Este documento describe la factorización LU de una matriz. Explica que la factorización LU descompone una matriz A en el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U. Esto permite resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma más eficiente mediante sustitución hacia adelante y hacia atrás. El documento también incluye ejemplos numéricos para ilustrar los pasos del proceso de factorización LU.

1. FACTORIZACION LU
DANIEL FERNANDO RODRIGUEZ ARIAS

2. UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
INGENIERIA DE PETROLEOS
SEXTO SEMESTRE
2010
FACTORIZACION LU
DANIEL FERNANDO RODRIGUEZ ARIAS
Trabajo de Métodos Numéricos en Ingeniería
Ing. EDUARDO CARRILLO

3. UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
INGENIERIA DE PETROLEOS
SEXTO SEMESTRE
2010
INTRODUCCIÓN
La factorización LU de una matriz es una factorización que
resume el proceso de eliminación gaussiana aplicado a la
matriz, y que es conveniente en términos del número total de
operaciones de punto flotante cuando se desea calcular la
inversa de una matriz o, cuando se resolverá una serie de
sistemas de ecuaciones con una misma matriz de coeficientes.
En la lectura, primeramente consideraremos la factorización LU
sin intercambio, basada en matrices elementales y que es

4. conocida como de Doolittle y posteriormente veremos el
algoritmo que da la factorización PA = LU.
FACTORIZACION LU
La factorización LU, es una forma de factorización de una matriz
como el producto de una matriz triangular inferior y una
superior. Debido a la inestabilidad de este método, por ejemplo
si un elemento de la diagonal es cero, es necesario

5. premultiplicar la matriz por una matriz de permutación. Método
llamado factorización PA = LU o LU con pivote. Esta
descomposición se usa en el análisis numérico para resolver
sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las
matrices inversas.
PROCESO:
Suponga que la matriz A es una matriz m × n que se puede
escribir como el producto de dos matrices:
A = LU
Donde L es una matriz triangular inferior m×m y U es una matriz
escalonada m×n.
L(low) Matriz Triangula Inferior
U(up) Matriz Escalonada
Entonces para resolver el sistema:
Ax = b,
escribimos:
Ax = (LU) x = L (Ux)
Una posible estrategia de solución consiste en tomar y=Ux y
resolver para y:
Ly=b
Como la matriz L es triangular superior, este sistema puede
resolverse mediante sustitución hacia abajo. Una vez con los

6. valores encontrados de y, las incógnitas al sistema inicial se
resuelve despejando x de
Ux = y.
Nuevamente, como U es escalonada, este sistema puede
resolverse en caso de tener solución mediante sustitución hacia
atrás, lo cual es sencillo. Estas observaciones nos dan la pauta
para ver la conveniencia de una factorización como la anterior,
es decir factorizar A como el producto de una matriz L triangular
superior, por otra U la cual es escalonada. Esta factorización se
llama usualmente Descomposición LU.
USO DE LA FACTORIZACIÓN LU
Use la factorización LU de A:
 4 −2 1   1 0 0  4 −2 1 
A =  20 −7 12 =  5 1 0  0 3 7  = LU
    
 −8 13 17  −2 3 1  0 0 −2
    
para despejar x del sistema:
 11 
Ax = 70 = b
 
 17 
 
Solución
Sea y = (y1, y2, y3) un nuevo vector de incógnitas. Primero
resolveremos el sistema triangular inferior Ly = b:

7.  1 0 0  11 
 5 1 0 Y = 70
   
 −2 3 1 
   17
 
Este sistema escrito en su forma de ecuaciones queda:
y1 = 11
5 1+ y 2
y = 70
−2 1 + 3 2+ y 3 = 17
y y
Por eliminación directa de la:
• Primera ecuación:
y1 = 11,
• Segunda ecuación:
y2 = 70 − 5 y1 = 70 − 5 (11) = 15,
• Y de la tercera:
y3 = 17 + 2y1 − 3 y2 = 17 + 2 (11) − 3 (15) = −6.
Ahora el sistema Ux = y:
 4 −2 1   11 
 0 3 7  X =  15
   
 0 0 −2
   −6
 
El cual escrito en su forma de ecuaciones queda:
4x 1 − 2 2 + x 3 = 11
x
3 2 + 7x 3 = 15
x
−2 3 = −6
x
El cual al ser resuelto por sustitución hacia atrás queda:

8. • De la ultima ecuación:
x3 = 3,
• Segunda ecuación:
x2 = 5 − 7/3 x3 = 5 − 7/3 (3) = −2,
• Y de la primera:
x1 = 11/4 + 1/2x2 − 1/4 x3 = 11/4 + 1/2 (−2) − 1/4 (−3) = 1
OBTENCION DE LA FACTORIZACION LU
Ejemplo 1.
Considere el sistema de ecuaciones:
2 1 + 3 2 + 4x 3 = 6
x x
4x 1 + 5 2 + 10x 3 = 16
x
4x 1 + 8x 2 + 2 3 = 2
x
Cuya matriz de coeficiente es
2 3 4
 
A =  4 5 10
4 8 2
 
Su factorización LU es:
 1 0 0 2 3 4 
   
L =  2 1 0 y U=  0 −1 2 
 2 −2 1   0 0 −6
   

9. Utilizando la ecuación (3): Ly=b
 1 0 0 y 1   6 
    
 2 1 0 y 2  =  16
 2 −2 1  y   2 
  3   
2 1 + 3 2 + 4x 3 = 6
x x
4x 1 + 5 2 + 10x 3 = 16
x b
4x 1 + 8x 2 + 2 3 = 2
x
Por sustitución hacia adelante tenemos:
y1=6
y 2 = 16 − 2 1 = 4
y
y 3 = 2 + 2 2 − 2 1 = −2
y y
Así que:
 6
 
y =  4
 −2
 
Ahora resolvemos:
Ux=y
 2 3 4  x 1   6 
    
 0 −1 2   x 2  =  4 
 0 0 −6  x   −2
  3  
Así que:
x 3 = 0.333
4− 2 3
x
x2 = = −3.333
−1
6 − 4x 3 − 3 2
x
x1 = = 7.333
2
Finalmente, la solución para el sistema lineal dado es:

10. x 3 = 0.333
4− 2 3
x 7.333
x2 = = −3.333
−1 x = −3.333
6 − 4x 3 − 3 2
x 0.333
x1 = = 7.333
2
Ejemplo 2.
1. Paso de descomposición LU: se factoriza en las
matrices triangulares inferior y superior .
2. Paso de sustitución: se usan para determinar una
solución para un lado derecho este paso, a su vez se
divide en dos.
Primero:
Se usa para generar un vector intermedio
mediante sustitución hacia adelante.
Segundo:
El resultado se sustituye en , la que se resuelve
por sustitución hacia atrás para
Después de la eliminación hacia adelante se obtuvo la siguiente
matriz triangular superior
Los factores empleados para obtener la matriz triangular
superior pueden montarse en una matriz triangular inferior. Los
elementos a21 y a31 fueron eliminados usando los factores:

11. Y el elemento a’32 se elimina al usar el factor:
Así la matriz triangular inferior es
En consecuencia, la descomposición LU es
El resultado se verifica al realizar la multiplicación de que
da
Donde las pequeñas diferencias son debidas a errores de
redondeo.

12. BIBLIOGRAFÍA
http://www.scribd.com/doc/2024149/Matrices
http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-
algebra/capitulo-2/teoria2-7/2-7-tipos-matrices.htm
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/lecturas/l84
3-34.pdf