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1. Introducción a la
Geometría
BLOQUE I
ING. PEDRO DE JESÚS SOTO PEDRAZA

2. Temas Bloque I
Bloque I: Introducción a la Geometría
 Conceptos Básicos.
 Paralelismo, Definiciones, ángulos generados por la transversal y teoremas
 Polígonos
 Círculo Geométrico
 Sistemas de Medición

3. 1.1 Conceptos Básicos

4. 1.1 Conceptos Básicos
 Punto: Es la marca más pequeña que se puede dejar plasmada en una
superficie, el cual carece de dimensión alguna.
 Líneas: Tipos de sucesiones de puntos , entre los que se mencionan:
 Línea recta: Sucesión infinita de puntos que se extiende en un mismo
sentido
 Línea curva: Sucesión de puntos que cambian constantemente de
dirección
 Segmento: sucesión de puntos en una misma dirección que tienen un
principio y un final

5.  Plano: Superficie conformada de infinitos puntos.
 Cuerpo: objeto o elemento que ocupa un cierto volumen en el espacio
desarrollándose en tres dimensiones.
 Ángulo: abertura comprendida entre dos líneas cortadas en un punto.

6. Proposiciones
 Axioma: Es una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin
demostración.
Ejemplo: El todo es mayor que cualquiera de sus partes.
 Postulado: Es una proposición no tan evidente como un axioma pero que
también se admite sin demostración.
Ejemplo: Hay infinitos puntos en la superficie.
 Teorema: Es una proposición que puede ser demostrada. La demostración
consta de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de
la verdad de la proposición.
Ejemplo: la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°

7. Proposiciones
 Corolario: es una proposición que se deduce de un teorema como
consecuencia del mismo.
Ejemplo:
Del teorema la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, se
deduce el siguiente corolario la suma de los ángulos agudos de un
triángulo rectángulo es de 90°.

8. Proposiciones
 Teorema Recíproco: Todo teorema tiene su recíproco. La hipótesis y la
tesis del recíproco son, respectivamente, la tesis y la hipótesis del otro
teorema que, en este caso llamaremos teorema directo.
Ejemplo:
El recíproco del teorema La suma de los ángulos interiores de un triángulo
vale 180° dice Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es de
180°, el polígono es un triángulo.
La hipótesis y la tesis del recíproco son:
Hipótesis: Tenemos un polígono cuyos ángulos interiores suman un recto
Tesis: El polígono es un triángulo.

9. 1.2 Paralelismo, Definiciones,
Ángulos generados por la
transversal y Teoremas

10. Tipos de ángulos
 Agudos: aquellos que miden menos de 90°
 Rectos: aquellos que miden exactamente 90°
 Obtusos: Miden más de 90° pero menos de 180°
 Llanos: Miden exactamente 180°
Llano

11. Tipos de ángulos
 Complementarios: El ángulo complementario de un ángulo inicial es el
ángulo que le falta para ser un ángulo recto.
 Suplementarios: El ángulo suplementario de un ángulo inicial es el
ángulo que le falta para ser un ángulo llano.

12. 1.2 Paralelismo y ángulos
 Dos o más líneas son paralelas si llevan la misma dirección y, por más que
se les prolongue, nunca se van a juntar.
 Al tener dos líneas rectas cortadas por una secante, se formarán 8 ángulos
de corte.
En los que habrá dos pares de ángulos iguales para el
ángulo agudo y dos pares de ángulos iguales para el
ángulo obtuso. Que reciben entre sí un nombre.

13. 1.2 Paralelismo y ángulos
 Teoremas obtenidos:
 “Toda secante forma con dos líneas paralelas ángulos alternos internos iguales”
 “Toda secante forma con dos líneas paralelas ángulos alternos externos iguales”
 “Dos ángulos conjugados internos entre paralelas, son suplementarios”
 “Los ángulo conjugados externos, entre paralelas son suplementarios”

14. 1.3 Polígonos

15. 1.3 Polígonos
La palabra polígono se descompone de poli que quiere decir “muchos” y
gonos que quiere decir “lados” dando como definición “figura geométrica de
muchos lados”
• Se dice que un polígono es
regular porque todos sus lados y
sus ángulos son iguales o miden
lo mismo.
• Se dice que un polígono es
irregular porque sus lados y
ángulos son diferentes entre sí.

16. Triángulos
El triángulo es una figura geométrica que consta de:
 3 lados
 3 ángulos internos
 3 vértices
En matemáticas, se nombra a los lados de los triángulos con letras minúsculas
cualesquiera, se nombra con letras mayúsculas a los vértices o ángulos.
El lado opuesto de un ángulo se nombra con la misma letra pero minúscula.

17. Clasificación de los triángulos
 Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en:
1. Isósceles: tiene dos lados iguales y uno desigual.
2. Equilátero: todos sus lados miden lo mismo.
3. Escaleno: tiene sus tres lados diferentes.

18. Clasificación de los triángulos
 Según la medida de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
1. Acutángulo: sus tres ángulos son agudos.
2. Obtusángulo: tienen un ángulo obtuso.
3. Rectángulo: uno de sus tres ángulos es un ángulo recto.

19. Triángulos rectángulos y oblicuángulos
En trigonometría utilizaremos estos dos términos para referirnos a un tipo de
triángulo.
 Triángulo rectángulo, aquel que tiene un ángulo recto.
 Triángulo oblicuángulo, aquel que no tiene ángulo recto.

20. Rectas y puntos notables en un
triángulo
a) Mediana: es el segmento trazado desde un vértice
hasta el punto medio del lado opuesto. El punto de
intersección de las tres medianas de un triángulo se
llama baricentro.
b) Altura: es la perpendicular trazada desde un vértice
al lado opuesto, o a su prolongación. El punto donde
concurren las tres alturas se llama ortocentro.

21. Rectas y puntos notables en un
triángulo
c) Bisectriz: es el segmento que divide exactamente por la
mitad a un ángulo del triángulo. El punto donde concurren
las tres bisectrices se llama incentro.
d) Mediatriz: es la perpendicular en el punto medio de cada
lado del triángulo. El punto de intersección de las tres
mediatrices se llama circuncentro.

22. Rectas y puntos notables en un
triángulo
El circuncentro (punto de intersección de las tres
mediatrices) es el punto donde se localiza el centro de una
circunferencia circunscrita en el triángulo, es decir, que toca
todos los vértices del triángulo.
El incentro (punto de intersección de las tres bisectrices) es el
punto donde se localiza el centro de una circunferencia
inscrita en el triángulo, es decir, que cabe perfectamente en él
y toca todos sus lados.

23. Teorema de los ángulos interiores de
un triángulo
“La sumatoria de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos
ángulos rectos”, es decir, equivale a 180°

24. Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos miden lo mismo y sus
lados son congruentes, es decir, los lados de un triángulo guardan una
proporción con los lados del otro.

25. Teorema de Pitágoras
Enuncia que “El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es
igual a la suma de los cuadrados de sus catetos”
El teorema de Pitágoras,
conociendo dos lados
cualesquiera de un triángulo
rectángulo, nos permitirá
calcular el tercero.

26. Perímetro
El perímetro de un triángulo o de cualquier figura geométrica es el “contorno”
de la figura y su medida es propiamente la suma de la medida de todos sus
lados. Se mide en unidades lineales.

27. Área
El área es la superficie o espacio que queda encerrado en los límites o lados de
cualquier figura geométrica. Se mide en unidades cuadradas.

28. Formula de Herón
Establece una manera de calcular el área de un triángulo conociendo la medida de sus tres
lados.
La expresión matemática para dicho cálculo es la siguiente:
𝐴 = 𝑆(𝑆 − 𝑎)(𝑆 − 𝑏)(𝑆 − 𝑐)
En donde:
S : es la mitad del perímetro
a, b, c : representan respectivamente la medida de los tres lados de un triángulo

29. 1.4 Círculo
Geométrico

30. Círculo Geométrico
 Círculo: región limitada por la circunferencia.
 Circunferencia: conjunto de puntos que equidistan de otro llamado
centro.
 Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.
 Radio: segmento que une el centro del círculo y un punto de la
circunferencia.
 Diámetro: une a dos puntos de la circunferencia pasando por el centro y
es la mayor cuerda que se puede trazar en el círculo.
 Flecha o Sagita: segmento perpendicular que va del centro de la cuerda a
la circunferencia.

31. Círculo Geométrico
 Secante: recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
 Tangente: recta que toca en un punto a la circunferencia.
 Arco: porción de la circunferencia limitada por los extremos de la cuerda.
 Ángulo central: tiene vértice en el centro y sus lados son dos radios.
 Ángulo interior: tiene vértice dentro del círculo y está formado entre dos
cuerdas que se cortan.
 Ángulo semiinscrito: tiene vértice en la circunferencia y sus lados son una
tangente y una secante.
 Ángulo inscrito: tiene vértice en la circunferencia y sus lados son dos secantes.

32. Círculo Geométrico
 Ángulo exterior: formado por dos tangentes.
 Sector circular: es la parte de un círculo limitada por dos radios y el arco
comprendido entre ellos.
 Segmento circular: parte de un círculo comprendida entre una cuerda y su arco.

33. Ángulo trigonométrico y
Ángulo geométrico
 Ángulo trigonométrico es aquel que puede hacer en el plano, un
recorrido tanto positivo como negativo, además, cuando es positivo, es
mayor a 360°.
 Ángulo geométrico la abertura en el plano que solamente puede hacer
un recorrido positivo y se limita de 0° a 360°
 Recorrido positivo: recorrido circular en el plano en sentido contrario a
las manecillas del reloj.
 Recorrido negativo: recorrido circular en el plano en el mismo sentido de
las manecillas del reloj.

34. Medida de una vuelta
El recorrido angular se hace en un plano, el cual está dividido en cuatro cuadrantes.
Cuando se realiza un recorrido de una vuelta completa se habrán recorrido 360°,
media vuelta, por lo tanto equivaldría a 180°, una cuarta parte de la vuelta 90°, etc.

35. Vueltas
 El ángulo geométrico puede dar como máximo una vuelta completa,
expresada como n.
 Pero el ángulo trigonométrico puede dar un número n de vueltas. De esta
manera, cuando dé dos vueltas, habrá recorrido 720°, cuando dé tres
vueltas, habrá recorrido 1080°.

36. 1.5 Sistemas
de medición
angular

37. Tres sistemas de medición
En trigonometría trabajamos con tres sistemas de medición angular, los
cuales son propiamente: sistema sexagesimal, sistema centesimal y sistema
cíclico.
 Sistema sexagesimal: es el sistema con el que siempre trabajamos, se
mide en degradianes o simplemente grados, tiene la característica de que
al dar un recorrido de una vuelta completa, esta equivale a 360°, por lo
tanto mide al ángulo recto en 90°.
 Sistema centesimal: este sistema se mide en gradianes y tiene la
característica de que al dar un recorrido de una vuelta completa, recorre
400°, por tanto, mide al ángulo recto en 100°.

38. Tres sistemas de medición
 Sistema Cíclico: las unidades de este sistema son los radianes y al
trabajar con ciclos, las unidades las medimos en función de p (pi), con este
sistema al dar una vuelta completa se habrá hecho un recorrido de 2p
radianes, es decir, medirá al ángulo recto en p/2.

39. Sistema sexagesimal
Comienza con el prefijo sexa referido a sesenta, lo cual indica que la fracción
de un grado se medirá en minutos y segundos, donde los minutos son la
sesentaava parte de un grado, y un segundo es la sesentaava parte de un
minuto.

40. Sistema centesimal
Comienza con el prefijo cent referido a cien, lo cual indica que la fracción de
un gradián se medirá en minutos y segundos, donde un minuto es la
centésima parte de un gradián, y un segundo es la centésima parte de un
minuto.

41. Sistema cíclico
Se refiere al trabajo de ciclos, por ello trabaja con fracciones de p, para
expresar una cantidad de radianes.

42. Radián
El radián se define como la abertura cuyo arco mide exactamente lo mismo
que el radio, situados en la misma circunferencia.
En el sistema sexagesimal, un radian equivale a 57.29°, obtenido de la división
de 180°/p

43. Equivalencias
Sistema Sistema Sistema Cíclico
1 degradián 1° 1.1111g 0.0174 rad
1 gradián 0.9° 1g 0.0157 rad
1 radián 57.2958° 63.662g 1 rad
Cada recorrido en un sistema angular tiene su equivalencia de recorrido en otro sistema.
Sistema Sistema Sistema Cíclico
180° 200g p rad

44. Bibliografía
 Baldor, J. A. (2004). Geometría Plana y del Espacio con una introducción a la
Trigonometría. México, D. F.: Publicaciones Cultural.
 La Escuela Digital. (s.f.). Geometría. Obtenido de Los cuerpos geométricos:
http://www.escueladigital.com.uy/geometria/5_cuerpos.htm
 Universo Fórmulas. (s.f.). Universo Fórmulas. Obtenido de Semejanza de
triángulos:
http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/semejanza-
triangulos/