En aquest power point s'expliquen les funcions elementals i els límits a partir de la seva gràfica. Després es calculen els límits de manera analítica i es relaciona amb la gràfica.
S'explica també la resolució analítica de límits, així com la resolució de les indeterminacions.
S'estudia també les diferents discontinuïtats que pot presentar una funció.
S'explica el concepte incial de límit a partir de la paradoxa de Aquiles i la tortuga.
Expresiones algebraicas básicas, Polinomios, Casos de factorización, Expresio...JeisonlkSantiago
This document discusses basic algebraic expressions, polynomials, factoring expressions, and rational algebraic expressions. It covers topics such as: monomials, binomials, trinomials, polynomials, the different cases for factoring expressions including common factors, grouping terms, difference of squares, perfect square trinomials, and sums and differences of cubes. It also defines rational algebraic expressions as those containing variables in the denominator or numerator with integer exponents.
Este documento presenta varios ejercicios de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. En primer lugar, expresa algunas situaciones verbales como ecuaciones algebraicas. Luego, resuelve diversas ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo aquellas con paréntesis, fracciones y variables en ambos lados. Finalmente, plantea un sistema de ecuaciones lineales para describir la composición de una clase.
Este documento describe las funciones racionales, incluyendo su representación gráfica y características. Discute tres tipos principales de funciones racionales: funciones de proporcionalidad inversa, funciones racionales que producen hipérbolas, y otros tipos que pueden tener asíntotas verticales, horizontales u oblicuas. Explica cómo graficar funciones racionales calculando las asíntotas, determinando el dominio y haciendo una tabla de valores.
(1) La integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la integral de Cauchy-Riemann que integra una función según otra función utilizando los valores de la segunda función en lugar de las medidas de los subintervalos. (2) Se puede reducir a una integral de Riemann cuando la función según la cual se integra es diferenciable. (3) Para una función escalonada, la integral de Stieltjes es igual a la suma de los valores de la función en los puntos de discontinuidad multiplicados por los saltos.
Este documento describe cómo calcular el dominio y recorrido de diferentes tipos de funciones. Explica que el dominio de una función polinómica o exponencial es siempre R, mientras que para funciones racionales o irracionales hay que considerar los valores que anulan el denominador o raíz cuadrada. También indica que para hallar el recorrido o codomínio de una función se iguala a y y se despeja x para estudiar el dominio resultante.
Presentación desarrollada con el propósito de ayudar a los estudiantes en las estrategias de factorización. En esta direccion se pede ver de forma interactiva. http://www.matematicaspr.com/factorizar-polinomios-0
Expresiones algebraicas básicas, Polinomios, Casos de factorización, Expresio...JeisonlkSantiago
This document discusses basic algebraic expressions, polynomials, factoring expressions, and rational algebraic expressions. It covers topics such as: monomials, binomials, trinomials, polynomials, the different cases for factoring expressions including common factors, grouping terms, difference of squares, perfect square trinomials, and sums and differences of cubes. It also defines rational algebraic expressions as those containing variables in the denominator or numerator with integer exponents.
Este documento presenta varios ejercicios de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. En primer lugar, expresa algunas situaciones verbales como ecuaciones algebraicas. Luego, resuelve diversas ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo aquellas con paréntesis, fracciones y variables en ambos lados. Finalmente, plantea un sistema de ecuaciones lineales para describir la composición de una clase.
Este documento describe las funciones racionales, incluyendo su representación gráfica y características. Discute tres tipos principales de funciones racionales: funciones de proporcionalidad inversa, funciones racionales que producen hipérbolas, y otros tipos que pueden tener asíntotas verticales, horizontales u oblicuas. Explica cómo graficar funciones racionales calculando las asíntotas, determinando el dominio y haciendo una tabla de valores.
(1) La integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la integral de Cauchy-Riemann que integra una función según otra función utilizando los valores de la segunda función en lugar de las medidas de los subintervalos. (2) Se puede reducir a una integral de Riemann cuando la función según la cual se integra es diferenciable. (3) Para una función escalonada, la integral de Stieltjes es igual a la suma de los valores de la función en los puntos de discontinuidad multiplicados por los saltos.
Este documento describe cómo calcular el dominio y recorrido de diferentes tipos de funciones. Explica que el dominio de una función polinómica o exponencial es siempre R, mientras que para funciones racionales o irracionales hay que considerar los valores que anulan el denominador o raíz cuadrada. También indica que para hallar el recorrido o codomínio de una función se iguala a y y se despeja x para estudiar el dominio resultante.
Presentación desarrollada con el propósito de ayudar a los estudiantes en las estrategias de factorización. En esta direccion se pede ver de forma interactiva. http://www.matematicaspr.com/factorizar-polinomios-0
Los números reales son la base del estudio del cálculo. Se caracterizan por satisfacer seis propiedades fundamentales como la cerradura, las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, y la existencia de elementos neutros e inversos, lo que los define como un campo. Estas pocas propiedades permiten demostrar todas las demás propiedades algebraicas de los números reales.
Factorización aplicando Ruffini o Método de EvaluaciónWuendy Garcia
1. The document discusses factorizing polynomials using Ruffini's method.
2. It provides two examples of factorizing polynomials into their prime factors: (1) x3 + 5x2 - 2x - 24 = (x-2)(x+3)(x+4) and (2) 2x3 - 3x2 - 11x + 6 = (2x - 1)(x + 2)(x - 3).
3. For each polynomial, it lists the possible factors of the constant term and coefficients, then uses those factors to find the roots that allow factoring the polynomial.
Este documento introduce las funciones de variable real, incluyendo su definición, dominio y diferentes reglas de correspondencia. Explica cómo determinar el dominio máximo de una función dada su regla de correspondencia, considerando restricciones como la división entre cero. También describe funciones con múltiples reglas de correspondencia en diferentes intervalos y cómo realizar operaciones como suma y multiplicación con funciones.
Este documento describe los tipos básicos de funciones - crecientes, decrecientes y constantes - y cómo identificar cada uno. Una función es creciente si a medida que x aumenta, f(x) también aumenta, y es decreciente si a medida que x aumenta, f(x) disminuye. También explica que una función puede tener máximos cuando cambia de creciente a decreciente, y mínimos cuando cambia de decreciente a creciente.
Este documento presenta la función logarítmica. Explica que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y describe las relaciones entre ambas funciones. También define los tipos de logaritmos, como logaritmos decimales y neperianos, y proporciona ejemplos de cada uno. Además, detalla propiedades algebraicas de los logaritmos, como las reglas de los logaritmos de la multiplicación, división, potencias y raíces.
El documento describe conceptos básicos de ecuaciones e inecuaciones de primer grado, incluyendo su definición, métodos de resolución como quitar paréntesis y agrupar términos, y ejemplos de resolución. También presenta tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: sustitución, igualación y determinantes.
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
1. El problema busca maximizar la suma de los logaritmos neperianos de dos sumandos positivos cuya suma es e. La solución óptima es que cada sumando sea e/2, con una suma máxima de 2-2ln2.
2. Se busca minimizar la resta entre uno de los números (que suman 10) menos el inverso del otro. La solución óptima son 11 y -1.
3. Se busca maximizar el área de un cuadrilátero rectangular construido con 2 metros de alambre. El área máxima
Aplicaciones de la teoría de nudos y la topología a la biología y la medicina explicadas en tono divulgativo para una charla en un instituto de secundaria.
Este documento trata sobre los sistemas de inecuaciones. Explica que los sistemas de una incógnita se resuelven al igual que las ecuaciones, mientras que los sistemas de dos incógnitas se resuelven gráficamente representando cada inecuación y encontrando la región que satisface todas las desigualdades. Finalmente, muestra un ejemplo gráfico de cómo resolver un sistema de dos inecuaciones.
El documento proporciona instrucciones para realizar operaciones básicas con fracciones, incluyendo sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Explica que para sumar o restar fracciones con el mismo denominador solo se suma o resta los numeradores, mientras que para operaciones con distinto denominador se debe encontrar un denominador común. También cubre cómo multiplicar y dividir fracciones, ya sea entre sí o con números naturales, utilizando el numerador, denominador e inverso según sea necesario.
Una función es continua cuando pequeños cambios en la variable independiente generan pequeños cambios en la variable dependiente, lo que permite dibujar la función "sin separar el lápiz del papel". Para ser continua, una función debe cumplir que el límite del valor de la función cuando la variable se acerca a un punto debe ser igual al valor de la función en ese punto. Las funciones pueden ser discontinuas cuando este límite no existe o cuando existe pero es diferente al valor de la función.
Factorización por divisores binomios.pptxYenifer Llosa
Este documento describe el método de divisores binomios para factorizar polinomios. Explica que se puede aplicar a polinomios de cualquier grado con al menos un factor lineal. Los posibles "ceros" de un polinomio son los valores de la variable que anulan el polinomio, y se obtienen como divisores del término independiente y del coeficiente principal. Además, proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método y encontrar los factores de polinomios.
Operation of functions and Composite function.pdfSerGeo5
The document provides tips and examples for performing arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, division) on functions. It also discusses composite functions, which involve applying one function to the output of another. Some key points:
- When adding functions, combine like terms
- When multiplying functions, multiply corresponding terms of each function
- When dividing functions, use polynomial long division or synthetic division to get a rational expression as the answer
- For composite functions, substitute the inner function for x in the outer function
Los números reales son la base del estudio del cálculo. Se caracterizan por satisfacer seis propiedades fundamentales como la cerradura, las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, y la existencia de elementos neutros e inversos, lo que los define como un campo. Estas pocas propiedades permiten demostrar todas las demás propiedades algebraicas de los números reales.
Factorización aplicando Ruffini o Método de EvaluaciónWuendy Garcia
1. The document discusses factorizing polynomials using Ruffini's method.
2. It provides two examples of factorizing polynomials into their prime factors: (1) x3 + 5x2 - 2x - 24 = (x-2)(x+3)(x+4) and (2) 2x3 - 3x2 - 11x + 6 = (2x - 1)(x + 2)(x - 3).
3. For each polynomial, it lists the possible factors of the constant term and coefficients, then uses those factors to find the roots that allow factoring the polynomial.
Este documento introduce las funciones de variable real, incluyendo su definición, dominio y diferentes reglas de correspondencia. Explica cómo determinar el dominio máximo de una función dada su regla de correspondencia, considerando restricciones como la división entre cero. También describe funciones con múltiples reglas de correspondencia en diferentes intervalos y cómo realizar operaciones como suma y multiplicación con funciones.
Este documento describe los tipos básicos de funciones - crecientes, decrecientes y constantes - y cómo identificar cada uno. Una función es creciente si a medida que x aumenta, f(x) también aumenta, y es decreciente si a medida que x aumenta, f(x) disminuye. También explica que una función puede tener máximos cuando cambia de creciente a decreciente, y mínimos cuando cambia de decreciente a creciente.
Este documento presenta la función logarítmica. Explica que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y describe las relaciones entre ambas funciones. También define los tipos de logaritmos, como logaritmos decimales y neperianos, y proporciona ejemplos de cada uno. Además, detalla propiedades algebraicas de los logaritmos, como las reglas de los logaritmos de la multiplicación, división, potencias y raíces.
El documento describe conceptos básicos de ecuaciones e inecuaciones de primer grado, incluyendo su definición, métodos de resolución como quitar paréntesis y agrupar términos, y ejemplos de resolución. También presenta tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: sustitución, igualación y determinantes.
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
1. El problema busca maximizar la suma de los logaritmos neperianos de dos sumandos positivos cuya suma es e. La solución óptima es que cada sumando sea e/2, con una suma máxima de 2-2ln2.
2. Se busca minimizar la resta entre uno de los números (que suman 10) menos el inverso del otro. La solución óptima son 11 y -1.
3. Se busca maximizar el área de un cuadrilátero rectangular construido con 2 metros de alambre. El área máxima
Aplicaciones de la teoría de nudos y la topología a la biología y la medicina explicadas en tono divulgativo para una charla en un instituto de secundaria.
Este documento trata sobre los sistemas de inecuaciones. Explica que los sistemas de una incógnita se resuelven al igual que las ecuaciones, mientras que los sistemas de dos incógnitas se resuelven gráficamente representando cada inecuación y encontrando la región que satisface todas las desigualdades. Finalmente, muestra un ejemplo gráfico de cómo resolver un sistema de dos inecuaciones.
El documento proporciona instrucciones para realizar operaciones básicas con fracciones, incluyendo sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Explica que para sumar o restar fracciones con el mismo denominador solo se suma o resta los numeradores, mientras que para operaciones con distinto denominador se debe encontrar un denominador común. También cubre cómo multiplicar y dividir fracciones, ya sea entre sí o con números naturales, utilizando el numerador, denominador e inverso según sea necesario.
Una función es continua cuando pequeños cambios en la variable independiente generan pequeños cambios en la variable dependiente, lo que permite dibujar la función "sin separar el lápiz del papel". Para ser continua, una función debe cumplir que el límite del valor de la función cuando la variable se acerca a un punto debe ser igual al valor de la función en ese punto. Las funciones pueden ser discontinuas cuando este límite no existe o cuando existe pero es diferente al valor de la función.
Factorización por divisores binomios.pptxYenifer Llosa
Este documento describe el método de divisores binomios para factorizar polinomios. Explica que se puede aplicar a polinomios de cualquier grado con al menos un factor lineal. Los posibles "ceros" de un polinomio son los valores de la variable que anulan el polinomio, y se obtienen como divisores del término independiente y del coeficiente principal. Además, proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método y encontrar los factores de polinomios.
Operation of functions and Composite function.pdfSerGeo5
The document provides tips and examples for performing arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, division) on functions. It also discusses composite functions, which involve applying one function to the output of another. Some key points:
- When adding functions, combine like terms
- When multiplying functions, multiply corresponding terms of each function
- When dividing functions, use polynomial long division or synthetic division to get a rational expression as the answer
- For composite functions, substitute the inner function for x in the outer function
Introducció a les derivades. S'introdueix el concepte de derivada a partir del pendent de les rectes tangents i des d'aquí es dedueixen els conceptes de creixement, decreixement i màxims i mínims d'una funció.
Continguts explicats amb l'ajuda del GeoGebra.
Taula de derivades i alguna aplicació com ara el Polinomi de Taylor amb l'aproximació de la funció arrel quadrada.
Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...Mònica Orpí Mañé
En aquest document trobareu tota la informació relacionada amb les funcions contínues i derivables. Exercicis resolts i apliacacions d'aquestes propietats així com els teormes més importants que hi estan relacionats, com ara el de Bolzano, el de Rolle, el de Cauchy i el de Lagrange.
L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LE...Mònica Orpí Mañé
Estudi de les curiositats que presenta l'infnit: Demostracions errònies, l'Hotel de Hilbert i tamanys d'infinits
Definició i càlcul de límits de les funcions elementals i la seva apliacació a les gràfiques d'aquestes funcions: Branques, discontinuïtats i asímptotes.
Mètodes de resolució de les principals indeterminacions.
Estudi exahustiu de les funcions polinòmiques a partir de la seva descomposició factorial.
La màgia del nombre d'or i de la successió de Fibonacci Mònica OrpíMònica Orpí Mañé
Propietats geomètriques i aritmètiques de la successió de Fibonacci i den nombre d'or.
Demostracions d'aquestes propietats.
Relació del nombre d'or amb la naturalesa, l'arquitectura, la pintura i en la bellesa i les proporcions humanes.
Activitats que mostren màgicament relacions que es donen entre el nombre d'or i la successió de Fibonacci.
GAIREBÉ 50 TRUCS DE MÀGIA I ANÈCDOTES BASATS EN PROPIETATS MATEMÀTIQUES, AIXÍ COM LA SEVA ESCENIFICACIÓ I LA SEVA EXPLICACIÓ MITJANÇANT LA RESOLUCIÓ MATEMÀTICA: 1 TARGETES D’ADIVINACIÓ, 2 CASTELL ENCANTAT,3 UNA DE REIS i UN HOSTAL, 4 LES CARES OCULTES DELS 3 DAUS, 5 ELS SOBRES NUMÈRICS, 6 UNA CORONA MÀGICA, 7 UNA DE CALENDARIS (2x2,3x3,4x4),8 ANY 2016 ANY MÀGIC, 9 QUIN DIA DE LA SETMANA SERÀ ?, 10 EL SÚPER MÀGIC NÚMERO 9, 11 NÚMEROS, GEOGRAFIA I ZOOLOGIA, 13 FIBONACCI, 14 MEMÒRIA PRODIGIOSA,15 DIVISIBILITATS DE LA SUMA, 16 LA MÀGIA DELS SEUS TERMES,17 QUE AMAGA EL SOBRE DAURAT?,18 ENCRIPTACIÓ: EL SECRET ESTÀ EN SABER-HO OCULTAR I TROBAR LA CLAU,19 CODIS DE BARRES, 20 FALSIFIQUEM BITLLETS?; 21 EL SECRET OCULT ESTÀ EN LES EQUACIONS I EN EL NOSTRE SISTEMA DECIMAL, 22
UN TRUC DE CARTES, 23 UN NÚMERO DE 3 XIFRES,
24 UN ALTREDE 3 DAUS: EL VERMELL, EL BLAU I EL VERD, 25 UN NÚMERO MOLT ESPECIAL,26 UN ALTRE NÚMERO MOLT ESPECIAL, 27 ANY DE NAIXEMENT I NÚMERO DE SABATES, 28 EL SECRET ESTÀ EN DESCOMPOSICIÓ FACTORIAL, 29 EL SECRET ESTÀ EN LA RESTA, 30 SEMBLA MÀGIA PERÒ NO HO ÉS : MULTIPLICACIÓ RÀPIDA, 31 CAMINS MÀGICS : ELS PONTS DE KÖNIGSBERG, 32 RETALLAR I ENGANXAR PER DEMOSTRAR ?,TEOREMADE PITÀGORES, 33 DESAPARICIÓI APARICIÓ D’ÀREA !,34 COM ÉS QUE HI HA UN FULLET DE MÉS ?? 35 LA PARADOXA DE HOOPER, 36 LES CORDES MÀGIQUES, PODEM ALLIBERAR L’ARO DE LA CORDA?, 37 ENS PODEM DESLLIGAR ?, 38 ESCONGIR UNA PERSONA I FER-LA PASSAR PER UN FORADET, 39 LA BANDA DE MOEBIUS: ANEM AL CIRC,40 LA GEOMETRIA DE LES IL·LUSIONS, ESCONGIR UNA PERSONA, IL·LUSIOS ÒPTIQUES, FIGURES IMPOSSIBLES,VISIÓ DOBLE, 41 QUADRATS MÀGICS, 42 PROBABILITATS ENGANYODES,
LA PARADOXA DELS ANIVERSARIS, 43 EL PROBLEMA DE MONTY HALL, 44 POSA’T A PROVA : EXÀMENS MOLT FÀCILS I ERRORS IMPERDONABLES, 45 DEMOSTRACIONS PERILLOSES, PUBLICITAT 46 MATEMÀTICA,HUMOR MATEMÀTIC.
Criptografia : La seva vessant històrica i l'explicació de cadascun dels mètodes d'encriptació basat en exemples pràctics. També hi han diverses activitats, així com la seva posterior resolució. S'expliquen elsxifrats de César, de Polybios, la Xifra de la Bíblia o Atbash, la Xifra Pig Pen,la Xifra de Felip II, laxifra de Vigenère, el xifrat de Playfair, elxifrat amb reixeteso plantilles, l'aritmètica modular del rellotge, etc.
Hi han continguts i exercicis d'encriptació i desencriptació per diferents nivells de Secundària i altres nivells superiors.
Problemes d'optimització amb bombolles de sabó. Mònica OrpíMònica Orpí Mañé
El llenguatge matemàtic de la natura : les bombolles tendeixen a minimitzar les superficies. Mitjançant estris i diferents instruments es poden resoldre molts problemes d'optimització.
Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé
1. FUNCIONS, CÀLCUL DE
LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ
A LA CONTINUÏTAT DE
FUNCIONS
Autora: Mònica Orpí i Mañé
MATEMÀTIQUES
2.
3. Què entem per funció ?
Definició : Definim funció o aplicació qualsevol terna (A,B, f ) formada per dos
conjunts no buits A i B i una correspondència f entre ells que assigna a cada
element x ∈ A un únic element y = f (x) ∈ B.
A f B
El conjunt A s’anomena domini de la funció i s’escriu A=Domf . B és el conjunt
d’arribada de la funció.
Si (A,B, f ) és una funció, direm que f és una funció de A en B i s’escriu
f
f : A →B o bé A → B.
a
b
c
c
d g
e f
4. Una aplicació curiosa de les funcions
Civilització India: (300 a.C)
Apareix ja un ús que encara és molt actual de les funcions :
L’Encriptació de codis o del llenguatge
Apareix en el llibre del Kama Sutra. En aquest llibre es recomana a les dones que
han d'aprendre 64 arts com el de cuinar, saber vestir-se, etc.
"mlecchitavikalpa“ o l'art de l'escriptura secreta, era en definitiva una funció.
Aquesta funció ajudava a les dones a ocultar els detalls de les seves relacions
amoroses. Tot i que era una senzilla substitució, que consistia en intercanviar
l'abecedari, va ser la base per a consolidar altres mètodes posteriors d’encriptacions
més sofisticats, que van ser molt útils posteriorment per a la correspondència en temps
de guerres,
amb l’objectiu de despistar l’enemic
7. Per tant....
Per això i per milions de raons més..
És terriblement útil “MATEMATITZAR” el
llenguatge de les funcions
8. Domini i recorregut d’una funció
El conjunt dels valors reals de la variable independent que tenen per imatge un
nombre real constitueixen el domini de la funció (Df ).
El conjunt de totes les imatges reals de la funció és el recorregut o rang de la
funció.
Exemples:
o
9. Exemple pràctic de funcions
2
9'46'19 th
2
9'46'19)( ttf
09'46'19 2
t
11. Repàs de les sessions anteriors
Tipus de funcions i les seves corresponents gràfiques :
1. Les funcions polinòmiques
- La funció constant f(x)=k ( Gràfica b)
- La funció lineal f(x)=ax
- La funció afí f(x)=ax+b (Gràfica a)
- La funció quadràtica f(x)=a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (Gràfica c)
- Les funcions polinòmiques en general (Gràfica d)
- d)
12. Tipus de funcions :
Funcions polinòmiques
Les funcions polinòmiques són del tipus f(x) = P(x), on P(x) és un polinomi.
En són exemples la funció lineal, la funció afí i la funció quadràtica.
cbxaxxf 2
)(
),( RDf
18. En aquesta sessió, aprofundirem en
l’estudi d’aquestes funcions utilitzant el
concepte del límit :
- Les funcions racionals
- Les funcions irracionals
- Les funcions exponencials
- Les funcions logarítmiques
- Les funcions trigonomètriques
- Les funcions definides a trossos
19. La paradoxa de Zenó
Aquil·les i la tortuga
Segons la llegenda, Aquil·les, heroi de la Guerra de Troia, era invencible, degut
a que la seva mare, per fer-lo així, el va portar a la llacuna Estigia, morada de
Medusa, i el va submergir en les seves aigües subjectat pel taló. Com que
aquest va ser l’únic que no es va mullar, aquest era el seu únic punt dèbil, el
Taló de Aquil·les.
Famós per les seves grans qualitats físiques, Aquil·les fou escollit per Zenó de
Elea (490 a.C. - 430 a.C.) com a protagonista de la famosa Paradoxa :
Brat Pitt va ser Aquil·les en
la pel·lícula Troia
20. Aquil·les, l’atleta més ràpid, capaç de córrer els 100 metres en 10
segons, no podrà agafar a una lenta tortuga, deu cops menys ràpida
que ell. Ambdós disputen una carrera, concedint Aquil·les una
avantatge de 100 metres a la tortuga. Quan Aquil·les ha cobert
aquests 100 metres, la tortuga s’ha desplaçat 10 metres. Al cobrir
Aquil·les aquests 10 m., la tortuga s’ha desplaçat 1 m. Mentre cobreix
aquest metre que el separa de la tortuga, aquesta ha recorregut 0'1
m. I així indefinidament.
21. D’aquesta manera, Aquil·les ha de recórrer infinits trajectes per aconseguir
atrapar a la tortuga. Per tant, haurà de recórrer una distància infinita, i
per tant, necessitarà un temps infinit. De tal manera que el “desgraciat”
d’ Aquil·les mai podrà atrapar a la tortuga !!!
22. La paradoxa d’Aquil·les i la tortuga
Posició
d’Aquil·les (m)
Posició de la tortuga
(metres)
Avantatge
de la
tortuga
Temps fet servir
Sortida
1ª. Etapa
2ª. Etapa
3ª. Etapa
4ª Etapa
Límits
23. Un altre exemple :
Si encara us costa admetre que la suma d’infinits números pot ser un
número finit, pensa en una fulla de paper (1). Li prenem la meitat
(1/2). A la vegada, a la meitat restant li prenem la seva meitat (1/4).
Al tros que queda (1/4), també li prenem la seva meitat (1/8). I així
successivament, de forma indefinida. Com sempre queda una mica de
paper, sempre es pot continuar tallant.
Pensa ara en la suma dels infinits trossos de paper que anem traient:
1 / 2 , 1 / 4 , 1/8 , 1/16 , 1/ 32 ...
Quina és la seva suma? Evidentment tota la fulla, és a dir 1!
1 / 2 + 1 / 4 +1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 ... = 1
24. Ambdós casos són exemples concrets de la Suma de tots els termes d’ una progressió geomètrica de
raó r ( | r | < 1).
Donada una progressió geomètrica: a , a·r , a·r2 , a·r3 , a·r4 ... a·rn-1
La suma dels n primers termes :
𝑆 𝑛+1 = a + a·r + a·r2 + a·r3 + a·r4 + ...+ a·rn-1
S’expressa mitjançant la fórmula: 𝑆 𝑛 =
𝑎−𝑎·𝑟 𝑛
1−𝑟
Quan | r | < 1 , la potència rn resulta ser un infinitèsim; és dir, molt molt petit, tant que el seu límit val 0
quan n és molt gran .
lim rn=0 quan n va cap a ∞
En conseqüència, es pot calcular la suma infinita
Conclusió :
25. • En la paradoxa de Zenó a = 100 , r = 1/10
Si comptabilitzem l’avantatge de la tortuga en l temps, obtenim una progressió geomètrica següent :
𝒂 𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 , 𝒂 𝟐 = 𝟏𝟎 , 𝒂 𝟑 = 𝟏 , 𝒂 𝟒 = 𝟎′
𝟏, … ,
El que ha fer Aquil.les per tal d’atrapar la tortuga és recórrer totes d’aquestes distàncies, és a dir, ha de
recórrer: 𝑆∞ = 100 / (1 – 1/10) = 111,111... m
• En la fulla de paper: a = ½ , r = ½,
𝒂 𝟏 = 𝟏 𝟐, 𝒂 𝟐 = 1 4 , 𝒂 𝟑 = 𝟏 𝟖 , 𝒂 𝟒 = 1 16 … ,
Tots els trossos sumen: 𝑺∞ = ½ / (1 – ½ ) = 1
𝑆 𝑛 =
𝑎−𝑎·𝑟 𝑛
1−𝑟
si 𝑟 < 1 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑟 𝑛 → 0 𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑛 → ∞
𝑆∞ =
𝑎
1−𝑟
𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑛 → ∞:
26. Un altre exemple de límits
I ara…una successió màgica …!!!
La successió de les àrees dels polígons regulars inscrits en una
circumferència de radi 1 unitat, on an és l’àrea del polígon de n
costats, en el límit tendeix a l’àrea de la circumferència de radi
1, i per tant, tendeix al nombre 𝜋
27. = 1+ 5
2
= 1’618...
El número més bell,
el nombre d’or
28. LA PROPORCIÓ ÀURIA AL COS HUMÀ
ALÇADA (cm) ALÇADA MELIC (cm) PROPORCIÓ
1 163 102 1’6
2 166 103 1’612
3 169 108 1’565
4 175 105 1’67
LE CORBUSIER
STEPHEN MARQUARDT
32. Nota : Fixa’t que quan x es fa gran, la funció creix, però ho
fa més lentament 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙 − 𝟏 = +∞
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
33. La funció exponencial f(x)= 𝑎 𝑥
a>0
x molt gran +∞ 𝟐+∞
= +∞ 𝟏
𝟐
+∞
=
𝟏
+∞
= 𝟎+
x molt petita -∞
2−∞
=
1
2
+∞
=
1
+∞
= 0+
𝟏
𝟐
−∞
= 𝟐+∞
= +∞
34. Les dues gràfiques de l’exponencial i els seus límits
lim
𝑥→−∞
𝑎 𝑥
= 0+ lim
𝑥→+∞
𝑎 𝑥
= +∞
lim
𝑥→−∞
𝑎 𝑥 = +∞
lim
𝑥→+∞
𝑎 𝑥 = 0+
35. La típica exponencial, la que té per base el nombre e
e≈ 2’71828… 𝑒−1 =
1
𝑒
≈ 0′3678 …
𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 =
1
𝑒 𝑥=
1
𝑒
𝑥
El nombre e anomenat de vegades constant d'Euler, en
honor del matemàtic suís Leonhard Euler o constant de
Napier, en honor del matemàtic escocès John Napier que
va introduir els logaritmes
36. Aplicacions pràctiques de l’exponencial
La funció exponencial apareix en aquells fenòmens en les que hi ha
una tassa de creixement o de decreixement constant, com ara :
- La desintegració radioactiva : N(t)= 𝑁0 · 𝑒−λ𝑡
Essent N0 la quantitat d′
àtoms radioactius existents en l′
instant
inicial, N(t) és la quantitat d′
àtoms radioactius existents en l′
instant
t, λ és la constant de desintegració (és sempre positiu i depèn
de cada element radioactiu ) i t és el temps transcorregut
- Evolució d’una població : P(t)=P0 · (1 ± c)t
Essent P0 és la població inicial la població en un instant determinat
i c és la tassa de creixement en tant
per 1 i i t el temps, normalment en anys
37.
38. El cas de la funció f(x)=log 𝑎 𝑥 𝑎𝑚𝑏 𝑎 > 1
Si la base és e, log 𝑒 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥, es
llegeix logaritme neperià en
honor al matemàtic escocès
John Napier
39. John Napier (1550 - 1617)
L’Escocès Napier es va dedicar a les matemàtiques per afecció, de fet, era teòleg.
L’obra de la que estava més orgullós era un llibre teològic amb un títol ben llarg: "Un
descobriment pla de la Revelació completa de Sant Joan. Aquest llibre contenia un
important error que li va fer perdre fama: predeia el final del món pels volts del 1700.
Les taules logarítmiques, van ajudar a simplificar els càlculs dels navegants i els
astrònoms del seu temps.
Té en el seu honor, a banda del
nom dels logaritmes, un cràter a
la Lluna que porta el seu nom,
de més de 140km d’amplada !!
40. Les dues gràfiques de la logarítmica
lim
𝑥→0+
log 𝑎 𝑥 = +∞
lim
𝑥→+∞
log 𝑎 𝑥 = −∞
lim
𝑥→0+
log 𝑎 𝑥 = −∞
lim
𝑥→+∞
log 𝑎 𝑥 = +∞
41. Les funcions trigonomètriques :
Són les funcions obtingudes a partir de les raons trigonomètriques d’un angle. En
general, l’angle s’expressa en radians
Un radiant és l'angle que comprèn un arc de circumferència amb una longitud igual al
radi de la circumferència, així 180º = π radiants i 1 rad= 57’295..º
Les tres funcions trigonomètriques més importants són f(x)= sin(x), f(x)=cos(x) i f(x)=tg(x)
42. La funció de variable real que a cada angle,
expressat en radiants, li fa correspondre el valor del
seu sinus és la funció sinus: f(x) = sin x.
La funció sinus
∄ lim
𝑥→+∞
𝑠𝑖𝑛 𝑥 no existeix
Tampoc existeix quan x→ −∞
43. La funció de variable real que a cada angle,
expressat en radiants, li fa correspondre el valor del
seu cosinus és la funció cosinus: f(x) = cos x.
La funció cosinus
∄ lim
𝑥→+∞
𝑐𝑜𝑠 𝑥 no existeix
Tampoc existeix quan x→ −∞
44. La funció de variable real que a cada angle, expressat en radiants, li fa correspondre el
valor de la seva tangent és la funció tangent: f(x) = tg x.
La funció tangent
∄ lim
𝑥→+∞
𝑡𝑔 𝑥 no existeix
Tampoc existeix quan x→ −∞
45. Funcions definides a trossos
Quan una funció es defineix utilitzant més d’una expressió algèbrica, es diu
que és una funció definida a trossos.
Aquest tipus de funció, per poder-les dibuixar, hem de tenir molt clar quin és el domini de
definició de cadascuna de les funcions que la componen.
Dibuixem per separat cada funció i després esborrem la part que no ens interesa
46. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟐−
𝒇 𝒙 = −𝟑 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟐+
𝒇 𝒙 = −𝟏
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐−
𝒇 𝒙 = 𝟑 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐+
𝒇 𝒙 = 𝟏
Els límits són especialment pràctics per les funcions
definides a trossos per saber com es comporta la
funció en cadascun dels extrems de trencament
+-
48. Un exemple clàssic de funció a
trossos: La funció valor absolut
La funció valor absolut es defineix com la funció :
49. Operacions amb funcions
Funció suma
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
Funció producte
(f · g) (x) = f(x) · g(x)
Funció quocient
f
g
æ
è
ç
ö
ø
÷(x) =
f(x)
g(x)
Propietats de la suma de funcions
Commutativa:
Associativa:
Existència d’element neutre:
Existència d’element simètric:
Propietats del producte de funcions
Commutativa:
Associativa:
Existència d’element neutre:
Existència d’element simètric:
Distributiva de la multiplicació respecte de
la suma:
50. Funció composta
Donades les funcions f i g, es defineix la funció composta:
g f (f composta amb g) com (g f) (x) = g [f(x)].
f g (g composta amb f) com (f g) (x) = f [g(x)].
Propietats
Associativa:
Existència d’element neutre:
Existència d’element simètric:
No compleix la commutativa !!!!
(f º g)(x) no és el mateix que (g º f )(x)
53. Podem imaginar-nos la composició de dues funcions com una cadena
de dues maquines diferents, on introduïm el mateix objecte i el resultat
final no és el mateix si modifiquem l’ordre de les funcions (màquines)
x
f(x)
g(x)
g ° 𝑓 (𝑥)
𝑓°𝑔(x)
54. Funció inversa
En la funció inversa la variable independent de f passa a ser la
variable dependent de f -1, i viceversa.
Càlcul de la funció inversa
① Expressar la variable y = f(x) en funció de la
variable x.
② Aïllar la variable x de la igualtat anterior per tal
de trobar l’expressió de x en funció de y.
③ Intercanviar les dues variables.
④ Fer-ne la comprovació.
55. Característica essencial de les funcions inverses : Són
simètriques respecte la bisectriu del 1r i 3r quadrant ( la
recta y=x és un mirall)
56. Més exemples de funcions
inverses
http://www.geogebratube.org/student/m6525
57. I per desencriptar missatges secrets….
Si sabem la clau, és a dir, la funció que encripta el
missatge, calculant la seva inversa, …
I ….Desvetllarem el secret !!!!
Ho podem posar en pràctica !!
58. Els límits com una eina per a fer un esboç de la gràfica d’una
funció
Eminent matemàtic francés (1789-
1857) que va escriure més de 700
artícles. Va ser escriptot, pintor i
escalador.
El concepte de límit és el fonament del càlcul. En el segle XIX, eminents matemàtics,
Augustin-Louis Cauchy i Karl Weiertrass, entre d’altres, van tractar en precisió el
concepte de límit. Ells van fer la definició rigorosa de límit, la definició 𝛆 - 𝛅, tot i que
la inclourem, no és fonamental per un primer apropament intuïtiu d’aquest
concepte
Karl Weiertrass, matemàtic alemany (1815-
1897) que va precisar la definició de
continuïtat
La Lemniscata de Bernoulli
- Símbol de l’Infinit
http://desafios-
matematicos.blogspot.pt/2013/1
0/lemniscata-de-
bernoulli.html?m=1
59. Límit d’una funció en un punt
Exemple: f(x)=
4
𝑥
𝐸𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑠′
𝑎𝑛𝑢𝑙. 𝑙𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 0
Mirem que passa en punts a prop de x=0. Ens podem apropar per la dreta de 0
X 0’1 0’01 0’001 0’0001 0’00001
f(x) 4/0’1=40 4/0’01=400 4/0’001=4000 4/0’0001=40000 4/0’00001=400000
x -0’1 -0’001 -0’0001 -0’00001
f(x) 4/(-’01)=-40 4/(-0’001)=-4000 4/(-0’0001)=-40000 4/(-0’00001)=-400000
Matemàticament, s’escriu 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
𝟒
𝒙
= −∞
Matemàticament, s’escriu 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝟒
𝒙
= +∞
60. Interpretació gràfica de límits amb la funció de proporcionalitat inversa
La Hipèrbola equilàtera
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
𝟒
𝒙
= −∞ 𝒊 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝟒
𝒙
= +∞ ⇒ lim
𝑥→0
4
𝑥
= ∞
Els valors que anul.len el denominador
apareixen en la gràfica com
assímptotes verticals ( la funció
s’apropa molt a l’assímptota però no
l’arriba a toca mai )
x=0 és una AV (Assímptota vertical)
61. Els límits són una eina molt útil per fer gràfiques de funcions
racionals :
Veiem un altre exemple :
La funció s’anul.la en x=2 i en x=-2, per tant,
Apareixeran dues AV en x=2 i en x=-2 i per veure com s’apropa la funció,
calcularem els límits al voltant de x=2 i al voltant de x=-2
𝑓 𝑥 =
3
𝑥2 − 4
2,2 RD f
62. Calculem els límits de 𝑓 𝑥 =
3
𝑥2−4
𝐴𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑥 = 2 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎t − 𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟 𝑙′
𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑟𝑎
Que matemàticament vol dir que 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐−
𝒇(𝒙) = −∞
Al voltant de x=2 aproximant-nos per la dreta
x 1’9 1’99 1’999 1’9999
f(x) -7’69 -75’19 -750’19 -7500’19
x 2’1 2’01 2’001 2’0001
f(x) 7’32 74’81 749’81 7499’81
Matemàticament vol dir que 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐+
𝒇 𝒙 = +∞
Definició :
Si lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ±∞, 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐴símptota vertical 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎
O també ∶
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − a = 0 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐴𝑉 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎
63. Observeu al voltant del 2 com actua la funció :
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐−
𝒇 (𝒙) = −∞ i 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐+
𝒇 𝒙 = +∞ ⇒ AV en x=2
Si haguéssim fet les aproximacions en x=-2 obtindríem
𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟐−
𝒇 𝒙 = +∞ i 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟐+
𝒇 𝒙 = −∞ ⇒ AV en x=-2
64. I si haguéssim fet el mateix per a x molt molt grans, que hauríem obtingut ??
O el que és el mateix 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 0 (0 𝑞𝑢𝑒 é𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑢)
Mirem que passa per valors molt petits de x
X 10 100 1000 10000
f(x)=
3
𝑥2−4
0’031 0’0003 0’000003 0’00000003
X -10 -100 -1000 -10000
f(x)=
3
𝑥2−4
0’031 0’0003 0’000003 0’00000003
Definició :
Si lim
𝑥→±∞
𝑓 𝑥 = 𝑘 , 𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ, 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑘 é𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠í𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑡𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙,
O el que és el mateix lim
𝑥→±∞
𝑓 𝑥 − 𝑘 = 0
En el nostre cas, y=0 és una AH
O el que és el mateix 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 0 (0 𝑞𝑢𝑒 é𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑢)
65. Fixeu-vos com és la gràfica :
Té dues AV en x=2 i en x=-2 ja que la funció tendeix a infinit quant s’apropa a
aquests valors
Té una AH en y=0 ja que quan x és molt gran i molt petita s’apropa molt a
aquest valor 0
66. Donada la funció f(x)=
−𝟑
𝒙+𝟒
-Quin és el domini ?
- Què val el límit quan x s’apropa a 4 per l’esquerra ? I per la dreta ?
-Té AV ? Quina és ?
- Què val el límit quan x és molt gran ? I quan és molt petita ?
- Té AH ? Quina és ?
67. Fent tant sols els límits a l’±∞ i al voltant
dels punts que no són del domini, podem
fer la gràfica
68. Recordem que passava amb les branques de les funcions
polinòmiques: Calculant els límits en el infinit:
Si considerem la funció f(x)= 𝒙 𝟑
−𝟑𝒙 + 𝟏,
𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑥 é𝑠 𝑚𝑜𝑙𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑛 +∞ 𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑥
é𝑠 𝑚𝑜𝑙𝑡 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡𝑎 −∞
𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó é𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑓 𝑥 = 𝑥3
lim
𝑥→+∞
𝑥3 − 3𝑥 + 1= lim
𝑥→+∞
𝑥3 = +∞
Branca dreta amunt
lim
𝑥→−∞
𝑥3
− 3𝑥 + 1 = lim
𝑥→−∞
𝑥3
= −∞
Branca esquerra avall
71. Càlcul del límit d’una funció en un punt
El límit d’una funció en un punt es calcula substituint en l’expressió algèbrica de la funció la
variable x pel valor al qual tendeix.
Si el resultat d’aquesta substitució és una indeterminació, cal aplicar altres estratègies i arribar
al valor del límit.
Exemples:
Indeterminacions :
∞ − ∞ ;
∞
∞
;
0
0
; 1∞
; ∞0
; 0 · ∞ ; 00
72.
73.
74. Amb les regles que hem après, se’ns presenten situacions
més complicades, en les que no podem donar una solució,
sense fer un estudi detallat de la funció. Com per exemple :
84. El límit correspon a un dels nombres més importants de la matemàtica.
Atès que el suís Leonard Euler(1707-1783) és un dels que va observar la
tendència d’aquest límit, va posar la seva inicial a aquest nombre, el
nombre e
88. Límits laterals en un punt
Exemple:
x tendeix a a per
l’esquerra
x tendeix a a per la dreta
Límits laterals en x = a
89. Funció contínua en un punt
Una funció f és contínua en x = a quan ;
en cas contrari, direm que és discontínua en x=a
lim
x®a-
f(x)= lim
x®a+
f(x)=f(a)
Tipus de
discontinuïtats
Discontinuïtat evitable:
Discontinuïtat inevitable De salt:
Asimptòtica:
Per una primera aproximació, direm que una funció és contínua quan podem recórrer la gràfica de la
funció sense realitzar cap salt. Matemàticament això succeirà quant sigui contínua en tot el seu domini.