El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método de eliminación de Gauss consiste en escalonar la matriz aumentada para obtener un sistema equivalente triangular superior. El método de Gauss-Jordan realiza transformaciones adicionales para obtener un sistema diagonal. Los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi calculan sucesivamente nuevos valores aproximados para las incógnitas hasta converger a la solución.
El documento describe dos métodos para resolver problemas de programación lineal cuando el origen no es una solución factible: el método de las dos fases y el método de penalidad. El método de las dos fases resuelve primero un problema artificial para encontrar una solución básica inicial, y luego resuelve el problema original. El método de penalidad agrega penalidades a las variables artificiales para forzar una solución factible mientras maximiza la función objetivo original.
El documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo el método gráfico, el método de Cramer, la eliminación de incógnitas y los métodos de Gauss, Gauss-Jordan y factorización LU. Se proveen ejemplos para ilustrar cada método.
El documento contiene información sobre un examen de matemáticas de 4o de la ESO. Incluye preguntas sobre ecuaciones de segundo grado, sistemas de ecuaciones, resolución de ecuaciones y desigualdades, y problemas de aplicación.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos gráficos, la regla de Cramer, eliminación de incógnitas, Gauss simple, Gauss-Jordan, y Gauss-Jordan con pivoteo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos para ilustrar los pasos de resolución.
Ejercicios detallados del obj 3 mat ii (178 179)Jonathan Mejías
1. La función g(x) es continua en x = 0 pero no es continua en x = 1.
2. La función f(x) no es continua en x = 2.
3. La función f(x) no es continua en x = 0 ni en x = 1.
4. Para que la función f(x) sea continua en x = 0, el valor del parámetro a debe ser 1/2.
Ejercicios detallados del obj 2 mat ii 178 179-Jonathan Mejías
Este documento presenta 5 ejercicios de cálculo de límites. El primer ejercicio calcula el límite 4/(x-x)+5/(14) cuando x tiende a infinito. El segundo calcula el límite (x+x+1)/x cuando x tiende a infinito. El tercero calcula el límite de 2tg(x)^2 cuando x tiende a 0. El cuarto calcula el límite -1/2 ln(esensenxsenx) cuando x tiende a π. El quinto calcula el límite ln(3cos(2)senx)e^
Ejercicios detallados del obj 1 mat ii (178 179)Jonathan Mejías
El documento motiva al lector a estudiar matemáticas a distancia, señalando que la matemática no es la asignatura más difícil y que con motivación y esfuerzo es posible aprenderla. También proporciona recursos en un sitio web para apoyar el aprendizaje de matemáticas y ofrece ayuda personalizada a través de correo electrónico.
Este documento presenta diferentes métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, incluyendo el método del punto fijo, método de Newton, método de Newton modificado y método de cuasi-Newton. También cubre temas de interpolación y aproximación polinomial como interpolación polinomial, diferencias divididas, interpolación de Newton, polinomio de Hermite, spline cúbico y mínimos cuadrados. Finalmente, aborda derivación e integración numérica mediante reglas de derivación numérica y reglas de integración de Newton-C
El documento describe dos métodos para resolver problemas de programación lineal cuando el origen no es una solución factible: el método de las dos fases y el método de penalidad. El método de las dos fases resuelve primero un problema artificial para encontrar una solución básica inicial, y luego resuelve el problema original. El método de penalidad agrega penalidades a las variables artificiales para forzar una solución factible mientras maximiza la función objetivo original.
El documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo el método gráfico, el método de Cramer, la eliminación de incógnitas y los métodos de Gauss, Gauss-Jordan y factorización LU. Se proveen ejemplos para ilustrar cada método.
El documento contiene información sobre un examen de matemáticas de 4o de la ESO. Incluye preguntas sobre ecuaciones de segundo grado, sistemas de ecuaciones, resolución de ecuaciones y desigualdades, y problemas de aplicación.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos gráficos, la regla de Cramer, eliminación de incógnitas, Gauss simple, Gauss-Jordan, y Gauss-Jordan con pivoteo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos para ilustrar los pasos de resolución.
Ejercicios detallados del obj 3 mat ii (178 179)Jonathan Mejías
1. La función g(x) es continua en x = 0 pero no es continua en x = 1.
2. La función f(x) no es continua en x = 2.
3. La función f(x) no es continua en x = 0 ni en x = 1.
4. Para que la función f(x) sea continua en x = 0, el valor del parámetro a debe ser 1/2.
Ejercicios detallados del obj 2 mat ii 178 179-Jonathan Mejías
Este documento presenta 5 ejercicios de cálculo de límites. El primer ejercicio calcula el límite 4/(x-x)+5/(14) cuando x tiende a infinito. El segundo calcula el límite (x+x+1)/x cuando x tiende a infinito. El tercero calcula el límite de 2tg(x)^2 cuando x tiende a 0. El cuarto calcula el límite -1/2 ln(esensenxsenx) cuando x tiende a π. El quinto calcula el límite ln(3cos(2)senx)e^
Ejercicios detallados del obj 1 mat ii (178 179)Jonathan Mejías
El documento motiva al lector a estudiar matemáticas a distancia, señalando que la matemática no es la asignatura más difícil y que con motivación y esfuerzo es posible aprenderla. También proporciona recursos en un sitio web para apoyar el aprendizaje de matemáticas y ofrece ayuda personalizada a través de correo electrónico.
Este documento presenta diferentes métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, incluyendo el método del punto fijo, método de Newton, método de Newton modificado y método de cuasi-Newton. También cubre temas de interpolación y aproximación polinomial como interpolación polinomial, diferencias divididas, interpolación de Newton, polinomio de Hermite, spline cúbico y mínimos cuadrados. Finalmente, aborda derivación e integración numérica mediante reglas de derivación numérica y reglas de integración de Newton-C
Este documento presenta el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método lleva la matriz del sistema a una forma de identidad para mostrar las soluciones. Incluye un ejemplo completo de cómo aplicar el método paso a paso para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Finalmente, muestra cómo usar este método para resolver problemas de aplicación que involucren sistemas de ecuaciones lineales.
El documento explica el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se presenta un ejemplo resolviendo el sistema 2x + y + 3z = 53, x + 2y + 2z = 6, 5x + 3y + z = 16. Luego se explican los pasos generales del método de Cramer para determinar si un sistema tiene solución única, más de una solución o no tiene solución. Finalmente, se proponen dos ejercicios para aplicar el método.
Inecuaciones lineales y cuadraticas COMIL - enrique0975enrique0975
El documento presenta varios ejercicios de resolución de inecuaciones cuadráticas. En cada ejercicio se da la inecuación, se resuelve usando la fórmula cuadrática y se determina el conjunto solución graficando las raíces en una recta numérica. El documento muestra paso a paso cómo resolver este tipo de problemas.
Este documento describe diferentes tipos de desigualdades, incluyendo lineales, cuadráticas y de valor absoluto. Explica cómo resolver desigualdades lineales usando los mismos pasos que para ecuaciones lineales, y cómo el signo de desigualdad cambia al dividir por un número negativo. También cubre cómo resolver desigualdades que involucran dos soluciones posibles usando el valor absoluto, y cómo factorizar desigualdades cuadráticas para determinar el intervalo de solución.
Este documento explica dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones: 1) sustitución, que consiste en despejar una incógnita y sustituir su valor en la otra ecuación, reduciendo el problema a una ecuación de primer grado; y 2) igualación, que iguala las expresiones de una incógnita despejada en ambas ecuaciones, reduciendo también el problema a una ecuación de primer grado. Ambos métodos siguen pasos similares como despejar una incógnita, igualar expresiones, resolver la nueva ecuación
Este documento describe el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales. En particular, presenta un ejemplo paso a paso de cómo usar el método de Gauss para determinar cuánto dinero cada una de tres personas (A, B, C) pagará para un regalo común, dado un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Este documento describe los sistemas de ecuaciones y varios métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, incluyendo sustitución, igualación, reducción y gráficamente. Los sistemas de ecuaciones involucran encontrar valores para las incógnitas que satisfagan todas las ecuaciones simultáneamente.
Ejercicios detallados del obj 5 mat ii 178 179-Jonathan Mejías
El documento presenta dos ejercicios de cálculo de derivadas para resolver problemas de optimización. En el primer ejercicio, se determinan los puntos de inflexión, intervalos de concavidad y convexidad, y se grafica una función. En el segundo ejercicio, se calcula en qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento de un estudiante, cuando es nulo, y cuándo es máximo. El tercer ejercicio busca las dimensiones óptimas de una caja abierta de base cuadrada para que su volumen sea máximo.
1. El documento explica cómo resolver inecuaciones de una variable lineales y no lineales. Incluye 7 ejemplos resueltos que muestran cómo expresar la solución como un intervalo y gráficamente.
2. Los pasos para resolver una inecuación incluyen operar los términos, despejar la variable, determinar los valores críticos y aplicar el método del cementerio para obtener el intervalo de soluciones.
3. Las soluciones pueden involucrar intervalos simples o la unión de varios intervalos, dependiendo
El documento explica tres métodos para resolver ecuaciones de primer grado: 1) Ensayo y error, 2) Suma y producto, y 3) Método general. El método de suma y producto involucra agregar o quitar términos iguales de ambos lados de la ecuación para despejar la incógnita. El método general extiende esto eliminando paréntesis y denominadores comunes. Se proveen ejemplos detallados de cada método.
1. El documento presenta problemas de álgebra que involucran simplificar expresiones, factorizar ecuaciones, resolver ecuaciones cuadráticas y desigualdades, y encontrar valores de variables para satisfacer ciertas condiciones. Los problemas cubren temas como exponentes, raíces, ecuaciones de primer y segundo grado, y desigualdades.
Solución de problemas en programación linealARLO SOLIS
El documento presenta dos ejercicios de programación lineal que deben resolverse utilizando los métodos de la gran M y de las dos fases. Se pide aplicar ambos métodos paso a paso para cada ejercicio, comparar los resultados y utilizar software de programación lineal. Finalmente, se solicita guardar los ejercicios resueltos y enviarlos para recibir retroalimentación.
El documento introduce el concepto de variable aleatoria y explica que es una función que asigna números reales a los resultados de un experimento aleatorio. Explica que las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas dependiendo del espacio muestral asociado. También define la distribución de probabilidad de una variable aleatoria y cómo calcular su esperanza matemática y varianza.
El documento presenta tres problemas de matemática resueltos mediante el uso de matrices. El primer problema involucra determinar el número de atletas en tres categorías basado en información dada. El segundo problema trata de encontrar valores de a para que una matriz no sea inversible. El tercer problema implica calcular una matriz X tal que X multiplicada por otras matrices cumpla ciertas condiciones.
1) El documento introduce conceptos sobre límites de funciones como el significado intuitivo de límite y su definición matemática rigurosa. 2) Explica los tipos de límites como límites finitos e infinitos en puntos finitos y en el infinito. 3) Presenta reglas para calcular límites como el uso de límites laterales y resolución de indeterminaciones como el cociente de polinomios.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de límites de funciones. Introduce los límites de forma intuitiva a través de ejemplos y tablas de valores. Luego define el límite formalmente como la aproximación del valor de una función cuando la variable independiente se aproxima a un punto. Finalmente, muestra cómo demostrar límites formalmente mediante la desigualdad ε-δ.
Este documento presenta el método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica conceptos clave como vector entrante, vector saliente y pivote. Incluye ejemplos numéricos resueltos paso a paso usando tablas simplex. El objetivo es maximizar o minimizar funciones sujetas a restricciones lineales, convirtiendo el problema a una forma canónica para aplicar el método simplex.
El documento describe el método dual simplex para resolver problemas de programación lineal óptimos pero infactibles. Este método convierte las restricciones en forma canónica y agrega variables de holgura para poner el problema en una tabla inicial. Si algún elemento de la parte derecha es negativo y se satisface la condición de optimidad, el problema puede resolverse iterativamente mediante el método dual simplex hasta alcanzar una solución factible y óptima.
El documento describe el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones. Resuelve dos ejemplos numéricos aplicando las operaciones elementales de filas y columnas hasta obtener la forma escalonada reducida. También analiza las condiciones para que un sistema tenga solución única, múltiples soluciones o no tenga solución.
El método de eliminación gaussiana convierte un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente más simple a través de operaciones básicas de renglón, formando una diagonal principal de unidades con ceros debajo para simplificar la solución. Se aplica el método a un sistema 3x3, formando la diagonal principal y sustituyendo valores para encontrar la solución x=7, y=-18, z=10. El método de eliminación gaussiana funciona para sistemas de cualquier tamaño siempre que haya al menos una ecuación por variable.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos gráficos, la regla de Cramer, eliminación de incógnitas, Gauss simple, Gauss-Jordan, y Gauss-Jordan con pivoteo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y diagramas para ilustrar los pasos de resolución.
Este documento presenta el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método lleva la matriz del sistema a una forma de identidad para mostrar las soluciones. Incluye un ejemplo completo de cómo aplicar el método paso a paso para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Finalmente, muestra cómo usar este método para resolver problemas de aplicación que involucren sistemas de ecuaciones lineales.
El documento explica el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se presenta un ejemplo resolviendo el sistema 2x + y + 3z = 53, x + 2y + 2z = 6, 5x + 3y + z = 16. Luego se explican los pasos generales del método de Cramer para determinar si un sistema tiene solución única, más de una solución o no tiene solución. Finalmente, se proponen dos ejercicios para aplicar el método.
Inecuaciones lineales y cuadraticas COMIL - enrique0975enrique0975
El documento presenta varios ejercicios de resolución de inecuaciones cuadráticas. En cada ejercicio se da la inecuación, se resuelve usando la fórmula cuadrática y se determina el conjunto solución graficando las raíces en una recta numérica. El documento muestra paso a paso cómo resolver este tipo de problemas.
Este documento describe diferentes tipos de desigualdades, incluyendo lineales, cuadráticas y de valor absoluto. Explica cómo resolver desigualdades lineales usando los mismos pasos que para ecuaciones lineales, y cómo el signo de desigualdad cambia al dividir por un número negativo. También cubre cómo resolver desigualdades que involucran dos soluciones posibles usando el valor absoluto, y cómo factorizar desigualdades cuadráticas para determinar el intervalo de solución.
Este documento explica dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones: 1) sustitución, que consiste en despejar una incógnita y sustituir su valor en la otra ecuación, reduciendo el problema a una ecuación de primer grado; y 2) igualación, que iguala las expresiones de una incógnita despejada en ambas ecuaciones, reduciendo también el problema a una ecuación de primer grado. Ambos métodos siguen pasos similares como despejar una incógnita, igualar expresiones, resolver la nueva ecuación
Este documento describe el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales. En particular, presenta un ejemplo paso a paso de cómo usar el método de Gauss para determinar cuánto dinero cada una de tres personas (A, B, C) pagará para un regalo común, dado un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Este documento describe los sistemas de ecuaciones y varios métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, incluyendo sustitución, igualación, reducción y gráficamente. Los sistemas de ecuaciones involucran encontrar valores para las incógnitas que satisfagan todas las ecuaciones simultáneamente.
Ejercicios detallados del obj 5 mat ii 178 179-Jonathan Mejías
El documento presenta dos ejercicios de cálculo de derivadas para resolver problemas de optimización. En el primer ejercicio, se determinan los puntos de inflexión, intervalos de concavidad y convexidad, y se grafica una función. En el segundo ejercicio, se calcula en qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento de un estudiante, cuando es nulo, y cuándo es máximo. El tercer ejercicio busca las dimensiones óptimas de una caja abierta de base cuadrada para que su volumen sea máximo.
1. El documento explica cómo resolver inecuaciones de una variable lineales y no lineales. Incluye 7 ejemplos resueltos que muestran cómo expresar la solución como un intervalo y gráficamente.
2. Los pasos para resolver una inecuación incluyen operar los términos, despejar la variable, determinar los valores críticos y aplicar el método del cementerio para obtener el intervalo de soluciones.
3. Las soluciones pueden involucrar intervalos simples o la unión de varios intervalos, dependiendo
El documento explica tres métodos para resolver ecuaciones de primer grado: 1) Ensayo y error, 2) Suma y producto, y 3) Método general. El método de suma y producto involucra agregar o quitar términos iguales de ambos lados de la ecuación para despejar la incógnita. El método general extiende esto eliminando paréntesis y denominadores comunes. Se proveen ejemplos detallados de cada método.
1. El documento presenta problemas de álgebra que involucran simplificar expresiones, factorizar ecuaciones, resolver ecuaciones cuadráticas y desigualdades, y encontrar valores de variables para satisfacer ciertas condiciones. Los problemas cubren temas como exponentes, raíces, ecuaciones de primer y segundo grado, y desigualdades.
Solución de problemas en programación linealARLO SOLIS
El documento presenta dos ejercicios de programación lineal que deben resolverse utilizando los métodos de la gran M y de las dos fases. Se pide aplicar ambos métodos paso a paso para cada ejercicio, comparar los resultados y utilizar software de programación lineal. Finalmente, se solicita guardar los ejercicios resueltos y enviarlos para recibir retroalimentación.
El documento introduce el concepto de variable aleatoria y explica que es una función que asigna números reales a los resultados de un experimento aleatorio. Explica que las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas dependiendo del espacio muestral asociado. También define la distribución de probabilidad de una variable aleatoria y cómo calcular su esperanza matemática y varianza.
El documento presenta tres problemas de matemática resueltos mediante el uso de matrices. El primer problema involucra determinar el número de atletas en tres categorías basado en información dada. El segundo problema trata de encontrar valores de a para que una matriz no sea inversible. El tercer problema implica calcular una matriz X tal que X multiplicada por otras matrices cumpla ciertas condiciones.
1) El documento introduce conceptos sobre límites de funciones como el significado intuitivo de límite y su definición matemática rigurosa. 2) Explica los tipos de límites como límites finitos e infinitos en puntos finitos y en el infinito. 3) Presenta reglas para calcular límites como el uso de límites laterales y resolución de indeterminaciones como el cociente de polinomios.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de límites de funciones. Introduce los límites de forma intuitiva a través de ejemplos y tablas de valores. Luego define el límite formalmente como la aproximación del valor de una función cuando la variable independiente se aproxima a un punto. Finalmente, muestra cómo demostrar límites formalmente mediante la desigualdad ε-δ.
Este documento presenta el método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica conceptos clave como vector entrante, vector saliente y pivote. Incluye ejemplos numéricos resueltos paso a paso usando tablas simplex. El objetivo es maximizar o minimizar funciones sujetas a restricciones lineales, convirtiendo el problema a una forma canónica para aplicar el método simplex.
El documento describe el método dual simplex para resolver problemas de programación lineal óptimos pero infactibles. Este método convierte las restricciones en forma canónica y agrega variables de holgura para poner el problema en una tabla inicial. Si algún elemento de la parte derecha es negativo y se satisface la condición de optimidad, el problema puede resolverse iterativamente mediante el método dual simplex hasta alcanzar una solución factible y óptima.
El documento describe el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones. Resuelve dos ejemplos numéricos aplicando las operaciones elementales de filas y columnas hasta obtener la forma escalonada reducida. También analiza las condiciones para que un sistema tenga solución única, múltiples soluciones o no tenga solución.
El método de eliminación gaussiana convierte un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente más simple a través de operaciones básicas de renglón, formando una diagonal principal de unidades con ceros debajo para simplificar la solución. Se aplica el método a un sistema 3x3, formando la diagonal principal y sustituyendo valores para encontrar la solución x=7, y=-18, z=10. El método de eliminación gaussiana funciona para sistemas de cualquier tamaño siempre que haya al menos una ecuación por variable.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos gráficos, la regla de Cramer, eliminación de incógnitas, Gauss simple, Gauss-Jordan, y Gauss-Jordan con pivoteo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y diagramas para ilustrar los pasos de resolución.
Este documento resume los temas de diferenciación numérica, integración numérica y solución numérica de ecuaciones diferenciales en MATLAB. Explica cómo usar funciones como diff y quad para aproximar derivadas y calcular integrales numéricamente. También presenta ejemplos resueltos de cómo aproximar derivadas y calcular integrales usando reglas numéricas como la del trapecio. Por último, introduce funciones de MATLAB para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias numéricamente.
Métodos de Gaus-Jacobi y Gauss-Seidel(2022).pdflinos13
Este documento describe los métodos iterativos de Gauss-Jacobi y Gauss-Seidel para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Ambos métodos comienzan con valores iniciales y generan sucesivas aproximaciones hasta que la solución converge de acuerdo con un criterio de error. El método de Gauss-Seidel converge más rápido que Gauss-Jacobi porque actualiza las variables con los valores más recientes en cada paso.
Este documento contiene las soluciones a 5 problemas de matemáticas relacionados con funciones, ecuaciones y rectas. En el problema 1, se calculan los dominios de dos funciones racionales. En el problema 2, se analiza gráficamente una función. En el problema 3, se representa y analiza una función valor absoluto. En el problema 4, se resuelven dos ecuaciones. Y en el problema 5, se obtienen las ecuaciones de dos rectas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones, incluyendo igualdades, identidades, ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones equivalentes, ecuaciones incompletas, resolución de ecuaciones y aplicaciones de ecuaciones de segundo grado.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Introduce las nociones de igualdad, identidad y ecuación, y explica cómo resolver ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo ecuaciones completas, incompletas e irracionales. También cubre temas como ecuaciones equivalentes, descomposición de trinomios cuadrados perfectos y aplicaciones de ecuaciones de segundo grado.
Copia de cedart por fin termine 3er parcialLuisa González
El documento presenta información sobre el bachillerato de arte y humanidades de la escuela CEDART DAVID ALFARO SIQUEIROS. Incluye una lección sobre álgebra que cubre temas como factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones lineales.
Este documento explica las ecuaciones de primer grado, incluyendo las identidades y ecuaciones, las variables e incógnitas, y cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la aplicación de las reglas de la suma y del producto para despejar la incógnita.
Este documento explica las ecuaciones de primer grado, incluyendo las identidades y ecuaciones, las variables e incógnitas, y cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la aplicación de las reglas de la suma y del producto para despejar la incógnita.
El documento describe el método de las dos fases para resolver problemas de programación lineal. En la primera fase, se convierten las desigualdades en ecuaciones mediante el uso de variables holgura y artificiales, y se minimiza la función objetivo de las variables artificiales hasta que su valor sea cero. En la segunda fase, se eliminan las variables artificiales y se maximiza la función objetivo original aplicando el simplex. El proceso termina cuando se obtiene un valor óptimo para la función Z.
Este documento resume los tipos básicos de ecuaciones y cómo resolverlas. Explica ecuaciones de primer grado, ecuaciones de segundo grado completas e incompletas, ecuaciones ya factorizadas, ecuaciones de grado superior a dos y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.
El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones. Define una ecuación como una igualdad que se cumple para algunos valores determinados de las variables desconocidas. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos y la división para despejar la variable. También cubre ecuaciones literales y cómo factorizar para resolverlas.
Este documento contiene 26 problemas de álgebra que incluyen ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales y cuadráticas, factorización de polinomios, divisibilidad de polinomios y operaciones con fracciones algebraicas. Los problemas deben resolverse para practicar conceptos matemáticos de primero de bachillerato.
Este documento presenta los conceptos básicos de suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas, así como el cálculo de valores numéricos. También explica cómo simplificar fracciones algebraicas mediante la búsqueda de factores comunes y cómo realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con fracciones algebraicas. El documento incluye ejemplos ilustrativos para cada uno de los temas cubiertos.
Este documento introduce métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, incluyendo el método de punto fijo y el método de Newton. Explica cómo extender estos métodos para resolver sistemas con múltiples incógnitas mediante iteraciones sucesivas o simultáneas. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar la aplicación del método de punto fijo a un sistema de dos ecuaciones no lineales.
Este documento presenta 13 ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado. El primer ejercicio determina si ciertas ecuaciones son de segundo grado o no. Los ejercicios siguientes resuelven ecuaciones de segundo grado utilizando fórmulas como la fórmula cuadrática. El último ejercicio halla dos números dados su suma y producto.
Este documento resume los pasos para resolver diferentes tipos de ecuaciones en una variable, incluyendo ecuaciones polinómicas lineales, cuadráticas, cúbicas y de mayor grado, así como ecuaciones con valor absoluto, raíces y racionales. Explica métodos como factorización, completar el cuadrado y división sintética para resolver cada tipo de ecuación.
Este documento presenta los pasos para resolver diferentes tipos de ecuaciones algebraicas de una variable, incluyendo ecuaciones polinómicas lineales, cuadráticas, cúbicas y de mayor grado, así como ecuaciones con valor absoluto, raíces y racionales. Explica métodos como factorización, uso de fórmulas, división sintética y aislamiento de términos para resolver cada tipo de ecuación.
1. Métodos De Eliminación Gaussiana
Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma:
A.X = B
El método de eliminación Gaussiana (simple), consiste en escalonar la matriz aumentada
del sistema:
( AM B )
para obtener un sistema equivalente :
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + + a1n xn = b1
′ ′ ′
a22 x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b2′
M
′ ′
ann xn = bn
′
donde la notación aij se usa simplemente para denotar que el elemento aij cambió. Se
despejan las incógnitas comenzando con la última ecuación y hacia arriba. Por esta
razón, muchas veces se dice que el método de eliminación Gaussiana consiste en la
eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás.
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x1 + 2x2 + 3x3 = 1
4x1 + 5x2 + 6 x3 = −2
7 x + 8x + 10x = 5
1 2 3
Usando el método de eliminación Gaussiana.
Solución._ Escalonamos la matriz aumentada del sistema:
1 2 3 1
÷
4 5 6 −2 ÷
7 8 10 5 ÷
2. Multiplicando por (-4) fila 1 restando a la fila 2:
1 2 3 1 −4F1 − F2 1 2 3 1
÷ ÷
4 5 6 −2 ÷ → 0 −3 −6 −6 ÷
7 8 10 5 ÷ ÷
7 8 10 5
Multiplicando por (-7) fila 1 restando a la fila 3 Se tiene:
1 2 3 1 1 2 3 1
÷ ÷
0 −3 −6 −6 ÷ → 0 −3 −6 −6 ÷
7 8 10 5 ÷−7 F + F ÷
1 3 0 −6 −11 −2
Y dividiendo el segundo renglón entre –3 , tenemos la matriz equivalente:
1 2 3 1 1 2 3 1
÷ ÷
0 −3 −6 −6 ÷F2 / −3 → 0 1 2 2÷
7 8 10 5 ÷ ÷
0 −6 −11 −2
Multiplicando por (3) fila 1 sumando a la fila 3 se obtiene:
1 2 3 1 1 2 3 1
÷ ÷
0 1 2 2÷ → 0 1 2 2 ÷
0 −6 −11 −2 ÷6 F2 + F3 ÷
0 0 1 10
Por lo tanto, el sistema equivale a:
x1 + 2x2 + 3x3 = 1
x2 + 2x3 = 2
x3 = 10
De la última ecuación se tiene; sustituir este valor en la ecuación de arriba para obtener x3 = 10;
sustituir estos valores en la ecuación de arriba para obtener x2 = -18 x1 = 7.
3. Método de Gauss-Jordan
El proceso de eliminación de Gauss - Jordán consiste en realizar transformaciones elementales en
el sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema diagonal. El número de operaciones
elementales de este método, es superior al del método de Gauss (alrededor de un 50% más).
Sin embargo, a la hora de resolver el sistema de llegada por remonte, el número de operaciones es
menor, motivo por el cual, el método de Gauss - Jordán es un método computacionalmenteo bueno
cuando tenemos que resolver varios sistemas con la misma matriz A y resolverlos
simultáneamente, utilizando el algoritmo de Gauss-Jordán.
En base a lo anteriormente expuesto, solo haríamos un proceso de eliminación en la matriz y la
resolución de un sistema con esta matriz es muy fácil. Un ejemplo en el que se suele usar Gauss -
Jordán es en el cálculo de la matriz inversa, ya que calcular la inversa de A, es calcular N sistemas
con la misma matriz.
Descomposición LU
Factorización De Cholesky
Factorización de QR, Householder
Solución De Sistemas Lineales Utilizando Métodos Iterativos
Método de Gauss Seidel
El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra soluciones
suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. Es difícil definir el margen
4. mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a los otros para asegurar la convergencia y
es aún más difícil predecir la velocidad de la convergencia para alguna combinación de
valores de los coeficientes cuando esa convergencia existe. No obstante, cuando el valor
absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es
mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la
convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se conoce como
sistema diagonal.
La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente:
1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una
hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados
arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero
afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia.
2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el
coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos.
3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente
más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los valores
supuestos para las incógnitas restantes.
4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita
que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos
valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se deben
utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado). Cuando
la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se
ha completado una iteración.
5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración particular,
difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que cierto error
seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo.
5. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utilizando un
error = 0.001.
0,1x1 − 7,0x2 − 0,3x3 = 19,30
3,0x1 − 0,1x2 − 0,2x3 = 7,85
0,3x − 0,2x − 10,0x = 71,40
1 2 3
Solución : Primero ordenar las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal estén los
coeficientes mayores para asegurar la convergencia.
3,0x1 − 0,1x2 − 0,2x3 = 7,85
0,1x1 − 7,0x2 − 0,3x3 = −19,30
0,3x − 0,2x − 10,0x = 71,40
1 2 3
Despejar cada una de las variables sobre la diagonal:
7,850,1x2 + 0,2x3
x1 − =
3
−19,30 + 0,1x1 − 0,3x3
x2 =
7
71,40 − 0,3x1 + 0,2x2
x3 =
10
Suponer los valores iniciales x2 = 0 y x3 = 0 y calcular x1:
7,85
x1 − =
0
= 2,616666
3
Este valor junto con el de x3 se puede utilizar para obtener x2:
−19,30 + 0,1x1 − 0,3x3
x2 =
0
= −2,794523
7
La primera iteración se completa sustituyendo los valores de x 1 y x2 calculados obteniendo:
−19,30 + 0,1 ( 2,616666 ) − 0,3 ( −2,794523 )
x3 =
0
= 7,005609
10
En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:
6. 7,85 + 0,1 ( −2,794523 ) − 0,2 ( 7,005609 )
x1 =
1
= 2,990556
3
−19,30 − 0,1 ( 2,990556 ) + 0,3 ( 7,005609 )
x2 =
1
= −2,499624
7
71,4 − 0,3 ( 2,990556 ) + 0,2 ( −2,499624 )
x3 =
1
= 7,000290
10
Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración, se absoluto de
cada variable:
x1 − x1 = 2,990556 − 2,616666 = 0,373890
1 0
x2 − x2 = −2,794523 − ( −2,499524 ) = 0,294899
1 0
x3 − x3 = 7,005609 − 7,000290 = 0,005319
1 0
Como se observar, no cumple la condición:
xi1 − xi0 < error, siendo i = 1,2,3
Se toma los valores calculados en la última iteración como supuestos para iteración. Se
repite el proceso:
7,85 + 0,1 ( −2,499624 ) − 0,2 ( 7,000290 )
x1 =
2
= 3,000031
3
−19,30 − 0,1 ( 3,000031) + 0,3 ( 7,000290 )
x2 =
2
= −2,499988
7
71,4 − 0,3 ( 3,000031) + 0,2 ( −2,499988 )
x3 =
2
= 6 ,999999
10
Comparar de nuevo los valores obtenidos (calculo error absoluto)
x1 − x1 = 3,000031 − 2,990556 = 0,009475
2 1
x2 − x2 = −2,499988 − ( −2,499624 ) = 0,000364
2 1
x3 − x3 = 6 ,999999 − 7,000290 = 0,000291
2 1
Como se observa todavía no se cumple la condición
xi2 − xi1 < error, siendo i = 1,2,3
Se toma los valores calculados en la última iteración como supuestos para la siguiente
iteración. Se repite el proceso:
7. 7,85 + 0,1 ( −2,499988 ) − 0,2 ( 6 ,999999 )
x1 =
3
= 3,000000
3
−19,30 − 0,1 ( 3,000000 ) + 0,3 ( 6 ,999999 )
x2 =
3
= −2,500000
7
71,4 − 0,3 ( 3,000000 ) + 0,2 ( −2,500000 )
x3 =
3
= 7,000000
10
Comparar de nuevo los valores obtenidos (calculo error absoluto)
x1 − x12 = 3,000000 − 3,000031 = 0,000031
3
x2 − x2 = −2,500000 − ( −2,499988 ) = 0,000012
3 2
x3 − x3 = 7,000000 − 6 ,999999 = 0,000001
3 2
Dado que se cumple la condición, el resultado es:
x1 = 3,0
x2 = −2,5
x3 = 7,0
Método de Jacobi
El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal al eliminar de forma
simétrica los elementos que están fuera de la diagonal. Desafortunadamente, el método
requiere un número infinito de operaciones, ya que la eliminación de cada elemento no
cero a menudo crea un nuevo valor no cero en el elemento cero anterior. Si A es
diagonalmente dominante, entonces la sucesión que resulta de la iteración de Jacobi
converge a la solución de Ax = b para cualquier vector inicial X o. Partimos de una
aproximación inicial Xo para las soluciones Xi al sistema de ecuaciones y sustituimos
estos valores en la ecuación:
(k)
Que es la expresión que nos proporciona las nuevas componentes del vector x en función de
(k-1)
vector anterior x en la iteración de Jacobi, en su respectivo algoritmo; donde el a el
método de Jacobi más que usar el último valor disponible de , con base en un conjunto
de las x anteriores (). De esta forma, como se generan nuevos valores, no se usan en
forma inmediata sino que se retienen para la siguiente iteración.