1. El documento presenta información sobre relaciones métricas en geometría, incluyendo definiciones de proyección ortogonal, teoremas sobre triángulos rectángulos y circunferencias, y ejercicios de aplicación. 2. Se explican fórmulas para calcular longitudes en triángulos rectángulos como el teorema de Pitágoras y relaciones entre lados y alturas. 3. También se definen teoremas sobre circunferencias como las cuerdas, secantes y tangentes, así como teoremas de Ptolomeo

1. 1 “Buenas estudiantes hoy, excelentes mujeres mañana”
Con la luz del pasado, ilumina el presente y agradece a Jesús
MATEMÁTICA
Quinto año de Secundaria
Docente: Elisban J. Vivanco Gonzales.
11 AL 16 de setiembre del 2017
VITAPREM N°03
Estudiante: ___________________________________________________________ Asignatura: Geometría
Campo Temático: Relaciones Métricas Bimestre III Unidad: III
Situación de aprendizaje:
Distancia entre ciudades
Los pueblos de Pátapo, Pucalá y Chongoyape están situados en los
vértices de un triángulo rectángulo siendo la línea recta que une
Pátapo y Chongoyape la hipotenusa. En el pie de la altura trazada
desde Pucalá a la hipotenusa se ubica un grifo que está a 25 km de
Pátapo y a 64 km de Chongoyape, calcule la distancia en Km desde
Pucalá al grifo.
a) 20 b) 15 c) 35 d) 30 e) 40
RELACIONES MÉTRICAS
PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE UNA RECTA
La proyección ortogonal de un punto P, sobre una recta L, es
el pie de la perpendicular trazada des P a L. Asimismo, la
proyección de un segmento (cualquier figura, en general), se
obtiene de proyectar todos los puntos de dicha figura, sobre
la recta.
Relaciones Métricas en Triángulos Rectángulos
2
h mn
2
b an … (1)
2
c = am … (2)
Sumando (1) y (2) obtenemos el Teorema de Pitágoras:
2 2 2
a = b +c
Además:
bc ah
2 2 2
1 1 1
=
h c b

Teoremas de Euclides:
I. En el triángulo acutángulo
2 2 2
c a b 2bn  
2 2 2
a c b 2bm  
II. En el triángulo obtusángulo
2 2 2
a c b 2bm  
Teoremas de Herón
Si:
a b c
p
2
 
 , se cumple:
Area p(p a)(p b)(p c)   
Competencia Capacidad Desempeño precisado
Actúa y piensa matemáticamente en
situaciones de forma, movimiento y
localización
 Matematiza situaciones  Representa relaciones entre características
de las relaciones métricas
A
B
C
a
b
c
nm
H
A
B
C
c
b
a
bh
B
A
b
bh
c
a
C
P
P' A' B'
A
B
C D
C' D'
E
F
E'F'
Q
R
R'Q '
M'
M
N
N'
L
A
B Ca
bc
m n A b
a
c
m
B
C

2. 2 “Buenas estudiantes hoy, excelentes mujeres mañana”
Con la luz del pasado, ilumina el presente y agradece a Jesús
MATEMÁTICA
Quinto año de Secundaria
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b
2
h p(p a)(p b)(p c)
b
   
Teorema de la mediana
2
2 2 2
b
b
a c 2m
2
  
Proyección de la mediana
2 2
a c 2 xb 
Relación entre las medianas y los lados de un triángulo
2 2 2
2 2 2
a b c
a b c 4
3m m m
 

 
TEOREMA DE STEWART
Donde BD es ceviana:
2 2 2
x b a m c n mnb  
RELACIONES MÉTRICAS EN CIRCUNFERENCIAS
TEOREMA DE LAS CUERDAS
AP PB CP PD  
TEOREMA DE LAS SECANTES
AE BE DE CE  
TEOREMA DE LA TANGENTE
2
PT AP BP 
TEOREMA DE PTOLOMEO Y VIETE
xy ac bd 
x ad bc
y ab cd



TEOREMA DE PACHEIN
x a.d
.cy b

TEOREMA DE CHADU
Si el ACD es equilátero
x a b 
C
c a
bm
A
B
b
C
c a
bm
A
b
x
A
B
C
am
bm
cm
a
b
c
A
B
CD
c
b
a
m n
x
A B
D
C
E
A
BC
D
P
T
A
B
P
a
b
c
d
x y
a
b
c
d
x y
A
B
C
D
a
b
x

3. 3 “Buenas estudiantes hoy, excelentes mujeres mañana”
Con la luz del pasado, ilumina el presente y agradece a Jesús
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Quinto año de Secundaria
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Competencia Capacidad Desempeño precisado
Actúa y piensa matemáticamente en
situaciones de forma, movimiento y
localización
 Comunica y representa  Expresa con dibujos, construcciones con
regla y compas, con material concreto y con
lenguaje geométrico, su comprensión sobre
las relaciones métricas.

4. 4 “Buenas estudiantes hoy, excelentes mujeres mañana”
Con la luz del pasado, ilumina el presente y agradece a Jesús
MATEMÁTICA
Quinto año de Secundaria
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5. 5 “Buenas estudiantes hoy, excelentes mujeres mañana”
Con la luz del pasado, ilumina el presente y agradece a Jesús
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R
r
1. Al trazar la altura relativa a la hipotenusa en un triángulo
rectángulo, esto determina dos segmentos siendo mayor
16. Si la altura mide 12, determinar la longitud dl
segmento menor.
a) 9 b) 7 c) 5 d) 8 e) 15
2. En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la
hipotenusa mide 6cm y la hipotenusa es los 5/4 de uno
de los catetos. Calcular la longitud del cateto mayor.
a) 10 b) 12 c) 16 d) 8 e) 15
3. Si desde un punto que dista 13 del centro de una
circunferencia se puede trazar una tangente que mide 12
cm ¿Cuál es la longitud del radio de dicha circunferencia?
a) 6 b) 8 c) 26 d) 7 e) 5
4. En un triángulo rectángulo el incentro divide a la bisectriz
del ángulo recto en segmentos que están en la razón
√2
1
Encuentra la medida de uno de los ángulos agudos.
a) 30° b) 53° c) 37° d) 45° e) 8°
5. Siendo R = 25 y r = 16, encuentre el radio de la
circunferencia menor.
A) 20 / 7
B) 40
C) 9/20
D) 20 /9
E) 7
6. En un triángulo ABC: √2; √6 𝑦 √8 calcular la proyección
del menor lado sobre el mayor lado.
a)
√2
2
b)
√5
2
c)
√7
2
d) 1 e)
√5
3
7. En un romboide ABCD los lados miden 3 y 5. Determinar
el ángulo mayor que se opone a una de las diagonales que
mide 7.
a) 30° b) 60° c) 37° d) 120° e) 53°
8. Si los lados de un triángulo miden: 2,3 y 4. ¿Qué clase de
triángulo es?
a) Acutángulo b) rectángulo
c) isósceles d) obtusángulo
e) equilátero
9. En un triángulo ABC, AB = 8; BC = 10 y AC = 12. Se traza la
ceviana BR, tal que RC = 3. Calcular la longitud BR.
a) 6 b) 8 c) 26 d) 7 e) 5
10. Los lados de un triángulo miden 8,6 y 4. Encontrar la
longitud de la menor mediana.
a) 5 b) √10 c) 3 d) √7 e) 3
11. Los lados de un triángulo miden 13,14 y 15. Encontrar la
medida de la altura relativa al lado que mide 14.
a) 10 b) 12 c) 16 d) 8 e) 15
12. En la figura, hallar 𝑅𝑇̅̅̅̅.
M
16
4
T
R
N
13. En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia se
tiene que 𝐴𝐵̅̅̅̅ × 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 36m2 y la altura 𝐵𝐻̅̅̅̅ = 5m.Calcular
el radio de la circunferencia.
a) 6 m b) 4 m c) 5 m
d) 3,6 m e) 2,4 m
14. Calcular x, en la figura.
A
B
C
D
P
4
2
5
x
15. En un triángulo ABC, el lado 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 6m, 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 12m y la altura
trazada sobre el lado 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 8m. Calcular la distancia del
circuncentro al lado 𝐴𝐵̅̅̅̅.
a) 8,42 b) 8,06 c) 8,08
d) 8,18 e) 7,98
16. En la figura, hallar 𝐶𝐻̅̅̅̅, si:
𝐴𝐵̅̅̅̅ = diámetro.
A B
C
H
4 9
Competencia Capacidad Desempeño precisado
Actúa y piensa matemáticamente en
situaciones de forma, movimiento y
localización
 Elabora y Usa estrategias  Combina y adapta estrategias heurísticas,
recursos y procedimientos más
convenientes para determinar el valor
desconocido de
a) 2
b) 3
c) 4
d) 1,5
e) 2,5
a) 4√3
b) 5√2
c) 4√5
d) 3√6
e) 4√6
a) 13
b) √13
c) 36
d) 6
e) F.D.

6. 6 “Buenas estudiantes hoy, excelentes mujeres mañana”
Con la luz del pasado, ilumina el presente y agradece a Jesús
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17. Calcular 𝑂𝑀̅̅̅̅̅ en el círculo de 13m de radio, siendo: a.b.c.d
= 625 m4.
O
A
D
C
B
a
b
c
d M
18. Calcular R en la figura.
O
10
12 16
RA
B
C
19. En el círculo de diámetro 𝐴𝐷̅̅̅̅ donde 𝐴𝐻̅̅̅̅ × 𝐴𝐸̅̅̅̅ = 216m2.
Calcular 𝐴𝑀̅̅̅̅̅.
A H O
C
E D
M
B
a) 14 m b) 15 m c) 6√6 m
d) 6 m e) 14,5 m
20. En un círculo la distancia del centro a una cuerda de 16m
es 6m. ¿A qué distancia del centro se encuentra una
cuerda de 8m?
a) 12 m b) 4 m c) 7 m
d) 8,5 m e) 2√21 m
21. En el círculo del centro “O”.
Hallar 𝐹𝐶̅̅̅̅

3
A B
D
E
F
O4
H 6
C
a) 8 cm b) 7,75 cm c) 6,75 cm
d) 7,25 cm e) 9,15 cm
22. En la figura, hallar 𝐴𝐵̅̅̅̅.
A
BC H
x x+2
x+5
a) 10 b) 11 c) 12
d) 15 e) 9
23. Los lados de un triángulo rectángulo miden: x, x + 7, x + 8,
calcular la hipotenusa.
a) 9 b) 12 c) 13
d) 15 e) 10
24. En el gráfico mostrado:
A Q P C
R
M
B
N
S
T
𝑅𝑄̅̅̅̅ = 3, 𝑃𝑆̅̅̅̅ = 4, QMNP = cuadrado. Hallar 𝐵𝑇̅̅̅̅.
a) 2,4 b) 2,5 c) 3,0
d) 3,2 e) 3,5
25. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 25m. Si la
suma de los catetos es igual a 35m. Calcular la proyección
del cateto menor sobre la hipotenusa.
a) 8 m b) 9 m c) 10 m
d) 12 m e) N.A.
a) 6,4
b) 9,6
c) 10,8
d) 8,4
e) 10,2
a) 6 m
b) 5 m
c) 9 m
d) 12 m
e) 25 m
BIBLIOGRAFIA
- Rojas Puemape, Alonso, Lima - Perú: editorial skanners, - 2015
- Geometria José Santivañez M,Lima - Perú:Megabyte-2013
- Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (I-XI); Jorge Tipe Villanueva - John Cuya Barrios. Lima - Perú,
Lumbreras Editores