Este documento presenta la factorización LU de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Explica el proceso de descomposición de una matriz A en las matrices L y U, y cómo usar esta descomposición para resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma Ax=b de manera más eficiente que otros métodos. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar los pasos de la factorización LU y su aplicación para resolver sistemas de ecuaciones.

1. FACTORIZACION LU
DANIEL FERNANDO RODRIGUEZ ARIAS
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
INGENIERIA DE PETROLEOS
SEXTO SEMESTRE
2010
FACTORIZACION LU
DANIEL FERNANDO RODRIGUEZ ARIAS

2. Trabajo de Métodos Numéricos en Ingeniería
Ing. EDUARDO CARRILLO
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
INGENIERIA DE PETROLEOS
SEXTO SEMESTRE
2010
INTRODUCCIÓN

3. La factorización LU de una matriz es una factorización que resume el proceso de
eliminación gaussiana aplicado a la matriz, y que es conveniente en términos del
número total de operaciones de punto flotante cuando se desea calcular la inversa
de una matriz o, cuando se resolverá una serie de sistemas de ecuaciones con
una misma matriz de coeficientes. En la lectura, primeramente consideraremos la
factorización LU sin intercambio, basada en matrices elementales y que es
conocida como de Doolittle y posteriormente veremos el algoritmo que da la
factorización PA = LU.
FACTORIZACION LU

4. La factorización LU, es una forma de factorización de una matriz como el producto
de una matriz triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de este
método, por ejemplo si un elemento de la diagonal es cero, es necesario
premultiplicar la matriz por una matriz de permutación. Método llamado
factorización PA = LU o LU con pivote. Esta descomposición se usa en el análisis
numérico para resolver sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar
las matrices inversas.
PROCESO:
Suponga que la matriz A es una matriz m × n que se puede escribir como el
producto de dos matrices:
A = LU
Donde L es una matriz triangular inferior m×m y U es una matriz escalonada m×n.
L(low) Matriz Triangula Inferior
U(up) Matriz Escalonada
Entonces para resolver el sistema:
Ax = b,
escribimos:
Ax = (LU) x = L (Ux)
Una posible estrategia de solución consiste en tomar y =Ux y resolver para y:
Ly=b
Como la matriz L es triangular superior, este sistema puede resolverse mediante
sustitución hacia abajo. Una vez con los valores encontrados de y , las incógnitas
al sistema inicial se resuelve despejando x de
Ux = y.

5. Nuevamente, como U es escalonada, este sistema puede resolverse en caso de
tener solución mediante sustitución hacia atrás, lo cual es sencillo. Estas
observaciones nos dan la pauta para ver la conveniencia de una factorización
como la anterior, es decir factorizar A como el producto de una matriz L triangular
superior, por otra U la cual es escalonada. Esta factorización se llama usualmente
Descompo sición LU.
USO DE LA FACTORIZACIÓN LU
Use la factorización LU de A:
 4 −2 1   1 0 0  4 −2 1 
A =  20 −7 12 =  5 1 0  0 3 7  = LU
    
 −8 13 17  −2 3 1  0 0 −2
    
para despejar x del sistema:
 11 
Ax = 70 = b
 
 17 
 
Solución
Sea y = (y1, y2, y3) un nuevo vector de incógnitas. Primero resolveremos el
sistema triangular inferior Ly = b:
 1 0 0  11 
 5 1 0 Y = 70
   
 −2 3 1 
   17
 
Este sistema escrito en su forma de ecuaciones queda:
y1 = 11
5 1+ y 2
y = 70
−2 1 + 3 2+ y 3 = 17
y y
Por eliminación directa de la:
• Primera ecuación:

6. y1 = 11,
• Segunda ecuación:
y2 = 70 − 5 y1 = 70 − 5 (11) = 15,
• Y de la tercera:
y3 = 17 + 2y1 − 3 y2 = 17 + 2 (11) − 3 (15) = −6.
Ahora el sistema Ux = y:
 4 −2 1   11 
 0 3 7  X =  15
   
 0 0 −2
   −6
 
El cual escrito en su forma de ecuaciones queda:
4x 1 − 2 2 + x 3 = 11
x
3 2 + 7x 3 = 15
x
−2 3 = −6
x
El cual al ser resuelto por sustitución hacia atrás queda:
• De la ultima ecuación:
x 3 = 3,
• Segunda ecuación:
x 2 = 5 − 7/3 x3 = 5 − 7/3 (3) = −2,
• Y de la primera:
x 1 = 11/4 + 1/2x2 − 1/4 x3 = 11/4 + 1/2 (−2) − 1/4 (−3) = 1

7. OBTENCION DE LA FACTORIZACION LU
Ejemplo 1.
Considere el sistema de ecuaciones:
2 1 + 3 2 + 4x 3 = 6
x x
4x 1 + 5 2 + 10x 3 = 16
x
4x 1 + 8x 2 + 2 3 = 2
x
Cuya matriz de coeficiente es
2 3 4
 
A =  4 5 10
4 8 2
 
Su factorización LU es:
 1 0 0 2 3 4 
   
L =  2 1 0 y U=  0 −1 2 
 2 −2 1   0 0 −6
   
Utilizando la ecuación (3): Ly=b
 1 0 0 y 1   6 
    
 2 1 0 y 2  =  16
 2 −2 1  y   2 
  3   
2 1 + 3 2 + 4x 3 = 6
x x
4x 1 + 5 2 + 10x 3 = 16
x b
4x 1 + 8x 2 + 2 3 = 2
x
Por sustitución hacia adelante tenemos:
y1=6
y 2 = 16 − 2 1 = 4
y
y 3 = 2 + 2 2 − 2 1 = −2
y y
Así que:

8.  6
 
y =  4
 −2
 
Ahora resolvemos:
Ux = y
 2 3 4  x 1   6 
    
 0 −1 2   x 2  =  4 
 0 0 −6  x   −2
  3  
Así que:
x 3 = 0.333
4− 2 3
x
x2 = = −3.333
−1
6 − 4x 3 − 3 2
x
x1 = = 7.333
2
Finalmente, la solución para el sistema lineal dado es:
x 3 = 0.333
4− 2 3
x 7.333
x2 = = −3.333
−1 x = −3.333
6 − 4x 3 − 3 2
x 0.333
x1 = = 7.333
2
Ejemplo 2.
1. Paso de descomposición LU: se factoriza en las matrices triangulares
inferior y superior .
2. Paso de sustitución: se usan para determinar una solución para
un lado derecho este paso, a su vez se divide en dos.
Primero:
Se usa para generar un vector intermedio mediante sustitución
hacia adelante.
Segundo :

9. El resultado se sustituye en , la que se resuelve por sustitución
hacia atrás para
Después de la eliminación hacia adelante se obtuvo la siguiente matriz triangular
superior
Los factores empleados para obtener la matriz triangular superior pueden
montarse en una matriz triangular inferior. Los elementos a21 y a31 fueron
eliminados usando los factores:
Y el elemento a’ se elimina al usar el factor:
32
Así la matriz triangular inferior es
En consecuencia, la descomposición LU es
El resultado se verifica al realizar la multiplicación de que da
Donde las pequeñas diferencias son debidas a errores de redondeo.

10. BIBLIOGRAFÍA
http://www.scribd.com/doc/2024149/Matrices

11. http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-
algebra/capitulo-2/teoria2-7/2-7-tipos-matrices.htm
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-
843/lecturas/l843-34.pdf