Este documento describe los sistemas de ecuaciones lineales y el método de Gauss para resolverlos. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de igualdades donde variables desconocidas se combinan linealmente. El método de Gauss transforma el sistema original en uno equivalente pero escalonado a través de operaciones de filas, lo que permite determinar los valores de las variables que satisfacen todas las ecuaciones.

1. SISTEMAS
DE
ECUACIONES
LINEALES

2. Un sistema de m ecuaciones lineales con n
incógnitas es un conjunto formado por m
igualdades de la forma:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + .. ...... .. ... + a 1 n x n = b 1 
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + .......... ... + a 2 n x n = b 2 


... ...... . .......... .......... ...... .... .......... ... ... 
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + .......... ... + a m n x n = b m 

3. Resolver un sistema es encontrar todas sus
soluciones.
Serán soluciones todas aquellas n-uplas
( s 1 , s 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . , stales que al sustituir todas las
n )
ecuaciones del sistema se conviertan en
identidades.

4. MÉTODO DE GAUSS
El método de Gauss conocido también como
de triangulación o de cascada, se basa en el
método de reducción que aplicado sucesivas
veces, permite obtener un sistema
escalonado equivalente al dado inicialmente.
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + .......... ... + a 1 n x n = b 1 
a 2 2 x 2 + .......... ... + a 2 n x n = b 2 


.......... .......... .......... .......... .......... ...... 
amnx n = b m 

5. Ejemplo
Resolvamos por el método de Gauss el sistema :
2x − y + z = 3 

3x + 2y − z = 4 
− x + y − z = −2


6. A partir de la matriz ampliada asociada efectuamos las
operaciones necesarias hasta obtener un sistema
escalonado equivalente.
 2 −1 13  − 1 1 −1 −2
   
 3 2 − 1 4  F1 ↔ F3  3 2 −1 4 
− 1 1 − 1 − 2  − 1 −1 1 3 
 
− 1 1 −1 −2 − 1 1 −1 −2
   
F2 + 3 F1  0 5 − 4 − 2  F3 + 2 F1  0 5 − 4 −2
 0 −1 1 3   0 −1 − 1 − 1 
 
− 1 1 −1 −2 − 1 1 −1 −2
   
− 5F3  0 5 − 4 −2 F3 + F2  0 5 − 4 −2
 0 −5 5 5   0 0 1 3 
 

7. El sistema asociado a la última matriz es escalonado
− x + y − z = −2

5y − 4z = −2 
z =3 
De la última ecuación se obtiene z = 3

Sustituyendo el valor en la segunda obtenemos 5y –
4 · 3 = -2 , por tanto y =2
Llevando a la primera los valores de z e y resulta
que – x + 2 – 3 = -2 , lo que implica x = 1