Geometría

1. GEOMETRÍA PLANA
Y DEL ESPACIO

2. EN LA ACADEMIA DONDE PLATÓN
IMPARTÍA SUS ENSEÑANZAS SE LEÍA:
“NADIE ENTRA SIN SABER GEOMETRÍA”

3. Definición de Geometría
La geometría trata de la medición y de las
propiedades de puntos, líneas, ángulos y
sólidos, asi como de las relaciones que
guardan entre sí.

4. Términos no Definidos
Los conceptos geométricos básicos son
abstractos y existen solo en nuestra mente.
Un Termino no definido se usa cuando la
palabra es tan elemental y se supone que todos
conocen su significado. Además no es posible
definirlos en base a otros elementos ya
conocidos
En Geometría se usa los términos:
 Punto
 Recta
 Plano

5. El punto
Los puntos no tienen medida. Son
represetados por letras mayúsculas
y no tienen dimension (largo, alto,
ancho).
A B
C

6. La recta
Una recta se extiende al infinito en ambas
direcciones y carece de ancho. Las rectas se
nombran con minúscula.
b
C
A

7. El plano
Un plano se extiende al infinito en toda
dirección y no tiene grosor alguno. Los
planos se representan regularmente con una
figura de cuatro lados y se nombran con
letras mayúsculas o tres puntos colineales.

8. Una dimensión: punto, recta,
semirrecta y segmento.
Dos dimensiones: ángulos, polígonos,
circunferencia y círculo.
Tres dimensiones: cuerpos
geométricos (poliedros y figuras de
revolución).

9. EL PUNTO

10. Puntos Colineales.- Son aquellos que
pertenecen a la misma recta L.
Puntos Coplanares.- Son los que pertenecen
a un mismo plano Π.

12. Tenemos infinitos puntos alineados, y si los colocamos muy cerca
unos de otros, obtendremos una línea recta
.........................................................................................................
Luego podemos definir línea recta como la sucesión de infinitos
puntos alineados.
Al estar formada por infinitos puntos, una línea recta no tiene ni
principio ni fin.

15. Por dos puntos pasa una sola recta

17. RECTAS SECANTES
Son las que se cortan en un punto
El punto en el que se cortan
se llama PUNTO DE
INTERSECCIÓN

18. RECTAS PARALELAS
Son las que no tienen ningún punto en común

19. SEMIRECTA
O RAYO

20. Dibujamos una recta, y señalamos en ella un punto P.
Este punto divide a la recta en dos partes. Cada una de esas partes
es una SEMIRRECTA
SEMIRRECTA SEMIRRECTA
El punto P es el origen de cada una de las semirrectas.
P
Definimos semirrecta como:
La porción de recta limitada por un punto

21. SEGMENTO

22. Dibujamos una recta, y señalamos en ella dos puntos A y B.
Estos dos puntos determinan una porción de recta llamada
SEGMENTO
SEGMENTO
Los puntos A y B son los EXTREMOS del segmento.
A
Definimos segmento como:
La porción de recta limitada por dos puntos
B

24. Ángulo es la porción de plano limitada por dos
semirrectas que tienen el mismo origen
ÁNGULO
Vértice
Lado

25. O
A
B
AOB

26. Los ángulos pueden nombrarse de tres formas
distintas:
● Por las letras mayúsculas correspondientes a
las semirrectas, colocando en medio la letra
vértice: ABC ó CBA.
● Por una letra o número colocado en la abertura
a.
● Por la letra del vértice B.

28. ÁNGULO RECTO
a
b
Rectas perpendiculares
Ángulo recto es el que tiene sus lados
perpendiculares.
El ángulo recto tiene un valor de 90º.

29. ÁNGULO LLANO
Ángulo llano es el formado por dos semirrectas que
tienen el mismo origen y sentidos opuestos
El ángulo llano tiene un valor de 180º, es decir dos
rectos.

30. ÁNGULO AGUDO
Ángulo agudo es aquel que es menor que un recto,
es decir mide menos de 90º

31. ÁNGULO OBTUSO
Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un recto,
es decir mide más de 90º

32. ÁNGULO COMPLETO
Ángulo completo es aquel que sus lados son
la misma semirrecta. Su valor es de 360º

33. ÁNGULOS CONSECUTIVOS
Son los que tienen el vértice y un lado comunes.
1
2
El ángulo 1 y el ángulo 2 son consecutivos

34. ÁNGULOS ADYACENTES
Son aquellos que son consecutivos y que el lado no común está
en la misma recta
1
2
El ángulo 1 y el ángulo 2 son adyacentes

35. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Ángulos complementarios son los que juntos suman
90º, es decir, un ángulo recto.
30º
60º
90º

36. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
60º
120º
120º
Ángulos suplementarios son los que juntos suman
180º, es decir, dos ángulos rectos.
180º

37. Bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta
que divide al ángulo en dos partes iguales.
Un ángulo tiene exactamente una bisectriz.

38. Ejemplo:
La semirrecta OA es bisectriz del ángulo O si
se cumple que: 1= 2

39. Ángulos
Un ángulo es una porción del plano comprendida entre dos semirrectas que
parten de un mismo punto, que llamamos vértice. Sería la separación
(tomada de forma circular) entre dos líneas que se cortan en un punto.
Vértice
Lado
Los ángulos se nombran de varias formas. La más utilizada es la que emplea tres letras mayúsculas y un símbolo en
forma de ángulo encima. La letra del medio es el vértice.
A
B
O
Ángulo
Según su apertura en grados, los ángulos se clasifican en:
Ángulo Recto
90º
Ángulo Agudo
Menos de 90º
Ángulo Obtuso
Más de 90º
Ángulo Llano
180º

40. Al dibujar varios segmentos consecutivos obtendremos una línea poligonal.
Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no
cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la
longitud de la la línea poligonal se le llama perímetro del polígono.
Polígonos
Los polígonos pueden ser regulares (con todos sus lados y ángulos iguales) o irregulares (lo contrario). Pero también
se pueden clasificar por su número de lados. Así, según sus lados, los polígonos pueden ser:
Triángulo
Cuadrilátero Pentágono Hexágono
Heptágono Octógono Eneágono Decágono

41. Triángulos
Los triángulos son polígonos con tres lados y tres ángulos. Los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180º entre los
tres.
Según sus lados, los triángulos pueden ser:
Equilátero:
los tres lados iguales.
Isósceles:
sólo dos lados iguales.
Escaleno:
los tres lados diferentes.
Según sus ángulos, los triángulos pueden ser:
Rectángulo:
un ángulo recto.
Acutángulo:
los tres ángulo agudos.
Obtusángulo:
un ángulo obtuso.

42. Cuadriláteros
Hay tres clases de cuadriláteros:
Paralelogramos:
lados paralelos dos a dos
Trapecio:
sólo dos lados paralelos
Trapezoide:
ningún lado paralelo a otro
Cuadrado:
ángulos y lados iguales
Rectángulo:
ángulos iguales y lados
iguales dos a dos
Rombo:
lados iguales y ángulos
iguales dos a dos
Romboide:
ángulos y lados iguales
dos a dos

43. El perímetro de un polígono es la medida de sus lados, de su contorno. Para cualquier polígono, su
perímetro se obtiene sumando las longitudes de todos sus lados.
Perímetro
l1
l2
l3
l4
l5
l6
P = l1 + l2 + l3 + l4 + l5 + l6
Los polígonos regulares, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las
que podemos calcular su perímetro.
l
P = 6 x l

44. Área
El área de un polígono es la porción de plano
comprendida entre sus lados. Es decir, la medida de la
superficie encerrada por una línea poligonal.
Área
Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuántas veces entra en ella una unidad de medida. La unidad
principal de superficie se llama metro cuadrado, y corresponde a un cuadrado de un metro de lado.
Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus múltiplos y submúltiplos, que
aumentan o disminuyen de 100 en 100.

45. Cálculo de las Áreas de figuras planas
A
b·a
2
Área del triángulo
Área del cuadrado
A l2
a
b
l
Área del rectángulo
A b ·a
a
b
A
D ·d
2
Área del rombo
D
d
Área del romboide
A b ·a
b
a
A
B b ·h
2
Área del trapecio
B
b
h
A
P·Ap
2
Área de un polígono regular
P= Perímetro
Ap
Ap = Apotema (línea que
une el centro con la mitad
de un lado)

46. La circunferencia y el círculo
Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro
punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de la
circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una
superficie llamada círculo.
Circunferencia
Radio
Diámetro
Centro
Círculo
Segmento circular
Sector circular
El diámetro de una circunferencia es igual al doble del radio.
d = 2 · r
Cuerda
Si medimos con un hilo la longitud de la circunferencia, veremos que
es igual a 3,14 veces su diámetro. A este número decimal se lo define
con la letra griega “pi” (∏). Luego ∏ = 3,14 aproximadamente.
De esta forma, la longitud de una circunferencia es:
L = 2 · ∏ · r
La superficie del círculo se calcula multiplicando “pi” por el
cuadrado del radio.
A = ∏ · r2

47. Cuerpos geométricos
Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras:
- Cuerpos poliedros. Son aquellos que tienen todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden dividirse en poliedros
regulares (todas sus caras iguales) y poliedros irregulares (no todas las caras iguales).
- Cuerpos de revolución. Son cuerpos que tienen, al menos, una cara curva, y se obtienen haciendo girar en torno a un
eje a un polígono cualquiera.
Poliedros regulares
Tetraedro Octaedro Hexaedro o Cubo Dodecaedro Icosaedro
Los poliedros regulares han tenido siempre aplicaciones astronómicas. Platón utiliza al Tetraedro como figura básica
de su cosmogonía. J. Kepler hace coincidir las órbitas planetarias de forma que los planetas se colocan el esferas
circunscritas a cada uno de estos sólidos.

48. Cuerpos geométricos
Poliedros irregulares
Los poliedros irregulares tienen una base poligonal, que puede ser un triángulo, un cuadrado, un pentágono, etc. Y se
nombran teniendo en cuenta dicha base. Así, se denominan: pirámide triangular (si la base es un triángulo); prisma
cuadrangular (si la base es un cuadrado) y así con los demás polígonos. Las pirámides tienen una sola base, y los
prismas dos, una superior y otra inferior (siendo iguales las dos).
Pirámide
triangular
Pirámide
cuadrangular
Prisma
cuadrangular
Prisma
triangular
Arista
Base
Cara
Altura

49. Cuerpos geométricos
Cuerpos o figuras de Revolución
Cilindro Cono Esfera
Estos cuerpos reciben este nombre porque su forma se genera por medio de la revolución (giro sobre un eje) de una
figura plana. Si giramos un rectángulo sobre su lado mayor, obtenemos un cilindro; si giramos un triángulo rectángulo
sobre un cateto, obtenemos un cono; y si giramos una semicircunferencia, obtenemos una esfera. Debido a esto, en estos
cuerpos, hay superficies curvas.
Generatriz
Base
Altura
Radio