El documento presenta información sobre la circunferencia, incluyendo sus elementos, propiedades básicas, posiciones relativas de dos circunferencias, propiedades de las tangentes, ángulos relacionados con la circunferencia y problemas resueltos. Se definen conceptos como radio, diámetro, centro, arco, cuerda y tangente. Se describen propiedades como que un radio bisecta una cuerda. También se explican las posibles relaciones entre dos circunferencias como ser concentricas, tangentes o secantes.
1. El documento presenta información sobre conceptos básicos de geometría como la circunferencia, sus elementos, propiedades y posiciones relativas entre circunferencias. 2. Incluye definiciones de ángulos relacionados a la circunferencia y sus medidas en función de arcos. 3. Presenta 10 problemas resueltos que aplican estas propiedades para calcular medidas de ángulos y perímetros.
Este documento describe las propiedades básicas de las circunferencias. Define una circunferencia como un conjunto de puntos equidistantes de un punto central. Explica elementos como el radio, diámetro, cuerda y arco. Luego describe propiedades como que un radio perpendicular a una cuerda la biseca y que cuerdas paralelas determinan arcos congruentes.
Este documento presenta información sobre la circunferencia, incluyendo su definición, elementos, propiedades, posiciones relativas de circunferencias, propiedades de las tangentes y ángulos relacionados con circunferencias. También incluye la resolución de 10 problemas que aplican estas propiedades para calcular medidas de ángulos y longitudes.
El documento describe las propiedades básicas de las circunferencias, incluyendo elementos como el radio, diámetro, cuerda y arco. Explica las posiciones relativas de dos circunferencias y las medidas de ángulos en una circunferencia. Resuelve seis problemas que implican aplicar estas propiedades para calcular medidas de ángulos.
El documento proporciona información sobre las propiedades básicas de las circunferencias. Define elementos como el centro, radio, diámetro, arco, cuerda y tangente. Explica propiedades como que un radio perpendicular a una cuerda biseca el arco, y que cuerdas paralelas determinan arcos congruentes. También describe posiciones relativas de dos circunferencias y resuelve problemas aplicando las propiedades.
El documento proporciona información sobre las propiedades básicas de las circunferencias, incluidas las propiedades de elementos como radios, diámetros, cuerdas y arcos. También describe las posiciones relativas de dos circunferencias y las medidas de ángulos asociados con circunferencias. Resuelve seis problemas de ejemplo que implican aplicar estas propiedades para calcular medidas de ángulos y longitudes.
El documento proporciona información sobre las propiedades básicas de las circunferencias, incluidas las propiedades de elementos como radios, diámetros, cuerdas y arcos. También describe las posiciones relativas de dos circunferencias y las medidas de ángulos asociados con circunferencias. Resuelve seis problemas de ejemplo que involucran aplicar estas propiedades para calcular medidas de ángulos y longitudes.
El documento proporciona información sobre las propiedades básicas de las circunferencias, incluidas las propiedades de elementos como radios, diámetros, cuerdas y arcos. También describe las posiciones relativas de dos circunferencias y las medidas de ángulos asociados con circunferencias. Resuelve seis problemas de ejemplo que implican aplicar estas propiedades para calcular medidas de ángulos y longitudes.
1. El documento presenta información sobre conceptos básicos de geometría como la circunferencia, sus elementos, propiedades y posiciones relativas entre circunferencias. 2. Incluye definiciones de ángulos relacionados a la circunferencia y sus medidas en función de arcos. 3. Presenta 10 problemas resueltos que aplican estas propiedades para calcular medidas de ángulos y perímetros.
Este documento describe las propiedades básicas de las circunferencias. Define una circunferencia como un conjunto de puntos equidistantes de un punto central. Explica elementos como el radio, diámetro, cuerda y arco. Luego describe propiedades como que un radio perpendicular a una cuerda la biseca y que cuerdas paralelas determinan arcos congruentes.
Este documento presenta información sobre la circunferencia, incluyendo su definición, elementos, propiedades, posiciones relativas de circunferencias, propiedades de las tangentes y ángulos relacionados con circunferencias. También incluye la resolución de 10 problemas que aplican estas propiedades para calcular medidas de ángulos y longitudes.
El documento describe las propiedades básicas de las circunferencias, incluyendo elementos como el radio, diámetro, cuerda y arco. Explica las posiciones relativas de dos circunferencias y las medidas de ángulos en una circunferencia. Resuelve seis problemas que implican aplicar estas propiedades para calcular medidas de ángulos.
El documento proporciona información sobre las propiedades básicas de las circunferencias. Define elementos como el centro, radio, diámetro, arco, cuerda y tangente. Explica propiedades como que un radio perpendicular a una cuerda biseca el arco, y que cuerdas paralelas determinan arcos congruentes. También describe posiciones relativas de dos circunferencias y resuelve problemas aplicando las propiedades.
El documento proporciona información sobre las propiedades básicas de las circunferencias, incluidas las propiedades de elementos como radios, diámetros, cuerdas y arcos. También describe las posiciones relativas de dos circunferencias y las medidas de ángulos asociados con circunferencias. Resuelve seis problemas de ejemplo que implican aplicar estas propiedades para calcular medidas de ángulos y longitudes.
El documento proporciona información sobre las propiedades básicas de las circunferencias, incluidas las propiedades de elementos como radios, diámetros, cuerdas y arcos. También describe las posiciones relativas de dos circunferencias y las medidas de ángulos asociados con circunferencias. Resuelve seis problemas de ejemplo que involucran aplicar estas propiedades para calcular medidas de ángulos y longitudes.
El documento proporciona información sobre las propiedades básicas de las circunferencias, incluidas las propiedades de elementos como radios, diámetros, cuerdas y arcos. También describe las posiciones relativas de dos circunferencias y las medidas de ángulos asociados con circunferencias. Resuelve seis problemas de ejemplo que implican aplicar estas propiedades para calcular medidas de ángulos y longitudes.
El documento proporciona información sobre las propiedades básicas de las circunferencias, incluidas las propiedades de elementos como radios, diámetros, cuerdas y arcos. También describe las posiciones relativas de dos circunferencias y las medidas de ángulos asociados con circunferencias. Finalmente, presenta la resolución de varios problemas matemáticos relacionados con circunferencias.
1. El documento describe las propiedades básicas de la circunferencia, incluyendo elementos como el radio, diámetro, arco, cuerda y ángulos.
2. También explica las posiciones relativas de dos circunferencias como concentricas, tangentes o secantes.
3. Resuelve seis problemas que implican calcular medidas de ángulos utilizando propiedades de la circunferencia.
El documento describe las propiedades básicas de las circunferencias, incluyendo elementos como el radio, diámetro, cuerda y arco. Explica las posiciones relativas de dos circunferencias y las medidas de ángulos relacionados con circunferencias. Resuelve seis problemas que implican aplicar propiedades geométricas de circunferencias.
Partes de la Circunferencia y sus TangentesKary MaHe
El documento describe las propiedades básicas de las circunferencias, incluyendo que es un lugar geométrico de puntos equidistantes de un centro, y define elementos como el radio, diámetro y arco. También explica las posiciones relativas de dos circunferencias como concentricas, tangentes o secantes, y las propiedades de ángulos y tangentes relacionadas con circunferencias.
Este documento presenta la teoría y propiedades básicas de la circunferencia. Define la circunferencia como el lugar geométrico de puntos equidistantes de un punto central. Explica elementos como el radio, diámetro, arco, cuerda y tangente. Luego describe propiedades como que el radio es perpendicular a la tangente, biseca la cuerda, y que cuerdas paralelas determinan arcos congruentes. Finalmente, resuelve 8 problemas aplicando estas propiedades para calcular medidas de ángulos y perímetros.
Circunferencia y problemas Creado en la I.E Augusto Salazar Bondy -- Perúemeteriobellido
Este documento presenta la teoría y propiedades de las circunferencias. Define una circunferencia como un conjunto de puntos equidistantes de un centro. Explica elementos como el radio, diámetro y arco. Luego describe propiedades básicas como que un radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la tangente. También cubre posiciones relativas de dos circunferencias y propiedades de ángulos y tangentes. Finalmente, presenta varios problemas resueltos que ilustran estas ideas.
Este documento presenta la teoría y propiedades básicas de la circunferencia. Define una circunferencia como un conjunto de puntos equidistantes de un punto central. Explica elementos como el radio, diámetro, arco, cuerda y ángulos relacionados. Luego describe posiciones relativas de dos circunferencias como concentricas, exteriores, tangentes o secantes. Finalmente, resuelve 10 problemas aplicando las propiedades.
Este documento presenta la teoría y propiedades básicas de la circunferencia. Define una circunferencia como un conjunto de puntos equidistantes de un punto central. Explica elementos como el radio, diámetro, arco, cuerda y tangente. Luego describe propiedades de ángulos, arcos y segmentos en una y entre circunferencias. Finalmente, resuelve 10 problemas aplicando estas propiedades.
Este documento describe las propiedades básicas de la circunferencia, incluyendo su definición, elementos, propiedades de posiciones relativas entre circunferencias, teoremas relacionados con ángulos y tangentes, y problemas resueltos que ilustran cómo aplicar estas propiedades.
Este documento presenta la teoría sobre circunferencias, incluyendo sus elementos, propiedades básicas, posiciones relativas de dos circunferencias, propiedades de las tangentes, teoremas relacionados y medidas de ángulos. Explica conceptos como centro, radio, diámetro, arco, cuerda y ángulos formados. Resuelve 10 problemas aplicando las propiedades y teoremas descritos.
El documento proporciona información sobre la circunferencia, incluyendo su definición, elementos, propiedades básicas y teoremas relacionados con ángulos y medidas. Resuelve 8 problemas aplicando estas propiedades y teoremas para calcular medidas de ángulos y perímetros.
El documento presenta las propiedades de las circunferencias y los ángulos asociados. Define elementos como radio, diámetro, cuerda y arco. Explica las relaciones entre circunferencias tangentes, secantes y concéntricas. Incluye teoremas como los de Pitágoras y Poncelet y ejercicios de aplicación.
El documento describe los elementos básicos de una circunferencia y las propiedades de los ángulos asociados a ella. Explica que la medida de un ángulo central es igual a la medida del arco opuesto, la medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos opuestos, y la medida de un ángulo inscrito es la mitad del arco opuesto. También resuelve problemas aplicando estas propiedades para calcular medidas de ángulos desconocidos.
El documento describe la historia de la circunferencia de los nueve puntos. Se atribuye su descubrimiento a Karl Wilhelm Feuerbach, aunque en realidad descubrió la circunferencia de los seis puntos. Anteriormente, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet habían demostrado su existencia. Más tarde, Olry Terquem también demostró la existencia del círculo y reconoció tres puntos adicionales.
Este documento trata sobre la circunferencia y el círculo. Define una circunferencia como un conjunto de puntos equidistantes de un centro, y un círculo como la porción de plano dentro y sobre la circunferencia. Explica elementos como el diámetro, radio, arco y cuerda. Luego cubre temas como la medida de ángulos centrales, inscritos, interiores, semi-inscritos y exteriores, y cómo se relacionan con las medidas de arcos. Finalmente, presenta varios problemas para practicar est
Este documento describe las propiedades geométricas de las circunferencias y ángulos relacionados. Define una circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes de un centro, e identifica sus elementos como radio, diámetro, arco, cuerda y puntos de tangencia. Explica las posiciones relativas de dos circunferencias como concéntricas, exteriores, tangentes o secantes. También cubre teoremas como la suma de catetos igual a la hipotenusa más el doble del inradio.
Este documento describe las propiedades básicas de las circunferencias y ángulos relacionados con circunferencias. Explica elementos como el centro, radio, diámetro, cuerda, arco y tangente de una circunferencia. Luego describe propiedades de ángulos centrales, interiores, inscritos y ex-inscritos. Finalmente, cubre posiciones relativas de dos circunferencias como concéntricas, tangentes y secantes.
El documento describe diferentes fórmulas para calcular áreas de figuras geométricas planas como triángulos, cuadriláteros y círculos. Incluye fórmulas para calcular el área de triángulos utilizando la altura y la base, los catetos de un triángulo rectángulo, un triángulo equilátero y una fórmula trigonométrica. También presenta fórmulas para calcular el área de cuadriláteros, círculos, coronas circulares, sectores y segmentos circulares
Este documento presenta conceptos básicos sobre la circunferencia y el círculo, incluyendo sus elementos como el radio, diámetro, cuerda, arco, tangente y secante. Explica cómo calcular ángulos centrales, inscritos, interiores y exteriores asociados con la circunferencia, y proporciona ejemplos numéricos de cálculos relacionados con ángulos y arcos. También cubre el cálculo del perímetro y área del círculo.
El documento define la circunferencia y sus elementos principales como el centro, radio, diámetro, arco y cuerda. Explica que un círculo es la porción de plano limitada por una circunferencia e incluye propiedades fundamentales de la circunferencia como que a cuerdas congruentes les corresponden arcos congruentes. También presenta teoremas geométricos relacionados con triángulos rectángulos inscritos en una circunferencia.
El documento proporciona información sobre las propiedades básicas de las circunferencias, incluidas las propiedades de elementos como radios, diámetros, cuerdas y arcos. También describe las posiciones relativas de dos circunferencias y las medidas de ángulos asociados con circunferencias. Finalmente, presenta la resolución de varios problemas matemáticos relacionados con circunferencias.
1. El documento describe las propiedades básicas de la circunferencia, incluyendo elementos como el radio, diámetro, arco, cuerda y ángulos.
2. También explica las posiciones relativas de dos circunferencias como concentricas, tangentes o secantes.
3. Resuelve seis problemas que implican calcular medidas de ángulos utilizando propiedades de la circunferencia.
El documento describe las propiedades básicas de las circunferencias, incluyendo elementos como el radio, diámetro, cuerda y arco. Explica las posiciones relativas de dos circunferencias y las medidas de ángulos relacionados con circunferencias. Resuelve seis problemas que implican aplicar propiedades geométricas de circunferencias.
Partes de la Circunferencia y sus TangentesKary MaHe
El documento describe las propiedades básicas de las circunferencias, incluyendo que es un lugar geométrico de puntos equidistantes de un centro, y define elementos como el radio, diámetro y arco. También explica las posiciones relativas de dos circunferencias como concentricas, tangentes o secantes, y las propiedades de ángulos y tangentes relacionadas con circunferencias.
Este documento presenta la teoría y propiedades básicas de la circunferencia. Define la circunferencia como el lugar geométrico de puntos equidistantes de un punto central. Explica elementos como el radio, diámetro, arco, cuerda y tangente. Luego describe propiedades como que el radio es perpendicular a la tangente, biseca la cuerda, y que cuerdas paralelas determinan arcos congruentes. Finalmente, resuelve 8 problemas aplicando estas propiedades para calcular medidas de ángulos y perímetros.
Circunferencia y problemas Creado en la I.E Augusto Salazar Bondy -- Perúemeteriobellido
Este documento presenta la teoría y propiedades de las circunferencias. Define una circunferencia como un conjunto de puntos equidistantes de un centro. Explica elementos como el radio, diámetro y arco. Luego describe propiedades básicas como que un radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la tangente. También cubre posiciones relativas de dos circunferencias y propiedades de ángulos y tangentes. Finalmente, presenta varios problemas resueltos que ilustran estas ideas.
Este documento presenta la teoría y propiedades básicas de la circunferencia. Define una circunferencia como un conjunto de puntos equidistantes de un punto central. Explica elementos como el radio, diámetro, arco, cuerda y ángulos relacionados. Luego describe posiciones relativas de dos circunferencias como concentricas, exteriores, tangentes o secantes. Finalmente, resuelve 10 problemas aplicando las propiedades.
Este documento presenta la teoría y propiedades básicas de la circunferencia. Define una circunferencia como un conjunto de puntos equidistantes de un punto central. Explica elementos como el radio, diámetro, arco, cuerda y tangente. Luego describe propiedades de ángulos, arcos y segmentos en una y entre circunferencias. Finalmente, resuelve 10 problemas aplicando estas propiedades.
Este documento describe las propiedades básicas de la circunferencia, incluyendo su definición, elementos, propiedades de posiciones relativas entre circunferencias, teoremas relacionados con ángulos y tangentes, y problemas resueltos que ilustran cómo aplicar estas propiedades.
Este documento presenta la teoría sobre circunferencias, incluyendo sus elementos, propiedades básicas, posiciones relativas de dos circunferencias, propiedades de las tangentes, teoremas relacionados y medidas de ángulos. Explica conceptos como centro, radio, diámetro, arco, cuerda y ángulos formados. Resuelve 10 problemas aplicando las propiedades y teoremas descritos.
El documento proporciona información sobre la circunferencia, incluyendo su definición, elementos, propiedades básicas y teoremas relacionados con ángulos y medidas. Resuelve 8 problemas aplicando estas propiedades y teoremas para calcular medidas de ángulos y perímetros.
El documento presenta las propiedades de las circunferencias y los ángulos asociados. Define elementos como radio, diámetro, cuerda y arco. Explica las relaciones entre circunferencias tangentes, secantes y concéntricas. Incluye teoremas como los de Pitágoras y Poncelet y ejercicios de aplicación.
El documento describe los elementos básicos de una circunferencia y las propiedades de los ángulos asociados a ella. Explica que la medida de un ángulo central es igual a la medida del arco opuesto, la medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos opuestos, y la medida de un ángulo inscrito es la mitad del arco opuesto. También resuelve problemas aplicando estas propiedades para calcular medidas de ángulos desconocidos.
El documento describe la historia de la circunferencia de los nueve puntos. Se atribuye su descubrimiento a Karl Wilhelm Feuerbach, aunque en realidad descubrió la circunferencia de los seis puntos. Anteriormente, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet habían demostrado su existencia. Más tarde, Olry Terquem también demostró la existencia del círculo y reconoció tres puntos adicionales.
Este documento trata sobre la circunferencia y el círculo. Define una circunferencia como un conjunto de puntos equidistantes de un centro, y un círculo como la porción de plano dentro y sobre la circunferencia. Explica elementos como el diámetro, radio, arco y cuerda. Luego cubre temas como la medida de ángulos centrales, inscritos, interiores, semi-inscritos y exteriores, y cómo se relacionan con las medidas de arcos. Finalmente, presenta varios problemas para practicar est
Este documento describe las propiedades geométricas de las circunferencias y ángulos relacionados. Define una circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes de un centro, e identifica sus elementos como radio, diámetro, arco, cuerda y puntos de tangencia. Explica las posiciones relativas de dos circunferencias como concéntricas, exteriores, tangentes o secantes. También cubre teoremas como la suma de catetos igual a la hipotenusa más el doble del inradio.
Este documento describe las propiedades básicas de las circunferencias y ángulos relacionados con circunferencias. Explica elementos como el centro, radio, diámetro, cuerda, arco y tangente de una circunferencia. Luego describe propiedades de ángulos centrales, interiores, inscritos y ex-inscritos. Finalmente, cubre posiciones relativas de dos circunferencias como concéntricas, tangentes y secantes.
El documento describe diferentes fórmulas para calcular áreas de figuras geométricas planas como triángulos, cuadriláteros y círculos. Incluye fórmulas para calcular el área de triángulos utilizando la altura y la base, los catetos de un triángulo rectángulo, un triángulo equilátero y una fórmula trigonométrica. También presenta fórmulas para calcular el área de cuadriláteros, círculos, coronas circulares, sectores y segmentos circulares
Este documento presenta conceptos básicos sobre la circunferencia y el círculo, incluyendo sus elementos como el radio, diámetro, cuerda, arco, tangente y secante. Explica cómo calcular ángulos centrales, inscritos, interiores y exteriores asociados con la circunferencia, y proporciona ejemplos numéricos de cálculos relacionados con ángulos y arcos. También cubre el cálculo del perímetro y área del círculo.
El documento define la circunferencia y sus elementos principales como el centro, radio, diámetro, arco y cuerda. Explica que un círculo es la porción de plano limitada por una circunferencia e incluye propiedades fundamentales de la circunferencia como que a cuerdas congruentes les corresponden arcos congruentes. También presenta teoremas geométricos relacionados con triángulos rectángulos inscritos en una circunferencia.
Durante el desarrollo embrionario, las células se multiplican y diferencian para formar tejidos y órganos especializados, bajo la regulación de señales internas y externas.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
2. CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico
de un conjunto de infinitos puntos que
equidistan de un punto situado en el centro.
3. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
A B
Recta
tangente
Recta
secante
Flecha o
sagita
Diámetro
AB
( )
Centro
T
Punto de tangencia
Q
P
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ
4. PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es
perpendicular a la recta tangente.
L
R
5. 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
Q
MQ
PM
PQ
R
7. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
Cuerdas congruentes
Arcos congruentes
Las cuerdas
equidistan del
centro
mCD
mAB
CD
AB
:
Si
8. POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.
r
d = Cero ; d : distancia
10. d = R + r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un
punto común que es la de tangencia.
R r
Punto de tangencia
Distancia entre
los centros (d)
11. d
d = R - r
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un
punto en común que es la de tangencia.
d: Distancia entre los centros
R
r
Punto de
tangencia
12. 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes
que son las intersecciones.
( R – r ) < d < ( R + r )
Distancia entre
los centros (d)
13. 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son
perpendiculares en el punto de intersección.
d2 = R2 + r2
Distancia entre
los centros (d)
15. 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
trazar dos rayos tangentes que determinan dos
segmentos congruentes.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
AP = PB
A
B
P
R
R
18. TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma
de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa
mas el doble del inradio.
a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
Inradio
Circunradio
19. TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados
opuestos son iguales.
a + c = b + d
d
a
b
c
Cuadrilátero circunscrito
20.
21.
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
medida del arco que se opone.
A
B
C
r
r
= mAB
22.
A
C
B
D
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos
opuestos
2
mCD
mAB
23.
A
B
C
3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida
del arco opuesto.
2
mAB
24.
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida
del arco opuesto.
A
B
C
2
mAB
26.
A
B
C O
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
opuestos.
+ mAB = 180°
2
mAB
-
mACB
27.
A
B
C
O
D
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
2
mCD
-
mAB
28.
A
B
C
O
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
2
mBC
-
mAB
29.
30. 50°
70º+x
X
R
S
Q
140°
2X
X + (X+70) + 50° = 180°
X = 30°
Por ángulo semi-inscrito PQS
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
P
x
º
70
2
x
2
º
140
PQS
m
Reemplazando:
En el triángulo PQS:
Resolviendo la ecuación:
PSQ = x
Se traza la cuerda SQ
2
mQRS
PQS
m
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS
mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la
medida del ángulo PSQ.
31. 20°
70°
X
X = 40°
R
Q
En el triángulo rectángulo RHS
140° Es propiedad, que:
140° + X = 180°
Por ángulo inscrito
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
P
S
m S = 70º
Resolviendo:
PSQ = x
2
mQR
º
70 mQR = 140°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco
QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular
a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR.
32. x
130°
A
C
B
D
X = 40°
2
50
130
X
50°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
P
Resolviendo:
APD = x
Medida del ángulo interior
Medida del ángulo exterior
90
2
mBC
130
mBC = 50°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC
y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida
del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
33. x
X = 18°
2
X
54
X
M
N
54°
x
x
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
P
A
B
APN = x
Se traza el radio OM:
o
Dato: OM(radio) = PM
Luego triángulo PMO es isósceles
Ángulo central igual al arco
Medida del ángulo exterior
Resolviendo:
En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga
hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo
secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al
radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mAPN.
34. x
70°
Medida del ángulo inscrito:
X = 55°
2
110
X
A
B
C
P
Q
R
110°
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
PRQ = x
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
Resolviendo:
70° + mPQ = 180° mPQ = 110°
En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia
tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,
“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide
70º. Calcule la mPRQ.
35. Calcule la medida del ángulo “X”.
Problema Nº 06
70°
B
A
X P
Resolución
36. RESOLUCIÓN
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
Medida del ángulo inscrito:
70°
B
A
X P
C
140º
140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º
2
mAB
º
70 mAB=140º
37. Calcular la medida del ángulo “x”
Problema Nº 07
B
A
X P
130º
Resolución
38. RESOLUCIÓN
B
A
X P
130º C
Medida del ángulo inscrito:
En la circunferencia:
260º
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
X = 80º
2
mAB
º
130 mAB = 260º
mACB = 100º
mACB + x = 100º
260º + mACB = 360º
40. Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10
(2p) = 24
RESOLUCIÓN
2
5 5
A
B
C
a b
a + b = 14 (1)
(2)
Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10
41. X
PLANTEAMIENTO
Q
R
S
80º P
a
a
Problema Nº 09
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia
se trazan la tangente PQ y la secante PRS de
modo que los arcos SQ y SR sean congruentes.
Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR .
Resolución
42. 2a + 80º = 360º
a = 140º
Medida del ángulo exterior:
X
a
80
2
140 80
2
º º º
X = 30º
En la circunferencia:
RESOLUCIÓN
X
Q
R
S
80º P
a
a
43. P
Q
R
S
2
3
PLANTEAMIENTO
Problema Nº 10
En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza
la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y
PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el
perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la
longitud de PR
Resolución
44. Teorema de Poncelet:
a b
c
d
PQR a + b = PR+2(3) +
a +b + c + d = 2PR + 10
PR = 6cm
Dato:
a + b + c + d = 22cm
PSR c + d = PR+2(2)
22 = 2PR + 10
RESOLUCIÓN
P
Q
R
S
2
3