Este documento describe la factorización LU de una matriz. Explica que la factorización LU descompone una matriz A en el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U. Esto permite resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma más eficiente mediante sustitución hacia adelante y hacia atrás. El documento también incluye ejemplos numéricos para ilustrar los pasos del proceso de factorización LU.
La factorización LU descompone una matriz A en el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U. Esto permite resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma más eficiente mediante sustitución hacia adelante y hacia atrás. El documento explica el proceso de obtener las matrices L y U y usarlas para resolver un sistema de ecuaciones dado como ejemplo.
Este documento describe la factorización LU de una matriz. Explica que la factorización LU descompone una matriz A en el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U. Esto permite resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma más eficiente mediante sustitución hacia adelante y hacia atrás. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar la factorización LU para resolver sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta tres tipos de factorización de matrices:
1) Factorización LU descompone una matriz A en producto de una matriz triangular inferior L y una matriz escalonada superior U.
2) Factorización LDU es similar a LU pero extrae los elementos diagonales de U en una matriz diagonal D.
3) Factorización QR descompone una matriz A en producto de una matriz con columnas ortonormales Q y una matriz triangular superior invertible R.
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminaciónoswaldoalvarado
Este documento presenta el método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El método implica reescribir el sistema en términos del operador diferencial, eliminar una variable mediante multiplicación de ecuaciones, obtener la solución de la ecuación característica y sustituir en el sistema original para encontrar la solución general. Se ilustra el método con un ejemplo de sistema de dos ecuaciones de primer orden.
Este documento presenta dos métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos variables: el método de sustitución y el método de eliminación. En el método de sustitución, se despeja una variable en una ecuación y se sustituye en la otra para obtener un único término despejado. En el método de eliminación, se suman o restan las ecuaciones para eliminar una variable y obtener un único término despejado.
Este documento describe el método de eliminación Gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método involucra realizar operaciones elementales de renglón como multiplicar, dividir o sumar ecuaciones para simplificar el sistema hasta que solo quede una ecuación con una incógnita cuya solución permite determinar las demás variables. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar el proceso de resolución paso a paso.
Este documento presenta una lección sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones: eliminación, sustitución, igualación y gráfico. Proporciona ejemplos detallados de cada método y ejercicios para practicar. El objetivo es introducir a los estudiantes en los sistemas de ecuaciones como una base para el álgebra.
La factorización LU descompone una matriz A en el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U. Esto permite resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma más eficiente mediante sustitución hacia adelante y hacia atrás. El documento explica el proceso de obtener las matrices L y U y usarlas para resolver un sistema de ecuaciones dado como ejemplo.
Este documento describe la factorización LU de una matriz. Explica que la factorización LU descompone una matriz A en el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U. Esto permite resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma más eficiente mediante sustitución hacia adelante y hacia atrás. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar la factorización LU para resolver sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta tres tipos de factorización de matrices:
1) Factorización LU descompone una matriz A en producto de una matriz triangular inferior L y una matriz escalonada superior U.
2) Factorización LDU es similar a LU pero extrae los elementos diagonales de U en una matriz diagonal D.
3) Factorización QR descompone una matriz A en producto de una matriz con columnas ortonormales Q y una matriz triangular superior invertible R.
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminaciónoswaldoalvarado
Este documento presenta el método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El método implica reescribir el sistema en términos del operador diferencial, eliminar una variable mediante multiplicación de ecuaciones, obtener la solución de la ecuación característica y sustituir en el sistema original para encontrar la solución general. Se ilustra el método con un ejemplo de sistema de dos ecuaciones de primer orden.
Este documento presenta dos métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos variables: el método de sustitución y el método de eliminación. En el método de sustitución, se despeja una variable en una ecuación y se sustituye en la otra para obtener un único término despejado. En el método de eliminación, se suman o restan las ecuaciones para eliminar una variable y obtener un único término despejado.
Este documento describe el método de eliminación Gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método involucra realizar operaciones elementales de renglón como multiplicar, dividir o sumar ecuaciones para simplificar el sistema hasta que solo quede una ecuación con una incógnita cuya solución permite determinar las demás variables. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar el proceso de resolución paso a paso.
Este documento presenta una lección sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones: eliminación, sustitución, igualación y gráfico. Proporciona ejemplos detallados de cada método y ejercicios para practicar. El objetivo es introducir a los estudiantes en los sistemas de ecuaciones como una base para el álgebra.
Este documento presenta 59 problemas de ecuaciones y sistemas exponenciales y logarítmicos para resolver. Los problemas incluyen ecuaciones exponenciales monómicas y polinómicas, sistemas de ecuaciones exponenciales, ecuaciones que utilizan logaritmos, ecuaciones logarítmicas, y sistemas de ecuaciones logarítmicas. También presenta problemas sobre el crecimiento exponencial de la madera, el capital, los precios y la población de un país.
El documento presenta un examen de álgebra sobre sistemas de ecuaciones lineales. El examen contiene preguntas sobre métodos para resolver sistemas de ecuaciones, identificar puntos de intersección de ecuaciones, y determinar la solución de sistemas dados gráficamente o a través de ecuaciones.
El documento presenta un resumen de cinco unidades de álgebra lineal. La unidad I cubre ecuaciones de primer grado y simultáneas. La unidad II trata sobre matrices. La unidad III explica conceptos de inversas. La unidad IV describe métodos de solución como Gauss y Gauss-Jordan. Finalmente, la unidad V aborda la solución de problemas y espacios vectoriales.
1) El documento presenta dos ejemplos resueltos de sistemas de ecuaciones. En el primer ejemplo, se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y se obtiene la solución (3/8, 7/4). En el segundo ejemplo, se resuelve un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas usando el método de Gauss y se obtiene la solución (3/5, -6/35, -1/35).
Resolución de un sistema de ecuaciones por determinantesElideth Nolasco
El documento describe el método de determinantes para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Este método involucra calcular cuatro determinantes: el determinante del sistema, y los determinantes de cada incógnita. Estos determinantes se usan para encontrar los valores de las incógnitas dividiéndolos por el determinante del sistema. El método concluye comprobando que los valores encontrados satisfacen ambas ecuaciones originales.
Resolucion de ejercicios de Ecuaciones LinealesLeoner Parra
Este documento presenta los pasos para resolver un sistema de ecuaciones de tres incógnitas utilizando el método de sustitución y evaluar una función con los valores obtenidos. Primero se resuelve el sistema para encontrar los valores de X, Y y Z, luego se sustituyen en la función F(t) = 3Z' + 2X'' - 3Y2'4 para hallar su valor. El proceso involucra nueve pasos como despejar incógnitas, sustituir valores y derivar términos, obteniendo como solución final F(t) = 80/3
Este documento presenta el método de determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica cómo formar la matriz de coeficientes y calcular los determinantes para obtener los valores de las incógnitas. Además, muestra un ejemplo numérico completo del procedimiento para resolver un sistema particular.
Este documento presenta un proyecto de aula sobre temas de matemáticas como simplificar fracciones algebraicas y con exponentes, sumas y diferencias de potencias impares, trinomios cuadrados perfectos, racionalización, ecuaciones de primer grado y cuadráticas, sistemas de ecuaciones, distancia entre puntos y conjuntos. El proyecto contiene ejemplos y procedimientos para resolver cada uno de estos temas.
Este documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas, incluyendo eliminación por igualación, eliminación por sustitución, método de reducción y eliminación de Gauss-Jordan. Define conceptos como ecuaciones simultáneas, equivalentes e independientes, y describe los pasos para aplicar cada método.
Algebra - Sistemas Método de eliminaciónAna Robles
Este documento describe el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos variables. El método implica expresar las ecuaciones en forma estándar ax + by = c, multiplicar una ecuación por una constante para eliminar una variable, sumar las ecuaciones resultantes para obtener una ecuación de una variable, resolver para esa variable, y sustituir en la otra ecuación original para encontrar la otra variable. Se proveen ejemplos ilustrativos del proceso.
Este documento parece ser un examen de álgebra que contiene preguntas sobre sistemas de ecuaciones lineales, métodos para resolver sistemas de ecuaciones, gráficas de coordenadas cartesianas y conceptos básicos de álgebra. El examen evalúa la comprensión del estudiante en estas áreas fundamentales de álgebra.
El documento presenta un proyecto de aula sobre ecuaciones fraccionarias y radicales. El proyecto incluye temas como ecuaciones fraccionarias con denominadores monomios y compuestos, ecuaciones con radicales que se reducen a segundo grado, y ecuaciones literales. El proyecto es realizado por 5 estudiantes y una licenciada, en el área de educación, comercio y administración.
Nuevo presentación de microsoft power point (2)sistemas de ecuacionesgabiita19
El documento presenta un problema de sistemas de ecuaciones para determinar el precio por kilo de manzanas rojas y verdes que compraron Doña Florinda y la bruja del 71. Se muestran tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: reducción, igualación y sustitución. Se aplican estos métodos al problema, determinando que el precio de las manzanas rojas es $300 por kilo y de las manzanas verdes es $500 por kilo. Finalmente, se indica que los sistemas de ecuaciones son útiles para resolver problemas de la vida
Ejercicios resueltos de derivadas página webbellidomates
El documento contiene 9 ejercicios resueltos de derivadas de funciones. En el primer ejercicio se derivan tres funciones. En el segundo, se hallan las derivadas de tres funciones dadas. En el tercero, se demuestra que la derivada de una constante es cero. Los ejercicios restantes involucran derivar funciones utilizando logaritmos, hallar pendientes de curvas, y derivar y simplificar varias funciones.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre funciones reales de variable real. Explica cómo calcular los dominios de definición de varias funciones y realiza operaciones como sumas, productos y composiciones de funciones. También describe las características de funciones a partir de sus gráficas, indicando si son crecientes, decrecientes, cóncavas o convexas.
El documento proporciona una guía sobre cómo encontrar las raíces de polinomios. Explica que un polinomio es una expresión matemática que involucra variables, constantes y operaciones aritméticas como suma, resta y multiplicación. Luego define que un número es una raíz de un polinomio si el valor del polinomio para ese número es cero. Presenta algunos casos y ejemplos para encontrar raíces enteras y fraccionarias utilizando divisores y la regla de Ruffini.
Este documento describe cómo encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Explica que las trayectorias ortogonales son aquellas cuyas curvas se cortan perpendicularmente. Muestra cómo obtener la ecuación diferencial asociada a una familia de curvas y luego usarla para encontrar la ecuación diferencial de la familia ortogonal. Resuelve este proceso para varios ejemplos numéricos y gráficamente representa tanto las familias originales como las ortogonales. Finalmente, propone algunos ejercicios para que el estudiante los
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. En la primera sección, se calculan límites de funciones racionales cuando el denominador se hace cero. Luego, se analiza la continuidad de cuatro funciones mediante su representación gráfica. Más adelante, se comprueba que una función se aproxima a una recta cuando x tiende a infinito. Finalmente, se calculan varios límites de funciones racionales, polinómicas y trigonométricas en diferentes puntos.
Este documento presenta la factorización LU de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Explica el proceso de descomposición de una matriz A en las matrices L y U, y cómo usar esta descomposición para resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma Ax=b de manera más eficiente que otros métodos. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar los pasos de la factorización LU y su aplicación para resolver sistemas de ecuaciones.
Este documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, incluyendo el método gráfico, el método de igualación, el método de sustitución y el método de reducción. Se proporcionan ejemplos detallados de cada método y cómo aplicarlos para encontrar las soluciones del sistema.
Este documento presenta 59 problemas de ecuaciones y sistemas exponenciales y logarítmicos para resolver. Los problemas incluyen ecuaciones exponenciales monómicas y polinómicas, sistemas de ecuaciones exponenciales, ecuaciones que utilizan logaritmos, ecuaciones logarítmicas, y sistemas de ecuaciones logarítmicas. También presenta problemas sobre el crecimiento exponencial de la madera, el capital, los precios y la población de un país.
El documento presenta un examen de álgebra sobre sistemas de ecuaciones lineales. El examen contiene preguntas sobre métodos para resolver sistemas de ecuaciones, identificar puntos de intersección de ecuaciones, y determinar la solución de sistemas dados gráficamente o a través de ecuaciones.
El documento presenta un resumen de cinco unidades de álgebra lineal. La unidad I cubre ecuaciones de primer grado y simultáneas. La unidad II trata sobre matrices. La unidad III explica conceptos de inversas. La unidad IV describe métodos de solución como Gauss y Gauss-Jordan. Finalmente, la unidad V aborda la solución de problemas y espacios vectoriales.
1) El documento presenta dos ejemplos resueltos de sistemas de ecuaciones. En el primer ejemplo, se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y se obtiene la solución (3/8, 7/4). En el segundo ejemplo, se resuelve un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas usando el método de Gauss y se obtiene la solución (3/5, -6/35, -1/35).
Resolución de un sistema de ecuaciones por determinantesElideth Nolasco
El documento describe el método de determinantes para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Este método involucra calcular cuatro determinantes: el determinante del sistema, y los determinantes de cada incógnita. Estos determinantes se usan para encontrar los valores de las incógnitas dividiéndolos por el determinante del sistema. El método concluye comprobando que los valores encontrados satisfacen ambas ecuaciones originales.
Resolucion de ejercicios de Ecuaciones LinealesLeoner Parra
Este documento presenta los pasos para resolver un sistema de ecuaciones de tres incógnitas utilizando el método de sustitución y evaluar una función con los valores obtenidos. Primero se resuelve el sistema para encontrar los valores de X, Y y Z, luego se sustituyen en la función F(t) = 3Z' + 2X'' - 3Y2'4 para hallar su valor. El proceso involucra nueve pasos como despejar incógnitas, sustituir valores y derivar términos, obteniendo como solución final F(t) = 80/3
Este documento presenta el método de determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica cómo formar la matriz de coeficientes y calcular los determinantes para obtener los valores de las incógnitas. Además, muestra un ejemplo numérico completo del procedimiento para resolver un sistema particular.
Este documento presenta un proyecto de aula sobre temas de matemáticas como simplificar fracciones algebraicas y con exponentes, sumas y diferencias de potencias impares, trinomios cuadrados perfectos, racionalización, ecuaciones de primer grado y cuadráticas, sistemas de ecuaciones, distancia entre puntos y conjuntos. El proyecto contiene ejemplos y procedimientos para resolver cada uno de estos temas.
Este documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas, incluyendo eliminación por igualación, eliminación por sustitución, método de reducción y eliminación de Gauss-Jordan. Define conceptos como ecuaciones simultáneas, equivalentes e independientes, y describe los pasos para aplicar cada método.
Algebra - Sistemas Método de eliminaciónAna Robles
Este documento describe el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos variables. El método implica expresar las ecuaciones en forma estándar ax + by = c, multiplicar una ecuación por una constante para eliminar una variable, sumar las ecuaciones resultantes para obtener una ecuación de una variable, resolver para esa variable, y sustituir en la otra ecuación original para encontrar la otra variable. Se proveen ejemplos ilustrativos del proceso.
Este documento parece ser un examen de álgebra que contiene preguntas sobre sistemas de ecuaciones lineales, métodos para resolver sistemas de ecuaciones, gráficas de coordenadas cartesianas y conceptos básicos de álgebra. El examen evalúa la comprensión del estudiante en estas áreas fundamentales de álgebra.
El documento presenta un proyecto de aula sobre ecuaciones fraccionarias y radicales. El proyecto incluye temas como ecuaciones fraccionarias con denominadores monomios y compuestos, ecuaciones con radicales que se reducen a segundo grado, y ecuaciones literales. El proyecto es realizado por 5 estudiantes y una licenciada, en el área de educación, comercio y administración.
Nuevo presentación de microsoft power point (2)sistemas de ecuacionesgabiita19
El documento presenta un problema de sistemas de ecuaciones para determinar el precio por kilo de manzanas rojas y verdes que compraron Doña Florinda y la bruja del 71. Se muestran tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: reducción, igualación y sustitución. Se aplican estos métodos al problema, determinando que el precio de las manzanas rojas es $300 por kilo y de las manzanas verdes es $500 por kilo. Finalmente, se indica que los sistemas de ecuaciones son útiles para resolver problemas de la vida
Ejercicios resueltos de derivadas página webbellidomates
El documento contiene 9 ejercicios resueltos de derivadas de funciones. En el primer ejercicio se derivan tres funciones. En el segundo, se hallan las derivadas de tres funciones dadas. En el tercero, se demuestra que la derivada de una constante es cero. Los ejercicios restantes involucran derivar funciones utilizando logaritmos, hallar pendientes de curvas, y derivar y simplificar varias funciones.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre funciones reales de variable real. Explica cómo calcular los dominios de definición de varias funciones y realiza operaciones como sumas, productos y composiciones de funciones. También describe las características de funciones a partir de sus gráficas, indicando si son crecientes, decrecientes, cóncavas o convexas.
El documento proporciona una guía sobre cómo encontrar las raíces de polinomios. Explica que un polinomio es una expresión matemática que involucra variables, constantes y operaciones aritméticas como suma, resta y multiplicación. Luego define que un número es una raíz de un polinomio si el valor del polinomio para ese número es cero. Presenta algunos casos y ejemplos para encontrar raíces enteras y fraccionarias utilizando divisores y la regla de Ruffini.
Este documento describe cómo encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Explica que las trayectorias ortogonales son aquellas cuyas curvas se cortan perpendicularmente. Muestra cómo obtener la ecuación diferencial asociada a una familia de curvas y luego usarla para encontrar la ecuación diferencial de la familia ortogonal. Resuelve este proceso para varios ejemplos numéricos y gráficamente representa tanto las familias originales como las ortogonales. Finalmente, propone algunos ejercicios para que el estudiante los
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. En la primera sección, se calculan límites de funciones racionales cuando el denominador se hace cero. Luego, se analiza la continuidad de cuatro funciones mediante su representación gráfica. Más adelante, se comprueba que una función se aproxima a una recta cuando x tiende a infinito. Finalmente, se calculan varios límites de funciones racionales, polinómicas y trigonométricas en diferentes puntos.
Este documento presenta la factorización LU de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Explica el proceso de descomposición de una matriz A en las matrices L y U, y cómo usar esta descomposición para resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma Ax=b de manera más eficiente que otros métodos. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar los pasos de la factorización LU y su aplicación para resolver sistemas de ecuaciones.
Este documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, incluyendo el método gráfico, el método de igualación, el método de sustitución y el método de reducción. Se proporcionan ejemplos detallados de cada método y cómo aplicarlos para encontrar las soluciones del sistema.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones, incluyendo igualdades, identidades, ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones equivalentes, ecuaciones incompletas, resolución de ecuaciones y aplicaciones de ecuaciones de segundo grado.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Introduce las nociones de igualdad, identidad y ecuación, y explica cómo resolver ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo ecuaciones completas, incompletas e irracionales. También cubre temas como ecuaciones equivalentes, descomposición de trinomios cuadrados perfectos y aplicaciones de ecuaciones de segundo grado.
Este documento presenta tres ejercicios relacionados con ecuaciones diferenciales para ser resueltos por estudiantes de ingeniería. El primer ejercicio pide determinar si ciertas funciones son soluciones de ecuaciones diferenciales dadas. El segundo ejercicio pide resolver ecuaciones diferenciales de primer orden usando diferentes métodos. El tercer ejercicio pide resolver ecuaciones diferenciales de orden mayor según el método correspondiente.
Este documento presenta una serie de ejercicios y problemas relacionados con ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Se piden determinar si ciertas funciones son soluciones de ecuaciones diferenciales dadas y resolver ecuaciones diferenciales usando métodos como separación de variables, factores integradores y anuladores.
Este documento describe los sistemas de ecuaciones y varios métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, incluyendo sustitución, igualación, reducción y gráficamente. Los sistemas de ecuaciones involucran encontrar valores para las incógnitas que satisfagan todas las ecuaciones simultáneamente.
Este documento presenta un módulo sobre sistemas de ecuaciones. Explica que los sistemas de ecuaciones son herramientas útiles en matemáticas y otras áreas. Luego, proporciona ejercicios de práctica y resume diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones de 2 variables, como el método de sustitución y el método de eliminación.
Este documento presenta ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales a través de métodos gráficos y algebraicos. Incluye problemas de clasificación de sistemas lineales según el número de soluciones, y resolución de sistemas formados por ecuaciones de circunferencias, hipérbolas, exponenciales y logaritmos.
El documento presenta un resumen sobre sistemas de ecuaciones lineales de 2x2. Explica que estos sistemas consisten en dos ecuaciones con dos variables y pueden tener una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. También describe gráficamente cada uno de estos casos y presenta algunos ejemplos resueltos. Finalmente, explica cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método gráfico, el método de igualación, el método de sustitución y el método de reducción o suma y
Este documento presenta 13 ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado. El primer ejercicio determina si ciertas ecuaciones son de segundo grado o no. Los ejercicios siguientes resuelven ecuaciones de segundo grado utilizando fórmulas como la fórmula cuadrática. El último ejercicio halla dos números dados su suma y producto.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones simultáneas que incluyen ecuaciones de segundo grado. Describe los pasos para resolver ecuaciones donde una es de primer grado y otra de segundo grado, o ambas son de segundo grado. También explica cómo graficar las soluciones en un círculo u otra curva.
Este documento presenta 16 problemas resueltos de sistemas de ecuaciones lineales utilizando diferentes métodos como igualación, sustitución y reducción. En cada problema se da la solución paso a paso mostrando los cálculos realizados.
Este documento resume los diferentes tipos de ecuaciones y sus métodos de resolución. Incluye ecuaciones de primer grado, ecuaciones de segundo grado completas e incompletas, ecuaciones fraccionarias, literales, de grado superior como binómicas y bicuadradas, e irracionales. Explica cómo resolver cada tipo mediante factoreo, fórmula general, completar trinomio, gráficamente o reduciendo a segundo grado.
La programación lineal es un método para encontrar la solución óptima cuando se quiere optimizar una función objetivo lineal sujeta a restricciones lineales. Se representan las restricciones como semiplanos y la intersección de éstos da la región de validez. La solución óptima se encuentra en un vértice de dicha región.
Este documento contiene 26 problemas de álgebra que incluyen ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales y cuadráticas, factorización de polinomios, divisibilidad de polinomios y operaciones con fracciones algebraicas. Los problemas deben resolverse para practicar conceptos matemáticos de primero de bachillerato.
Este documento presenta una introducción teórica y ejercicios resueltos sobre ecuaciones logarítmicas y exponenciales. La sección teórica explica cómo resolver ecuaciones logarítmicas expresando los términos como logaritmos y ecuaciones exponenciales expresando los términos como potencias de la misma base o realizando cambios de variable. La sección de ejercicios resueltos contiene 14 problemas resueltos usando estas técnicas.
Este documento resume los pasos para resolver un sistema de ecuaciones logarítmicas mediante el método de reducción. Explica cómo transformar la segunda ecuación dividiendo ambos lados por el exponente para obtener una resta de logaritmos. Luego multiplica la segunda ecuación por el exponente para combinar los términos y así resolver el sistema obteniendo x=100 y y=10.
Documento que desarrolla el contenido de Sistema De Ecuaciones y los diferentes métodos empleados para la solución de Sistemas De Ecuaciones 2x2 y Sistemas De Ecuaciones 3x3, además de su aplicación en la resolución de problemas.
Este documento presenta una unidad didáctica sobre ecuaciones con dos incógnitas. Explica que la expresión general de una ecuación con dos incógnitas es F(x,y)=0, donde F es una función. Se centra en ecuaciones que pueden despejarse para dar y=f(x) o x=g(y). Cubre ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y circulares, resolviendo ejemplos como 2x-y+1=0, x-y^2+4y-8=0 y x^2+(y+1
Tratatimiento numerico de ecuaciones diferenciales (2)daferro
1) El documento describe métodos para resolver ecuaciones elípticas y parabólicas, incluyendo la ecuación de Laplace y la ecuación de conducción de calor.
2) Se explica el método de Crank-Nicholson para resolver numéricamente la ecuación de conducción de calor de manera implícita.
3) También se cubren métodos como el de Liebmann para resolver ecuaciones elípticas de manera iterativa.
Este documento describe métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluidos los métodos de Euler, punto medio, Heun y Runge-Kutta. Explica cómo cada método estima la pendiente para predecir valores futuros y mejorar la precisión de la solución. También proporciona ejemplos numéricos para ilustrar la aplicación de los métodos.
Este documento presenta métodos numéricos para aproximar la solución de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) de segundo orden. Explica el método de diferencias finitas para discretizar EDP y aproximar derivadas. Luego, cubre métodos explícitos para resolver ecuaciones parabólicas de conducción de calor mediante diferencias temporales y espaciales, analizando su convergencia, estabilidad y tratamiento de condiciones de frontera. Finalmente, presenta un ejemplo numérico de aplicación del método explícito
Este documento describe métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, como el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. Explica que los métodos iterativos calculan sucesivas aproximaciones a la solución de forma recurrente hasta converger, a diferencia de los métodos directos que obtienen la solución exacta. También discute conceptos como matriz diagonalmente dominante y cuando es más conveniente usar métodos iterativos frente a métodos directos.
El documento describe métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, como el método de Jacobi y Gauss-Seidel. El método de Jacobi involucra iterar una ecuación de recurrencia para mejorar sucesivamente las aproximaciones a la solución, mientras que Gauss-Seidel mejora sobre Jacobi actualizando las variables una por una en cada iteración en lugar de todas juntas.
The Bairstow method and Muller method are techniques for calculating the roots of polynomials.
The Bairstow method uses synthetic division to iteratively calculate the roots of a polynomial by dividing it by quadratic factors (x^2 - rx - s) until the remainder is zero. It obtains better approximations of r and s at each iteration to isolate the roots.
The Muller method fits a parabola through three initial guesses to obtain the coefficients a, b, c of the quadratic formula. It then uses the quadratic formula to find the root, and iterates with new guesses to converge on more accurate roots.
Both methods use iterative techniques to gradually converge on the real and complex roots of polynomials without
The Bairstow method and Muller method are techniques for calculating the roots of polynomials.
The Bairstow method uses synthetic division to iteratively calculate the roots of a polynomial by dividing it by quadratic factors (x^2 - rx - s) until the remainder is zero. It obtains better approximations of r and s at each iteration to isolate the roots.
The Muller method fits a parabola through three initial guesses to obtain coefficients a, b, c. It then uses the quadratic formula on the parabola to find the root, and iterates with new guesses until converging on a solution.
Both methods use iterative techniques to refine initial guesses and isolate the roots of polynomials without using
This document describes the bisection method for finding the root of a function. It shows an example of applying the bisection method to find a root between 0.5 and 0.6 over 15 iterations. At each iteration, it calculates the function values at the lower and upper bounds and their product to determine if a sign change has occurred, identifying a root within the bounds. The root converges to 0.57 and the error decreases with each iteration.
The Bairstow method is an iterative technique for finding the roots of polynomials by calculating the coefficients of a quadratic factor. It works by taking an initial approximation of the quadratic factor and generating better approximations using partial derivatives until the remainder of dividing the polynomial by the quadratic factor is zero, giving the roots. The method calculates the partial derivatives to update the approximations in a way that avoids having to perform calculations with complex numbers directly. When applied repeatedly, it can find all roots of polynomials of third order or higher.
Gaussian Elimination is a variation of the Gauss elimination method that can solve up to 15-20 simultaneous equations with 8-10 significant digits of precision on a computer. It differs from Gaussian elimination by normalizing all rows when using them as the pivot equation, resulting in an identity matrix rather than a triangular matrix. This avoids needing to perform back substitution. The method is demonstrated through solving a system of 3 equations with 3 unknowns via Gaussian elimination, resulting in values for the 3 unknowns. Advantages of the Gaussian-Jordan method include requiring approximately 50% fewer operations than Gaussian elimination and providing a direct method for obtaining the inverse matrix.
This document defines and describes different types of matrices including:
- Upper and lower triangular matrices
- Determinants which are scalars obtained from products of matrix elements according to constraints
- Band matrices which are sparse matrices with nonzero elements confined to diagonals
- Transpose matrices which exchange the rows and columns of a matrix
- Inverse matrices which when multiplied by the original matrix produce the identity matrix
This document defines and describes different types of matrices including:
- Upper and lower triangular matrices
- Determinants which are scalars obtained from products of matrix elements according to constraints
- Band matrices which are sparse matrices with nonzero elements confined to diagonals
- Transpose matrices which exchange the rows and columns of a matrix
- Inverse matrices which when multiplied by the original matrix produce the identity matrix
This document defines and explains different types of matrices:
- Upper and lower triangular matrices have zeros above or below the main diagonal of a square matrix.
- The determinant of a matrix is a scalar value obtained from the products of the matrix's elements according to certain constraints.
- A banded matrix is a sparse matrix with nonzero elements confined to a diagonal band around the main diagonal.
- The transpose of a matrix exchanges the rows and columns of the original matrix.
- For matrix multiplication to be defined, the number of columns of the left matrix must equal the number of rows of the right matrix.
2. UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
INGENIERIA DE PETROLEOS
SEXTO SEMESTRE
2010
FACTORIZACION LU
DANIEL FERNANDO RODRIGUEZ ARIAS
Trabajo de Métodos Numéricos en Ingeniería
Ing. EDUARDO CARRILLO
3. UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
INGENIERIA DE PETROLEOS
SEXTO SEMESTRE
2010
INTRODUCCIÓN
La factorización LU de una matriz es una factorización que
resume el proceso de eliminación gaussiana aplicado a la
matriz, y que es conveniente en términos del número total de
operaciones de punto flotante cuando se desea calcular la
inversa de una matriz o, cuando se resolverá una serie de
sistemas de ecuaciones con una misma matriz de coeficientes.
En la lectura, primeramente consideraremos la factorización LU
sin intercambio, basada en matrices elementales y que es
4. conocida como de Doolittle y posteriormente veremos el
algoritmo que da la factorización PA = LU.
FACTORIZACION LU
La factorización LU, es una forma de factorización de una matriz
como el producto de una matriz triangular inferior y una
superior. Debido a la inestabilidad de este método, por ejemplo
si un elemento de la diagonal es cero, es necesario
5. premultiplicar la matriz por una matriz de permutación. Método
llamado factorización PA = LU o LU con pivote. Esta
descomposición se usa en el análisis numérico para resolver
sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las
matrices inversas.
PROCESO:
Suponga que la matriz A es una matriz m × n que se puede
escribir como el producto de dos matrices:
A = LU
Donde L es una matriz triangular inferior m×m y U es una matriz
escalonada m×n.
L(low) Matriz Triangula Inferior
U(up) Matriz Escalonada
Entonces para resolver el sistema:
Ax = b,
escribimos:
Ax = (LU) x = L (Ux)
Una posible estrategia de solución consiste en tomar y=Ux y
resolver para y:
Ly=b
Como la matriz L es triangular superior, este sistema puede
resolverse mediante sustitución hacia abajo. Una vez con los
6. valores encontrados de y, las incógnitas al sistema inicial se
resuelve despejando x de
Ux = y.
Nuevamente, como U es escalonada, este sistema puede
resolverse en caso de tener solución mediante sustitución hacia
atrás, lo cual es sencillo. Estas observaciones nos dan la pauta
para ver la conveniencia de una factorización como la anterior,
es decir factorizar A como el producto de una matriz L triangular
superior, por otra U la cual es escalonada. Esta factorización se
llama usualmente Descomposición LU.
USO DE LA FACTORIZACIÓN LU
Use la factorización LU de A:
4 −2 1 1 0 0 4 −2 1
A = 20 −7 12 = 5 1 0 0 3 7 = LU
−8 13 17 −2 3 1 0 0 −2
para despejar x del sistema:
11
Ax = 70 = b
17
Solución
Sea y = (y1, y2, y3) un nuevo vector de incógnitas. Primero
resolveremos el sistema triangular inferior Ly = b:
7. 1 0 0 11
5 1 0 Y = 70
−2 3 1
17
Este sistema escrito en su forma de ecuaciones queda:
y1 = 11
5 1+ y 2
y = 70
−2 1 + 3 2+ y 3 = 17
y y
Por eliminación directa de la:
• Primera ecuación:
y1 = 11,
• Segunda ecuación:
y2 = 70 − 5 y1 = 70 − 5 (11) = 15,
• Y de la tercera:
y3 = 17 + 2y1 − 3 y2 = 17 + 2 (11) − 3 (15) = −6.
Ahora el sistema Ux = y:
4 −2 1 11
0 3 7 X = 15
0 0 −2
−6
El cual escrito en su forma de ecuaciones queda:
4x 1 − 2 2 + x 3 = 11
x
3 2 + 7x 3 = 15
x
−2 3 = −6
x
El cual al ser resuelto por sustitución hacia atrás queda:
8. • De la ultima ecuación:
x3 = 3,
• Segunda ecuación:
x2 = 5 − 7/3 x3 = 5 − 7/3 (3) = −2,
• Y de la primera:
x1 = 11/4 + 1/2x2 − 1/4 x3 = 11/4 + 1/2 (−2) − 1/4 (−3) = 1
OBTENCION DE LA FACTORIZACION LU
Ejemplo 1.
Considere el sistema de ecuaciones:
2 1 + 3 2 + 4x 3 = 6
x x
4x 1 + 5 2 + 10x 3 = 16
x
4x 1 + 8x 2 + 2 3 = 2
x
Cuya matriz de coeficiente es
2 3 4
A = 4 5 10
4 8 2
Su factorización LU es:
1 0 0 2 3 4
L = 2 1 0 y U= 0 −1 2
2 −2 1 0 0 −6
9. Utilizando la ecuación (3): Ly=b
1 0 0 y 1 6
2 1 0 y 2 = 16
2 −2 1 y 2
3
2 1 + 3 2 + 4x 3 = 6
x x
4x 1 + 5 2 + 10x 3 = 16
x b
4x 1 + 8x 2 + 2 3 = 2
x
Por sustitución hacia adelante tenemos:
y1=6
y 2 = 16 − 2 1 = 4
y
y 3 = 2 + 2 2 − 2 1 = −2
y y
Así que:
6
y = 4
−2
Ahora resolvemos:
Ux=y
2 3 4 x 1 6
0 −1 2 x 2 = 4
0 0 −6 x −2
3
Así que:
x 3 = 0.333
4− 2 3
x
x2 = = −3.333
−1
6 − 4x 3 − 3 2
x
x1 = = 7.333
2
Finalmente, la solución para el sistema lineal dado es:
10. x 3 = 0.333
4− 2 3
x 7.333
x2 = = −3.333
−1 x = −3.333
6 − 4x 3 − 3 2
x 0.333
x1 = = 7.333
2
Ejemplo 2.
1. Paso de descomposición LU: se factoriza en las
matrices triangulares inferior y superior .
2. Paso de sustitución: se usan para determinar una
solución para un lado derecho este paso, a su vez se
divide en dos.
Primero:
Se usa para generar un vector intermedio
mediante sustitución hacia adelante.
Segundo:
El resultado se sustituye en , la que se resuelve
por sustitución hacia atrás para
Después de la eliminación hacia adelante se obtuvo la siguiente
matriz triangular superior
Los factores empleados para obtener la matriz triangular
superior pueden montarse en una matriz triangular inferior. Los
elementos a21 y a31 fueron eliminados usando los factores:
11. Y el elemento a’32 se elimina al usar el factor:
Así la matriz triangular inferior es
En consecuencia, la descomposición LU es
El resultado se verifica al realizar la multiplicación de que
da
Donde las pequeñas diferencias son debidas a errores de
redondeo.