Este documento presenta varios teoremas y problemas relacionados con las relaciones métricas en triángulos oblicuángulos, incluyendo el teorema de Euclides, el teorema de Herón, el teorema de Stewart, el teorema de la mediana, el cálculo de la bisectriz interior y exterior, y el teorema de Euler. También incluye 15 problemas para practicar la aplicación de estos conceptos.

1. 20
C P U . U N A S A M . E D U . P E
Geometría
Curso
de
cpuunasamoficial

2. CICLO REGULAR 2021-I
CURSO DE GEOMETRÍA
SEMANA 7
ÁREA DE CIENCIAS

3. 𝑥
SEMANA 7.
RELACIONES METRICAS EN
TRIANGULOS OBLICUANGULOS.
TEOREMA DE EUCLIDES
a2
= b2
+ c2
− 2bm
c2
= b2
+ a2
− 2bn
a2
= b2
+ c2
+ 2bm
TEOREMA DE HERÓN
p =
a + b + c
2
hb =
2
b
√p(p − a)(p − b)(p − c)
ha =
2
a
√p(p − a)(p − b)(p − c)
hc =
2
c
√p(p − a)(p − b)(p − c)
TEOREMA DE STEWART
𝑥2
b = a2
m + c2
n − mnb
TEOREMA DE LA MEDIANA
c2
+ a2
= 2𝑥2
+
b2
2
TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE
LA MEDIANA
a2
− c2
= 2b𝑥
CÁLCULO DE LA BISECTRIZ
INTERIOR
c
m
=
a
n
; 𝑥2
= ac − mn
CÁLCULO LA BISECTRIZ EXTERIOR
A
B
C
a
b
c
n
m H
B
B
A
b
b
h
c
a
C
A
B
C
c
b
a
b
h
C
c a
A
B
b
B
A C
b
m
c
a
𝑥
C
c a
A
b
𝑥
A
B
C
D
c
b
a
m n
𝑥
D
x
c a
m n
A
B
C




A
B
D
n
C
m
a
c x

4. c
m
=
a
n
; 𝑥2
= mn − ac
BC2
= 𝑥2
+ AB2
− 2AB. AH
AB2
= 𝑥2
+ BC2
− 2BC. DC
0 = 2𝑥2
− 2AB. AH − 2BC. DC
2𝑥2
= 2AB. AH + 2BC. DC
𝑥2
= AB. AH + BC. DC
Aplicando Relaciones Métricas:
𝑥. b = AB. BC
Aplicando Relaciones Métricas:
𝑥2
= 𝑚. AB
𝑥2
= 𝑛. BC
𝑥4
= 𝑚. 𝑛. 𝑥. b
𝑥3
= 𝑚. 𝑛. b
Aplicando Relaciones Métricas:
𝑥2
= AH. HC
Aplicando Relaciones Métricas:
𝑥. b = AB. BC
Aplicando Relaciones Métricas:
AH2
= a. AB
HC2
= c. BC
𝑥4
= a. c. 𝑥. b
TEOREMA DE EULER
En todo cuadrilátero ABCD, con M y N
puntos medios de las diagonales, se cumple:
a2
+ b2
+ c2
+ d2
= 4MN2
+ AC2
+ BD2
a2
+ b2
+ c2
+ d2
= 4MN2
+ AC2
+ BD2
A
B
H
C
D
𝑥
M
N
A C
B
H
𝑥
b
𝑚
𝑛
M
N
A C
B
H
𝑥
b
a
c
A D
C
B
a
b
c
d
M N
a
b
A
B
C
D
N
M
d
c

5. PROBLEMAS
1- En un triángulo ABC ( AB AC
=
),la semicircunferencia de
diámetro AC interseca a la altura
BH en el punto P .Si 2 2
BC =
,entonces la longitud (en u) de PC
.
A)3 B)1 C)4
D) 2 E)5
2- En un triángulo ABC ( AB BC
= y
AB AC
 )se traza la bisectriz
exterior AD ,en el triángulo ADC
se traza la bisectriz interior DE tal
que 3( ) 3
CD CE u
= = ,entonces la
longitud (en u) de DE es.
A)
2
3
3
B)
5
4
3
C)
2
4
3
D)
2
3
E)
2
2
3
3- En un cuadrante AOB de centro O
se ubica el Punto S ,en AO se
ubica el punto M tal que MS BS
⊥
y  
MS AB Q
= .Si
2
( )( ) 14
MQ QS u
= y
2
( )( ) 78
BM BS u
= ,entonces la
longitud (en u) de BQ es.
A)4 B)5 C)6
D) 7 E)8
4- En un cuadrado ABCD la
circunferencia inscrita de centro
O y la semicircunferencia de
diámetro AD se intersecan en el
punto Q (Q OD
 ).Si 4
AB u
=
,entonces la distancia ( en u) de O
al punto medio de AQ es.
A) 4 3
− B) 4 3
+
C) 2 3
− D) 2 3
E) 8
5- En una semicircunferencia de
diámetro AB y centro O ,se traza
el radio ON y en ON se ubica el
punto medio M ,con centro en M
radio MA se traza el arco AC tal
que CM MB
⊥ .Si 2 10
BC u
=
,entonces la longitud (en u) de AO
es.
A)3 B)1 C)4
D) 2 E)5
6- Desde un punto exterior C a una
circunferencia se trazan las
secantes CPB y CAT ,tal que AB es
paralelo a la recta tangente a la
circunferencia trazada por T .Si
2
( )( ) 116
CT BT u
= y
2
( )( ) 52
CP AP u
= ,entonces la
longitud (en u) de TP es.
A) 7 B)8 C)9
D) 10 E)11
7- En una circunferencia se trazan
las cuerdas perpendiculares AB y
CD ,en la prolongación de DC se
ubica el punto P tal que PB
interseca a la circunferencia en el
punto Q .Si los ángulos ADC y
BAQ son complementarios ,
2
( )( ) 98
PB BD u
= y
2
( )( ) 62
PC CQ u
= ,entonces la
longitud (en u) de BC es.
A) 15 B)8 C)9
D) 6 E)12
8- En un triángulo ABC la
circunferencia inscrita es tangente
a los lados AB , BC y AC en los
puntos M , N y T respectivamente
,las cevianas BP ,CR y AS son
concurrentes en el punto

6. ( )
Z Z TN
 tal que ,
m BAS m BSA
= y
m PBA m APB
= .Si
3
CS NB u
= = y 4
AM u
= ,entonces
la longitud (en u)de CR es.
A) 7 B)8 C)9
D) 10 E)11
9- En un triángulo ABC ,en la
prolongación de CA se ubica el
punto D tal que AD es diámetro
de una semicircunferencia
,tangente a BC en el punto T .Si
7
AB u
= , 9
BC u
= y 4
AC u
=
,entonces la longitud (en u) del
radio de la semicircunferencia es.
A) 3 B) 3 5
+
C) ( )
5 3 5
+ D) ( )
3 5
+
E) ( )
5 5 3
−
10- En una circunferencia de centro
O y cuyo radio mide 20 cm ,se
traza el radio OA y se ubica el
punto medio M de OA ,entonces la
longitud (en u) del radio de la
circunferencia tangente a la
circunferencia y a las
semicircunferencias de diámetros
OM y MA es.
A) 7 B)6 C)9
D) 12 E)18
11- La circunferencia inscrita en un
triángulo ABC es tangente a los
lados AB , BC y AC en los puntos
N , E y F respectivamente ,las
prolongaciones de AB y FE se
intersecan en el punto D .Si
3
EC u
= , 2
BN u
= y 6
BD u
=
,entonces la longitud (en u) de EF
es.
A) 2.43 B)2.54 C)2.87
D) 3.24 E)3.56
12- En una semicircunferencia de
diámetro AB y centro O se ubica el
punto P, en el exterior se ubica el
punto C tal que AC interseca al
arco AP .Si 2 2 2
( ) ( ) 37
AC BC u
+ = y
3
PC u
= ,entonces la distancia (en
u)de centro O al punto medio de
CP es.
A) 7 B) 2 7 C) 3 7
D) 7 E) 4 7
13- En el exterior y relativo al lado
BC de un triángulo rectángulo
ABC ,recto en B se ubica el punto
D tal que
m DCB m DBC m DAB
= = .Si
2
AM MB
= = y 5
AC = ,calcule
DM (M punto en AB ).
A)
34
2
B)
66
2
C)
55
2
D)
7 6
2
E)
3 6
2
14- Las diagonales AC y BD de un
cuadrilátero ABCD se intersecan
en el punto E ,si AE=EC=2,
DE=1, EB=4 y 6 2
AB BC
+ =
,calcule la suma de las longitudes
de los dos lados del menor
longitud .
A)5 2 B) 3 2 C) 4 2
D) 3 E) 8
15- En el interior de un paralelogramo
ABCD se ubica el punto P tal que
2 2
( ) ( ) 38
PB PD
+ = y
2 2
( ) ( ) 56
PA PC
+ = .Si
90
m ABD = ,calcule AB .
A) 1 B)9 C)3
D) 5 E)6

7. COMPENDIO
SEMANA 7
C P U . U N A S A M . E D U . P E
cpuunasamoficial
EXCELENCIA EN PREPARACIÓN ACADÉMICA
Geometría