT - - 200 mA dc Te=+250 C, VD=6 Vdc,RL=3 ohms
J - 150 Te =+ 125°C, VD =6 V dc, RL =3 ohms
VGT - - 3 Vdc Te =25 a + 125OC, VD =6 V dc
RL =3 ohms
- - 5,...,3 Te =-40 a 25°C, VD =6 V dc,
RL = 3 ohms
-
W·
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O
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O
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367. Voltaje pico en encendio VTM - - 2.8
Circuito convencional tq
Tiempo de apagado
conmutado (con diodo
de retroalimentación)
C449---60 - - 60
C449---60 - - 40
Circuito convencional tq
Tiempo de apagado
conmutado (con diodo
de retroalimentación)
C449---60 - 60 b
C449-40 - 40 b
b Consultar al fabricante para tiempo máximo de apagado.
volts Te =250 C, IT =2000 Pico
Ciclo de rendimiento ~0.01 %
¡.Lsec (1) Te =+ 1250 C
(2) ITM =500 A
(3) V R ~50 volts
(4) 80% reaplicado
(5) Razón de elevación de voltaie en apagado =
200 V/¡.Ls
(6) Polarización de compuerta =abierta durante
intervalo de apagado O Volts, 100 Ohms
(7) Ciclo de rendimiento ~.01 %
¡.Lsec (1) Te =+ 1250 C
(2) ITM =500 A
(3) V R =2 volts, mínimo
(4) 80% de VDRM reaplicado
(5) Razón de elevación de voltaje en apagado =
200 V¡¡.Ls
(6) Polarización de compuerta =abierta durante
el intervalo de apagado.
(7) Ciclo de rendimiento .¡;; 0.01 %
-
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W
0
er.

368. 366 Contrd electrónico de motores eléctricos
queñas utilizadas en aplicaciones de control y comunicaciones; muchos
SCRs en la capacidad de 35-A (rcm) y más pequeños pueden empacarse en
estuches de plástico, lo que entraña un costo de dispositivo menor que el
métalico de capacidad similar. Otra clasificación se relaciona con la señal de
compuerta; una clase muy útil de SCR para detectar posición en sistemas
de control de motores esla activada con luz, o LASCR (light activated SCR),
en vez de inyectar energía mediante corriente eléctrica, se dispara el LASCR
con energía fotónica. Se dispone de activación por luz para todos los otros
dispositivos de tres y cuatro terminales enlistados en la tabla 8.2, como
también para el SCR.
La caída de voltaje progresivo para un SCR varía considerablemente
durante la conducción de corriente de ánodo y puede ser muy alta duran-
te los primeros microsegundos que siguen al encendido. Esta caída de voltaje
elevada conduce a una pérdida de energía, conocida como pérdida por con-
mutación de un SCR. La caída promedio de voltaje progresivo de un SCR
es de 1.5 a 2 V.
8.3.3 TRIAC
El TRIAC, llamado con frecuencia conmutador bidireccional, equivale
aproximadamente a un par de SCRs ensamblados o en antiparalelo, fabri-
cado con un recorte único de material semiconductor. La conducción por
disparo puede ocurrir en ambas direcciones, es decir, el TRIAC es un dis-
positivo cuasibilateral, sus aplicaciones incluyen control de intensidad de
luz, control de calor y control de velocidad de motores en c.a. Por lo gene-
ral, los mismos parámetros señalados como importantespara el uso de SCRs
en la sección anterior se aplican al TRIAC. Sin embargo, debe observarse
que el TRIAC es un dispositivo de tres terminales con una sola compuer-
ta, que influye en su tiempo de respuesta, a diferencia de dos SCR distintos,
conectados en posición antiparalelo. El tiempo de apagado de un TRIAC
es la misma magnitud que el de un SCR. Esto implica que se debe observar
un lapso casi igual al tiempo de apagado, antes de aplicar un voltaje inver-
so al TRIAC. Sin embargo, en un par antiparalelo puede aplicarse un volta-
je inverso inmediatamente después de cesar la corriente progresiva en un
SCR. No se dispone de TRIACs en niveles de voltaje y corriente tan altos
como los de los SCRs actuales y por lo tanto, se utilizan en el control de
motores de capacidades de potencia relativamente bajas.
8.3.4 SCR de apagado por compuerta o conmutador controlado
por compuerta
Estos dos nombres se aplican a un dispositivosemiconductorde tres termina-
les y cuatro capas del grupo del thyristor con características muy semejantes

369. Dispositivos semiconductores de potencia 367
a las de SCR. Además, el GTO (Gate turn-off: apagado por compuerta) o
el GCS (Gate controlled switch: comutador controlado por compuerta)
puede apagarse mediante una señal adecuada de compuerta. Las propieda-
des de esta característica se comprenderán mejor después de consultar la
sección 8.4 de este capítulo acerca de la conmutación por SCR. En la ac-
tualidad esta clase de thyristor está disponible en niveles de corriente y vol-
taje muchos más bajas que las del SCR.
En las primeras versiones de este dispositivo, la corriente de compuer-
ta requerida para apagarlo era casi igual a la corriente de ánodo que se trata-
ba de cancelar. Esta igualdad implicaba que el circuito de compuerta tendría
que haber tenido una capacidad portadora de corriente equivalente a la del
circuito del ánodo. Empero, hace poco, la corriente de compuerta requeri-
da para el apagado del dispositivo se redujo mucho. La razón de corriente de
compuerta para apagado de ánodo a la corriente del ánodo que se intenta
apagar, se denomina ganancia de apagado: AlTO y es similar a las ganancias
equivalentes de apagado, usadas en la terminología de transistores de po-
tencia. Las ganancias actuales de apagado de los dispositivos GTO y GCS
varían de 2 a 1000, esta ultima se obtiene en dispositivos de capacidades
de corriente de ánodo bajas (5 A o menores). El pulso de compuerta de
apagado es de polaridad opuesta al del pulso de compuerta de encendido.
En el intervalo de corrientes requeridas en múltiples aplicaciones de control
de motores, a saber, 50 a 200 A, el tiempo de apagado del GCS es mucho
menor que el de un SCR equivalente. Por consiguiente, estos dispositivos
se usan en inversores, recortadores y cicloconversores que requieran fre-
cuencias altas de conmutación de dispositivos. Frecuentemente, el uso de
GCSs en lugar de los SCRs se traduce en un controlador de peso más bajo,
en virtud de la eliminación de los circuitos de conmutación SCR.
8.3.5 El transistor de potencia
Cuando los transistores de potencia se utilizan en circuitos de control de
motores, se operan como elementos de conmutación; se les lleva a la satu-
ración y no se usan las características de ganancia lineal. La configuración
emisor común es la más generalizada, por la alta ganancia de potencia de esta
conexión; el voltaje de saturación emisor colector VCE(SA T) para transis-
tores de potencia típicos, va de 0.2 a 0.8 V. Este intervalo significativamente
menor que la caída de voltaje ánodo-cátado en encendido de un SCR. Por
lo tanto, la pérdida de potencia promedio en un transistor de potencia, es
menor que la de un SeR de potencia equivalente. Los tiempos de conmu-
tación de los transistores de potencia son por lo general menores que los
de los SCRs, y los problemas relacionadas con apagado o conmutación en
SCR casi no existen con los transistores. No obstante, un transistor de po-
tencia es más costoso que un SCR de capacidad de potencia equivalente.
Además, los niveles de voltaje y corriente disponibles en transistores de

370. 368 Control electrónico de motores eléctricos
potencia son mucho más bajas que las de los SCRs existentes. Ya se esta-
bleció que las capacidades máximas enlistadas en la tabla 8.2 no concurren,
en general, en un solo dispositivo; aspecto más común en un transistor de
potencia. Dispositivos con niveles de voltaje de 100 Vo mayores, tienen
capacidades de corriente limitadas de 10 A o menores. De la misma mane-
ra, los dispositivos con capacidades de corriente más elevadas, como 50 A
y más, tienen niveles de voltaje de 200 Vo menores. Relativamente se tie-
ne poca experiencia en circuitos prácticos de control de motores con transis-
tores cuyas capacidades de voltaje o corriente se aproximan a los límites
superiores enlistados en la tabla 8.2. Es práctica usual conectar en paralelo
transistores de capacidad de corriente más baja para el control de motores
que requieren capacidades de corriente altas y 200 V o menos. Se requiere
sumo cuidado para cerciorarse que se compartan equitativamente las co-
rrientes de colector y que se tenga la adecuada sincronización de corrien-
tes de base entre los dispositivos en paralelo.
En la figura 8.7 se muestran especificaciones típicas de un grupo de
transistores de conmutación en potencias relativamente bajas. Las especifi-
caciones de importancia para la aplicación en control de motores (algunas
de la cuales no se dan en la figura 8.7) incluyen:
1. Voltaje de corte, dado por los símbolos BVCED , voltaje de corte colec-
tor a emisor con la base abierta y BVCBO , voltaje de corte colector a
base, con el emisor abierto.
2. Voltaje de saturación de colector, VCE (SAT)'
3. Nivel de 70ltaje emisor-base VEBO •
4. Corriente de colector máxima le, promedio y pico.
5. Razón de transferencia de corriente progresiva HFE , que es la razón de
corriente de colector a la base en la región lineal.
6. Disipación de potencia.
7. Temperatura de unión mínimo, 150 a 180
0
C, típicamente.
8. Tiempos de conmutación: tiempos de elevación tr , de almacenamiento
ts Y de caída tf. Algunas veces se relacionan estos tiempos con la fre-
cuencia máxima de conmutación, como en la figura 8.7
Las impedancias térmicas y los coeficientes de temperatura tanlbién son
parámetros de importancia. En transistores de potencia conectados en pa-
ralelo, llega a ser muy significante la variación de las características de

371. Transistores de aleación para 6 a 30 A.
Estilo A500
Tasa 6 Amperes 6 Amperes
Tipo No. 151 152
Vceo (sus) 40 151-04 152-04
50 151-05 152-05
60 151-06 152-06
70 151-07 152-07
SO 151-0S 152-0S
90 151-09 152-09
100 151-10 152-10
120 151-12 152-12
140 151-14 152-14
160 151-16 152-16
ISO 151-IS 152-IS
200 151-20 152-20
220 151-22 152-22
hFE mín 11 + 1.5 A 18-+-1.5 A
Y,,(sal) rháx 1.3 Y 1.25 Y
f T típico 0.5 MHz 0.5 MHz
Tasas YE8 =25 Y, 18=3 A
máximas TJ&TSO= -65 lo + 150°C
...
B
"Q)
o
"
"-o
Q)
....
c:
"°E
o
ü
PT= 100 W + 80°C
ROJc =0.7°C/W
Estilo
Tasa
Tipo No.
Y"o(sus) 50
100
150
200
250
hFE mín
Y,,(sal) máx
fT típico
Tasas máximas
28~==3~~
2
110
2N2757
2N275S
2N2759
2N2760
2N2761
10 + 10 A
1.5 Y
0.5 MHz
Voltaje colector-emisor (V)
AS 10 A670
7.5 Amperes 7.5 Amperes 20 Amperes 20 Amperes
153 154 163 164
153-04 154-04 163-04 164-04
153-05 154-05 163-05 164-05
153-06 154-06 163-06 164-06
153-07 154-07 163-07 164-07
153-OS 153-OS 163-0S I64-0S
153-09 154-09 163-09 164-09
153-10 154-10 163-10 164-10
153-12 154-12 163-12 164-12
153-14 154-14 163-14 164-14
153-16 154-16 163-16 164-16
153-lS 154-18 163-IS 164-18
153-20 154-20 163-20 164-20
153-22 154-22 163-22 164-22
15 + 1.5 A 25 + 1.5 A 15 + 5 A 25 + 5 A
1.3 Y 1.25 Y I.lY 1.0 Y
0.5 MHz 0.5 MHz 0.5 MHz 0.5 MHz
YE8 =25 Y, 18=3 A YE8 =25 Y, 18 -7.5 A
TJ&TSO = -65 lO + 175°C TJ&TSG= -6510 + 175°C
PT=200W + 25°C PT= 200 W + 75°C
ROJc =0.75°C/W ROJC -O.5°C/W
A67H
30 Amperes
110 110 110
2N2763 2N2769 2N2775
2N2764 2N2770 2N2776
2N2765 2N2771 2N2777
2N2766 2N2772 2N2778
... ... ...
10 + ISA 10 + 20 A 10 + 25 A
1.5 Y 1.5 Y 1.5 Y
0.5 MHz 0.5 MHz 0.5 MHz
YF8 =25 Y, 18 =7.5 A
TJ&TSO= -65 lo + 175°C
PT=200W + 75°C
RUJC =O.5°C/W
200
FIGURA 8.7 Aplicaciones de transistor de conmutación en baja potencia
(Cortesía de Westinghouse Electric Corp).

372. 370 Control electrónico de motores eléctricos
dispositivo con la temperatura. La característica lc-VBE es en extremo
sensible a la temperatura.
La conmutación de un transistor de potencia se controla mediante el
circuito de base. Es necesaria una corriente de base continua para conser-
var al transistor en una condición saturada o de "encendido" y la disipación
de potencia asociada con el circuito de base puede ser una parte importan-
te de la pérdida total del dispositivo. Este factor debe incluirse al determinar
eficiencias de potencia de controladores de motor. El tiempo de elevación
puede reducirse al encender un transistor sobreimpulsando la corriente de
base, cuando el colector alcanza su valor máximo y el dispositivo está en
saturación, la corriente de base se reduce hasta su valor mínimo requerido
para mantener al dispositivo en saturación. Para iniciar el apagado, la carga
de saturación en exceso, que es proporcional a la corriente de base en ex-
ceso, debe removerse de la región de base del transitor, antes de que éste
pueda empezar a conmutar otra vez al estado de apagado. Esto conduce al
tiempo de demora de almacenamiento ts ' que puede reducirse al minimo
aplicando una corriente inversa a la base durante al apagado. El tiempo de
caída tf se reduce también sobreimpulsando la base con corriente inversa
durante el apagado. Con polarización inversa del circuito de base, que se
presenta en el apagado, no debe excederse la especificación de YEBO de
voltaje de base, pues de lo contrario pueden presentarse fallas en el dispo-
sitivo. Los apagados lentos se obtienen reduciendo la corriente de base
a cero sin corriente de base inversa.
Si se sobreimpulsa la base para reducir los tiempos de conmutación,
puede haber una falla en el transistor por un mecanismo conocido como
"corte secundario". Este es un proceso de fuga térmico inducido por con-
centración de corriente en la unión de emisor. Esta concentración favorece
la formación de "mancha caliente" que a ~enudo causa una acumulación
de calor que da lugar a una falla catastrófica del dispositivo. Los límites
operantes de seguridad de corriente de colector y de voltaje colector -emi-
sor, de definen delimitando una región en una gráfica de le contra VCE '
conocida como "área de seguridad operante" o SOA (safe operating area).
La operación fuera de esta área puede iniciar el proceso de corte secunda-
rio. Los circuitos de motor contienen muchas inductancias y durante el
apagado del transistor la energía almacenada en las componentes inducti-
vas en serie con el colector, aumentarán el voltaje colector -emisor en fun-
ción de la razón de descenso de la corriente de colector. Por consiguiente,
un apagado rápido, atribuible a una alta de corriente reversa de base dará
lugar a valores elevados de VCE. Estos voltajes elevados incrementarán la pér-
dida conocida como pérdida por conmutación y contribuirán al calenta-
miento del transistor que puede conducir al corte secundario. En la figura
8.7 se muestra un ejemplo de región SOA.

373. Dispositivos semiconductores de potencia 371
8.3.6 El Darlington de potencia
Este título se refiere generalmente al par de transistores conectados según
Darlington, fabricado con un solo recorte. Desde luego que se obtienen las
mismas características con el uso de dos transistores discretos, aunque por
lo común en un empaque más grande, complicado y costoso. El principal
mérito del dispositivo Darlington es su gran ganancia en corriente. Los pa-
rámetros de operación y modos de falla para los transistores discutidos en
la sección anterior, se aplican también al Darlington.
Los amplificadores Darlington son de reciente ingreso al área de con-
trol de motores, aunque han encontrado bastante aceptación por su capa-
cidad para reducir el tamaño, costo y peso de los controladores de motor.
Estos dispositivos se usan en supresores para control de motores de con-
mutador en C.C., y en inversores para control de motores en c.a., por lo
general en aplicaciones de baja potencia. Recientemente, se desarrollaron
dispositivos mayores con capacidades hasta de 200 A y 100 V ó 100 A Y
450 V, que se utilizan en el control de motores de tracción, en grúas de
camión y en vehículos eléctricos industriales. Se han logrado ganancias
de corriente hasta de 1600 en estos niveles de corriente altos. No obstante,
con una ganancia de corriente alta, existe un voltaje de saturación o estado
apagado más alto, VCD (SAT)' En la referencia bibliográfica 9 se da un ejem-
plo de análisis de inversor Darlington usado en control de motores.
8.3.7 Diodos zener y de avalancha
Hay un grupo de dispositivos de dos terminales con propiedades sumamen-
te útiles en conmutación para el control de motores y en muchas otras
aplicaciones de circuitos electrónicos. Por lo común, estas propiedades no
se usan para el control de potencia o corriente, sino más bien para prote-
ger a otros dispositivos semiconductores del sobrevoltaje, con objeto de
suministrar un voltaje de referencia y para regulación de voltaje. Los disposi-
tivos están constituidos por recortes de silicio de dos o cuatro capas, con
parecido a otros diodos de silicio y teóricamente, pueden usarse en recti-
ficación; el miembro más conocido de esta familia es el diodo Zener.1
o
Las posibilidades del diodo Zener para dar voltajes de referencia y
protección de voltaje, se basan en las características de corte de la uniónpn.
Cuando el voltaje de polarización inversa, aplicado al diodo, excede cierto
valor, conocido como voltaje Zener (Vz ) tiene lugar el corte. La condición
de corte se caracteriza por un descenso drástico en la resistencia del dispo-
sitivo y por una irrupción repentina de corriente. Este mecanismo de corte
es una combinación de dos fenómenos, llamados corte de Zener y corte de
avalancha. El corte es no destructivo, mientras no se exceda la capacidad
de potencia del dispositivo, recobrando éste rápidamente su propiedad de
bloquear el voltaje inverso. Los diodos Zener se consiguen en niveles de 2.4

374. 372 Control electrónico de motores eléctricos
a 200 V. En la dirección de polarización progresiva, el diodo Zener se pa-
rece bastante a un rectificador de silicio convencional. Al igual que otros
semiconductores, los diodos Zener son sensibles a la temperatura y tienen
un coeficiente de temperatura que define la variación del voltaje Zener
con la temperatura. Esta circunstancia debe tomarse en cuenta en la aplica-
ción de los diodos Zener en circuitos electrónicos. Pueden obtenerse dio-
dos compesandos en temperatura como coeficientes de temperaturas tan
bajos como 0.0002 % por oC.
Existen muchos dispositivos con propiedades semejantes a las del diodo
Zener, a este diodo se le denomina diodo de corte unidereccional. Pueden
obtenerse diodos de corte bidireccional con características de corte de ava-
lancha en las direcciones inversa y progresiva. El rectificador de conmutación
inversa (RSR: rectifier switching reverse) es un thyristor de dos terminales
con cuatro capas, con características de corte semejante a las del diodo
Zener, aunque con nivel de voltaje mucho más elevado y capacidades di/dt
de irrupción muy altas. Con frecuencia se le usa en la operación pulsante
continua como un SCR donde se requiera una alta di/dt, pero con el estado
de encendido iniciado por un voltaje de circuito, en lugar de porla acción de
una compuerta. Desde luego, es propiedad de todos los thyristores, incluso
los SCRs y TRIACs, encender por voltaje de ánodo de polarización inver-
tida. Empero, en la mayor parte de las aplicaciones de SCRs y TRIACs,
donde el modo deseado de operación es a través de una señal de compuerta
controlada, el encendido por voltaje de polarización inversa es un modo
indeseable de operación y a menudo provoca fallas en el dispositivo.
8.4 TECNICAS DE CONMUTACION CON SCR
Un aspecto de importancia en el uso de SCRs y TRIACs en control de mo-
tores, es el tipo de circuitos requeridos para conmutar o apagar al dispositivo,
así como el costo, peso y complejidad de los circuitos de conmutación aso-
ciados. En esta sección se analizarán los requerimientos básicos de conmu-
tación y algunos de los métodos principales utilizados para lograr una
buena conmutación en sistemas prácticos de control de motores. En las
referencias bibliográficas 1,2,4,11 y 12 se puede ahondar en el tema de la
teoría y práctica de la conmutación.
La operación básica de los SCRs se presentó brevemente en la sección
8.3.2. Se observó que el SCR se enciende por inyección de energía al disposi-
tivo mediante la conexión de compuerta, que da lugar a una corte rápido
de voltajes de unión y a la formación de corriente de ánodo. Más allá de
un mínimo de corriente de ánodo, se "amarra" y pierde control sobre la
corriente de ánodo. A partir de este tiempo, esta corriente se determina
sólo por las condiciones en el circuito externo entre ánodo y cátodo, hasta
que se lleva una vez más al dispositivo al estado de bloqueo. La conmuta-

375. Técnicas de conmutación con SeR 373
ción se refiere al proceso de pasar al dispositivo de un estado de conducción
progresiva a uno de bloqueo progresivo, o "apagado" del SCR. El apagado
o conmutación proviene de dos posibles condiciones en el circuito ánodo-ca-
todo global:
1. Corriente de ánodo muy baja o cero, originada por la apertura de un con-
mutador o algún otro mecanismo similar en el circuito externo o por
un incremento grande en la resistencia del circuito externo. Esta condi-
ción se denomina conmutación natural o por inanición y requiere un
lapso mucho mayor que el tiempo mínimo de apagado dado en la espe-
cificación de dispositivo.
2. Una polarización inversa de voltaje entre ánodo cátodo; esto es, el po-
tencial de ánodo se encuentra abajo del de cátodo. Esta condición se
denomina conmutación forzada y se requiere en casi todas las aplicacio-
nes prácticas de los SCRs.
La conmutación forzada se logra en los sistemas energizados con fuen-
tes de C.C., mediante un arreglo de los elementos almacenadores de energía
(condensadores e inductores) con la adición de dispositivos de conmuta-
ción (por lo general SCRs), en sistemas energizados con fuentes de c.a., se
obtiene por medio de la inversión potencial.cíclica de la fuente de energía.
El mecanismo de la conmutación forzada se explicará con la ayuda de las
figuras 8.8 a 8.10. La primeral
muestra las relaciones de corriente y voltaje
!Il .,
.- '"'o e
!Il !Il
Xc;
.~ ~ i ",~ --~---------r~~~~-.~----~-----------
g ~ t>.,
a:
FIGURA 8.8 Gráfica corriente-voltaje en SeR durante la conmutación.

376. 374 Control electrónico de motores eléctricos
que deben existir en el SeR durante la conmutación para que ésta opere;
es decir, para que se apague el SeR. Esta característica 8 1 puede represen-
tar la corriente y voltaje en el SeR, en cualquiera de las figuras citadas. La
corriente i1 se muestra en estos diagramas. El voltaje v1 es el ánodo-cá-
todo a través de 8 1 • En las secciones que siguen se explicarán los medios
para lograr estas relaciones voltaje-corriente.
El SeR se encuentra en una condición conductora o de encendido en
la parte extrema izquierda de esta figura 8.8 y la conmutación se inicia
en un tiempo ti' cuando se introduce un voltaje negativo al circuito exter-
no ánodo-cátodo. Este voltaje permanece en el nivel bajo de encendido
(1.5 a 2.0) hasta que la corriente de ánodo es cero en el tiempo t2 ,cuando el
voltaje principia a ser negativo. El ánodo debe mantenerse a un potencial ne-
gativo (polarizado inversamente) durante un lapso prescrito hasta el tiempo
V'
5,
~
+
Eb
~
Le
52
c.~.{ ,:
FIGURA 8.9 Controlador de motor ilustrando la conmutación serie.
+
FIGURA 8.10 Supresor DC mostrando conmutación paralelo.

377. Técnicas de conmutación con SeR 375
t6 • El intervalo tia t6 se conoce como período de apagado del circuito ta
y debe ser un poco mayor que el tiempo tOFF de apagado del dispositivo
(figura 8.6) para conseguir un apagado de dispositivo seguro. Después de
la corriente de ánodo nula, viene un intervalo de recuperación inversa t 2 a
t4 (generalmente de 3 11 seg. o menos) durante el cual ocurre la conducción
inversa, como se explicó para el rectificador de silicio en la sección 8.3.1.
Durante el proceso de conmutación, deben controlarse cuidadosamente
las dos características siguientes para lograr una buena conmutación y evi-
tar fallas del dispositivo.
1. De ti a t4 la razón de cambio de la corriente de ánodo, - di/dt debe ser
muy elevada. (No existe límite interno para la di/dt en este intervalo).
Aún el más ligero aumento de inductancia dentro del SCR o en serie con
el ánodo puede producir voltajes inducidos altos no previstos entre las
terminales de cátodo y ánodo. Para proteger al dispositivo durante este
intervalo, puede limitarse el voltaje inducido, colocando un circuito
serie capacitor-diodo entre el cátodoyánodo (llamado "red de compensa-
ción") o poniendo a tierra el ánodo a través de un "supresor de impulso"
en paralelo. (En la sección 8.6 se discutirán con más detalle estos dia-
gramas protectores).
2. Subsecuente al tiempo de apagado forzado, (después de t6
en la figura
8.8), hay un límite adicional para la razón en la que puede reaplicarse el
voltaje al SCR. Esta se conoce como especificación di/dt reaplicada
del SCR (es del orden de 20 a 50 V/11 seg para la mayor parte de los
SCRs).
Los diagramas para la conmutación forzada para controladores de motor
energizados con fuentes de C.C., se dividen en dos clasificaciones generales:
serie y paralelo. Esta clasificación se basa en la configuración del circuito
del capacitor de conmutación; es decir, si está eléctricamente en serie o
en paralelo con el SCR que va a conmutarse. Existen muchas configuracio-
nes de circuito en ambas clasificaciones. Se presentarán aquí los dos con-
ceptos de circuito básicos y se mostrarán otras variaciones en algunos de
los diagramas de control discutidos en secciones posteriores.
8.4.1 Conmutación serie
En la figura 8.913
se muestra un circuito elemental de conmutación se-
rie. En este circuito, 8 I es el SCR principal que está siendo conmutado,
alimentando a la carga formada por una componente resistiva R y una in-
ductiva L. El capacitor de conmutación es C; 82 es el SCR inversor y Le es
el inductor de inversión. La operación es la siguiente: La corriente de carga
se inicia encendiendo al SCR principal 8 I , mediante el circuito de compuer-

378. 376 Control electrónico de motores eléctricos
tao La corriente fluye de la fuente a través de la carga y del capacitor de
conmutación y puede describirse, durante este intervalo, por la ecuación
diferencial de un circuito serie RLC:
(8.4)
La solución para la corriente i 1
es, para el caso subamortiguado (L/C n
R 2
/4),
(8.5)
donde
E = Eb - Eeo
Veo =es el voltaje del capacitor para un tiempo t =O; Veo es positivo
cuando la placa superior de C en la figura 8.8 es positiva res-
pecto a la inferior;
Zo = VL/C-(R/2i ,es la impedancia característica de Ohms;
10 = corriente para t = O
a = R/2L, es la constante de atenuación, 8-1
•
f3 = VI/LC-(R/2L)2 =Zo/L, constante de fase en rad/seg.
La solución para el voltaje a través del condensador es
donde
v = E - 1 R e- al [sen( f3t +€ +e) ]
e b lO o sen e
Zj=E/110 =impedancia de carga
sene=Zo/yZ/-RZj+(L/C) ; e=tan- I
Zo/(Zj-R/2)
sen € = Zo/YL/ C ; € = tan-le f3/ a)=tan-1(2Zo/R)
La solución para el voltaje de carga (a través de R y L) es
(8.6)
(8.7)

379. Técnicas de conmutación con SeR 377
En muchos casos de interés en la conmutación serie, la corriente al princi-
pio del tiempo de encendido del SCR es cero. Poniendo /10 = Oen las ecua-
ciones de la (8.5) a 8.7), se tiene
E _
1 = - e atsenf3t
1 20
(/10=0)
E _
Ve = Eb - -- ea/sen( f3t +€),
sen€
(/10=0)
(/10=0)
(8.8)
(8.9)
(8.10)
En la última de estas ecuaciones, L debe interpretarse como la inductancia
total del circuito serie, incluyendo la inductancia de batería o de fuente,
las inductancias asociadas con el SCR, con los conductores de ánodo y cá-
todo y la de carga. De manera semejante, R debe interpretarse como la
resistencia total del circuito serie.
Si el SeR (81 ) fuera un conmutador bilateral, las ecuaciones anterio-
res describirían la respuesta transitoria típica o "repiqueteo" de un circuito
RLG energizado con una fuente de C.C., que es de forma senoidal. Empero,
dado que la corriente inversa no puede fluir a través del SCR, se suspende
el flujo de corriente al término del primer medio período de la respuesta
sinusoidal. A esta corriente se le denominará, de aquí en adelante como
pulso seno. Se trata de la respuesta característica de un circuito RLC exci-
tado con una fuente de C.C., través de un dispositivo unilateral, como un
diodo, un SCR o un transistor y ocurre con frecuencia en todo tipo de
circuito electrónico. La anchura de este pulso seno es
(8.11)
(/10=0) (8.12)
El tiempo Tm, después del encendido inicial del SCR (en t = O), cuando el
pulso seno de corriente alcanza su valor máximo, es
(8.13)
(/10=0) (8.14)
Durante este pulso seno, la inductancia L se carga primero hasta su valor
máximo de energía, que se completa aproximadamente en t = Tm O (si

380. 378 Control electrónico de motores eléctricos
lo = O) en un medio del período To del pulso seno; esta energía se regresa
en seguida a la capacitancia c. Al término del pulso seno, cuando la corrien-
te i = O, la inductancia se descarga totalmente y la capacitancia se carga
hasta un voltaje dado por
(8.15)
(8.16)
Supóngase que la capacitancia estuviera inicialmente desacargada (Veo = O)
con corriente inicial cero. Para este caso, de la ecuación (8.16),
(8.17)
Para el circuito subamortiguado, el exponente R/2Zo es mucho menor que
la unidad y el voltaje en la capacitancia, al finalizar el pulso de corriente es
un poco menor que el doble del voltaje de la fuente Eb' Si la constante de
atenuación fuera cero, lo que implicaría un circuito sin pérdidas (R =O),
el voltaje del capacitor al término del pulso sería exactamente el doble del
de la fuente. Al término del pulso seno de corriente, sin tomar en cuenta
al intervalo breve de recuperación inversa, son nulos la corriente y el vol-
taje a través de la inductancia. El voltaje neto que aparece entre las termi-
nales ánodo-cátodo es la diferencia entre el voltaje del capacitor y el de la
fuente que polariza inversamente al SeR. Si esta condición se mantiene
durante un intervalo mayor que el tiempo de apagado torr, del SeR, és-
te se conmuta y se invierte a un estado de bloqueo progresivo. Este es el
mecanismo de la conmutación serie, probablemente el más sencillo y segu-
ro de los medios de conmutar un SeR. Sin embargo, este circuito, por sí
mismo, es de poca utilidad, pues no es posible una operación ulterior de
éste con el SeR en l:na situación de polarización inversa.
El siguiente paso en la operación de un circuito así, es invertir el vol-
taje de la capacitancia a través del circuito 82 a Le, lo que se inicia encen-
diendo el SeR (82 ). Las relaciones de voltaje y corriente resultantes pueden
obtenerse usando las ecuaciones (8.5) a (8.17), con Eb ello , iguales a cero
y con el voltaje Veo inicial de capacitancia, igual al voltaje de capacitancia
al final del pulso de corriente a través de 8 1 •
En estas ecuaciones y en las condiciones iniciales, es obvio que fluye
otro pulso seno de corriente a través del circuito e - 82 - Le , con direc-
ción opuesta en e, comparado con el primer pulso. Al término de este
segundo pulso, se invierte la polaridad del voltaje de capacitancia, con la
placa superior ahora negativa respecto a la inferior (figura 8.9). La magni-
tud de este voltaje depende de la resistencia del inductor Le. Si esta resisten-
cia es cero, el voltaje sería igual al existente al finalizar el primer pulso. El

381. Técnicas de conmutación con SeR 379
segundo pulso, necesario para invertir el voltaje de capacitancia, puede
iniciarse inmediatamente después de terminarse el primero, si el período
del segundo pulso se traduce en una condición de polarización inversa que
se mantenga a través del SCR principal, durante un tiempo mayor al de apa-
gado del S) . Para el circuito de la figura 8.9 este intervalo TQ puede obte-
nerse de la expresión
(8.18)
donde
sen€
tan~=----
Ro
- -CoS€
Zf
=tan€ (110=0)
Observése que TQ es el intervalo que sucede al tiempo de apagad(, de
S2 , durante el cual aparece un voltaje negativo a través de la capacitanci l. Si
se supone que TQ, que es el tiempo de conmutación del circuito, es lu su-
ficientemente grande para apagar a SI, el circuito estará listo para otra
operación que siga a la inversión del voltaje de capacitancia. Obsérvese que
S2 se conmuta, también, por un proceso de conmutación serie al término
del pulso inversor, cuando los voltajes de la fuente y de la capacitancia
quedan en serie aditiva. Si SIse enciende ahora, es posible que ocurra otra
vez el flujo de corriente progresiva a través de SI. La corriente máxima del
pulso será de mayor magnitud en este tercer pulso, en virtud del voltaje
mayor aplicado a través del circuito serie RLC, que es ahora la suma Eb +
Veo de los voltajes de fuente y capacitancia. Igualando E a este valor en
las ecuaciones (8.5) a (8.17), es posible analizar el circuito como se hizo
durante los pulsos previos.
Si se continúa el proceso de operación alternante de S) Y S2 , como
se describió en el último parágrafo, el voltaje de capacitancia alcanzará un
valor que puede ser mucho mayor que el voltaje de la fuente. Si la resistencia
del circuito fuera cero, el voltaje de capacitancia se aproximaría a un valor
infinito mediante esta técnica. Con resistencia de circuito finita, que siem-
pre está presente, el voltaje final o de estado de régimen a través de la capaci-
tancia en el instante en que SI se enciende, es
(8.18a)
Este proceso es útil en muchos circuitos multiplicadores de voltaje y en
partes de circuitos de conmutación serie y paralelo con thyristores.

382. 380 Control electrónico de motores eléctricos
8.4.2 Conmutación paralelo
Uno de los primeros circuitos y más sencillos de conmutación paralelo es
el Margan 1,14 , en el que el apagado se inicia por la acción conmutadora de
un transformador de saturación (ver capítulo 3). Como consecuencia del des-
censo de costos de los SCRs, desde la introducción del circuito Margan, se
reemplazó el transformador de saturación por un SCR de conmutación y
por el circuito inversor que aparece en la figura 8.10. Aquí, SI representa
al SCR principal que se conmuta y alimenta a la carga formada por una
resistencia R y una inductancia L. S2 es el SCR de conmutación; S3 es de
inversión; e el capacitar de conmutación y Le el inductor de inversión.
En muchos circuitos de conmutación paralelo, S2 puede sustituirse
por un diodo. Si se supone que S2 es un SCR, la operación es como sigue.
Supóngase que el circuito de la figura 8.10 está descargado inicialmen-
te. Los SCRs SI y S2 se encienden simultáneamente. Las corrientes i1 e i2
fluyen por ambos SCRs y por la carga, con iL = i1 + i2 • La corriente i2 ,
que circula por la trayectoria Eb - S2 - e - R - L puede determinarse
por las ecuaciones de la sección anterior. La i1 , a través de la trayectoria
Eb --- SI - R - L sigue el crecimiento típico de corriente en un circuito
R - L, energizado con una fuente de c.c. El valor de la capacitancia se es-
coge de tal suerte que a) el pulso seno de corriente durante esta operación
sea relativamente corto, en comparación con el pulso esperado en tiempo
de encendido de corriente en la carga y b) se almacene suficiente energía
en la capacitancia para conmutar a S4 al finalizar el pulso de encendido en
la carga. El SCR se conmuta por medio del mecanismo de la conmutación se-
rie descrito en la sección anterior e i2 = Oal completarse la conmutación.
Mientras SI está aún en la condición de encendido, se invierte el vol-
taje de la capacitancia de conmutación, a través del circuito inversor S3 -
Le, con corriente i3 , como se describió en la sección previa. Al finalizar
esta operación, el voltaje de capacitancia es un poco menor a dos veces el
de la fuente, con la placa superior en un potencial negativo respecto a la
inferior. Cuando se desea terminar el pulso de corriente de carga a través
de L y R, se enciende nuevamente el S2 ; esto hace que el SCR principal
se polarice inversamente por el voltaje de capacitancia y su corriente i¡ se
transfiera casi de inmediato a la capacitancia. Si hay una inductancia insig-
nificante en SI, e y el alambrado de conexión entre SI y e, la transferen-
cia de corriente tendrá lugar instantáneamente. Si se matiene una condición
así, durante un lapso suficiente, es decir, mayor que el tiempo de apagado
de SI, éste se conmutará. El voltaje en e se invertirá de nuevo Y S2 se
apagará eventualmente por conmutación serie. La transferencia rápida
de corriente de ánodo proveniente de la conmutación que se opera en el
SeRa un capacitaren paralelo,es la situación que se ilustra en la figura 8.8.
La corriente a través de la capacitancia y la carga durante el lapso de
conmutación puede calcularse de las ecuaciones de la sección anterior,

383. Técnicas de conmutación con SeR 381
haciendo lo igual a la corriente en 8 1 al principio de la conmutación (cuando
82 se enciende) y Veo igual al voltaje en e (con signo negativo), lo que
conduce a E = Eb + Veo' Se ve que esta corriente, durante el apagado de
8 1 , es un pulso seno de período To , determinado por los valores de C,L,R
y e. El valor de e lo determinan los valores de lo Y Veo' Estas ecuaciones
permiten el diseño de un circuito de conmutación, para conmutar un valor
lo de corriente en un SCR de especificaciones prescritas, que son los vol-
tajes pico progresivo e inverso (que fijan un límite superior a Veo), el toff
(que determina el tiempo TQ de apagado requerido de circuito) y el térmi-
no reaplicado dv/dt. Deben también examinarse las características térmicas
durante la conmutación.
Al usar las ecuaciones de la sección 8.4.1 para el diseño de los circui-
tos de conmutación de SCR, deben tenerse en cuenta varios aspectos:
1. Estas ecuaciones se basan en una inductancia lineal L, cuya saturación
puede fácilmente presentarse durante el pico de corriente del pulso de
conmutación, si posee un núcleo ferromagnético.
2. Si la carga es un motor, la representación equivalente de carga debe ne-
cesariamente incluir un voltaje activo (tal como la fcem en un máquina
de conmutación).
3. Muchas cargas inductivas, incluso numerosas cargas de motores, están
en paralelo con un diodo de marcha a rueda libre, que altera la natura-
leza de la impedancia de carga. Esta circunstancia se discutirá más tarde
con los supresores de c.c.
4. L y R deben forzamente representar inductancia y resistencia totales del
circuito. La inductancias de conductores y de la batería pueden ser
de consideración en muchos diseños.
5. En forma semejante, una resistencia excesiva de circuito puede origi-
nar problemas no sólo por aumentar las pérdidas del sistema, sino además
por reducir la carga en el capacitor de conmutación. Como se observó,
un circuito de conmutación serie debe ser subamortiguado para alcanzar
la sobrecarga del capacitor.
Si se conocen la carga R,L, el voltaje de batería y las especificaciones
de SCR, el diseño del circuito de conmutación consiste en determinar el
valor de la capacitancia de conmutación e, el de la inductancia Le deinver-
sión y las de especificaciones de los SCRs requeridos. Esto se hace supo-
niendo un valor de la capacitancia y un Veo y determinando el tiempo TQ
de apagado del circuito, dado por la ecuación (8.18). Este proceso se reali-

384. 382 Control electrónico de motores eléctricos
za óptimamente por medio de simulación en computadora de las ecuaciones
(8.5) a (8.18), ya que por lo general, se requiere cierto número de iteracio-
nes y la soluciones de estas ecuaciones no son sencillas. Este es especialmente
el caso, cuando se precisa usar un valor diferente a cero para lo, como
que se requiere en el diseño de diagramas de conmutación paralelo. No obs-
tante, muchas veces es más conveniente calcular características de conmuta-
ción sin un análisis complicado, lo que puede hacerse elaborando algunas
hipótesis que simplifican esas ecuaciones. La más obvia, es ignorar la resis-
tencia del circuito R, modificando los parámetros de la ecuación así:
0:=0; /3=_1_.
YLC'
Zo
e=tan- I - .
Z''f
Z
~=tan- I .-!... =:!!.. - e
Zo 2
'"c:=-
2
(8.19)
(8.20)
(8.21 )
(8.22)
De la ecuación (8.22) se deriva una "receta" para una primera aproxi-
mación al valor del condensador de conmutación: se ve que (3 TQ = 1T /2 o
sea,
T =YLC (:!!..)= ",/2 =T
Q 2 /3 m
que a menudo se expresa aproximadamente como
El valor máximo de corriente es, de las ecuaciones (8.15) y (8.13),
1 _=i(T )=1 e-aTm(senc: )
max m o sene
(8.23)
(8.24)
(8.25)
(8.26)
Si se usa la suposición R = Opara simplificar la ecuación (8.25) se hace
(8.27)

385. Técnicas de conmutación con SeR 383
Esta es una expresión muy útil, pues da la razón entre el voltaje pico del
circuito serie y la corriente máxima, incluyendo los efectos de una corrien-
te inicial lo y de un voltaje inicial de capacitor Veo' Utilizando la expresión
simplificada para Zo de la ecuación (8.19) y sustituyendo en la (8.24)
para eliminar a L, se obtiene
(8.28)
donde
Imáx = corriente pico de capacitor durante la conmutación
Además, Epk se toma generalmente como el voltaje máximo en el conden-
sador.
Estas relaciones se ilustrarán ahora mediante ejemplos.
Ejemplo 8.3
Un circuito serie, como el que aparece en la figura 8.9, está constituido por
los siguientes elementos: R = 0.4 n, L = 125 /lH, e = 100 /lF YEb = 72
V. Determinar la corriente máxima, la anchura del pulso de corriente y el
tiempo para el que es máxima la corriente en el pulso de corriente que su-
cede al encendido de SI'
Deben calcularse en primer término varios de los parámetros enlista-
dos bajo la ecuación (8.5):
Z ~VL _(R)2 =11'o e 2 . ,
Con estos valores se encuentra que la anchura del pulso de corriente es, de
la ecuación (8.12)
T = '17 358
o .88 X 104 = fLs
de la ecuación (8.14) se obtiene
T = 1.39 = 158 s
m (0.89 X104) fL

386. 384 Control electrónico de motores eléctricos
Sustituyendo Tm en la ecuación (8.26) y calculando ex se tiene
ex= ~ = 0.4 = 1.6 X 103
2L 250x 10-6
Imáx = J.~ (e-·252
)(sen79.r) =50.2 A
Ejemplo 8.4
¿Cuál es el valor del voltaje en la capacitancia al finalizar el pulso de co-
rriente del ejemplo 8.3?
De la ecuación (8.16) se obtiene
vc ( To ) = 72(1 + e-.572) = 72(1 +0.565) = 113 V
Ejemplo 8.5
En la figura 8.9 tanto SI como S2 van a operarse alternamente, con las
mismas constantes de circuito del ejemplo 8.3. Tómese Le = 20 /lH y su-
póngase que, en estado de régimen, el voltaje en e es de 180 V, cada vez
que SI Y S2 se encienden. Esto implica una resistencia nula en el circuito
de inversión. Determinar el valor máximo del nuevo pulso de corriente a
través de SI , la anchura de pulso y la corriente máxima del pulso a través
de S2. Cerciorarse que el tiempo TQ de conmutación del circuito es lo su-
ficientemente grande para garantizar una conmutación segura de SI.
Los parámetros temporales del pulso a través de SI son los mismos
que en el problema 8.3, así que la corriente máxima puede determinarse
de
(72+180)
1 _ = (e -O.252)(sen79.7°) = 176 A
max 1.1
Para el pulso de corriente en el circuito inversor,
fi; ,¡¡:;012
f3= - = -- =2 24x 104
Le 2000 .
17
T = - = 141 "S·o f3 r ,
17/2
Tm = /3 = 70.5 /Ls
. 180
Imáx= 0.448 = 402 A

387. Encendido de circuito de base y de compuerta 385
Obsérvese que este pulso es angosto con corriente pico elevada, lo que es
característico de los pulsos de corriente requeridos en este tipo de circui-
tos. El tiempo de apagado o de conmutación de circuito (tiempo después
de haberse encendido 82 ) es, en este caso, el tiempo durante el cual el vol-
taje en el capacitor es aún mayor que el de la fuente, con el objeto de
mantener una polarización inversa en 82 • Puede determinarse haciendo a
Ve igual a 72 V en la ecuación (8.9) y resolviendo para el tiempo. Notar
que en los cálculos del circuito de inversión, Eb es cero.
180 . I 1T )
72 = O- T.O (I.O)sen, f3tQ + 2'
Al resolver para tQ se tiene
f3tQ =66.4° = l.l4 rad; l.l4 51tQ = = us
2.24 X l(f I
Este valor es adecuado para muchos tipos de SCRs en este intervalo de po-
tencias.
Ejemplo 8.6
Si se supone que no existe demora en el encendido de los SCRs del ejem-
plo 8.4, determinar la corriente eficaz en el condesandor.
La forma de onda de corriente en el condensador tiene las caracterís-
ticas que se ilustran en la figura 8.11. Para determinar el valor eficaz de
corriente, puede usarse la tabla 8.1:
1. Por
[
353 ] = 105 A
2(353+ 141)
2. Por
[
141 ] = 152 A
2(353 + 141)
3. Valor eficaz de corriente en C= 'V105
2
+ 152
2
= 185 A
8.5 TECNICAS DE ENCENDIDO DE CIRCUITO DE BASE Y DE
COMPUERTA
Las posibilidades de control de los thyristores y de los transistores de poten-
cia proceden de su capacidad para pasar de un estado de alta impedancia a
uno de muy baja, en un lapso sumamente pequeño. Esta acción, a la que
se llama encendido del dispositivo, se inicia mediante la terminal de com-
puerta en los thyristores y por la conexión de base en el transitor de emi-

388. 386 Control electrónico de motores eléctricos
¡(A)
406
FIGURA 8.11 Forma de onda de corriente en el ejemplo 8.6.
sor común. Los circuitos conectados a la compuerta o la terminal de base, se
diseñan para pasar las señales de control fundamentales del sistema a la
acción correcta de encendido en el dispositivo de potencia. Estas señales
pueden provenir directamente de algún operador humano o de un progra-
ma grabado con anterioridad o parcialmente, por señales de retroalimenta-
ción que resultandelas condiciones de operación del motor,como velocidad,
par o temperatura. Ya en este capítulo se denominó a esta parte del circuito
conectado a la compuerta, sistema de control lógico. En esta sección, el
interés principal radica en los circuitos adyacentes eléctricamente a la com-
puerta o la terminal de base, cuya función es desarrollar la señal eléctrica
adecuada para el encendido del dispositivo. Se trata a menudo del circuito
de disparo.
8.5.1 Requerimientos de la señal de compuerta del thyristor
Una señal de compuerta de thyristor para el encendido de dispositivo es un
pulso, generalmente de sólo unos microsegundos. Su función es inyectar
energía a la capa de material inferior del dispositivo para iniciar el flujo de
corriente entre la compuerta y el ánodo, lo que reduce los voltajes de unión
del dispositivo, haciéndolo que pierda su capacidad de bloqueo progresivo
y permitiendo que empiece a fluir la corriente anódica. El corte inicial
comienza con una mancha pequeña alrededor de la carga de compuerta y
enseguida principia a extenderse radialmente hacia afuera, procedente de
la conexión de compuerta. El proceso se acelera a medida que la corrien-
te comienza a circular. En las primeras etapas del encendido de dispositivo,
sólo la pequeña mancha cerca del conductor de compuerta se "enciende"
y es capaz de conducir corriente de ánodo. Dado que esta mancha, para

389. Encendido de circuito de base y de compuerta 387
un lapso pequeño, es de sección transversal muy pequeña, en comparación
con la del recorte total del semiconductor, su resistencia equivalente al flujo
de corriente es alta. Esta situación se traduce en pérdidas¡2 R altamente lo-
calizadas que, a su vez, pueden dar lugar a la generación anormal de calor
localizada o "manchas calientes", estas condiciones pueden hacer que falle
el dispositivo. Por esta razón, la relación en que aumente la corriente de áno-
do (determinada en este lapso por la inductancia externa entre ánodo y
cátodo) debe conservarse dentro de ciertos límites, como se especifica en
la hoja de datos del dispositivo (su característica di/dt, figura 8.6). Los
tiempos de encendido para los SCRs van desde unos centenares de nanose-
gundos, hasta varios microsegundos. El tiempo de encendio es uno de los
factores que establecen un límite superior a la frecuencia de conmutación
a la que puede operar el dispositivo. Durante este período de encendido
puede ser muy alta la potencia instantánea que se disipa en el dispositivo y
contribuye a lo que se denomina, pérdida por conmutación.
16
Mini o de orrie te re uerid en
eom puert para aetiv rato as
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14
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.....
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---para ~I áreade i npuls
(B)
O
0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4
Compuerta de corriente instantánea (A)
FIGURA 8.12 Características de encendido de compuerta.

390. 388 Control electrónico de motores eléctricos
En la figura 8.12 se muestran las características generales que se re-
quieren para encender por la compuerta. Esta figura ilustra una región
aceptable de voltaje y corriente de compuerta para el encendido del dis-
positivo. Los valores numéricos dentro de esta región varían un poco en
función del tipo y dimensión del dispositivo. El tiempo de encendio del
dispositivo puede variar considerablemente para pulsos de voltaje y corrien-
te dentro de la región establecida. Los pulsos de alta corriente y corta du-
ración reducen por lo común el tiempo de encendido del dispositivo. Esto
se conoce como disparo duro o sobreimpulso de compuerta. Una forma
de pulso de compuerta que se usa bastante, tiene un alto valor inicial de
corriente con un tiempo sumamente corto de elevación, reduciéndose rá-
pidamente a un nivel bajo de corriente y permaneciendo así durante varios
microsegundos.
8.5.2 Circuitos de disparo de compuerta
Casi todos los tipos de circuitos de pulsos se usan para disparar thyristo-
res y el diseño de circuitos de disparo sigue generalmente los métodos usados
Devanados
de control
~
í--
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
L_
c,
------, D,
Voltaje de
al imentac ión'
oC »
Carga
T,
5,
FIGURA 8.13 Circuito de disparo de un amplificador magnético de onda
completa.

391. Encendido de circuito de base y de compuerta 389
para otros tipos de circuitos de pulsos. Dependerá mucho de la naturaleza
de las señales de entrada a los circuitos de disparo (las señales de control
anotadas antes), de los requerimientos de operación de thyristor y de los
niveles de ruido electromagnético en las regiones de los circuitos de com-
puerta. Los sistemas de control de motores operan generalmente en con-
diciones de ruido electromagnético alto.
Las componentes que se usan mucho en circuitos o.e disparo, son del
tipo semiconductor y del magnético. Se utilizan con frecuencia amplifica-
dores magnéticos para este propósito, aunque en los últimos años han sido
sustituidos por dispositivos de conmutación con semiconductores, con
Voltaje de
al imentac ión
RII
e1
FIGURA 8.14 Circuito semiconductor controlado en fase de media onda.
+30 V de
Entrada
ACME T-64525
11c:t=:
22Q
1W
0.5 ¡.¡f/100V
FIGURA 8.15 Módulo de disparo para un circuito de disparo de compuerta
de SCR.

392. 390 Control electrónico de motores eléctricos
tiempos de conmutación por lo común, más reducidos y con sistemas de
disparo de peso menor que los de los dispositivos magnéticos. La figura
8.13 es ejemplo de un circuito de disparo para un puente con SCR de on-
da completa, utilizando amplificadores magnéticos. Dos tipos de conmu-
tadores por semiconductor son útiles en esta aplicación: el transistor de
una sola unión (UJT; unijunction transistor) y el conmutador controlado
de silicio (Ses: silicon controlled switch). La figura 8.14 muestra un
circuito simple con un UJT. El transistor es probablemente el dispositivo
más común en circuitos de compuerta. La figura 8.15 muestra un circui-
to amplificador de transistor de acoplamiento de transformador a la com-
puerta SCR. Estos ejemplos ni siquiera esbozan el campo de la multitud
de circuitos y técnicos para el disparo de compuerta a thyristor. Se dispo-
ne enla actualidad de muchos sistemas de disparo empaquetados totalmente,
con uso amplio en aplicaciones normales, como los rectificadores controla-
dos en fase.
El acoplamiento de transformador a la terminal de compuerta de thy-
ristor, como el expuesto en la figura 8.15, es útil para reducir el ruido en
la compuerta, que a menudo origina un disparo falso del thyristor. El encen-
dido falso de un thyristor puede ser un incidente muy peligroso, que con
frecuencia provoca fallas catastróficas, pues puede cortocircuitar al circui-
to ánodo-cátodo a través de la fuente de potencia. Esta situación se verá
con toda claridad cuando sediscutan los circuitos de controlador de motores,
más adelante. En el capítulo 3 se analizaron brevemente los transformadores
de pulsos utilizados en disparo de compuertas. Para evitar capacitancias pa-
rásitas en un transformador procedentes de señales de ruido de acoplamiento
en la compuerta, deben diseñarse con todo cuidado la puesta a tierra del
transformador y su aislamiento magnético.
8.5.3 Señales de base de transistores
Los circuitos para el encendido de transistores de potencia son probable-
mente más conocidos para el lector y se analizan en muchos textos. La mayo-
ría de los aspectos discutidos para las señales de compuerta de thyristor
se aplican a las de base de transistor. La señal de base se mantiene, por su-
puesto, durante el tiempo completo de encendido del dispositivo, necesi-
tando algunas diferencias de diseño respecto a los pulsos de compuerta
muy cortos requeridos para el encendido del thyristor. En la sección 8.3.5,
se analizaron algunas de las variaciones deseadas en la señal de base para
obtener ciertas características de encendido y apagado. Puesto que los
transistores se conectan con frecuencia en paralelo, para hacer posible al-
tas corrientes en aplicaciones de control de motores, es importante una
sincronización adecuada de señales de base. La figura 8.16 muestra un
impulso seguidor -emisor común para N transistores en paralelo, donde se
obtiene la sincronización conectando en paralelo las N tprminales de base.

393. Protección de semiconductor de potencia 391
Q.m
(l) "
"O ,..,
e '_O>
"' Q.
~ O>
}'
B
R
.------------.----lllll
I
I
f----+---f-........--+ - - - - - -.J
FIGURA 8.16 Impulsor seguidor de emisor común.
olO ..,
010
ro E
u Q)
"O
La figura 8.17 ilustra un impulso completo para operar un transistor en
modulación de anchura de pulso, que se discutirá después en este capítulo.
8.6 PROTECCION DE SEMICONDUCTOR DE POTENCIA
Los semiconductores de potencia se dañan con facilidad operándolos a
temperaturas altas, con sobrecorrientes, por picos o transitorios que causan
disparo falso del dispositivo de potencia y, en el caso de los thyristores,
por una elevación de corriente excesiva al encenderse. Esta última fuente po-
tencial de falla puede evitarse sólo con un diseño adecuado del circuito
en encendido y con la elección adecuada del thyristor para la aplicación es-
pecífica.
Debe también efectuarse la protección térmica de un dispositivo de
potencia, durante la etapa de diseño de un sistema de control de motor.
No hay una verdadera protección para temperaturas excesivas del disposi-
tivo, aunque con un análisis conveniente de la carga del dispositivo que se
prevé, pueden escogerse para una aplicación específica un dispositivo con
capacidades de voltaje y corriente suficientes y un disipador de calor adecua-
do. El análisis requerido incluye aspectos térmicos para determinar la di-
mensión y tipo del disipador de calor necesario, en base a las pérdidas
internas previstas de los dispositivos semiconductores. El análisis térmico
de los dispositivos semiconductores no está dentro de los objetivos de este
texto, aunque en las referenoias 1,2,7 y 8 pueden encontrarse muchas
orientaciones para seleccionar disipadores de calor y métodos de enfriamien-
to líquido o por aire forzado.
La protección en sobrecorrientes requiere fusibles de interrupción
rápida, en virtud de la baja capacidad de los semiconductores de potencia
para sobrecarga de corriente. La capacidad de fusible debe estar dentro de

394. Generador de d ¡entes de sierra I
100n;> >8.2 K
I
>430 ni
I
ro"f
L
,
1 pF
Circuito Schmit
modificado
430n ~
2.2 K
6K
Limitador de
amplitud de pulso
IControl
de
~5K
180 n
PET6001
1 K
I
I
11PF
T
MR2360
FIGURA 8.17 Modulador de anchura de pulso para transistor pnp.
lN4003
lN4003
Transductor de nivel
+24 V
1.5 K
-9V
200 n
lN4003
1N4003
Para cargar sal ida de ampl ificador de
retroalimentación (no invertido)
w
C)
N
~;:::
~
-~
'":::tc).
;:::
;::;.
;:)
~
;:
C)
e
~
'1>
~
'"...::l.
g
'"

395. Rectificadores controlados en fase 393
la característica [2 t del semiconductor, un parámetro que se da en el resu-
men de datos del dispositivo (ver figura 8.6). Los fusibles diseñados para
esta aplicación se encuentran en el comercio y se ilustran en la figura 8.5.
Un disparo impropio, debido a picos de voltaje se reduce principal-
mente con un diseño adecuado del circuito de disparo de compuerta. Sin
embargo, para evitar un disparo proveniente de señales externas que pue-
den acoplarse inadvertidamente al dispositivo o a sus circuitos de potencia,
se conectan en paralelo las terminales ánodo-cátodo de los thyristores me-
diante una red R - e, como se ilustra en la figura 8.18. En las referencias
1,2 y 16 se dan métodos para el diseño de estas redes, llamadas de compen-
sación.
8.7 RECTIFICADORES CONT~OLADOS EN FASE
Este circuito lleva en su nombre bastante información tocante asu naturale-
za. La palabra rectificador implica que se trata de un dispositivo de conversa-
ción de c.a., a C.C., lo que en efecto es. El término rectificador controlado,
implica el uso de rectificadores controlados de silicio, más que de rectifica-
dores comunes, lo que también es cierto, Finalmente, fase significa control
en función de una señal relacionada con la fase de la c.a., lo que es también
verdad. Los rectificadores controlados en fase, se refieren aunacolección de
circuitos que, en función de sus circuitos de potencia, son idénticos a los
bien conocidos que se utilizan para conversión c.ajc.c., en todos los nive-
les de potencia. Los circuitos rectificadores carecen de propiedades inhe-
rentes de control, aunque son circuitos de conversación con niveles de
voltaje c.a.-c.c., determinados que varían sólo ligeramente cuando se produ-
cen caídas de voltaje por corrientes de carga. Cuando se remplaza el dis-
positivo rectificador por un rectificador controlado, específicamente por
un SCR, estos circuitos conservan todas sus propiedades de conversión
c.a.jc.c. Pueden además, efectuar un gran control sobre las magnitudes de
corriente y voltaje en c.c. Los circuitos rectificadores controlados en fase,
se usan ampliamente para el control de motores de conmutador en C.C., en
casi todas las capacidades de potencia donde el suministro de potencia
en corriente alterna, constituyen la forma más simple de control electróni-
co de motores de las cuatro clases que se discutirán. Esto se debe en parte
a que los SCRs conmutan en la línea de la fuente de c.a., en lugar de re-
querir conmutación mediante circuitos auxiliares del tipo analizado en la
Sección 8.4.
En el capítulo 5, se presentaron las diversas técnicas para el control de
motores con conmutador en c.c. y se observó que se agrupaban en dos ca-
tegorías generales: control de armadura y control de campo. En el caso del
motor serie, el voltaje de control opera sobre la armadura y el campo en
serie. Estos tres modos generales de control de motores con conmutador

396. 394 Control electrónico de motores eléctricos
FIGURA 8.18 Red compensador Re usada en la protección de thyristores en
voltajes transitorios.
en c.c., tienen implicaciones diferentes con respecto a la operación, formas
de onda y técnicas de control del sistema controlador. En el caso de un
motor excitado por separado, en el que sólo se va a usar el control de cam-
po, se observa el controlador dentro de un circuito estático R-L: esto es,
el circuito de campo. En los casos de control de armadura de un motor ex-
citado separadamente y el control de un motor serie, se ve el controlador
como un circuito activo, formado por la fcem del motor más una resistencia
e inductancia equivalentes en serie. La distinción entre cartas activa y pasi-
va tendrá cierta importancia en el análisis. Los circuitos rectificadores con-
trolados en fase se usan para controlar los circuitos de campo y de armadura
(y al motor serie), por lo que tiene interés calcular la operación de estos
circuitos con cargas activa y pasiva.
El circuito rectificador más simple es el de media onda, con este cir-
cuito se demostrarán los principios generales del control en fase. La figura
8.19 ilustra un rectificador controlado en fase simple de media onda, usa-
do en el control de una carga inductiva estática. En esa misma figura se
muestran también las formas de onda de varios voltajes y corrientes. Aquí,
Vi 11 es el voltaje de entrada, una cantidad sinusoidal de frecuencia 1/TP' El
SeR se programa para encenderse a un estado conductivo en un lapso
Tex después de cada cruce con cero del voltaje creciente en cada ciclo.
A la mitad del período Tú> el voltaje aplicado se hace negativo, dando
una polarización inversa al SeR 8 1 , No obstante, en virtud de la carga in-
ductiva, la corriente se atrasa en fase al voltaje y persiste después del tiempo
T". Se aplica polarización inversa a 8 1 durante el medio período completo
Tp - To , asegurando un apagado adecuado. La forma de onda de las corrien-
tes de cargaiL
es sinusoidal y puede calcularsecon las relaciones convenciona-
les para un circuito R-L energizado con voltaje sinusoidal con característica
de tiempo cero igual a Tex. Los valores eficaces y promedios de las corrien-
tes y voltajes instantáneos expuestos en la figura 8.19 pueden obtenerse
con la ayuda de la tabla 8.1. Se ve que el voltaje y corriente de carga se
controla por el valor del tiempo Tex, que se determina cronometrando el

397. Rectificadores controlados en fase 395
S1
r R
~ }.,..v'n
l-
(VL)
iL L
v
'" I
I I
~t
I I
I I
I I I
v1t U DI I I
I I I
I I I
iLt
I I I
I I
I
o
FIGURA 8.19 Rectificador controlado monofásico de media onda con carga
estática.
pulso de la compuerta para SI. Aumentando Ta, se reducen los valores efi-
caces y promedios de la corriente y voltaje de carga, de acuerdo con las
relaciones dadas en el párrafo 7 de la tabla 8.1.
En la figura 8.20 se muestra un circuito puente de onda completa,
junto con formas de onda seleccionadas para una carga estática R-I.. Se ve
que sólo dos de los cuatro dispositivos semiconductores en el puente de-
ben ser rectificadores controlados. Este circuito es rara vez de utilidad en
la forma que ilustra la figura 8.20, por dos razones: la corriente en la carga
es de naturaleza pulsante con razones bajas de corriente promedio y eficaz
a corriente pico y para cargas altamente inductivas, la corriente de un pul-
so puede persistir dentro del tiempo en que se encienda el segundo SeR. En
esta condición, la polarización neta inversa, a través del primer SeR, es apro-
ximadamente de 2V (diferencia entre el voltaje de entrada y la caída de
voltaje de carga o la caída de voltaje serie a través del segundo par de SeR

398. 396 Control electrónico de motores eléctricos
r
L
Or--+------~~------_+--_r------~~------~----
o
FIGURA 8.20 Rectificador controlado monofásico de onda comp'leta con
carga estática.
y el diodo), lo que puede conducir a un tiempo de apagado lento del pri-
mer SCR. En la mayoría de las aplicaciones de carga inductiva, la carga
está en paralelo con un diodo de rueda libre, como se muestra en la figura
8.21. Este diodo permite una corriente de carga más continua o corriente
de armadura y mejora la capacidad de apagado del primer SCR.
La operación del circuito de la figura 8.21 es como sigue: supóngase
que el sistema se encuentra en una condición de estado de régimen en t =
Tex, con una corriente 10 en la carga y el diodo de rueda libre y todos los
semiconductores en estado apagado. Este análisis de iniciará con el encen-
dido de SI' Al encenderse, "ve" la combinación paralelo de la carga y del
diodo, más la caída de voltaje a través de D 2 •

399. Rectificadores controlados en. fase 397
DFW
Or_-----+-~-----~_+----~r_~----4_~----_+------
s,
Or-____~-L____~~L______L_L______L_~_____L_____ _
o
FIGURA 8.21 Rectificador controlado monofásico de onda completa con car-
ga estática y diodo de rueda libre.
Esa combinación paralelo se presenta como una caída de voltaje igual al
voltaje de saturación del diodo, alrededor de 1.0 V para un rectificador de
silicio. De este modo, al sumarse el voltaje equivalente a través de D 2 , se
tiene un voltaje generalmente despreciable en comparación de Vi" y la
conducción se inicia instantáneamente en 8 I • La conducción continúa has-
ta un poco después de que el voltaje de entrada invierta la polaridad en 1'0
específicamente después de gue el valor negativo de Vi" exceda a la caíd~
de voltaje de la combinación carga-diodo, o sea, alrededor de -1.0 V. Des-
pués de esto, 8 1 se polariza inversamente y conmuta; la corriente continúa

400. 398 Control electrónico de motores eléctricos
circulando por la combinación carga-diodo, hasta que se enciende 8 2 en
un lapso T01.' después del primer medio período. La conducción a través de
8 2 , es casi instantánea por las mismas razones que se dieron antes cuando
se encendió 8 y persiste así, hasta un poco después de que el voltaje de
entrada se haga nuevamente positivo, conmutando 8 2 • Por un lapso breve,
la corriente de carga "circula a rueda libre" otra vez a través de DF w, has-
ta que 8 I se enciende nuevamente y el proceso descrito se repite.
Durante el tiempo en que conduce el diodo de rueda libre en la ope-
ración anterior del circuito de la figura 8.21, puede calcularse la corriente
mediante las relaciones para una corriente transitoria en un circuito R-L
cortocircuitado a través de sí mismo (lo cual pasa por alto la caída del vol-
taje pequeña a través del diodo), con una corriente inicial (t = O) igual a
la corriente existente cuando cesa la conducción del SCR. Es decir, la co-
rriente durante el período de rueda libre tiene la forma de onda del des-
censo de corriente transitoria en un circuito R-L. El pulso de corriente
sinusoidal durante el tiempo en que conduce uno de los SCR es el de un
circuito R-L energizado por una fuente sinusoidal. En la figura 8.21 se
relaciona con todo detalle el principio de esta corriente (t = O) con el T01.'
De esta manera, la corriente de carga que expone esa figura, es la combi-
nación parte a parte de dos corrientes transitorias que pueden calcularse
con toda facilidad. Esto es característico de las formas de onda de los sis-
temas de control de motores.
Con una carga activa, como la armadura de motor, las formas de onda
son semejantes a las que se tienen con carga pasiva y se ilustran en la figura
8.22. Aquí, la fem de armadura Ea' se muestra como una magnitud cons-
tante respecto al tiempo. En realidad, existe una ligera ondulación en la
curva de Ea' pues el motor se acelera un poco cuando lo energiza el puente
y se decelera levemente cuando la corriente de armadura circula a rueda li-
bre. Salvo en motores con inercia muy ligera, esta ondulación es demasiado
pequeña para poder observarse. La diferencia principal entre las operacio-
nes de circuitos con cargas pasiva y activa, es el instante en que se apaga
el puente y principia la circulación a rueda libre. Con una carga activa, re-
presentada por un voltaje Ea' este instante ocurre cuando el voltaje de
líneas Uin , llega a ser menor en magnitud que Ea. En la figura 8.22, este
instante se muestra como T . Los valores promedio y eficaz para las ondas
de voltaje y corriente, mosirados para los circuitos de rectificados contro-
lado en fase, pueden calcularse de las relaciones dadas en la tabla 8.l.
Cuando la fuente de potencia para el motor es polifásica, se usan cir-
cuitos de puente polifásicos en control de fase. La figura 8.23 ilustra al
circuito de media onda trifásico y las formas de onda asociadas. La 8.24
muestra el circuito trifásico, de puente de onda completa que es el cir-
cuito inversor y rectificador polifásico más común.

401. Rectificadores controlados en fase 399
8.7.1 Aspectos del diodo de rueda libre
Este diodo requiere observaciones adicionales al dimensionar los SCRs
en el rectificador controlado en fase y en la mayoría de otros controlado-
res. Por ejemplo, cuando se enciende SIen la figura 8.22, el diodo de rueda
+
Or--L--~--~----+---+---~--+-----+
5, 5,
Or--+----~~~----~--+---_+--_+----_+---i------------­
I
I
I
'U-Or------------------------------------------------------
FIGURA 8.22 Rectificador controlado de onda completa con carga activa y
diodo de rueda libre.

402. 400 Control electrónico de motores eléctricos
Voltaje
trifásico
A
B
e
N
~t
~t
FIGURA 8.23 Rectificador controlado trifásico de media onda.
libre se polariza inversamente y se apaga, dando lugar a que su corriente
(que es también la de armadura) se transfiera al circuito de puente a tra-
vés de SI Y D 2 • La formación de corriente en S1 se limita sólo por la in-
ductancia en estas dos ramas del circuito puente y por la fuente de potencia,
pues la inductancia de armadura está ya cargada con este valor de corriente
de carga. La inductancia del puente y de la fuente es por lo común muy
baja. Por ejemplo, si la fuente es un "colector infinito", que es frecuente-
mente el caso en sistemas de potencia alta, carece de inductancia. Se tiene
inductancia de 1 JlHy o menos, lo que permite una formación muy rápida
de corriente en SI' que puede conducir a manchas calientes y falla del dis-
positivo. Esta situación se corrige con frecuencia colocando un reactor
pequeño saturable en serie con el ánodo de SI' lo que produce una demora

403. Rectificadores controlados en fase 401
A
Voltaje {_B___-t-__-I
trifásico e
~--~~--r--~
O~-L__~~~~__~~__~__~~__J-~~-~____
FIGURA 8.24 Rectificador controlado trifásico de onda completa y formas
de onda de voltaje.
de 5 a 10 J.Lseg, aproximadamente. Una vez que el reactor se satura, da lu-
gar a una caída de voltaje y pérdida de potencia insignificantes. El flujo de
corriente inverso en el diodo de rueda libre durante su proceso de apagado,
que se discutió en la sección 8.3.1, puede tener también efectos nocivos
cuando se encienda en SCR del puente y puede producir picos de voltaje
elevado a través del SCR apagado en el puente.
Estas relaciones de circuito originadas por el uso de diodo de rueda
libre se presentan en todos los tipos de controladores que van a discutirse
y deben tenerse en cuenta, en el diseño de circuitos de controlador.
Ejemplo 8.7
Determinar el voltaje promedio, aplicado a la carga para el rectificador de
media onda controlado en fase de la figura 8.9, si el voltaje vin de entrada
es de 120 V Y 60 Hz, con un Tex igual a un medio de To. Repetir para Tex
=0.002 seg.

404. 402 Control electrónico de motores eléctricos
El voltaje promedio puede obtenerse directamente de la tabla 8.1, pá-
rrafo 7. Para 60 Hz, el período Tp es 0.0167 seg y el medio período 0.0083
seg. Para Tex igual a un medio de To '
1 'lT ,¡-;;;o
V = -2 (1 +cos-
2
) v 2 ·120=27 Vprom 'lT
Para Tex igua a 0.002 seg,
1 ( 0.002 ), M
~rom= 2'lT 1+cos'lT0.0083 v2 ·120=46.5 V
Ejemplo 8.8
Repetir el ejemplo 8.7 para el circuito de onda completa de la figura 8.20.
Para el cálculo de valores promedios, el período de un ciclo del voltaje
de carga en el circuito de onda completa es igual a medio período de la on-
da seno, expuesto como To en la figura 8.20. Por consiguiente, usando
nuevamente la tabla 8.1 con Tex igual a un medio de To ,
V = 1-(1 +cos'!!...)V2 ·120=54 Vprom 'lT 2
que es dos veces el valor encontrado para el circuito de media onda, como
era de esperarse. El voltaje promedio, con Tex =0.002 seg, será asimismo el
doble del circuito de media onda; esto es, 93 V.
Ejemplo 8.9
Si la carga en el circuito de onda completa de la figura 8.20 está formada
por una resistencia de 1.2 Ohms y una inductancia de 2 Ohms, determinar
la corriente de carga promedio para las dos condiciones de ángulo de dis-
paro usadas en el ejemplo 8.8.
El voltaje promedio, a través de la inductancia de carga, es cero para
un período del voltaje aplicado, pues los volt-seg integrados a través de la
inductancia durante el proceso de carga (i en aumento) es igual exacta-
mente a los volts-segs negativos integrados a través de la inductancia du-
rante el proceso de descarga (i en descenso). En consecuencia, los voltajes
promedios calculados en los ejemplos anteriores aparecen sólo a través de
la resistencia de carga (sin tomar en cuenta las caídas en el SeR y en el diodo)
y puede encontrarse la corriente de carga promedio dividiendo el voltaje
promedio entre la resistencia de carga. Para Tex igual a un medio de To '
¡pro m =54/1.2 =45A; para Tex =0.002 seg, ¡pro m =93/1.2 =77.5A.

405. Rectificadores controlados en fase 403
8.7.2 Relaciones de corrientes en un rectificador controlado
En los ejemplos anteriores se calcularon varios voltajes promedio para cir-
cuitos rectificadores controlados en fase, encontrándose que 'los parámetros
de forma de onda de la tabla 8.1 sirvieron para ese propósito. El análisis de
corrientes en circuitos rectificadores controlados no es tan sencillo.
Cuando se enciende un rectificador en un tiempo Tex, sobre una carga
inductiva de R Ohms y L Hy, puede calcularse el flujo de corriente resul-
tante por medio de la teoría de circuitos. Las caídas de voltajes en este cir-
cuito se describen por la ecuación diferencial
E senwt= iR + L di
m dt
La solución para la corriente en (8.29) es
donde
Vm =valor máximo de vin , voltaje de entrada
I(Tex) = corriente de carga en t = Tex
7 =L/R, constante de tiempo de la carga
w =2rrf =frecuencia angular de vin
(8.29)
Esta corriente tiene tres componentes: el valor en régimen estacionario,
que es el primer término de (8.30); una componente transitoria relacionada
con el voltaje, como segundo término, y otro término transitorio prove-
niente de un valor inicial de corriente en la inductancia. Este último térmi-
no es característico de los sistemas con diodos de rueda libre. En circuitos
energizados en forma continua, estos términos transitorios desaparecen des-
pués de unos pocos ciclos de la señal de entrada. En circuitos energizados
discontinuamente, estos términos están presentes por lo general al princi-
pio de cada intervalo de conmutación y pueden tener tanta influencia en
la forma del pulso de corriente y en su período, como la tiene la compo-
nente de régimen estacionario. La forma del pulso de corriente descrito por
(8.30), que es una combinación de un pulso seno y términos exponencia-
les, se denomina a veces cuasisinusoidal, pues su apariencia se asemeja mu-
cho a una forma sinusoidal. Los parámetros del pulso, como el período,
valor máximo, pendientes, etc., no pueden calcularse en base a supuestos
" .!

406. 404 Control electrónico de motores eléctricos
Vm - - - - - - - - - - --,--,....~
o
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
I al I
I I I
I I I
f---<P/w~
FIGURA 8.25 Pulso de corriente de carga para la figura 8.19.
sinusoidales. El análisis de este pulso de corriente es más complicado por
el hecho de que el primer término transitorio en (8.30) varía con el instante
en que se encienda el SCR, en este caso el tiempo Tex. Si el encendido tiene
lugar de tal suerte que wTex =cp, desaparece el segundo término de la ecua-
ción (8.30). Siocurre cuando wTex =cp ± 1f/2, el segundo término es máximo.
Puede observar el lector que esta situación existe en el encendido o energi-
zado de muchos dispositivos inductivos, como transformadores, con fuentes
de c.a. Se ha intentado ya ilustrar ejemplos de estos pulsos cuasisenos: En
las figuras 8.19 y 8.20 los pulsos de corriente de carga son de esta forma,
con I(Tex) cero. Los pulsos de corriente en el SCR (e intervalos de corrien-
te de carga) en las figuras 8.21 y 8.22 son también de esta forma, aunque
con I(Tex) diferente de cero.
La figura 8.25 es una ilustración más detallada del tipo de pulso que
existe con corriente inicial I( Tcx) cero. También se muestran las dos compo-
nentes del pulso real de corriente: la de régimen estacionario y la transi-
toria. El período del pulso es
(8.31 )

407. Rectificadores controlados en fase 405
El valor de Tf
para un pulso de corriente de este tipo puede encontrarse
haciendo i = O Y t = Tf3 en (8.30), lo que da la ecuación trascendente
(8.32)
Esta ecuación es de la forma de (8.18) establecida para los circuitos de con-
mutación serie. El cálculo a mano de expresiones de esta forma para obtener
valores numéricos es tedioso y largo, aunque pueden desarrollarse fácilmen-
te rutinas de computadora. Además se disponen de curvas que dan el perío-
do To de esta forma de pulso en función de Tex y 4>.1 7
El cálculo del valor de corriente, promediado en el tiempo, a través
de la resistencia de carga para formas de pulso de corriente de este tipo
puede hacerse, por fortuna, por el método dado en el ejemplo 8.9, pues el
valor promedio en el tiempo del voltaje a través de la inductancia de carga
es cero. El promedio en el tiempo de la corriente continua se obtiene divi-
diendo el valor promedio del voltaje aplicado (obtenido de la tabla 1, pá-
rrafo 7) entre las resistencia de carga. Este valor se usa para determinar
eficiencias del sistema, potencia de carga y corrientes promedio tanto en
los SCRs como en los diodos. Los valores promedios en el tiempo de co-
rriente y voltaje son los que miden instrumentos de lecturas promedio,
como los D'Arsenvol.
No obstante, el cálculo de valores eficaces de corrientes para este ti-
po de forma de pulso es mucho más difícil y requiere determinar el pro-
medio del cuadrado del segundo miembro de (8.30) y después determinar
el período del pulso mediante (8.32). La referencia 12 desarrolla relaciones
gráficas, mediante las cuales pueden determinarse valores eficaces en tér-
minos de Tex Y 4> y, desde luego, también son aplicables rutinas de compu-
tadora. Con frecuencia son necesarios los valores eficaces de corrientes
para determinar pérdidas óhmicas en controladores de motor y para dimen-
sionar los SCRs y los cables eléctricos.
Hasta aquí ha interesado primordialmente el análisis de (8.30), con
corriente inicial I(Tex) nula, lo cual se aplica a los pulsos de corriente de
carga de las figuras 8.19 y 8.20, y a muchos circuitos semejantes. Con ma-
yor generalidad, estas relaciones se aplican a un flujo discontinuo de co-
rriente en circuitosRL energizados con fuentes de forma sinusoidal. El caso
de flujo continuo de corriente también interesa y existe en muchos siste-
mas de control de motores, en los que el motor está en paralelo con un
diodo de rueda libre. En las figuras 8.21 y 8.22 se mostraron formas de on-
da de corriente típicas. Sin embargo, aun cuando la corriente de carga sea
continua, se compone de secciones de corrientes discontinuas de pulsos.
Para usar el lenguaje técnico correcto, a estas secciones se les llama corrien-
tes continuas fragmento a fragmento. La corriente de carga mostrada en
estas figuras se compone de dos secciones: la corriente a través de la fuente
y carga y el conjunto del SCR y diodo en el puente, mostradas como co-

408. 406 Control electrónico de motores eléctricos
rrientes de entrada en esas figuras, más la corriente a través del diodo de
rueda libre, combinación de carga, denotada como iF W •
Puede analizarse la primera de estas corrientes continuas fragmento a
fragmento con la ayuda de (8.30) con un valor no nulo de I(TaJ. El análisis es
semejante al descrito en parágrafos anteriores, salvo que es más complicado
por la adición del segundo término transitorio que involucra a I(Tex). Nó-
tese que este término debe añadirse a (8.32). El instante en el cual principia
el pulso es Tex. El que termina lo determinan la relaciones de voltaje en el cir-
cuito de carga que resultan en el diodo de rueda libre polarizado progresiva-
mente y encendido. Con una carga estática, este instante se encuentra aproxi-
madamente en el cruce con cero del voltaje de entrada y se denota con 1'0 en
la figura 8.21. Con carga activa, ese instante es aproximadamente TI de la fi-
gura 8.22, cuando el voltaje de entrada llega a ser menor en magnitud que
el de carga. Estos instantes se describen como aproximados, ya que pueden
alterarse algo por las características de encendido y por la caída de voltaje
del diodo y por inductancias en los diodos y SCRs y en sus conductores.
Si estas inductancias son insignificantes, (menores que un IlHy), pueden
usarse estos instantes en el análisis, como se estableció antes.
La corriente del diodo de rueda libre principia cuando termina el pul-
so a través del puente, suponiendo de nuevo que los efectos secundarios
mencionados arriba son insignificantes. Este segmento de corriente finaliza
cuando la fuente se aplica otra vez a la carga a través del puente, polarizado
así inversamente el diodo y apagándolo. IJurante conducción del diodo de
rueda libre, con carga estática, puede (v~escribirse la corriente en la malla
carga-diodo mediante la expresión de d'~scenso de corriente inductiva
(8.33)
donde I( To') es igual a la corriente de carga en el cruce To con cero de la
señal de voltaje de entrada. La corriente inicial I(To ) puede calcularse de
(8.30). El instante To tiene lugar un poco después del momento en que el
pulso de corriente alcanza su valor máximo, siendo entonces di/dt igual a
cero y el voltaje a través de la inductancia de carga. En seguida, la magnitud
del pulso de corriente principia a decrecer a partir de su máximo y di/dt y
el voltaje en la inductancia se hacen negativos. Esta acción de la inductancia
de carga es la que polariza progresivamente al diodo de rueda libre y origi-
na que principie la conducción, cuando el voltaje inductivo llega a ser lo
suficientemente grande para sobrepasar la caída de voltaje del diodo (un
V o menos). Para sistemas con una carga dinámica de voltaje Ea, el flujo
de corriente en la malla diodo-carga lo da
O=Ri+L di +E
dI a
(8.34)

409. Rectificadores controlados en fase 407
La solución para la corriente puede encontrarse de (8.34) por métodos con-
vencionales. Así,
. -I(T) -tIT_ E(l_ -liT)lFW- 1 e R e (8.35)
donde I(TI ) es la corriente de carga en al instante en que E = Vin y r=
L/R. Este instante se denota con TI en la figura 8.22. a
La forma de la corriente de rueda libre es exponencial, como indican
(8.33) y (8.35). Estas formas se aproximan frecuentemente por segmentos
de rectas con pendientes negativas. Esto es particularmente cierto en el ca-
so de carga activa, que es de interés en la discusión de cargas de motor con
conmutador en c.c. En muchos circuitos de esta naturaleza, la resistencia
de carga puede ingnorarse y (8.34) se convierte en
O=L di +E
dt a
(8.36)
cuya solución es
(8.37)
De este modo, cuando la resistencia de carga de una carga activa es insigni-
ficante, la corriente de carga se representa ciertamente por una línea recta
con pendiente negativa. Esta suposición se usa con frecuencia en el análisis
de motores con conmutador en c.c. Las formas de onda de las figuras 8.22
y 8.23 Y el párrafo 6 de la tabla 8.1 se basan en este supuesto. Es también
práctica común aproximar la parte creciente de la corriente de carga (el
segmento durante el cual se aplica el voltaje de la fuente) por una línea rec-
ta. Esto conduce a la forma de onda en zig-zag mostrada en el párrafo 5 de
la tabla 8.1, que se usa comúmente para carga de motor con diodo derue-
da libre. Las aproximaciones mediantesegmentos de línea recta son especial-
mente convenientes para calcular valores promedio y eficaces de corrientes
de carga y son lo suficientemente exaétos para múltiples propósitos.
Esta discusión de. formas de pulso de corriente, períodos y valores pro-
medios y eficaces se basó en un sistema rectificador controlado en fase,
pero se aplica a muchas otras situaciones en control de motores. Con fre-
cuencia se hará referencia a estas relaciones al discutir otros tipos de con-
trol de motores.
Ejemplo 8.10
Un motor con conmutador en C.C., se controla mediante un rectificadorcon-
trolado de puente de onda completa, monofásico (figura 8.22) energizado

410. 408 Control electrónico de motores eléctricos
con una fuente de potencia de 120 V, 60 Hz. El motor tiene una resistencia
de armadura de 0.1 Ohm y una inductancia de armadura de 1 mHy. La ar-
madura está en paralelo con un diodo de rueda libre. El motor opera a una
velocidad constante, de tal suerte que la fcem de armadura es de 60 V. En
un cierto instante, cuando un SeR se enciende (Tex. =0.006 seg) la corrien-
te de armadura es de 80 A. Determinar
a) El valor de la corriente de armadura para el tiempo TI cuando co-
mienza la corriente de rueda libre y se apaga el SeR.
b) La corriente al finalizar el segmento de corriente de rueda libre.
Vm para una fuente de 120 V. rcm es169.7 V; Z=yO.12
+(377X.OOlf =
0.39 L 75.2°. </>=75.2° = 1.3125 rad; VmsenwTI =60; wTI= '17-60jI69.7=
2.786=; wT,,377xO.OO3=1.l31 rad; To=(lj2)(lj60)=0.OO833 s; wTo = '17;
r=O.OOljO.1 =0.01 s. i(Ti)
De (8.30),
i(TI )
= 1690~3~60 {sen(2.786-1.3125) -exp[ - (0.OO8¿.~tOO3 ) ]sen 1.131-1.3125) }
+80exp[ - ( 0.OO8¿.~tOO3 ) ]
= 281.3[0.995 - 0.586( - 0.1805) ] + 80 X0.586
= 356 A al término del primer segmento. (a)
El segmento de rueda libre continúa hasta que se encienda el siguien-
te SeR, lo que tiene lugar Tex. seg después del cruce por cero del voltaje de
entrada. Por lo tanto, la corriente de rueda libre para Tex. seg es, de (8.35),
iFW (TJ=356exp( -O~;) - g.~ [I-exp( - 00~; )]
=264-155.5= 108.5 A (b)
Ejemplo 8.11
La figura 8.26 ilustra una corriente de carga en régimen estacionario en
una armadura de motor en paralelo con un diodo de rueda libre. Se utiliza-

411. 150
100
Controladores de supresor 409
0.002 0.006 _ t
FIGURA 8.26 Aproximaciones por línea recta de corriente de motor con
control de supresor y diodo de rueda libre.
ron aproximaciones de línea recta para la corriente y se muestran valores
máximo y mínimo. Determinar los valores promedios, eficaces, de carga y
de diodo de rueda libre de las corrientes.
La razón de corriente mínima a máxima en esta forma de onda es
100/150 = 2/3. La corriente de entrada puede calcularse del párrafo 6 de
la tabla 8.1:
1 =150 1(0.002)(1+1+~) =726A
rcm 3 0.006 3 9 .
J = 150(1)( 0.002 )(1 + 1)=41.7 A
Prom 2 0.006 3
La corriente de diodo de rueda libre puede obtenerse de este mismo párrafo:
• 1 = ISOrcm
J = 150(1)( 0.004 )(1 + 1)=833 Aprom 2 0.006 3 .
La corriente de carga se encuentra del párrafo 5 de la tabla 8.1:
8.8 CONTROLADORES DE SUPRESOR
El principal controlador de motor con conmutador en C.C., para aplicacio-
nes de control se conoce como controlador de supresor o supresor de vol-

412. 410 Control electrónico de motores eléctricos
taje. Se usa ampliamente en sistemas energizados con batería, como los
propulsores de velocidad variable en carros de golf, montacargas y otros
vehículos eléctricos. El término supresor es el nombre genérico que se da
a dispositivos de control en los que se abre y cierra periódicamente un con-
mutador entre el voltaje de la fuente y la carga, con el objeto de variar el
voltaje de carga. Originalmente sirvió como sistema regulador de voltaje y
el dispositivo de conmutación era frecuentemente un conmutador mecáni-
co, como el de muchos reguladores de voltaje automotrices. El mecanismo
de control de voltaje es el de variar el tiempo de aplicación de un voltaje
de magnitud constante a la carga, en lugar de variar la magnitud de un vol-
taje de entrada aplicado continuamente a la carga. El tiempo de aplicación
se varía "cortando" el voltaje de entrada en pulsos discretos, de donde pro-
viene el nombre de este tipo de regulador. Los supresores de control de
motores difieren de los reguladores de voltaje principalmente en el rango
de voltaje de carga sobre el que va a mantenerse el control. Para control de
armadura de velocidad variable, este rango debe ir de cero hasta el máximo
voltaje de motor. Los supresores de control de motores se encuentran dis-
ponibles comercialmente, con SCRs y GTOs, transistores de potencia y
Darlingtons como dispositivos conmutadores de potencia.
8.8. '1 Control de la razón temporal
El control de razón temporal se refiere al control de una razón de paráme-
tros temporales, expresada usualmente como la razón del tiempo en encen-
dido al tiempo en apagado, o la razón del tiempo en encendido al período
de una frecuencia de pulso, que es la suma del tiempo en encendido más el
tiempo en apagado. Es a causa de la importancia de este concepto de con-
trol que se escogió escribir las fórmulas para valores eficaces y promedios
en la tabla 8.1 en términos de parámetros temporales, en vez de parámetros
angulares. En estas fórmulas, Toes el tiempo en encendido de un pulso y
Tp es el período de repetición y también la suma de los tiempos en encen-
dido y en apagado. La inspección de las fórmulas de la tabla 8.1 indica que,
para un voltaje de magnitud fija Vm , la variación del valor promedio o efi-
caz del voltaje o corriente se alcanza controlando esta razón '1'0 /Tp • Esta
es la base del control de razón temporal. Volviendo a las discusiones sobre
controladores rectificadores controlados en fase, analizados en secciones
anteriores, se ve que operan también sobre el principio de control de razón
temporal. En estos controladores es fija la magnitud y frecuencia del voltaje
de entrada y el control se logra variando la razón del tiempo en encendido
(modificando el tiempo de encendido del SCR, Tcx.) al período de repetición,
que, en este caso, lo determina la frecuencia de la señal de entrada. Dicho
de otro modo, el voltaje promedio de una carga se controla variando el tiem-
po de encendido del SCR en el período de medio ciclo de la frecuencia del
voltaje de entrada.

413. Controladores de supresor 411
Existen varias maneras de control de razón temporal en uso común
de controladores supresores prácticos.
1. Frecuencia constante, anchura de pulso variable. En este modo de con-
trol, el voltaje de entrada pasa por compuerta a una frecuencia constante
determinada por alguna señal de frecuencia fija, como un oscilador, car-
gando de una red R-C, de una frecuencia de línea, etc. La anchura de
pulso se determina controlando el tiempo de apagado del semiconduc-
tor de potencia, o sea el tiempo en que se inicia la conmutación del SCR.
En algunos casos, el tiempo de apagado o de conmutación se inicia en
una razón fija y el de encendido se modifica para controlar el voltaje
de carga promedio.
2. Frecuencia variable, anchura de pulso constante. En este modo, el tiempo
de encendido se controla y varía en función de una corriente promedio de
carga requerida o de una potencia preestablecida. Una vez que el semicon-
ductor de potencia se encuentra encendido, entra en operación una
demora fija, traduciéndose en un período fijo de encendido, antes de
iniciar la conmutación.
3. Combinaciones de los dos modos anteriores.
En cualquier tipo de control de razón temporal que use SCRs, ha'! un
período fijo que sucede al pulso en encendido, durante el cual el SCR Jebe
estar apagado antes de que pueda inciarse un pulso de encendido subse-
cuente. Este es el parámetro to ff de SCR descrito en la sección 8.3.2, que
determina el valor máximo de voltaje promedio que puede aplicarse a la
carga. En muchos casos, se elimina esta limitación aplicando directamente
el voltaje de entrada a la carga, sin supresión. En el caso de cargas de motor
con conmutador en c.c., puede hacerse sólo a velocidades de motor relati-
vamente altas, que darán lugar a fuerzas contra-electromotrices suficientes
para limitar la corriente de armadura.
Las formas de onda del control de razón temporal son tan simples co-
mo es posible. En la tabla 8.1, el voltaje aplicado a la carga puede repre-
sentarse por el renglón 2; la corriente de carga, sin diodo de rueda libre,
puede describirse por el 4 (la pendiente del parámetro en este diagrama -po-
sitiva o negativa -no afectará a las fórmulas para promedios y valores efica-
ces); el renglón 5 se aplica a la corriente en la carga con un diodo de rueda
libre y el 6 puede usarse cuando sean aplicables las aproximaciones por lí-
nea recta para corriente en el semiconductor de potencia o en el diodo de
rueda libre, con las mismas observaciones sobre la pendiente de la función,
como se estableció con anterioridad.
8.8.2 Circuitos supresores
La variedad de configuraciones de circuito que cae dentro de la clasifica-
ción de supresores es demasiado numerosa para describirse aquí, por lo

414. 412 Control electrónico de motores eléctricos
que sólo se describirán algunos de los circuitos básicos. Se espera que es-
tas descripciones darán al lector suficiente base para permitirle el análi-
sis de la mayoría de los circuitos supresores. Un criterio fundamental para
clasificarlos, en su capacidad para proveer regeneración; es decir, se les cla-
sifica en términos de flujo de potencia unilateral o bilateral. La mayor parte
de los circuitos comunes queda dentro de la primera categoría. Se ilustrarán
varios de cada uno de los tipos de circuitos.
En la figura 8.10 se muestra un circuito supresor básico con SeR, que
ya se analizó en relación con la conmutación por SeR. Se tiene ahí una
carga estática, pero es igualmente aplicable para carga activa, como una ar-
madura de conmutador en c.c., con fcem Ea. La representación de carga es-
tática es, desde luego, aplicable a una carga de armadura a cero velocidad,
donde R y L representan la resistencia e inductancia de armadura, respecti-
vamente. Este circuito supresor se usa también con frecuencia para controlar
corriente de campo en motores con conmutador en c.c., excitados separa-
damente, en cuyo caso la carga es estática. Este circuito es unilateral y no
proveé frenado regenerativo al motor. La figura 8.27 ilustra formas de anda
de voltaje y corriente para el circuito de la figura 8.10, aplicadas para el
control de una armadura de motor con conmutador en C.C., con fcem Ea.
Se supone en esta figura una velocidad de motor constante, lo que implica
una fcem constante para un circuito de campo constante.
La figura 8.27 presupone que el sistema se encuentra en condición de
régimen estacionario, con corriente de carga igual a lo al principio de cada
período, que arranca con el encendido del SeR de potencia 8 1 • Se han usa-
do las aproximaciones de línea recta para describir los segmentos de corrien-
te en el SeR principal y en el diodo de rueda libre. Estas formas de onda
son representativas de cualquiera de los modos de control de razón tempo-
ral descritos en la sección 8.8.1. El tiempo en apagado mínimo de este cir-
cuito, esto es, el lapso entre Tol y Tp de la figura 8.27, se determina por el
parámetro to ff de 8 1 • Además, durante este lapso de apagado, debe comple-
tarse, el pulso de inversión a través de 83
(figura 8.10) lo que, en la mayoría
de los circuitos requiere un lapso mayor que el tiempo de conmutación de
8 1 • Para resumir la operación de este circuito básico supresor, se da la si-
guiente descripción de la secuencia de eventos durante la operación en ré-
gimen estacionario.
1. En t = O, con corriente de carga igual a lo' se aplica un pulso de
compuerta a la terminal de compuerta de 8 I , haciendo que se en-
cienda después de un microsegundo aproximadamente. En virtud
del voltaje V in - Ea aplicado a la carga, la corriente en 8 1 Y en la
carga aumentan exponencialmente y puede aproximársele con una
línea recta con pendiente positiva, como se muestra en la figura
8.27. El capacitor se cargó previamente a un potencial un poco ma-
yor que Vin , con la placa superior positiva.

415. Controladores de supresor 413
O~-------------------------------------------_ t
Vin r.---------....
_ t
¡Jot-1_O____--+~:----+------+--I,------
iFwt
O~------~_+-------+----------r_+_---------
Ot------~--'~---~----_+--'-----
FIGURA 8.27 Formas de onda de voltaje y corriente para el circuito supre-
sor de la figura 8.10.
2. Después de un cierto tiempo Te (determinado por la corriente pro-
medio requerida) se aplica un pulso de compuerta a la terminal de
compuerta de 8 2 , originando que se encienda. Por el potencial de ca-
pacitor, se polariza inversamente 8 1 , haciendo que la corriente se
transfiera casi instantánamente a la trayectoria a través de e y 8 2
(se supone que no hay inductancia en 8 I Y en sus conductores de
ánodo y cátodo). El voltaje neto aplicado a la carga es ahora la su-
ma del voltaje de la fuente Vin
y el del capacitor, dando lugar a un
pulso sinusoidal de corriente a través del circuito Eb - e - 8 2 -L-
R, que puede describirse por las ecuaciones de la sección 8.4 para
la conmutación serie.
3. Inmediatamente después de que este pulso i2 de corriente alcanza
su valor máximo, siendo casi cero en este momento el voltaje a tra-
vés de la inductancia de carga, 8 2 se polariza inversamente e inicia
su período de conmutación. En la figura 8.27 este tiempo se deno-
ta con To.' La corriente principia a fluir en el diodo rueda libre

416. 414 Control electrónico de motores eléctricos
aproximadamente en este mismo tiempo y C se carga con la ter-
minal superior posit:".....
4. Desde T(l hasta Tp continúa la corriente de carga a través c;lel dio-
do de rueda libre. Además, debe invertirse la carga en C por S 3 du-
rante este intervalo (corriente i3 en la figura 8.10).
Esta descripción detallada de la operación de componentes durante la ope-
ración del supresor se da para auxiliar al lector en el análisis de otros tipos
de circuitos supresores.
El supresor de Jonesl
a es un circuito popular utilizado en muchos im-
pulsores de montacargas. El circuito de potencia se muestra en la figura
8.28. La operación es la siguiente: SIse enciende por compuerta, originán-
dose un flujo de corriente a través de SI - L 2 -carga; L2 y L 1 están aco-
pladas magnéticamente (ambos devanados están por lo general en el mismo
núcleo magnético). Por consiguiente, el flujo de corriente por L 2 da lugar
a una corriente proporcional a través de L 1 - e - DI' cargando a e con la
placa inferior positiva. El pulso en SI se termina encendiendo S2, que po-
lariza inversamente a S 1 Y origina el pulso sinusoidal típico a través de la
trayectoria e - S2 - L 2 - carga. Inmediatamente después de que este pul-
so de corriente alcanza su valor máximo, DF w se polariza progresivamente
y principia a conducir y S" se polariza inversamente, apagándose. Durante
el siguiente período de op-eración, que se inicia con el encendido de SI' C
invierte su voltaje a través de la trayectoria e - SI - DI - L 1 , que contri-
buye también a la corriente de carga en L 2 • Cuando se invierte el voltaje
+
s,
FIGURA 8.28 Circuito supresor Jones.

417. Controladores de supresor 415
en e puede continuar el proceso de carga a través de DI por la acción de
acoplamiento de corriente de carga en L 2 hasta que DI se polariza inver-
samente. Cuando se apaga D 1 por esta condición de polarizado inverso ye se
carga con la placa inferior positiva, el circuito está en condición de repetir
la secuencia de eventos descrita antes. Las desventajas del circuito Jones son
el tamaño y peso de las inductancias acopladas L 1 y L2 • Sin embargo, has-
ta hace poco tiempo, este circuito tenía un costo de manufactura menor
que el circuito totalmente semiconductorizado de la figura 8.10, en parte
por el uso de un capacitor de conmutación de dimensiones menores. Los
detalles de diseño del supresor de Jones pueden encontrarse en las referen-
cias 1 y 18. En la figura 8.29 se muestra un circuito supresor en el que se
realiza conmutación serie. Este circuito emplea una cantidad mínima de dis-
positivos semiconductores de potencia.l
9 La conmutación del SeR único
que se requiere en este circuito (S 1 ) se hace mediante el proceso resonante
de carga de el'
Se han desarrollado varios criterios de diseño en relación con el supre-
sor básico de la figura 8.10. Suponiendo que los tiempos de apagado de SI
y S2 sean iguales y de valor to ff' el condensador de conmutación se rela-
ciona con los parámetros del circuito por
e ;;;. _1_ [ 4.5 t 1xR 7T off
El inductor de inversión, con la misma suposición, será
+
5, D,
L,
e,
FIGURA 8.29 Supresor con conmutación serie.
(8.38)
(8.39)

418. 416 Control electrónico de motores eléctricos
donde
Vin =voltaje aplicado al supresor
R =resistencia de carga
to ff = tiempo de apagado de los SCR.
Cuando se requiere un flujo bilateral de potencia, como en el caso de
motores de conmutador en C.C., del tipo de tracción, con frenado regenera-
tivo, los circuitos de semiconductores de potencia, tal como se muestran en
las figuras 8.10, 8.28 Y8.29, deben duplicarse; esto es, debe agregarse otro
supresor con polaridad inversa, en paralelo con el supresor usado para con-
trol de motores. Hay varios esquemas para reducir el número total de dis-
positivos de potencia necesarios para el flujo bilateral de potencia. La
referencia 21 es un ejemplo de circuitos de este tipo. En las referencias
17, 22 y 23 se dan más discusiones de regeneración usando circuitos supre-
sores para el control de motores con conmutador en c.c.
8.9 CONTROL DE MOTORES DE C. A.
La dicusión de control de motores en las secciones anteriores se orientó
principalmente al control de motores con conmutador en c.c. Aquí se ana-
lizará el control electrónico de motores de inducción y síncronos. El motor
con conmutador en C.C., se ha usado por tradición más ampliamente en apli-
caciones de velocidad variable, en virtud de la sencillez y flexibilidad de las
técnicas de control para esa clase de máquina. Con el advenimiento de los
controladores electrónicos analizados en este capítulo, se usa aún más am-
pliamente en aplicaciones de velocidad variable y en muchas de control
de par variable por las mismas razones. Esto es particularmente cierto para
capacidades de potencia más elevadas. Se han desarrollado muchos circui-
tos electrónicos útiles e interesantes para el control de velocidad variable
en motores de c.a., y muchos de ellos se han probado, encontrándose con
buenas características técnicas de operación. La meta de estos esfuerzos ha
sido sustituir la máquina con conmutador en C.C., por máquinas sin esco-
billas en c.a., en vista de los problemas de operación y mantenimiento
asociados con los sistemas escobilla/conmutador. No obstante, los controla-
dores de velocidad variable para motores de c.a., son más complicados y
costosos y usan más dispositivos con semiconductores de potencia que sus
contrapartes en c.c. En términos generales, no se ha materializado la susti-
tución de máquinas de c.a., con control electrónico en las aplicaciones
tradicionales de velocidad variable, a pesar de muchos logros técnicos ex-

419. (a)
"¡
I
/
I
/
(b) .
Control de motores de C.A. 417
,
~t
FIGURA 8.30 a) Control de triac de un motor monofásico; b) Vol-
taje aplicado al motor.
celentes en este área. Se encuentra una excepción en la industria textil,
donde se usan actualmente motores de inducción y síncronos de reluc-
tancia con control electrónico.
Antes de discutir los tipos mayores de control de velocidad en moto-
res de c.a., inversores y cicloconversores, conviene observar algunos de los
diagramas usados en el control de máquinas pequeñas, principalmente en
el control de voltaje de motores de inducción monofásicos y motores uni-
versales (c.a., en serie). En motores de inducción pueden realizarse algunas
mediciones de control de velocidad bajo condiciones de carga, variando el
voltaje de entrada (ver capítulo 6). El rango de variación de velocidad
que puede obtenerse de esta manera, sin exceder la capacidad de corriente
del motor, es rara vez mayor que el 10% abajo de la velocidad síncrona.
Además, es a menudo deseable el control de voltaje cuando la fuente de
potencia tiene una regulación de voltaje pobre y, por supuesto, para el
arranque del motor de inducción. La velocidad de los motores universales
se controla principalmente por medio del voltaje de entrada, casi corno en
el motor serie con conmutador en c.c. Los medios más sencillos de control
eleCtrónico de voltaje es una variación del rectificador controlado en fase,

420. 418 Control electrónico de motores eléctricos
en el cual la salida de voltaje del controlador es alternante. Para estas aplica-
ciones se usan todos los dispositivos de tres terminales enlbtados en la tabla
8.2. La figura 8.30 ilustra el uso del TRIAC para el control de fase de una
máquina de c.a., monofásica y el voltaje de entrada de motor asociado. Ob-
sérvese que la fórmula para el voltaje eficaz dada en el renglón 7 de la tabla
8.1 se aplica también a la forma de onda del motor de c.a. La fórmula para
el voltaje promedio es también aplicable si se interpreta como promedio
de media onda.
El medio principalpara controlar velocidad de los motores de inducción
tipo jaula y del síncrono es la variación de la frecuencia del voltaje aplicado.
Se excluye de esta discusión el control de la velocidad de motores de induc-
ción de rotor devanado o de anillos colectores, para los que se emplean mu-
chas técnicas electromecánicas y electrónicas pam variar la frecuencia en el
rotor y controlar la velocidad. El control de la frecuencia de estator en moto-
res de inducción implica también control de voltaje de estator, con el objeto
de operar al motor a un nivel constante de excitación magnética, ya que el
flujo magnético se determina por la razón de voltaje a frecuencia, como se
indicó en el capítulo 6. Esto se realiza mediante diversas técnicas en con-
troladores de motores de inducción, que pueden agruparse en dos clasifica-
ciones generales: modulación de anchura de pulso y control del voltaje de
c.c., aplicado al inversor. La modulación de anchura de pulso es una forma
de control de razón temporal discutida en la sección 8.8.1, en la cual se
modifica la magnitud del voltaje aplicado al motor cambiando la razón de
tiempo en encendido/tiempo en apagado de los pulsos de voltaje de entra-
da. A los inversores de control de voltaje se les denomina a menudo inver-
sores de onda cuadrada y los voltajes y corri.entes de carga pueden tener un
contenido armónico elevado. Este tipo de controladores se aplica a sistemas
energizados con fuentes de C.C., y de c.a. Con las segundas, el voltaje de C.C.,
aplicado el inversor se obtiene por lo general mediante rectificadores con-
trolados en fase; este sistema se conoce algunas veces como un controlador
de eslabón en c.c. Con fuentes de C.C., se usa por lo común un supresor de
voltaje.
Existe una diferencia importante en los circuitos de conmutación re-
queridos en estos tipos de controladores de c.a. que usan SCRs y dependen
del tipo de motor que va a controlarse. Con máquinas síncronas con deva-
nados de campo en C.C., puede realizarse la conmutación frecuentemente
usando la fem interna generada en la máquina, que requiere relativamen-
te pocos circuitos auxiliares. Con motores de inducción y motores síncro-
nos excitados separadamente, como los motores de reluctancia, se necesitan
circuitos de conmutación auxiliares semejantes en cierta medida a los em-
pleados con los supresores. El tipo de circuitos de conmutación usados en
estos controladores es el rasgo distintivo principal entre los muchos circui-
tos inversores usados en el control de motores de c.a.
En el control de velocidad variable de motores de inducción hay una

421. Control de motores de C.A. 419
tercera variable que debe tomarse en cuenta en el esquema de control junto
con la frecuencia y voltaje de entrada. Se trata del deslizamiento de rotor,
diferencia entre la velocidad mecánica del rotor y la velocidad síncrona. Es
posible dejar al deslizamiento relativamente sin control y variarlo con la
carga como en los casos de frecuencia aplicada fija. Empero, esto deja abier-
ta la posibilidad de que en algún punto de operación el deslizamiento sea
relativamente grande, dando lugar a pérdidas 12
R de rotor excesivas yen
otros puntos, el deslizamiento puede ser indebidamente pequeño, condu-
ciendo a la saturación del circuito magnético del motor. El control de la
frecuencia de deslizamiento en impulsores de frecuencia variable evolucio-
nó en Europa hace muchos años2
4 y desde entonces se ha usado en la ma-
yoría de los sistemas. Puede demostrarse que el control de la frecuencia de
deslizamiento se traduce en una eficiencia de motor mayor que cuando se
deja sin ese controF s . En este método, la señal que controla a la frecuencia
de entrada del motor -que se determina por el tiempo de disparo de los semi-
conductores de potencia- se formaconuna señal proporcional ala velocidad
mecánica, más un pequeño incremento que representa a la frecuencia de
deslizamiento (o r.p.m.). Este incremento es en realidad el control de par
del motor, pues determina el punto de operación en la característica velo-
cidad- par del motor (ver capítulo 6).
Los motores de inducción jaula de ardilla, para aplicaciones de veloci-
dad variable, se construyen generalmente con una resistencia de rotor muy
baja y operan así con valores de· deslizamiento relativamente bajos. La for-
ma de la característica velocidad-par cambia relativamente poco dentro
de un amplio rango de frecuencias, permitiendo una gama vasta de con-
trol de velocidad. En frecuencias de entrada muy bajas, que se aproximan
a cero o c.c., las resistencias de estator y rotor se convierte en las impedan-
cias dominantes en el circuito equivalente de motor. Esto requiere una
modificación a la razón VIf fija necesaria en otras frecuencias; el voltaje
debe incrementarse arriba de esta razón para compensar estas caídas resis-
tivas de voltaje. El uso de frecuencia de deslizamiento controlada permite
también una transición suave y sencilla entre la operación motor y la ope-
ración generador de la máquina de inducción. Cuando el incremento de
voltaje en la señal de control se reduce y llega a ser cero, la máquina se
encuentra en una situación sin carga con sus pérdidas mecánicas suminis-
tradas por la carga mecánica. Si el incremento se reduce aún más y se hace
negativo, se hace menester una velocidad mecánica superior a la síncrona.
La máquina se convierte entonces en regenerativa y suministra potencia al
enlace común de c.c., en las terminales de entrada del inversor. La mayoría
de los circuitos inversores son capaces de aceptar este flujo inverso de po-
tencia debido a los circuitos para tratar la potencia reactiva de las cargas
del motor de inducción
Solamente unas pocas de las muchas configuraciones interesantes de
circuitos usados en control de motores de c.a., pueden incluirse en este ca-

422. 420 Control electrónico de motores eléctricos
S1
+
VcLEb
c.,~[ S2
(a)
iLt
+
(b)
FIGURA 8.31 a) Circuito de un inversorserie; b) Formas de onda de corrien-
te y voltaje.
pítulo. Para un estudio más amplio, consultar las referencias 13,17,22 Y
24 a 31.
8.9.1 Inversores serie
El inversor serie es uno de los circuitos inversores más sencillos y utiliza una
cantidad mínima de SCRs, donde se usan éstos como semiconductores de

423. Control de motores de C.A. 421
::lotencia. Los inversores serie se usan principalmente en aplicaciones de fre-
~uencia fija1
7 , aunque se han adaptado para utilizarse como controladores
::le velocidad variable con máquinas de inducción y de reluctancia en ciertos
tipos de aplicaciones de carga. La figura 8.31 ilustra una configuración de
inversor serie que tiene una medida de control de voltaje y de frecuencia. 1 3
Se muestran también las formas de onda de corriente y de capacitor. Se ve
que el inversor serie opera con pulsos discontinuos de corriente, que es un
resultado del uso de la conmutación serie. El tiempo de apagado mínimo
se determina por la especificación to ff de los SCRs. Esto determina la co-
rriente eficaz máxima para un voltaje fijo. La operación normal de la figura
8.31 es con disparo alterno de 8 1 Y8 3 , lo que origina los pulsos senos dis-
continuos que se muestran. Esto puede dar lugar a la creación de un volta-
je excesivo en el capacitor para cargas ligeras, como se analizó en la sección
8.5, lo que puede reducirse alternando los disparos de 8 1
y 8 3
, Cuando se
enciende S3 (con la polaridad de capacitor adecuada, desde luego) hay un
pulso de corriente a través de la batería que hace que la energía se regrese
a ésta y que se reduzca la energía almacenada en el capacitor.
La frecuencia máxima de operación de este circuito la fija la suma del
tiempo de apagado requerido para la operación segura del SCR y del perío-
do del pulso dado por la ecuación (8.12). Este último es una función de los
parámetros del circuito serie RLC, donde R incluye la resitencia equivalen-
te de carga. La operación en frecuencias más bajas que esta máxima es posi-
ble aumentando el tiempo de apagado, lo que también reduce a la corriente
eficaz, como se ve del renglón 1 de la tabla 8.1, así como la capacidad de
carga del motor. Para cierto tipo de cargas, como las de vendaval; abanicos,
sopladores y cierta clase de bombas, es aceptable esta característica de ca-
pacidad de potencia en descenso. Este tipo de inversor se ha usado con
éxito en aplicaciones automotrices de ventiladores.
8.9.2 Inversores trifásicos
La figura 8.32 ilustra el circuito inversor puente de onda completa trifásico
que se usa comúnmente en control de motores de c.a. En esta diagrama se
muestran sólo los circuitos de potencia, pues existe casi una infinidad de
esquemas de conmutación que se han usado con este circuito, muchos de
los cuales se describen en las referencias. En la figura 8.33 se ilustran las
formas de onda de las componentes de voltaje y corriente en el inversor,
suponiendo un control de voltaje de entrada. Las formas de onda del in-
versor son por lo general más complicadas que las que se encuentran en
controladores de motor en C.C., y es más común el uso de las series de Fou-
rier. La magnitud de la corriente de motor se controla regulando el voltaje
de entrada en c.c., al inversor, que en este caso la proveé el generador. La
frecuencia de la corriente de motor se determina por la cronometrización
de las señales de compuerta del SCR. Como antes se dijo, esta sincroniza-

424. 422 Control electrónico de motores eléctricos
Inversor
Rectificador
~ L¡
5, 0 , 52 D2 5,
°3
R, R2 R3
CF
R4 R5 R6
54 D4
S5 D5 S6
°6
Generador
Motor
FIGURA 8.32 Inversor puente con control de entrada de voltaje.
ción es a menudo una función de una señal que es proporcional a la velocidad
más la frecuencia (deslizamiento) del rotor. Los diodos en antiparalelo
con los SeRs se necesitan para otorgar una trayectoria para el flujo de co-
rrientes reactiva después de apagado el SeR. Ayudan asimismo para dar
trayectorias para el flujo inverso de potencia cuando el motor opera co-
mo generador. Hay una secuencia muy rígida de pulsos de compuerta SeR
en el inversor puente; un disparo incorrecto de un SeR, que puede acaecer
por entrada de ruido en su terminal de compuerta, es posible que encienda
los SeRs opuestos, dando lugar a un cortocircuito directo a través de las
terminales de entrada de c.c.
Un examen detenido de la figura 8.33 ayudará a comprender la ope-
ración de un inversor controlado en voltaje. En la parte superior de esta fi-
gura se ven los intervalos de frecuencia angular en radianes cuando ocurre
el paso de compuerta del SeR. La siguiente línea muestra los SeRs como
se numeraron en la figura 8.32, que se encienden por compuerta en cada
intervalo. En inversores controlados en voltaje, los SeRs deben encenderse
por compuerta durante el intervalo total de encendido de SeR, pues la co-
rriente de ánodo no debe fluir durante el intervalo para mantener al SeR
en un estado de conducción. Este es siempre el caso con cargas inductivas
tales como motores de inducción, porque durante una porción de cada tiem-

425. Rse
disparados en
Control de motores de C.A. 423
lO"
0r__r--r___.--r__~.~~~~_31f :3~wt
: I ~ I
VAN tO~----i--+---T---'----+--l--,.L------lIL---r'_-
VAB tOf---;---L-f--+--+---+----+---l--f----;--------
FIGURA 8.33 Formas de onda del inversor controlado en voltaje.

426. 424 Control electrónico de motores eléctricos
po de encendido de SCR, estará fluyendo la corriente a través de uno de
los diodos antiparalelos y no por el SCR. En la secuencia de pasos por com-
puerta mostrada aquí. sólo dos SCR están encendidos en un instante dado.
Se ve que el intervalo durante el cual un SCR está encendido por compuer-
ta es de 21T/3 radianes. Los tres diagramas siguientes en la figura 8'::13 ilus-
trán la línea neutral de carga o voltajes de fase; los tres siguientes ilustran
los voltajes línea a línea. Estos diagramas muestran formas de onda ideali-
zadas que son válidas estrictamente sólo para una carga puramente resis-
tiva balanceada. Esto se debe a que durante cada intervalo, una de las ter-
minales de la carga está "flotando"; es decir, no está conectada a un SCR
que pasó por compuerta. Su potencial se determinará por la naturaleza
de la corriente de carga y no es fácil de predecir.
Las formas de onda de voltaje de la figura 8.33 se basan sobre el su-
puesto de que la terminal flotante está a un potencial de ± Vcc /2 respecto
a las otras terminales de carga, lo que es cierto sólo para una carga resistiva
balanceada. Es una aproximación razonable para otras cargas balanceadas
además. Las magnitudes de los niveles de voltaje se indican en la figura 8.33
en los diagramas para vA n y ve A • Del renglón 1 de la tabla 8.1 (aplicable
para pulsos alternantes o cuadrados unilaterales) se ve que el valor eficaz
de los voltajes de fase es
(8.40)
Los voltajes de línea a línea pueden encontrarse de una manera semejante
como
Vcc
v=-LV2 (8.41)
El lector observará que los voltajes de fase y línea de este inversor forman
un conjunto de voltajes trifásicos balanceado; es decir, tanto los voltajes
individuales de fase como los individuales de línea se encuentran desplaza-
dos uno del otro en 21T/3 radianes y la suma instantánea de los voltajes
individuales de fase y línea es cero. La componente fundamental de corrien-
te en la fase A se muestra en la figura 8.33 para una carga inductiva.
La secuencia de paso por compuerta de los SCR, mostrada en la figura
8.33, que tiene sólo dos SCRs en cada intervalo, es deseable desde el pun-
to de vista de los tiempos de conmutación de los SCR. Se observa que existe
un intervalo de 1T/3 rad, que sucede a la conmutación de un SCR antes de
que se encienda por compuerta el SCR opuesto, conectado en serie a través
del voltaje de entrada de c.c. Por ejemplo, 8 5 se conmuta en 21Tj3 rad y el
SCR opuesto, 8 2 , no enciende por compuerta hasta 1T rad después. No obs-
tante, esta secuencia se traduce en una razón baja de voltaje de fase eficaz

427. Control de motores de C.A. 425
a voltaje de entrada de C.C., como se vio de (8.40). Esta razón de voltaje
puede aumentarse, pero a expensas de un tiempo de conmutación reduci-
do, mediante una secuencia de paso de compuerta tal que se enciendan tres
SCRs en cada intervalo. En esta secuencia, en una secuencia de compuerta
idealizada, sólo un SCR se encendería por compuerta en el instante en que
su opuesto se conmutara. Sin embargo, en la práctica, debe existir una de-
mora entre estos dos eventos, para permitir una conmutación segura del
primer SCR. Esta secuencia tiende a aumentar la posibilidad de un corto
directo a través de los SCRs, en virtud de una conmutación inadecuada. Las
formas de onda del voltaje de carga son justamente inversas a las mostra-
das en la figura 8.33, cuando tres SCRs se encienden por compuerta. El vol-
taje de fase es 0.471 Vee y el de línea 0.815 Vee •
La configuración de circuito de potencia de un inversor con control
de modulación en pulsos es esencialmente igual a las de control de voltaje
variable y se usa comúnmente el circuito puente trifásico mostrado en la
figura 8.32. Sin embargo, los diagramas de compuerta de SCR difieren to-
talmente. En inversores modulados en fase, el voltaje de fase se compone
de una serie de pulsos de corta duración comparados con la frecuencia
fundamental. Estos pulsos son de magnitud constante y anchura variable.
La forma de onda del voltaje de salida es un tren de pulsos, cuya polaridad
se invierte periódicamente para proporcionar la frecuencia fundamental. La
tasa de repetición de tren de pulsos de salida se conoce como frecuencia
portadora fe' La razón de la frecuencia portadora a la fundamental debe
ser tan alta como sea posible a efecto de reducir al mínimo las armónicas
de carga. La modulación de anchura de pulso elimina la necesidad de un
controlador adicional de voltaje, como un rectificador controlado en fase
o el sistema rectificador-alternador mostrado en la figura 8.32.
r- - r-- r-- r-
...- f--- r-
."- i'
)/
" /
tV p
o 1f
/ 2rr
iI
'
,
"..-
::"::1=..= -- '--- -
FIGURA 8.34 Forma de onda de salida de inversor con modulación enanchu-
ra de pulso.

428. 426 Control electrónico de motores eléctricos
La figura 8.34 ilustra una porción de voltaje de salida de inversor con-
trolado por modulación de anchura de pulso. Se muestra asimismo la forma
de onda sinusoidal deseada. Este período de voltaje debe compararse con
las formas de onda mostradas en la figura 8.33 para el inversor controlado
en voltaje. La variación de la anchura de pulsos que constituye cada me-
dio período -llamada a veces "pedistales"- controla la magnitud del volta-
je eficaz. Esta variación o modulación se logra en la práctica por muchas
técnicas. Una común se conoce como triangulación del método de subar-
mónicas, en la que el tiempo de apagado entre pulsos se determina por los
puntos de cruce de dos señales de referencia: una onda triangular de volta-
je de alta frecuencia y un voltaje sinusoidal que varía con la frecuencia
fundamental. En las referencias se analizan otras técnicas. El valor mínimo
del tiempo de apagado entre pulsos, que determina a la frecuencia porta-
dora, se determina por los tiempos de apagado del SeR.
8.9.3 Cicloconversores
El cicloconversor es un dispositivo de control utilizado en aplicaciones de
motor de velocidad variable, donde la fuente de potencia de entrada es
de c.a. Es un medio para convertir una fuente de voltaje y frecuencia fijos
a una salida con voltaje y frecuencia variables. La frecuencia de la fuente
debe ser cuando menos tres o cuatro veces la frecuencia máxima de la sa-
lida. La figura 8.35 ilustra la configuración del circuito y la forma de onda
del voltaje de salida de una fase de un conversor trifásico aplicable al con-
trol de motores polifásicos. El mecanismo de control de voltaje y frecuencia
del cicloconversor es una combinación de los principios aplicados en el
rectificador controlado en fase y en el inversor modulado en pulsos. La
frecuencia fundamental del voltaje de salida del cicloconversor se determi-
na por el número de pulsos de la frecuencia de entrada usada en el tren de
pulsos que conforman un medio período de la frecuencia de salida. La
magnitud del voltaje de salida se determina por la porción de cada medio
ciclo de la frecuencia de entrada que existe durante el tiempo de encendi-
do del SeR, como en el control por rectificador controlado en fase. Ambos
parámetros, voltaje y frecuencia de salida, los determina la cronometriza-
ción de los pulsos de compuerta de los SeRs, en la figura 8.35. La conmu-
tación de SeR se hace por la de línea; que es la polarización inversa que
resulta de la polaridad de inversión del voltaje de entrada, como en el rec-
tificador controlado en fase.
De la figura 8.35 se ve que se necesita una cantidad muy grande de
dispositivos semiconductores de potencia para el control de un motor poli-
fásico, pues esta figura muestra sólo una fase de un sistema de control de
ese tipo. El cicloconvers.or requiere efectivamente mayor cantidad de se-
miconductores de potencia que los inversores de capacidad de potencia
equivalente. Si se comparan los cicloconversores con los inversores, pro-

429. Bibliografía 427
-l.L -~ l lL -~ ~~ """'
¡.
~ f- f- f- f- >--
l lL -fL 1lL -lL -:¡lL -,¡ ¡.
1Vout
(a)
V
out
t
O~~------------~~;~.-------------~------
--~Wl
(b)
FIGURA 8.35 a) Sección monofásica de cicloconversor; b) Forma de onda
de voltaje de salida.
cede comparar el paso, costo y dimensión relativos del uso de muchos
semiconductores de potencia, de capacidad de corriente relativamente ba-
ja, con el uso de unos pocos semiconductores de potencia de capacidad
elevada de corriente. En las referencias. 22,32, y 33 se encuentran análisis
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Problemas
8.1 Para las tres primeras formas de onda de la tabla 8.1, determinar el factor dé for-
ma que es la razón del valor eficaz al promedio si To =1/2Tp '
8.2 Una onda cuadrada de corrientes verdadera rara vez se logra, por las inductancias
del circuito. Las ondas son más bien trapezoidales, auque a menudo se aproximan
por pulsos cuadrados. Supóngase que la forma de onda de la tabla 8.1, renglón 2,
i
--_t
FIGURA 8.36 Problema 8.2.

432. 430 Control electrónico de motores eléctricos
se forma con pulsos trapezoidales en vez de los cuadrados que se muestran. La
onda se traza en la figura 8.36. Establecer las expresiones para
a) la corriente eficaz Ircm
b) la corriente promedio en el tiempo Ipro m'
8.3 Determinar la magnitud y fase de los primeros cinco términos de la representa·
ción en serie de Fourier de la tabla 8.1, renglón 4.
8.4 Supóngase que una corriente de magnitud pico I m =lOA Yforma de onda de la
tabla 8.1, renglón 4 fluye por un resitor de 1 Ohm. Determinar la pérdida óhmi·
ca en el resistor por medio de las ecuaciones de la tabla 8.1 y comparar el valor
calculado con el determinado por las componentes de Fourier establecidas en el
problema 8.3.
8.5 Un reactor saturable se usa en un circuito en el que el voltaje lo forman los pul·
sos cuadrados unidireccionales de la forma mostrada en el renglón 2, tabla 8.1,
con Vm =50 V, To =1000 /1 seg y f = lITp = 3200 Hz. El reactor saturable tie·
ne un núcleo toroidal (entrehierro de aire nulo) de material 48NI (figura 2.4).
El núcleo se satura en una polaridad por cada pulso de la onda cuadrada que se
aplica.
Supóngase que se dispone de una fuente de 50 V para reestablecer al núcleo
a la polaridad opuesta. Diseñar una bobina que sea capaz de reestabler (en la po·
laridad opuesta) en núcleo dentro del tiempo permisible (Tp
-To) para la forma
de onda aplicada del renglón 2, tabla 8.1 con la fuente de 50 V.
8.6 En la figura 8.9, sean Eb = 100V, C = 120 pP, L = 200/1 Hz, R =0.05 n.. Deter-
minar Zo' (X y {3, suponiendo que Veo =I 1 O = O, Bajo estas condiciones, encon-
trar la carga en el condensador que sucede al pulso de corriepte seno después de
que se dispara SI' Calcular la corriente pico del pulso seno yla anchura del pulso.
8.7 Determinar la tasa máxima de elevación de corriente en SI del problema 8.6, siS!
se cierra sobre el circuito estático R-L.
8.8 La carga de la figura 8.9 va a operarse con la batería de 100 V del problema 8.6,
con una frecuencia de pulsos de 1000 Hz.
a) Calcular Le para invertir al capacitor C en el tiempo requerido (C =120 /1F),
sin considerar la resistencia del circuito inversor.
b) Determinar el voltaje en régimen estacionario Veo para operación continua del
circuito (c. 8.1Sa).
8.9 En el circuito de la figura 8.20, R = 1.0 n, L =2.0 m Hy, y se aplica un voltaje
de 120 V, 400 Hz. Calcular las corrientes eficaz y promedio en el tiempo si T(X=
20% de To-
8.10 Repetir el problema 8.9 para el circuito de la figura 8.21.
8.11 Repetir el problema 8.9 para el circuito de la figura 8.22, despreciando las impe-
dancias del diodo de rueda libre.
8.12 Un motor de c.c., 120 V, 50A va a controlarse con una fuente de 120 V, 60 Hz.
Determinar la capacidad de los SCRs que va a usarse en un rectificador controla-
do en fase en puente monofácico, para esta aplicación. La capacidad debe incluir
corrientes eficaz y promedio, así como el PRV.
8.13 Un motor con conmutador en c.c., excitado separadamente, va a operarse a velo-
cidad y par variables. En velocidades abajo de 3000 rmp, se controla el par me-
diante un supresor de armadura de una batería de 120 V. La batería tiene una
resistencia interna de 0.09 Ohms; la resistencia de armadura es de 0.025 Ohms
y la inductancia de armadura es de 0.5 mhy. La constante de motor es 0.028

433. Problemas 431
V-stA (ver ecuaciones 5.49 y 5.50). La corriente de campo máximo es de 10 A
Y el par de motor máximo es 71 Nw-m (especificación de 1 minuto), con Ir =
10 A. Va a emplearse un supresor del tipo mostrado en la figura 8.10 para con-
trolar el par entre Oy 71 Nw-m en el rango de velocidad de Oa 3000 rmp.
a) Supóngase que SI va a encenderse en una razón constante y que la corriente
de armadura promedio va a controlarse regulando el tiempo de encendido del
pulso de corriente. Va a usarse un diodo de rueda libre. Seleccionar una fre-
cuencia de pulsos (500 Hz es un buen punto de partida) y determinar el rango
de anchura de pulso en tiempo de encendido para variar la corriente de arma-
dura de 10 a 250 A en 3000 rpm.
b) Repetir a) en 1000 rpm.
e) Repetir a) en cero rpm. ¿Se presentan problemas manteniendo la corriente
dentro de 250 A promedio con su selección original de frecuencia de pulsos?
¿Sería útil una inductancia adicional de circuito de armadura en repaso?
8.14 Especificar un SCR para usarlo como SI en el problema 8.13. La especificación
debe incluir Irem. I prom valor de voltaje inverso y progresivo, di/dt y dvldt rea-
plicada.
8.15 Si se tiene acceso a facilidades para diseñar modelos en computadoras analógica
o digital, preparar uno para el sistema de control supresor del problema 8.13 y
evaluar el sistema para ver si SI opera siempre dentro de las especificaciones del
problema 8.14. En su modelo, SI, S2, S3 y DFW pueden sup(;merse circuitos
abiertos al estar apagados; al conducir, el modelo para los cuatro dispositivos de-
be ser una inductancia de 1 J1 Hy aproximadamente y una caída de voltaje resis-
tiva de alrededor de 1.5 V para los SCRs y de 1 V para el diodo.
8.17 Un motor de inducción monofásico se especifica a 1/4 hp, 60 Hz, 1750 rpm y
120 V. Cuando opera en su condición nominal, la corriente de entrada es de
4.5 A. Al arrancar, se saca un pico de corriente de 8 A cuando el motor se co-
necta directamente a través de una fuente de 120 V, 60 Hz.
Este motor se va a usar en una aplicación que requiere un cierto grado de
control de velocidad. Va a utilizarse un controlador TRIAC para este propósi-
to, con control de velocidad obtenido al variar el voltaje aplicado al motor, de
acuerdo con el método de control en fase mostrado en la figura 8.30b.
a) Supóngase que el par máximo (tracción exterior) de este motor sea de 1.5
veces el de régimen, con una corriente 1.2 veces la especificada y que el con-
trolador TRIAC sea capaz de suministrar este par máximo con el voltaje de ré-
gimen aplicado al motor (T01. mínimo en la figura 8.30). Especificar el PRV
del TRIAC, las corrientes eficaz y promedio y el toff'
b) ¿Qué demora mínima debería tenerse para la condición de par máximo en a)?
e) ¿Cuál es la corriente eficaz de motor en esta condición?
d) ¿Cuáles son las ventajas del control TRIAC durante el arranque del motor yen
condiciones de bloque del rotor?
8.18 Una pulidora portátil usa una batería de 24 V Yun motor de inducción monofá-
sico especificado en 1/8 hp. La salida de potencia requerida para el pulido es re-
lativamente constante, aunque se considera necesario una pequeña cantidad de
control de voltaje en el motor de inducción. El motor va a controlarse mediante
un circuito inversor SCR monofásico (figura 8.31). La impedancia equivalente del
motor en su condición de corrida normal, vista desde las terminales del motor,
es R =0.62 n y L = 0.36 m Hy. La frecuencia de entrada va ser de 400 Hz. Para

434. 432 Control electrónico de motores eléctricos
1/8 hp, el motor requiere una corriente eficaz de entrada de 22 A Yuna de rotor
de 15 A.
a) Determinar las dimensiones y capacidades de 8 10 82 Ye para este uso, despre-
ciando las resistencias e inductancias de batería, conductores y dispositivos.
b) ¿Será excesivo el voltaje en C para 1/8 hp'? (ver ecuación 8.1Sa). Es convenien-
te el uso de 83 para limitar el voltaje de circuito y para obtener control de ve-
locidad?
8.19 Como una alternativa en el uso del inversor en el motor de inducción en la apli-
cación de pulidora potátil descrita en el problema 8.18, se propone un sistema
de motor serie (universal) y supresor. El motor serie de 1/8 hp que va a evaluarse
corre a 5000 rpm, 8.6 A, con una fuente de 24 V C.c., y 60 Hz.
a) Esta impedancia de motor se evaluó con prueba de rotor bloqueado, dando los
siguientes datos experimentales: 8.7 A, 98 W, 16.7 V 60 Hz. El voltaje a través
de las terminales de armadura fue de 2.7 V; a través de las de campo, 14 V; la
resistencia de devanado de campo en 20° efue de 0.232 Ohms yla de arma-
dura 0.196 en 20° C. Calcular las inductancias de la armadura con rotor blo-
queado y del campo.
b) Diseñar un supresor transistorizado de potencia para impulsar este motor en
sus condiciones nominales con una batería de 24 V, sin considerar las resis-
tencias e inductancias del circuito, como en el problema 8.19. Especificar los
parámetros de transistor: le. hFE (mínimo), VCE (sat)'Pr y fR (típ).
e) Comparar el sistema motor serie-supresor con el sistema motor de inducción-
supresor en términos de facilidad relativa de control de velocidad y regula-
ción de velocidad.

435. Capítulo 9
Teoría general de
las máquinas
eléctricas
En los capítulos precedentes se consideró cada máquina como una en-
tidad separada, enfatizando principalmente el comportamiento en estado
de régimen de las máquinas rotatorias. Sin embargo se recordará que para
los sistemas electromecánicos (capítulo 4), se formularon y resolvieron las
ecuaciones dinámicas de movimiento bajo ciertas restricciones. También
es aplicable un concepto semejante a las máquinas rotatorias, de donde,
en las siguientes secciones se discutirá este enfoque; aquÍ se tratará de pre-
sentar diversos métodos generales, aplicables a gran variedad de máquinas
rotatorias. De hecho, la teoría generalizada de las máquinas ha alcanzado
un desarrollo tal, que puede utilizarse para analizar casi dos docenas de ti-
pos diferentes de máquinas rotatorias. El análisis a continuación se circuns-
cribe a las máquinas que posean las tres siguientes estructuras magnéticas
básicas:
1. Máquina con protuberancia en el estator.
2. Máquina sin protuberancia en el estator o en el rotor.
3. Máquina con protuberancia en el rotor.
Como ejemplos de 1, 2 Y 3 se tienen, respectivamente, las máquinas con
conmutador en c.c., las de inducción y las síncronas con polos salientes,
todas máquinas ya bien conocidas.
Las teoría generalizada de las máquinas puede usarse como un punto
de partida importante para nuevos problemas, además de que proporciona
un método sistemático para resolver problemas rutinanos. Antes de entrar
en detalles, se analizarán la índole del problema y los objetivos de desarro-
llar una teoría general.
433

436. 434 Teoría general de máquinas eléctricas
9.1 OBJETIVOS Y NATURALEZA DEL PROBLEMA
Como se mencionó antes, el objetivo de desarrollar una teoría general es
obtener un método analítico aplicable a la mayor parte de las máquinas
que operan en estado de régimen o transitorias. En principio, este objeti-
vo puede lograrse si 1) se conocen los parámetros de las ecuaciones de
movimiento y 2) se resuelven estas ecuaciones para determinados condicio-
nes de operación. Se recordará que en el capítulo 4, las ecuaciones generales
de movimiento para un sistema electromecánico son, en notación matricial,
v= ~(Li)+ri
dt
T = _!¡ ~ [LJie 2 'dO
(9.1)
(9.2)
Estas ecuaciones se aplican también a las máquinas eléctricas; por lo que el
ptoblema se reduce a:
1. Determinar las matrices de inductancia y resistencia L y r, respectiva-
mente, de la máquina.
2. Especificar las condiciones terminales, com0 voltaje v o corriente i.
3. Resolver (9.1) y (9.2), indicando si se desean soluciones dinámicas o de
estado de régimen.
En las secciones subsecuentes se estudiarán los detalles para desarrollar es-
tos pasos; aquí sólo se describen brevemente los métodos. En primer lugar,
para determinar las resistencias, deben conocerse las dimensiones del con-
dl,lctor (longitud y sección transversal) y su resistividad. Si es necesario, se
deben aplicar correcciones de temperatura.
Las inductancias pueden determinarse mediante las ecuaciones que las
definen como eslabonamiento de flujo por unidad de corriente; es decir,
(9.3)
donde Ap q es el eslabonamiento de flujo con una bobina, por ejemplo (p),
atribuible a una corriente iq en otra bobina (q) y Lpq es la inductancia en-
tre las bobinas p y q.
También es posible obtener las inductancias por el método de la ener-
gía almacenada, donde la energía almacenada en los circuitos inductivos
(por lo general acoplados mutuamente) se iguala a la energía almacenada en
el campo magnético; esto es,

437. Objetivos y naturaleza del problema 435
(9.4)
En la próxima sección se explican las aplicaciones de ambos métodos
(9.3) y (9.4). Después de determinar los parámetros, el siguiente paso, aun-
que difícil, es obtener soluciones para las ecuaciones de movimiento. Al
realizar este paso, se aprecia la utilidad de la teoría general. El método para
resolver estas ecuaciones es el de la "fuerza bruta", básicamente de integra-
ción numérica; este método se denomina formulación del dominio del
tiempo o método de variables de estado y se discutirá más adelante. El se-
gundo y más común de los métodos, es el de la transformación, donde las
ecuaciones se resuelven haciendo un cambio de variables. Con este propó-
sito se reescribe la ecuación (9.1) como
v=Zi (9.5)
donde Z =Z (p) =pL + r, con frecuencia se le llama impedancia operacio-
nal. Ahora, se procede a hacer el cambio de variables de tal suerte que
v=Sv' (9.6)
y
i=Si'
donde las magnitudes primas son las nuevas variables, relacionadas con las
anteriores (sin acentos) mediante una matriz S de transformación. La sus-
titución de la ecuación (9.6) en la (9.5) da
Sv'=ZSi' (9.7)
Puede escogerse S, de tal suerte que sea no singular (es decir, que exista su
inversa) y entonces premultiplicar los dos miembros de la ecuación (9.7)
por S-1 Y obtener
v' =(S-IZS)i' =Z'i' (9.8)
Obsérvese que la ecuación (9.8) es una forma alterna de la (9.5); se recor-
dará que es difícil obtener la solución de la ecuación (9.5), en virtud de
que sus coeficientes son funciones del tiempo (o de 8). Para superar esta
dificultad, se puede seleccionar la matriz de transformación S, de tal for-
ma que se elimine la dependencia de 8 en las ecuaciones de movimiento,
así la ecuación podrá resolverse directamente. Más tarde se insistirá en este
método; de momento, sólo se señala que existen muchas transformaciones

438. 436 Teoría general de máquinas eléctricas
aplicables a las ecuaciones de diversas máquinas eléctricas. Las tres usadas
comúnmente son: .
1. transformación de componente simétrica (o de ±);
2. transformación progresiva o regresiva (o fb)
3. transformación dq.
La última muestra una equivalencia entre una máquina eléctrica real y una
hipotética (o transformada) que tiene devanados sólo a lo largo de dos ejes
perpendiculares entre sí, llamados eje directo d y de cuadratura q. Con
ciertas limitaciones, la mayoría de las máquinas pueden "expresarse"como
máquinas transformadas con devanados sólo a lo largo de los ejes anterio-
res. inversamente, si se parte de una máquina que tenga únicamente deva-
nados a lo largo de esos dos ejes, es posible "construir" (o simular) muchos
tipos de máquinas convencionales. Este proceso ha sido la clave para obte-
ner la teoría generalizada de las máquinas. A una máquina con bobina a lo
largo de los ejes d y q (con escobillas y conmutador adecuados) se le deno-
mina "máquina primitiva". Así, a partir de la máquina primitiva, pueden
derivarse muchos tipos de máquinas reales. Este aspecto se discutirá más
adelante, en la siguiente sección se determinarán en primer lugar las induc-
tancias de máquina.
9.2 DETERMINACION DE LAS INDUCTANCIAS DE MAQUINA
En los capítulos anteriores se observó que, según la topología del circuito
magnético, una máquina eléctrica puede ser 1) una máquina con rotor ci-
líndrico, por ejemplo, una de inducción y una síncrona de rotor redondo
o bien 2), un máquina con polo saliente, donde la protuberancia puede lo-
calizarse en el estator, como en una de C.C., o en el rotor, como en una sín-
crona de polo saliente. Supóngase que la máquina tiene densidades de flujo
y devanados distribuidos sinusoidalmente, suposición que simplifica los
aspectos algebraicos y destaca los principios. Sin embargo, se pueden to-
mar en cuenta distribuciones de devanado y de densidad de flujo no
sinusiodales, incluso los términos armónicos de las representaciones corres-
pondientes en las series de Fourier.1
En vista de que los devanados con-
centrados y distribuidos difieren sólo en despliegue físico y no en principio
de operación, se considerará únicamente como modelo representativo al
concentrado, ante todo porque un devanado distribuido es magnéticamen-
te equivalente a uno concentrado con N vueltas, si N =2Z, donde Z es el
número de conductores/radián en serie del distribuido.
9.2.1 Inductancias de una máquina con rotor redondo
En la figura 9.1a se muestra una máquina con entrehierro uniforme (de ro-
tor redondo). Se supone que el estator tiene un devanado concentrado de

439. Determinación de /as inductancias de máquina 437
F
N'¡'
(F' + F')
""'I
/
I F' F'
g« r
~I
(a)
(h)
FIGURA 9.1 a) Máquina de entrehierro uniforme con dos bobinas; b) Las
fmms de las bobinas.
NS vueltas y el rotor uno también concentrado de Nr vueltas. Además, se
supondrá que JLh » /-lo' r »g (figura 9.1a) y que Hr »H8. Las com-
ponentes fundamentales de las fmms de estator y rotor son, respectivamente,
(9.9)
como se ilustra en la figura 9.1a y b donde Ks y Kr son factores de devana-
do, (ver el capítulo 6). Obsérvese que ees una posición arbitraria alrededor
de la periferia en el entrehierro y ees el desplazamiento entre F" y Fr. Las
inductancias propia y mutua se determinarán por el método del almace-
namiento de energía, de la forma siguiente.

440. 438 Teoría general de máquinas eléctricas
Considérese un área elemental ~s, a través de la cual pasa un flujo ~<P
(en la dirección - r), luego:
La permeancia de esta trayectoria de flujo es
!.ls!.lP= l i -
t"'o g
(9.10)
(9.11)
Si Ni es la fuerza magnetomotriz resultante, el flujo ~<P se obtiene en-
tonces también como
!.l</> =N¡!.lP =11 N¡ !.lst"'0 g (9.12)
Al igual la ecuación (9.10) con la (9.13) se tendrá
(9.13)
También se podría verificar la ecuación (9.13) por el hecho de que la caí-
da de fmm N. se tiene sólo a través del entrehierro g, siendo J.lh mucho ma-
yor a /10' En' seguida Ni se determina por la adición fasor de las fmms de
estator y rotor, de donde, el valor máximfj de la fmm resultante es
(Ni)2= (k SN S¡s)2+(k'N'¡' l +2kSk'NW'¡S¡'senOo (9.14)
En las ecuaciones (9.13) y (9.14) se observa que el valor máximo de H r ,
cuando el devanado de rotor está desplazado por () o del estator, es tal que
(H')~áX= ~ [(kSN S¡s)2+(k'N,¡,)2 +2ksk'NSN'¡S¡'senf)0]
g
(9.15)
y Hr varía sinusoidalmente con (). El valor promedio de (Hr)2 es simple-
mente [(Hr)2 máx ]/2 y la energía magnética Wm almacenada en el en-
trehierro es
1 2 llo7Trlg 2
Wm = ¡ /lo(H,)máx(volumen de entrehierro) = -2-(H,)máx (9.16)
Según las inductancias, la misma energía puede expresarse como
(9.17)

441. Determinación de las inductancias de máquina 439
Pero las ecuaciones (9.15) y (9.16) dan
Al comparar las ecuaciones (9.17) y (9.18) se obtienen las inductancias
buscadas como
(9.l9a)
11. 7Trl
Lrr= _r_o_(k rN r)2= L'
g
(9.l9b)
/Lo7Trl
L sr = --kskrNSNrsen(} = LS"sen(}
g o o
(9.l9c)
Hasta aquí, se ha tomado en cuenta un sólo devanado en el estator y
uno en el rotor; en una máquina de dos fases, se tienen dos devanados en
cada miembro. Los dos del estator son idénticos y mutuamente perpendi-
culares, por lo que están desacoplados magnéticamente. Lo mismo sucede
con los del rotor, como se muestra en la figura 9.2. En este caso, las induc-
tancias de estator y rotor, expresadas como matrices, son
y
t] (9.20)
Las inductancias mutuas estator-a-rotor se pueden obtener de la ecuación
(9.19). Así,
L sr ] [ L sr cos()ab _ o
L sr - L sr sen(}bb O
- LsrsenOo ]
L srcos(}o
(9.21)
En la ecuación (9.21), los subíndices en las letras L corresponden a las fases
(a y b) Ylos índices superiores se usan para denotar estator o rotor (8 o r).
Así, por ejemplo, L~rb es la inductancia mutua entre la fase a del estator
y la b del rotor. Los elementos de la matriz en la ecuación (9.21) se obtie-
nen de la ecuación (9.19c), haciendo 00 =(90 - O) para V&a, 0= 90 + O
para Lsr
ab y así sucesivamente. La matriz total L para la máquina de dos
fases es, por lo tanto,
(9.22)

442. 440 Teoría general de máquinas eléctricas
</J'a
a' a Eje de la
--~--~.,r-+-----~~----~~~-----­
Eje de la
fase a
fase b
Rotor
FIGURA 9.2 Máquina con rotor redondo de dos fases.
donde las submatrices las dan las ecuaciones (9.20) y (9.21) Y US es la
transpuesta de V r •
9.2.2. Inductancias de máquina con protuberancias
En la figura 9.3 se muestra una máquina de dos fases con salientes en el ro-
tor. Si se suponen una distribución sinusoidal de densidad flujo y se consi-
deran sólo las componentes fundamentales de las fmms, se usará el método
del eslabonamiento de flujo para encontrar las inductancias de máquina. El
rotor tiene sólo un devanado y la matriz L de la máquina puede escribirse
como
(9.23)
cuya nomenclatura se explicó ya en la última sección. Se analizará en pri-
mer lugar la inductancia propia del rotor, que no depende de la posición
de éste. Por consiguiente
p.oN/A¡
L:: = L¡= -----=--'- una constante
gd
(9.24)

443. Determinación de las inductancias de mquinas 441
Estator
Rotor
Eje de la
fase b
Ejed
'<:O
b _bdela
fase a
FIGURA 9.3 Máquina con rotor saliente de dos fases.
donde N f es el número de vueltas en el devanado de rotor, Af es el área ro-
tor-polo y gd es el entrehierro en el eje directo. Las inductanclas mutuas
entre los devanados de rotor y estator pueden obtenerse mediante los mé-
todos expuestos en la última sección.
Sin repetir, se puede escribir lo siguiente:
L;; = L;; = L sr cosO
Lb; =L;b = - L srsenO
(9.25)
Para encontrar las inductanCÍas propia y mutua de estator, tomar la
fmm Fs a = k sNs isa' que resulta de la fase a y determinar a lo largo de los
ejes d y q (figura 9.3), para obtener
Fda = F; cosO = kWS
¡;cosO
(9.26)
Si se definen Pd YPq como permeancias a lo largo de los ejes d y g, respec-
tivamente, los flujos en el entrehierro se pueden expresar como
(9.27)

444. 442 Teoría general de máquinas eléctricas
El flujo que eslabona con la fase a, proveniente de la corrientei: ' es
(9.28)
Al combinar las ecuaciones de la (9.26) a la (9.28) se obtiene
(9.29)
o sea
(9.30)
dondeLs =+(kSNs)2 (Pd + Pq) y L~ =-{-(KSNS) (Pd -Pq). Sustituyendo
e=e + rr/2 en la ecuación (9.30) resulta
Lt,b = Ls- Lócos20
Para determinar las inductancias mutuas, recuérdese que
"Ass
Lss=Lss = -E!!..ab ba ¡;
(9.31)
(9.32)
El flujo "sb
s
que eslabona con la fase b, que resulta de la corriente is en laa a
fase a, se encuentra en la ecuación (9.27) y (9.28), haciendo e=e+ rr/2,
de tal suerte que
"A;t= kSN
S
[<PdaCOS(O+ Í)-<P:asen(0+ Í)] (9.33)
Si se sustituyen las ecuaciones (9.26) y (9.27) en la (9.32) se tendrá
"A;t = (kSNS)2¡;[PdcosOcos(0+ ;) +PqSeIlOSe~0+ Í)]
la que, al sustituirse en la ecuación (9.32) y al simplificarse, conduce a
(9.34)
donde L'b se ha definido junto con la ecuación (9.30).
En notación matricial, la matriz L de una máquina eon rotor saliente
de dos polos es
r
Ls+ Los cos20 - Lossen20 : LsrcosO 1
L = _-_Lris=n!~ __ ~s___Lri~o~2~ L~ ~s:~~n~
Lsrcoso - Lsrseno ¡ L¡
(9.35)

445. Determinación de las inductancias de máquina 443
La tercera clase de topología magnética en máquinas eléctricas es la
de protuberancia en el estator, como en una máquina de c.c. Una máquina
de este tipo, con dos polos y una bobina de paso completo en el rotor, se
ilustra en la figura 9.4a. La figura 9.4b muestra la distribución de fmm de
estator y la componente fundamental de la distribución de densidad de flu-
jo en el entrehierro. La componente fundamental de la distribución de
densidad de flujo, se encuentra mediante el análisis de Fourier, (que rela-
ciona a B entre H, con la fmm) como
4/L
B(O) = _o NS¡S casacasO
'lTg
El flujo que eslabona con la bobina de rotor es, por lo tanto
Al sustituir la ecuación (9.36) en (9.37) y simplificar se obtiene
Ar=2Nr¡r¡s( 4/Lo NScosa)coso
'lTg o
de donde se determina la inductancia mutua estator a rotor:
Ar
8/L
L sr = --:- = _o IrNsNrcosacosO =L cosOIS 'lTg o m o
(9.36)
(9.37)
(938)
(9.39)
Aquí Lm =::0 IrNsNr cos ~ ; ~ y r se definen en la figura 9.4; 1es la lon-
gitud axial de la máquina; g es el entrehierro y Ns y Nr son el número de
vueltas en el estator y rotor, respectivamente.
La autoinductancia del rotor es una cantidad que depende de ()o'
mientras que la del estator es una constante y puede denotarse como Lf' La
autoinductancia del rotor puede calcularse mediante un procedimiento se-
mejante al de la máquina de rotor saliente, que ya se discutió, pór lo que
los detalles de su cálculo quedan como ejercicio. Como resultado final, la
autoinductancia del rotor es
(9.40)
Por último, la autoinductancia del estator es una constante indepen-
diente de la posición del rotor, es decir,
Lss=(NS)2/Lo As =Ls
gd
(9.41)

446. 444 Teoría general de máquinas eléctricas
Eje q Eje del
I rotor
N s
Eje d
Eje q Eje d Ejeq
I I II
N
•
Nr
(a)
FoB
()
(b)
FIGURA 9.4 a) Máquina de rotor saliente con dos polos; b) Componente
fundamental de B(O).
donde As es el área de la cara del polo del estator y gd es el entrehierro to-
tal en el eje d.
La matriz-L para la máquina con saliente en el estator será entonces
(9.42)

447. Máquina con protuberancia en el estator 445
Ahora, ya se tienen las matrices-L para las tres formas básicas de las
máquinas eléctricas. Estas inductancias pueden sustituirse en las ecuacio-
nes de movimiento para obtener las características de máquina, como se
verá más adelante.
9.3 MAQUINA CON PROTUBERANCIA EN EL ESTATOR
La ecuación de balance de voltaje puede escribirse en forma matricial como
v=ri +p(Li) (9.43)
donde p =~Desarrollando el último término de la ecuación (9.43), se tiene
dt
p(Li)=Lpi+(pL)i=Lpi+ d~ Lwmi
o
(9.44)
=(Lp+wmG)i
donde
deo dL
W m =---= velocidad mecánica del rotor =G =-
dt deo
La sustitución de la ecuación (9.44) en la (9.43) da
v= (r+ Lp +wmG)i (9.45)
El último término de la ecuación (9.45) proviene de la rotación y algunas
veces se le llama voltaje rotacional.
En seguida, considerando la ecuación de torque, se tiene
= -1 - 1= -1 1T I,:, [ aL]" 1':'G"
e 2 aoo 2
(9.46)
De esta manera, las ecuaciones (9.45) y (9.46) son las ecuaciones generales
de movimiento para una máquina con protuberancia en el estator.
A fin de obtener las ecuaciones de movimientos de una máquina de c.
c., a partir de las ecuaciones generales anteriores, se hará referencia a la fi-
gura 9.5. Se recordará que en el capítulo 5 se menciona que las escobillas
se localizan en el eje q. La existencia de escobillas hace que el devanado de
armadura (o rotor) aparezca estacionario en el espacio (respecto al estator),
cuando menos por lo que toca al eje q, aunque en realidad los conductores
de armadura están girando. Puesto que el flujo de rotor es estacionario, no

448. 446 Teoría general 'de máquinas eléctricas
genera voltaje de movimiento en el estator. La matriz-G para la máquina
de c.c., se convierten entonces, de las ecuaciones (9.44) y (9.42)
(9.47)
Las ecuaciones generales de movimiento buscadas para la máquina de c.c.,
convierten con eo =- 1(/2 (con las escobillas ubicadas a lo largo de! eje q):
vS= rSis+L pis
(9.48)
Deben aplicarse varias restricciones al sistema (9.48) para obtener las
características de una máquinade c.c. dada, en condiciones de operación es-
pecíficas.
9.4 MAQUINA CON ROTOR CILlNDRICO
Si se conocen los parámetros, pueden obtenerse las características de un
motor de inducción a partir de las ecuaciones generales (9.45) y (9.46). A
fin de lograr este propósito, tómese una máquina de dos fases con dos de-
vanados independientes en el estator y dos en el rotor. La matriz-L la da la
ecuación (9.18) y las restricciones para un motor de inducción son: 1) los
devanados de rotor deben estar cortocircuitados, es decir v~ =v~ = O Y 2)
,
S
IEje d
Estator
Eje q
--€::D---...,--- - - -
Rotor
FIGURA 9.5 Máquina de c.c. mostrando los ejes de flujo de estator y rotor.

449. Máquina con rotor colindrico 447
la frecuencia de corriente de rotor, como se vio en el capítulo 6, debe ser
w" = W S
- wm
donde w m
es la velocidad de rotor =(Jo y ú.)S =frecuencia
de estator. Además, se dará una excitación de dos fases balanceada en el
estator, de tal suerte que
y
v;= VScoswSt
vt = VSsenwSt
i;=¡Scos(wSt-</>S)
it = ¡Ssen(wSt _</>S)
i;= l' cos(wrt _</>r)
ib =¡rsen(wrt _</>r)
(9.49)
(9.50)
Al sustituir los valores paramétricos, las restricciones señaladas antes y
reemplazar las ecuaciones (9.49) y (9.50) en la ecuación (9.45), se obtiene
(9.51), con (Jo = wm + {) (ya que (Jo = w m ). Aquí se observa que aunque
{) es una constante de integración, corresponde al ángulo de potencia:
VScoswSt +wSLsr¡rsen(wSt +{) _</>r) = (rS+ L'p)i:
VSsenwSt - wSLsr¡rcos(WSt + {) _</>r) =(rS+ L'p)it
wrLsr¡Ssen(wS(+ {) _</>S) = (rr +Up)i;
(9.51)
- wrLsr¡S cos(WSt + {) _</>S) =(rr +Up)ib
Como las corrientes y voltajes son magnitudes que varían sinusoidalmente,
la ecuación (9.51) puede expresarse en función de exponenciales com-
plejos, tomando
y
yS= vs¿o
1'=¡Se-j <P'
en cuyo caso la ecuación (9.51) se reduce a las ecuaciones de fasor
ys _ jwSLsrr= (rS +jwSLS)I'
y
- jwrLsrl' = (rr +jwrLr)r
(9.52)
(9.53)

450. 448 Teoria general de máquinas eléctricas
rS jwS(LS - Lsr ) jwS(L' - Lsr) r'
+
V
S
Í (1 - s)
s
FIGURA 9.6 Un circuito equivalente por fase de un motor de inducción de
dos fases.
Si se recuerda la definición de deslizamiento s = (ws - w r ) /ws , se rees-
cribe la ecuación (9.53) como
- jwSL sr!, =(~ +jwsL' )1' (9.54)
Las ecuaciones (9.52) y (9.54) pueden representarse por el circuito que se
muestra en la figura 9.6, que es el equivalente en régimen estacionario por
fase, de un motor de inducción. Aquí, wS
(Ls - Lsr) es la reactancia de fu-
ga de estator y W s Lsr es la reactancia magnetizante.
Una vez establecido el circuito equivalente, se pueden obtener las ca-
racterísticas completas del motor de inducción, como se indicó en el capí-
tulo 6. Las características de una máquina síncrona de rotor redondo,
también pueden obtenerse de una semejante a la anterior. Su obtención se
deja como ejercicio (ver problema 9.4).
9.5 MAQUINA CON PROTUBERANCIA EN EL ROTOR
La matriz--L de una máquina con rotor saliente de dos fases la da la ecua-
ción (9.35). Cuando se sutituye esta ecuación en las ecuaciones generales
de movimiento, como en la (9.1) y (9.2), se obtienen ecuaciones diferen-
ciales con coeficientes funciones del tiempo. Para obtener las características
de máquina, deben resolverse estas ecuaciones en condiciones específicas;
sin embargo, las soluciones analíticas son difíciles, por lo que se deben ob-
tener numéricamente, como se _explicará más adelante o mediante una téc-
nica de transformación que se discutirá en la siguiente sección.
9.5.1 La transformación dq.
Como se ve, la dificultad para resolver las ecuaciones de movimiento provie-
ne del movimiento relativo entre el rotor y el estator, lo que da coeficientes
que varían con el tiempo. Así, parece lógico pensar que si las bobinas del
estator (o devanados) se reemplazaran con bobinas ficticias, montadas so-
bre el rotor, se eliminaría el problema planteado por el movimiento relati-

451. Máquina con protuberancia en el rotor 449
Eje de la
fase a
Eje q
tPb
Eje de la
fase b
FIGURA 9.7 La transformación ab a dq en una máquina de rotor saliente.
va. Para asegurar la equivalencia entre las bobinas originales de estator y las
ficticias sobre el rotor, los campos del entrehierro deben permanecer inva-
riantes. Es decir: la fmm producida por las nuevas bobinas en el rotor, debe
ser igual a la producida por las bobinas originales del estator. Sin olvidar
lo anterior, véase la figura 9.7, que muestra una máquina con polo saliente
con bobinas de estator y rotor originales, así como las nuevas d y q, respec-
tivamente, colocadas a lo largo de estos ejes. Las corrientes en las diversas
bobinas y sus vueltas son las indicadas en esta figura. Se supondrá que el
rotor no está excitado, pues se desean encontrar las condiciones de equi-
valencia entre las bobinas originales ab del estator y las nuevas dq sobre el
rotor. Descomponiendo las fmms a lo largo de los ejes d y q, se obtiene
Fd = Ndid =N(ia cosO + itsenO)
Fq = Nqiq = N( - iasenO +ib cosO)
(9.55)
Puesto que las bobinas N d y N q son ficticias, se pueden seleccionar
Nd = Nq =N Y expresar la ecuación (9.55) en forma matricial como
r
l
~d ] = [ cosO
lq -sen9
seno] [ ~a ]
cosO lb
(9.56)

452. 450 Teoria general de máquinas eléctricas
De este modo, las corrientes de fase originales ia e ib se transforman en las
nuevas corrientes id e iq , dadas por la ecuación (9.56). En virtud de que el
devanado de rotor (o campo) permanece sobre el rotor, la corriente de cam-
po ir no sufre ninguna transformación. Con la inclusión de ir' la ecuación
(9.56) puede reescribirse como
[-¡~-
cosO senO: O
[ i"
= -senO cosf}¡ O
!f- - - - - - - -: - -
O O ,,
(9.57 )
Por inversión
[-t1=[~:;:--~~Fr~H1 (9.58)
En general la ecuación (9.58) puede escribirse como
(9.59)
donde i' denota la nueva corriente y Sd q es la matriz de transformación que
relaciona a i' con la corriente original i. A la Sd q se le conoce como tran-
formación -dq. Se observa además que:
(9.60)
donde ~ denota una transposición que implica que se trata de una transfor-
mación ortogonal.
En resumen, las variables ab se relacionan con las dq mediante la ecua-
ción (9.59), por ejemplo
y
Vab=SdqVdq (9.61)
con
(9.62)

453. Máquina con protuberancia en el rotor 451
y
-1 -
Sdq =Sdq
La sustitución de la ecuación (9.61) en las ecuaciones (9.1) y (9.2) da
las ecuaciones de movimiento, en función de las variables transformadas:
(9.63a)
(9.63b)
Para desarrollar estas ecuaciones, analicese el segundo término
S,/qp(LSdqidq )= S,/ql [ ( ~~ O )Sdqidq +L :0(Sdq)Oidq +LSdq(pidq )]
= [S,/ql ~~ Sdq +S,/qIL :0(Sdq) ]Oidq +(S,/qILSdq)pidq
= {S,/ql[ :0(LSdq )]0+(S;/LSdq)p }idq (9.64)
Al sustituir la ecuación (9.35) en la (9.62) se obtiene, después de simplificar
(9.65)
donde Ld = Ls + L~ V Lq =Ls - L~. De donde, con las ecuaciones (9.63a),
(~.60b) y (9.65) se obtiene
(9.66)
y
T =i si s(L -L )+i si L sr
e dq d q qf (9.67)
Nótese que se eliminó la dependencia angular en las ecuaciones de
movimiento y para operación a velocidad constante, la ecuación (9.60)

454. 452 Teoría general de máquinas eléctricas
es un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes cons-
tantes. De esta ecuaciones se pueden obtener las características de una
máquina de rotor saliente, por ejemplo un generador síncrono de polo sa-
liente o un motor.
Conviene destacar que puesto que una máquina de rotor redondo es
un caso especial de una máquina de polo saliente, en la que se anulan los
efectos de protuberancia, la transformación es también aplicable a la má-
quina de rotor redondo. Esto es, un motor de inducción de dos fases pue-
de analizarse mediante esa transformación (ver problema 9.5).
9.6 OTRAS TRANSFORMACIONES ESPECIALES
Anteriormente se observó que las soluciones analíticas de las ecuaciones de
movimiento no son inmediatas. Las soluciones explícitas sólo se podrían
obtener mediante la transformación dq para eliminar la dependencia dq en
las ecuaciones. A pesar de que fuera posible obtener el circuito equivalente
del motor de inducción en estado de régimen, las soluciones directas de las
ecuaciones de movimiento no se determinan fácilmente en condiciones
transitorias. Un método alterno a la transformación dq para obtener las
características dinámicas de una máquina de rotor redondo es usar las trans-
formaciones de componentes simétricas (+ -) y la progresiva-regresiva
(fb: forward-backward). Dado que existE' una base matemática para estas
transformaciones,1 aquí se usan en calHad de definiciones. La matriz que
define a la transformación + - para un¡ máquina de dos polos es
8 =_1_[ 1.+- v'2 -J ~] (9.68)
y
8- 1 =S* =_1_[1+- +- v'2 1 -;] (9.69)
donde ~ denota la transpuesta,* el complejo conjugado y -1 el inverso
de una matriz. Las relaciones entre las cantidades originales (sin acentos)
y las transformadas (con acentos) son
y (9.70)
v=8+ _Vi
Para aplicar esta transformación a una máquina de dos fases cuya ma-
triz-L la den las ~cuaciones (9.20) y (9.21), se sustituyen éstas y las ecua-

455. Otras transformaciones especiales 453
ciones de la (9.68) a la (9.70) en las ecuaciones (9.1) y (9.2) para obtener
las ecuaciones transformadas de movimiento en forma desarrollada como
rS+Up O : LSTejO(p+jÓ) O
O rS+ Lp I O LSTe-jO(p-jÓ )
----------------~----------------
LSTe-jO(p-jO) O I r'+L'p O
O LST~O(p+jÓ) I O r'+L'p
I
(9.71)
(9.72)
Para una velocidad dada, W m = e, la ecuación (9.71) es un conjunto
de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes de funciones del tiem-
po, empero, la (9.72) es aún no lineal. Para resolver esta dificultad, las
cantidades de rotor se refieren al estator mediante una transformación adi-
cional, la fb. Las componentes de esta transformación se relacionan con
las componentes de la + - por
(9.73)
donde
(9.74)
Cuando se introduce esta transformación en los voltajes y corrientes
de rotor las ecuaciones (9.71) y (9.72) se convierten en
V
S
+
v~
v'f
v'b
rS+Up O
o rS+Lp
I U'p
I O
I
O
U'p
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
o I r'+L'(p-jwm )
L w, (p +jwm ) : O
(9.75)
T =}Ls,(¡s*¡,_¡S ¡'*)e + f + f (9.76)

456. 454 Teoria general de máquinas eléctricas
+
·s
'-+
-r s (U - Lsr Jp
(a)
jWn!ST i!
+
jWm L sr¡,
(b)
rr
v r
b
FIGURA 9.8 a) Una máquina de rotor redondo de dos fases; b) Un circuito
equivalente en función de variables +, -y fb.
En la figura 9.8 se muestra un circuito equivalente que representa la ecua-
ción (9.75), de este circuito pueden obtenerse las características de máqui-
na para dadas restricciones
Ahora se ilustrará la utilidad del análisis anterior; tomar un motor
de inducción de dos fases operando con voltajes desbalanceados, es decir,
v;= V;coswt
vt= Vtsen(wt+cp) (9.77)

457. Otras transformaciones especiales 455
v;=v¡;= vJ =v¡;=0 (9.78)
Con las ecuaciones (9.68), (9.70) Y (9.77), se obtiene
V S = _1_ [( VS +jVS)e}wI +(Vs* +jVs*)e-Jw1 ]
+ 2Y2 a b a b
(9.79)
v~ = 2~ [(V;-jVneiwI+(V;*-jVb*)e-JwI]
donde
V;= V;
(9.80)
vt = - jvtei<P
y el asterisco indica el complejo conjugado, en estado de régimen
VS
= _1_(vs +J'VS
)
+ Y2 a b
(9.81)
VS
= _1_(vs_J'V/)
- Y2 a b
Mediante la ecuación (9.81), la (9.79) puede expresarse como
vS = l( VSeiW1 + VS*e-Jw1)+ 2 + -
(9.82)
v~=v~
Asimismo, la ecuación para las corrientes en estado del régimen, puede
escribirse
.r-l(Ir~jWI+lr* -}WI)lf - 2 f~ be
(9.83)
'r . r*
lb =lf
En la ecuación (9.79) se observa que es posible resolver el voltaje en dos
componentes: V~eiWI y V~e-JwI. En consecuencia, cuando se intro- "'
,',',
,.,

458. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _......_ _ _ _ _ _ _I""nl!lliil""'reff~~~'":"·"
456 Teoria general de máquinas eléctricas
ducen las ecuaciones (9.79) a (9.83) en la (9.71), se tiene para una veloci-
dad de rotor wm y una excitación Vs ejWt
+
v~ =(r S+jwU)/~ +jwLsrlí
(9.84)
Para una excitación VS '!:. e -jWt se tendría
V~O = (rS-jwLs)/~O - jwLsrlr
(9.85)
Pero (w - wm ) =sw y (w + wm ) =(2 - S) w, donde s es el deslizamiento,
por lo que las ecuaciones (9.84) y (9.85) pueden reescribirse en su forma
final en función de voltajes y corrientes no conjugadas de la manera siguiente:
v~ = (rS+jwLS)I'r +jwLsrlí
(9.86)
y
V~ =(rS+jwU)/~ +jwLsrl;
(9.87)
Estos dos conjuntos de ecuaciones dan las características volt-amperio del
motor. De manera semejante, es posible expresar la ecuación de par (9.76)
mediante la (9.83):
T =! Lsr[(lsOlr_ls IrO)+(ls I ro_lsOlr)e 41 +1 +1 -b -b
+ (Is ¡r - I Sr)e-i2w1 +(lsOlrO - ISoIrO)e -J2WI]
-1 +b +b-1 (9.88)
Al resolver las ecuaciones (9.86) y (9.87) para las corrientes, haciendo la
sustitución en la ecuación (9.89) y observando que el valor promedio de
e±j2wt es cero, se obtiene la expresión para el par promedio como

459. Otras transformaciones especiales 457
(~)W(Lsr)2: (V~)2
Tav =-------------------------------------
(9.89)
---W2[L'U-(L sr )2] +W2 rSLr+_r_Lr
{
rrrs }2 ( r)2
2-s 2-s
En la figura 9.9 se da un resumen de la transformación de dos fases
discutida hasta aquÍ. Los superiores -1, * y ~ denotan las matrices inver-
sa, conjugada compleja y transpuesta, respectivamente.
Observese el siguiente ejemplo para ilustrar la aplicación de lo ante-
rior.
Ejemplo 9.1
Un servomotor de dos fases, dos polos, en 400 Hz, tiene las siguientes cons-
tantes de circuito (por fase):
rS
=50 ohm wLs=610 ohm
,r=430 ohm wL'=460 ohm
y wLsr =380 ohm
Calcular el par en estado de régimen para una velocidad de 6000 rpm, si las
dos fases se excitan con voltajes va = 230 LO° Y vb = 115 L -90
0
Con estos datos se tiene
n = 120 x 400 =24000 rpm
s 2 '
= 24,000-6000 =075
s 24000 .,
w=2?TX400=2513 r/s
Con la ecuación (9.81) se obtiene
v~ = _1_ [230+j( -jI 15)] =244 V
V2

460. 458 Teoría general de máquinas eléctricas
s+ _
o ~O'-~-E~----------------S;~
S-l
dq
o ~0
~-E~----------------~S;~
- 1[1 lJS+_ - ';2 -j j ,
s -[cos e sen e], Sd-
q
1 = Sdq
dq - -sen e cos e
FIGURA 9.9 Resumen de transformaciones de dos fases.
V~ = _1_ [230-¡( -¡liS)] =81.3 V
V2
Al sustituir los valores numéricos anteriores y los datos en la ecuación (9.89)
se obtiene
9.7 NOTA ACERCA DE LAS TRANSFORMACIONES DE TRES FASES
Hasta ahora, en las discusiones, por lo general se ha hecho referencia a
máquinas de dos fases; no obstante, se sabe que la mayoría de las máquinas
industriales de c.a., son trifásicas. Por lógica, es necesario saber si los méto-
dos desarrollados hasta aquí son aplicables también a tales máquinas.
Los principios que sustentan a los análisis de las secciones precedentes
también son aplicables a las máquinas trifásicas o multifásicas, y no son pri-
vativos de las de dos fases. Por ejemplo, puede demostrarse que en ciertas
condiciones una máquina polifásica puede reducirse a una equivalente de

461. La máquina primitiva 459
dos fases. Anteriormente, los análisis se limitaron a esta última para ilustrar
principios fundamentales y reducir las operaciones algebraicas al mínimo.
Aunque no se estudiarán con detalle los aspectos de las transformaciones
trifásicas, se señalará que éstos se expresan mediante matrices de 3 X 3. En
virtud de que existen variables trifásicas, (a, b, e) en correspondencia hay
tres variables transformadas. Así, las tres componentes de las componentes
simétricas son las componentes de secuencia positiva, negativa y cero (+-0).
En forma semejante, las tres componentes de la transformación dq son las
componentes d, q, O. Además, existen las transformaciones trifásicas a las
de dos fases. Dado que donde quiera se pueden encontrar los detalles para
máquinas trifásicas, no es necesario abundar aquí al respecto. Como la uti-
lidad de las técnicas de transformación se limita a.. casos en cierto modo
idealizados, se revisará sucintamente la máquina primitiva o generalizada
en la sección a continuación y después se presentarán soluciones digitales
para algunos ejemplos reales.
9.8 LA MAQUINA PRIMITIVA
En la sección 9.1 se indicó que se puede derivar un número significativo
de máquinas a partir de una máquina con devanados estacionarios a lo lar-
go de los ejes d y q, como se muestra en la figura 9.10. Los devanados de
rotor "aparecen" como estacionarios por la presencia de las escobillas. Su-
póngase que hay una protuberancia en el estator; de este modo, se tiene
una máquina de c.c., con cuatro escobillas, en la que las bobinas a lo largo
del eje d no están electromagnéticamente acopladas con las del eje q. Los
voltajes inducidos en las diversas bobinas son como sigue:
1. Voltajes provenientes de autoinductancias
2. Voltajes de tipo transformador (provenientes de inductancias mutuas)
en bobinas acopladas mutuamente.
3. Voltajes rotacionales (o de velocidad) en la bobina del rotor d debido
al campo de la bobina q del estator y en la bobina q del rotor, debido al
campo de la bobina d del estator.
4. Voltajes rotacionales en la bobina d del rotor, debido al campo de la
bobina q de rotor y en ésta por el campo de la bobina d de rotor.
Al escribir las ecuaciones de equilibrio de voltajes deben tenerse pre-
sentes los voltajes mencionados antes. Haciendo referencia a la figura 9.10,
la ecuación de voltajes en notación matricial se hace
v/ r/+L/p O Ld/P O · s
I
Id
V
S O rq' + Lq'p I O LqqSp · s
q lq
(9.90 )----------~----------
i/v/ Ld/P GdqrsWm I rr + LdP Gdqrrwm
V r Gq/swm Lqq''p I Gq/rwm rr +LqP · r
q
I
lq

462. 460 Teoria general de máquinas eléctricas
Ejed
(~'----L¡-"""'---v~s
Lj L-__________________________
~
+
~ Ejeq
+ +
FIGURA 9.10 Máquina primitiva generalizada.
donde las GiS son coeficientes para voltajes de velocidad; los subíndices
corresponden a los ejes d y q y los índices superiores corresponden al esta-
tor o al rotor. Por ejemplo, Gd"q representa el coeficiente de voltaje de ve-
locidad para el voltaje inducido en la bobina de eje directo (subíndice d) de
rotor (superior r) debido a la rotación en el eje de cuadratura (subíndice q)
de estator (superior s). En la figura 9.10 aparecen otros símbolos, obsérve-
se que r; = r; = r, recuérdese el significado de GiS dado en la sección 9.3,
donde se tiene G =(aLsr ¡aO) O= 80
• En consecuencia, lo que viene a con-
tinuación se puede sustituir en la ecuación (9.71)
para obtener
Gdq's = - Lqqrs, Gq/ s= Ld/r
r/+L/p
O
O O
rS+LSp O L s'pq q qq
----------~----------
Ld/r - LqqrsWm I rr+ L/p - Lq'Wm
L srW L rsp I L/W.m rr +L 'pddm qq I q
(9.91 )

463. La formulación en el dominio del tiempo 461
Esta ecuación también puede escribirse como
(9.92)
donde la matriz-G, que contiene los coeficientes de voltaje dependientes
de la velocidad, es simplemente
G = [- ~- - - ~- i-~---~-]O -LrsIO -Lrqq q
L sr O I L r Odd I d
(9.93)
De donde, la ecuación del par es
(9.94)
Como puede verse en la ecuación (9.3), estas ecuaciones son semejan-
tes a las de máquinas estudiadas con anterioridad. Se concluye así, que la
máquina primitiva es una máquina general de la que pueden derivarse o",ras
si se aplican las restricciones adecuadas. En vista de que la máquina pr mi-
tiva ya casi no tiene importancia práctica, ya no se tocará el tema. E' l las
referencias bibliográficas 2 a 6 hay detalles al respecto. Ahora, se procede-
rá a ver las aplicaciones de computadora digital para obtener directamente
soluciones a las ecuaciones de movimiento.
9.9 LA FORMULACION EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
Se recordará que la ecuaciones de voltaje y par de una máquina eléctrica
pueden escribirse rutinariamente como (9.1) y (9.2), repetidas aquí para
mayor facilidad
v=ri+ ~(Li)
dt
T 1-; a (L·)
e= -"21 ao 1
(9.95)
(9.96)
Las características de ejecución de la máquina se obtienen resolviendo es-
tas ecuaciones. Al respecto, en las discusiones de las últimas secciones se
observa que la teoría generalizada de máquinas intenta resolver estas ecua-
ciones mediante un método de transformación. Mientras que el método de
transformación (como la dq o la + -) facilita la solución de las ecuaciones
de movimiento, es aplicable sólo cuando la máquina se idealiza y sus matri-
ces de inductancia cumplen ciertos requisitos. Hay muchos ejemplos en los

464. 462 Teoría general de máquinas eléctricas
que las inductancias no varían en forma ideal (sinusoidal) o en que los coe-
ficientes sinusoidales no acusan cierta simetría. En tales casos las trans-
formaciones no resuelven las ecuaciones de movimiento, pues no se eliminan
los términos dependientes de la posición. Sin embargo, una formulación en
el dominio del tiempo proporciona una manera de resolverlas; con una for-
mulación de este tipo se resolverán las ecuaciones (9.95) Y (9.96) mediante
métodos numéricos en computadora digital. Un método ordinario de inte-
gración numérica, como el de Runge-Kutta Gauss-Seidel (RKGS) y el Pro-
grama de modelamiento de sistema continuo (CSMP: continuous system
modeling program) algunas veces son aplicables a esas ecuaciones. De este
modo, se obtienen directamente las soluciones buscadas. Mediante algunos
ejemplos se ilustrarán los detalles del caso.
Ejemplo 9.2 Generador síncrono
Para la operación generador, conviene expresar la ecuación (9.95) en forma
de variables de estado; con este objeto, se reescribe como
. Ld. (d L)·f1+ -1+ - I=V
dt dt
(9.97)
Si el generador síncrono opera a una velocidad w m =a, la ecuación (9.97)
puede expresarse como
(9.98)
Premultiplicando los dos miembros de la ecuación (9.98) por wm L -1, fi-
nalmente se obtiene
d. Z· B-1= 1+ v
dO
(9.99)
donde Z =w L-1 (r + W m ~L) yB = w m L-1
.Obsérvese que la ecuación
m da
(9.99) es la ecuación de estado en la forma estándar. Ahora se aplicará esta
formulación a un generador síncrono de polo saliente que alimenta una
carga puramente resistiva. Dada la disimetría inherente de la máquina, el
coeficiente de inductancia L sb
s
, en la ecuación (9.34) no es LS . En consea o
cuencia, la transformación dq no eliminará los términos dependientes de a.
Por lo tanto, se debe usar la formulación en el dominio del tiempo y resol-
ver las ecuaciones mediante integración numérica.
Para este ejemplo, tómese una máquina de polo saliente, en 50Hz, 12
polos, dos fases, 220V y 10 kW, con los siguientes parámetros:

465. La formulación en el dominio del tiempo 463
Laass = (15.93 + 2.96 cos 2e), mH; L b SS
= b 956 sen 2e mH' L ss =a a · " bb
(15.93 - 2.96 cos 2e), mH; L sr = L rs = O 197 sen e H' L sr = L rs =ar r a · , 'br rb
0.197 cos e, H; Lrrrr = Lf = 2.52 H; rs =ra + rpeso = (0.1 + 9.68) = 9.78
ohm, rr = rf = 7.5 ohm;ua = Ub = O; y uf = 3.75 V,
cuyos símbolos se definieron en las ecuaciones (9.23) y (9.35). El proble-
ma consiste en calcular, con estos valores numéricos, las corrientes de ar-
madura en estado del régimen. Un método posible de solución para la
ecuación (9.97), cuando ésta se reduce ala ecuación (9.99), es usar la RKGS,
subrutina de integración del Paquete de subrutinas científicas de la IBM-360.
Esta subrutina requiere otras dos subrutinas de usuario: una de salida y otra
para evaluar el segundo miembro de la ecuación (9.99) para una pareja de-
terminada i - e. Un par típico i - e puede ser la corriente inicial io y la
posición angular inicial fI o' que se suponen nulas, excepto para ir =ir =5A,
en este ejemplo. El diagrama de flujo para usar la subrutina RKGS se mues-
tra en la figura 9.lla y en la 9.11b, el diagrama de flujo para evaluar FCT
=di/de. Los términos d/de en Z de la ecuación (9.99) pueden evaluarse
numéricamente para las funciones Z. El procedimiento es el siguiente.
Si se consideran las matrices Z y B de la ecuación (9.99), se ve que
incluyen operaciones aritméticas tales como inversión de matrices, multi-
plicación por una constante, etc. No es necesario efectuar estas operaciones
a priori, es mejor alimentar la computadora con los datos adecuados y eje-
cutar la operación deseada en la computadora. Con este objeto, la ecuación
(9.99) se reescribe como
donde L es la matriz original-L, Z¡ =-(r/wm ) + (dL/de), y ve = (vjw m ).
En este ejemplo, conocida la matriz Z y con los valores numéricos
dados, las corrientes de armadura calculadas para las dos fases que alimen-
tan a cargas puramente resistivas se muestran en la figura 9.12. Es evidente
que las corrientes de salida difieren sustancialmente de las formas sinusoi-
dales, como consecuencia de la disimetría de la máquina.
Debe observarse que en este ejemplo se buscó calcular valores en esta-
do de régimen de corrientes, es decir, iCe) =i(e + 21T). En principio, i(O) =
O se pudo haber tomado como condición inj·:ial. Sin embargo, junto con
la solución para estado de régimen, este procedimiento daría la solución
transitoria a expensas del tiempo de computación. Por otra parte, si pudie-
ra conocerse i(e) para cierto ángulo e =n1T lo suficientemente grande para
asegurar la extinción de los transistorios,la soluciónenestado de régimen po-
dría computarse en un ciclo únicamente. Aunque la corriente i(n1T) no sea
conocida se puede estimar, ahorrando así la necesidad de computar gran

466. 464 Teoría general de máquinas eléctricas
Leer condiciones
iniciales
(a)
(b)
Leer
parámetros
escritos
:":valuar
términos
dependientes
de () enL,
Z y v
Invertir
L
FIGURA 9.11 Diagrama de flujo para calcular las corrientes de fase mediante
la subrutina RKGS.
parte de la solución transitoria. Esta estimación se obtiene tomando i(O)
en las corrientes en estado de régimen en pausa, que son ir = 5A, ia = OA
e ib =OA. La iteración se lleva a 25 puntos para cada intervalo de 1T para
seis ciclos. En seguida se toma i(121T) como valor estimado para un estado
de régimen. Los cálculos finales se hicieron para seis ciclos usando 200
puntos de iteración para cada intervalo de 1T. La figura 9.12 es una gráfica
de la corriente para el sexto ciclo.
Aunque no se intenta estudiarla aquí, procede señalar que la informa-
ción respecto a la aplicación de la formulación en el dominio del tiempo a

467. 30
20
10
t
La formulación en el dominio del tiempo 465
I
I
I
I
I .
. /.i
/
./.
- 8 (rad)
.'
/ .
. / .
FIGURA 9.12 Corrientes de fase calculadas: - . -, corriente en la fase
a;-, corriente en la base b.
transitorios en máquinas síncronas es abundante en los textos relacionados
con el tema (consultar por ejemplo la referencia bibliográfica 7).
Ejemplo 9.3 Dinámica de los motores de inducción.
En la discusión del capítulo 6 se consideró sólo el comportamiento en es-
tado de régimen del motor de inducción, empero, los motores de inducción
sufren transitorios por conmutación, obturación, sobrevelocidad, inversio-
nes y aplicaciones repentinas de carga, así como por el arranque. Es pues
útil entender la dinámica de los motores de inducción, aun cuando no es
posible examinar la mayoría de los momentos en que ocurren dichos tran-
sitorios, se expondrá un método general adaptable a muchas situaciones
prácticas. Este método se basa en la formulación en el dominio del tiem-
po de las ecuaciones de movimiento.

468. 466 Teoría general de máquinas eléctricas
Al igual que en el capítulo 4, considérese al motor de inducción como
un conversor de energía electromecánica con devanado múltiple. Usando
la notación de la sección 4.7, las ecuaciones de movimiento pueden escri-
birse en forma matricial como sigue
v=ri+ ~(Li)dt
T P: aL. J' b
e = TI ao1= Wm + Wm +e
(9.100)
(9.101)
donde Tdenota la transpuesta de i, el resto de los símbolos se definirán pos-
teriormente. A fin de obtener la solución para el par transitorio, por ejem-
plo, deben conocerse las corrientes de estator y rotor, que se obtienen de la
ecuación (9.100) y se sustituyen en la ecuación (9.101).
En virutud de que las ecuaciones anteriores son no lineales con coefi-
cientes variables en el tiempo, se resuelven numéricamente como en el úl-
timo ejemplo. Para ello, conviene expresar las ecuaciones de movimiento
en forma de variables de estado. Para las ecuaciones (9.100) y (9.101) se
tiene, por lo tanto,
que pueden combinarse para obtener
x=Ax+Bv'
donde los diversos vectores son
y
A=
.-[~;1
v'= [r1
r
L- 1
B= O
O
o
e
J
O
-L-I(r+ ~~)
~ [F(i)]
O
~l
O
b
J
O
O
O
O
(9.102)
(9.103)
(9.104)
(9.105)
(9.106)
(9.107)

469. con
. p
(J=-w
2 m
La formulación en el dominio del tiempo 467
y F(i) = ÓaLi
a(J
De esta manera, el problema de los transitorios durante el arranque de
inducción se reduce a resolver la ecuación de estado con coeficientes varia-
bles en el tiempo. Esta ecuación puede resolverse con la subrutina RKGS,
como se discutió en el último ejemplo. En la figura 9.13 aparece el diagra-
ma de flujo, ligeramente modificado, que va a usarse con la figura 9.11a.
Leer condiciones
Leer
parámetros
escritos
Evaluar
términos
depend ientes
de Ten L,
Zv v
Invertir
L
FIGURA 9.13 Diagrama de flujo con los pasos en la computación.

470. 468 Teoría general de máquinas eléctricas
0.063 n 0.148 n 0.148 n
0.083 n
s
FIGURA 9.14 Un circuito equivalente aproximado para un motor de inducción.
Para ilustrar el procedimiento, considérese un motor conectado en Y, en
60 Hz, cuatro polos, 220 V, 30 hp, con un circuito equivalente por fase
como el de la figura 9.14. El par de carga total del motor es (0.06 wm +
0.03 w m + 6) N-m, donde w m es la velocidad del rotor en radjseg. Las
características de aceleración se estudiarán cuando las terminales de esta-
tor se conectan repentinamente a una alimentación trifásica 220-V.
Las ecuaciones (9.10) y (9.11) se pueden reescribir en forma desarro-
llada como
[
v'] = [ r' +pL
ss
v" pLrs
pL
sr
][ ¡S]
rr +pLrr ¡r (9.108)
T - P ['s.r] a [LSS
- - 11 -
e 2 a(} Lrs
Lsr ][ ¡S ]
Lrr ir (9.109)
donde p = djdt, los índices superiores r y s corresponden a magnitudes de
estator y rotor, respectivamente. Para el caso que se analiza, las diversas
submatrices son
con <p =21fj3.
[
.063
r S
= O
O
v'= 180cos(377t-cj» ;v"= O
[
180cos377t 1 [O]
O
0.063
O
180cos(377t+cj» O
~ 1ohrn;rr= [.Og3
0.063 O
O
0.083
O
(9.110)
~ ]ohrn(9.111)
0.083
LSS = Lrr = - 10.0 20.3925
[
20.3925 -10.0
-10.0 rnH
-10.0 ]
(9.112)
-10.0 -10.0 20.3925
[
20cos(}
Lsr
= 20cos((}-cj»
20cos(() +cj»
20cos(() + cj»
20cos(}
20cos(() -cj»
20cos«(}-cj» 1
20cos«(}+ cj» mH
20cos(}
(9.113)

471. ~
B
tQ)
Q)
"~
c:Q)
.¡:
(;
u
t
400
200
o
-200
-400
-600
La formulación en el dominio del tiempo 469
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12
--Tiempo (s)
FIGURA 9.15 i(t) durante el establecimiento de la velocidad.
2000
/.-.... ..................... _.....- ....--.-'-
E 1500 600 /
e- E
I"ro Z
~
.;
Io
E 1000 §. 400Q)
5> f-
t 500 t200
0.04 0.08 0.10 0.12 0.14
----+- Tiempo (s)
FIGURA 9.16 Establecimiento de velocidad y par:-, par; -.-, velocidad.

472. 470 Teoría general de máquinas eléctricas
600 r-----,-----,------,-----,
E
I 400
~
...lO
Il. 200
t
o
-120 '--____-L-____--'-____--'-____--'
500 1500 2000
- - Velocidad (rpm)
FIGURA 9.17 Características par transitorio-velocidad.
con ifJ =21T/3.
Aquí US = U r -la transpuesta. En la ecuación (9.101), P = 2. El par
de carga, como se dijo antes, lo da
(9.114)
Ya con los valores numéricos de las in;juctancias y determinado el par de
carga mediante la ecuación (9.114), se ~uede evaluar numéricamente el vec-
tor x(t) del motor en estudio. El priner requisito es, por supuesto, x(O) =
O, pues se supone que el motor parte del reposo. Dos de las componentes
del vector son i y w m ; si se conoce la primera, se evalúa el par mediante la
ecuación (9.109). En las figuras 9.15 y 9.16 se muestran los valores calcu-
lados para i(t), Te(t) y wm(t). En la 9.17 se muestra la característica par
+
LI V,
r/n'1
+ VI
FIGURA 9.18 Un motor de c.c. excitado separadamente.

473. FIGURA 9.19 Programa para calcular transitorios en un motor de c.c.
.¡:.
-.l

474. 472 Teoría general de máquinas eléctricas
transitorio/velocidad. Nótese que las características par dinámico/velocidad
difieren sorprendentemente de las típicas de en estado de régimen vista en
el capítulo 6.
Ejemplo 9.4 Dinámica de un motor de c.c.
Al igual que en el último ejemplo de aplicación de la formulación en el do-
minio del tiempo, aquí se analizará el arranque de un motor de c.c. exci-
tado separadamente y con carga, como se muestra en la figura 9.18. De la
ecuación (9.45), las ecuaciones de movimiento con una nomenclatura un
poco diferente, son
'"~
~
Et
3
t1600 800
1200
~
._"
t 800
400
o 5
..,.,..------- ---------
10
_t(s)
15
FIGURA 9.20 Transitorios calculados en un motor de c.c.
(9.115)
(9.116)
(9.117)

475. Bibliografía 473
Los valores numéricos de los parámetros y de las constantes para el motor
que se analiza son: ra =0.013 ohm;La =0.01 H;rf =1.43 ohm;Lf =0.167
H; J = 0.21 kg-m2
; e2 =1.074 X 10-6
N-m-s2
(especificada como Q en el
programa de computadora de la figura 9.19) eo =2.493 N-m (e en el pro-
grama) K =0.004 N-m/A2 ; uf =12 V Y Ut =24 V.
Las características de arranque del motor se estudiarán con uf y ut
aplicadas a las terminales en t =O. Obsérvese que el primer miembro de la
ecuación (9.117) representa la carga del motor. Obviamente, las ecuaciones
(9.115) y (9.117) forman un conjunto de ecuaciones diferenciales no li-
neales simultáneas para las que sólo son practicables soluciones numéricas.
Con este propósito, se usará el CSMP expuesto en la figura 9.19. En la fi-
gura 9.20 se ilustran el establecimiento de la velocidad y la variación de la
corriente de armadura, que pueden tomarse como "la solución de las ecua-
ciones de movimiento. Sólo se trazaron las gráficas de w m (t) e ia(t), aun-
que el programa de la figura 9.19 también da la corriente y voltaje de
campo, el par y la fmm posterior.
En conclusión, en los últimos 40 años mas o menos, la teoría generali-
zada de máquinas ha desarrollado un método extremadamente útil para el
estudio de las máquinas eléctricas. Casi todos los tipos de máquinas se han
analizado mediante algún tipo de transformación, como la dq, la de com-
ponentes simétricas y otras más. Al aplicar tales transformaciones, se supo-
ne que la máquina posee cierta simetría geométrica, que hace posible el uso
de varias matrices de impedancia simétricas y cíclo-simétricas. Para ha
cer aplicable el método de transformación tuvieron que imponerse restric-
ciones a menudo irreales. Con la disponibilidad de paquetes de subrutinas
científicas eficientes para computadoras, la formulación en el dominio del
tiempo ofrece un método efectivo para resolver problemas dinámicos y
de estado de régimen en máquinas eléctricas.
Bibliografía
1. S. A. Nasar, Electromagnetic Energy Conversion Devices and Systems, Prentiee-Hall,
Ine. Englewood Cliffs, N. J., 1970.
2. D. C. White y. H. Woodson, Electromechanical Energy Conversion, John Wiley &
Sons, Ine., 1959.
3. D. O'Kelly y Simmons, Generalized Electrical Machine Theory, MeGraw-Hill Book
Company, Nueva York, 1968.
4. H. K. Messerle, Dynamic Circuit Theory, Perg/l1non Press, Inc., Elmsford, Nueva
York,1968.
5. G. Kron, Tensors for Circuits, Dover Publications, Inc., Nueva York, 1959.
6. B. Adkins, The General Theory of Electrical Machines, Chapman and Hall, Londres,
1957.
7. R. E. Fite, "Transient Performance of an Isolated Synchronous Generator," MS
Thesis, University of Kentucky, Lexington, Kentucky, 1974. ,...

476. 474 Teoria general de máquinas eléctricas
Problemas
9.1 Determinar la ecuación (9.40) procediendo de una manera semejante a la segui-
da para una máquina de rotor saliente, descomponiendo las fmms a lo largo de
los ejes d y q.
9.2 La matriz-L de una máquina de estator saliente la da la ecuación (9.42). El esta-
tor está sin excitación y la corriente de rotor es ( = ¡r sen (wt +(j). Determinar
el par promedio en el tiempo desarrollado por la máquina.
9.3 Aplicar a la ecuación (9.48) las restricciones adecuadas para obtener las ecuacio-
nes de operación en estado de régimen de la máquina, como a) generador y b)
motor.
9.4 De las ecuaciones (9.20) a (9.22) otener la matriz-L de una máquina síncrona
de rotor redondo. Recordar que en la sección 9.4 se aplicaron ciertas restriccio-
nes para obtener las características de un motor de inducción. Introducir las
restricciones adecuadas para obtener las características de par en estado de ré-
gimen estacionario de la máquina síncrona de rotor redondo con dos fases.
9.5 Aplicar la transformación dq a una motor de inducción de dos fases y obtener
de aquí su circuito equivalente. Verificar que el circuito sea idéntico al obtenido
por otros métodos (ver figura 6.17).
9.6 Para obtener una operación monofásica, una de las fases de un motor de induc-
ción de dos fases debe dejarse sin excitación. Con las ecuaciones transformadas
dq del problema 9.5, obtener las características par-velocidad para un motor
de inducción monofásico.
9.7 A partir de la ecuación (9.75), obtener el circuito equivalente por fase en estado
de régimen de un motor de inducción de dos fases balanceado.
9.8 Una máquina rotatoria tiene dos devanados en el rotor y uno en el estator. El es-
tator se alimenta con c.c., 24 V y el rotor gira a 100 1T rad/seg. Calcular ií(O) con
los siguientes valores numéricos: LoosS = 2.9H;L¡¡rr =L22
rr =1.95 Hh;Lo¡sr
= (-1.49 sen 0- 0.665 sen 3 O) H; L02
sr = 1.665 cos OH; RoS =30 n;R¡r =
R2
r
= 15 n; RL = 1000 n; wm
=1001T rad/s; vos =24 V; ioS(O) =0.8 A; i¡ r(o)
= 0.0124 A; Y i2
r(0) = 0.025 A, donde RL es la resistencia de carga y los subín-
dices 0.1 y 2 identifican a los devanados.
9.9 Considérese un motor de inducción trifásico desbalanceado, para el cual ..¡;, vr,
r", r y Lrr
son las del ejemplo 9.3. Sin embargo, LSS y Lsr son las siguientes:
[
20.3925
V s
= -20cos40
-20cos70
[
20cosO
vr
= 20cos(O+ 120)
20cos(O-120)
-20cos40
20.3925
-20cos70
20cos(O-140)
20cos(0- 20)
20cos(O+ 100)
-20cos70 1- 20cos 70 millihenry
20.3925
20cos(0+ 110) 1
20cos(O-130) millihenry
20cos(O-IO)
Calcular las características dinámicas de arranque de este motor. Verificar que
a causa de un ligero desbalanceo en los devanados de estator el, motor sufre tran-
sitorios significativos en comparación con un motor balanceado.
9.10 Repetir el problema del ejemplo 9.4 para ra =0.0045 n. Trazar la gráfica de las
oscilaciones de ia(t).

477. Apéndice I
Definición de
símbolos y
unidades
A. UNIDADES INTERNACIONALES ESTANDAR (SI)
Símbolo Descripción Unidad SI
A Potencial vectorial magnético Weber/metro
B Densidad de flujo magnético Tesla (T)
e Capacitancia Farad (F)
D Densidad de flujo eléctrico Coulomb/metro
D Coeficiente de amortiguamiento
viscoso Newton-metro-segundo
E Intensidad de campo eléctrico Voltjmetro
E,e Fuerza electromotriz (fem) Volt(V)
f Frecuencia Hertz (Hz)
F,F Fuerza Newton (Nw)
g Longitud de entrehierro Metro
H Intensidad de campo magnético Amperejmetro
hp Horsepower (cv: caballo de fuerza)
(Un hp = 746 W) Horsepower
1, i Corriente Ampere (A)
J Densidad de corriente Ampere/metro2
J Momento de inercia Kgr-metro2
L Autoinductancia Henry (Hy)
1 Longitud Metro
M Inductancia mutua Henry (Hy)
M Potencial escalar magnético (fmm) Ampere-vuelta
N Vueltas
476

478. 476 Apéndice 1
P,p
P
Q
Q
Potencia, número de polos
Permeancia (magnética)
Carga eléctrica
Factor de calidad
Watt (W)
Henry (Hy)
Coulomb (C)
R,r Resistencia eléctrica Ohm (n)
R Reluctancia magnética Henry
S Vector de área Metr02
T par torsor Newton-metro
t tiempo Segundos
U Vector velocidad Metrojsegundo
V,v Potencial eléctrico o voltaje Volt (V)
v Volumen Metr03
W Energía Joule (J) o Wseg.
a Conductividad eléctrica (Ohm-metro)-1
Eo Constante dieléctrica (permití-
vidad del espacio libre) Fjmetro
e Medida angular (radián).
A. Eslabonamiento de flujo magnético Wb
11 Permeabilidad magnética Hyjmetro
110 Constante magnética (permeabilidad
del espacio libre) Hyjmetro
I1R Permeabilidad magnético relativa
p Resistividad eléctrica Ohm-metro
1) ,</J Flujo magnético Weber (Wb)
w Velocidad angular Radiánjseg
B. Unidades alternas
Existen otros dos sitemas de unidades que se usan comunmente en ciertas
aplicaciones industriales y científicas. Se trata de los sistemas Inglés y CGS.
Las relaciones entre estos sistemas de unidades y el SI se describen
perfectamente por así convenir al análisis electromagnético mediante las
ecuaciones que relacionan a los dos parámetros magnéticos fundamentales,
a saber, las ecuaciones (2.9) y (2.10) del capítulo 2. La ecuación (2.10)
se repite a continuación para interpretar de manera adecuada los tres sis-
temas:
B= JLoJLRH (SI e Inglés)
B= JLRH (CGS)

479. Apéndice 1 477
donde las unidades y los valores numéricos son los que siguen:
SI Inglés CGS
J.Lo 41T X 10- 7
3.19 1
B Tesla líneas/pulg2
Gauss (G)
H Amp/m Ampfpulg. Oersted (Oe)
C. CONVERSION DE UNIDADES
una: es igual a:
Símbolo Descripción (Unidad SI) (Unidad inglesa) (u.caS)
B Densidad de flujo Tesla (=lWb/m2
) 6.452 X 104
104
G
magnético líneas/pulg2
H Intensidad de campo
magnético A/m 0.0252A/pulg 0.004 7r Oe.
cp Flujo magnético W 1011
líneas 10Mx.
D Coef. amort. vise. Nw-m-seg 0.73756Ib. pie-seg dina-cm-seg
F Fuerza Nw 0.2248 lb· lOS dinas
J Inercia Kgr_m2
23.73 lb _pie2
107
gr cm2
T par (torsor) Nw-m 0.73756 pie-lb 107
dina-cm
W Energía J 1 W-seg 107
ergs

481. Apéndice 11
Tabla de alambre
- ,
Iman para
conductor
cilíndrico
recubierto con una
sola película

485. Apéndice 111
Técnicas de
computadora en el
análisis de sistemas
electromecánicos y
de máquinas
eléctricas
Desde los inicios de la "era de la computadora" se han aplicado técni-
cas de computadora al análisis y diseño de transformadores, máquinas eléc-
tricas rotatorias y sistemas de control. Actualmente estas técnicas se usan
en todos las etapas del estudio de máquinas, transformadores y otros siste-
mas electromecánicos; este apéndice se incluye para relacionar al lector con
algunas de las muchas técnicas de computadora y programas específicos
utilizados con dicho propósito.
A. CARACTERISTICAS MAGNETlCAS
La relación no lineal del circuito magnético es un obstáculo básico para
analizar con exactitud los sistemas electromecánicos. Los de computadora
ofrecen una alternativa invaluable a las técnicas gráficas, analógicas y ma-
nuales usadas en los primeros análisis de máquinas. Algunos métodos para
el tratamiento de características magnéticas incluyen:
a) Una característica real B-H (o if> -Ni o E-NI) puede almacenarse en
un archivo de.,datos.
b) La curva puede representarse mediante dos o más secciones de lí-
nea recta. La figura 111.1 es un flujo típico contra la característica
de fmm para un motor de arranque. En la figura se muestran dos
secciones de recta para las pendientes mayores de la curva. Las
ecuaciones para estas secciones son
cf>=6.786 x 1O-6
(NI)fwebers, (NI)f<700
cf>=4.2 x 10-3
+4.1 x 1O-1
(NI)fwebers, (NI)f >700
483
(5.36)

486. 484 Apéndice 111
E
É
~
o
c.
oc.
~
o
~
LL
5
4
3
2
/
/
/ --__---- --r
/
/
Caracter{sticas magnéticas __ -
oL-__~____~____L-__~____-L____L-__~____-L_____
400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200
Ampere-vueltas por polo del campo
FIGURA III. 1. Curva del flujo contra ampere-vueltas y apro-
ximación con líneas rectas.
Podría haberse introducido una tercera sección para describir con
más exactitud a la curva en la región de la rodilla de 1> contra la
característica NI.
e) Existen varios métodos para representar una curva, como la figura
IU.l, por medio de series de potencias de NI (o de H). En general,
se requiere un mínimo de tres términos para una representación
de este tipo. En muchos sistemas de computadora que pueden ser
accesibles al lector, los programas de soporte lógico para análisis de
regresión pueden dar las expresiones de serie de potencias para ca-
racterísticas específicas de B contra H.
d) Se han propuesto muchas expresiones analíticas para la caracterís-
tica de B contra H, una sumamente útil y que se ha usado en méto-
dos de elementos finitos para el análisis de circuitos magnéticos es1
donde K 1, K 2 YK3 se determinan haciendo que la ecuación (5.38)
pase por tres puntos experimentales en una característica B-H de
laboratorio.
e) Elementos finitos. Hay muchos programas de computadora para el
análisis general de circuitos magnéticos usados en dispositivos elec-
tromecánicos. El uso principal de la técnica de elementos finitos
es el establecimiento y trazo de gráficas de líneas equipotenciales

487. Apéndice 11J 485
y de flujo, el cálculo de energía e inductancia y de fuerza. Un pro-
grama disponible en muchos sistemas de computadora para el
usuario es el AOSjMAGNETIC02
•
B. TRANSFORMADORES E INDUCTORES
Hay una serie de programas de soporte lógico para el diseño de transforma-
dores e inductores disponible en muchos sistemas de computadora para el
usuario:
1. TRANS, programa general de diseño de transformadores.
2. INDUCTOR, programa de diseño de inductores.
3. TOPT, técnica de optimización de transformadores.
4. FERRO, programade diseño paratransformadores ferro-resonantes.
Bibliografía
1. J. R. Brauer, "Simple Equations for the Magnetization and Reluetivity Curves of
Steel," IEEE Transactions on Magnetics, Nueva York, Enero 1973.
2. A. O. Smith, Broehure, "Engineering Consulting Serviee,"MKT-l10577, Mayo 1977.
3. Available from Optimized Program Serviees, Ine., Berea, OH.

489. Indice
A
Aceite, aislamiento, 85
Acoplamiento de impedancias, 107
Aislador magnético, 46, 51
Aislamiento, 19
Alambre magneto, 87
Analogía fuerza-corriente, 169
Angulo eléctrico, 195, 201
Angulo del par de torsión, 155
Autotransformador, 137
AWG,32,477
C
C.A., devanados de armadura, 260
capa doble, 261
ecuación de fem, 275
encordado, 261
factor de devanado, 271, 273, 275, 315
factor de distribución, 273
factor de paso, 274
paso completo, 262
paso fraccionado, 261, 274
Caída de reluctancia, 51, 75
Campo eléctrico, 35
Campo magnético, 35,51
simetna,36
Capacidades de valor nominal, 31
Caracteristica B-H, 4:¿, 46
Ciclo de histéresis, 41, 43
Ciclo de rendimiento, 31
Circuitos equivalentes, 169
Circuitos magnéticos, 53, 59
con imanes permanentes, 68
487
Coeficiente de acoplamiento, 64
Condiciones de frontera, 60
Conmutador, 20, 181, 208, 213
Control de estado sólido, 347
activación luminosa, 366
apagado de compuerta de thyristor, 366
cicloconversor,426
circuitos, recortadores, 411
conmutación paralelo de thyristor, 380
conmutación por thyristor, 373
conmutación serie de thyristor, 375
conmutador controlado por compuerta,
366
conmutador controlado por silicio, 390
controlador de eslabonamiento c.c., 418
control de motor de c.a., 416
control de razón de tiempo, 410
Darlington de potencia, 371
diodo de avalancha, 371
diodo de volante libre, 360, 399
diodos Zener, 371
disparo de compuerta de thyristor, 389
encendido de compuerta de thyristor,
385,387
formas de onda, 353
impulso de base de thyristor, 390
inversor de onda cuadrada, 418
inversores, 420, 425
lámina de datos de thyristor, 365, 366
lámina de datos de transistor de potencia,
369
ondas recortadas, 354
protección de semiconductor de
potencia, 391
recortador, 375,409

490. 488 Indice
rectificador, 359
rectificador controlado en fase, 393
rectificador de silicio, 357
RSC, ver control de estado sólido,
thyristor.
semiconductores de potencia, 355, 357
sobreimpulso de compuerta de
thyristor,388
transistor de potencia, 367
thyristor, 356,359
transistor de monounión, 390
triac,366
voltaje de pico inverso, 359
Conversión de energía, 146, 199
Corriente de excitación, 52
Curva de desmagnetización, 69, 241
D
Definición de eficiencia, 26
Definición de energía, 27
Densidad de flujo de saturación, 42
Densidad de flujo residual, 44
Deslizamiento, 267
Devanado de paso fraccional, 191
Devanado de paso completo, 191
Dimensión de estructura, 32
Dominio magnético, 41
Dualidad, 170
E
Ecuación de Bessel, 36
Ecuación de fuerza, 147, 249
Ecuación de la fuerza de Lorenz, 38
Ecuaciones de Maxwell, 37
Ecuaciones de movimiento, 159, 160
linealización, 162
solución analítica, 161
solución numérica, 166
Efecto Meisner, 40
Energía almacenada en el campo magnético,
62,65,66
Error en ángulo de fase, 138
Eslabonamiento de flujo, 61
F
Factor de fuga, 72, 73, 74
Factor de inducción 52
Factor de pila, 48
Fem de movimiento 51,162,445
Fem posterior, 196
Ferritas, 40, 88
Flujo de fuga, 53
Flujo magnético, 52
Fmm, definición, 51
Fuerza coercitiva, 44
Fuerza eléctrica, 44, 145, 147, 159
Fuerza, promedio en tiempo, 156, 173
Imanes de Alnico, 69
Imán permanente, 69-77
características, 7O
conservador, 76
curva de desmagnetización, 69
factor de fuga, 72, 74
permeabilidad de rebobinado, 77
producto de energía, 69
relación de permeancia, 69
Inductancia, definición, 63
auto, 64
determinación, 435
muesca, 66
mutua, 64, 434
Inductancia de eje de cuadratura, 155, 328
Inductancia de muesca, 66
L
Laminaciones, 47,48,88
Ley de Ampere, 38,54, 55
Ley de Biot-Savart, 38
Ley de Faraday, 38, 61, 62
M
Magnetización intrínseca, 42, 241
Magnetostricción, 146
Máquina de Beckey-Robinson, 23
Máquina de conmutador de flujo, 23
Máquina de inductor, 23
Máquina de Lundell, 23
Máquina de Nadyne, 23
Máquina de rectificador rotatorio, 22
Máquina electromegnética, 20, 35
Máquina de electrostática, 20, 37
MáqUinas de c.c., 181
arranque, 245
campos de entrehierro, 210, 216
características, 207, 227-238
clasificación, 203
conmutador, 208, 213
constante de armadura, 196, 198
conversión de energía, 199
corrimiento de escobilla, 215
curva de magnetización, 197
devanado de compensación 215
devanado de solapa, 190, 191
devanado ondulado, 190, 192
devanados de armadura, 186, 190
descripción, 182
dinámica, 243,472

491. 490 Indice
reactancia de fuga, 270, 272, 281
reactancia magnetizante, 270, 281
resistencia de rotor, 270, 272, 281
rotor devanado, 257
sin escobillas, 257
tipo jaula, 257
velocidad síncrona, 266
Motor de par de torsión, 20
N
NEMA,32
No linealidad, S8
Notación por unidad, 110
P
Par de torsión de reluctancia, 155, 311
Paso polar, 191,266
Perdida de núcleo, 47, 49, 50
aparente, 51
medición, 48
Pérdidas magnéticas, 46
Pérdida por corrientes de Eddy, 47
Pérdida por histéresis, 44, 47
pérdida aparente de núcleo, 51
Permeabilidad, 39, 42
amplitud, 42, 128
diferencial 42
incremental, 42, 77
infinita, 60
inicial, 42,
pulso, 42, 77
rebobinado, 77
relativa, 39
Permeabilidad de rebobinado, 77
Permeancia, definición, 52
Potencia, definición, 26
Potencial magnético, 51
Producto de energía, 44, 69
Programas de computación, 479
Punto de equilibrio, 164
R
Reacción de inducido, 207, 320-321
Regla-Bli, 38
Regla de la mano derecha, 38, 60, 61
Relación de permeancia, 69
Reluctancia, definición, 52
Ribeteado, 53
s
Saturación, 42, 48
Saturación magnética, 42, 197
Secuencia de fase, 132
Símbolos y unidades, 475
Sobrecargas de máquina, 31
Solenoide largo, 78
Superconductor, 40, 46
T
Tabla de conductores, 477
Temperatura de Curie, 44
Teoría del campo electromagnético. 37
Teoría general de las máquinas, 433
dinámica de la máquina, 465, 473
formulación en el dominio del tiempo,
461
inductancias de máquina, 436-444
máquina primitva, 459
técnicas de transformación, 436, 448,
452
Tipos de máquinas rotatorias, 20
Toroide, 36, 64, 66
Transformación lineal, 435
Tranformador,83
aceite, 85
acoplamiento de impedancia, 107
armónicas, 135
audio, 90
capacitancia, 122
característica de excitación, 92
circuito equivalente, 105
clasificación, 89
con carga, 101
conexiones, 126,129
conexción Scott, 136
construcción, 84
corriente, 90, 138
corriente de irrupción, 124
corriente magnetizante, 94, 96
delta abierta, 136
delta estrella, 130, 132
devanados, 84
diagrama de fasores, 94, 101, 113
ecuación de fem 95
eficiencia, 114
electrónica, 85, 90, 118
especialidad, 90
estrella de seis fases, 136
excitación de flujo senoidal, 98
excitación por corriente senoidal, 98
fmm de excitación, 102
ideal, 106, 109
impedancia, 111, 114
impedancia equivalente, 107, 111,
114
instrumento, 90
núcleo, 85, 88
pérdida por corona, 98
pérdidas de núcleo, 99, 109
polaridad, 116
potencial, 90
prueba de circuito abierto, 117, 121

492. ecuación de fem, 195-196
ecuación de velocidad, 201
ecuaciones de regulación, 201
eficiencia, 217
entrehierro axial, 184, 194
especificaciones de placa, 221
establecimiento de voltaje, 202, 205
excitación independiente, 233, 235
fem posterior, 196
flujo de potencia, 218
frenado, 245
frenado dinámico, 246
frenado regenerativo, 246
función de transferencia, 248
imán permanente, 237-242
interpolo, 215
línea de resistencia de campo, 204
máquina en derivación, 236
motores de control, 238
motores en serie, 232
obturación, 246
par de torsión, 199
pérdidas, 217-221
plano neutral geométrico, 208
prueba de retardación, 247
pruebas, 223-227
reacción de inducido, 208
regulación de voltaje, 235
sin escobillas, 181
Sistem Ward-Leonard, 233
Máquinas de colector polifásico, 25
Máquinas de histéresis, 22, 341
Máquinas de imán permanente, 24, 238
Máquinas de inducción, 20, 257
Máquinas de reluctancia, 22, 145, 152 -155,
341
Máquinas homopolares, 20,181
Máquinas síncronas, 20, 301
ángulo de potencia, 323, 331
arranque, 313
circuitos equivalentes, 324, 334
coeficiente de fuga de campo, 332
construcción, 302
cortocircuito repentino, 332
curvas y, 324
devanado de amortiguación, 307
enfriado, 307
excitador, 302
excitador piloto, 302
fem inducida nominal, 321
impedancia síncrona, 320
motor de histéresis, 341
motor de reluctancia, 341
operación como generador 313 320
operación como motor, 3Ú, 324
par de sincronización, 337
polo saliente. 303. ,17
prueba de deslizamiento, 339
pruebas, 339
Indice 489
reacción de armadura, 320-321
reactancias, 328, 335, 339
reactancia de eje directo, 328
reactancia de eje de cuadratura, 328
reactancia de fuga, 319
reactancia síncrona, 320
reactancia subtransitoria, 334
reactancia transitoria, 334
regulación de voltaje, 321
resistencia de armadura, 320
rotor cilíndrico, 303, 320, 324
sobreexcitada, 324
subexcitado, 324
teoría de dos reacciones, 327
transitorio, 331
transitorio mecánico, 335
velocidad síncrona, 303
Material diamagnético, 40
Material ferrimagnético, 40
Material ferromagnético, 40
Material magnético, 39-46
blando, 40
diamagnético, 40
duro, 40
ferrimagnético,40
ferromagnético, 40
paramagnético, 39
Material paramagnético, 39
Material superparamagnético, 40
Motor de escalonamiento, 20
Motor de inducción, 257
acción, 266
anillo colector, 257
arranque, 288, 295
arranque con capacitor, 296
cálculos de ejecución, 276
campo magnético rotatorio, 264
circuito equivalente, 270, 279,448,
454
circuito equivalente del rotor, 268
control de velocidad, 285
criterios de ejecución, 282
desbalanceado, 457,474
deslizamiento, 267
dinámica, 465
eficiencia, 279
fase de hendedura, 295
flujo de potencia, 276
fmm de armadura, 260
frecuencia de deslizamiento, 269
jaula doble, 290
monofásico, 291-297
par de torsión, 266,279,283,456
polo sombreado, 297
potencia a través de entrehierro, 276
potencia desarrollada, 277
prueba de rotor bloqueado, 280
prueba sin carga, 279
pruebas, 279

493. prueba de corto-<:ircuito, 119. 121
prueba de polaridad, 171
pruebas, 117
producto Yolt-tiempo, 128
pUbo,126
razón devueltas. 91, 98,99
reactancía de fuga. 107
reactancla magnetiZante, 109
regulación, de voltaje, 141
resistencia de devanado, 108
resistencia de pérdida de núdeo, 1m
resistencia efectiva, 109
IIIlwracíÓn, 9S
sin carga.. 92, 18. 100
Transformador co.1! núcleo de aire, 84
Transformador de corriente, 118
bldlee 491
Transformadores trifásicos, 130
u
Unidades, 26,474
v
Valor promedio, 2S-29,174
media onda. 28
promedio en tiempo, 28, 156, 173
Valor promedio en el tiempo, 28. 156. 173
Valor R.eM, 18-29, 174
Variables de CItado, 166, 435. 466
Velocidad ~íncmna. 20.266,303

494. ESTA OBRA SI TStMINO DE IMPRIMIR EL OlA 29 DE ENERO
DE 1997. EN LOS TALLERES DE IMPRENTA TECNICA, S. A.
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KE-609- 85