Los números reales son la base del estudio del cálculo. Se caracterizan por satisfacer seis propiedades fundamentales como la cerradura, las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, y la existencia de elementos neutros e inversos, lo que los define como un campo. Estas pocas propiedades permiten demostrar todas las demás propiedades algebraicas de los números reales.

1. Numeros reales
Los números reales son la base del estudio del cálculo ya que fundamentamente lo que
hacemos en cálculo de una variable es estudiar fuciones de variable real a traves de los
conceptos de límite, derivación e integración.
Desde el punto de vista gráfico los números reales se asocian a los puntos de una recta,
de tal modo que cada número corresponde a un punto sobre la recta y cada punto está
asociado con un número. Para justificar esto, además de los Axiomas de Campo, se deben
considerar los Axiomas de Orden y el Axioma de Continuidad.

3. Numeros reales
CALIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.
Número irracional
Es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser
expresado como una fracción m/n, donde m y n son enteros, con n diferente de cero.
Número algebraico
Es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de la
forma:
anxn + an-1xn-1 + … + a1×1 + a0 = 0
Donde n > 0, cada ai es entero y an es distinto de cero.
Todos los números racionales son algebraicos porque todas las fracciones de la forma
a / b es solución de bx - a = 0. Algunos números irracionales como 21/2 (la raíz
cuadrada de 2) y 31/3/2 (la mitad de la raíz cúbica de 3) también son algebraicas porque
son soluciones de x2 - 2 = 0 y 8×3 - 3 = 0, respectivamente. Pero no todos los números
reales son algebraicos. Los ejemplos más conocidos son π y e. Si un número real o
complejo no es algebraico, se dice que es un número trascendente.
Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, pero no
puede serlo de una ecuación polinómica de grado menor, entonces se dice que es un
número algebraico de grado n.

4. Número trascendente
Tipo de número irracional que no proviene de una simple relación algebraica sino que
se define como una propiedad fundamental de las matemáticas. Un número es
trascendente (o trascendental) si no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con
coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente es antónimo de
número algebraico.
En general, si tenemos dos cuerpos y de forma que el segundo es extensión del primero,
diremos que es trascendente sobre K si no existe ningún polinomio del que α es raíz
(p(α) = 0).
El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números
reales es incontable; por lo tanto, el conjunto de números transcendentes es también
incontable, entonces es verdad que hay muchos más números transcendentes que
algebraicos. Sin embargo, existen muy pocos números transcendentes conocidos, y
demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por
ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler Γ lo es, Γ siendo: , cuando . La
propiedad de la normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es
trascendente o no.
Números enteros
Los números naturales (también llamados enteros positivos) son los números de contar
1, 2, 3, 4, 5,…. El número 2 surge al agregar una unidad al número 1, el número 3 surge
al añadir una unidad al número 2 y así sucesivamente. El conjunto de números naturales
se designa por la letra N: N= {1,2,3,4,5,6,…}.
Los números enteros son el conjunto formado por los números naturales, sus negativos
(también llamados enteros negativos) y el 0. El conjunto de los números enteros se
designa por Z:
Z={…,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,…}
Obsérvese que el número 0 no se considera un número natural. El conjunto de los
números enteros no negativos será designado por N U {0}. (U=Unión).

5. Sean a y b dos números enteros. A partir de las operaciones suma y producto, a + b y a
b (ó a.b) es fácil definir otras operaciones llamadas diferencia (también resta o
sustracción) y división…
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Números pares e impares
En matemática la paridad de un objeto se refiere a si éste es par o impar. En particular,
cualquier número entero es par o impar.
Un número par es un número entero múltiplo de 2, es decir, un número entero m es
número par si y solo si existe otro número entero n tal que: m = 2 × n
Por lo tanto, si multiplicamos cualquier número entero por un número par obtendremos
un nuevo número par. Los siguientes son números pares: 0, 2, 4, 6, …, y también: −2,
−4, −6 … .
Los números impares son aquellos números enteros que no son pares y por tanto no son
múltiplos de 2. Los siguientes son números impares: 1, 3, 5, 7, 9 …, y también: −1, −3,
−5, … . Sumando o restando 2 a un número impar se obtiene otro número impar.
Sumando o restando una unidad a un número impar se obtiene otro número par.
Se dice que un número entero, m, es impar si y solo si existe otro número entero, n, tal
que:
m=2×n+1
Número racional
En sentido amplio se llama número racional o fracción común a todo número que puede
representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero; el
término “racional” alude a “ración” o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud
racional, para no confundir este término con un atributo del pensamiento humano.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes
a una dada. De todas ellas se toma como representante canónico del número racional en
cuestión a la fracción irreducible, la de términos más sencillos. Las fracciones
equivalentes entre sí -número racional- son una clase de equivalencia, resultado de la
aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios. El
número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b cuando a y b son números
enteros.

6. El conjunto de los racionales se denota por , que significa quotient, “cociente” en varios
idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un
subconjunto de los números reales.
Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para
cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos,
propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números
racionales son densos en la recta de los números reales.
Número irracional
Es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser
expresado como una fracción m/n, donde m y n son enteros, con n diferente de cero.
Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que
dejan los números racionales. Los números irracionales son los elementos de la recta
real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por
poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido.
LOS NÚMEROS IRRACIONALES SE CLASIFICAN EN DOS TIPOS
1.- IRRACIONALES ALGEBRAICOS
Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de
radicales libres o anidados; si x representa ese número, al eliminar radicales del segundo
miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado.
Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos.
Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica:
x2 − x − 1 = 0, por lo que es un número irracional algebraico.
2.- IRRACIONALES TRASCENDENTES:
No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas;
provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y
exponenciales. También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o
con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:
0.193650278443757 …
0.101001000100001 …

7. Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos
excepciones importantes:
1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc) de números negativos
en números reales, razón por la que existe otro conjunto de números donde estas
operaciones están definidas: los imaginarios.
2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre
nadie, es decir, no existe la operación de dividir entre nada.
Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de las
matemáticas: existen asíntotas verticales en los lugares donde una función se indefine,
es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presenta una división entre
cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números
negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de
gráficas en geometría analítica.
instituto tecnologico superior de acayucan

8. 1.2 Propiedades de los números reales
Recordemos que en secundaria y preparatoria se incluye en los programas de
matemáticas procedimientos para sumar fracciones o números racionales, para
multiplicar y dividir polinomios, para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, para
factorizar expresiones algebraicas, por mencionar algunos. En cada uno de estos temas
se utilizan números reales.
La idea fundamental en esta sección es la de poder resumir todas las propiedades
algebraicas de los números reales que hemos utilizado o que se puedan utilizar.
La pregunta es: Qué propiedades elementales bastarán para concluir a partir de ellas
todas las demás propiedades que se cumplen en álgebra elemental? Qué tanto las
podemos resumir? puesto que si hiciéramos una lista con todas las propiedades que
sabemos que se cumplen fácilmente pasarían de cien.
La siguiente es una lista con seis propiedades básicas, las cuales bastan para caracterizar
completamente las propiedades algebraicas de campo de los números reales. Esto es, de
aquí se pueden deducir las demás propiedades.
Los números reales son un conjunto R con dos operaciones binarias + y * el cual
satisface los siguientes axiomas.
Axioma 1 Cerradura
Si a y b están en R entonces a+b y a*b son números determinados en forma única que
están también en R.
Axioma 2 Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación)
Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a*b = b*a.
Axioma 3 Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación)
Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a*(b*c) = (a*b)*c
Axioma 4 Propiedad Distributiva.
Si a, b y c están en R entonces a*(b+c) = ab+ac

9. Axioma 5 Existencia de Elementos neutros.
R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece a
los reales.
Axioma 6 Elementos inversos Si a está en R entonces existe un (-a) en R
tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a
en R tal que a*(1/a) = 1.
[+ El inverso multimplicativo de a también se representa por
El primer axioma garantiza que la suma y la multiplicación son operaciones binarias en
los números reales. Los axiomas 2 al 4 indican la forma de manipular algebraicamente
las dos operaciones. El axioma 5 establece la existencia de dos elementos distintos 0 y
1. Y el último axioma indica la existencia de los elementos inverso por lo que los
números reales forman un campo, nótese que en la segunda parte de este último axioma
se supone diferente de cero el número a.
También es fácil ver que combinando el axioma 2 con los axiomas 5 y 6 tenemos:
0 + a = 0
1.a = a
(-a) + a = 0
(1/a)*a = 1
Como es costumbre en álgebra, el producto a*b se representará simplemente por ab,
también se puede utulizar un punto a.b
Es importante aclarar que estas propiedades de campo son el resultado de muchos años
de trabajo de la humanidad para poder llegar a resumir la característica algebraica de los
números. En general el álgebra estudia estructuras básicas como grupos, anillos,
dominios integrales, espacios vectoriales, campos, etc. que es una clasificación de
acuerdo a las propiedades que satisfacen. De las mencionadas un campo es la estructura
más completa, que es precisamente la estructura de los números reales.
Aparentemente, después de ver los axiomas se pensaría que faltan propiedades pues no
se ha mencionado la resta ni la división, faltan potencias y raíces, y muchas otras cosas.
Cómo es posible que con estas propiedades lo demás se cumpla automáticamente?
Efectivamente, faltan las ideas de resta, división, potencias, raíces y otras más. Pero
éstas son una consecuencia de las anteriores; podemos construirlas en base a los seis
axiomas y lo único que faltaría es dar la definición y comprobar que es posible hacerlo.

10. Una manera sencilla de recordar los axiomas básicos es agrupando en 3 leyes básicas.
Ver Propiedades Básicas.
Como ya habíamos mencionado a partir de estos axiomas podemos demostrar todas las
propiedades algebraicas que conocemos de los números, como un ejemplo veremos que
(-a)b = -ab.
Ejemplo 1.1. Comprobar (-a)b = -ab usando los axiomas.
Demostración:
(-a)b = (-a)b + 0 axioma 5
= (-a)b + [ab + (-;ab)] axioma 6
= [(-a)b +ab] + (-ab) axioma 3
= [(-a)+a]b + (-ab) axioma 4
= 0.b + (-ab) axioma 6
= [0.b + 0] + (-ab) axioma 5
= {0.b + [ab+(-ab)]} + (-ab) axioma 6
= [(0.b + ab) + (-ab)] + (-ab) axioma 3
= [(0+a).b + (-ab)] + (-ab) axioma 4
= [ab + (-ab)] + (-ab) axioma 5
= 0 + (-ab) axioma 6
= (-ab) + 0 axioma 2
= -ab axioma 5
Cada una de las propiedades algebraicas se podrían demostrar de esta forma, sin
embargo una demostración a partir de los axiomas sería demasiado extensa y repetitiva
de muchas propiedades. Por ejemplo si ya tuviéramos la propiedad de que a.0 = 0 nos
ahorraríamos seis pasos en el procedimiento anterior. En realidad es conveniente
comprobar algunas propiedades básicas sencillas de justificar y utilizarlas para la

11. demostración de otras más complicadas. Empezaremos por unas de las propiedades más
útiles hasta llegar a comprobar reglas importantes de manejo de expresiones algebraicas.
Teorema 1.1 Propiedades de álgebra elemental.
Si a, b, y c son números reales entonces:
i. a+b = b+a => b = c ley de simplificación para la suma
ii. (-a) es único; Posibilidad de la sustracción
iii. -(-a) = a
iv. -(a+b) = -a + (-b)
v. ab = ac, a =/ 0 => b = c
vi. −1 es único
vii. (−1)1 = a
viii.
ix. a*0 = 0 x. (-a)b = a(-b) = -ab xi. (-a)(-b) = ab xii. ab = 0 => a=0 ó b=0
Definición 1.1 Resta y división.
i. La resta de dos números reales a, b se define como a?b = a+(?b).
ii. La división de dos números reales a, b se define cuando b =/ 0 como a/b = ab?1.
Teorema 1.2 Propiedades de operaciones con fracciones.
xiii. a/b . c/d = ac/bd xiv. a/b + c/d = (ad+bd)/bd xv. (a/b)/(c/d) = ad/bc
Con estas quince propiedades de álgebra elemental es fácil comprobar cualquier otra
regla, como un ejemplo demostraremos las propiedades (i), (ii), (ix) y (x).
Ejemplo 1.2 Demuestre (i) a+b = a+c => b = c
Demostración:

12. Consideremos un elemento (?a) tal que a + (?a) = 0 el cual existe por el axioma 6.
por lo tanto
a+b = a+c =>
(?a)+(a+b) = (?a)+(a+c) sustitución directa
(?a+a)+b = (?a+a)+c asociatividad
0+b = 0+c elemento inverso
b = c elemento neutro @
Por la propiedad conmutativa también se cumple la ley de cancelación por la derecha, o
sea
b+a = c+a => b = c.
Ejemplo 1.3 Demuestre (ii) (?a) es único
Demostración:
Sabemos que para el número a existe (?a) tal que a+(?a) = 0 y supongamos que existe
otro número b tal a + b = 0, entonces
a+(?a) = a + b
?a = b ley de cancelación (i) @
Ejemplo 1.4 Demuestre (ix) a.0 = 0
Demostración.
a.0 = a.(0+0) elemento neutro
= a.0 + a.0 propiedad distributiva
también
a.0 = a.0 + 0 elemento neutro
por lo tanto a.0 + a.0 = a.0 + 0
finalmente a.0 = 0 por la ley de cancelación. @
Ejemplo 1.5 Demuestre (x) (?a)b = a(?b) = ?ab

13. Demostración.
(?a)b = (?a)b + 0 elemento neutro
= (?a)b + [ab + (?ab)] elemento inverso
= [(?a)b +ab] + (?ab) propiedad asociativa
= [(?a)+a]b + (?ab) propiedad distributiva
= 0.b + (?ab) elemento inverso
= 0 + (?ab) propiedad (ix)
= ?ab elemento neutro @
Compare esta demostración con la del ejemplo 1.
Finalmente vemos que las propiedades (iii) y (iv) son muy simples usando (ii). (v), (vi),
(vii) y (viii) son similares a las cuatro primeras con la multiplicación en lugar de la
suma. (xi) es directo usando (x). (xii) es un ejercicio. (xiii), (xiv) y (xv) se pueden
comprobar usando la definición de división.
Ejemplo 1.6 Compruebe (xiv) a/b + c/d = (ad+bd)/bd
Demostración:
(ad+bc)/bd = (ad+bc)(bd)?1 = (ad+bc)b?1d?1
= adb?1d?1 +bcb?1d?1 = ab?1 + cd?1
= a/b + c/d @
Conceptos de algebra elemental.
Ya hemos visto como comprobar las propiedades algebraicas que vimos en secundaria y
bachillerato a partir de los axiomas, pero vamos a utilizar las propiedades de ahora en
adelante con otro enfoque. Si se pretende seguir usando las propiedades mecánicamente
como se hacía en niveles más elementales no sirvió de mucho el haber aprendido esto.
La idea fundamental es que se adquiera el suficiente criterio para saber interpretar un
resultado cuando se siguen los pasos de un método. Y también el poder darnos cuenta si
un paso está o no correcto.

14. Para poder aplicar los conceptos algebraicos, es necesario conocer los elementos con los
que vamos a trabajar. Así que es necesario ejemplificar las diversas clases de números
que emplearemos.
Primeramente notamos que 1+1 es también un número real, a este número le llamamos
2 y si analizamos 2+1 también es un número, de la misma forma sumando el número 1
cada vez podemos obtener nuevos números los cuales son los más sencillos de entender
y por esto se llama números naturales o enteros positivos. Se representan por la letra N;
esto es, N = {1,2,3,…}.
Por el axioma 6, primera parte, cada entero positivo tiene un inverso aditivo y se forma
el conjunto de números enteros:
Z = {0,1,?1,2,?2,3,?3…}.
Otra clase importante de números son los que obtienen al dividir dos enteros, llamados
racionales:
Q = {a/b : a,b están en Z, b =/ 0}
Podemos observar que como a/1 = al conjunto de los enteros es un subconjunto de los
racionales.
Finalmente, a todo número real que no sea racional se le llama irracional, los
irracionales se denotan por Ir.
Ya que hemos hablado de los principales conjuntos de números, veremos algunos de las
aplicaciones clásicas del álgebra elemental. Pondremos dos ejemplos para ilustrar esto.
Analicemos el método que usamos para resolver una ecuación.
Ejemplo 1.7 Resolver la ecuación 2x?1 = 5
Solución:
2x ? 1 = 5
2x = 5 + 1
x = 6/2
x = 3
Concluimos que la solución es el número 3.

15. ¿Está bien hecha esta conclusión?, que significa el último paso x = 3?
Para contestar esto, veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2.8 Resolver la ecuación 2x/(x?1) ? 2/(x?1) = 1
Solución:
2x/(x?1) ? 2/(x?1) = 1
(2x?2)/(x?1) = 1
2x?2 = x?1
2x?x = ?1+2
x = 1
aquí vemos que el número 1 no puede ser solución pues en el sistema de los números
reales no es posible dividir entre 0, así que la solución es el conjunto vació.
Lo que realmente hacemos cuando aplicamos los pasos algebraicos como los anteriores
para “resolver” una ecuación, es suponer que existe un número que es solución de la
ecuación y llegamos a que dicha solución “si existiera” debía tener cierto valor (en el
ejemplo 2.8 el valor x=1), sin embargo la solución puede ser 0/ como en el ejemplo, por
lo que es necesario verificar en la ecuación original si él o los números obtenidos son
realmente solución de la ecuación.
De aquí en adelante, así como en este caso, debemos tener cuidado cuando manejamos
propiedades algebraicas y debemos de ser capaces de interpretar correctamente el
resultado de un procedimiento.
Ejercicios:
En los siguientes ejercicios todas las propiedades se refieren al teorema 2.1.
1. Demuestre la propiedad (iii) usando la propiedad (ii).
2. Demuestre la propiedad (iv) usando la propiedad (ii).
3. Demuestre las propiedades (v) y (vi) en forma análoga a como se demostraron (i) y
(ii)

16. 4. Demuestre (xiii) usando la definición de división.
5. Demuestre (xv) usando la definición de división.
6. Indique si es posible tener un conjunto con los mismos axiomas de campo de los
números reales pero que el cero tuviera inverso?
7. Indique qué propiedades se utilizaron en la demostración del ejemplo 6.
8. Justifique los pasos del ejemplo 2.7.
9. Justifique los pasos del ejemplo 2.8.
10. Demuestre que ?0 = 0.
11. Compruebe que el 0 es el único número que es su propio inverso aditivo.
12. Indique qué propiedades de campo cumple el conjunto de los números enteros Z =
{…?3,?2,?1,0,1,2,3,…}.
13. Indique qué propiedades de campo cumplen los números enteros positivos N =
{1,2,3,…}.
14. Compruebe que ?(a?b) = ?a+b
15. Compruebe que a/b ? a/c = (ad?bc)/bd
16. Compruebe que la ecuación ax+b = 0 tiene una solución única cuando a0.
Resuelva las siguientes ecuaciones:
17. 3x + 1 = 7
18. x2 ? x ? 6 = 0
19. x 1 8
??? + ??? = ????
x+2 x?2 x2?4
20. 5×2 ? 12x + 4 = 0

17. 1.4 Desigualdades lineales y cuadráticas
y sus propiedades
Es sorprendente la cantidad de propiedades que se pueden desprender de los primeros
seis axiomas, sin embargo el álgebra de los números reales no queda reducida a dichos
axiomas; éstos se complementan con un orden que nos permitirá, además de tener una
estructura más completa, poder hacer analogías y aplicaciones más complejas que las
que se podrían tener con los axiomas de campo. Por ejemplo, se podrá construir un
modelo para el movimiento, o también obtener el área y volumen de figuras geométricas
no simples, análisis de variables que cambian continuamente con respecto al tiempo y
muchas otras aplicaciones físicas.
La idea medular del orden en los números reales es que se pueden dividir los números
en tres conjuntos, positivos, negativos y cero. Y que es posible establecer un orden total
en los números reales. Estas ideas se pueden resumir en tres propiedades.
Axiomas de orden:
El conjunto de los números reales tiene un subconjunto, llamado conjunto de números
+
reales positivos R el cual satisface los siguientes axiomas.
+ +
Axioma 1.7 a, b en R => a+b, ab en R
Axioma 1.8 Si a está en R y a ≠ 0 entonces una de las dos condiciones de cumple a ∈
R+ o -a ∈ R+ .
+
Axioma 1.9 El número 0 no está en R
Si un número no es positivo ni 0 se dice que es negativo, o sea que un número a es
negativo si -a es positivo por el axioma 2.8.
Existe otra forma muy popular en nuestros días de presentar el orden en los números
reales por medio de desigualdades directamente sin hacer mención a los axiomas, se

18. toma a < b como una relación entre dos números que satisface cuatro propiedades. Una
de las ventajas de presentar el tema como se hace aquí es que bastan tres propiedades en
lugar de cuatro, además cuando se usan desigualdades queda la relación < sin definir,
incluso hay libros que lo definen en términos de números positivos así que se cae en una
inconsistencia o en la necesidad de definir conjunto de números positivos. Por lo tanto
por razones heurísticas es mejor considerar las propiedades de orden de esta manera.
Definición Desigualdad.
Si a, b son números reales decimos que a “es menor que” b y se representa a < b si b?·a
es positivo. Similarmente, decimos que a “es mayor que b” y se representa a > b cuando
b < a. La relación a < b significa que a < b ó a = b; y a > b significa que a > b ó a = b.
Vemos por lo tanto que un número es positivo si y sólo si es mayor que 0, y negativo si
y sólo sí es menor que 0.
Nota Los axiomas se llaman de orden porque si consideramos la relación menor o igual
en base a la definición anterior se obtiene una relación que cumple las condiciones de
relación de orden. Incluso es un orden total.
De manera análoga como se vio después de los primeros seis axiomas, de aquí se
pueden desprender todas las propiedades de desigualdades y de orden de los números
reales. Resumimos las principales en el siguiente teorema.
TeoremaPropiedades básicas de desigualdades.
Si a, b y c son números reales entonces:
i) Ley de tricotomía. Se cumple una y sólo una de las condiciones siguientes: a < b, a >
b,a=b
ii) Propiedad aditiva: a < b => a + c < b + c
iii) Primera propiedad multiplicativa: a < b, c > 0 ⇒ ac < bc
iv) Segunda propiedad multiplicativa: a < b, c < 0 ⇒ ac > bc

19. v) a ≠ 0 ⇒ a2 >0
vi) 1 > 0
vii) a < b ⇒ -b > -a
viii) a < 0 ⇒ -a > 0
ix) ab > 0 ⇒ ambos son positivos ó ambos son negativos
x) ab < 0 ⇒ un número es positivo y el otro negativo
xi) a > 0 ⇒ 1/a >0
xii) a < b, c < d ⇒ => a+c < b+d
Como ejemplo demostraremos la propiedad (ii) del teorema y las demás se dejan como
ejercicio.
Ejemplo Demuestre la propiedad (ii) del teorema
Demostración:
a < b => b-a > 0 por definición de <
pero
b-a = b-a + 0 axioma 5
= b-a + c+(-c) axioma 6

20. = b+(-a) + c + (-c) definición de resta
= b + c + (-a)+(-c) axioma 2
= b +c - (a + c) inverso aditivo de una suma, directo
utilizando la definición de resta
=> a + c < b + c por la definición de <. @
Desigualdades.
Así como usamos los primeros seis axiomas para resolver ecuaciones, de forma análoga
podremos usar los axiomas de orden para desigualdades. Como ya hemos insistido un
buen comienzo para entender un tema es conocer los conceptos con los que trabajamos,
así que empezaremos por establecer el concepto de desigualdad.
Si una proposición numérica abierta con una variable se puede expresar utilizando
alguno de los cuatro símbolos siguientes <, >, < ó >; le llamamos desigualdad abierta o
simplemente desigualdad.
Y resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de valores para la cual la
proposición resulta verdadera.
Ejemplo 1.10 Resolver la desigualdad 2x ?1 > 5.
Solución:
2x ? 1 > 5 =>
2x ? 1 + 1 > 5 + 1 =>
2x > 6 =>
x > 3
por lo que el conjunto solución será {x : x > 3}, hacemos notar que los pasos se podrían
hacer a la inversa por lo que la desigualdad 2x?1>5 es equivalente a la desigualdad x>3,
por lo que la solución es la correcta. Sería más conveniente sustituir los símbolos => por
<=>.
Para poder expresar mejor la solución de una desigualdad numérica es conveniente
asociar cada número real con un punto sobre una recta, llamada recta numérica.

21. Escogemos 0 como un punto cualquiera de la recta y los enteros equidistantes a la
derecha del 0 los positivos y los negativos a la izquierda, los racionales en forma
proporcional de manera que un número mayor que otro esté siempre a la derecha; como
se puede ver en la figura:
?????????????????????????????????????????
?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4
También es conveniente definir los conjuntos de números entre dos números dados, los
cuales jugarán un papel preponderante en la solución de ecuaciones.
Definición 1.3 Intervalos numéricos. Si a, b son números reales
con a < b definimos:
[a,b] = {x : a < x < b} [a,b) = {x : a < x < b} (a,b] = {x : a < x < b} (a,b) = {x : a < x <
b} [a,oo) ={x : x > a} (a,oo) ={x : x > a} (-∞,b] = x (-∞,b) = x
El símbolo oo (infinito) no es un número, y significa que el valor numérico de la
variable x puede ser arbitrariamente grande, igualmente ?oo indica que la variable no
está limitado inferiormente.
Con estas definiciones vemos que la solución del ejemplo 2.10 quedará como el
intervalo (3,oo).
Ejemplo 1.11 Resuelva la desigualdad x/2 + (x+1)/3 > 10
Solución:
x x+1
? + ??? > 2 es equivalente a
2 3
3x+2(x+1)
????????? > 2 y ésta equivale a
6
3x+2(x+1) > 12 efectuando operaciones tenemos
5x + 2 > 12 la cual equivale a
5x > 10 y finalmente
x > 2 por lo tanto, la solución es

22. (2,oo) y su gráfica
?????????????????????????????????????????
?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4
Algunas veces cuando se trabaja con dos desigualdades se pueden combinar de tal
forma que uno de los términos sea común y se puede usar una notación que simplifica
su manejo.
a < b < c significa que a < b y b < c.
Ejemplo 1.12 Si 5x+1 está en [?1,2], dónde está x?
Solución: Si 5x+1 está en [?1,2] entonces tenemos
?1 < 5x+1 < 2 por lo tanto
?1?1 < 5x < 2?1
?2 < 5x < 1
?2/5 < x < 1/5
entonces x está en el intervalo [?2/5,1/5]
Ejemplo 1.13 x está en [?2,3], dónde está 2x+1?
Solución: Si x está en [?2,3] entonces
?2 < x < 3 por lo que
?4 < 2x < 6 de aquí
?3 < 2x+1 < 7 por lo que concluimos que
2x+1 está en el intervalo [?3,7].
De la propiedad (ix) del teorema 2.2 vemos que también se cumple que a/b positivo sí y
sólo si los dos números son positivos ó los dos son negativos, usando la propiedad (xi).
Lo mismo si el producto o cociente de dos números es negativo uno es positivo y otro
negativo, Propiedad (x) del mismo teorema.
Esto lo podemos usar para solución de desigualdades.

23. Ejemplo 1.14 Resolver la desigualdad x2?x?6 > 0
Solución:
Vemos que x2?x?6 = (x?2)(x?3) por lo que
x2?x?6 > 0 es equivalente a la expresión
(x?2>0 y x?3>0) ó (x?2<0 y x?3<0) y esto a su vez a
(x>2 y x>3) ó (x<2 y x<3) finalmente esto equivale a
x > 3 ó x < 2 puesto que la “y” equivale a intersección
por lo tanto tenemos que el conjunto solución es:
(?oo,2) U (3,oo)
?????????????????????????????????????????
?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4
Ejemplo 1.15 Resolver la desigualdad 2×2+5x?3 < 0
Solución:
Vemos que 2×2+5?3 = (2x?1)(x+3) por lo que
2×2+5?3 > 0 es equivalente a la expresión
(2x?1>0 y x+3<0) ó (2x?1<0 y x+3>0) y esto a su vez a
(x>1/2 y x<?3) ó (x<1/2 y x>?3) finalmente esto es
(x<1/2 y x>?3) porque el segundo paréntesis es vació
por lo tanto, tenemos que el conjunto solución es:
(?3,1/2)
?????????????????????????????????????????
?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4
Ejemplo 1.16 Resolver (x+5)/x > 2
Solución.

24. Primeramente vemos que la desigualdad es equivalente a
(x+5)/x ?2 > 0 y efectuando operaciones tenemos
(x+5?2x)/x >0
(5?x)/x > 0
Aquí podríamos aplicar el mismo criterio que el ejemplo anterior, sin embargo
usaremos un camino distinto para presentar una alternativa que es útil conocer
Utilizaremos las propiedades multiplicativas, teorema 2.2 (iii) y (iv).
Caso I) Si x>0 entonces por la primera propiedad multiplicativa en este caso la
desigualdad es equivalente a
5?x>0 y x>0 o sea
x < 5 y x > 0 tenemos por lo tanto el intervalo
(0,5)
Caso II) Si x<0 la desigualdad es equivalente, usando la segunda propiedad
multiplicativa a
5?x<0 y x<0 o sea
x>5 y x<0 lo cual es imposible, o sea el conjunto
vacío;
de los dos casos concluimos que la solución es el primer
conjunto, o sea:
(0,5), gráficamente
?????????????????????????????????????????
?2 ?1 0 1 2 3 4 5 6

25. Distancia entre dos puntos:
Sean a y b respectivamente, las coordenadas de 2 puntos A y B sobre la recta numerica.
La distancia entre A y B se denota d(A,B) esta denotada por:
d(A,B)=|b-a|
Ejemplo:
Sean los puntos
A=3 y B=−4 calcular la distancia que exite entre los dos.
d(3,−4)=|−4–3|
=|−7|
= 7
USO DE LA RECTA NUMÉRICA
Los números reales pueden ser representados gráficamente en la recta numérica.
Imagine la recta numérica, también llamada recta real, como una gran autopista de alta
velocidad densamente transitada por vehículos de dos colores: unos amarillos (números
racionales) y otros de color café (números irracionales). En esta autopista hay un punto
de referencia, situado en el centro, conocido como el punto cero, 0. Los vehículos
amarillos y cafés, se encuentran tanto a la izquierda como a la derecha del cero.
Aparentemente hay un caos, a tal grado que los conductores deben permanecer
estáticos; sin embargo cada conductor sabe exactamente el lugar que le corresponde a su
vehículo en la autopista. Un hecho curioso: el controlador de la autopista había
registrado la entrada de millones y millones de vehículos amarillos; sin embargo, en un
recorrido realizado en helicóptero, la autopista se ve pintada de café. Esto es, a pesar de
que han entrado muchísimos vehículos amarillos, éstos comparados con los de color
café, quedan opacados. Es necesario aclarar, que por cada color de vehículo, los hay de
diferentes modelos aunque, hay que decirlo, algunos de los modelos incluyen el de otros
(subconjuntos).
ACTIVIDAD PARA EL APRENDIZAJE.
En una recta real, ubique ejemplos de los diferentes conjuntos de números.

26. Haga un mapa mental de la recta real.
Competencias Digitales (Tic’s Basicas) a practicar con este TEMA:
• Usar (click en )www.Google.com para buscar y localizar UN material
academico apropiado y que se pueda recomendar para el tema, ver VIDEO
BUSQUEDAS abajo en esta pagina.
• En el post ( o tema ) apropiado en el Libro de Blogger, pegar el material
localizado y que se recomienda para este tema, ver VIDEO BLOGGER abajo
en esta pagina.
pd: Recordar incluir la fuente del tema usando el formato de citacion apropiado, ver
VIDEO WIKIPEDIA abajo en esta pagina.
• En el editor de Blogger usar colores para destacar los parrafos mas
importantes y usar subrayados para las citas mas relevantes.
• En el post ( o tema ) apropiado en el libro en Blogger, para incluir
ecuaciones o notacion matematica se debera usar el icono del editor de Blogger
IMAGE y construir esta notacion matematica con imagenes Latex, ver VIDEO
LATEX ABAJO.
• Construir al final y despues de la fuente del material, un breve resumen
( no mas de 2–3 parrafos) explicando palabras propias el contenido del tema.
pd: Se pueden usar alguna de las citas que encontradas dentro del tema, solo recordar
encerrarla entre comillas.
pd: Se pueden usar tambien cambios en fonts para darle mas visibilidad, consistencia y
relevancia al resumen del tema.
• PUNTOS EXTRAS Si se usa una segunda fuente valiosa de informacion
y recordar encadenar los dos materiales mediante uno o dos parrafos
apropiados.
• Enviar a el maestro o compañeros un correo electronico que incluya la
liga a el tema en blogger para revision, recomendacion, sugerencias y
evaluacion, ver VIDEO LIGAS GMAIL abajo.
• Sacar una cuenta (click en)http://docs.google.com, usando el correo de
Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se construyo en Gmail y
Blogger ver VIDEO GOOGLE DOCS abajo en esta pagina.
pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.
pd: Google Docs es el equivalente a OFFICE pero con la caracteristica que todos sus
componentes ( procesador de palabras, presentacion electronica y hoja de calculo) estan

27. completamente en internet, es decir todos los archivos o material estaran en linea,
seguros y siempre disponibles, ademas de que se pueden trabajarlos desde cualquier pc,
ya sea la personal, la del laboratorio de la escuela o la de un lugar publico como la
biblioteca o un cafe internet.
• Construir una Presentacion Electronica ( usando muy pocos slides) del
tema en GOOGLE DOCS e incrustrarla en el tema de bloger ver VIDEO
GOOGLE DOCS en esta pagina abajo.
pd: Recordar que una presentacion electronica, es solamente un resumen muy
condensado del tema ( o mapa o guia mental ), que ayuda a recordar los elementos y
conceptos mas basicos del tema, cuando se estan exponiendo frente a un grupo.
pd: No olvidar incluir un primer slide con el titulo de la presentacion electronica, un
segundo slide con un indice de la presentacion electronica y un ultimo slide con dos o
tres parrafos de conclusiones y bibliografia.
• Buscar en Google Imagenes o www.Flickr.com o www.PhotoBucket.com
una galeria de fotos o de imagenes apropiadas al tema actual,
• Para los casos de Photobucket y Flicker, ambos sitios proporcionan ligas
a sus imagenes y tambien objetos (los recuerdan??), que se pueden incluir en el
tema del libro apropiado en Blogger.
pd: para estos sitios deberan obtener una cuenta usando el correo de gmail y de
preferencia obtener el mismo usario que se ha venido manejando a lo largo del curso.
pd: Tratar de usar resoluciones y tamaños de imagenes chicos o medianos, recordar que
todo este material termina en el post del tema en Blogger y esa pagina no tiene mucho
espacio para desplegar fotos o imagenes.
pd: El formato apropiado para fotos o imagenes es JPG, tratar de no usar otros
formatos.
pd: Se puede construir y conseguir esta coleccion o galeria de imagenes con:
1) Usando Google Imagenes, recordar conseguir solo imagenes que tengan permiso de
publicacion abierto, no usar imagenes o fotos que tengan derechos reservados.
pd: Estas fotos almacenarlas en un folder en el desktop o escritorio de su computadora y
subirlas a el post en blogger usando el icono IMAGE del editor de Blogger.

28. 2) Flickr y Photo Bucket tambien tienen una gran cantidad de imagenes que se pueden
usar o mejor dicho enlazar a el tema o post en Blogger.
3) Tambien se puede usar la camaras digitales o las camaras de sus telefonos celulares.
4) Tambien se puede usar el programa o aplicacion llamado Srip32.exe( solo buscar
srip32 en google) bajarlo e instalarlo, este programa permite capturar una pantalla de la
pc, es decir si se encuentra un sitio con imagenes o incluso texto apropiado o relevante
al tema, capturar la pantalla con srip32 y ya se tendra la imagen, ver VIDEO Srip32
abajo.
• Incluir al menos una imagen de cada uno de los dos sitios (flickr y
Photobucket) en el tema o post que se esta construyendo en Blogger.
• PUNTOS EXTRAS Si se incluyen una galeria completa de imagenes
apropiadas desde cualquiera de estos sitios de FLICKR o Photobucket.
• Sacar una cuenta (click en)www.DivShare.com, usando el correo de Gmail
y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y
Flickr ver VIDEO DIVSHARE abajo en esta pagina.
pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.
pd: Usar Divshare para almacenar material en audio (MP3) apropiado a el tema ( no
usarlo para almacenar material comercial o les suspenden la cuenta)
pd: El material en Audio, con formato MP3 se debera producir usando un microfono en
la pc y programas de aplicacion apropiados, llamados editores de audio, un ejemplo de
ellos es el SOUND RECORDER que ya viene en Windows, pero se recomienda usar
mejor AUDACITY ( solo buscar en google AUDACITY) bajarlo e instalarlo, ver
VIDEO AUDACITY abajo.
• Crear al menos dos archivos de audio mp3:
1) El primero de ellos sera la lectura completa de este tema en voz apropiada. ( o
aprender a editar con audacity la voz)
2) El segundo de ellos sera un resumen del tema. ( buena voz o editarla con audacity)
3) Ambos archivos subirlos a Div Share (recordor que tienen que ser MP3) y el
reproductor que proporciona gratis Div Share, ver VIDEO DIVSHARE abajo e
insertarlo en el lugar apropiado del tema que se esta construyendo en Blogger.

29. 4) Ejemplo del reproductor incrustado en una pagina:
• Sacar una cuenta (click en)www.YouTube.com, usando el correo de Gmail
y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y
Flickr.
pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.
• Para producir video se pueden usar tres fuentes:
1) Localizar Videos apropiados en Youtube.
2) Usar nuestras camaras digitales o nuestros telefonos celulares para producir video.
3) Producir un video de la propia pantalla de la computadora ( muy similar a lo que se
hizo con Srip32) pero usando un programa especializado en video, tal como
CAMSTUDIO (click en www.CamStudio.org) bajar e instalar ( no olvidar bajar e instalar
el CODEC que esta abajo en el mismo sitio.
3.1) para Usar Camstudio solo recordar que es muy similar a Srip32 Solo que el
resultado final es un archivo de video AVI.
• Producir un video de resumen del tema (usar camstudio con el fondo de
la pagina con el tema e irlo comentando en voz apropiada)
• Producir un video en vivo con la exposicion del tema ( pueden usar la
presentacion electronica de fondo o cualquier otro material, pizarron, filminas,
rotafolios, etc.)
• Subir los videos a su cuenta en Youtube e incluirlos o ligarlos en la
pagina en Blogger, tambien los pueden subir directamente a BLOGGER ver
VIDEO BLOGGER VIDEO abajo.
Saludos y suerte prof Lauro Soto, Ensenada, BC, Mexico.

30. Valor absoluto
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación, búsqueda
En matemática, el valor absoluto o módulo[1] de un número real es su valor numérico
sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-); o en otras palabras, su
distancia en la recta numérica hasta el valor cero. Así, por ejemplo, 3 es el valor
absoluto de 3 y -3.
El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud,
distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor
absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos,
como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Gráfica de la función valor absoluto

31. Contenido
[mostrar]
• 1
Valor
absol
uto
de un
núme
ro
real
o
1.
o
1.
• 2
Valor
absol
uto
de un
núme
ro
compl
ejo
o
2.
• 3
Progr
amaci
ón del
valor
absol
uto
• 4
Notas
• 5
Refer
encias
• 6
Enlac
es
exter
nos

32. Valor absoluto de un número real
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:[2]
Note que, por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y
nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real
corresponde a la distancia a lo largo de la recta numérica real desde hasta el número
cero. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia
entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se
puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia.
Propiedades fundamentales
No negatividad
Definición positiva
Propiedad multiplicativa
Propiedad aditiva
Otras propiedades
Simetría
Identidad de indiscernibles
Desigualdad triangular
(equivalente a la propiedad aditiva)
Preservación de la división (equivalente a la
propiedad multiplicativa)
Otras dos útiles inecuaciones son:
•
•
Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por
ejemplo:

33. Valor absoluto de un número complejo
El valor absoluto de un número complejo es la distancia desde al origen. Aquí
vemos que y su conjugado tienen el mismo valor absoluto.
Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los
reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente
identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor
absoluto:
De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma
con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente
por:
Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico
que podamos representar a estos últimos también de esta forma:
De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números
reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número
complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen,

34. y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es
igual a la distancia entre ellos.
Propiedades
El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente
para los números reales. Además, si
y
es el conjugado de z, entonces se verifica que:
Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que
mencionamos en esta sección.
Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo
el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un
endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.
Programación del valor absoluto
En programación, la función matemática utilizada comúnmente para calcular el valor
absoluto es abs(). Esta se utiliza en los lenguajes de programación Fortran, Matlab y
GNU Octave (los cuales la soportan para números enteros, reales y complejos), y
además en el Lenguaje C, donde también son válidas las funciones labs(), llabs(),
fabs(), fabsf() y fabsl().
La codificación de la función valor absoluto para valores enteros es sencilla:
int abs (int i)
{
if (i < 0)
return -i;
else
return i;
}
Sin embargo, al tratar con puntos flotantes la codificación se complica, pues se debe
lidiar con la infinitud y valores NaN.

35. Con el lenguaje ensamblador es posible calcular el valor absoluto de un número
utilizando sólo tres instrucciones. Por ejemplo, para un registro de 32 bits en una
arquitectura x86, con la sintaxis de Intel:
cdq
xor eax, edx
sub eax, edx
cdq extiende el bit de signo de eax en edx. Si eax es no-negativa, entonces edx se
convierte en cero, y las dos últimas instrucciones no tienen efecto, dejando eax sin
cambios. Si eax es negativa, entonces edx se convierte en 0xFFFFFFFF, o -1. Las
siguientes dos instrucciones se convierten en una inversión complemento a dos, dejando
el valor absoluto del valor negativo en eax.

36. 1.5 Valor Absoluto y sus Propiedades
Definición. Valor absoluto. El valor absoluto de un número real x se representa por |x| y
se define por
El valor absoluto es muy importante en cálculo porque nos ayuda a representar
desigualdades y conjuntos de números, uno de los principales usos es el poder
formalizar el concepto de límite.
Teorema
i)
ii)
iii)
iv)
v)
La última propiedad se acostumbra escribir
v)
pero la escribimos de la otra forma para que sea más fácil de recordar, pero hay que
tener en cuenta que el caso (iv) es una desigualdad doble y por lo tanto una intersección
entre las dos desigualdades simples y en (v) aparecen dos desigualdades con la
disyunción y por lo tanto es una unión.
Observando la definición debemos recordar que ?x representa el inverso aditivo de x y
no necesariamente es un número negativo.
Ejemplo Resolver la ecuación |5x+1| = 4

37. Solución.
5x+1 = 4 ó 5x+1 = −4, por lo que
x = 1 ó x = −3/5, una sustitución directa nos indica que el
conjunto solución es S = {−3/5, 1}.
Es conveniente enunciar en este punto las principales propiedades
de valor absoluto, sobretodo porque serán muy útiles para la solución
de desigualdades
Teorema Propiedades de valor absoluto (i) |x| › 0 (ii) |x| = 0 <=› x=0 (iii) |ab| = |a| |b| (iv)
|a/b| = |a|/|b| (v) |a+b| ‹ |a| + |b| (vi) |x| < a <=› ?a < x < a (vii) |x| › a <=> ?a>x o x > a
Ejemplo Resolver |2x-1| < 7
Solución.
Vemos que |2x-1| < 7 es equivalente a
-7 < 2x-1 < 7, y también a
-6 < 2x < 8
-3 < x < 4 Por lo que la solución es el intervalo (−3,4), el supremo es 4, el ínfimo es −3
y no tiene ni máximo ni mínimo.
Resolver |3x+5| › 4
Solución.
Por la propiedad (vii) del teorema anterior la desigualdad es equivalente a
3x+5 > 4 ó 3x+5 < −4 y esto a su vez a
x > −1/3 ó x < −3 y la solución es
(-oo,−3) U (−1/3,oo). El conjunto no está acotado.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Ejemplo Resolver |2x+1| ‹ |x+2|
Solución. FALTA EDITAR

38. La desigualdad es equivalente a
|2x+1|
?????? < 1
esto es equivalente a
|x+2|
2x+1
?1 < ???? < 1
x+2 ahora analizaremos dos casos
I) Si x+2 > 0, o sea x > ?2 tenemos
?x?2 < 2x+1 < x+2, esto equivale a dos desigualdades]]
?x?2 < 2x+1 y 2x+1 < x+2,
?3 < 3x y x < 1
?1< x y x < 1,
la solución de este caso es el intervalo
(?1,1)
II) Si x+2 < 0, o sea x < ?2 tenemos
?x?2 > 2x+1 > x+2, esto equivale a dos desigualdades
?x?2 > 2x+1 y 2x+1 > x+2,
?3 > 3x y x > 1
?1 > x y x > 1,
La solución de este caso es el conjunto vacío, pues no existe ningún número que sea
mayor que 1 y menor que ?2 al mismo tiempo.
Por lo tanto la solución de la desigualdad, la unión de las
soluciones de los dos casos es el intervalo (?1,1).
Ejemplo 2.32 Si |x?3| ‹ 2 =› |2x?6| < e, que valor puede tener e.
Solución.

39. |x?3| ‹ 2 =› |2x?6| < 4 por lo tanto e puede ser cualquier número mayor o igual a 4.
Ejemplo 2.33 Si |x?2| ‹ d =› |5x?10| < 2 que valor puede tener
d.
Solución.
Vemos que |5x?10| < 2 sí
5|x?2| < 2, o sea si
|x?2| < 2/5, entonces d puede tener cualquier valor menor o
igual a 2/5.
Ejercicios.
Resuelva las siguientes desigualdades
1. x2?x?20 < 0
2. x(x+1) > 6
3. x(x2?2x) > 15x
4. x
???????? > 0
x2+4x?12
5. (x+3)(x?1)2 > 0
6. x2 1 x x2
? ? x + ? > ? ? ?
2 2 4 4
7. (x?1)(4×2?8x+3) < 0
8. 2x(3x?1)
???????? < 0
x+2
9. |7x?3| < 4
10. |5?2x| ›1

40. 11. |x2?2| < 2
12. |x+5| › |3x?1|
13. |x?2| ‹ |x+4|
14. Encuentre el valor que puede tener e tal que
i) |x?2| ‹ 1/2 =› |5x?10| < e ii) |x+4| ‹ 1 =› |3x+12| < e iii) |x?3| ‹ 3 =› |6x?18| < e
15. Encuentre el valor de d tal que i) |x?1| ‹ d =› |5x?5| < 10 ii) |x+2| ‹ d =› |2x+4| < 1 iii)
|x+5| ‹ d =› |3x+15| < 2

41. 1.1.2 Definición de función
Toda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamada
relación.
Ciertos tipos especiales de reglas de correspondencia se llaman funciones.
La definición de función se dá enseguida.
Función:
Una función es una regla de
correspondencia entre dos conjuntos de
tal manera que a cada elemento del
primer conjunto le corresponde uno y
sólo un elemento del segundo conjunto.
Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio.
Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de
contradominio o imágen.
Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La
entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí
la función y la salida sería el contradominio.

42. Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.
Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con
una letra, digamos x o s, o cualquier otra.
Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo f(x) ó f(s).
Ejemplo: f(x) = x2+ 3x - 6
Esta función es una regla de correspondencia que dice lo siguiente: "A cada
número en el dominio de f se le relaciona con el cuadrado de ese número mas
el triple de ese número menos seis".
Otra manera de ver esto es escribiendo la función de la siguiente manera:
f ( ) = ( )2 + 3( ) - 6
Enseguida se muestran los valores de f para varios valores de ( ). Es decir,
se muestra la "salida" de la "máquina" para varios valores de la "entrada".
f(x) = x2 + 3x - 6
f(10) = 124
f(-2) = -8
f(h + 1) = (h + 1)2 + 3(h + 1) - 6

43. f(x + b) = (x + b)2 + 3(x + b) - 6
f( ) = ( )2 + 3( ) - 6
El dominio de una función puede ser especificado al momento de definir la
función.
Por ejemplo, F(x) = 2x en el intervalo [-3,10] es una función cuyo dominio
es el intervalo [-3,10]. A menudo no se especifica el dominio de una función
definida por una ecuación, por ejemplo,
G(x) = 3x3 - 2x + 10
(Sin especificar el dominio)
En adelante quedará entendido que:
A menos que se especifique explícitamente, el dominio de una función
será el conjunto más grande de números reales para los cuales la función
nos dé como salida un número real.
Por ejemplo:
1
f(x)
=
x-3
Para esta función x = 3 no forma parte del dominio, ya que al ingresar
dicho valor en la función obtendríamos un diagnóstico de error pues no se
puede dividir entre cero. Observa además que la función no puede tomar el
valor cero. ¿Porqué? Observa la gráfica.

45. 2.1 Definicón de Función
Una funcion es un tipo especial de relacion entre elementos de dos conjuntos. Un
conjunto inicial llamado Dominio y un conjunto Final llamado Imagen, una funcion
asigna a cada elemento del dominio un elemento de la Imagen
Para que una relacion sea funcion se deben cumplir dos condiciones
Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las
denominamos x e y; a una de ellas la llamamos variable dependiente pues depende de
los valores de la otra para su valor, suele ser la y; a la otra por tanto se la denomina
variable independiente y suele ser la x.
Existencia :
Para todo elemento del conjunto dominio de la funcion existe un elemento del conjunto
imagen con el que esta relacionado
Unicidad :
La imagen correspondiente a un elemento del dominio es unica.
Expresion explicita de una funcion
La forma mas usual para definir una funcion escalar (funciones escalares son aquellas
en las que los conjuntos dominio e imagen sos conjuntos de numeros reales), es
definiendo primero el nombre de la funcion, despues los conjuntos dominio e imagen y
luego dando la expresion explicita de la funcion, en la que se muestra la relacion entre
los elementos x (del dominio) e Y (de la imagen). por ejemplo
f:R→R / f(x)=x + 2
Esto nos dice que la funcion se llama f, que su dominio son los reales, su imagen los
reales, y su expresion es y=x+2, (hay que recordar que y=f(X)), entonces supongamos
que elegimos un valor x al azar del dominio x=2, su correspondiente valor de imagen es
y=2+2= 4
Entonces el par ordenado (x,y) (2,4) representa un punto que esta incluido en la grafica
de f

46. Sean X, Y conjuntos.
Una función ƒ de X a Y es una relación R de X a Y tal que para cada ƒ(x) existe un solo
elemento y ϵ Y.
||Finalmente:
< x,y > ϵ ƒ “La función ƒ es una relación de X a Y”.
ƒ(x) = y “ƒ mapea de X a Y”.
“ƒ transforma X en Y”,
ƒ: X → Y
donde: X es el dominio y Y es la imagen.
Existe una correspondencia uno-a-uno en ƒ(x)=y, cuando para toda xϵ X existe una yϵ Y
, y viceversa. Por lo que X y Y tienen el mismo número de elementos, i.e. cardinalidad.
Función Inversa: Toda función con correspondencia uno-a-uno posee una función
inversa,
ƒ1(y) = x si y solo si ƒ(x) = y

47. Aqui esta una grafica de una Funcion Inversa.
Este link es para que puedan observar una presentacion en powerpoint sobre Funciones.
click aqui para ver la presentacion
Alfaro Carbellido Ernesto Josue
5V1B
Concepto de función
El propósito principal de este capítulo es obtener una idea clara del concepto de función.
Para ello se analiza el concepto de relación sobre la base del producto cartesiano y
después se define una función como un caso especial de una relación. Después se
estudia el concepto de función como una correspondencia entre los elementos de dos
conjuntos. Finalmente se clasifican e investigan las propiedades de algunas funciones
que aparecen frecuentemente en cálculo.
Procederemos, conforme al esquema esbozado, por establecer de manera general los
conceptos básicos que nos permitirán arribar a una definición formal de función.
3.1.1 Producto cartesiano
Definición 3.1 Par ordenado.

48. Sean a y b dos números, definimos el par ordenado formado por a y
b por el conjunto
(a,b) = {ā, {a,b}}.
Observe que hemos denotado al par ordenado como (a,b). A primera
vista la definición parece un poco oscura debido a que se tiene ya una
noción previa, que es la de que cada número ocupa un lugar especial.
Sin embargo, esta definición nos permite hacer la distinción entre el
primer lugar y el segundo lugar de la pareja, también denominados
coordenadas. Dicha conceptualización se demostrará en el teorema
siguiente.
Teorema 3.1
(a,b) = (c,d) si y sólo si a = c y b = d.
Demostración:
Si a = c y b = d, entonces
(a,b) = {ā, {a,b}} = {{c}, {c,d}} = (c,d).
Si (a,b) = (c,d) , entonces {ā, {a,b}} = {{c}, {c,d}}. Existen
dos posibilidades:
i) ā = {c} y {a,b} = {c,d}; ii) ā = {c,d} y {a,b} = {c}.
En el primer caso se tiene que a = c por lo que {a,b} = {a,d} y
entonces b = d. En el segundo caso se tiene que a = c = d y entonces
{a,b} = ā por lo que b = a.
@
Podemos ver que la definición cumple con el propósito deseado.
Además, el concepto de par ordenado nos prepara el terreno para
establecer otra manera de combinar dos conjuntos para formar un nuevo
conjunto.
Definición 3.2 Producto cartesiano.
Sean A y B conjuntos. El producto cartesiano de A y B es el
conjunto de todas las parejas ordenadas
A x B = {(a,b): a está en A y b está en B}.

49. Observe que hemos utilizado la notación A x B para denotar el
conjunto y se lee “A cruz B”. En general si A tiene m elementos y B
tiene n elementos, entonces A x B tiene mn elementos. En el caso de
que tomemos el producto cartesiano de un conjunto A por si mismo
usamos la notación A2.
Ejemplo 3.1 Plano cartesiano.
Si X representa el conjunto de todos los números reales sobre el
eje?x y Y representa el conjunto de todos los números reales sobre el
eje?y, entonces X x Y es el conjunto de todas las parejas ordenadas
de números reales (x,y). En matemático francés René Descartes usó un
sistema de coordenadas rectangulares y en su honor a dicho sistema le
llamamos plano cartesiano. Dado que los conjuntos X, Y se pueden
representar geométricamente por rectas numéricas, el eje?x corresponde
a la recta horizontal y sobre ella representamos la abscisa o valor x;
el eje?y corresponde a la recta vertical y sobre ella escribimos la
ordenado o valor y. A esta representación geométrica le denominamos
plano XY. También acostumbramos decir que el plano cartesiano es la
representación del conjunto R2.
Y
|
|………(x,y)
| .
| .
????????????????????????????????????>
| X
|
|
|
|
Definición 3.3 Relaciones.
Sean A y B conjuntos. Una relación entre A y B es un subconjunto
del producto cartesiano A x B.

50. La definición implica que una relación es un conjunto de pares
ordenados y es un subconjunto de A x B y que a en A está relacionado
con b en B si y sólo si (a,b) está en dicho subconjunto. El dominio de
la relación es el conjunto de todos los primeros elementos de las
parejas ordenadas en la relación. La imagen de una relación es el
conjunto de todos los segundos elementos de las parejas ordenadas en
la relación.
El concepto de relación así definido es de gran utilidad porque
lo podemos visualizar al hacer sus gráficas en el plano cartesiano.
Cualquier relación que bosquejemos en el plano XY tiene un dominio D y
una imagen I que son subconjuntos de números reales.
Ejemplo 3.2 Grafique en el plano cartesiano las relaciones:
i) {(x,y): x>3},
ii) {(x,y): y = x2},
iii) {x2 + y2 < 25} e indique en cada caso el dominio e
imagen.
i) D = R
I = R
ii) D = R
I = [0,oo)
iii) D = (?5, 5)
I = (?5, 5)
Es importante darnos cuenta de que en el concepto de relación se
tienen tres partes esenciales: el conjunto dominio D, el conjunto
imagen I y alguna manera en que podamos determinar cuáles parejas
ordenadas están en la relación, que en el ejemplo anterior se dieron

51. por proposiciones abiertas de la forma P(x,y). Un tipo particular
de relaciones son los conjuntos de puntos en R2 de la forma
{(x,y): f(x,y) = c}.
La ecuación f(x,y) = c se dice que es una ecuación implícita y
dado un número real x puede haber uno o más números y tales que f(x,y)
= c. Si la pareja ordenada (xo,yo) está en la relación, decimos que
es una solución de la ecuación f(x,y) = c. Al graficar el conjunto en
el plano cartesiano estamos representando todas las soluciones de la
ecuación.
Se pueden establecer algunas características de las gráficas de
tipo general y que nos auxiliarán para poder dibujarlas. Además, las
mismas características son aplicables al caso de funciones y su
representación gráfica. Todo esto apoya el análisis de funciones que
se verá en capítulos posteriores.
Intersecciones. Las intersecciones con el eje?y de la ecuación
f(x,y) = c se obtienen al hacer x = 0 y resolver f(0,y) = c.
Análogamente, obtenemos las intersecciones con el eje?x al hacer y = 0
y resolver f(x,y) = c.
Extensión. Es la región del plano cartesiano donde la gráfica de
la ecuación está confinada. El dominio e imagen de la relación nos
permite delimitar dicha región.
Simetría. Un conjunto de puntos en la relación, es simétrico con
respecto al eje?x, si para cualquier punto (x,y) en la relación, (x,?
y) también está en la relación. Análogamente, tenemos simetría con
respecto al eje?y si, para cualquier punto (x,y) en la relación, (?
x,y) también está en la relación. Una relación tiene simetría con
respecto al origen si y sólo si, para cualquier punto (x,y) en la
relación, (?x,?y) está en la relación.
Ejemplo 3.3 Discuta la intersección, extensión, simetría y dibuje
la gráfica de la ecuación 4×2 + 25y2 = 100.
Para encontrar la intersección con el eje?y hacemos x = 0 en la
ecuación y resolvemos para y:

52. 25y2 = 100 <=> y = ?2 ó y = 2;
Análogamente las intersecciones con el eje?x. Tenemos que
4×2 = 100 <=> x = ?5 ó x = 5.
Supongamos que (x,y) es un punto de la gráfica y resolvamos la
ecuación para la variable x,
x = + 5/2 4 ? y2
Y como x es un número real, es necesario que y2 < 4; lo cual implica que ?2<y<2.
Análogamente, resolvemos la ecuación para la variable y. Encontramos que y es un
número real si y sólo si se tiene que ?5<x<5. Hemos encontrado la imagen y el dominio
de la relación y. por lo tanto, la extensión de la gráfica es la región del plano XY
definida por el conjunto
R = {(x,y): ?5<x<5; ?2<y<2}.
Tenemos simetría con respecto al eje?x y simetría con respecto al
eje?y, ya que si (x,y) es solución de la ecuación, entonces (?x,y) y
(x,?y) son también soluciones:
4(?x)2 + 25y2 = 4×2 + 25(?y)2 = 4×2 + 25y2 = 100
Por supuesto, también tenemos simetría con respecto al origen.
Combinamos ahora los resultados obtenidos para las intersecciones, la
extensión y la simetría para obtener la gráfica de la ecuación que
ilustramos en el primer cuadrante del plano cartesiano. El resto de
la gráfica puede encontrarse por reflexión:

53. 3.1.2 Función
En la observación de los fenómenos que ocurren en la naturaleza,
en muchos casos, el hombre ha podido sintetizar su conocimiento en
leyes físicas. Estas leyes indican cómo están relacionadas las
diversas magnitudes que caracterizan el fenómeno y cómo la magnitud de
alguna de ellas está completamente determinada por los valores de las
otras. Por ejemplo: el volumen de un gas a temperatura constante está
determinado por la presión; la dilatación de una barra metálica está
determinada por la temperatura; la corriente a través de una
resistencia está determinada por el voltaje aplicado, etc. Los
ejemplos anteriores pueden expresarse por medio de fórmulas o reglas
que permiten relacionar una magnitud física con otra. El punto
importante a considerar aquí es que para cada valor de una magnitud
física x, queda determinado un único valor de la magnitud física y,
por la fórmula o regla respectiva. La palabra único, en el sentido del
fenómeno físico, significa que bajo las mismas condiciones de
observación y valor de x obtendremos el mismo valor y.
Aunque los anteriores son ejemplos específicos del concepto de
función, la esencia de éste está en cada uno de ellos. Trataremos
ahora de formalizar las ideas subyacentes. Observe que hemos empleado
los términos “relacionados”, “valores”, “reglas” y “único”; por lo
tanto de nuestra formalización del concepto de función se deben
desprender claramente el significado de dichos términos.
Definición 3.4 Función.
Sean A y B conjuntos. Una función f es una relación en el
producto cartesiano A x B tal que si (x,y) está en f y (x,z) está en
f, entonces y = z.
Observe que la condición garantiza que un elemento x en A no
puede tener asociado más de un elemento de B. Es frecuente que se
utilicen otras notaciones para una función f; la más común es f : A ?>
B.
Veamos como trabaja la función f mediante el esquema siguiente:
???????????????
| |

54. x????>| f | ????›y
| |
???????????????
Sea (x,y) en f. Entramos a la caja con la primera coordenada de
la pareja ordenada y obtenemos a la salida la segunda coordenada. Es
costumbre denotar a y por f(x) que se lee “f de x” y denominamos el
valor de la función en x o imagen de x. Nos referimos a f(x) como un
símbolo en la notación funcional, con x como el argumento.
Por supuesto, no podemos alimentar a la caja más que aquellos
elementos x que son las primeras coordenadas de los elementos de f.
Definición 3.5 Dominio e Imagen.
Dom f = {x: para alguna y, (x,y) está en f}.
Im f = {y: para alguna x, (x,y) está en f}.
En el caso particular de que cada elemento de A aparezca como
primera coordenada de un par ordenado de la función f, esto es, Dom f
= A, decimos que tenemos una función completa.
Como la definición no requiere que todo elemento de B sea imagen
de un elemento de A, se tiene que Im f es un subconjunto de B.
Hasta este punto las definiciones anteriores no especifican la
naturaleza de los conjuntos A y B; pero, en lo sucesivo vamos a
considerarlos como subconjuntos de R, en cuyo caso decimos que nuestra
área de estudio es el análisis real y en particular en este punto las
funciones reales de variable real o sea conjuntos de pares ordenados
de números reales y, por lo tanto, pueden considerarse como un
conjunto de puntos en R x R o R2. Por la propia definición de función,
estos conjuntos tienen la propiedad de intersecar una sola vez a cada
recta vertical. Debemos recordar este punto, sobre todo cuando
analicemos la representación geométrica de las funciones.
Definición 3.6 Gráfica de f : R ??> R.
La gráfica de f es el conjunto de pares ordenados de f
considerados como un subconjunto de R2.

55. En notación funcional la definición anterior nos lleva a la
siguiente conclusión: La gráfica de la función f en el plano XY, es la
gráfica de la ecuación y = f(x). Frecuentemente usamos la terminología
“y es función de x”, donde x es la variable independiente y la
variable dependiente es y.
Ya que nuestra definición deja establecido que una función es un
caso particular de relación, la discusión con respecto a la
intersección, extensión, simetría y dibujo de gráficas de funciones de
la sección anterior se aplica íntegramente. En este caso denotamos el
conjunto de puntos en el plano cartesiano como
(x,y): y = f(x).
Con respecto a la simetría es conveniente introducir una
nomenclatura para cierto tipo de funciones. La simetría con respecto
al eje?y requiere que si (x,f(x)) está en f, entonces como (?x,f(?x))
= (?x,f(x)) también está en f. Esto es, para cada x en Dom f, es
necesario que ?x esté en Dom f y que f(?x) = f(x). Las funciones que
tienen esta propiedad les llamamos funciones pares. Si una función
tiene la propiedad de que para toda x en Dom f también ?x está en Dom
f, y se cumple f(?x) = ? f(x), entonces decimos que la función es
impar. Note que si (x,f(x)) está en f, entonces (?x,f(?x)) = (?x,?
f(x)) está en f. Es decir, si f es una función impar, su gráfica tiene
simetría con respecto al origen.
Ejemplo 3.4 Discuta la intersección, extensión, simetría y dibuje
la gráfica de la función f(x) = 2×2 + 5.
Para hacer un análisis similar al del ejemplo 3.3, usemos la
notación y = f(x). De esta manera tenemos la ecuación
y = 2×2 + 5.
La intersección con el eje?y la obtenemos fácilmente. Sí x=0,
entonces y = 5. Análogamente, si y=0 entonces intentamos resolver
0 = x2 + 5;

56. pero, no existen soluciones reales para esta ecuación; por lo tanto, no hay intersecciones
con el eje?x.
La extensión se obtiene al analizar el dominio e imagen de la
función. Al analizar la ecuación y = f(x) vemos que no existe ninguna
restricción para tener una función completa en los reales, es decir
Dom f = R. Sobre esta base intentamos obtener la imagen de la función.
Para ello despejamos la variable x de la ecuación:
x = + (y ? 5)/2,
y observamos que para que x sea un número real es necesario que y>5; esto es, Im f =
[5,oo). O sea la extensión de la gráfica esta determinada por la región
R = {(x,y): ?oo<x<oo, 5<y<oo}.
En este caso tenemos simetría con respecto al eje?y, puesto que
si (x,y) es solución de la ecuación, entonces (?x,y) también es
solución:
y = 2(?x)2 + 5 = 2×2 + 5.
No hay simetría con respecto al eje?x; como era de esperarse
después de analizar las intersecciones. Por supuesto no hay simetría
con respecto al origen. Sin embargo, con la información anterior es
suficiente para bosquejar la gráfica. Como tenemos el dominio e imagen
de la función, es suficiente con calcular los valores de la función el
algunos puntos x para trazar la figura:
x | ?2 | ?1 | 0 | +1 | +2 |
????????????????????????????
f(x)| 9 | 7 | 5 | 7 | 9 |

57. Ejercicios:
1. Obtenga el dominio e imagen de las relaciones siguientes:
1.1 (3,?1), (2,?5), (0,1), (1,2), (3, 1)
1.2 (2,5), (3,5), (0,5)
1.3 {(x,y): y = x2 ? 1}
1.4 {(x,y): x < ?5 }
1.5 {(x.y): x2 + y2 = 9}
1.6 {(x,y): y = 3x + 7}
1.7 {(x,y): y > x}
1.8 {(x,y): y = ?1}
1.9 {(x,y): x = 6}
1.10 {(x,y): y = 1/x} (Considere las relaciones 1.2 a 1.9 en R x R ).
2. Indique cuáles de las relaciones del ejercicio 1 son funciones y explique por qué.
3. Discuta las intersecciones, extensión, simetría y bosqueje la gráfica de las relaciones
1.3, 1.5, 1.6 y 1.10 del ejercicio 1.
4. Dada la función real f de variable real, f(x) = x3 ? 1, encuentre:
i) f(0) ii) f(?1) iii) f(1) iv) f(t) v) f(s2).
5. Encontrar Dom f, Im f y trazar la gráfica de la función:
f = {(x,y): y = f(x); con x,y en R}.
5.1 y = 2x ? 5

58. 5.2 y = x2 ? 8
?1 si x < 2
5.3 y =
1 si x > 2
3.2 Tipos de funciones
3.2.1 Funciones especiales
Vamos a dar como ejemplos las definiciones de algunas funciones
reales de variable real que aparecen con mucha frecuencia y a las que
asignamos símbolos especiales.
Ejemplo 3.5 Función idéntica.
La función idéntica, denotada por I, es la función con dominio R
y regla de correspondencia I(x) = x.
En esta función tenemos que Im f = R. La gráfica es una recta de
pendiente uno que pasa por el origen:
{(x,x): x está en R}.
Ejemplo 3.6 Función constante.
La función constante tiene dominio R y su Im f = {c}.
Podemos escribir como regla de correspondencia f(x) = c, en tal
caso denotamos a la propia función por c. Como un conjunto de pares
ordenados tenemos {(x,c): x está en R} y su gráfica es una recta
horizontal donde y = c es la intersección con el eje?y.
Ejemplo 3.7 Función valor absoluto.
La función valor absoluto, denotada por | |, es la función con
dominio R y regla de correspondencia
f(x) = |x|, x en R.

59. Esta función y algunas de sus propiedades se estudiaron en el
capítulo 2. Observe que Im | | son los números reales no negativos,
esto es Im | | = [0,oo).
Ejemplo 3.8 Función escalón unitario.
La función escalón unitario, denotada por U, es la función con
dominio R y regla de correspondencia
0, si t < 0
U(t) =
1, si t > 0.
En este caso Im U = {0,1} y su gráfica se ilustra en la figura:
Ejemplo 3.9 Función parte entera.
La función parte entera, denotada por [ ], es la función con
dominio R y con regla de correspondencia
[x] = n, si n<x<n+1, donde n está en Z.
De acuerdo a la definición Im [ ] = Z. Podemos ver que [x] es el
máximo entero no mayor que x. Ilustramos la gráfica a continuación:
Ejemplo 3.10 Función raíz cuadrada.

60. La función raíz cuadrada, denotada por / , es la función con
dominio el conjunto de los números reales no negativos [0,oo) y con
regla de correspondencia
/x = y si y>0 y y2 = x.
En este caso Im/ es también el conjunto de números reales no
negativos. Su gráfica corresponde al conjunto de pares ordenados
{(y,y2): y > 0}.
De acuerdo a los ejemplos de las funciones anteriores, hacemos
resaltar que, en cada caso, hemos especificado el dominio de la
función y su regla de correspondencia y que la imagen de la función
puede entonces determinarse. A menudo, por razones de brevedad y
costumbre, se definen las funciones especificando únicamente su regla
de correspondencia, en cuyo caso deberá entenderse claramente que el
dominio de la función consiste en el subconjunto de R para los cuales
puede tener significado aplicar la regla de correspondencia. Más aún,
cuando nos interesa graficar la función, debemos determinar su dominio
e imagen antes que ninguna otra cosa.
Ejemplo 3.11 Encontrar el dominio e imagen de las funciones:
i) g(t) = / x2 ? x ? 6
ii) f(x) = (9×2 ? 1)/(3x + 1)
x + 4 si x<1
iii) h(x) =
8 si x>1
De acuerdo a las observaciones sobre el dominio e imagen de una
función cuando se especifica sólo la regla de correspondencia tenemos:
i) De acuerdo con la definición de la función raíz cuadrada, el dominio de g consiste de
todos los números para los cuales
x2 ? x ? 6 = (x ? 3)(x+2) > 0.
La desigualdad se cumple cuando uno de los siguientes casos
ocurra:

61. Caso 1. x ? 3 > 0 y x + 2 > 0. Ambas desigualdades se satisfacen en el intervalo [3,oo),
o Caso 2. x ? 3 < 0 y x + 2 < 0. Ambas desigualdades se satisfacen en el intervalo (?oo,?
2].
Combinando los resultados tenemos que el dominio de g consta de
dos intervalos (?oo,?2] y [3,oo) y se dice que tenemos una función de
dos ramas. La imagen de g es el intervalo [0,oo).
ii) Para la función f podemos considerar como dominio R con excepción del punto x = ?
1/3, porque en este caso el valor de la función f(x) no está definido como un número
real. Para los demás puntos en el dominio, observemos que f(x)>0 para x>0, f(x)>0 para
x<0 y f(x)=?1 si x=0; por lo tanto la imagen de f es el intervalo [?1,oo).
iii) De la regla de correspondencia está claro que el dominio de la función son todos los
números reales R. En este caso no hay dificultad para graficar la función h, que se
ilustra a continuación:
De donde se concluye claramente que la imagen de la función es el
complemento del intervalo [5,8) en los reales.
3.2.2 Clases de funciones
Una función, vimos ya, es una relación; pero, el recíproco no es
siempre verdadero, es decir, no toda relación es una función. Es
interesante investigar este punto por su aplicación posterior.
Definición 3.7 Relación inversa.
Sea S una relación, entonces la inversa de S, denotada por S*,
está definida como
S* = {(x,y): (y,x) está en S}.
Supongamos ahora que f es una función y que los pares ordenados
(x,y) y (x,z) ambos pertenecen a la relación inversa f*. Para que f*
sea una función es necesario que y=z. Podemos trasladar esta condición
a la función f: para toda (y,x) y (z,x) ambos en f debe cumplirse que
y=z; o, en otras palabras, si f(y) = f(z), entonces y=z. Podemos
formalizar esta idea mediante la siguiente definición:
Definición 3.8 Función inyectiva.

62. Una función se denomina inyectiva si f(x1)=f(x2) implica x1=x2.
Las funciones inyectivas son aquellas en que dos pares ordenados
distintos de la función no tienen el mismo segundo elemento.
Definición 3.9 Función inversa.
Si f es inyectiva, la función {(f(x),x): x en el Dom f} se
denomina inversa de f y se denota por f*.
La definición nos indica que para obtener f* debemos intercambiar
el primero y el segundo elemento de cada par ordenado de la función f.
Es claro que Dom f* = Im f y que Im f* = Dom f. Si f es inyectiva,
entonces (f*)* = f es una función, así que f* es también inyectiva.
En la sección anterior dimos la definición formal del concepto de
función y enfatizamos que una regla de correspondencia no puede
considerarse función a menos que especifiquemos el dominio. También
mencionamos que cuando se trabaja en base a dos conjuntos dados A y B
con notación f: A?>B se requiere que A = Dom f para que tengamos una
función completa. Este es un camino alternativo para manejar el
concepto de función. Sin embargo, nuestra definición no sólo es más
general sino que, por ejemplo, nos conduce a una visualización más
clara del concepto de gráfica, entre otras aplicaciones.
Dados dos conjuntos A, B y la función completa f: A?>B; en
varias ocasiones se requiere analizar la función en algún subconjunto
E del dominio de la función; es decir E C Dom f. Por supuesto tenemos
otra función a la que denominamos función parcial o función
restringida a E. Usamos la notación f|E para dicha función y al
conjunto de las imágenes lo denotamos por f(E) y le llamamos imagen de
E.
Si f: A?>B es una función completa, le denominamos suprayectiva
si Im f = B; es decir si para toda b en B existe a en A tal que f(a) =
b. Una función se llama biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.
Ejemplo 3.12

63. i) Sea f: R?>R y f(x) = x2. Tenemos que f no es inyectiva puesto que f(?1) = f(1);
Tampoco es suprayectiva ya que f(x)>0 para toda x en R, o sea que ningún elemento
negativo está en Im f. Sin embargo, si tomamos E = [0,oo) y definimos la función
restringida f|E con la misma regla de correspondencia, entonces tenemos que f(E) =
[0,oo). Ahora, es claro que la función es biyectiva.
Ejercicios:
1. En cada uno de los casos considere que la función es real de variable real. Encuentre
el dominio, la imagen y bosqueje la gráfica analizando las intersecciones, extensión y
simetría.
1.1 f(x) = x3 ? 1
1.2 F(x) = |x + 7|
1.3 g(s) = (s2 ? 16)/(s + 4)
1.4 G(t) = /2 ? x2
3x + 5 sí x < ?4
1.5 h(x) =
2 ? 5x sí x > ?4
1.6 H(x) = [2x + 1]
1.7 f(x) = [x2]
2. Clasifique como inyectivas, suprayectivas o biyectivas las funciones de los ejemplos
3.5 al 3.10.
3.3 Operaciones de funciones
Una operación & sobre un conjunto dado S, tal que se realiza
sobre dos de sus elementos se denomina binaria; y a un par (S,&) que
consiste de un conjunto no vaco y al menos una operación binaria le
llamamos sistema. En el capítulo anterior trabajamos con el sistema de
números reales (R,+,.). Nuestra intención en esta sección es construir
los sistemas que nos permitan operar con funciones.
A partir de este punto vamos a utilizar la notación funcional
porque resulta más sugerente al definir las operaciones con respecto
al caso de operaciones con los números reales. Sin embargo, debemos
poner especial atención a las definiciones ya que no todas las
propiedades de éstos son aplicables al caso de las funciones.

64. Conviene señalar lo que entendemos por igualdad de dos funciones.
Si f = g, entonces f y g tienen el mismo dominio y regla de
correspondencia f(x) = g(x) para toda x en el dominio.
Definición 3.7 Suma y producto de funciones.
Si f y g son funciones reales con dominios Domf y Domg
respectivamente, entonces la suma f + g y el producto fg son funciones
con dominio Domf Domg y reglas de correspondencia:
[f + g](x) = f(x) + g(x),
[fg](x) = f(x).g(x) .
Es decir la imagen de f + g es la suma de las imágenes de f y g;
y la imagen de fg es el producto de las imágenes. Cuando sea
conveniente omitimos el símbolo de multiplicación.
Sea F el conjunto de todas las funciones reales de variable real,
es decir, F = { f: f:R??>R } y consideremos las operaciones de suma y
producto de la definición anterior. Nos preguntamos por las
propiedades del sistema (f, +, .).
Teorema 3.2 Propiedades de la suma y producto de funciones.
i) Propiedad de Cerradura.
Si f y g están en F entonces f + g y fg están en F.
ii) Propiedad de Conmutatividad.
Si f y g están en F entonces f + g = g + f y fg = gf.
iii) Propiedad de Asociatividad.
Si f, g y h están en F entonces f+(g+h)=(f+g)+h y f(gh)=(fg)h.
iv) Propiedad de Distributividad.
Si f, g y h están en F entonces f(g + h) = fg + fh.
v) Propiedad de Elementos Neutros.
F contiene dos funciones distintas 0 y 1 tales que f + 0 = f y f1 = f para cualquier f en F.
Las operaciones de suma y producto de elementos de F tiene todas
las propiedades postuladas para las operaciones correspondientes de
números reales con la excepción del axioma de elementos inversos. Esto
es claro si observamos que para una función f cuyo dominio no sea todo

65. R entonces no existe ninguna función g tal que f + g = 0 o fg = 1, ya
que las funciones constantes 0 y 1 tienen dominio R, pero el dominio
de la suma y producto puede no ser R. Sin embargo, podemos formar las
funciones restringidas a un dominio que sea subconjunto de R.
Definición 3.8 Inversos restringidos.
Si f está en F, entonces ?f es la función con el mismo dominio
Dom f y regla de correspondencia
[?f](x) = ? f(x)
Si f está en F, entonces 1/f es la función con dominio los
elementos en Dom f tales que f(x)0 y regla de correspondencia
[1/f] = 1/f(x).
Definición 3.9 Diferencia y cociente de funciones.
Si f y g están en F, entonces f ? g = f + (?g).
Si f y g están en F, entonces f/g = f. 1/g .
Cuando fijamos el dominio o trabajamos con funciones restringidas
a un dominio fijo el sistema (F, +, .) son estructuras denominadas
grupos, con respecto a cada una de las operaciones.
La suma y el producto de cualquier número finito de funciones,
f1+f2+…+fn
y
f1f2…fn
está bien definida en base a la propiedad asociativa. En caso de que todas las funciones
sean iguales podemos representar el producto por fn. Si, además, definimos
f0 = 1 y f?n = 1 /fn, f(x)0
donde n>0, entonces la fórmula
fnfm = fn+m
es válida para todos los enteros n y m en el dominio correspondiente.
Ejemplo 3.12 Función polinomial.

66. Una función polinomial, o simplemente polinomio, es una función
con dominio R y regla de correspondencia
p(x) = anxn + …+ a2×2 + a1x + a0
donde n es un entero no negativo y a0, a1,…, an están en R (an0). Decimos que n es el
grado del polinomio.
Si el grado de una función polinomial es 1, entonces la función
se llama función lineal. La función lineal general está definida por
f(x) = mx + b
Donde m y b son constantes y m0. La gráfica de esta función es una línea recta que
tiene pendiente m y ordenada al origen b. Si el grado de la función polinomial es 2, la
función se llama cuadrática; y si el grado es 3, la función se denomina cúbica, etc.
Si una función se puede expresar como el cociente de dos
funciones polinomiales, la función se llama función racional. La clase
de las funciones racionales es el conjunto de todas las funciones que
se pueden construir a partir de la función idéntica y la función
constante y que usan las operaciones de suma, producto, diferencia y
cociente que hemos definido en esta sección.
Ejemplo 3.13 Determine el dominio y la regla de correspondencia
de f+g, f?g, g?f, fg, f/g y g/f, si
i) f(x) = x3 ? 8,
ii) g(x) = 2x ? 1.
Observemos que f es un polinomio de grado 3 y g es un polinomio
de grado 1; por lo tanto, podemos considerar como dominio de cada una
de ellas a R. Tenemos que:
[f + g](x) = f(x) + g(x) = x3 + 2x ? 9;
[f ? g](x) = f(x) ? g(x) = x3 ? 2x ? 7;
[g ? f](x) = g(x) ? f(x) = ?x3 + 2x + 7;
[fg](x) = f(x)g(x) = 2×4 ? x3 ? 8x + 8.

67. En estos cuatro casos el dominio de la función resultante es R.
Observe que sumas, productos y diferencias de polinomios son a su vez
polinomios. Ahora, tenemos las funciones
[f/g](x) = f(x)/g(x) = (x3 ? 8)/(2x ? 1);
[g/f](x) = g(x)/f(x) = (2x ? 1)/(x3 ? 8).
En estos casos decimos que las funciones son racionales y para
f/g debemos excluir del dominio el punto x=1/2, en tanto que para g/f
excluimos el punto x=2.
Además de las operaciones anteriores, tenemos otra operación que,
a veces, se considera como otra multiplicación de funciones.
Definición 3.10 Composición de funciones.
Si f y g son funciones reales, la composición de f con g,
denotada por fog, es una función cuyo dominio son todos los números x
en Domg tales que g(x) está en Domf y con la siguiente regla de
correspondencia
[fog](x) = f(g(x)).
Las propiedades fundamentales de la operación composición se dan
a continuación.
Teorema 3.3 Propiedades de la composición de funciones.
i) Propiedad de Cerradura.
Si f y g están en F entonces fog está en F.
ii) Propiedad de No Conmutatividad.
La composición no es conmutativa.
iii)Propiedad de Asociatividad.
Si f, g y h están en F entonces (fog)oh = fo(goh).
iv) Propiedad de Elemento Neutro.
F contiene una función, denotado por I, tal que foI = Iof = f para toda f en F.
v) Propiedad de Distributividad.
Si f, g y h están en F, entonces

68. (f+g)oh = foh + goh y (fg)oh = (foh)(goh).
Observe que en este caso tampoco existe la propiedad del elemento
inverso. Es decir, no toda función en F tiene inverso respecto a la
operación composición. Sin embargo, una cierta clase de funciones, las
funciones biyectivas para dos conjuntos dados en F, que habamos visto
en la sección anterior, tienen inversa f*; y pueden considerarse como
el inverso de f con respecto a composición como veremos en la
siguiente sección.
Ejemplo 3.14 Determine el dominio y la regla de correspondencia
de fog y gof, si
i) f(x) = x2 ? 4
ii) g(x) = /x
El dominio de f lo podemos tomar como R, en tanto que el dominio
de g es [0,oo). Tenemos que
[fog](x) = f(g(x)) = f(/x) = (/x)2 ? 4 = x ? 4;
[gof](x) = g(f(x)) = g(x2 ? 4) = /x2 ? 4.
El dominio de fog es el conjunto de elementos x en Domg tales que
su imagen g(x) está en Domf, en este caso [0,oo). Para la función gof
el dominio es el conjunto de números reales para los cuales x2 ? 4 >0
o sea los números que no pertenecen al intervalo (?2,2).
A lo largo de este capítulo y del resto del curso se estará
trabajando con una amplia gama de funciones. Pero, queremos indicar
aquí, que todas ellas se pueden clasificar como funciones elementales
y tienen dos subdivisiones principales que denominamos algebraicas y
trascendentes. Este punto frecuentemente se soslaya porque su
formalización rigurosa requiere de algunos conceptos sofisticados. Sin
embargo, conviene poner en claro la distinción entre unas y otras.
Definición. Función algebraica.
Si A es el conjunto de números algebraicos en R, una función real de variable real se
llama algebraica sí f(A) C A.

69. En particular los conjuntos las funciones polinomiales y las racionales son subconjuntos
del conjunto de funciones algebraicas.
Las funciones elementales que no son algebraicas se denominan funciones
trascendentes. Entre éstas se encuentran las funciones trigonométricas, hiperbólicas,
exponencial y logaritmo que se verán con detalle en capítulos posteriores.
Ejercicios:
1. Determine el dominio y la regla de correspondencia de:
f+g, f?g, f/g, g/f, fog y gof.
1.1 f(x) = 2x ? 1; g(x) = x + 10.
1.2 f(x) = 3 ? 3x; g(x) = /x2 + 3.
1.3 f(x) = x2 ? 7x + 6; g(x) = x2 ? 2x ? 15.
1.4 f(x) = (x3 ? 1); g(x) = 1/x.
1.5 f(x) = (x?2)/x2 g(x) = (x + 3)/x3.
2. Demuestre el Teorema 3.2.
3. Demuestre el Teorema 3.3.
4. La función In con dominio R y regla de correspondencia In(x)=xn donde n es un
entero positivo impar es biyectiva y por lo tanto tiene inversa que denotamos por I1/n,
tiene dominio R y regla de correspondencia I1/n(x) = /x. Restrinja el dominio de In y
encuentre la inversa en el caso de que n sea un entero positivo par.
3.4 Función inversa
Dados dos conjuntos A y B, la función f* es la inversa de f con
respecto a la operación composición si es biyectiva y se cumple que:
f*of = I para toda x en A; y
fof* = I para toda x en B.
Para cualquier x en A = Dom f tenemos que
[f*of](x) = f*(f(x)) = x = I(x),

70. Que prueba la primera proposición. Para cualquier x en B = Domf* tenemos que
[fof*](x) = f(f*(x)) = f**(f*(x)) = x = I(x),
Donde usamos que f** = f. Las propiedades anteriores de f* justifican que le llamemos
el inverso de f con respecto a composición. En algunos casos se utiliza la notación f?1
para la función inversa; pero debemos ser cuidadosos de que en éstos se refiere a la
composición de funciones.
Si f es una función biyectiva
f = {(x,y): y = f(x), x está en Dom f};
descrita por la fórmula y= f(x), entonces
f*(y) = f*(f(x)) = x;
es decir, podemos determinar f* resolviendo la fórmula para x, y así obtener la regla de
correspondencia para f*.
Ejemplo 3.15 Si f y g son funciones descritas por las reglas de correspondencia:
f(x) = 2x ? 3, y g(x) = /x + 5;
determine las funciones inversas f* y g*.
Sea y = f(x) si tomamos como Domf = R, entonces Imf=R; y la función f es biyectiva,
por lo tanto tiene inversa. De la fórmula
y = 2x ? 3,
despejamos la variable x para obtener
x= (y + 3)/2
de donde
f*(y) = (y + 3)/2
y Domf* = Imf = R. Cambiamos ahora el nombre de la variable y por x y escribimos
f*(x) = (x + 3)/2.
Comprobamos ahora que fof* = I y f*of = I,
f(f*(x)) = f((x +3)/2) = 2((x + 3)/2) ? 3 = x + 3 ? 3 = x;
f*(f(x)) = f*(2x ?3) = [(2x ? 3) + 3]/2 = 2x/2 = x.

71. Procedemos de manera análoga con la función g. Si tomamos como Domg = [?5,oo),
entonces Img = [0,oo) y en este caso la función g es biyectiva. De la fórmula
y = /x + 5
despejamos la variable x, tomamos g*(y) = x e intercambiamos los nombres de las
variables para obtener
g*(x) = x2 ? 5
y Domg* = Img = [?5,oo). Además, comprobamos que
g(g*(x)) = /(x2 ? 5) + 5 = x;
g*(g(x)) = (/x + 5)2 ? 5 = x.
Vimos antes cómo se puede elaborar la gráfica de una función real de variable real. En
general podemos construir la gráfica de la función inversa f* a partir de la gráfica de la
función f. Si consideramos a f como un conjuntos de pares ordenados (x,y) tal que y =
f(x), tenemos
f = {(x,f(x)): x en Dom f};
entonces f* es el conjunto de pares ordenados
f* = {(f(x),x): x en Dom f}.
Por supuesto que Dom f* = Im f. Este último conjunto de puntos (f(x),x) es la imagen
refleja de los puntos (x,f(x)) con respecto a la recta
{(x,x):x en R}
que no sino la gráfica de la función idéntica. Esta propiedad geométrica de la gráfica de
la función inversa representa simplemente que fof* = f*of = I.
Ejemplo 3.16 A partir de la gráfica de f obtenga la gráfica de su inversa, si f(x) = x3.
La función f es un polinomio de grado 3, de manera que podemos tomar como dominio
R. La imagen de la función es también R. Claramente la función es biyectiva y en
consecuencia tiene inversa:
f*(x) = x1/3.
Tenemos que f es una función impar, es decir simétrica con respecto al origen; su
extensión es la región determinada por los cuadrantes primero y tercero; pero es
suficiente con que la dibujemos en el primer cuadrante. Después reflejamos la gráfica
con respecto a la recta y = x y obtenemos la gráfica de f*:

72. Ejercicios:
1. Determine, si existe, la inversa de las funciones que se indican, especificando el
dominio de cada una de ellas.
1.1 f(x) = 1/(x2 + 1)
1.2 f(x) = /x2 + 2x
1.3 f(x) = x3 + 5
2. Construya la gráfica de la inversa a partir de la gráfica de la función dada en el
ejercicio 1.

74. Representación grafica de funciones
Representación gráfica de funciones Se llama estudiar una función al conjunto de las
tareas encaminadas a determinar los elementos que definen su comportamiento para los
diferentes intervalos de valores de su dominio. Crecimiento, concavidad, tendencias
asintóticas y otras informaciones relacionadas sirven de ayuda para conocer la conducta
de las funciones matemáticas y extraer datos de optimización relevantes para los
problemas prácticos. Estudio de una función Para estudiar el comportamiento de una
función, se aplica un procedimiento sistemático que comprende los puntos siguientes:
Determinación de su dominio de definición (ver t45). Búsqueda de simetrías y
periodicidades (ver t45). Fijación de los puntos de corte con los ejes (ver t45). Cálculo
de las asíntotas. Tendencias de crecimiento y decrecimiento, con determinación de los
máximos y los mínimos relativos (ver t45). Concavidad, convexidad y puntos de
inflexión (ver t45). Análisis del comportamiento de la función en las distintas regiones
del plano. Representación gráfica. Asíntotas de una función Después de determinar el
dominio de definición, las simetrías y periodicidades y los puntos de corte con los ejes,
el estudio de la función prosigue con la búsqueda de asíntotas, definidas como las rectas
a las que tiende la función en el infinito.
Una función tiene como asíntota horizontal la recta de ecuación y = b si cuando x tiende
a +¥ o -¥ la función tiene al menos un límite lateral cuyo valor es b. La función tiene
como asíntota vertical la recta de ecuación x = a cuando en dicho punto existe al menos
uno de los límites laterales y su valor es +¥ o -¥. Para que la función tenga como
asíntota oblicua una recta de ecuación y = mx + n, siendo m ¹ 0, tiene que existir alguno
de los dos límites siguientes, y ser nulo:
Los valores de la pendiente m y la ordenada en el origen n se determinan como:
Tendencias, concavidad y puntos singulares Después de fijar el valor de las asíntotas, se
procede a establecer las tendencias de crecimiento y decrecimiento de la función. Para
ello se determinan:
Los máximos relativos (ver t45), puntos donde la derivada primera de la función se
anula y la derivada segunda es estrictamente negativa. Los mínimos relativos (ver t45),
donde la primera derivada se anula y la derivada segunda es estrictamente positiva. Si la
segunda derivada es también nula, se estudia la tercera derivada de la función en el
punto. Cuando ésta es distinta de cero, se trata de un punto de inflexión (ver t45); si es
nula, se han de analizar las derivadas de orden superior.

75. Del análisis de máximos y mínimos se determina la tendencia creciente o decreciente de
la función (ver t45). Los puntos de inflexión sirven para conocer si es cóncava o
convexa:
Una función f (x) es cóncava hacia arriba (convexa) en un intervalo cuando su derivada
f ’ (x) es monótona creciente y su segunda derivada f “ (x) es positiva en dicho
intervalo. La función es cóncava hacia abajo (cóncava) si f’(x) es monótona decreciente
y f”(x) es negativa en el intervalo. Regiones del plano Una vez conocidos el dominio de
definición, las simetrías, los cortes con los ejes, las asíntotas, los puntos críticos, el
crecimiento y la concavidad de una función, para representarla visualmente se divide el
plano en regiones que ayuden a conocer su comportamiento.
Ejemplo de regionalización de una función para el análisis gráfico de su
comportamiento.
Las informaciones obtenidas del estudio de una función se pueden complementar con
una breve tabla de valores que ayude a fijar exactamente la posición de las diversas
ramas de la función. Con ello, su evolución en el plano quedará perfectamente definida,
y el trabajo de estudio terminado. ver t45
2.2 Formas de representación de una función:
Lineal x
Enteros Cuadrática x2
Cúbica x3
Algebraica
Inversa lineal 1/x
Inversa cuadrática 1/x2
Fraccionarios Inversa cúbica 1/x3
Irracionales
Seno
y= sen x
coseno
y= cos x
tangente
y= tan x
Trigonometricas Directas cotangente y=
ctg x
secante y= sec x

76. cosecante
y= csc x
Trascendentes
sen-1
y= sen-1 x
cos-1
y= cos-1x
tan-1
y= tan-1 x
ctg-1
y= ctg-1 x
Inversas sec-1
y= sec-1 x
Exponenciales csc-1 y= csc-1 x
Logarítmicas y= In x ℮x
Especiales Valor absoluto y= I x I Identidad Máximo entero

77. T45
Estudio de funciones (t45)
En el planteamiento de problemas típicos es frecuente manejar funciones matemáticas
que describen los fenómenos y que conviene optimizar. Para ello se procede
comúnmente al estudio de los puntos singulares de la función y al análisis de sus
tendencias de crecimiento y decrecimiento dentro de un marco concreto de valores.
Dominio, simetrías y corte con los ejes
Para estudiar una función, lo primero que suele hacerse es determinar su dominio de
definición, esto es, el conjunto de valores de la variable para los cuales la función toma
valor real.
Seguidamente se procede a estudiar la posible existencia de simetrías y periodicidades
en la función, y se determinan los puntos de corte de la misma con los ejes:
• Una función f (x) es simétrica con respecto al origen de coordenadas si se cumple que
f (-x) = - f (x), y es simétrica con respecto al eje vertical cuando f (-x) = f (x). Para
determinar otros tipos de simetría se pueden realizar giros y traslaciones de los ejes del
sistema de referencia en el sentido que corresponda.
Ejemplos de funciones simétricas.
• Una función es periódica si se repite a intervalos fijos del valor de la variable, es decir,
si f (x) = f (x + p) = f (x – p) = f (x + -p) = f (x - 2p) = …, siendo p el periodo de la
función.
• El corte de una función con el eje horizontal se determina haciendo f (x) = 0 y
resolviendo la ecuación resultante. La intersección con el eje vertical se obtendrá
calculando el valor de la función correspondiente a aquel para el cual se anula la
variable independiente: y = f (0).
Crecimiento y decrecimiento

78. Otro aspecto importante en el estudio de una función consiste en analizar sus tendencias
de crecimiento o decrecimiento. Una función se denomina estrictamente creciente en un
intervalo (a, b) cuando para todo par de puntos de dicho intervalo, denotados por x1 y
x2, se verifica que si x1 < x2, entonces f (x1) < f (x2). Análogamente, será estrictamente
decreciente en el intervalo si para todo x1 < x2 se cumple que f (x1) > f (x2).
Dada una función derivable en un intervalo (a, b), dicha función será:
• Creciente en el intervalo, si su derivada es positiva para todo punto del intervalo.
• Decreciente, cuando su derivada es negativa en todos los puntos del intervalo.
• Constante, si la derivada es nula en todo el intervalo.
Máximos, mínimos y puntos de inflexión
Los puntos del dominio de una función en los que se modifica la tendencia de
crecimiento de la misma se denominan máximos y mínimos relativos.
• Un máximo relativo en un intervalo es todo punto del mismo en el que una función
pasa de creciente a decreciente.
• Se llama mínimo relativo de una función en un intervalo a cualquiera de los puntos del
mismo en que la función pasa de decreciente a creciente.
Para determinar exactamente la posición de los máximos y mínimos relativos de una
función derivable en un intervalo, se procede al siguiente análisis:
• La primera derivada de la función en el punto analizado debe ser nula[f ’ (a) = 0].
• Si la segunda derivada es positiva [f ” (a) > 0], el punto es un mínimo relativo.
• Cuando la segunda derivada es negativa [f ” (a) < 0], se trata de un máximo relativo.
Si esta segunda derivada es nula, se estudia la tercera derivada, con las siguientes
posibilidades:
≠• Cuando esta tercera derivada es distinta de cero [f ”’ (a) 0], se trata de un punto de
inflexión, esto es, un punto en el que la curva cambia de concavidad (ver t46).

79. • Si esta derivada tercera fuera también nula, habría que analizar las derivadas de orden
superior para determinar si el punto es un máximo o mínimo relativo o un punto de
inflexión.
Reglas de la optimización de funciones
Para optimizar una función matemática que describe un problema real se aplican
normalmente las siguientes reglas prácticas operativas:
• Se determina la expresión algebraica de la función analizada según los datos
disponibles del problema.
• Se simplifica esta expresión para reducirla a una función de una sola variable.
• Se estudia la posición de los máximos, los mínimos y otros puntos singulares.
• Se interpretan los resultados dentro del contexto definido por el problema.
Ejemplos
La función de este ejemplo no está definida en los puntos x = 3 y x = −3. Por tanto, su
dominio de definición es D = R - {−3, 3}.
La función seno ofrece un ejemplo de función periódica, ya que sus valores se repiten
exactamente en puntos de la variable separados por una distancia igual a 2p.
Intervalos de monotonía
Ilustración de los puntos críticos de una función en un intervalo.
Se entiende por intervalos de monotonía de una función dentro de su dominio de
definición a la sucesión continua de valores de la variable en los cuales la función es
estrictamente creciente (monótona creciente) o estrictamente decreciente (monótona
decreciente).

80. Función polinómica
Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.
Saltar a navegación, buscar
Se llama función polinómica a toda función que se pueda expresar de la
forma x → P(x) donde P es un polinomio en x, es decir, una suma finita de
potencias de x multiplicadas por ciertos coeficientes.
En particular, las:
 funciones lineales vienen dadas por un polinomio de primer grado, ax +
b.
 funciones cuadráticas vienen dadas por un polinomio de segundo grado,
ax2+ bx + c.
 funciones cúbicas vienen dadas por un polinomio de tercer grado, ax3 +
bx2 + cx + d.

81. ATENCION: Cambio de licencia a cc-by-sa 3.0 por votación desde el 1 de
Agosto del 2009
Ecuación de segundo grado
Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.
Saltar a navegación, buscar
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se
puede poner bajo la forma reducida:
,
donde a, b y c (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo,
usualmente a R o a C.
[escribe] I El caso general
Sea K un cuerpo conmutativo, donde se puede extraer raíces cuadradas.
En un cuerpo es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la conmutatividad
implica las siguientes identidades:
Para resolver la ecuación ax2 + bx + c = 0, es preciso factorizarla en dos
binomios de primer grado:
Sean Δ = b2 − 4ac y d2 = Δ. Entonces:

82. Primero se factoriza por a, lo que es posible porque a tiene un inverso,
luego se introduce un término que completa los dos primeros en un
cuadrado, que aparece en (1). El número d es una de las dos raíces del
discriminante Δ = b2 − 4ac. Se utiliza la primera identidad anunciada, y se
obtienen dos factores de primer grado. En un cuerpo, un producto es nulo si
y sólo si uno de sus factores lo es (un cuerpo es un dominio íntegro), lo que
da las soluciones:
La igualdad: da, al desarollar el
segundo miembro e identificar los coeficientes:
Recíprocamente, si conocemos la suma y el producto de dos números,
podemos escribir la ecuación de segundo grado cuyas raíces son estos
números:
X2 - SX + P = 0 (S = suma, P = producto, y se ha tomado a = 1)
[escribe] II El caso real
Si a,b y c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto válido,
pero es práctico distinguir dos casos, según el signo del discriminante Δ = b2
− 4ac:
 Si Δ ≥ 0, entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las
soluciones son:

83.  Si Δ < 0, entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es preciso
emplear números complejos: para d se puede tomar la raíz cuadrada de
- Δ, multiplicado por i (que verifica i2 = -1), pues:
y las soluciones son:
Según los signos de Δ y a; la curva de x → ax2 + bx + c se posiciona así con
relación a los ejes:
[escribe] III Interpretación geométrica
Siglos antes de resolver algebráicamente la ecuación de segundo grado, se
encontraron soluciones utilizando un método geométrico, interpretando los
términos como áreas, y distiguiendo varios casos pues no se conocían los
números negativos (y menos aún las áreas negativas).
El caso más común es: x2 + bx = c, con b y c positivos.
x2 es obviamente el área de un cuadrado de lado x, y bx la de un rectángulo
de lados b y x.

84. Se parte este en dos, y se lo coloca alrededor del cuadrado, con el
propósito de construir un cuadrado mayor.
luego se añade un
pequeño cuadro
de lado b/2 para
completar el cuadro
Para conservar la igualdad, se debe hacer lo mismo con el área c.
El área del cuadrado es , por lo tanto su lado mide la raíz cuadrada de esta cantidad.
Restándole , obtenemos el valor de x (en las figuras, b = 4, y x = 3).
Este método no permite encontrar las soluciones negativas, y si son ambas
positivas, sólo se obtiene la que lleva la raíz con el signo + .
Autor: M.Romero Schmidtke

85. http://enciclopedia.us.es/index.php/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado
Categoría: Matemáticas

86. Función racional
Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.
Saltar a navegación, buscar
Las funciones racionales son funciones obtenidas al dividir una función
polinomial por otra no idénticamente nula.
Están definidas en todos los números que no anulan el polinomio
denominador, es decir, en todos los números reales menos una cantidad
finita, que será igual al número de raíces reales del polinomio denominador.
Una función racional está definida en todo R si el polinomio denominador no
tiene raíces reales.

87. Función raíz
Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.
Saltar a navegación, buscar
Sea n un número natural no nulo. La función
define una biyección, de
hacia
si n es impar, y de
= [0; +∞[ si n es par.
Se llama función raíz enésima o función raíz de orden n a su función
recíproca, que se nota de dos maneras:
Como consecuencia de esta "reciprocidad", Para todo n natural, a y b reales
positivos, tenemos la equivalencia:
En el gráfico siguiente, se han dibujado las curvas de algunas raíces, así
como de sus funciones recíprocas, en el intervalo [0;1]. La diagonal de
ecuación y = x es eje de simetría entre cada curva y la curva de su
recíproca.

88. Cambiando de escala se ve la parte negativa de las raíces de orden impar:
La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se
escribe sin superíndice:

89. en vez de
. La raíz de orden tres se llama raíz cúbica (
). La raíz cuarta se calcula así:
Existe un método manual de calcular la raíz cuadrada parecida a una
división.
El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo y
exponencial:
Esta relación es también valida para valores no enteros de n, aunque no se
suele hablar de "raíz de orden 2,5" por ejemplo.
Todos los ordenadores y calculadoras emplean esta fórmula. El problema es
que este cálculo no funciona con los x negativos, porque el logaritmo usual
solo está definido en ]0; +∞[.
Existe una tendencia, todavía minoritaria, de seguir la definición de las
calculadores y por tanto de restringir el dominio de definición de las raíces a
]0; +∞[.