El documento aborda la función cuadrática, sus características como la concavidad, vértice, eje de simetría, y cómo se determinan sus intersecciones con los ejes x e y, además de ejemplos resueltos que ilustran estos conceptos. Se explican también desplazamientos verticales y horizontales de la función, así como la importancia del discriminante en determinar la cantidad de soluciones reales. Se incluyen ejercicios prácticos y referencias bibliográficas para un estudio más profundo.

1. Función Cuadrática
Contenido abordado en II y III medio.
Electivo Límites, Derivadas e Integrales
Montserratt I. Guerrero Barra
3ero y 4to Medio

2. Algunas aplicaciones de la función
Construcción
Deportes

3. Función Cuadrática
Gráficamente representa una parábola que puede
ser cóncava hacia arriba o hacia abajo y cuya
curva es simétrica respecto al eje de simetría.
Representación algebraica
𝒇 𝒙 = 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 ≠ 0
Notar: que 𝑎, 𝑏, 𝑐 son coeficientes numéricos de la función
Las ramas de la curva se prolongan infinitamente,
por ende, abarcará a todos los valores del eje x.
Por lo tanto, su dominio es: 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ

4. Concavidad
El sentido de concavidad depende del signo del termino cuadrático 𝑎:
• Si la curva se abre hacia arriba, se dice cóncava positiva y 𝒂 > 𝟎.
• Si la curva se abre hacia abajo, se dice cóncava negativa y 𝒂 < 𝟎.
Nota: Si 𝑎 = 0 no existe función cuadrática y sería una función lineal.
Ejercicio Resuelto
¿Cuál es la concavidad de 𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 4𝑥 + 4?
𝑎 = −2 y −2 < 0
Respuesta: Por lo tanto, la función es cóncava negativa,
es decir, de la forma ∩.
Glosario:
La expresión 𝒂 > 𝟎 significa, para todos los valores de a mayores
que cero (positivos)
La expresión 𝒂 < 𝟎 significa, para todos los valores de a menores
que cero (negativos)

5. Abertura de la curva
Su abertura dependerá del valor absoluto del termino cuadrático.
A mayor valor absoluto de 𝑎 menor será la abertura de la función
y viceversa.
Para visualizar qué tan abierta o cerrada es la curva, se puede
comparar con la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2.
• Si 0 < 𝑎 < 1 la función se dilatará (más abierta) que 𝑓 𝑥 = 𝑥2
• Si 𝑎 > 1 la función se contraerá (más cerrada) que 𝑓 𝑥 = 𝑥2
Nota: Es análogo para 𝑓 𝑥 = −𝑥2 y 𝑎 < 0
Glosario:
La expresión 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 significa, para todos los valores de a mayores que 0 y
menores que 1.
La expresión 𝒂 > 𝟏 significa, para todos los valores de a mayores que 1.
La expresión 𝒂 < 𝟎 significa, para todos los valores de a menores que 0 (negativos)

6. Vértice
Coordenada que pertenece a la función e intersecta al
eje de simetría. Se puede de dos maneras:
Ejercicio resuelto:
¿Cuál es el vértice de 𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 4𝑥 + 4?
Paso 1: Identificar los coeficientes a y b
𝑎 = −2 𝑦 𝑏 = 4
Paso 2: Determinar el valor de
−𝑏
2𝑎
−𝑏
2𝑎
=
−4
2 ∙ −2
=
−4
−4
= 1
Paso 3: Reemplazar ese valor en la función
𝑓 1 = −2 ∙ 1 2 +4 ∙ 1 + 4 = −2 + 4 + 4 = 6
Respuesta: Por lo tanto, el vértice es 𝑉 1 , 6 .
Eje de Simetría
Recta vertical que divide a la función en dos curvas
simétricas. El valor del eje de simetría coincide con el
valor del primer punto del vértice. Su ecuación es:
Ejercicio resuelto:
¿Cuál es el eje de simetría de la función
𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 4𝑥 + 4?
Paso 1: Identificar los coeficientes a y b
𝑎 = −2 𝑦 𝑏 = 4
Paso 2: Determinar el valor de
−𝑏
2𝑎
𝑋 =
−𝑏
2𝑎
=
−4
2 ∙ −2
=
−4
−4
= 1
Respuesta: El eje de simetría de la función es 𝑥 = 1
Nota: Ambos elementos se grafican en la diapositiva 1.

7. Raíces o Soluciones de la función
Intersecciones con el eje x
Son las coordenadas de la función que intersectan la
curva con el eje x: 𝑥1, 0 y 𝑥2, 0 . Para encontrarlas
se utiliza la siguiente fórmula:
Ejercicio Resuelto
¿Cuáles son las raíces de 𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 4𝑥 + 4?
Respuesta: Las coordenadas son −0,7; 0 y 2,7; 0
Intersecciones con el eje 𝑌
Coordenada de la función que intersecta la curva con
el eje y, es decir, (0, 𝑐). Donde c es el coeficiente
independiente de la función 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Ejercicio Resuelto
¿Cuál es la intersección con el eje y de la función
𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 4𝑥 + 4?
𝑐 = 4
Respuesta: La coordenada es 0, 4
El recorrido de la función depende de su concavidad.
Si la función es cóncava positiva, 𝑹𝒆𝒄 𝒇 = −
( ∆ )
𝟒𝒂
, +∞
Si la función es cóncava negativa, 𝑹𝒆𝒄 𝒇 = −∞, −
( ∆ )
𝟒𝒂
Recordar que: ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

8. La expresión 𝑏2 − 4𝑎𝑐 se llama discriminante
y su valor indica si la función tiene una, dos o
ninguna solución.
Ejercicio Resuelto
¿Cuál es el ∆ de 𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 4𝑥 + 4?
Paso 1: Identificar los coeficientes a, b y c
𝑎 = −2, 𝑏 = 4 𝑦 𝑐 = 4
Paso 2: Reemplazar en ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 42 − 4 ∙ −2 ∙ 4 = 48
Respuesta: ∆ = 48, como ∆> 0 la función tiene
2 soluciones reales.
∆ = 𝟎 ∆ > 𝟎
∆ < 𝟎
Discriminante ∆
Existe una relación entre las raíces de la
función y sus coeficientes numéricos
Signo de ∆ Intersección eje X
∆ < 0 No intersecta al eje x
∆ = 0
Intersecta un punto
𝑥1 = 𝑥2
∆ > 0
Intersecta dos puntos distintos
𝑥1 ≠ 𝑥2

9. Desp𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛
Se puede determinar el desplazamiento vertical u horizontal de la función dependiendo de la
representación algebraica que presente. Para ambos casos se utilizará como referencia la función
cuadrática 𝑓 𝑥 = 𝑥2
.
Desplazamiento Vertical
Si la función cuadrática esta de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 𝑘.
• Se moverá k unidades hacia arriba si 𝒌 > 𝟎.
Por ejemplo: 𝑦 = 𝑥2
+ 𝟐
La función se ha desplazado 2 unidades hacia arriba.
• Se moverá k unidades hacia abajo si k < 0.
Por ejemplo: 𝑦 = 𝑥2
− 𝟐
La función se ha desplazado 2 unidades hacia abajo.
Glosario:
La expresión 𝒌 > 𝟎 significa, para todos los valores de k mayores que cero (positivos)
La expresión 𝒌 < 𝟎 significa, para todos los valores de k menores que cero (negativos)

10. Desplazamiento Horizontal
Si la función cuadrática esta de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑥 + ℎ 2
− Se moverá ℎ unidades hacia la − Se moverá ℎ unidades hacia la
izquierda si 𝒉 > 𝟎. derecha si 𝒉 < 𝟎.
𝑦 = 𝑥 + 𝟒 2
𝑦 = 𝑥 − 2 2
Se ha desplazado 4 unidades hacia la izquierda. Se ha desplazado 2 unidades hacia la derecha.
Glosario:
La expresión 𝒉 > 𝟎 significa, para todos los valores de h mayores que cero (positivos)
La expresión 𝒉 < 𝟎 significa, para todos los valores de h menores que cero (negativos)

11. Ejercicio Resuelto
Grafica la función 𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 4𝑥 + 4
Paso 1: Determinar sus elementos
Como ya se han obtenido los elementos con fórmulas en
diapositivas anteriores, ahora solo basta mencionarlos:
Concavidad: Cóncava negativa, ya que 𝑎 = −2 < 0. Por
lo tanto las ramas se abren hacia abajo.
Discriminante: ∆ = 48, se intersecta en dos coordenadas
distintas con el eje x.
Intersección eje X: 𝑥1 = −0,7; 0 y 𝑥2 = 2,7; 0
Intersección eje Y: 0, 4
Eje de simetría: 𝑥 = 1
Vértice: 𝑉 1,6
Paso 2: Graficar.
𝑋
𝑌

12. Referencias:
• Libro: Texto del Estudiante Matemática Segundo Medio.
• Libro: Texto del Estudiante Matemática Tercero Medio.
• Libro: Álgebra, Ximena Carreño y Ximena Cruz.
• Libro: Resumen Pitágoras, Matemática.
• Instagram: #funcióncuadrática y #funcioncuadrática.
• Canal de Youtube: profe alex, funciones, función cuadrática.
• Canal de Youtube: unicoos, funciones, función cuadrática.