El documento expone la ley cuadrado-cúbica, que establece que al aumentar el tamaño de un objeto, su superficie crece al cuadrado y su volumen al cubo, lo que influye en propiedades físicas como resistencia y peso. Se utilizan ejemplos de distintos seres vivos para ilustrar cómo estos cambios de escala afectan la fuerza relativa y las necesidades alimenticias. Además, se discuten implicaciones de tamaño en la comunicación entre especies y limitaciones de animales pequeños en su interacción con el entorno.

1. Ley cuadrado cúbica Cuando un objeto crece sin cambiar de forma, su superficie crece como el cuadrado de alguna longitud característica (por ejemplo su altura) mientras que el volumen crece como el cubo de dicha cantidad. Galileo (1564-1642)

2. Cambios de escala Para comparar figuras semejantes de distintos tamaños se emplea el factor de escala f . La razón entre las longitudes de dos segmentos homólogos cualesquiera guarda una relación constante igual al factor de escala a’ a b b’

3. ¿Qué se deduce de la ley? Existen propiedades físicas de un cuerpo que dependen de su superficie y otras de su volumen. Estas últimas crecen más deprisa que las primeras, según la ley cuadrado-cúbica. En consecuencia, una variación de tamaño puede comportar diferencias notables.

4. Un ejemplo Es por eso que... La resistencia de una columna, por ejemplo del pedúnculo que sostiene una manzana, es proporcional a su sección (área). Al duplicar el tamaño, la resistencia se incrementará cuatro veces. El peso de cualquier cuerpo es proporcional a su volumen. Si duplicamos el tamaño de una manzana, por ejemplo, su peso se incrementará ocho veces. ( ) ( ) Las manzanas cuelgan de los árboles y las sandías crecen en el suelo

5. Un gorila real mide aproximadamente 1’80 m. y pesa unos 230 kg. King Kong ¡130 toneladas! King Kong es un gorila de proporciones aumentadas hasta un tamaño aproximado de 15 m. Como el factor de escala es aproximadamente 8’3, su peso sería 8’3 al cubo veces el de un gorila real, es decir, El mayor bípedo que ha existido sobre la Tierra, el Tyrannosaurus Rex, pesaba 6 toneladas.

6. Hormigas gigantes En Them! , hormigas sometidas a la radiación de una prueba nuclear crecen hasta los 10 m. Una hormiga común mide aproximadamente un centímetro y pesa escasamente un gramo. El factor de escala de esta transformación es 10 m / 1 cm = 1000. El peso de una de estas superhormigas es entonces de ¡1000 toneladas! ¿Podrán soportar su propio peso?

8. Fuerza relativa La fuerza relativa de un animal se define como el cociente = El numerador es proporcional a la sección muscular (área) y el denominador al volumen por lo que la fuerza relativa ... es inversamente proporcional al tamaño . F R Peso que puede levantar Peso del animal

9. De hombres y hormigas La fuerza relativa de una hormiga es del orden de 3. La de un hombre es 1. ¿Son, por tanto, más fuertes las hormigas? Para poder comparar tenemos que llevar hombres y hormigas a un tamaño similar. Si hacemos crecer una hormiga hasta 1’80 m. (factor de escala 180) su fuerza relativa decrece hasta... ... 1/60 . ¡No tendrían fuerza ni para mover una de sus patas!

10. Comparación de tamaños

11. Récords humanos Robert Wadlow. 272 cm

12. Pauline Musters 61 cm Gul Mohammed 57 cm Lucía Zárate ¿56 cm? A los 18 pesaba 2,4 kg. Amasó una gran fortuna cobrando por su compañía en los EE.UU.

13. Problemas gigantes Soportar el peso Asfixia Insuficiencia renal Aspecto: Una mejilla humana presenta una superficie de 25 cm y tiene 1 cm de grosor. Su peso para un humano 8 veces mayor sería de unos 15 kg. Teniendo en cuenta la falta de rigidez de la carne y la grasa... 2

14. ¿Problemas pequeños? ¿Es que no piensas más que en comer? Hacia 1830, Rameaux y Sarrus se percataron de que los animales perdían calor a través de la superficie corporal, en tanto que su capacidad de producir calor estaba relacionada con su volumen. En los animales de sangre caliente la pérdida de calor determina muy aproximadamente las necesidades alimenticias. ¿Y la ley cuadrado-cúbica?

15. Según Swift, Gulliver puede vivir uno o dos días con una pata de cordero y una hogaza de pan. Los hombrecillos de Liliput son 12 veces menores que Gulliver. Sus requerimientos alimenticios son, por tanto, 144 veces menores (como su superficie). ¡Deben comerse 12 patas de cordero y 12 hogazas al día ! Pero, como sus patas de cordero y sus hogazas de pan tienen un volumen 12 veces inferior… 3

16. Es fácil observar este hecho en la naturaleza Una persona normal ingiere 1/50 de su peso repartido en tres comidas diarias. El mamífero más pequeño, la musaraña enana no sobrepasa los 2’5 gr. e ingiere todos los días varias veces su propio peso.

17. ¡Mala idea! Dr. Cyclops (1940) Un fusil de 4 kg y una bala de 20 g que es impulsada a 300 m/s producen un retroceso de 1’5 m/s. Supongamos para el tipo que apunta un factor de reducción de 12. La ley cuadrado-cúbica le asigna un peso de unos 40 g. Aplicando de nuevo la conservación del momento uno puede darse cuenta del pedazo de h... que se va a llevar el tipo.

18. Si eres grande no te caigas Un objeto en caída libre en un fluido como el aire alcanza la velocidad límite cuando su peso iguala a la resistencia que opone el fluido a su avance. Para velocidades no muy elevadas la resistencia es proporcional a la superficie del cuerpo que cae. Ley cuadrado-cúbica La velocidad límite es proporcional al tamaño.

19. John B. S. Haldane (1928) Si arrojamos un ratón a un pozo de 800 metros, al llegar al fondo se dará un ligero golpe y saldrá corriendo, siempre que el suelo sea lo bastante blando. Una rata se mataría, un hombre se descoyuntaría y un caballo estallaría.

20. ¿Caminar sobre las aguas o bucear? Tensión superficial Es la diferencia entre la energía por unidad de área de una capa de moléculas situadas en la superficie y la correspondiente a una capa interior. La tensión superficial hace que la superficie libre de los líquidos se comporte como una membrana elástica. Energía por unidad de área equivale a fuerza por unidad de longitud. Es decir, la fuerza que experimenta un objeto en la superficie de un fluido debida a la tensión superficial es proporcional al tamaño .

22. Número de Reynolds El movimiento de un objeto o animal en el seno de un fluido viene determinado por la relación existente entre las fuerzas de inercia (dependientes de la masa y la velocidad del objeto) y las fuerzas viscosas que actúan sobre el mismo. El cociente entre ambas fuerzas es el número de Reynolds (en honor al ingeniero Osborne Reynolds) que, en el caso de animales, depende del tamaño . Animales grandes tienen números de Reynolds grandes, por lo que son buenos nadadores. Animales pequeños tienen números de Reynolds pequeños, por lo que avanzan difícilmente en un fluido.

24. ¿Cuál dirías que es el perro grande y cuál el pequeño? Comunicación entre dos mundos

25. León: Peso normal 135-225 kgs., aunque puede alcanzar los 340. Altura del lomo 1 m., longitud: 2'5 m Lince rojo: Pesa 7-16 kgs., altura del lomo 25 cms., longitud máxima 1 m.

28. Según un sesudo análisis matemático de D’Arcy Thompson , la relación entre el tamaño del cuerpo y la frecuencia sonora emitida va con el inverso del tamaño al cuadrado: así, el doble de grande, cuatro veces más grave (baja 2 octavas). En realidad, como cualquiera que se moleste en hacer la comprobación experimentalmente, la relación es ¡lineal! El doble de grande, dos veces más grave (baja 1 octava). Además, (como la frecuencia es el inverso del periodo) cuanto más grande es un animal, más lentas deben ser sus vocalizaciones. v = L  = v/L De hecho, en una cavidad resonante se cumple:

29. Si reescalo una ballena al tamaño de un delfín, y en la misma proporción el sonido que acabamos de oír:

30. Comparémoslo con un delfín real: Si reescalo un delfín al tamaño de una ballena, y en la misma proporción el sonido que acabamos de oír:

33. La voz humana, como la de Gulliver, tiene una frecuencia fundamental cercana a los 150 Hz para los hombres y 250 Hz para las mujeres. Como los habitantes de Liliput son 12 veces menores, la frecuencia fundamental de sus voces será 12 veces mayor, es decir de unos 1800 Hz . Los gigantes de Brobdingnag son, por el contrario, 12 veces mayores que Gulliver, por lo que la frecuencia fundamental de sus voces será 12 veces menor, es decir del orden de 12 Hz . Pero el intervalo de frecuencias audibles por un humano está entre ¡20 y 20.000 Hz! ¡¡A los habitantes de Brobdingnag no los podríamos oír!! “ un saludo sonaría así”

34. ¡Qué conversación más aburida! Supongamos por un momento que Gulliver tiene un oído privilegiado y se encuentra con un brobdingnaguiano. le dice Gulliver, empleando más o menos un segundo en emitir todas las vibraciones sonoras necesarias. - Buenos días contesta el gigante, empleando... - Buenos días ¡doce segundos! (Recordemos que el periodo y la frecuencia son inversamente proporcionales)

35. ¿Qué falla? King kong (1933) La mosca (1958) ¿Qué tal éste?

36. Un final Tranquilizador Muchas veces hemos oído que las hormigas heredarán la Tierra. Frits W. Went , en 1968, argumentó en contra de una sociedad más avanzada de hormigas. Veamos algo de lo que dijo:

37. Hormigas, sois unas canijas ... Las hormigas no pueden usar el fuego. La mínima llama estable de una fogata es mayor que una hormiga. Son demasiado pequeñas para añadir combustible. II. No pueden servirse de herramientas. Un mini martillo no tiene energía cinética suficiente ni para clavar una mini tachuelilla. Lanzas, flechas y mazas serían igualmente inútiles. III. No pueden usar libros. Las finísimas páginas de un libro hormiga no podrían despegarse debido a las fuerzas intermoleculares, muy importantes a escala hormiga. Además, en una cabeza de hormiga no caben neuronas suficientes para interpretar lo leído.

38. … y unas guarras. IV. No pueden lavarse. Las gotas de agua tienen un tamaño mínimo. Una ducha para una hormiga sería algo parecido a una lapidación. Si lo consiguiera, la tensión superficial la atraparía en la gota, como ocurre a los insectos que caen en nuestros vasos. La quitina que recubre su cuerpo repele el agua por lo que también es muy difícil que pueda bañarse en una gota. Eso sí (y no es por dar ideas), las tiras desde donde quieras y se van tan campantes.

39. Objects in mirror are closer than they appear