Este documento describe la estructura de datos DCEL (Doubly Connected Edge List) para representar subdivisiones planares. La DCEL almacena información topológica y geométrica de vértices, aristas y caras de una subdivisión planar. Cada arista está compuesta por dos semiaristas gemelas orientadas en sentidos opuestos. La DCEL permite realizar operaciones eficientes como determinar áreas adyacentes y vértices incidentes.

1. Geometría Computacional:
DCEL
Maikel Arcia
Miguel Sancho

2. Ríos
Calles
Ejemplo: Toma de Desiciones Regionales

3. Ríos
Calles
Ejemplo: Toma de Desiciones Regionales
 Posibles Puentes

4. Ríos
Calles
 Posibles Puentes
Posibles áreas para
el desarrollo de
Granjas Productoras
de Leche.
Ejemplo: Toma de Desiciones Regionales

5.  ¿ Qué áreas pueden quedar
incomunicadas por el crecimiento
de los ríos?
 ¿ Qué aéreas potenciales para el
desarrollo del ganado están bajo
propiedad campesina ?
 ¿ Qué puentes son necesarios
construir o reparar ?
Ejemplo: Toma de Desiciones Regionales

6. Problema: Organizar la Información de un mapa
 Los trazos de un mapa pueden ser curvos.

7. Problema: Organizar la Información de un mapa
 Los trazos de un mapa pueden ser curvos.

8. Problema: Organizar la Información de un mapa
 Los trazos de un mapa pueden ser curvos.
 Las curvas pueden
ser representadas
por secuencias de
pequeños
segmentos.

9. Problema: Organizar la Información de un mapa
 ¿Existe alguna relación entre los segmentos que
representan el mapa?
 Estructura candidata: Grafos.

10. Problema: Organizar la Información de un mapa
 ¿Existe alguna relación entre los segmentos que
representan el mapa?
 Estructura candidata: Grafos.
Los extremos de
los segmentos
deben estar
conectados.

11. Problema: Organizar la Información de un mapa
 Los grafos solo guardan información sobre los
vértices y las aristas que los conectan.
 Problema: ¿Cómo determinar las áreas
adyacentes a un área determinada?

12. Problema: Organizar la Información de un mapa
 Los grafos solo guardan información sobre los
vértices y las aristas que los conectan.
 Problema: ¿Cómo determinar las áreas
adyacentes a un área determinada?

13. Problema: Organizar la Información de un mapa
 Las áreas o caras del grafo pueden requerir estar
etiquetadas con alguna característica.
Terreno Irregular
Llanura
Zona Húmeda
? Llanos Húmedos
? Terrenos Irregulares
Húmedos
 Las etiquetas de las caras resultantes de un
solapamiento de mapas son combinaciones de
las etiquetas de las caras que se solapan.

14. Problema: Organizar la Información de un mapa
 Las áreas o caras del grafo pueden requerir estar
etiquetadas con alguna característica.
Terreno Irregular
Llanura
Zona Húmeda
? Llanos Húmedos
? Terrenos Irregulares
Húmedos
 Las etiquetas de las caras resultantes de un
solapamiento de mapas son combinaciones de
las etiquetas de las caras que se solapan.

15. Problema: Organizar la Información de un mapa
 Los mapas no son un conjunto de segmentos,
sino un conjunto de áreas etiquetadas por su
características tipológicas.
 Su representación debe permitir realizar
operaciones de manera eficiente y tales como:
 Determinar los límites de un área.
 Conocer las áreas adyacentes a una cara.
 Determinar las caras que confluyen en un vértice.

16.  Determinada por un grafo
planar.
 Es conexa si el grafo es
conexo
 Los nodos del grafo son
considerados vértices y los
arcos aristas
 Las caras están delimitadas
por las aristas y los vértices
 Las caras pueden presentar
huecos
Mapas como una Subdivición Planar

17.  Determinada por un grafo
planar.
 Es conexa si el grafo es
conexo
 Los nodos del grafo son
considerados vértices y los
arcos aristas
 Las caras están delimitadas
por las aristas y los vértices
 Las caras pueden presentar
huecos
Mapas como una Subdivición Planar
Vértice
Cara
Arista
Hueco
Subdivisión
no conexa

18. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
DCEL : Doubly-Conected Edge List
 Estructura de datos espacial para representar
subdivisiones planares.
 Contiene una referencia por cada cara, arista y
vértice de una subdivisión.
 Para cada referencia se almacena información
 Geométrica: Coordenadas.
 Topológica: Relación Vértices –Aristas.
 Adicional: Etiquetas de las Caras.

19. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Lista Doblemente Conectada
 Cada arista tiene una
referencia a su arista
previa y siguiente.

20. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Lista Doblemente Conectada
 Cada arista tiene una
referencia a su arista
previa y siguiente.

21. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Lista Doblemente Conectada
 Cada arista tiene una
referencia a su arista
previa y siguiente.

22. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Lista Doblemente Conectada
 Cada arista tiene una
referencia a su arista
previa y siguiente.

23. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Lista Doblemente Conectada
 Cada arista tiene una
referencia a su arista
previa y siguiente.

24. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Lista Doblemente Conectada
 Cada arista tiene una
referencia a su arista
previa y siguiente.
e
Prev(e)
Next(e)

25. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Lista Doblemente Conectada
 Cada arista tiene una
referencia a su arista
previa y siguiente.
e
Prev(e)
Next(e) Las aristas delimitan las
caras. ¡Pero cada arista
delimita dos caras!

26. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Lista Doblemente Conectada
 Cada arista tiene una
referencia a su arista
previa y siguiente.
e
Prev(e)
Next(e) Las aristas delimitan las
caras. ¡Pero cada arista
delimita dos caras!
 Cada arista estará
compuesta por dos
semiaristas gemelas
orientadas en sentidos
opuestos.

27. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Lista Doblemente Conectada
 Cada arista tiene una
referencia a su arista
previa y siguiente.
e
Prev(e)
Next(e) Las aristas delimitan las
caras. ¡Pero cada arista
delimita dos caras!
 Cada arista estará
compuesta por dos
semiaristas gemelas
orientadas en sentidos
opuestos.
Twin(e)

28. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Lista Doblemente Conectada
 Cada arista tiene una
referencia a su arista
previa y siguiente.
e
Prev(e)
Next(e) Las aristas delimitan las
caras. ¡Pero cada arista
delimita dos caras!
 Cada arista estará
compuesta por dos
semiaristas gemelas
orientadas en sentidos
opuestos.
Twin(e)
 Incluso la cara infinita
estará delimitada por
semiaristas.

29. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Caras y Huecos

30. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Caras y Huecos
 El límite exterior de la
cara se recorre en sentido
anti horario.

31. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Caras y Huecos
 El límite exterior de la
cara se recorre en sentido
anti horario.
 El límite interior delimita
un hueco y es recorrido en
sentido horario.

32. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Caras y Huecos
 El límite exterior de la
cara se recorre en sentido
anti horario.
 El límite interior delimita
un hueco y es recorrido en
sentido horario.
 La cara debe tener
referencias a los límites
interiores y al exterior.

33. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Caras y Huecos
 El límite exterior de la
cara se recorre en sentido
anti horario.
 El límite interior delimita
un hueco y es recorrido en
sentido horario.
 La cara debe tener
referencias a los límites
interiores y al exterior.

34. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
El concepto de hueco es relativo

35. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
El concepto de hueco es relativo

36.  Registro Vértices: v
 Coordenas del vértice
 IncidentEdge(v) : Referencia a una semiarista que
tiene como origen al vértice v.
 Registro de Caras: f
 OuterComponent(f) : Referencia a una semiarista del
límite exterior.
 InnerCompoment(f) :Tantas referencias a semiaristas
como huecos tenga la cara.
Geometría ComputacionalGeometría Computacional
g
Estructura de la DCEL

37.  Registro semiaristas: e
 Origin(e) : Referencia al vértice origen.
 Twing(e) : Referencia a su arista gemela.
 IncidentFace(e) : Referencia a la cara que delimita
 Prev(e) : Referencias a la semiarista anterior.
 Next(e) : Referencias a la semiarista siguiente.
Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Estructura de la DCEL

38. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
g
Estructura de la DCEL: Ejemplo

39. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
g
Estructura de la DCEL: Ejemplo

40. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
g
Estructura de la DCEL: Ejemplo

41. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
g
Estructura de la DCEL: Ejemplo

42. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
g
Estructura de la DCEL: Ejemplo

43. Geometría ComputacionalGeometría Computacional
g
Estructura de la DCEL: Ejemplo

44.  ¿Por qué basta con que un vértice tenga solo una
referencia a una semiarista que lo tenga como origen?
 Dado un vértice
¿Cómo recorrer todas las semiaristas incidentes?
¿Cómo recorrer todas las caras incidentes?
Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Estructura de la DCEL

45.  ¿Por qué es necesario que cada cara tenga una referencia
por cada componente interior?
 Dada una cara
¿Cómo saber cuantas aristas delimitan sus bordes?
¿Cómo recorrer todas caras adyacentes?
Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Estructura de la DCEL

46.  ¿Por qué solo es necesario que cada semiarista tenga una
referencia a su vértice de origen?
 Dada una semiarista
¿Cómo saber el vértice de llegada?
¿Cómo saber si se encuentra en un límite interior o en un
límite exterior?
Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Estructura de la DCEL

47.  Del libro de texto Computational
Geometry, Algorithms and Applications
 Estudiar Epígrafe 2.2, pág. 29
 Realizar los ejercicios 2.5 – 2.9, pág. 42.
Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Estudio independiente

48. Bibliografía base
MM. de Berg, M. van Kreveld, M. Overmars, O. Schawarzkopf:
Computational Geometry, Springer Verlag, 1997.
Geometría ComputacionalGeometría Computacional