relaciones métricas 1

1. 20
C P U . U N A S A M . E D U . P E
Geometría
Curso
de
cpuunasamoficial

2. CICLO REGULAR 2021-I
CURSO DE GEOMETRÍA
SEMANA 6
ÁREA DE CIENCIAS

3. SEMANA 6
RELACIONES MÉTRICAS I
PROYECCIÓN ORTONAL SOBRE UNA
RECTA
La proyección ortogonal de un punto, sobre
una recta, es el pie de la perpendicular
trazada desde el punto hacia la recta,
asimismo la proyección de un segmento
(cualquier figura, en general), se obtiene de
proyectar todos los puntos de dicha figura,
sobre la recta.
 es la proyección ortogonal de P sobre la
recta; 𝐏𝐏′ es la proyectante.
 es la proyección ortogonal de AB
sobre la recta; y son las
proyectantes.
 es la proyección ortogonal de EF sobre
la recta.
 es la proyección ortogonal de CD
sobre la recta; y son las
proyectantes.
 es la proyección ortogonal de QR sobre
la recta; es la proyectante.
 es la proyección ortogonal de 𝑀𝑁
sobre la recta; y son las
proyectantes.
𝐀𝐇: Proyección de 𝐀𝐁 sobre 𝐀𝐂
𝐇𝐂: Proyección de sobre 𝐀𝐂
Consideremos el triángulo rectángulo BAC, el
ángulo recto en A.
Para todo triángulo rectángulo
c2
= m .a b2
= n .a
Teorema de Pitágoras
a2
= b2
+ c2
h2
= m .n
a. h = b. c
Teorema de Cuerdas
a. b = 𝑥. y
Teorema de Secantes
a. b = 𝑥. y
Teorema de las Tangentes
H
A
B C
c b
a
m n
h
P
P '
A
A'
B
B'
C D
C' D'
E
F
F '
M
N
N'
M'
Q
R
Q'
A
B
H C
D
a
b
x
y
a
b
x
y
x
a
b

4. 𝑥2
= a. b
Teorema de Vietta
𝑥
𝑦
=
a. d + b. c
a. b + c. d
Teorema de Ptolomeo
𝑥. y = a. c + b. d
PROBLEMAS
1- En un rectángulo ABCD ,se traza
una semicircunferencia de diámetro
AD tangente a BC en T ,si AC y TD
se intersecan en P y 17
BP =
,calcule el
radio de la semicircunferencia.
A)1 B)2 C)3
D)4 E)5
2- En un triángulo rectángulo ABC
recto en B ,se ubican los puntos H y
Q en AC y P en BC tal que
BH AC
⊥ , PQ HC
⊥ y HP BC
⊥ .Si
AB PC
 y
( )( )
AH QC =K, calcule PH .
A) k B) 2
k C) 2k
D) k E)2
3- En un triángulo rectángulo ABC
recto en B , se traza la altura BH y
la bisectriz interior AE , las que se
intersecan en F , si AF a
= y
EF b
= , calcule la distancia del
punto del punto medio de EC al lado
AC .
A)
( )
4
b a b
+
B)
( )
4
b a b
+
C)
( )
8
ab
D)
( )
8
b a b
+
E)
4
b
4- Una circunferencia es tangente a los
lados AD YCD de un cuadrado, la
longitud de los segmentos tangentes
AP y BT ( P y T son puntos de
tangencia) miden a y b
a
b
c
d
x y
a
b
c
d
x y

5. respectivamente, calcule la longitud
del radio dela circunferencia.
A) 2 2
2a b
− B) 2 2
a b
− C)
ab
D) 2 2
a b
− E) 2 2
2
a b
−
5- Dos circunferencias 1
 y 2
 son
tangentes interiormente en B , AB y
CD son diámetros de 1
 e intersecan
a 2
 en ,
F E y G tal que
,
C E O O G D
− − − − Y F O B
− −
(O centro de 1
 ).Si 2 , 5
CE u AF u
= = y
4
DG u
= ,entonces la longitud de EG
(en u) es.
A)7 B)8 C)9
D) 10 E) 11
6- En una circunferencia cuyo radio
mide R ,se inscribe un triángulo
equilátero ABC ,sea M medio de
BC y F punto medio del arco AC ,la
prolongación de FM interseca a la
circunferencia en Q .Calcule MQ
A)
2
7
14
R
B)
2
7
7
R
C)
3
7
7
R
D) 7
14
R
E)
3
7
14
R
7- Una circunferencia es tangente a dos
lados adyacentes de un cuadrado y
divide a cada una de los otros dos
lados en segmentos cuyas longitudes
son 2m y 23m .Calcule la longitud
(en m) del radio de la circunferencia.
A)14 B)15 C)16
D)17 E)18
8- Dos circunferencias 1
 y 2
 de
centros O y Q son tangentes
interiores en E ,el radio ON es
tangente a 2
 en T y la cuerda PH
de 1
 contiene a Q .Si 4
OT TN u
= =
,calcule ( )( )
PQ QH (en 2
u )
A)35 B)36 C)37
D)38 E)39
9- Desde un punto exterior a una
circunferencia se trazan las
tangentes PA y PC (A y C puntos de
tangencia) y la secante PBD ,tal que
BD y AC se intersecan en el punto
R .Si 9( ) 4( )
CR AR
= ,calcule
CD
AD
A)2/3 B)1/3 C)4/3
D)2 E)3
10- En un triángulo ABC de incentro I
,se traza una circunferencia que
contiene a I y es tangente a AC en
A , BT es una recta tangente a dicha
circunferencia en T . 13
AB u
= ,
15
BC u
= y 14
AC u
= ,entonces la
longitud (en u) de BT es.
A) 13 B) 17 C) 13
D) 17 E) 14
11- En un cuadrilátero convexo ABCD
,la recta mediatriz de CD interseca a
BD en Q y contiene al vértice A . Si
, 6
AB BC AD AQ m
= = = y 2
DQ m
= ,
entonces BD (en m) es.
A)5 B)6 C)7
D)8 E)9
12- En una semicircunferencia de
diámetro AB y centro O , P es punto
del radio OT , D es un punto del arco
TB y Q un punto del arco DB .Si
PQ AB , m PDOes igual a la
medida del arcoQB , 60
m DPQ =  ,
4
PD m
= y 7
OP m
= .calcule PQ .

6. A)7 B)8 C)9
D) 10 E)11
13- En un triángulo acutángulo ABC , H
es un punto de altura BF ,O es
circuncentro, M es punto medio de
BC y 60
m BAC = ,si el cuadrilátero
HBMO es inscriptible y
3 12
HB OH u
+ = .calcule HM (en u).
A)4 B)5 C)6
D) E)8
14- Se tiene una semicircunferencia de
diámetro AC y centro O que tiene el
radio OB perpendicular al diámetro
,se traza una circunferencia que
contiene a los puntos C YO e
interseca también al arco AB.Del
punto A se traza la tangente AT a la
circunferencia que intersecta al AB
en M y determinado el arco MB cuya
medida es igual 50°.Calcule m ATB
A)60° B)70° C)80°
D)100° E)20°
15- El lado AD de un cuadrado ABCD
está contenido en el diámetro AEde
una semicircunferencia de centro O
.Si la semicircunferencia interseca al
cuadrado en un punto medio de lado
BC y 2 13
CE = .Calcule la longitud
(en u) de OC
A) 17 B) 17 C) 2 17
D) 13 E)13
16- En un trapecio las diagonales son
perpendiculares y miden 3u y 4 u,
calcule la distancia del punto de
intersección de las diagonales a la
base mayor, sabiendo que dicha
distancia es igual a la longitud de la
base menor.
A) 50/37 B)60/37 C)40/37
D)5 E)3

7. COMPENDIO
SEMANA 6
C P U . U N A S A M . E D U . P E
cpuunasamoficial
EXCELENCIA EN PREPARACIÓN ACADÉMICA
Geometría