Instituto_Tecnologico_de_Acapulco - APUNTES DE SIMULACION.pdf

Instituto Tecnológico de Acapulco Catedrático: Ing. Vales Ortiz Gilberto
Ingeniería en Sistemas Computacionales Simulación
1
Instituto Tecnológico de Acapulco
Ingeniería en Sistemas
Computacionales
Apuntes de
Apuntes de
Apuntes de
Apuntes de
Simulación
Simulación
Simulación
Simulación
Catedrático
Ing. Vales Ortiz Gilberto
Alumno
Horario

2
Índice
Unidad I. Introducción a la simulación
Introducción................................................................................................................... 4
Proceso de la simulación ............................................................................................... 5
Actividades de presimulación........................................................................................ 5
Actividades de desarrollo .............................................................................................. 7
Actividades de operación .............................................................................................. 8
Consideraciones relativas a la simulación..................................................................... 9
Variables exógenas...................................................................................................... 11
Variables de estado...................................................................................................... 12
Variables endógenas.................................................................................................... 12
Parámetros................................................................................................................... 12
Características de operación........................................................................................ 12
Identidades................................................................................................................... 12
Métodos analíticos, numéricos y de simulación.......................................................... 14
Simulación de un sistema de inventarios..................................................................... 17
Unidad II. Generación de Números Pseudoaleatorios
Método de congruencias.............................................................................................. 25
Método multiplicativo ................................................................................................. 26
Computadoras binarias................................................................................................ 27
Computadoras decimales............................................................................................. 28
Pruebas estadísticas ..................................................................................................... 29
Prueba de medias......................................................................................................... 31
Prueba de varianzas..................................................................................................... 34
Prueba de poker........................................................................................................... 35
Prueba de series........................................................................................................... 37
Apéndice...................................................................................................................... 40
Definiciones................................................................................................................. 40
Teoremas ..................................................................................................................... 42
Unidad III. Generación de valores de variables aleatorias
Método de transformación inversa.............................................................................. 44
Método de rechazo ...................................................................................................... 47
Método de composición .............................................................................................. 50
Distribución de POISSON........................................................................................... 51
Distribución ERLANG................................................................................................ 53
Distribución binomial.................................................................................................. 53
Método de transformación inversa para distribuciones discretas................................ 54

3
Unidad IV. Lenguaje de Simulación
Estructura del lenguaje ................................................................................................ 58
Lenguajes específicos de simulación........................................................................... 60
Características de los lenguajes de simulación............................................................ 60
Clasificación de los lenguajes de simulación.............................................................. 61
Introducción a los bloques GPSS ................................................................................ 62
Lenguaje GPSS............................................................................................................ 64
Tipos de bloques de GPSS .......................................................................................... 70
Símbolos de los diagramas de bloques de GPSS ........................................................ 71
Simulación de los sistemas discretos........................................................................... 83
Unidad V.
Unidad V.
Unidad V.
Unidad V. Validación
Validación
Validación
Validación
Cálculo del número óptimo de simulación.................................................................. 90
Cálculo de número de réplicas .................................................................................... 92
Reducción de varianza................................................................................................. 93
Validación de resultados.............................................................................................. 95
Optimización ............................................................................................................... 97
Sensibilidad y experimentación................................................................................... 98
Monitoreo .................................................................................................................... 98
Bibliografía.................................................................................................................. 99

4
UNIDAD I
Introducción A La Simulación
La simulación consiste básicamente en construir modelos informáticos que describen la
parte esencial del comportamiento de un sistema de interés, así como en diseñar y realizar
experimentos con el modelo y extraer conclusiones de sus resultados para apoyar la toma de
decisiones. Típicamente, se utiliza en el análisis de sistemas tan complejos que no es posible su
tratamiento analítico o mediante métodos de análisis numéricos. Sus orígenes están en los
trabajos de Student para aproximar la distribución que lleva su nombre, y los métodos que Von
Neumann y Ulam introdujeron para resolver ecuaciones integrales. Desde entonces, la
Simulación ha crecido como una metodología de experimentación fundamental en campos tan
diversos como la Economía, la estadística, la Informática o la Física, y con enormes aplicaciones
industriales y comerciales, como los simuladores de vuelo, los juegos de simulación, o la
predicción bursátil o meteorológica.
Existen diversas maneras para definir el término simulación. Sin embargo debido a que se
considera a la simulación como una extensión lógica y natural de los modelos analíticos y
matemáticos, inherentes a la Investigación de Operaciones, la siguiente definición es considerada
como una de las más completas.
Simulación: “Es una técnica numérica para conducir experimentos en un computador
digital, la cual incluye ciertos tipos de relaciones lógicas y matemáticas necesarias para describir
la estructura y comportamiento de un sistema complejo del mundo real sobre un periodo de
tiempo”.
También se considera a la simulación como un proceso para describir la esencia de la
realidad, el cual incluye la construcción, experimentación y manipulación de un modelo
complejo en un computador.
El uso de la metodología de simulación ofrece ventajas y desventajas, entre las cuales
podemos mencionar las siguientes:
Ventajas:
1. La simulación hace posible estudiar y experimentar con las interacciones complejas de un
sistema dado (sin importar cuál).
2. A través de la simulación podemos estudiar el efecto de cambios ambientales,
organizacionales de cierta información, en la operación del sistema.
3. La observación detallada del sistema simulado nos permite tener una mejor comprensión
del mismo.
4. La experiencia al diseñar un modelo de simulación para computadora es más valiosa que
la simulación en sí.

5
5. La simulación nos permite experimentar con situaciones nuevas, para los cuales no se
tiene o hay poca información.
Desventajas:
1. Los modelos de simulación para computadora son costosos y requiere tiempo para
desarrollarse y validarse.
2. Se requiere gran cantidad de corridas para encontrar “soluciones óptimas”.
3. Es difícil aceptar los modelos de simulación.
4. Los modelos de simulación no son de optimización directa (son modelos de análisis).
5. Se pueden tener restricciones o limitaciones en la disponibilidad del software requerido.
Filosofía, Desarrollo E Implementación De Un Modelo De Simulación
La simulación es una de las herramientas más fáciles de usar en la ciencia administrativa,
pero posiblemente una de las más difíciles de aplicar apropiadamente.
El Proceso De La Simulación.
Es apropiado examinar el proceso completo para el cuál el análisis de simulación es
planeado y ejecutado. El diseño del modelo de simulación es en sí mismo una parte crítica de
cualquier estudio.
El proceso comprende tres tipos de actividades:
1. Actividades de presimulación.
2. Actividades de desarrollo.
3. Actividades de operación.
Actividades De Presimulación
La primera actividad es el reconocimiento del problema, este nos lleva al estudio y
análisis del sistema y culmina en el establecimiento de un objetivo dirigido a la solución del
problema.
Estos objetivos se pueden categorizar en:
Caracterización del sistema a ejecutar esto nos lleva a:
1. Selección de los parámetros de operación del sistema ya existente.
2. Selección de los parámetros de operación de un sistema propuesto.
3. Exploración del comportamiento del sistema.

6
Modificación De Un Sistema Existente
Diseño de un nuevo sistema.
En esta etapa del proceso el usuario debe evaluar las diferentes herramientas disponibles
relacionadas con su objetivo.
Ejemplos:
• EOQ: Modelo Tamaño de lote (control de inventarios) método de solución
deductivo.
• SIMPLEX: Es una solución algorítmica.
La simulación es una técnica apropiada donde no es factible experimentar con el sistema
mismo o donde las técnicas analíticas directas no son disponibles.
ACTIVIDADES DE PRESIMULACIÓN
RECONOCIMIENTO
DEL PROBLEMA
ANÁLISIS DEL
SISTEMA
ESTABLECIMIENTO
DEL OBJETIVO
DEDUCTIVO SIMULACIÓN ALGORITMO
SELECCIÓN
APROXIMADA

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Actividades De Desarrollo
Las primeras actividades de desarrollo son el diseño y la implementación del modelo de
simulación. Después que estas tareas son completadas la siguiente actividad es la “verificación
del modelo”.
En el estudio del diseño de sistemas, el propósito es producir un sistema que satisfaga
algunas especificaciones. El diseñador puede elegir o planear determinados sistemas de
componentes y conceptualmente elige una combinación determinada de componentes para
construir un sistema.
El sistema propuesto se modela y se predice su comportamiento. Un modelo validado es
aquel que ha probado comportarse tal como el diseñador lo intento. Fishman y Kiviat sugieren
técnicas para verificación incluyendo métodos estadísticos que nos llevan más allá de las
prácticas usuales de simples análisis comparativos.
La validación y verificación de un modelo parecieran ser lo mismo, pero difieren
conceptualmente de manera sutil.
Un modelo validado, es aquel que ha probado ser una “abstracción” razonable del sistema
del mundo real que intenta representar.
La aproximación usual de “validación” es la corrida del modelo con datos históricos y
comparar los resultados del modelo con los resultados del sistema para los mismos datos. Tal
comparación usualmente no es válida debido a que el modelo puede ser de naturaleza
experimental o predictivo.
El diseño estratégico se refiere a la actividad de planeación y diseño de la
experimentación, incluye la especificación de la información que va a ser determinada y la
exactitud de esta información. Existen técnicas apropiadas de diseño experimental, tales como
factorial completo, fracción factorial, etc.
La experimentación al establecer un objetivo sirve para:
1. Exploración del comportamiento del sistema
2. Optimización de los parámetros del sistema
La exploración del comportamiento del sistema intenta explicar la relación entre los
resultados de la Simulación y los parámetros controlables.
La optimización es ejecutada para encontrar la combinación de los niveles de los
parámetros los cuales minimizan o maximizan los resultados de la simulación.

8
Actividades De Operación
En esta etapa el proceso de simulación, el modelo ha sido diseñado, implementado y ha
sido planeado.
Las actividades posteriores son las de llevar a cabo la experimentación. Esta debe iniciar
con el diseño táctico de los experimentos que van a ser ejecutados. Estas actividades son: la
determinación de número de corrida, y la cantidad de datos a utilizar en cada corrida.
También incluye el establecimiento de las condiciones iniciales de las variables del
modelo, la estimación de los parámetros que alcanzan el estado de equilibrio del sistema. El
usuario debe determinar como debe reconocer el equilibrio.
Otras consideraciones son: el tamaño de la muestra requerido para los datos, las técnicas a
utilizar en la comparación del sistema alternativo, sí éste es el objeto de estudio.
Si el objetivo ha sido alcanzado, el estudio de simulación ha sido completado. No
obstante, debido a que la simulación es un proceso de prueba-error, con frecuencia el objetivo no
se puede alcanzar, entonces optamos por las dos alternativas generales disponibles.
• La primera es la de modificar el modelo.
• La segunda es la de utilizar el mismo modelo alternando el diseño del
experimento, usando nuevas técnicas.
ACTIVIDADES DE DISEÑO
DISEÑO DEL
MODELO
DISEÑO
ESTRATÉGICO DEL
EXPERIMENTAL
VERIFICACIÓN DEL
MODELO
VALIDACIÓN DEL
MODELO

9
ACTIVIDADES DE OPERACIÓN
DISEÑO TÁCTICO DE
EXPERIMENTACIÓN
OPERACIÓN DEL
MODELO
¿EXPERIMENT
O COMPLETO?
CAMBIOS EN LOS
PARAMETROS
NO
SI
ANÁLISIS DE DATOS
SIMULADOS
SE CUMPLEN
LOS OBJETIVOS?
NO
SI
MODIFICAR
EXPERIMENTO
MODELO
ALTO
Consideraciones Relativas A La Simulación
Los siguientes tópicos generalmente son cubiertos en textos de simulación:
• Control de tiempo
• Generación de números aleatorios
• Generación de V.V.A.A.
• Técnicas de reducción de varianzas
• Lenguajes de simulación
El objeto del modelo científico es permitir al analista la determinación de uno o más
cambios en los aspectos del sistema modelado que afectan otros aspectos del sistema e incluso la

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totalidad del mismo. Un modelo útil debe necesariamente incorporar elementos de dos atributos
en discrepancia: realismo y simplicidad.
Por un lado el modelo ha de ser una aproximación razonable del sistema real y por tanto
incorporar la mayor parte de los aspectos importantes de este; por otro lado, no es conveniente
que un modelo resulte tan complejo que se vuelva imposible entenderlo.
Los modelos matemáticos de sistemas económicos constan de 4 elementos bien definidos:
los componentes, las variables, los parámetros y las relaciones funcionales.
Las variables se usan para relacionar un componente con otro y se clasifican en:
a) Variables Exógenas (Independientes o de entrada del modelo)
b) Variables de Estado (Controlables o no controlables)
c) Variables Endógenas (Dependientes o de salida del sistema)
Las variables que aparecen en los modelos económicos se emplean para relacionar un
componente con otro y se clasifican, convenientemente, como variables exógenas, variables de
estado y variables endógenas.
Las variables exógenas son las independientes o de entrada del modelo y se supone que
han sido predeterminadas y proporcionadas independientemente del sistema que se modela.
Es posible clasificar las variables exógenas en controlables y no controlables. Las
controlables son aquellas variables o parámetros susceptibles de manipulación o control por
quienes toman decisiones. Las no controlables las genera el medio ambiente en el cual el sistema
modelado existe y no el sistema en si o los encargados de tomar decisiones.
Las variables de estado describen el estado de un sistema o uno de sus componentes, ya
sea al comienzo, al final o durante un período de tiempo.
El valor de una variable de estado, durante un período particular de tiempo, puede
depender no solamente de los valores de una o más variables exógenas en algún período
precedente, sino también del valor de ciertas variables de salida en períodos anteriores.
Las variables de estado de una empresa podrían incluir el efectivo, el inventario y el
pasivo de un período particular (de tiempo), así como también las ventas en algún período
precedente y los gastos de propagandas para algún período futuro.
Las variables endógenas son las dependientes o de salida del sistema y son generadas por
la interacción de las variables exógenas con las de estado, de acuerdo con las características de
operación del último.
El hecho que una variable en particular este clasificado como exógena, de estado o
endógena, depende del propósito de la investigación.

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Las variables exógenas se emplean en dos formas diferentes en experimentos de
simulación: es posible tratarlas como los parámetros dados, las cuales tienen, por supuesto, que
estimarse con anterioridad y almacenarse dentro de la computadora como datos de entrada; si
son variables estocásticas, existe la posibilidad de generarlas internamente en la computadora.
Hay dos relaciones funcionales que describen la interacción de las variables y los
componentes de un modelo económico: las identidades y las características de operación.
Las identidades tomaran la forma de definiciones o declaraciones tautológicas, relativas a
los componentes del modelo. Una característica de operación es una hipótesis, generalmente
una ecuación matemática, que relacionan las variables endógenas y de estado del sistema, con sus
variables exógenas.
Para ilustrar el sistema de clasificación de elementos de los modelos matemáticos
considérese el siguiente ejemplo:
Se considera un modelo simple de un fenómeno de espera, de un solo canal y con
estaciones múltiples para una empresa. Los componentes de este modelo se ilustran en la figura
1. Y consiste de ordenes que llegan a la empresa y procesos, a través de los cuales, una orden
pasara antes de completarse.
El propósito del modelo es relacionar el tiempo total que requiere una orden para pasar a
través de n procesos, con la forma en que llegan las órdenes y el tiempo que consume cada uno
de tales procesos.
El modelo contiene las siguientes variables, parámetros, características de operación e
identidades.
Variables Exógenas.
ATi = El intervalo de tiempo entre la llegada de la i-ésima orden y la (i-1)-ésima orden, en
donde i=1,2,...,m.
STij = El tiempo de procesamiento para la i-ésima orden en el j-ésimo proceso en donde
i=1,...,m y j=1,2,...,n.
PEDIDOS DE
FÁBRICA
PROCESO
1
PROCESO
2
PROCESO
n
…
Fig1. Diagrama de flujo de una empresa con procesos múltiples.

12
AT1 = 0
WT11 = 0, WT12 = 0,..., WT1n = 0 n-1
IDT11 = 0, IDT12 = ST11,..., IDT1n = ∑ST1j
j=1
T11 = ST11, T12 = ST12,..., T1n = ST1n
Variables De Estado.
WTij = el tiempo que la i-ésima orden espera para entrar al j-ésimo proceso, en donde
i=1,...,m y j=1,...,n.
IDTij = el tiempo que el proceso j-ésimo permanece ocioso mientras que espera la llegada
de la i-ésima orden, en donde i=1,...,m y j=1,...n.
Tij = el tiempo total que la i-ésima orden esta en el j-ésimo proceso, donde i=1,...,m y
j=1,...,n.
Variables Endógenas.
Ti = el tiempo total que la i-ésima orden esta en el sistema, es decir, el tiempo requerido
para pasar a través de los n procesos.
Parámetros
E (AT) = El intervalo de tiempo esperado entre las órdenes.
Var (AT) = La varianza del intervalo del tiempo entre las órdenes.
E (STij) = El tiempo esperado para el j-ésimo proceso donde j=1,2,...n.
Var (STij) = La varianza del tiempo para el j-ésimo proceso donde j=1,2,...n.
Características De Operación
f (ATi) = La función de densidad de probabilidad para el intervalo de tiempo entre las
órdenes.
f (STij) = La función de densidad de probabilidad para el tiempo de procesamiento del
j-ésimo proceso donde j=1,...,n.
Identidades
Cuando la primera orden llega a la empresa, es decir, cuando i=1, se supone que las
siguientes ecuaciones describen el sistema de procesos múltiples:

13
Para órdenes subsiguientes, esto es, cuando i = 2,3,...,m, estas ecuaciones se modifican
adecuadamente; las ecuaciones de tiempo se convierten en:
Que el tiempo de espera o el tiempo de ocio, ocurra en un momento particular, depende
del signo de las diferencias siguientes, donde i = 2,. . .,m :
Si DIFj es positiva para el j-ésimo proceso, entonces el tiempo de ocio será nulo y el
tiempo de espera puede calcularse con:
Si DIFj es negativo para un proceso en particular, entonces el tiempo de espera será nulo y
el tiempo de ocio será igual a:
Si DIFj es igual a cero para un proceso en particular, entonces el tiempo de espera y el
tiempo de ocio, serán nulos para ese proceso.
Este modelo de una empresa con procesos múltiples, tiene varias aplicaciones posibles,
por ejemplo, supóngase que al comprar un equipo nuevo, la empresa reducirá, un 50% el tiempo
esperado de procesamiento, para un proceso en particular. El modelo servirá entonces para
estimar el aumento esperado en el número total de órdenes, que es posible procesar
completamente durante un período particular de planeación, para determinar sí la empresa esta
justificada en la compra del nuevo equipo.
Ti1 = WTi1 + STi1 i=2,...,m
Ti2 = WTi2 + STi2 i=2,...,m
. . . . . . . . . . . . . . .
Tin = WTin + STin i=2,...,m
DIF1 = Ti-1, 1 - ATi
DIF2 = (Ti-1, 1 + Ti-1, 2) – (ATi + WTi1 + STi1)
...................................................................................
DIFn = (Ti-1, 1 + Ti-1, 2 + ... + Ti-1, n) – (ATi + WTi1 + STi1 + ... + WTi, n-1 + STi, n-1)
WTij = DIFj i = 2,...,m j = 1,...,n
IDTij = - DIFj i = 2,...,m j = 1,...,n

14
Métodos Analíticos, Numéricos Y De Simulación
Consideremos un ejemplo simplificado de un ordenador, compuesto por un sistema de
entrada/salida (E/S) y una unidad de proceso (CPU). El ordenador falla cuando lo hace alguno de
los componentes. Expresado matemáticamente, si X1 designa el fallo de E/S, X2 el tiempo hasta
el fallo de la CPU, y T el tiempo hasta el fallo del ordenador, tenemos T= min(X1, X2).
Habitualmente, habrá incertidumbre sobre los tiempos anteriores, por lo que consideramos que
X1, X2 y T son variables aleatorias. Supongamos que estamos interesados en calcular el tiempo
esperado E(T) hasta el fallo, tal vez como parte de un estudio destinado a mejorar la fiabilidad del
ordenador. Para simplificar la exposición, supongamos que Xi es exponencial de parámetro
2
,
1
, =
i
i
µ , y ambas variables aleatorias son independientes. En este caso, tenemos que
∫ ∫
∞ ∞
−
−
=
0 0
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
)
,
min(
)
( dx
dx
e
e
x
x
T
E x
x µ
µ
µ
µ
Aproximación Analítica
Apelamos a resultados del Cálculo de Probabilidades, teniendo en cuenta la independencia y el
tipo de distribuciones. Resulta
( ) ( ) ( ) ( )t
t
t
e
e
e
t
X
P
t
X
t
X
P
t
T
P 2
1
2
1
1
2
1 , µ
µ
µ
µ +
−
−
−
=
=
>
=
>
>
=
>
Por lo tanto, T tiene distribución exponencial de parámetro 2
1 µ
µ + , con lo cual
2
1
1
)
(
µ
µ +
=
T
E .
Por ejemplo, si 1
1 =
µ , 2
2 =
µ ,
3
1
)
( =
T
E .
Observemos que para esta aproximación resulta esencial emplear hipótesis de independencia y
exponencialidad, de manera que el razonamiento empleado es poco robusto; si cambiamos alguna
de esas dos hipótesis, el cálculo exacto puede resultar mucho más complicado e, incluso,
imposible de obtener mediante un método analítico.
Aproximación Numérica.
Una posibilidad, en tal caso, es apelar a algún procedimiento de integración numérica.
Típicamente, un paso inicial será reparametrizar el problema, de manera que la región de
integración sea acotada. Por ejemplo, tenemos que, haciendo el cambio de variable
( )
i
i
i
u
X
µ
−
−
=
1
ln
( )
( ) ( )
2
1
1
0
1
0 2
2
1
1 1
ln
,
1
ln
min du
du
u
u
T
E ∫∫ 






 −
−
−
=
µ
µ

15
y podemos aplicar, por ejemplo, la regla del trapecio. En nuestro caso, con 15 nodos y, como
antes, 1
1 =
µ , 2
2 =
µ , obtenemos el valor .317 como aproximación del tiempo esperado hasta el
fallo.
Obsérvese que la estrategia numérica adoptada es más robusta, en el sentido de que si sustituimos
alguna de las dos hipótesis, somos aún capaces de utilizarla. El inconveniente estará en que al
aumentar la dimensión de la región de integración, la aproximación resultará cada vez más
ineficaz.
Aproximación Basada en Simulación.
La aproximación basada en simulación consistirá en construir un programa que describa el
comportamiento del sistema y realizar experimentos con él. En este caso, podríamos utilizar
tiempofallo=0
desde i=1 hasta n
desde j=1 hasta 2
generar Uj uniforme en (0,1)
hacer j
j
j u
X µ
))
1
(ln( −
−
=
tiempofallo=tiempofallo + min(X1, X2)
esp(tiempofallo)=tiempofallo/n
Esencialmente, el programa simula tiempos de fallo X1, X2 y calcula el mínimo de ellos,
repitiéndose el proceso n veces, esto es, simulando n caídas del sistema.
El proceso de generar U1 y luego transformarla mediante i
i
i u
X µ
))
1
(ln( −
−
= , nos permite
simular tiempos hasta rotura del componente i-ésimo. Para la aplicación particular, supongamos
que tenemos acceso a la tabla 1.1 de números aleatorios. Por ejemplo, si decidimos que n=20,
podemos escoger los 20 primeros números para generar los U1
16 82 39 86 86 73 07 32 72 35 12 82 87 21 30 30 60 53 89 92
Y los últimos para generar U2.
38 63 63 30 36 25 66 30 53 98 49 78 40 92 80 97 67 46 38 34
Para ello, asociamos al número correspondiente el cociente resultante son 16 y 38, con lo cual
U1=.16, U2=.38, X1=.17, X2=.24 y min(X1, X2)=.17. Repitiendo el proceso, resulta la estimación
.308.
16 82 39 86 86 73 07 32 72 35 12 82 87 21 30 30 60 53 89 92
99 77 85 43 72 34 52 99 30 86 81 40 18 61 20 16 92 39 34 44
01 48 69 32 37 05 99 27 23 55 88 47 38 48 53 79 41 08 73 95
08 34 04 83 42 92 64 49 51 23 44 62 75 43 09 22 55 51 38 18
09 22 76 47 23 99 48 66 26 73 95 53 37 47 00 43 66 80 44 18
64 18 83 13 90 95 64 21 97 09 86 59 99 70 20 73 35 11 81 57

16
77 67 94 40 00 12 26 45 77 54 21 51 91 91 28 74 47 00 53 95
73 01 20 47 86 40 71 03 13 36 98 50 48 45 30 23 40 85 76 63
72 67 37 77 52 79 93 67 57 78 77 07 58 19 48 32 72 94 66 11
58 96 79 92 08 88 46 62 58 96 75 18 57 89 21 17 26 92 26 63
41 69 24 18 81 29 14 06 67 15 23 70 27 89 40 77 31 98 71 15
16 45 84 78 49 17 84 92 51 12 08 78 30 35 63 84 34 68 97 10
92 09 48 47 40 81 30 44 03 98 19 38 33 07 00 55 70 65 24 19
26 92 58 75 64 61 49 58 68 45 09 32 76 03 29 08 73 11 33 79
17 33 86 83 91 26 51 12 57 73 21 12 09 58 24 64 91 53 24 92
91 41 97 06 57 45 39 16 64 92 66 18 78 71 55 99 29 18 02 56
52 00 40 81 14 06 94 03 71 39 09 33 74 08 42 15 85 08 35 30
10 07 82 40 99 00 91 31 44 73 51 42 08 28 31 35 20 07 85 96
70 70 14 24 43 71 60 86 17 85 61 05 65 10 68 73 03 31 45 23
96 50 32 72 89 62 28 76 60 00 52 94 67 16 32 08 88 27 01 94
20 89 41 95 46 28 45 92 21 97 51 15 02 82 11 95 65 27 50 08
30 99 84 95 47 72 38 22 55 44 50 61 71 58 86 49 25 60 69 17
94 53 29 42 38 74 90 06 18 71 99 27 84 88 03 43 07 53 96 02
50 61 25 57 55 50 92 14 39 77 29 17 73 75 83 38 40 02 06 47
38 63 63 30 36 25 66 30 53 98 49 78 40 92 80 97 67 46 38 34
Tabla 1.1 Números Aleatorios
Por supuesto, si escogemos otra muestra de la tabla, lo que correspondería a una nueva
replicación del experimento, obtendremos una estimación diferente.

17
Simulación De Un Sistema De Inventarios
La simulación es usada para comparar alternativas ordenando políticas para un sistema de
inventarios. Muchos de los elementos de modelos representativos son encontrados en sistemas
de inventarios actuales.
Planteamiento del problema
Una compañía vende un producto en particular. Desea saber cuantos de estos productos se
tendría en el inventario para cada uno de los próximos “n” meses.
Los tiempos entre las demandas son variables aleatorias IID, con una media de 0.1 mes.
Los tamaños de las demandas D, son variables aleatorias IID, con
Al inicio de cada mes la compañía revisa el nivel del inventario y decide cuantos artículos
ordenar de su proveedor. Si la compañía ordena Z artículos, incurre en un costo de K+iZ, donde
K = $32 que es el costo de preparación e i = $3 que es el costo incremental por artículo ordenado.
(si Z = 0, este costo no ocurre). Cuando una orden es colocada, el tiempo requerido para que esta
llegue (llamado periodo de entrega o Leadtime) es una variable aleatoria que esta distribuida
uniformemente entre 0.5 y 1 mes.
La compañía usa una política (s,S) para decidir cuanto ordenar, i.e.
S – I si I < s
Z =
0 si I ≥ s
donde I es el nivel del inventario al inicio del mes.
Cuando una demanda ocurre, esta es satisfecha inmediatamente si el nivel del inventario
es al menos tan grande como la demanda. Si la demanda excede el nivel del inventario, el exceso
sobre el suministro es acumulado y satisfecho por futuras entregas. (En este caso, el nuevo nivel
del inventario es igual al nivel del inventario anterior menos el tamaño de la demanda, resultando
en un nivel del inventario negativo). Cuando una orden llega, primero es usada para eliminar
cuando mucho tanto como sea posible las demandas pendientes; el resto de la orden es agregada
al inventario.
Hasta ahora, hemos discutido solamente un tipo de costo incurrido por el sistema de
inventario, el costo de ordenar. Sin embargo, en la mayoría de los sistemas reales también hay
dos tipos de costos adicionales, costo de mantenimiento y de escasez o déficit, los cuales
1 w.p 1/6
2 w.p 1/3
3 w.p 1/3
4 w.p 1/6
D = donde w.p. se lee ”con probabilidad”.

18
discutiremos después de introducir algunas anotaciones adicionales. Sea I(t) el nivel del
inventario en el tiempo t[ note que I(t) podría ser positivo, negativo o cero]; sea I+
(t)= max
[I(t),0] el número de artículos físicamente disponibles en el inventario en el tiempo t[note que
I+
(t)≥0]; y I-
(t)= max [-I(t),0] los pendientes en el tiempo t[I-
(t)≥0 también]. Una posible
realización de I(t), I+
(t), I-
(t) se muestra en la figura 1.41. Los puntos en el tiempo que I(t)
decrece son los únicos en los cuales la demanda ocurre.
I(t): Nivel del inventario en el tiempo t, siendo el valor de t positivo, negativo o cero.
I^+(t)=max {I(t),0}: Es el número de artículos físicamente disponibles en el tiempo t del
inventario.
El tiempo de los puntos al cual I(t) decrece son los únicos puntos donde ocurre la demanda.
Para nuestro modelo, debemos asumir que la compañía incurre en un costo de
mantenimiento de h=1 por artículo por mes mantenido en el inventario. El costo de
mantenimiento incluye tales costos como la renta del almacén, seguros, impuestos, y
mantenimiento también como el costo de oportunidad de tener el capital en el inventario que
invertir en otra parte.
Hemos ignorado en nuestra formulación el hecho de que algunos costos de mantenimiento
ya incurrieron cuando I+
(t)=0. Sin embargo, dado que nuestro objetivo es comparar políticas de
ordenar, ignorando este factor, que después de todo es independiente de la política usada, no
afectará en nuestra evaluación de qué política es la mejor. Ahora dado que I+
(t) es el número de
Punto de Orden Orden de arribo Punto de Orden

19
artículos mantenidos en el inventario en el tiempo t, el tiempo promedio (por mes) número de
artículos mantenidos en el inventario por un periodo de n meses es
Que es semejante a la definición del número de tiempo promedio de clientes en la cola.
Así el tiempo promedio del costo de mantenimiento por mes es hI+
Similarmente, suponga que la compañía incurre un costo de déficit de ∏=$5 por artículo
por mes en déficit; esto cuenta para el registro de los costos extraguardado cuando existe un
déficit, también la perdida de buenos clientes. El número de promedio de veces de artículos en
déficit esta dado por es
Así que el costo promedio de atrasos por mes es ∏I-
.
Asuma que el nivel de inventario inicial es I(0)=60 y que no ordenar no es importante.
Simulemos el sistema de inventario para n = 120 meses y use el costo total promedio por mes
(que es la suma del costo de ordenar promedio por mes, el costo de mantenimiento promedio por
mes y el costo de déficit promedio por mes) para comparar las siguientes nueve políticas de
inventario.
s 20 20 20 20 40 40 40 60 60
S 40 60 80 100 60 80 100 80 100
No discutiremos aquí el resultado de cómo estas políticas particulares fueron elegidas para
su consideración, técnicas estadísticas para hacer tal consideración serán discutidas más adelante.
Note que las variables de estado para un modelo de simulación de este sistema de
inventario son el nivel de inventario I(t), la cantidad de una orden prominente de la compañía al
proveedor, y el tiempo del ultimo evento.[el cual es necesaria para calcular las áreas bajo las
funciones I+
(t) e I-
(t)]

20
ORGANIZACIÓN Y LÓGICA DEL PROGRAMA
El modelo de sistema de inventario usa los siguientes tipos de eventos.
Descripción del evento Tipo del evento
Llegada de una orden a la compañía del proveedor 1
Demanda para el producto de un cliente 2
Termino de la simulación después de n-meses 3
Evaluación del inventario (al inicio de mes) 4
Hemos tenido que hacer el fin de la simulación, como un evento de tipo 3 en lugar del
tipo 4, ambos eventos “fin-simulación” y “evaluación-inventario” desde el tiempo 120 que serán
eventualmente programar y querer ejecutar el primer evento anterior en este tiempo. (Puesto que
la simulación se hace después del tiempo 120, no hay sentido en la evaluación del inventario y un
posible ordenamiento, incurriendo en un costo de ordenar por una orden que nunca llegará). La
ejecución del evento tipo 3 antes del evento tipo 4 es garantizado por que la rutina del tiempo da
preferencia al mas bajo evento numerado, si dos o mas eventos son programados para ocurrir al
mismo tiempo. En general un modelo de simulación sería designado a procesar eventos en un
orden apropiado cuando un ciclo de tiempo ocurra.
La grafica de un evento aparece en la figura 1.42
Hay tres tipos de variables aleatorias que se necesitan para simular este sistema. Los
tiempos indeterminados son distribuidos exponencialmente, así que el mismo algoritmo (y
código) como se desarrollo en la sección 1.4 pueden ser usados aquí.
El tamaño de demanda de la variable aleatoria D deberá ser discreta, como se describió
anteriormente, y puede ser generada como sigue. Primero se divide el intervalo unitario en
subintervalos contiguos C1 [0, 1/6), C2=[1/6, 1/2), C3=[1/2, 5/6), y C4=[5/6,1], y se obtiene una
variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo U(0,1), si U cae en C1, regresa D=1;
si U cae en C2, regresa D=2 ; y así sucesivamente.
Orden de
llegada
Demanda Evaluación
Termino de
la simulación

21
Evento de
orden de llegada
Incremento del nivel de
inventario por la cantidad
previamente ordenada
Eliminar evento de orden de
llegada de consideración
Regreso
Por tanto el ancho de C1 es 1/6–0=1/6 , y por tanto U (generador de Nº aleatorios) es
uniformemente distribuido sobre [0,1] , la probabilidad que U caiga en C1, (y así que regresamos
D=1) es 1/6; esto concuerda con la probabilidad deseada que D=1, similarmente regresamos a
D=2, si U cae en C2 teniendo una probabilidad igual al ancho de C2, ½ - 1/6= 1/3, como se
deseó y así para los siguientes intervalos.
Los subprogramas para generar los tamaños de demandas todos usan estos principios y
toman como entrada el interruptor de puntos definiendo los subintervalos de llegada anterior los
cuales son las probabilidades acumuladas de la distribución de D.
Los atrasos en las entregas son uniformemente distribuidos pero no sobre el intervalo
unitario [0,1]. En general podemos generar una variable aleatoria uniformemente distribuida
sobre cualquier intervalo [a,b] generando un numero aleatorio U(0,1) y después regresar a
a+U(b – a).
De los cuatro eventos solamente 3 involucran verdaderamente el cambio de estado (el
termino de eventos de simulación es la excepción) por lo tanto su lógica, es un lenguaje
independiente.
En el evento llegada – orden, se muestra en la figura 1.43 y debemos hacer los cambios
necesarios cuando una orden llegue del proveedor. El nivel del inventario es incrementado y
desde su consideración del evento llegada de una orden debe ser eliminada.
Evento de Orden de Llegada

22
Evento evaluación
del inventario
Si
I(t)<s?
Determine la cuenta de
orden [S – I(t)]
Costo de orden incurrido y
recoger estadísticas
Programar el evento orden
de llegada para esta orden
Programar el próximo
evento evaluación del
inventario
Return
El evento de la demanda está dado en la figura 1.44 y procesa los cambios necesarios para
representar un caso de demanda. Primero, el tamaño de la demanda es generada, y el inventario
es decrementado por esta cantidad. Finalmente el tiempo de la próxima demanda es programada
en la lista de eventos. Note que esto ocurre donde el nivel del inventario pueda ser negativo.
El evento evaluación del inventario tiene lugar en el comienzo de cada mes, su diagrama
de flujo es el siguiente. Fig. 1.45
Si el nivel del inventario I(t) en el tiempo de evaluación es al menos s, entonces ninguna
orden se coloca, y no se hace nada excepto la programación de la siguiente evaluación en la lista
de eventos. En cambio, si I(t)<s, colocamos una orden para S – I(t) artículos. Esto es hecho para
almacenar la cantidad de ordenar [S – I(t)]hasta la llegada de la orden, y programar su tiempo de
llegada. En este caso también, queremos programar el próximo evento evaluación del inventario.
Como en el modelo de colas de un solo servidor, es conveniente escribir una rutina para
actualizar los acumuladores de la estadística de tiempo continuo. Para este modelo, sin embargo,
haciendo esto ligeramente mas complicado, daremos al diagrama de flujo.

23
El principal punto es si necesitamos actualizar el área debajo de I-
(t) o I+
(t) (o ninguno).
Si el nivel de inventario ha sido negativo desde el ultimo evento, entonces tenemos un atraso, en
el área debajo de I-
(t) solo estaríamos actualizando. En cambio si el nivel del inventario ha sido
positivo necesitamos actualizar en el área I+
(t). Si el nivel de inventario ha sido cero no se
necesita actualizar. El código en ambos lenguajes para esta rutina también trae la variable de
tiempo del último evento al tiempo presente. Esta rutina será invocada desde el programa
principal justo después de regresar de la rutina coordinada. Ignorando el tipo de evento o si le
nivel del inventario esta actualizado en los cambios en estos puntos. Esto proporciona una simple
manera de actualizar integrales para estadísticas de tiempos continuos.

24
0 x<0
x 0<x<1
1 x>1
F(X) =
UNIDAD II
Generación De Números Pseudoaleatorios
En principio definiremos la función de distribución acumulada para la distribución
uniforme estandarizada como:
En la práctica, se requieren sucesiones de números aleatorios para la generación de los
datos de entrada para el proceso de simulación.
Se tienen cuatro métodos alternativos para generar o proveer sucesiones de números
aleatorios:
1. Métodos manuales {lanzamiento de monedas, dados, cartas, ruleta, etc.}
2. Tablas {corporación rand}
3. Métodos analógicos de computación
4. Métodos de computación digitales
Los métodos analógicos comprenden el uso de procesos físicos aleatorios
(comportamiento de corriente eléctrica), se considera que producen verdaderos números
aleatorios.
En el caso de los métodos digitales hay 3 formas para proveerse de números aleatorios:
provisión externa, generación interna por medio de un proceso físico al azar, generación interna
por medio de una relación de recurrencia.
En el caso de provisión externa, lo que se hace es, grabar las tablas de números aleatorios
en una cinta del sistema de la computadora digital.
La segunda alternativa utiliza un aditamento de la computadora que puede registrar los
resultados de algún proceso aleatorio y que los traduzca a sucesiones de dígitos, tales procesos
pueden ser el decaimiento radiactivo, el ruido térmico, entre otros.
El defecto de estos procedimientos analógicos es el de que las sucesiones así generadas no
pueden reproducirse.
La generación interna por medio de una relación de recurrencia, comprende la
generación por medio de una “transformación indefinidamente continuada” aplicada a un grupo
de números elegidos en forma arbitraria.

25
ni+1 ≡ a ni + c (mod m) → 1
donde:
ni, a, c y m : son enteros no negativos
para i= 0,1,2,... al desarrollar la ecuación
n1= a n0 + c (mod m)
n2= a n1 c= a(an0 + c) + c ≡ a2
n0 + (a +1)c (mod m)
n3= a3
n0 (a2
-a+1)c = a3
n0 + c (a2
-1) (mod m)
. (a-1)
.
.
ni= ai
no + c(ai
-1) (mod m) → 2
(a-1)
n0 = constante inicial
c = constante aditiva
a = constante multiplicativa
El primer método conocido para generar números aleatorios de manera recurrente se
considera que es de los “cuadrados centrales”, en el que cada número de la sucesión se obtiene
tomando los dígitos centrales del cuadrado del número precedente.
En la actualidad se prefiere el uso del método de “congruencias” para generar números
aleatorios satisfactorios.
Cualquiera que sea el método para generar números aleatorios debe satisfacer las
siguientes condiciones:
Deben ser:
1. Uniformemente distribuidos
2. Estadísticamente independientes
3. Reproducibles
4. Sin repetición dentro de una longitud determinada de la sucesión
5. Generación a grandes velocidades
6. Requerir el mínimo de capacidad de almacenamiento
Método De Congruencias:
Estos métodos se basan en una relación fundamental de congruencias que se expresa
como:

26
Los términos de la sucesión {ni} forman una sucesión de residuos modulo m, es decir, ni <
m ∀ ni; a partir de los números enteros de la sucesión {ni} se pueden obtener números racionales
en el intervalo (0,1) con solo formar la sucesión:
{ri} = {ni / m}
Respecto a la pregunta de que si existe un mínimo valor positivo para i, i=h tal que nh = n0
donde h es el período de la sucesión {ni}; si h existe, cabe preguntarse que condiciones se pueden
imponer sobre n0, a, c y m de manera que el periodo de {ni} sea lo más largo posible.
Se tienen 3 versiones del método de congruencias para generar números
pseudoaleatorios:
1. Método Aditivo
Ni+1 = ni + ni-k (mod m)
Si k = 1 se tiene la sucesión de Fibonacci
2. Método Multiplicativo
Produce una sucesión {ni} donde cada número es menor que m.
Ni+1 ≡ ani (mod m)
Este método tiene buenos resultados estadísticos en relación con las
pruebas de aleatoriedad e independencia.
3. Método Mixto
Ni+1 ≡ ani + c (mod m)
Método Multiplicativo
El modulo que emplea este método es m = pe
donde “p” representa el número de
guarismos del sistema numérico que usa la computadora y “e” denota el número de dígitos en
una palabra. En computadoras binarias p=2; en computadoras decimales p=10.
La ecuación recursiva para generar residuos potenciales es:
ni+1 ≡ ani (mod pe
)

27
Computadoras Binarias
m = 2b
b = número de bits de palabra b >2
h = 2b-2
máximo período que se puede obtener
El problema se reduce a encontrar multiplicadores que tengan orden h=2b-2
; a tiene que
ser primo relativo de m=2b
y por lo tanto tiene que ser impar.
Los valores de a se encuentran en una clase residual que se representa por:
a ≡ ± 3 (mod 8) ó a = 8t ± 3
t = 0, 1, 2, 3,..... entero positivo
Los valores de a próximos a 2b/2
minimizan la correlación en serie de primer orden. Con
respecto al valor inicial no, este debe ser primo relativo de m = 2b
, entonces n0 puede ser
cualquier número entero impar.
Procedimiento:
1. Se escoge cualquier número impar como valor inicial n0
2. Se elige un entero a = 8t ± 3
3. Se calcula an0 usando aritmética entera de punto fijo. Este producto consta de 2b
bits, de los cuales se descartan los bits de orden superior, dejando para n1 los bits
restantes.
4. Se calcula r1 = n1 / 2b
= n1 / 2b
5. Cada número aleatorio sucesivo ni+1 se obtiene a partir de los bits de menor
orden en el producto ani
Ejemplo:
Sea b = 4, m = 24
= 16 y h = 24-2
= 4
1.- n0 = 7 n0 = 0111
2.- a cerca de 2b/2
= 4 si t = 1, a puede ser 5 ó 3
si a = 5 a = 0101
3.- ano = (0101)(0111) = 00100011
n1 = 0011 r1 = 3/16 = 0.1875
4.- an1 = (0101)(0011) = 00001111
n2 = 1111 r2 = 15/16 = 0.9375

28
5.- an2 = (0101)(1111) = 01001011
n3 = 1011 r3 = 11/16 = 0.6875
6.- an3 = (0101)(1011) = 00110111
n4 = 0111 r4 = 7/16 = 0.4375
y así sucesivamente...
Computadoras Decimales
m = 10d
= 2d
5d
d = número de dígitos decimales de la palabra. d>3
a = debe ser número primo relativo de 10d
El orden h de a (mod 10d
) es: h = m.c.m. [2d-2
,4 * 5d-1
] = 5 * 10d-2
Los multiplicadores constantes con período 5 * 10d-2
se pueden ubicar en 32 clases
residuales distintas mod 200, dado por:
a = ± (3, 11, 13, 19, 21, 27, 29, 37, 53, 59, 61, 67,69, 77, 83, 91) (mod 200)
ó también se puede expresar como:
a = 200t ± p t = 0, 1, 2, 3, ...
p = uno de los 32 números dados anteriormente.
De igual modo n0 debe ser primo relativo de m = 10d
, lo cual implica que tiene que ser
impar, no divisible entre 5 para seleccionarse como valor inicial.
a ≈ 10d/2
El procedimiento es semejante al caso binario:
1. Selecciónese n0, un número impar no divisible entre 5.
2. Selecciónese a = 200t ± p
a ≈ 10d/2
3. Calcular an0 utilizando aritmética entera de punto fijo.
4. Calcular r1 = n1/10d
5. Cada número aleatorio subsecuente ni+1 se obtiene a partir de los dígitos de
menor orden del producto ani.

29
Ejemplo:
Sea d = 4, m = 104
= 10,000, h = 5*104-2
= 500
1.- n0 = 5379
2.- a ≈ 102
= 100
a = 200(0)+91 ó a = 200(1)-91
a = 91 ó a =109
3.- an0 = (0091)(5379) =00489489
n1 = 9489 r1 = 9489 = 0.9484
10000
y así sucesivamente...
Pruebas Estadísticas
Las propiedades estadísticas que deben poseer los números pseudoaleatorios generados
por los métodos congruenciales tiene que ver con independencia y aleatoriedad estadísticas.
La prueba de la frecuencia se usa para comprobar la uniformidad de una sucesión de N
números pseudoaleatorios. Para cada conjunto de N números pseudoaleatorios r1, r2,...rn, se
divide el intervalo unitario (0,1) en x subintervalos iguales; el número esperado de números
pseudoaleatorios que se encontrarán en cada subintervalo es N/x. Si fj (j=1, 2...x) denota el
número que realmente se tiene de números pseudoaleatorios ri (i=1,2,...N) en el subintervalo (j-
1)/ x ≤ ri < j/x entonces el estadístico:






=
N
x
2
1
χ
2
1
∑
=






−
x
j
j
x
N
f
tiene aproximadamente una distribución x2
con x-1 g.l…
La hipótesis de que los números pseudoaleatorios en el de conjunto de N números
pseudoaleatorios, son verdaderos números pseudoaleatorios, debe rechazarse si x1
2
con x-1 g.l.
excede su valor critico fijado por el nivel de significancia deseado.

30
Ejercicio:
Verificar que el conjunto de 100 números aleatorios se distribuye uniformemente, con
α = 5%.
0.001213 0.898980 0.578800 0.676216 0.050106
0.499629 0.282693 0.730594 0.701195 0.182840
0.108501 0.386183 0.769105 0.683348 0.551702
0.557434 0.799824 0.456790 0.216310 0.876167
0.092645 0.589628 0.332164 0.031858 0.611683
0.762627 0.696237 0.170288 0.054759 0.915126
0.032722 0.299315 0.308614 0.833586 0.517813
0.352862 0.574100 0.265936 0.859031 0.433081
0.941875 0.240002 0.655595 0.385079 0.908297
0.199044 0.936553 0.888098 0.817720 0.369820
0.339548 0.543258 0.624006 0.091330 0.416789
0.155062 0.582447 0.858532 0.887525 0.337294
0.751033 0.239493 0.535597 0.333813 0.493837
0.634536 0.199621 0.650020 0.745759 0.791130
0.227241 0.191479 0.406443 0.081288 0.734352
0.721023 0.222878 0.072814 0.641837 0.442675
0.789616 0.052303 0.106994 0.558774 0.141519
0.760869 0.120791 0.277380 0.657266 0.792691
0.805180 0.826543 0.294530 0.208524 0.429894
0.585186 0.986111 0.344882 0.343580 0.115375
Fo 10 11 11 11 8 11 10 13 10 5
Para resolverlo se utiliza la siguiente ecuación:
( )
∑
−
=
E
F
E
F
O
F
.
.
.
2
2
1
χ
0 - 0.1 0.1 – 0.2 0.2 – 0.3 0.3 - 0.4 0.4 – 0.5 0.5 – 0.6 0.6 – 0.7 0.7 – 0.8 0.8 – 0.9 0.9 – 1.0
0.001213 0.108501 0.227241 0.352862 0.499629 0.557434 0.634536 0.762627 0.805480 0.941875
0.092645 0.199044 0.282693 0.339548 0.456790 0.585186 0.696237 0.751033 0.898980 0.936553
0.032722 0.155062 0.299315 0.386183 0.406443 0.589628 0.655595 0.721023 0.826543 0.986111
0.052303 0.199621 0.210002 0.332164 0.433081 0.574100 0.624006 0.789616 0.888098 0.915126
0.072814 0.191479 0.239493 0.308614 0.416789 0.543258 0.650020 0.760869 0.858532 0.908297
0.031858 0.120791 0.222878 0.344882 0.493837 0.582447 0.676216 0.799824 0.833586
0.054759 0.170288 0.265936 0.385079 0.442675 0.578800 0.683348 0.730594 0.859031
0.091330 0.106944 0.277380 0.333813 0.429894 0.535597 0.641837 0.779105 0.817720
0.081128 0.182840 0.294530 0.343580 0.558774 0.657266 0.701195 0.887525
0.050106 0.141519 0.216310 0.369820 0.551502 0.611683 0.745795 0.876167
0.115375 0.208524 0.337294 0.517813 0.791130
0.734352
0.792691

31
Donde:
F.E. = Total de números aleatorios = 100 = 10
Números de subintervalos 10
F.O. = Total de números observados en cada subintervalo.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
.
4
10
10
5
10
10
10
10
10
13
10
10
10
10
10
11
10
10
8
10
10
11
10
10
11
10
10
11
10
10
10
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
χ
χ
Nosotros especificamos arbitrariamente un valor de α = 0.05 (esto significa un error del tipo
I del 5%) el valor obtenido de χ1
2
= 4.2 así pues podemos compararlo con el valor crítico de:
X2
0.05(9) = 16.919
Puesto que X2
0.05(9) = 16.919 > χ1
2
= 4.2, entonces podemos decir que la tabla de números
aleatorios se distribuye uniformemente.
Prueba De Medias
Consiste en verificar que los números generados tengan una media estadísticamente igual
a 1/2, de este modo la hipótesis planteada es:
Ho = hipótesis nula: µ
µ
µ
µ = ½
H1 = hipótesis alternativa: µ
µ
µ
µ ≠
≠
≠
≠ ½
Paso 1 Calcular la media de los n números generados
∑
∑ =
=
=
n
n
i
l
r
n
r
n
X 1
1
1
1
Paso 2 Calcular los límites superior e inferior de aceptación






+
=
n
Z
lsx
12
1
2
2
/
1 α






−
=
n
Z
lix
12
1
2
2
/
1 α
Paso 3 Si el valor X se encuentra entre li y ls, aceptamos que los números tienen una
media estadísticamente igual a ½ con un nivel de aceptación 1-α.

32
Ejemplo:
Realice la prueba de medias a los primeros 30 números aleatorios producidos con un
generador congruencial mixto, con un nivel de confianza del 95%.
Los números generados son:
0.03991 0.10461 0.93716 0.16894 0.98953 0.73231
0.25543 0.34565 0.02345 0.67347 0.10987 0.25678
0.71890 0.61234 0.86322 0.94134 0.99872 0.27657
0.82345 0.12387 0.05389 0.82474 0.59289 0.36782
0.72484 0.48999 0.50502 0.39528 0.36782 0.90234
2.56253 1.67646 2.38274 3.00377 3.05883 2.53582
Σ = 15.22015
X = 15.22015/30 = 0.507338
X ≈ 0.5000






−
=






+
=
30
12
1
5
.
0
30
2
1
5
.
0
025
.
0
025
.
0
Z
li
Z
ls
x
x
Para buscar el valor de Z0.025 se resta 1 - 0.025 = 0.975 y se busca en la tabla
|Z0.025| = 1.96
lsx = 0.5298 lix ≤ X ≤ lsx
lix = 0.4701 ⇓
Ho se acepta

33
2
α
x
i
l
x
s
l
2
α
2
1
=
µ
n
Z
x
i
12
2
2
1
α
+
=
l
n
Z
x
s
12
2
2
1
α
+
=
l
2
1
1
2
1
0
≠
=
=
=
µ
µ
H
H
Ejemplo: Generar números aleatorios dados por la siguiente función
( )
100
mod
3
1 n
n X
X =
+
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ]
( )
43
20
100
20
20
,
2
.
.
100
20
5
4
5
1
5
25
2
2
1
2
1
2
4
5
,
2
.
100
,
,
,
.
.
2
5
2
5
5
2
2
25
2
2
50
2
100
0
1
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
=
=
=
=
=
=
⋅
=
−
=
=
⋅
=
−
=
=
=
=
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
−
−
X
h
m
c
m
cm
m
P
P
P
m
c
m
m
d
s
e
s
e
e
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ K
Pruebas de frecuencias
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
49
.
9
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
0
4
5
4
,
05
.
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
5
20
2
1
2
1
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
=
=
=
=






−






= ∑
=
χ
λ
χ
χ
x
N
x
j
j
x
x
N
f
N
x
Pruebas de medias
n Xn rn
1 29 0.29
2 87 0.87
3 61 0.61
4 83 0.83
5 49 0.49
6 47 0.47
7 41 0.41
8 23 0.23
9 69 0.69
10 7 0.07
n Xn rn
11 21 0.21
12 63 0.63
13 89 0.89
14 67 0.67
15 1 0.01
16 3 0.03
17 9 0.09
18 27 0.27
19 81 0.81
20 43 0.43
21 29 0.29
Sub int Fj
0 - 0.2 4
0.2 - 0.4 4
0.4 - 0.6 4
0.6 - 0.8 4
0.8 - 1 4
α = nivel de confianza de la prueba
α = 1% o 5%
n
x
X
∑
=

34
Prueba De Varianza
Consiste en verificar si los números aleatorios generados tienen una variancia de 0.083, de
tal forma que la hipótesis queda expresada como:
Ho: V(x) = 1/12
Hi: V(x) ≠
≠
≠
≠ 1/12
Paso 1. Calcular la variancia de los n números generados V(x).
( )
( )
1
1
2
−
−
=
∑
=
n
x
r
x
V
n
i
i
Paso 2. Calcular los límites superior e inferior de aceptación.
( )
( )
1
12
1
,
2
2
−
=
−
n
ls
n
x
V
α
χ
( )
( )
1
12
1
,
2
1
2
−
=
−
−
n
li
n
x
V
α
χ
Paso 3. Si V(x) se encuentra entre los valores de liv(x) y lsv(x), aceptamos la hipótesis nula
y los números aleatorios tiene una variancia estadísticamente igual a 1/12.
Ejemplo:
Realice la prueba de variancia a los siguientes 30 números con un nivel de confianza del
95%.
.72484 .48999 .50502 .39528 .36728 .90234
.71890 .61234 .86322 .94134 .99872 .27657
.34565 .02345 .67347 .10987 .25678 .25593
.82345 .12387 .05389 .82474 .59289 .36782
.03991 .10461 .93716 .16894 .98953 .73231
x = 0.507337
Aplicando la ecuación del paso 1 se tiene V(x)= 0.104. Al calcular los límites de
aceptación para muestras de tamaño 30,
( )
( ) ( )
1313
.
0
29
12
7
.
45
1
12
1
,
2
2
=
=
−
=
−
n
ls
n
x
V
α
χ

35
( )
( ) ( )
046
.
0
29
12
00
.
16
1
12
1
,
2
1
2
=
=
−
=
−
−
n
li
n
x
V
α
χ
El valor se encuentra dentro de límites de aceptación por lo que se acepta que la variancia
de la muestra es estadísticamente igual a 1/12.
Prueba De Poker
Las pruebas de independencia consisten en demostrar que los números generados son
estadísticamente independientes entre sí, esto es, que no depende uno de otro.
Hay varios métodos, entre los cuales están:
• La prueba de Poker
• La prueba de corridas arriba y abajo
• La prueba de corridas arriba debajo de la media
• La prueba de la longitud de las corridas
• La prueba de series
La prueba de poker plantea la siguiente hipótesis:
Ho : ri ∼ independiente
H1 : ri ∼ dependiente
Paso 1. Calcular las probabilidades esperadas para un juego de poker con 5 cartas
numeradas del 0 al 9 con reemplazos. Se tienen 7 eventos con las siguientes
probabilidades:
P (Pachuca) = 0.3024
P (par) = 0.5040
P (2 pares) = 0.1080
P (1 tercia) = 0.0720
P (Full) = 0.0090
P (Poker) = 0.0045
P (Quintilla) = 0.0001
Paso 2. Calcular la frecuencia esperada de cada uno de los eventos multiplicando la
probabilidad de cada evento por la cantidad de números aleatorios generados.
Paso 3. Para cada número aleatorio generado verificar si es Pachuca, 1 par, 2 pares,
etc., tomando los primeros 5 dígitos a la derecha del punto decimal. Con estos resultados
se genera una tabla de frecuencias observadas de cada uno de los eventos.

36
Paso 4. Calcular la estadística:
( )
∑
=
−
=
m
i FE
Foi
FEi
1
2
2
1
χ
Paso 5. Si el valor de C2
no excede al estadístico de tablas χi
2
con 6 g.l. y una
probabilidad de rechazo alfa =α, entonces se acepta que los datos son estadísticamente
independientes entre sí.
Ejemplo:
Realice la prueba de Poker a los siguientes 30 números con un nivel de confianza del
95%. (∞ = 5%)
0.72484 0.48999 0.50502 0.39528 0.36782 0.90234
0.71890 0.61234 0.86322 0.94134 0.99872 0.27657
0.34565 0.02345 0.67347 0.10987 0.25678 0.25593
0.82345 0.12387 0.05389 0.82474 0.59289 0.36782
0.03991 0.10461 0.93716 0.16894 0.98953 0.73231
( ) ( ) ( ) ( )
336
.
5
003
.
0
135
.
0
27
.
0
548
.
1
622
.
0
082
.
0
676
.
2
003
.
0
135
.
0
27
.
0
24
.
3
1
24
.
3
16
.
2
1
16
.
2
12
.
15
14
12
.
15
072
.
9
14
072
.
9
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
−
+
−
+
−
+
−
=
χ
χ
χ
χ2
0.05, 6 = 12.6
6
,
05
.
0
2
2
1 χ
χ ≤ ∴ H0 se acepta
FO PE FE
Pachuca 14 0.3024 9.072
Un Par 14 0.5040 15.12
Tercia 1 0.0720 2.16
Dos Pares 1 0.1080 3.24
Full 0 0.0090 0.27
Poker 0 0.0045 0.135
Quintilla 0 0.0001 0.003
FE = PE.n

37
Prueba De Series
Ho : ri ∼ independiente
H1 : ri ∼ dependiente
Paso 1 Crear un histograma de dos dimensiones con m intervalos, clasificando cada
pareja de números consecutivos (ri, ri + 1) dentro de las casillas de dicho histograma de
frecuencias. El número total de pares ordenados en cada casilla formará la frecuencia
observada: Foi.
Paso 2 Calcular la frecuencia esperada en cada casilla FE de acuerdo con FE=núm/m
donde núm. es el número total de parejas ordenadas.
Paso 3 Calcular el error χ1
2
, con la ecuación:
( )
∑
=
−
=
m
i i
i
i
FE
FO
FE
1
2
2
1
χ
Paso 4 Si el valor de χ1
2
es menor o igual al estadístico de tablas χ1
2
con m-1 grados de
libertad y una probabilidad de rechazo α, entonces aceptamos que estadísticamente los
números son independientes.
Ejemplo:
Realice la prueba de series a los siguientes 30 números con un nivel de confianza del 95%
0.72484 0.48999 0.50502 0.39528 0.36782 0.90234
0.71890 0.61234 0.86322 0.94134 0.99872 0.27657
0.34565 0.02345 0.67347 0.10987 0.25678 0.25593
0.82345 0.12387 0.05389 0.82474 0.59289 0.36782
0.03991 0.10461 0.93716 0.16894 0.98953 0.73231
Al formar parejas ordenadas se obtiene:
(.72484, .48999) (.48999, .50502) (.50502, .39528) ... (.98953, .73231)
La clasificación en una tabla de frecuencias de dos dimensiones de 4 x 4, (m=16), queda
ri+1 1 3 2 1 2
0.75 1 1 1 3
0.50 1 3 3 1
0.25 2 2 1 2
0 0.25 0.50 0.75 1 ri
Tomando en cuenta que se tienen 29 parejas ordenadas clasificadas uniformemente en 16
casillas, la frecuencia esperada FE en cada una es 1.8125 y al calcular el error con la ecuación del
paso 3, para cada una de las 16 celdas o intervalos de la tabla anterior se tiene:

38
( ) ( )
∑
∑ =
=
−
=
−
=
16
1
2
1
2
2
1
8125
.
1
8125
.
1
i
i
m
i i
i
i FO
FE
FO
FE
χ
( ) ( ) ( )
[ ] 75
.
5
3
8125
.
1
4
2
8125
.
1
5
1
8125
.
1
7
8125
.
1
1 2
2
2
2
1 =
−
+
−
+
−
=
χ
El valor de la tabla χ2
con un nivel de confianza del 95% y con 15 grados de libertad es
igual a 25. Si se compara χ1
2
=5.75 con este valor, se acepta la independencia de la secuencia de
números.
15
,
05
.
0
2
2
1 χ
χ ≤
Por consiguiente Ho se acepta.
Ejemplo:
Realice la prueba de Poker y la prueba de series a los siguientes 30 números con un nivel
de confianza de 95%
Prueba de poker
( ) ( ) ( ) ( ) 003
.
0
135
.
0
27
.
0
24
.
3
24
.
3
3
16
.
2
16
.
2
5
12
.
15
12
.
15
15
072
.
9
072
.
9
7
2
2
2
2
2
1 +
+
+
−
+
−
+
−
+
−
=
χ
11
.
2
2
1 =
χ
6
.
12
2
6
,
05
.
0 =
χ
2
6
,
05
.
0
2
1 χ
χ <
0.03991 0.24122 0.10461 0.66591 0.93716 0.27699
0.38555 0.61196 0.95554 0.30231 0.32886 0.92962
0.17546 0.30532 0.73704 0.21704 0.92052 0.10274
0.32643 0.03788 0.52861 0.97599 0.95189 0.75867
0.69572 0.48228 0.68777 0.63379 0.39510 0.85783
Evento PE FO FE
Pachuca 0.3024 7 9.072
Par 0.5040 15 15.12
Tercia 0.0720 5 2.16
2 Pares 0.1080 3 3.24
Full 0.0090 0 0.27
Poker 0.0045 0 0.135
Quintilla 0.0001 0 0.003

39
3
1
3
2 1
3
1
3
2
1
Prueba de series
IIIIII
6
II
2
III
3
III
3 0
IIII
4
III
3
IIIII
5
III
3
22
.
3
9
29
=
=
FE
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
2
2
2
2
2
2
2
1 22
.
3
6
22
.
3
5
22
.
3
4
22
.
3
3
4
22
.
3
2
22
.
3
0
22
.
3
1
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
χ
31
.
7
2
1 =
χ
51
.
15
2
8
,
05
.
0 =
χ
2
8
,
05
.
0
2
1 χ
χ <

40
Apéndice A
Elementos de la teoría de números
A fin de comprender totalmente y apreciar los métodos para generar números
pseudoaleatorios que se consideran, es requisito previo tener un conocimiento básico de los
elementos de la teoría de los números. El apéndice A contiene un conjunto básico de definiciones,
ejemplos y teoremas de la teoría de números que resultan pertinentes para la comprensión de los
fundamentos racionales sobre los que se basan los métodos.
Definiciones
Definición 1. Para dos enteros a y b, con b ≠ 0, existe un único par de enteros t y n, tal que a = bt
+ n 0 ≤ n < b, en donde t es el cociente n es el residuo.
Definición 2. Un entero a es divisible entre un entero b si existe un entero t tal que bt
a =
Definición 3. Un entero p es un número primo si no es 0 ni ± 1 y si sus únicos divisores son ±1 y
± p. Por ejemplo, los primeros primos positivos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.
Definición 4. Un entero g es el máximo común divisor (m.c.d.) de dos enteros a, b, si g es un
divisor común de a y b, además es un múltiplo de cualquier otro divisor común de a y b.
Notación: m.c.d. (a,b) = g, o similar a (a b) = g.
Definición 5. Un entero d es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos enteros a y b si d es un
divisor de cada múltiplo común de a y de b, y es a su vez un múltiplo común. Notación: m.c.m.
[a, b] = d o [a, b] = d.
Definición 6. Se dice que los enteros a y b son primos relativos si (a, b) = 1.
Definición 7. Dos enteros a y b son congruentes módulo m si su diferencia es un múltiplo entero
de m. La relación de congruencia se expresa por la notación a ≡ b (mod m), que se lee “a es
congruente con b módulo m”, esto también significa que:
1) (a-b) es divisible entre m, y
2) a y b dan el mismo residuo al ser divididos entre m.
Ejemplo: 5590 ≡
≡
≡
≡ 6 (mod 8) y 2327 ≡
≡
≡
≡ 27 (mod 102
).
Definición 8. Para una a dada, el menor entero positivo n tal que a ≡ n (mod m) recibe el nombre
de residuo módulo m. Existe m residuos distintos (mod m); 0, 1, 2, . . .,m – 1.
Definición 9. Una clase de enteros mutuamente congruentes para un módulo dado, forman una
clase residual. Existen m distintas clases residuales (mod m). Ejemplo: si m=2, las dos clases

41
residuales distintas son: la colección de todos los números impares y la de los números pares,
respectivamente.
Definición 10. Para un módulo dado m, el conjunto de los m enteros congruentes en algún orden
con los residuos 0, 1, 2, . . ., m – 1, forman un sistema residual completo.
Definición 11. Un subconjunto de un sistema residual completo que contenga todos los enteros
que sean primos relativos de m, recibe el nombre de un sistema residual reducido.
Definición 12. El número de enteros positivos menores que m y primos relativos de m, se
conoce como la función Fi de Euler y se denota por ϕ (m). Un sistema residual reducido
contiene ϕ (m) enteros. Si m = p, es un número primo, entonces ϕ (p) = p – 1.
Definición 13. Los residuos potenciales son los residuos de las potencias sucesivas de un entero
a módulo m. Si el residuo de la i-ésima potencia de a (mod m) se denota por ni, entonces todos
los residuos potenciales satisfacen la relación de congruencia ni ≡ ai
(mod m) (i = 1, 2, 3, . .)
Definición 14. Si (a, m) = 1, el mínimo exponente positivo i = h, tal que ai
≡ 1 (mod m), se dice
que es el orden de a (mod m). El mínimo exponente positivo h también recibe el nombre de
multiplicador de m cuando a se dice que pertenece a m. En este caso, h se denota por h = λ (m).
El orden h de a (mod m) es igual al número total de números distintos, esto es, la longitud de una
sucesión que no se repite de residuos potenciales de a, llamada el período de la sucesión {ni};
i = 1, 2, . . ., h (mod m).
Definición 15. Un entero a de orden h = ϕ (m) (mod m) es la raíz primitiva de m. Ejemplo: h =
3 ≠ ϕ (31) para a = 5 en el ejemplo (1) de la definición 13, pero h = 30 = ϕ (31) para a = 3 en el
ejemplo (2); consecuentemente 3 es la raíz primitiva de 31.
Ejemplos de residuos potenciales son:
(1) a = 5, m = 31, ϕ (m) = 30
i ai
ni ≡ ai
(mod m)
1 5 5
2 25 25
3 125 1*
4 625 5
. . . . . . .

42
(2) a = 3, m = 31, ϕ (m) = 30
i ai
ni i ni i ni
1 3 3 11 13 21 15
2 9 9 12 8 22 14
3 27 27 13 24 23 11
4 81 19 14 10 24 2
5 243 26 15 30 25 6
6 729 16 16 28 26 18
7 2187 17 17 22 27 23
8 6561 20 18 4 28 7
9 19683 29 19 12 29 21
10 59049 25 20 5 30 1*
• La sucesión de los residuos potenciales se repite para potencias de orden superior.
Teoremas
Teorema 1. Si a ≡ b(mod m) y x ≡ y(mod m), entonces a ± x ≡ b ± y(mod m), y ax ≡ by(mod m).
Teorema 2. Si (d, m) ≡ g, entonces dx ≡ dy (mod m) implica que x ≡ y (mod m/g).
Teorema 3. Si a ≡ b (mod m) y d es un divisor de m, entonces a ≡ b (mod d). Las
demostraciones de los teoremas 1, 2 y 3, resultan de la definición [2 p.24].
Teorema 4. Cualquier entero m (distinto de 0 ó ± 1) se puede factorizar de forma única en
números primos, esto es, m = π piei
, (i = 1, 2, 3, . . .), donde ei es una constante y π denota al
producto p1ei
x p2
e2
x p3
e3
. . . La prueba de esto se debe a Euclides [2, p.21].
Teorema 5. Si (a, m) = 1, entonces aϕ(m)
≡ 1 (mod m), de lo cual se sigue que:
1. El mayor orden posible de a es h = ϕ(m) cuando a es una raíz primitiva de m.
2. Para n < m tales que (m, n) = 1, nah
≡ n (mod m), donde h = ϕ(m). La prueba de
esto se atribuye a Euler y se obtiene de los teoremas 2 y 3.
Teorema 6. Para todas las potencias de un número primo p > 2 existen las raíces primitivas, i.e.
existe un número tal que (a, pe
) = 1 y aϕ(pe)
≡ 1 (mod pe
) donde h ≡ ϕ (pe
).
Teorema 7. Si m = πpi
ei
, entonces ϕ (m) = π(pi - 1)pi
ei-1
. La demostración se debe a Euler.
Teorema 8. Si m = πpe
y p es un primo impar entonces h = λ(m) = (p-1) pe-1
= ϕ (m) para valores
de a que son raíces primitivas de m.
Corolario: Si p = 2, i.e., h = λ(m) = 2e-2
para e > 2, entonces λ(m) ≠ ϕ (m). La prueba se
debe a Euler.

43
Teorema 9. Si m = πpi
ei
para i = 1, 2, 3, . . ., s, entonces:
1. λ(m) = m.c.m.[ λ(p1
e1
), λ(p2e2
), . . ., λ(pses
)].
2. Existe valores de a cuyo orden es igual a (esto es, pertenece conjuntamente a) cada
λ(pi
ei
). La demostración está en [21, p.293] y se sigue del teorema chino del
residuo debido a Sun-Tse [21, p.246].
Corolario: Si p1 = 2, entonces λ(m) = m.c.m. [λ(2e1
), ϕ(p2
e2
), ϕ(p3
e3
), . . .].
Teorema 10. El menor entero positivo a tal que (ah
- 1)/ (a - 1) ≡ 0 (mod m) es h = m, si (1) a ≡ 1
(mod p) si p es un factor primo de m y (2) a ≡ 1 (mod 4) si 4 es un factor de m. La prueba se
debe a Hull y Dobell.

44
UNIDAD III
Generación De Valores De Variables Aleatorias
La generación de estadísticas simuladas o sea de valores de las variables aleatorias, es de
naturaleza numérica y debe configurarse mediante la aportación de números pseudoaleatorios.
Al querer reproducir algún proceso estocástico particular, se recurre al empleo de las
distribuciones teóricas convencionales y en su defecto a una distribución empírica.
Al considerar procesos estadísticos que involucran variables aleatorias continuas o
discretas, se tiene que definir F(x), ó función de densidad acumulada (fn
Dn
).
Si la variable aleatoria es discreta, x tomará valores específicos y F(x) será una función
escalonada. Si la variable aleatoria es continua, x tomará valores en un rango especificado.
Si F(x) es continua en el dominio de x, entonces F(x) se podrá diferenciar, para lo cual se
define ( ) ( )
dx
x
dF
x
f = {Función de densidad de probabilidad}
Luego entonces: ( ) ( ) ( )
( ) 1
0 ≤
≤
=
≤
= ∫∞
−
x
F
dt
t
f
x
x
P
x
F
x
f(t) representa el valor de la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria
cuando x = t.
También tenemos que: 0 ≤ r ≤ 1 y F(x) = r.
Existen tres métodos para generar los valores de variables aleatorias a partir de
distribuciones de probabilidad:
1. Método de la transformación inversa
2. Método de rechazo
3. Método de composición (convolución)
Método De La Transformación Inversa
Se quiere generar valores de xi a partir de F(x). En primer lugar hay que obtener F(x).
Puesto que F(x) se define en el rango de 0 a 1 se pueden generar números aleatorios para
sustituir a F(x)=r.
De manera unívoca cada valor de ri define un valor de F(x).

45
( )
( )
2
1
4
3
2
1
4
3
4
3
4
3
4
1
4
3
4
1
1
−
=
−
=






−
+
=
+
= ∫
x
r
x
x
x
F
dt
x
F
x
Al considerarla función inversa de F ó F-1
(x) en caso de ser conocida, podemos hacer:
x0 = F-1
(r0).
Podemos de manera general establecer que: ( ) ( )
∫∞
−
=
=
x
dt
t
f
x
F
r
Entonces ( ) ( ) ( )
[ ] ( )
[ ]
x
x
F
p
x
F
r
p
x
F
x
x
p ≤
=
≤
=
=
≤ −1
Ejemplo:
Genérese los valores x de variables aleatorias con una función de densidad f(x) = 2x
0 ≤ x ≤ 1
( ) ∫
=
x
tdt
x
F
0
2
( ) 2
x
x
F
r =
= ó r
x = 1
0 ≤
≤ r
Ejemplo:
Genérese los valores x de variables aleatorias con función de densidad
4
1
1
0 ≤
≤ x
( )=
x
f
4
3
2
1 ≤
≤ x
1° parte 2° parte
( )
( )
4
4
4
1
0
x
r
x
x
F
dt
x
F
x
=
=
= ∫
F(x)
1
F(xi) = ri
0 xi X

46
Al tomar la transformación inversa y resolviendo:
r
x 4
= si 4
1
0 ≤
≤ r
3
2
3
4
+
= r
x si 1
4
1
≤
≤ r
Para generar un valor de x se debe en primer lugar generar un valor de r; cuando r < ¼
el valor de x estará determinado por x = 4r.
Si r > ¼ entonces x = 4
/3 r + 2
/3
Ejemplo:
Se desea simular una variable aleatoria con dn
exponencial ( ) x
e
x
f λ
λ −
= 0
≥
x
( ) ( )
( ) [ ] [ ] [ ]
( )
( ) ( ) r
x
r
x
x
r
e
r
r
e
x
F
e
e
e
e
x
F
dt
e
dt
e
x
F
t
t
t
t
x
t
t
x x
t
ln
1
ln
1
ln
1
1
1
1
1
0
0
0 0
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
=
∴
−
−
=
∴
−
=
−
=
−
∴
=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
−
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
∫ ∫
Ejemplo:
Se desea simular n números aleatorios con dn
uniforme entre (a,b):
( ) b
x
a
a
b
x
f ≤
≤
−
=
1
( )
( ) [ ] ( )
( )
( )
a
b
r
a
x
a
b
a
x
r
a
b
a
x
x
F
a
b
a
x
t
a
b
x
F
dt
a
b
dt
a
b
x
F
x
a
x
a
x
a
−
+
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=






−
=
−
= ∫
∫
1
1
1
1
( )
a
b
r
a
x
b
x
a
−
=
−
∴
≤
≤

47
Método De Rechazo
Este método requiere que f(x) sea una distribución de probabilidad acotada y con rango
finito ó a a ≤ x ≤ b.
Los pasos requeridos son:
1. Generar 2 números aleatorios r1 y r2
2. Determinar el valor de la variable aleatoria X de acuerdo a la relación lineal de r1:
X = a + (b-a)r1
3. Evaluar la función de probabilidad en x = a + (b-a)r1: ƒ[x = a+(b-a)r1]
4. Determinar si se cumple:
r2 ≤ ƒ[a+(b-a)r1]/M
M = es cota superior.
f(x)
M
a b X
Si r2 > f(x)/M entonces r1 y r2 se descartan y se seleccionan otros valores de r1 y r2
Ejemplo: Se desea generar números aleatorios con la distribución.
2x 0 ≤ x ≤ 1
f(x)
0 en otra parte
En este caso:
a = 0 b = 1 M = 2
1. Generar R1 y R2
2. Calcular x = r1
3. f(x) = 2r1
4. r2 ≤ 2r1 = 2r1 r2 ≤ r1 → x = r1
M 2

48
f(x) =
Ejemplo: Se desea generar variables aleatorias X para la siguiente densidad de probabilidad.
( )( )
( )
a
x
a
b
a
c
−
−
−
2
si a ≤ x ≤ b
( )( )
( )
c
x
b
c
a
c
−
−
−
− 2
si b ≤ x ≤ c
M=
)
(
2
a
c −
Como la función se compone de 2 partes:
f(x)
M
a b c X
Los pasos para simular esta distribución son:
1. Generar r1 y r2
2. Calcular x = a + (c – a)r1
3. Es x < b si la respuesta es afirmativa
( )
( )( )
( )
[ ]
( )
( )
a
b
r
a
r
a
c
a
a
b
a
c
x
f
−
=
−
−
+
−
−
= 1
1
2
2
si la respuesta es negativa, entonces f(x) es :
( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
b
c
r
b
c
r
c
r
a
c
a
b
c
a
c
x
f
−
−
=
−
−
=
−
−
+
−
−
−
= 1
1
1
1
2
1
2
2
4. Es
( )( )
2
2
α
−
≤
c
x
f
r
Si la respuesta es afirmativa, entonces se considera como valor x = a + (c – a)r1 Simulada, en
caso contrario regresemos al paso 1.

49
( )
( ) [ ]
( )
4
3
3
4
4
3
4
3
0
4
3
0
4
3
0 ≤
≤
=
=
=
=
= ∫
r
r
x
r
x
F
t
x
F
dt
x
F
x
x
x
x
( )
( )
( )
8
15
8
9
4
3
8
9
8
9
8
9
8
9
4
3
3
2
4
3
4
3
3
5
4
3
4
3
1
2
1
2
1
1
1
1
1
0
+
−
=
+
+
−
=
+
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
+
=
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
x
x
y
y
y
y
b
mx
y
( ) ( )( )
( )
1
9
1
12
15
1
2
4
2
4
4
3
8
9
2
3
8
15
8
9
4
9
4
9
8
15
8
9
16
36
256
324
64
255
8
15
8
9
16
36
256
324
64
255
8
15
16
9
16
9
16
9
2
8
15
8
15
2
≤
≤
−
±
=
−
±
=
−
±
=
−
−
±
=
−
−
±
=
+
−
−
±
=
−
±
−
=
r
r
x
r
x
r
x
r
x
r
x
r
x
a
ac
b
b
x
( )=
x
f
8
15
8
9
+
− x
1
0 ≤
≤ x
3
5
1 ≤
≤ x
Ejemplo.
Calculando la segunda parte de la función 1° parte
2° parte
( ) ( )
( ) [ ]
( ) ( )
[ ]
( )
( )
0
16
9
8
15
2
16
9
16
9
8
15
2
16
9
16
9
8
15
2
16
9
8
15
16
9
8
15
2
16
9
4
3
8
15
16
9
8
15
2
16
9
4
3
1
8
15
16
9
4
3
1
8
15
8
9
4
3
2
=
+
+
−
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
+
−
=
+
−
−
+
−
+
=
+
−
+
=
+
−
+
= ∫
r
x
x
x
x
r
x
x
x
F
x
x
x
F
x
x
x
F
t
x
F
dt
t
x
F
x
t
x
Resolviendo la ecuación de segundo grado
mediante la fórmula general
4
3
4
3
3
5
( )
2
2 , y
x
( )
1
1, y
x
1
x
( )
x
f
0

50
Método De Composición
En esta técnica f(x), la función de densidad probabilidad de la distribución que se va
simular, esta expresada como una mezcla de probabilidad de funciones de densidad propiamente
seleccionadas.
Este procedimiento está basado en la definición de probabilidad condicional o la ley de
probabilidades compuestas.
Matemáticamente sea g(x|y) una familia de funciones de densidad de un parámetro donde
y es el parámetro que identifica de manera única a g(x). Si un valor de y es ahora descrito de una
función de distribución acumulada H(y) y entonces si x es una muestra de g(x), para seleccionar
y, la función de densidad para x será:
( ) ( ) ( )
y
dH
y
x
g
x
f
f ∫
∞
∞
−
=
=
Usando este principio, distribuciones más complicadas pueden ser generadas de
distribuciones más simples las cuales son en sí mismas fácilmente generadas, por la técnica de la
transformación inversa o la técnica de rechazo.
Ejemplo: Generar una varianza aleatoria de ( ) ∫
∞
∞
−
−
−
= dy
e
y
n
x
f xy
n
cuando (sea) ( ) 1
+
= n
y
dy
n
y
dH
1
,
1 ≥
∞
<
< n
y y ( ) yx
ye
x
g −
=
Una varianza es ahora obtenida desde una función de densidad cuya su función de
distribución acumulativa es H(y). Una vez que y es seleccionada, esta determina una particular
g(x) = ye-yx. La varianza deseada de f(x) es entonces una varianza simplemente generada de
g(x) = ye-yx. Para continuar con las siguientes instrucciones, genera dos varianzas uniformes R1
y R2, y cuando:
Entonces x es la varianza deseada de:
( ) ∫
∞
−
−
=
1
dy
e
y
n
x
f yx
n
Esta técnica es apropiada cuando se desea generar distribuciones de tipo mas alto usando
distribuciones La dificultad recae en identificar la H(y) y g(xy) la cuál se necesita para
producir una f(x) dada dentro de la relación.
2
1
1
1
log
1
1
R
X
R
s
s
n
=
=
−

51
( ) ( ) ( )
y
dH
y
x
g
x
f ∫
∞
∞
−
=
Afortunadamente, las estadísticas matemáticas nos han provisto de varias relaciones
funcionales llamadas “convoluciones” que pueden ser usadas en la generación de ciertas
desviaciones aleatorias. Los siguientes ejemplos sirven para ilustrar el procedimiento.
La Distribución De Poisson
Si los intervalos de eventos similares están distribuidos exponencialmente, el número de
eventos ocurridos en un intervalo unitario de tiempo, tiene la distribución de Poisson.
Las aplicaciones de las variables aleatorias de Poisson incluyen tantas áreas tales como
control de los inventario, teoría de colas, control de calidad, flujo de tráfico y muchas otras áreas
ciencias administrativas.
La función de densidad de probabilidad para la distribución de Poisson esta dada por:
( )
!
X
e
x
f
x λ
λ −
= ∞
= ,
,
2
,
1
,
0 K
x
donde λ es el número esperado de sucesos por unidad de tiempo. Esto implica que el
tiempo entre eventos esta distribuido exponencialmente con media de λ
1
Podemos utilizar esta relación entre la distribución Poisson y la exponencial para generar
desviaciones de la distribución de Poisson.
Una desviación x de Poisson puede ser definida de la siguiente manera:
∑
∑
+
=
=
≤
≤
1
1
1
1
x
i
i
x
i
i y
y
donde y1, y2,....,yx+1 son desviaciones aleatorias de una distribución exponencial teniendo
como media 1/λ y son generadas por (la técnica de transformada inversa)
i
i R
y ln
1
λ
−
=
donde Ri está dada por la distribución uniforme. En conclusión, las sumas acumulativas
son generadas hasta que se obtiene la desigualdad. Cuando esto ocurre, x es la desviación
aleatoria de Poisson deseada.

52
Otra forma de este mismo procedimiento es definir la desviación x de Poisson cuando:
∑
∑
+
=
=
≤
≤
1
1
1
x
i
i
x
i
i y
y λ
donde yi es otra vez las desviaciones de la distribución exponencial pero con media 1/λ,
esto es:
λ
i
i
R
y
ln
−
=
Las 2 técnicas son esencialmente las mismas, pero la primera parece ser más apropiada
con la definición de la distribución exponencial donde las yi’s tiene una media de λ
1
.
Ejemplo.
Sabemos que por la teoría de la probabilidad que si el número de eventos se puede
describir a través del flujo de Poisson, el tiempo entre la ocurrencia de eventos debe ser
exponencial. En la distribución de Poisson el resultado se expresa como el número de eventos n
que ocurren en un determinado tiempo t. Por lo tanto para muestrear la distribución exponencial
con media λ
1 tantas veces como sea necesario hasta que la suma de las variables aleatorias
generadas exceda a t por vez primera. En este caso, el valor de Poisson muestreado n se toma
igual al número de veces que se muestreo la distribución exponencial -1.
Supóngase que se desea muestrear una distribución de Poisson 3
=
λ durante un periodo
de 1.4 hrs.
( )
i
i
x
r
t
x
e
x
f
ln
1
!
λ
λ λ
−
=
=
−
n 1 2 3 4 5
rn 0.058962 0.673284 0.479909 0.948578 0.61396
tn 0.9436 0.1318 0.2447 0.1075 0.1624
∑
=
n
i
i
t
1
0.9436 1.0754 1.3201 1.3376 1.5002
t = 1.4
∑ ∑
=
+
=
≤
≤
n
i
n
i
i
i t
t
t
1
1
1
X = 0, 1, 2,…, α
λ= 3 eventos por hora.
X = Variable aleatoria de Poisson
X = 4 número de eventos que llegan en 1.4 hrs.

53
Distribución Erlang
La distribución Erlang es una forma de la distribución gamma con K igual a un entero
positivo. Estadísticos Matemáticos han probado que esta distribución es solo la suma de las
variables exponenciales de K, cada una con un valor esperado 1/k.
Para generar una desviación Erlang, nosotros solo necesitamos la suma de las
desviaciones exponenciales K, cada una con el valor esperado 1/k. De esta manera la varianza x
de Erlang es esperada como:
∑ ∑
= =
∞
−
=
=
k
i
k
i
i
i R
y
X
1 1
1
ln
donde yi es una desviación exponencial generada por la técnica de la transformada inversa
Ri es un número aleatorio de la distribución uniforme.
Distribución Binomial
Una variable aleatoria x definida como el número de eventos exitosos en una secuencia de
n tiradas o intentos independientes de Bernoulli, cada una con probabilidad de éxito p, es
conocida como una variable aleatoria binomial. La distribución binomial es una de las más
importantes en las distribuciones estadísticas usadas en un área de ejemplificación y control de
calidad. La función de densidad de probabilidad binomial está dada por:
( ) x
n
x
q
p
x
n
x
f −








= n
x ,
,
1
,
0 L
=
donde
p = probabilidad de éxito por tirada
q = 1-p
n = número de tiradas
x = número de éxitos, en entero
Para generar una desviación binomial con parámetros p y n el procedimiento es el
siguiente:
1. Generar n desviaciones aleatorias uniformes
2. Contar el número de varianzas uniformes menor o igual a p
3. El número encontrado en el paso 2 es igual al valor de la varianza binomial
Este procedimiento puede entonces ser repetido tantas veces como sea necesario para
generar otras desviaciones binomiales.

54
Otro procedimiento involucrado que usa la distribución normal como una aproximación a
la binomial para casos donde n ≥ 20 y np ≤ 10. Desde que la varianza binomial es un entero, la
varianza normal usada como una aproximación debe ser redondeada al valor entero más cercano.
Este método es más rápido pero es solo una aproximación.
Método De Transformación Inversa Para Distribuciones Discretas
Se utiliza cuando se desea simular variables aleatorias de tipo discreto, como la
distribución de Bernoulli, binomial, Poisson, discreta general, etc., El procedimiento es similar al
continuo pero el valor de F(x) se encuentra acumulando las probabilidades de los eventos
individuales p(x). También en este caso, F(x) está definida en el intervalo 0 a 1; se genera un
número aleatorio ri y se determina el valor de la variable aleatoria cuya distribución acumulada es
igual a ri.
La figura nos muestra en forma gráfica el procedimiento anterior para una función
cualquiera p(x) discreta.
La dificultad de este método radica en que no existe una expresión final sencilla, como en
el caso de la continua.
Metodología
Paso 1 Calcular todos los valores de p(x) para la distribución propuesta.
Paso 2 Calcular la probabilidad acumulada F(x) para cada valor de x.
Paso 3 Generar un valor ri. Verificar en F(x) a qué intervalo de x pertenece y ese será el
número aleatorio generado por la distribución propuesta.
f(x)
0 x
F(x)
0 Xi= F -1
(Ri) x

55
Ejemplo.
( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 00032
.
0
80
.
0
0.20
5
5
5
0064
.
0
80
.
0
0.20
4
5
4
0512
.
0
80
.
0
0.20
3
5
3
2048
.
0
80
.
0
0.20
2
5
2
4096
.
0
80
.
0
0.20
1
5
1
32768
.
0
80
.
0
0.20
0
5
0
!
!
!
!
!
1
2
1
-
n
n
20
.
0
80
.
0
5
0
5
1
4
2
3
3
2
4
1
5
0
=








=
=








=
=








=
=








=
=








=
=








=
−
=
−
−
=








=
=
=








= −
P
P
P
P
P
P
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
p
q
n
q
p
x
n
x
P x
n
x
K
0.4
0.3
0.2
0.05
( )
x
f
x
0 1 2 3 4 5

56
Números aleatorios
43999
.
0
03991
.
0
82745
.
0
34565
.
0
71997
.
0
72484
.
0
6
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
=
r
r
r
r
r
r
1
0
2
1
1
1
6
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
=
x
x
x
x
x
x
0.25
0.50
0.75
0.90
1
0 1 2 3 4 5
( )
x
F
x

57
UNIDAD IV
Lenguajes De Simulación
Introducción
El GPSS/TM y el GPSS/H  son aplicaciones nuevas e interactivas dentro del
ambiente IBM del GPSS, General Purpose Simulating System (en español, Simulación de
Sistemas de propósito General) desarrollado a principios de la década de los 60 por Geoffrey
Gordon. El objetivo principal del GPSS es la modelación de sistemas discretos.
Cualquier sistema por simular en este lenguaje se debe describir mediante un diagrama de
bloques que representan las actividades, unidos mediante líneas que representan la secuencia que
seguirán un grupo de transacciones, que a su vez se mueven a través de los bloques. Las
transacciones dependen de la naturaleza del sistema, por ejemplo un sistema de comunicaciones
se refiere al movimiento de mensajes; un sistema de transporte se refiere al vehículos
motorizados; un sistema de producción, al movimiento de piezas.
La simulación mediante GPSS se realiza con dos elementos básicos conocidos como
transacciones y bloques. Una transacción es aquello que fluye a través del sistema de
manufactura, y que puede ser: información, piezas, órdenes de producción, fallas, operarios,
mecánicos, etcétera, mientras que un bloque se define como cualquier operación que realiza una
transacción dentro de un sistema; algunas operaciones pueden ser las siguientes: procesamiento,
entrada a un almacén, salida de un almacén, inicio de proceso, fin de proceso, salida del sistema,
ensamble, desensamble, etcétera.
En un principio los lenguajes de simulación se elaboran utilizando algún lenguaje de
propósito general como FORTRAN, ALGOL, PL/1, etc. Esto requería un gran trabajo de
programación; con el paso del tiempo se fueron identificando diferentes situaciones, hasta llegar
a estandarizarse ciertas instrucciones de programación en rutinas bien definidas.
De este concepto nació el diseño de lenguaje específico para programas de simulación con
los cuales se ha ido facilitando al usuario la programación de sus modelos.

58
Definición de funciones FUNCTION
Definición de números de máquinas STORAGE
Definición de matrices MATRIX
Asignación numérica a variables EQU
Inicialización de variables INITIAL
Definición de histogramas TABLE
Definición de operaciones VARIABLE Y FVARIABLE
Estructura Del Lenguaje:
Para usar el GPSS se requiere tener conocimientos de los comandos más comunes del
sistema DOS. Dentro de un programa de GPSS se pueden distinguir cuatro tipos de
instrucciones, cada una de las cuales se detalla a continuación:
a) Instrucciones de acceso al sistema GPSS. Estas instrucciones permiten al usuario el acceso
al compilador del GPSS y dependen de cada tipo de versión utilizada; en este punto se
recomienda hacer referencia al manual respectivo.
b) Instrucciones de definición de variables. Son un tipo de instrucciones especiales de carácter
opcional; su inclusión depende del sistema a modelar. Estas instrucciones siempre se
encuentran relacionadas con las instrucciones de lógica del programa. Dentro de las
instrucciones se encuentran las siguientes: definición de las funciones a utilizar, definición de
capacidad de los almacenes, definición del número de operarios o maquinas por estación,
inicialización de variables, definición de las operaciones matemáticas por utilizar, etcétera. A
continuación se muestra una lista de las definiciones más comunes utilizadas en GPSS:
c) Instrucciones de Lógica del programa. Este tipo de instrucciones son las conocidas como
bloques; son las que se ejecutarán durante la simulación; la lógica dependerá de cada sistema
que se desee simular. Teniendo en cuenta la función que realizan, una clasificación de los
bloques o instrucciones de lógica es la siguiente:
Simulación de inicio de proceso y captura de máquina SEIZE
ENTER
PREEMPT
Simulación de fin de proceso y liberación de máquina RELEASE
LEAVE
RETURN
Simulación de entrada de transacciones a un almacén QUEUE
ENTER
LINK
Simulación de salida de transacciones de un almacén DEPART
ENTER
UNLINK
Simulación de entrada transacciones al sistema GENERATE
SPLIT

59
Simulación de la salida de transacciones del sistema TERMINATE
Simulación de diversos tipos de proceso ADVANCE
ASSEMBLE
MATCH
GATHER
Simulación del control de flujo de transacciones TRANSFER
TEST
GATE
LOGIC
SELECT
LOOP
BUFFER
Bloques de operaciones aritméticas SAVEVALUE
MSAVEVALUE
ASSIGN
INDEX
PRIORITY
Bloque de creación de estadísticas TABULATE
Las instrucciones de tipo b) y c) se codifican siguiendo un formato general, dentro del
cual se pueden distinguir los siguientes elementos:
2 8 19 31
Loc Bloque Operandos Comentarios
Donde:
• Loc: Representa el nombre de una etiqueta o una dirección. La etiqueta es un campo
opcional y su existencia depende de la lógica del programa. Está localizado en la
“columna 2”. Su función es similar a las etiquetas en Fortran.
• Bloque: Es la instrucción específica por ejecutar. Representa la acción que va a llevar a
cabo cada una de las transacciones que cruza por allí. Se coloca en la “columna 8”.
• Operandos: Cada bloque representa la acción por ejecutar, sin embargo, es necesario
incluir un complemento, como puede ser la duración o el lugar de dicha acción. Los
operandos son las características individuales de cada bloque, y dependerán de la lógica
del sistema. Se colocan en la “columna 19”.
• Comentarios: Es el espacio donde el usuario puede colocar cualquier indicación o
identificación de la instrucción.

60
En algunas versiones del GPSS, como en la de GPSS/PC, cada instrucción debe ir precedida de
un número de instrucción en forma ascendente de acuerdo con la lógica, pero se utiliza sólo como
referencia para la edición del programa.
d) Instrucciones de control de la simulación. Estas instrucciones son las que controlan la
ejecución, edición y manejo de archivos en GPSS/PC. Las principales son: END, START,
SIMULATE.
Así, una vez dados los lineamientos generales, elementos y estructura del GPSS, a
continuación se explican de manera más detallada los principales bloques del GPSS, incluyendo
algunos ejemplos ilustrativos.
Lenguajes Específicos De Simulación
Ventajas:
1. El tiempo de desarrollo de la programación es muy corto porque se trata de
lenguajes sintéticos basados en programación por bloques o subrutinas, e incluso
algunos de ellos están encaminados al usuario de tal forma que ya no es
indispensable programar.
2. Permite realizar análisis de sensibilidad fácilmente y en un corto tiempo. Tiene
alta flexibilidad para hacer cambios.
3. Integra funciones como generación de números aleatorios, análisis estadístico y
gráficas.
4. Tiene una alta fiabilidad que conduce a una validación de resultados sencilla y
rápida.
5. Permite definir y entender el sistema a simular gracias a que se tiene una
visibilidad superior de la estructura general del modelo y se aprecian más
fácilmente las interrelaciones.
Desventajas
1. Es necesario invertir en adquisición del software.
2. Se requiere invertir tiempo y costo en la capacitación de los programadores del
nuevo lenguaje.
3. La computadora de la compañía y el software a adquirir deben ser compatibles.
Características De Los Lenguajes De Simulación
En la actualidad los lenguajes que existen en el mercado tienen una serie de características
propias que los distinguen de otros, entre esas características están las siguientes:
1. El procedimiento utilizado para generar los números aleatorios uniformes y las
variables no uniformes conocidas.

61
2. La forma de adelantar el reloj de simulación, que puede hacerse con incrementos
de tiempo fijo como DYNAMO o con incrementos al próximo evento como
GPSS.
3. Las estadísticas que se obtienen y el formato en que se representan los resultados.
4. El lenguaje en que esta escrito, lo cual influye en la forma de detectar y reportar
los errores de lógica.
5. Su compatibilidad de comunicación con determinado tipo de computadoras, con
otro lenguaje o simplemente con el usuario.
Clasificación De Los Lenguajes De Simulación
Los lenguajes de simulación se pueden clasificar de la siguiente forma:
• Lenguajes de propósito general
o FORTRAN, ALGOL, ASEMBLER, PL/1, C, PASCAL, BASIC.
• Lenguajes de simulación discreta
o Enfoque de flujo de transacciones: GPSS, BOSS
o Enfoque de eventos: GASPII, SIMSCRIPT, SIMCOM, SIMPAC
o Enfoque de procesos: SIMULA, OPL, SOL, SIMULATE
o Enfoque de actividades: CSL, ESP, FORSIM-IV, MILITRAN
• Lenguajes de simulación discreta y continua
o GASP-IV, C-SIMSCRIPT, SLAM
• Lenguajes de simulación continua
o Ecuaciones discretas: DSL-190, MIMIC, GHSI, DYHYSYS
o Enfoque de bloques: MIDAS, DYNAMO, SCADS, MADBLOC,
COBLOC
• Simuladores de aplicación especifica
o COMNET, NETWORK, PROMODEL. SIMFACTORY, WITNESS,
XCELL
A continuación se presentan las características principales de los lenguajes de simulación
más usados:
GPSS (General Purpose Simulation System)
Persona que lo desarrollo: Geoffrey Gordon.
Versiones más conocidas: GPSS I, GPSS II, GPSS III, GPSS/360, GPSS V.
Lenguaje del paquete: Asembler.
Reloj de la simulación: Incremento al próximo evento.
Computadoras compatibles: Generalmente se adapta a cualquier tipo de computadora.

62
SIMSCRIPT (No tiene ningún significado)
Personas que lo desarrollaron: H. M. Markowitz, H. W. Karr y B. Hausner.
Versiones más conocidas: Simscript I, Simscript I.5, Simscript II, Simscript II.5, C-
Simscript.
Lenguajes del paquete: Fortran (las primeras versiones), Asembler (las últimas).
Reloj de la simulación: Incrementos al próximo evento para el caso discreto, e
incrementos a tiempo fijo para el caso continuo (C-Simscript).
Computadoras Compatibles: CDC 6000/7000, UNIVAC 1100, IBM 360/370,
HONEYWELL.
GASP (General Activity Simulation Program)
Personas que lo desarrollaron: P.J. Kiviat y A. Colher.
Versiones más conocidas: GASP II, GASP IV, GASP-PLUS.
Lenguaje del paquete: Fortran, PL/1.
incrementos a tiempo fijo para el caso continuo (GASP IV y PLUS).
Computadoras compatibles: Cualquier computadora con compilador de Fortran o PL/1.
SLAM (Simulation Languaje for Alternative Modeling)
Personas que los desarrollaron: A. Alam, B. Pritsker y Asociados.
Versiones más conocidas: SLAM fue el resultado de la fusión de varios lenguajes como
GASP IV y QGERT.
Lenguaje del paquete: Fortran IV.
incrementos a tiempo fijo para el caso continuo.
Computadoras compatibles: Cualquier computadora con compilador de Fortran.
Introducción A Los Bloques GPPS
Aquí se analizarán los bloques básicos del GPSS. Estos bloques forman lo que se podría
llamar un elemento básico de producción, el cual puede ser representado como una serie de
actividades a través del tiempo. Por lo general, este elemento básico de producción se repite
varias veces dentro de los sistemas complejos de manufactura o servicios. El elemento básico
puede representarse de acuerdo con la figura 4.1 en la cual se observan seis eventos y una
actividad.

63
Llegada al elemento. Este evento ocurre en el momento en que una transacción hace su
entrada al sistema. Esta entrada puede realizarse en dos formas: la primera tiene lugar cuando las
transacciones provienen de un sistema que no se desea incluir dentro del modelo a simular; por
tanto, la entrada de dichas transacciones debe realizarse mediante el bloque GENERATE. La
segunda ocurre cuando la transacción proviene de otro elemento básico de producción; en este
caso, el último bloque del elemento básico i será el bloque que simule la llegada al elemento
básico i+1.
Inicio de un retraso. Esta actividad no planeada se lleva a cabo, al llegar al elemento
básico, una transacción no puede iniciar con la actividad por la cual ha entrado a este elemento
básico. Para empezar a medir este retraso, se utiliza el bloque QUEUE.
Inicio de la actividad. Es el evento en el cual una transacción pasa de un estado de espera
a uno de actividad. Esta acción se llevará a cabo sólo si el recurso con el que se lleva a cabo la
actividad está desocupado o disponible. Los bloques elementales para representar este evento son
el SEIZE y el ENTER.
Fin del retraso. Ocurre en el mismo tiempo que el evento anterior, y representa el punto
en el que una transacción termina su espera al haberse iniciado una actividad. Para dar por
terminado el retraso, se hace uso del bloque DEPART.
Actividad. Representa la acción primordial por la que una transacción entró al elemento
básico de producción. Esta actividad se mide en unidades de tiempo, y es el bloque que sirve para
modelar tiempos de proceso o transporte. El bloque ADVANCE se utiliza para este fin.
Fin de la actividad. El evento ocurre después de haber transcurrido el tiempo de proceso
o transporte y su función principal es dejar libre el recurso que se utilizó para realizar la
actividad; este recurso puede ser una máquina, un operario o una herramienta. Los bloques más
simples para modelar este evento son el RELEASE y el LEAVE.
Llegada al
elemento básico
Inicio de la
actividad
Salida del
elemento básico
Inicio del
retraso
Fin del
retraso
Fin de la
actividad
Retraso Actividad

64
GENERATE A, B, C, D, E
Salida del elemento. Así como existen dos formas para entrar al elemento básico de
producción, para salir también es posible hacerlo de dos maneras: la primera representa un
abandono total del sistema por parte de la transacción y se realiza mediante el bloque
TERMINATE; la segunda ocurre cuando existen dos elementos básicos interconectados. En este
último caso no hay bloque de salida sino una conexión lógica como la mencionada en el párrafo
correspondiente a llegada al elemento.
Objetivo. Es la descripción de la función general de la instrucción. Dentro de cada
descripción se incluye un diagrama que representa la forma de la instrucción en un diagrama de
flujo.
Codificación y diagrama. Es el formato bajo el cual se debe teclear la instrucción. Las
reglas que se dan en cada instrucción son generales para cualquiera de las versiones del GPSS,
sin embargo, algunas versiones dan la facilidad de romper esas reglas sin que ocurra un error.
Operandos y su significado. Es la información que debe llevar cada instrucción, cada
operando(identificando con letras A, B, C, D, X) se acompaña de una breve información sobre su
significado y los valores que toman por default al no definir los operandos.
Atributos numéricos estándares (SNA). Durante una corrida de simulación el procesador
de GPSS automáticamente guarda y actualiza cierta información acerca de varias entidades
utilizadas en el modelo. Esta información puede imprimirse al final de la corrida de simulación.
Muchas de estas propiedades también pueden estar disponibles durante una corrida para verificar
un valor deseado o para realizar algún cálculo en particular. La información disponible durante la
corrida acerca de instalaciones, colas almacenamientos, etcétera, se llama atributos estándares
(SNA).
Lenguaje GPSS
Generate Se puede pensar en un bloque GENERATE como una puerta a través de la cual
entran las transacciones. No existe ningún límite en cuanto a la cantidad de bloques GENERATE
que puede contener un modelo.
A: Tiempo medio entre llegadas. El operando tiene que ser nombre, número, SNA o nulo.
No se pueden utilizar parámetros. Default = 0 (opcional).
B: Desviación con respecto a la media (en caso de la distribución uniforme). El operando
tiene que ser nombre, número, SNA o nulo. No se pueden utilizar parámetros. Default = 0
(opcional).
C: Tiempo en que se generará la primera transacción. El operando tiene que ser Nombre,
número, SNA o nulo. No se pueden utilizar parámetros.
D: Límite total de transacciones

65
E: Nivel de prioridad. El operando tiene que ser nombre, número, SNA o nulo. No se
pueden utilizar parámetros. Default = 0 (opcional).
En GPSS, las distribuciones de tiempos entre llegadas están divididas en dos categorías:
1. Distribución Uniforme.
2. Todas las otras distribuciones.
En esta sección sólo se considera la generación de acuerdo con la distribución uniforme.
Para la distribución uniforme, el operando A del bloque GENERATE representa el tiempo
medio entre llegadas, es decir, el tiempo promedio entre llegadas consecutivas de transacciones.
El operando B representa la mitad del ancho del tiempo entre llegadas. El valor del operando B
deberá ser menor que el valor del operando A en todos los casos, de lo contrario ocurriría un error
al intentar generar una transacción en el tiempo negativo.
Por ejemplo, GENERATE 6, 4 significa que el tiempo entre llegadas se distribuye
uniformemente en el rango de 6 ± 4; GENERATE 8 significa que el tiempo entre llegadas se
distribuye uniformemente en el rango de 8 ± 0. Es decir, las llegadas ocurrirán exactamente cada
8 unidades de tiempo. En este caso, los tiempos entre llegadas son determinísticos, no aleatorios.
El operando C se utiliza cuando sólo se requiere fijar el tiempo de generación de la
primera transacción. Las transacciones subsecuentes se generarán de acuerdo con los operandos
A y B. GENERATE 6, 4, 10 significa que la primera transacción será generada al tiempo 10 y las
transacciones subsecuentes cada 6 ± 4 a partir del tiempo 10.
El operando D pone un límite al total de las transacciones que pueden entrar al modelo a
través del bloque GENERATE. Al generar el número de transacciones indicadas en el operando
D, el bloque GENERATE se vuelve inactivo.
GENERATE 6,4,,100 significa que se generaría un máximo de 100 transacciones que se
distribuyen uniformemente con el tiempo entre llegadas de 6 ± 4; GENERATE , , , 100 significa
que se generarían las 100 transacciones juntas (sin ningún tiempo entre ellas) al inicio de la
simulación (tiempo 0).
El operando E del bloque GENERATE permite dar prioridad a las transacciones
generadas. Entre mayor sea el valor del operando E, mayor es la prioridad. GENERATE 20,5,,,10
significaría que se generarían transacciones cada 20 ± 5, uniformemente distribuidas y todas con
una prioridad de 10.
Es importante considerar los siguientes puntos:
1. Se requiere por lo menos un bloque GENERATE en un modelo de simulación.
2. El tiempo mínimo para la creación de las transacciones es 1, a excepción de usar el
operando D en ausencia de los operandos A y B en cuyo caso las transacciones
serán generadas en el tiempo 0.

66
SNA
No tiene SNA relacionados con él.
SEIZE
El objetivo del bloque SEIZE es simular la captura de un servidor, proceso o instalación.
Este bloque actúa como controlador del flujo de las transacciones y trabaja en conjunto con el
bloque RELEASE. Su funcionamiento general consiste en el manejo de una variable interna
llamada F, la que puede tomar los valores de 0 y 1; cuando una transacción llega a este bloque y
trata de entrar, lo podrá hacer si el atributo numérico estándar (SNA) F tiene un valor de 0
(ocioso) e inmediatamente cambiará al estado del atributo F a 1 (ocupado). Así una transacción
será enviada a la cadena de eventos actuales en espera de que el valor de F cambie de 1 a 0.
A: Identificador del servidor. Puede ser nombre, número, o SNA (requerido)
Una instalación puede ser capturada por una sola transacción en un momento dado. Las
transacciones restantes esperarían de acuerdo con la disciplina de primeras entradas primeras
salidas para capturar la instalación que con otras instrucciones o bloques cambie la disciplina de
captura. Por ejemplo, SEIZE CAJA significa que la transacción entrante capturará la instalación
con el nombre de CAJA.
SNA
F: Estatus de la instalación (1=ocupado, 0=ocioso).
FC: Número de veces que la instalación fue capturada.
FL: Regresa el valor de 1 si la instalación ha sido prevaciada o en estado disponible, de
otra manera regresa a 0.
FT: Tiempo promedio de utilización de la instalación.
FR: Utilización fraccional de la instalación.
RELEASE
El bloque RELEASE es la contraparte del bloque SEIZE, y permite simular la liberación
del servidor, proceso o instalación que había sido capturada. La función de este bloque es
cambiar el valor del atributo numérico estándar F de 1 (ocupado) a 0 (ocioso).

67
A: Identificación del servidor. Puede ser nombre, número, o SNA (requerido).
Cada SEIZE requiere acompañarse por un RELEASE, donde el operando A en ambos
casos es idéntico. Una transacción por medio de SEIZE captura una instalación y por medio de
RELEASE suelta la misma instalación al terminar el servicio deseado.
Al utilizar los bloques de SEIZE y RELEASE, saldrá un reporte con información
relevante acerca de la instalación. Este reporte incluye información tal como la utilización
promedio del servidor, el tiempo promedio de servicio por transacción y el número total de
entradas al bloque SEIZE.
SNA
Son los mismos que para el bloque SEIZE.
QUEUE
El bloque QUEUE permite obtener estadísticas de colas que se forman al momento que
las transacciones esperan usar un servidor. El bloque QUEUE debe complementarse con el
bloque DEPART. El bloque QUEUE se puede visualizar como “punto de inicio para la toma de
datos estadísticos de las colas que se pueden formar”.
A: Identificador del servidor. Puede ser nombre, número, o SNA (requerido).
B: Número de unidades en que se incrementa el contenido de la entidad de cola.
Default = 1. El operando debe ser nombre, entero positivo o SNA (opcional).
En algunos problemas, una transacción puede representar una caja o pallet, en cuyo caso
se puede usar el operando B para representar número de partes que realmente existe en la cola.
Por ejemplo, QUEUE COLA, 10 indica que cada transacción (caja) contiene 10 piezas esperando
en COLA.
SNA
Q: Tamaño de la cola (contenido actual).
QA: Contenido promedio de la cola.
QC: Número total de entradas a la cola.
QT: Tiempo promedio por transacción en la cola (a base de QC).
QM: Contenido máximo de la cola.
QX: Tiempo promedio por transacción en la cola (a base de QZ).
QZ: Total de entradas con cero tiempo de espera en la cola.

68
DEPART
El bloque DEPART registra estadísticas que indican una reducción en el contenido de la
entidad de cola. El bloque DEPART puede visualizarse como “punto de terminación para la toma
de datos estadísticos de las colas que se formaron”.
A: Nombre o número de cola. El operando debe ser nombre, entero positivo SNA
(requerido).
B: Número de unidades en que se decrementa el contenido de la entidad de cola.
Default = 1 (opcional). El operando debe ser nombre, entero positivo o SNA.
Al utilizar los bloques QUEUE y DEPART en el reporte aparece una serie de datos
estadísticos en el reporte que contienen la siguiente información:
1. Número de entradas en la línea de espera (potencial).
2. Contenido actual de la cola (número de transacciones esperando.
3. Número de transacciones que no tuvieron que esperar en cola (con tiempo cero en
fila).
4. Contenido promedio de transacciones en cola.
5. Tiempo promedio de espera por transacción.
SNA
Son los mismos que para el bloque QUEUE.
ADVANCE
El objetivo es simular retrasos en el flujo de las transacciones, de manera que puede
visualizarse como el tiempo de proceso, transporte o servicio. Desde un punto de vista de análisis
de bloques, el ADVANCE permite la entrada a toda transacción que llegue. En este bloque
pueden existir en un mismo tiempo una o más transacciones.
El funcionamiento de este bloque se lleva a cabo de la siguiente forma: cuando una
transacción cruza por el ADVANCE en el tiempo t1, se genera en un tiempo de proceso (TP)
dado por las condiciones presentadas en los operandos A,B, y se envía la transacción a la cadena
de eventos futuros en espera de que el reloj de simulación avance hasta el tiempo t2 = t1 + TP,
tiempo en el cual la transacción abandona la cadena de eventos futuros y continua su camino al
siguiente bloque secuencial.
DEPART A, B

69
ADVANCE A,B
A: Es el tiempo medio de retardo de la actividad (servicio). El operando debe de ser
nombre, entero positivo o SNA (requerido).
B: Desviación con respecto a la media para la distribución uniforme. El operando debe ser
nombre, entero positivo o SNA (opcional).
Para la distribución uniforme, el operando A del bloque ADVANCE representa el tiempo
medio de servicio. El operando B representa la mitad del ancho del tiempo de servicio. En todos
los casos, el valor del operando B deberá ser menor que el valor del operando A, de lo contrario
ocurriría un error al intentar generar una transacción en un tiempo negativo.
TERMINATE
Solo remueve las transacciones activas que pasen por él, pero no controla el tiempo de
corrida de simulación.
TERMINATE 1
START 100
En el momento en que una transacción cruza por el TERMINATE, es destruida y sale del
sistema, pero decrementa el valor START en una unidad; de esta manera, cuando 100
transacciones crucen por el TERMINATE, el valor del START llegará a 0 y el proceso de
simulación se detendrá.
TERMINATE 2
START 100
Cuando una transacción cruza por el TERMINATE, es destruida y sale del sistema, pero
decrementa el valor START en 2 unidades; de tal manera que cuando 50 transacciones crucen por
el TERMINATE, el valor del START llegará a 0 y el proceso de simulación se detendrá.
SNA
TG1: Contador de terminación
Tomando en cuenta los bloques vistos hasta el momento, es interesante manejarlos de una
forma integral. Para esto se presentan a continuación algunos ejemplos de sistemas que se desean
modelar mediante GPSS.

70
TIPOS DE BLOQUES DE GPSS
Operación A B C D
E F
ADVANCE Media Modificador
ASSIGN Param Núm. (±) Fuente
DEPART Cola Núm. (Unidades)
ENTER Almacenaje Núm. (Unidades)
GATE Artículo Núm. (Sigue bloque B)
GENERATE Media Modificador (Desplazamiento)
(Cuenta) (Prioridad) (Params)
LEAVE Almacenaje Núm. (Unidades)
LINK Cadena Núm. Orden (Siguiente bloque B)
R
LOGIC S Switch
I
MARK (Param. Núf.)
PRIORITY Prioridad
QUEUE Cola Núm. (Unidades)
RELEASE Facilidad Núm.
SAVEVALUE Reservar valor Núm. (±) SNA
SEIZE Núm. Facilidad
TABULATE Núm. Tabla (Unidades)
TERMINATE (Unidades)
TEST Arg. 1 Arg. 2 (Siguiente bloque B)
TRANSFER Factor selec. Siguiente bloque A Siguiente bloque B
UNLINK Núm. cadena Siguiente bloque A Cuenta
(Núm. Param.) (Arg.) (Siguiente bloque B

71
SÍMBOLOS DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES DEL GPSS
AVANZA ENLAZA AGARRA
SALE MARCA TERMINA
ASIGNA LOGICA TABULA
ENTRA PRIORIDAD PRUEBA
COMPUERTA COLA TRANSFIERE
GENERA LIBERA
DESENLAZA
ABANDONA RESERVA VALOR

72
Ejemplo:
Considere un torno manual que procesa piezas en 5 ± 2 minutos con distribución
uniforme. El tiempo entre llegadas de las piezas al torno sigue una distribución uniforme con
parámetro 7 ± 3 minutos. Realice un modelo en GPSS que simule el torneado de 500 piezas.
GENERATE 7,3
QUEUE ALMACEN
SEIZE TORNO
DEPART ALMACEN
ADVANCE 5,2
RELEASE TORNO
TERMINATE 1
*
START 500
END
En este ejemplo se tiene la unidad elemental de producción en la que entran las piezas al
modelo por el bloque GENERATE, cruzando el sistema y abandonándolo en el bloque
TERMINATE. Cada vez que una pieza abandona el modelo resta 1 del valor del START que
detendrá la simulación cuando llegue a 0
Ejemplo:
Modifique el modelo anterior si desea simular además un rectificado de las piezas después
del torneado en otro torno en el que el tiempo de operación es de 6 ± 1 minuto con distribución
uniforme.
SIMULATE
*
GENERATE 7.3
QUEUE ALMACEN
SEIZE TORNO
DEPART ALMACEN
ADVANCE 5,2
RELEASE TORNO
QUEUE WIP
SEIZE TORNO2
DEPART WIP
ADVANCE 6,1
RELEASE TORNO2
TERMINATE 1
*
START 500
END

73
El único cambio es la introducción de un nuevo elemento básico de producción que
simula el rectificado entre el torneado y la salida del sistema. En este caso, cada elemento básico
tiene su propia máquina (TORNO y TORNO2) y estadísticas de espera separadas o dos
almacenes separados (ALMACEN y WIP). El funcionamiento del TERMINATE y el START
es similar al ejemplo anterior.
Ejemplo:
En un puerto se cuenta con una grúa destinada a la descarga de barcos. Existe dos tipos
de barcos que entran al puerto a descargar; los tiempos de descarga siguen una distribución
uniforme con parámetros de 10 ± 2 y 17 ± 5 horas para los barcos de tipo 1 y tipo 2,
respectivamente. El tiempo entre llegadas entre los barcos sigue una distribución uniforme con
parámetros de 15 ± 2 y 24 ± 5 horas para los de tipo 1 y tipo 2, respectivamente.
a) Simule el sistema portuario hasta que se hayan descargado 90 barcos.
GENERATE 15,2
QUEUE MUELLE
SEIZE GRUA
DEPART MUELLE
ADVANCE 10,2
RELEASE GRUA
TERMINATE 1
*
GENERATE 24,5
QUEUE MUELLE
SEIZE GRUA
DEPART MUELLE
ADVANCE 17,5
RELEASE GRUA
TERMINATE 1
*
START 90
END
Al existir dos tipos de barcos o dos tipos de transacciones con diferentes condiciones de
proceso, es necesario crear dos elementos básicos para cada uno de ellos. Los barcos tipo 1 se
introducen al modelo en el GENERATE 15,2 y son destruidos en TERMINATE 1 de su propio
elemento, con lo que se evita que entren al segundo elemento. El otro tipo de barco entra al
sistema en el GENERATE 24,5 y después de cruzar por el segundo elemento es destruido en su
respectivo TERMINATE. Los barcos nunca se cruzan dentro de los segmentos sin embargo,
comparten el recurso GRUA y las estadísticas de la espera también se encuentran compartidas en
el mismo MUELLE. Gracias a las cadenas de eventos, el GPSS logra unir internamente los dos
elementos y manejarlos en forma simultánea o paralela, de manera que se pueda pensar que se
“mezcla los barcos internamente”. Como se desea simular 90 barcos sin importar de que tipo son,

74
el control de la simulación debe ser llevado a cabo por los dos elementos; por eso, ambos
TERMINATE se codifican con el valor 1 para el operando A.
b) Simule el sistema y finalice la simulación en el momento en que hayan sido
descargados 40 barcos del tipo 2.
GENERATE 15,2
QUEUE MUELLE
SEIZE GRUA
DEPART MUELLE
ADVANCE 10,2
RELEASE GRUA
TERMINATE
GENERATE 24,5
QUEUE MUELLE
SEIZE GRUA
DEPART MUELLE
ADVANCE 17,5
RELEASE GRUA
TERMINATE 1
START 40
END
En este inciso, lo único que se desea es detener la simulación mediante el conteo de uno de
los tipos de barcos; en este caso, al controlarlo con barcos tipo 2, se debe eliminar el valor del
operando A del TERMINATE de los barcos tipo 1 y mantener el valor en el TERMINATE de los
barcos tipo 2.
c) Simule el puerto durante una semana, dándole mayor prioridad en la descarga de los
barcos tipo 1.
GENERATE 15,2,,,5
QUEUE MUELLE
SEIZE GRUA
DEPART MUELLE
ADVANCE 10,2
RELEASE GRUA
TERMINATE
GENERATE 24,5
QUEUE MUELLE
SEIZE GRUA
DEPART MUELLE
ADVANCE 17,5
RELEASE GRUA
TERMINATE
GENERATE 168

75
TERMINATE 1
START 1
END
Los cambios que deben hacerse para el modelado de la nueva situación son: 1) dar mayor
prioridad a los barcos tipo 1 generados en el primer segmento utilizando el cuarto operando en
donde se coloca una prioridad mayor que los barcos tipo 2 del segundo segmento, 2) se elimina
el control de la simulación mediante barcos al colocar el TERMINATE con el valor por omisión
(default) del operando A y 3) se agrega un nuevo segmento, que genera transacciones cada 168,
cruzará el TERMINATE y restará 1 del valor del START, que al llegar a 0, dará por terminada la
simulación.
ENTER
El bloque ENTER tiene dos funciones; en la primera se utiliza para simular la selección y
captura de uno o más servidores en paralelo; en la segunda se utiliza para simular la entrada, el
inicio de estadísticas y la ocupación de un espacio dentro de una fila de capacidad finita.
ENTER A,B
A: Nombre o número de almacenaje (storage) por utilizar. El operando debe ser nombre,
entero positivo o SNA (requerido)
B: Número de unidades por los que se decrementa la capacidad disponible de almacenaje
(storage). Default = 1. El operando debe ser nombre, entero positivo o SNA (opcional)
El operando B se puede definir también como el número de servidores que captura por
cada transacción que entra al bloque ENTER. Para definir el número (capacidad) de servidores
existentes en paralelo se requiere utilizar la instrucción STORAGE.
La transacción que entra al bloque ENTER capturará cualquier servidor que esté
disponible en ese momento. En caso de no encontrar ningún servidor disponible (según la
capacidad definida en STORAGE), la transacción en espera será puesta a Delay Chain (cadena de
espera).
SNA
R: Capacidad disponible del storage
S: Cantidad del storage que está en uso
SA: Número promedio de transacciones que están siendo atendidas (número de servidores
ocupados)
SC: Número de transacciones que han entrado al almacenaje
SE: Regresa al valor 1 si el storage está vacío, y 0 de otra manera

76
SF: Regresa el valor 1si el storage está lleno, y 0 de otra manera
SR: Utilización de la capacidad del almacenaje
SV: Regresa 1 si el storage está en estado disponible, 0 de otra manera
Ejemplo:
Una máquina herramienta de un taller de fabricación produce piezas a razón de una por
cada 5 minutos. Conforme se terminan, las piezas van a un inspector que necesita
4+3 minutos para examinar cada una y rechaza aproximadamente 10% de las piezas. Cada
pieza queda representada por una operación y la unidad de tiempo elegida para el problema será
de 1 minuto.
En la figura se muestra un diagrama de bloques que representa al sistema. La convención
usual que se utiliza en los diagramas de bloques es colocar la localización del bloque (en los
casos necesarios) en la parte superior del bloque; el tiempo de acción se indica en el centro en la
forma T= a,b en que a es la media y b el modificador; y el factor de selección se coloca en la
parte inferior de cada bloque.
Se utiliza un bloque GENERATE para representar la salida de la máquina creando un
transacción cada cinco minutos de tiempo. Se utiliza un bloque ADVANCE con una media de 4
y modificador de 3 para representar la inspección. En consecuencia, el tiempo que transcurre en
la inspección será cualquiera de los valores 1,2,3,4,5,6 ó 7, dando igual probabilidad a cada
valor.
Al completar la inspección, las transacciones van a un bloque TRANSFER con un factor
de selección de 0.1 de manera que 90% de las piezas van a la siguiente localización (salida 1)
llamada ACC para representar las piezas aceptadas y 10% van a otra localización (salida 2)
llamada REJ para representar los rechazos. Ya que no se tiene interés adicional en seguir la
historia de las piezas en esta simulación, ambas localizaciones a las que se llega desde el bloque
de TRANSFER son bloques de TERMINATE.

77
Asociadas con el sistema que se simula hay muchas entidades permanentes tales como
artículos de equipo, que operan sobre las transacciones. En GPSS se definen dos tipos de
entidades permanentes para representar el equipo del sistema.
Se defina una facilidad como una entidad que puede utilizar una sola transacción a la vez.
Se define un almacenaje como una entidad que pueden ocupar muchas transacciones a la vez,
hasta cierto límite predeterminado. Puede haber muchas instancias de cada tipo de entidad hasta
un límite impuesto por el programa (generalmente 300). Las entidades individuales se identifican
mediante número; se utiliza una secuencia numeral distinta para cada tipo. El número 0 es ilegal
para éstas y las otras entidades del GPSS. El usuario puede asignar los números en cualquier
orden o puede utilizar nombres simbólicos y dejar que el programa ensamblador asigne los
números.
Algunos ejemplos de cómo podrían interpretarse las entidades del sistema en distintos
sistemas son:
Tipo de Sistema Transacción Facilidad Almacenaje
Comunicaciones Mensaje Conmutador Troncal
Transportación Automóvil Caseta de peaje Carretera
GENERATE
ADVANCE
TRANSFER
TERMINATE
ACC REJ
1 1

78
Una troncal significa un cable que consiste en muchos alambres cada uno de los cuales
puede transportar varios mensajes simultáneamente y por tanto se representa como un
almacenaje. En este caso se supone que un interruptor sólo pasa un mensaje a la vez, por lo que
se representa como una facilidad.
La figura muestra cuatro tipos de bloques SEIZE, RELEASE, ENTER Y LEAVE, que
se refieren a la utilización de facilidades y almacenajes. El campo A de cada caso indica la
facilidad o almacenaje de referencia y, generalmente la selección se marca en la bandera que se
anexa a los símbolos de los bloques. El bloque SEIZE permite que una transacción utilice una
facilidad si está disponible. El bloque RELEASE permite que la transacción libere la facilidad.
En forma análoga un bloque ENTER permite que una transacción ocupe espacio en un
almacenaje, de estar disponible el bloque LEAVE permite que ceda el espacio. Si está en blanco
los campos B de los bloques ENTER y LEAVE, el contenido del almacenaje se cambia en 1. Si
hay un número (mayor o igual que 1), se cambia el contenido en ese valor.
Se puede colocar cualquier cantidad de bloques entre los puntos en que se toma y libera
una facilidad para simular las acciones que se seguirán mientras una transacción tiene el control
de una facilidad. Se aplican arreglos semejantes para la utilización de los almacenajes.

79
Ilustraremos el uso de modos de transferencia tanto condicional como incondicional del
bloque TRANSFER. De nuevo considere el caso de tres inspectores, pero suponga que las
piezas fabricadas se colocan en una banda transportadora, la que lleva las piezas frente a los
inspectores colocados a intervalos a lo largo de la misma banda. Una pieza tarda dos minutos en
llegar al primer inspector, si está libre cuando llega esa pieza, la toma para inspeccionarla, si está
ocupado, la pieza necesita dos minutos adicionales para llegar al segundo inspector, que la toma
si está desocupado. Las piezas que pasan al segundo inspector puede tomarlas el tercero que está
a dos minutos adicionales sobre la banda transportadora; en caso contrario se pierden. Para
mantener pequeño el modelo, se registrará todo el tiempo de tránsito de las piezas y se ignorará
la posibilidad de que los inspectores rechacen las mismas.
GENERATE
SEIZE
ADVANCE
RELEASE
TRANSFER
TERMINATE
ACC REJ

80
GENERATE
QUEUE
ENTER
DEPART
MARK
ADVANCE
LEAVE
TABULATE
TRANSFER
TERMINATE
ACC REJ

81
Ejemplo: Los usuarios llegan a razón de uno cada 10±15 minutos para utilizar un solo teléfono.
Si el teléfono está ocupado, 50% de las personas regresan 5 minutos después y lo intentan de
nuevo y el resto lo abandona del todo. Suponiendo que una llamada toma 6±3 minutos, cuente
cuántas personas habrán abandonado el intento para cuando se hayan terminado 1000 llamadas.
Código GPSS
GENERATE 10,5
INI TRANSFER BOTH,TEL,OCU
TEL SEIZE TELEF
ADVANCE 6,3
RELEASE TELEF
TERMINATE
OCU TRANSFER 0.500,ESP5,BYE
ESP5 ADVANCE 5,0
TRANSFER ,INI
TERMINATE 1
BYE TERMINATE 1

82
Ejemplo: La sala de espera del consultorio de un doctor cuenta con 4 sillas. Los pacientes al
llegar al consultorio, se sientan mientras el doctor está ocupado. Si llega un paciente y no
encuentra ninguna silla disponible, se va a otro doctor. El tiempo de consulta está uniformemente
distribuido entre 20 y 30 minutos por paciente. La llegada de los pacientes al consultorio es
uniforme entre 15±3 minutos.
Código GPSS
paciente STORAGE 4
GENERATE 15,3
TEST E
SF$paciente,0,descartar
ENTER paciente
SEIZE cola
LEAVE paciente
ADVANCE 25,5
RELEASE cola
TERMINATE 1
descartar TERMINATE 1
Start 1

83
Simulación De Sistemas Discretos
Eventos discretos
Se pueden considerar dos puntos generales de vista acerca de cómo se identifiquen los
eventos discretos. En uno de los puntos de vista, al que se refiere como orientado a la partícula,
o basado en el material, la atención se centra en las entidades del sistema y se considera a la
simulación como la tarea de seguir los cambios que ocurren conforme a las actividades. En ese
caso se considera a los tiempos en que ocurren los cambios al sistema como atributos a las
entidades. En el otro punto de vista, que se refiere como orientado al evento o basado en la
máquina, la atención se centra en las actividades y la simulación sigue la historia de las
actividades conforme se aplican a distintas entidades. En ese caso se considera a los tiempos en
que ocurren los cambios al sistema como característicos de las actividades.
La ejecución de una simulación se mantiene igual sin importar el punto de vista que se
tome. Es necesario llevar registros de todas las actividades que desarrollan y de las entidades
involucradas, y se deben de cambiar periódicamente para reflejar la secuencia de eventos en el
sistema. Para hacerlo es necesario llevar registros de los tiempos de eventos y los cálculos deben
computar los tiempos de eventos futuros conforme se desarrolla la simulación.
Representación del tiempo
El paso del tiempo se registra mediante un número al que se conoce como tiempo del
reloj. Generalmente se hace igual a cero al principio de una simulación y posteriormente indica
cuántas unidades de tiempo simulado han transcurrido desde el inicio de la simulación. A menos
que específicamente se expresa de manera contraria, el término tiempo de simulación significa el
tiempo de reloj indicado y no el tiempo que ha necesitado un computador para realizar la
simulación. Por regla general no hay conexión directa entre el tiempo simulado y el necesario
para realizar los cómputos. El factor de control en la determinación del tiempo de cómputo es el
número de eventos que ocurren. Dependiendo de la naturaleza del sistema que se simula, y el
detalle con que se modela, puede variar considerablemente la relación del tiempo simulado al
tiempo real. Si una simulación estudiara el funcionamiento detallado de un sistema de
computador en que los eventos reales ocurren en intervalos medidos en fracciones de
microsegundos, aunque la simulación se realizara en un computador digital de alta velocidad,
fácilmente tomaría varios miles de veces mas tiempo que la operación real del sistema.
Existen dos métodos básicos de actualizar el tiempo del reloj. Uno consiste en avanzar el
reloj a la hora a que debe ocurrir el siguiente evento. El otro método es avanzar el reloj en
intervalos pequeños (generalmente uniformes) y determinar en cada intervalo si debe de ocurrir
un evento en ese momento. Al primer método se le conoce como orientado al evento y del
segundo se dice que está orientado a intervalos. Por lo general la simulación de sistemas
discretos se realiza utilizando el método orientado a los eventos en tanto que la simulación de
sistemas continuos utiliza normalmente el método orientado a los intervalos.

84
Sin embargo, se debe de señalar que no se puede expresar una regla definitiva con
respecto a la manera en que se representa el tiempo en las simulaciones para sistemas discretos y
continuos. Un programa orientado a los intervalos detecta cambios discretos y por tanto puede
simular sistemas discretos, en tanto que se puede hacer que un programa orientado a eventos siga
cambios continuos introduciendo artificialmente eventos que ocurren a intervalos regulares.
Generación de patrones de llegadas
Un aspecto importante de la simulación de sistemas discretos es la generación de llegadas
exógenas. Es posible que se haya especificado una sucesión exacta de llegadas para la
simulación. Por ejemplo la sucesión puede ser el resultado de ciertas observaciones en el sistema.
Más aún, cuando no hay interacción en las llegadas exógenas y los eventos endógenos del
sistema, es permisible crear una sucesión de llegadas como preparación para la simulación. Sin
embargo, por lo general la simulación se desarrolla creando nuevas llegadas conforme se
necesitan.
La llegada exógena de una entidad se define como evento y la hora de llegada de la
siguiente entidad se registra como uno de los tiempos del evento. Cuando el tiempo de reloj llega
a este tiempo de evento, se ejecuta el evento de entrar la entidad al sistema y de inmediato se
calcula el tiempo de llegada de la siguiente entidad a partir de la distribución de tiempos entre
llegadas, con frecuencia se utiliza el término boot-strapping (cordón de bota) para describir este
proceso que hace que una entidad cree su sucesora. El método requiere sólo llevar cuenta de la
hora de llegada de la siguiente entidad; en consecuencia, es el método preferido de generar
llegadas para los programas de simulación de computador.
La entidad que llega generalmente requiere que se generen ciertos valores de atributos, en
cuyo caso debe ponerse atención a la hora en que se generan los valores. Se pueden generar
cuando se calcula el tiempo de llegada o pueden generarse cuando la entidad llega físicamente. Si
no hay interacción entre los atributos y los eventos que ocurren dentro del sistema, la generación
puede hacerse en cualquier momento. Sin embargo, si los valores de los atributos dependen del
sistema, se debe acordar que al tiempo de generar el tiempo de la llegada, la llegada real todavía
es un evento en el futuro. Entonces es necesario posponer la generación de los valores de atributo
hasta que se ejecute el evento de la llegada. Por ejemplo una simulación en que se generan
llamadas telefónicas. Es necesario generar la longitud de la llamada y su origen. No hay
interacción entre la distribución de la longitud de la llamada y el estado del sistema, de manera
que se puede generar la longitud de la llamada al tiempo que se decide la hora de llegada o
cuando llega la llamada. Sin embargo, una llamada no puede provenir de alguna línea que ya esté
ocupada, de manera que la selección del origen debe de posponerse hasta que llegue la llamada.
Elegir el origen cuando se decide la hora de llegada implica el riesgo de que otra llamada haya
ocupado el origen propuesto antes de que llegue la llamada en cuestión.
Simulación de un sistema telefónico
El sistema tiene una cantidad de teléfonos (sólo se muestran los ocho primeros)
conectados a un conmutador mediante líneas. El conmutador tiene una cantidad de enlace que se
pueden utilizar para conectar cualesquiera dos líneas, sujeto solo a la condición de que se puede

85
FIG. 2 SISTEMA, ESTADO 1.
hacer únicamente una conexión a la vez a cada línea. Se supondrá que el sistema es de llamadas
perdidas, o sea que se abandona de inmediato toda llamada que no se pueda conectar cuando
llega. Una llamada se puede perder debido a que el llamado puede estar ocupado, en cuyo caso se
dice que la llamada está ocupada; o también se puede perder debido a que no se disponga de un
enlace, en cuyo caso se dice que es una llamada bloqueada.
El propósito de la simulación será procesar un número dado de llamadas y determinar la
proporción de las que se completan exitosamente, se bloquean o son llamadas ocupadas.
1
2
3
4
5
6
7
8
FIG 1 SISTEMA TELEFÓNICO SIMPLE
El estado actual del sistema, que se muestra en la figura es que la línea 2 está conectada
ala 5 y que la línea 4 está conectada a la 7. En la figura 2 aparece una manera de representar el
estado del sistema. Se considera a cada línea como una entidad que tiene como atributo a su
disponibilidad. Se establece una tabla de números para mostrar el estado actual de cada línea. Un
cero en la tabla significa que la línea está libre, en tanto que uno significa que está ocupada.
0
1
0
1
1
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
LÍNE
AS
NU
M.
MAX
.
E
N U
S
O
ENL
ACE
S
R
E
L
OJ
1027
S
IGU
IE
NT
E
LL
AMADA
DE A L
ONG
3 7 120
H
ORA DE L
L
E
GADA
1057
3
2
LL
AMADASE
N PR
OCE
S
O
4 7 1075
2 5 1053
DE A FIN
CONT
ADOR
E
SDE L
LAMAS
131 98 5 28
P
ROCE
S
ADASCOMP
L
E
T
ADASBL
OQU
E
ADA
SOCUP
ADAS

86
No es necesario llevar una historia detallada de cada enlace individual, ya que cada uno
puede dar servicio a cualquier línea. Basta con incorporar en el modelo la restricción impuesta
por el hecho de que hay un número fijo de enlaces (en este caso tres). Bajo estas circunstancias,
el grupo de enlaces se representa como una sola entidad en que loa atributos son el número
máximo de enlaces y los que actualmente están en uso. En consecuencia, dos números
representan los enlaces.
Para llevar control de los eventos se concluye un número que representa el tiempo de
reloj. De momento se indica que el tiempo de reloj es 1027, en que se considera que la unidad de
tiempo es 1 segundo. El reloj se actualiza en la forma orientada a los eventos según se desarrolla
la simulación. Cada llamada es una entidad separada que tiene como atributos a su origen, destino
y longitud. La simulación se realizará utilizando el concepto orientado a las partículas de los
eventos, de manera que será necesario generar el tiempo en que termina la llamada, como un
atributo adicional de la misma. Existe una lista de llamadas en proceso que muestra cuáles líneas
conecta cada llamada y la hora que termina la llamada. Para generar la llega de llamadas se
utiliza el método de cordón de bota, de manera que se lleva un registro de la hora en que debe
llegar la siguiente llegada. Se supondrá que la llamada tiene igual probabilidad de provenir de
cualquier línea que no esté ocupada, y que puede dirigirse a cualquier línea excepto a si misma,
sin importar que la línea está ocupada o no. La selección del origen debe de posponerse hasta que
llegue la llamada. Por conveniencia se generarán en ese momento tanto el origen como el destino
y longitud de la llamada. La generación de la longitud de la llamada se puede posponer no sólo
hasta que haya llegado la llamada sino hasta determinar si se puede conectar.
El conjunto de números dentro del bloque principal de la figura 2 recuerda el estado del
sistema al tiempo 1027. Hay dos actividades que provocan eventos; pueden llegar nuevas
llamadas y pueden terminar las llamadas existentes.
La simulación se desarrolla ejecutando un ciclo de pasos para simular cada evento. El
primer paso es escudriñar los eventos para determinar cual es el siguiente evento potencial. En
este caso el siguiente evento potencial esta en 1053. Se actualiza el reloj y el segundo paso es
seleccionar la actividad que debe provocar el evento. En este caso la actividad es desconectar una
llamada. No hay condiciones que deban de satisfacerse cuando se desconecta una llamada, de
manera que el evento se ejecuta; pero en general el tercer paso es probar si se puede ejecutar el
evento potencial. El cuarto paso es cambiar los registros que se reflejen los efectos del evento. Se
muestra que la llamada se a desconectado haciendo igual a cero los números en la tabla de líneas
para las líneas 2 y 5, reduciendo el número de enlaces utilizados en 1 y quitando la llamada
terminada de la tabla de llamadas en desarrollo. Como quinto paso puede ser necesario reunir
ciertas estadísticas para la salida de la simulación. Se reservan contadores para registrar el
número de llamadas procesadas y completadas. Entonces el estado del sistema aparece como se
muestra en la figura 3.

87
FIG. 4 ESTADO 3 DEL SISTEMA
0
0
0
1
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
L
ÍNEAS
NU
M.
MAX
.
EN U
SO
ENL
ACE
S
RE
L
OJ
1053
S
IGU
IE
NT
E
LL
AMADA
DE A L
ONG
3 7 120
HORA DELL
EGADA
1057
3 L
LAMADASE
N PR
OCE
S
O
4 7 1075
DE A FIN
CONT
ADOR
ESDE L
LAMAS
132 99 5 28
P
ROCE
S
ADASCOMP
LE
T
ADASBL
OQUE
ADASOCUP
ADAS
1
FIG. 3 SISTEMA, ESTADO 2.
Se puede ver que el siguiente evento es la llegada de una llamada el tiempo 1057. Se
actualiza el reloj al tiempo de llegada y se generan los atributos de la nueva llegada. Ya que la
actividad elegida es conectar una llamada, es necesario realizar pruebas; primero para determinar
si hay un enlace disponible, y luego para determinar si está ocupado el que recibirá la llamada. En
este caso el que recibe la llamada está ocupado de manera que se pierde la llamada. Se
incrementan en 1 los contadores de llamadas procesadas y de llamadas ocupadas. Se genera una
nueva llegada y entonces el estado del sistema al tiempo de que se perdió la llamada aparece
como se muestra en la figura 4.
0
0
0
1
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
L
ÍNE
AS
NU
M.
MAX
.
EN U
S
O
E
NL
ACE
S
R
E
L
OJ
1057
S
IGU
IE
NT
E
LL
AMADA
DE A L
ONG
3 6 98
HORA DELL
E
GADA
1063
3 L
LAMADASE
N P
R
OCE
S
O
4 7 1075
DE A FIN
CONT
ADOR
E
SDE L
LAMAS
133 99 5 29
P
ROCE
S
ADASCOMP
L
E
T
ADASBL
OQU
E
ADASOCUP
ADAS
1

88
FIG 5 ESTADO 4 DEL SISTEMA
FIG. 6 TAREAS DE PROGRAMACIÓN DE
SIMULACION
Nuevamente el siguiente evento potencial es una llamada, pero esta vez puede conectar la
llamada llegada de manera que el estado del sistema cambia al que se muestran en la figura 5.
0
0
1
1
0
1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
L
ÍNE
AS
NU
M.
MAX
.
EN U
S
O
E
NL
ACE
S
R
E
L
OJ
1063
S
IGU
IE
NT
E
LL
AMADA
DE A L
ONG
1 5 132
HORA DELL
E
GADA
1082
3 L
LAMADASE
N P
R
OCE
S
O
4 7 1075
DE A FIN
CONT
ADOR
E
SDE L
LAMAS
133 99 5 29
P
R
OCE
S
ADASCOMP
L
E
T
ADASBL
OQU
E
ADASOCUP
ADAS
2
3 6 1161
Tareas de programación de simulación
AT
RIBUT
OSDE
LASENT
IDADES
ACTIVIDADES
IMAGEN DEL
SISTEMA RUTINAS
ALGORIT
MO DES
IMULACION
GE
NERADORDEINFORMES
GENER
A
MDELO
SIMULACION
INFORME

89
FIG 7. EJECUCION DE UN ALGORITMO DE SIMULACION
Imagen del sistema: De la descripción del sistema es necesario crear un conjunto de
números para representar el estado del mismo. A este conjunto de número se le conoce como
imagen del sistema ya que su propósito es reflejar el estado del mismo en todo momento. Se debe
representar las actividades del sistema como rutinas que deben realizar los cambios a la imagen
del sistema.
Algoritmo de simulación: Es programar el procedimiento que ejecuta el ciclo de acciones
que participan en la realización de la simulación.
Generador de informes: Generalmente especifica las estadísticas reunidas durante la
simulación.
Un diagrama de flujo de programa de simulación
CREAR MODELO
ENCONTRAR
SIGUIENTE
EVENTO
POTENCIAL
ELEGIR
ACTIVIDAD
DETERMINAR SI
PUEDE HACERSE
CAMBIAR
IMAGEN
RECABAR
ESTADISTICAS
MAS
GENERAR
INFORME
GENERAR
SIMULAR
INFORME
1
2
3
4
5
N
Y
Y
N

90
UNIDAD V
Validación
Cálculo Del Número Óptimo De Simulaciones
Debido a la naturaleza probabilística de los sistemas donde se utiliza la simulación, se
hace imprescindible crear modelos cuyos resultados sean estadísticamente iguales a los sistemas
reales. Uno de los factores que afectan en forma directa estos resultados es el tamaño de la
corrida de simulación o bien el número de corridas de simulación realizadas para encontrar
resultados confiables. Al realizar una corrida de simulación el resultado promedio de las variables
del sistema tienen un período de inestabilidad y, conforme transcurre el tiempo, esas variables
tienden a un estado estable y es entonces cuando los valores de las variables de respuesta son
confiables.
Existen, en general, varias formas para lograr la estabilización de un modelo de
simulación, la primera consiste en utilizar corridas lo suficientemente largas para que los datos
del período de transición resulten insignificantes, este planteamiento puede ser adecuado si la
ejecución del modelo es rápida. Esta situación no es tan atractiva si la duración del período
transitorio es prolongado, en este caso, se pueden seleccionar condiciones iniciales de arranque
que sean más representativas de la condición de estado estable y que por tanto reduzca el período
transitorio. El principal problema en este caso es no tener una idea adecuada de las condiciones
iniciales, lo que podría llevar a una polarización de los resultados y en consecuencia aumentar la
varianza, ocasionando tamaños de corrida más grandes. Una tercera opción es determinar en qué
momento se ha llegado al estado estable en función de los resultados obtenidos, una de las
formas más comunes de determinar este momento se consigue graficando el valor promedio de
la variable de interés contra el tiempo de simulación, y cuando se observe que ese promedio ya
no cambia a través del tiempo, detener la corrida de simulación.
EL tamaño de una corrida de simulación depende principalmente del tipo de distribución
que se intenta simular y, por decirlo de alguna forma, de la bondad del generador de números
U(0,1) que se esta utilizando y de las condiciones iniciales con que inició la simulación del
sistema.
En forma general. Para calcular el número de simulaciones se tiene la expresión:
( )
2
2
2
2
K
Z
n
α
σ
=
Donde:
Z = Estadístico normal estándar para cierta α.
K = Desviación absoluta máxima permitida sobre la media de la distribución a simular.
σ
σ
σ
σ2
= Variancia de la distribución a simular.

91
Cuando la media y la variancia de la distribución a simular se obtuvieron de una
población n1 de 30 o menos elementos, entonces, el cálculo óptimo de las simulaciones se
modifica de acuerdo con la siguiente ecuación:
( )
2
2
2
,
1
1
2
K
t
s
n
n α
−
=
Donde:
t = Estadístico de la distribución t student.
K = Desviación absoluta máxima permitida sobre la media de la distribución a simular.
S2
= Estimador de la variancia de la distribución a simular.
Esta segunda fórmula se emplea para calcular n óptima basándose en una corrida
simulada del sistema de tamaño n1. A esta corrida pequeña se le conoce como prueba piloto, y su
función es calcular n en función de la distribución general y del generador utilizado en la prueba
piloto.
Pueden usarse ambas fórmulas siempre y cuando la información de donde se obtienen los
estimadores sigan, estadísticamente, una distribución normal. En caso de que los datos analizados
sigan otra distribución se debe hacer uso del teorema de Tchebycheff de tal suerte que el cálculo
se ve reducido a:
α
2
m
n =
Donde:
α
α
α
α = Probabilidad de error permitida.
m2
= Número de desviaciones estándar máximo permitido sobre la media de la
distribución a simular.
El cálculo del número de corridas óptimo, del modelo de simulación en donde se tengan
varias variables probabilísticas, se realiza ejecutando el cálculo para cada una de ellas y se
selecciona la mayor de todas las n; éste será el número de simulaciones del modelo
computacional.
Ejemplo:
Se desea encontrar el número de simulaciones que debe realizar un simulador de
desperdicios de una planta de poliéster, de tal forma que el promedio diario simulado de
desperdicio no difiera más de ±0.166σ de su valor real, con una confiabilidad del 95%.
Si se supone o se sabe que el desperdicio diario en toneladas sigue una distribución
normal, entonces, el número de simulaciones óptimo es:
( )
2
2
2
2
K
Z
n
α
σ
=

92
Donde:
Z = 1.96 para una confiabilidad del 95%
K = 0.166s = 0.166 σ
Sustituyendo la información:
n = 139.4
Ahora bien, si no se tiene idea de la distribución de probabilidad del desperdicio de la
planta o de que siga otro tipo de distribución, se utiliza la expresión:
00
.
720
05
.
0
36
2
=
=
=
α
m
n
Este cálculo del número de simulaciones óptimo, es un cálculo a priori, sin embargo, no
se asegura del todo que se cumpla con las condiciones de estabilidad.
Una forma más segura de determinar el momento en que el sistema se estabiliza se
consigue al graficar, a través del tiempo, cada uno de los valores promedio de aquellas variables
o resultados que se deseen analizar y al observar el comportamiento de las variables deteniendo la
simulación cuando todas esas variables se encuentren en estado estable.
Cálculo Del Número De Réplicas
Una vez que se ha corrido un sistema de simulación hasta llegar a la estabilización, existe
el problema de que las observaciones obtenidas en el experimento de simulación, generalmente,
no son independientes (autocorrelacionadas). Para obtener resultados independientes hay que
repetir “r” veces la simulación de tamaño “n” con diferentes números aleatorios.
Se aconseja que el número de réplicas o repeticiones sea de 3 a 10.
Teniendo los resultados de cada una de las réplicas, es necesario tomar estos resultados
para calcular los estimadores de media, variancia e intervalo de confianza de acuerdo con el
siguiente procedimiento.
Calcular la media y variancia de las observaciones para cada réplica individual con las
fórmulas:
∑
=
=
n
i
ij
n
j x
x
1
1
( )
∑
=
− −
=
n
i
j
ij
n
j x
x
s
1
2
1
1
2

93
Con la media y la variancia de cada una de las réplicas, encuentre la media y variancia
entre réplicas con las fórmulas siguientes:
∑
=
=
r
j
j
r x
x
1
1
( )
∑
=
− −
=
n
i
j
r x
x
s
1
2
1
1
2
Debido a la naturaleza probabilística de los resultados, es indispensable que para cada
variable de respuesta se calcule el intervalo de confianza de acuerdo con:
( )
x
r
t
r
s
x
Ic
2
,
1 α
−
±
=
Reducción De Varianza
En muchos estudios de simulación, una gran parte del tiempo se emplea en el desarrollo
del modelo y en la programación del mismo; pero sólo un pequeño esfuerzo se utiliza para
desarrollar un diseño apropiado de las corridas o para analizar correctamente los resultados que
genera la simulación. Partiendo de que la información de entrada es una variable aleatoria, la
información de salida es también aleatoria. Por lo tanto, un modelo de simulación sólo puede
producir un estadístico estimado de la medida de desempeño.
Existen algunos métodos, conocidos como técnicas de reducción de varianza, que
permiten reducir los valores estimados para la varianza, fijando condiciones a partir de los datos
históricos. Para que el resultado de una simulación sea estadísticamente preciso y libre de
tendencias, se debe especificar perfectamente la longitud de cada corrida, el número de réplicas y
el período de estabilización.
Ejemplo:
Una pequeña fábrica consta de un centro de maquinado y estaciones de inspección en
serie. Las partes por procesar arriban a la planta a un ritmo de 1 por minuto. Los tiempos de
procesamiento en las máquinas e inspecciones subsecuentes son aleatorios con medias
respectivas de 0.675 y 0.775 minutos; 90% de las partes inspeccionadas son “buenas” y se envían
al área de embarque; el resto son “malas” y se llevan a máquinas de reproceso. El centro de
maquinado está sujeto a descomposturas de ocurrencia aleatoria y la fábrica esta inicialmente
vacía y desocupada. La tabla siguiente muestra los estimados de las medias de desempeño
analizadas para 5 réplicas independientes, de longitud igual a 16 horas (se usan diferentes
números aleatorios en cada réplica) para una simulación de la planta.

94
Corrida Salidas
Tiempo de
tránsito
Prom. De piezas
en inspección
1
2
3
4
5
797
734
741
772
769
7.41
3.12
4.24
5.85
6.75
11
11
17
14
24
Observe que los resultados para varias corridas pueden ser completamente diferentes. Así,
una sola corrida no produce las respuestas. Se presentan aquí algunas técnicas que ayudarán al
analista a encontrar de forma más rápida un estimador del resultado.
Las diferentes técnicas de reducción de varianza, ocasionan una reducción en el tiempo de
simulación mediante la disminución del tamaño de la corrida y son valiosas cuando, por el
tamaño de los modelos, la memoria computacional no es capaz de soportar altos tiempos de
simulación. Estas técnicas básicamente pretenden distorsionar o cambiar el modelo original para
obtener estimaciones a bajo costo. A continuación se da una breve explicación de cada una de
ellas.
Muestreo antitético
El objetivo de esta técnica es inducir una correlación negativa entre los elementos
correspondientes en las series de números aleatorios utilizados para generar variaciones de
entrada en réplicas diferentes. Una forma de generar correlaciones negativas consiste en correr el
modelo, primero, con números aleatorios ri para obtener u estimador Y1 del parámetro estudiado
y después, con números 1-ri, obteniendo un estimador Y2 del parámetro estudiado.
Corridas comunes
Una práctica útil cuando se desarrolla un proceso de simulación, es emplear datos
históricos, los cuales pueden ser archivados y utilizados posteriormente para definir, por ejemplo,
los programas de producción de años anteriores.
El objetivo principal es iniciar nuevas corridas de simulación utilizando siempre los datos
almacenados; de esta forma, el uso de las corridas comunes afecta a todas las alternativas de igual
forma. Se debe aplicar cuando el problema consiste en la comparación de dos o más alternativas.
Muestreo clasificado
Esta técnica se apoya en un resultado parcial de una corrida, clasificándolo como
interesante o no interesante, en caso de ser interesante se continúa con la corrida en caso contrario
se detiene la corrida.

95
Variaciones de control
Este método utiliza aproximaciones de modelos analíticos para reducir la varianza. Por
ejemplo, una simulación puede ser un modelo complejo de colas donde interese conocer la
longitud promedio de la fila, cuyo valor puede estimarse analíticamente.
Muestreo estratificado
En esta técnica la función de distribución se divide en varias partes, lo más homogéneas
posibles que se resuelven o ejecutan por separado; los resultados obtenidos se combinan para
lograr una sola estimación del parámetro a analizar.
Muestreo sesgado
Consiste en distorsionar las probabilidades físicas del sistema real, de tal forma que los
eventos de interés ocurran más frecuentemente. Los resultados obtenidos presentarán también
una distorsión que debe corregirse mediante factores probabilísticos de ajuste.
Validación De Resultados
Al usar la simulación para estudiar un sistema complejo, encontramos varios tipos de
error como:
a) errores de diseño,
b) errores en la programación,
c) errores en los datos utilizados,
d) errores en el uso del modelo,
e) errores en la interpretación de los resultados.
Evaluar un modelo significa desarrollar un nivel aceptable de confianza de modo que las
interferencias obtenidas del comportamiento del modelo sean correctas y aplicables al sistema del
mundo real. La validación y verificación es una de las tareas más importantes y difíciles que
enfrenta la persona que desarrolla un modelo de simulación.
1. Verificación se refiere a la comparación del modelo conceptual con el código
computacional que se generó, para lo cual es necesario contestar preguntas como:
¿está correcta la codificación?, ¿son correcta la entrada de datos y la estructura
lógica del programa?
2. Validación es la demostración de que el modelo es realmente una representación
fiel de la realidad. La validación se lleva a cabo, generalmente, a través de un
proceso comparativo entre ambas partes y usa las diferencias para lograr el
objetivo.

96
En el proceso de validación usualmente se emplean las pruebas estadísticas siguientes:
a) Prueba de estimaciones de los parámetros de la población asumiendo una
distribución de probabilidad (pruebas F, t y z).
b) Pruebas de las estimaciones de los parámetros de la población que no son
dependientes de la suposición de una distribución de población implícita (prueba
de medias Mann-Whitney).
c) Pruebas para determinar la distribución de probabilidad de la cual proviene la
muestra (pruebas de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov o χ2
).
Ejemplo
La situación real de la empresa FATSA en cuanto a la producción de carburadores por
día, de acuerdo con los datos de los últimos 8 días es la siguiente: 115, 105, 97, 96, 108, 104, 99
y 107. El modelo creado para la simulación de la planta arroja los siguientes 10 resultados de
producción de carburadores por día: 110, 97, 100, 105, 108, 99, 118, 104, 105 y 103. ¿Son los
resultados del modelo estadísticamente iguales a los reales?
a) Hipótesis sobre la varianza
H0 : V(modelo) = V(real)
H1 : V(modelo) ≠ V(real)
V(real) = 40.57
V(modelo) = 36.96
96
.
36
57
.
40
2
2
1
=
=
S
S
F
Fc de tablas con 8 y 10 grados de libertad y con un nivel de rechazo de un 5% s 3.07. Ya
que F0 es menor que Fc, se acepta que el modelo de simulación está arrojando resultados con la
misma variancia que el sistema real.
b) Hipótesis sobre la media
H0 : µ(modelo) = µ(real)
H1 : µ(modelo) ≠ µ(real)
E(modelo) = 104.90
E(real) = 103.87
El estadístico a utilizar es el correspondiente a variancias iguales y poblacionalmente
desconocidas y con media poblacional desconocida, puesto que solamente se tienen los datos de
dos muestras.

97
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1 n
n
x
n
n
n
n
x
t
+
−
+
+
=
σ
σ
( ) ( )
3496
.
0
10
1
8
1
87
.
103
10
8
96
.
36
10
57
.
40
8
9
.
104
=
+
−
+
+
=
t
El estadístico tc con 8 + 10 – 2 = 16 grados de libertad y con un nivel de rechazo del 5% es
1.746.
Ya que t es menor que tc, se acepta que los resultados en cuanto a la producción de
carburadores por día del simulador son estadísticamente iguales, en cuanto a la media, a los de la
producción real.
En cuanto a la prueba de forma entre ambas muestras no se puede afirmar nada ya que la
cantidad pequeña de datos que se está manejando imposibilita la formación de histogramas para
realizarla.
Optimización
La finalidad de cualquier análisis de sistemas es optimizar la medida de efectividad,
describiendo normas para las variables de decisión a la vista de variables no controlables. Así
pues, el tomador de decisiones desea encontrar ese conjunto de variables de decisión.
Una vez que se tiene un modelo de simulación computacional válido y que se ha
verificado estadísticamente, entonces, para lograr la optimización se necesita empezar a jugar con
las variables de decisión: se busca el mejor valor de la medida de efectividad. Este proceso de
optimización tiene que realizarse mediante el proceso de prueba y error, sin embargo, el número
de combinaciones de las variables de decisión que pueden ser probadas es infinito, por eso es
indispensable usar técnicas que permitan analizar sistemáticamente las posibilidades
seleccionadas, de tal modo que eventualmente se podrá escoger una combinación cercana del
óptimo.
Estas técnicas se basan principalmente en el diseño de experimentos y las más utilizadas
son:
• Simplex
• Simplex EVOP
• Superficies de repuestas

98
Sensibilidad Y Experimentación
Es el último paso dentro del proceso de simulación y puede efectuarse antes o durante la
implantación de las soluciones en el proceso real. Consiste en jugar o experimentar con el
modelo ante situaciones nuevas o imprevistas, que tengan cierta probabilidad de ocurrencia, con
el objeto de encontrar una solución óptima ante ese posible escenario. Esto es útil pues los
sistemas reales son dinámicos y de esta manera podemos adelantarnos y ser capaces de hacerles
frente con anticipación. El análisis de sensibilidad se enfoca principalmente a estudiar las
variables no controlables por el tomador de decisiones dentro del proceso real.
Monitoreo
Como se acaba de mencionar, los sistemas reales son dinámicos, esto significa que se
debe llevar un estricto control de los cambios ocurridos en ellos para inmediatamente
implantarlos en el modelo y para que pueda seguir siendo un fiel reflejo de la realidad.

99
Bibliografía
Técnicas de Simulación por Computadora
Naylor, Burdick
Editorial Limusa
Simulación de Sistemas
Geofrey Gordon
Editorial Diana
Simulación Enfoque práctico
R. Coss Bu
Editorial Limusa
Operations Research: Principles and Practice
John Wiley
Philips
Simulación y análisis de Modelos Estocásticos
Mohamad R, Azarang y Eduardo García Dunna
Editorial Mc Graw-Hill

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