Este documento presenta una introducción a la simulación. Define simulación como el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a cabo experimentos con él para aprender sobre el comportamiento del sistema o evaluar estrategias. Explica que un modelo es un objeto que puede usarse para responder preguntas sobre otro objeto, y que la simulación implica experimentar con un modelo usando relaciones matemáticas. También resume diferentes técnicas de simulación como el uso de números aleatorios y el método de Monte Carlo.

1. Universidad Fermín Toro
Vicerrectorado Académico
Decanato de Ingeniería
Escuela de Mantenimiento Mecánico
Br. Maricarmen Sira, C.I. 24.925.333
Br. Luis Riera, CI: 18.951.224
Br. Adrián Rojas, CI: 20.237.599
Cabudare, Edo. Lara

2. Introducción
Cuando alguien tiene la responsabilidad de conducir un sistema
dado, como por ejemplo: un banco, una ciudad, un sistema de transporte,
etc., debe tomar continuamente decisiones acerca de las acciones que
ejecutará sobre el sistema. Estas decisiones deben ser tales que la
conducta resultante del sistema satisfaga de la mejor manera posible los
objetivos planteados. Para poder decidir correctamente es necesario
saber cómo responderá el sistema ante una determinada acción. Esto
podría hacerse por experimentación con el sistema mismo; pero factores
de costos, seguridad y otros hacen que esta opción generalmente no sea
viable. A fin de superar estos inconvenientes, se reemplaza el sistema real
por otro sistema que en la mayoría de los casos es una versión simplificada.
Este último sistema es el modelo a utilizar para llevar a cabo las
experiencias necesarias sin los inconvenientes planteados anteriormente. Al
proceso de experimentar con un modelo se denomina simulación. Al
proceso de diseñar el plan de experimentación para adoptar la mejor
decisión se denomina optimización. Si el plan de experimentación se lleva
acabo con el solo objeto de aprender a conducir el sistema.

3. Sistema
Conjunto de objetos o ideas que están interrelacionados entre sí como
una unidad para la consecución de un fin (Shannon, 1988). También se
puede definir comola porción del Universo que será objeto de la
simulación.
Modelo
Un objeto X es un modelo del objeto Y para el observador Z, si Z
puede emplear X para responder cuestiones que le interesan acerca de
Y(Minsky).
Simulación
Simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y
llevar a cabo experiencias con él, con la finalidad de aprender el
comportamiento del sistema o de evaluar diversas estrategias para el
funcionamiento del sistema (Shannon,1988).
En sentido más estricto H. Maisel y G. Gnugnoli definen la simulación
como: “una técnica numérica para realizar experimentos en una
computadora digital. Estos experimentos involucran ciertos tipos de
modelos matemáticos y lógicos que describen el comportamiento de
sistemas de negocios, económicos, sociales, biológicos, físicos o químicos a
través de largos períodos de tiempo”.
Thomas H. Naylor et al la define como: “una técnica numérica para
conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos
comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales
son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas
complejos del mundo real a través de largos períodos de tiempo”.

4. Por otro lado, se define como observar el comportamiento de un
sistema a través de un modelo, ante diferentes situaciones que se ensayan.
Esto implica experimentación. Se simulan los experimentos usando
relaciones matemáticas (determinísticas o probabilísticas), para medir los
resultados representativos de la realidad. La Simulación no es una técnica
optimizante ni busca la mejor solución o decisión, aunque al menos debe
proporciona.
Origen de los Simuladores
El uso de simuladores computarizados data de la segunda mitad del
siglo pasado. El motor intelectual de su uso se asigna a la contribución de
John Dewey en su obra “Education and Experience” en donde
argumentaba en contra del exceso de teoría. La primera simulación
gerencial fue auspiciada por la American Management Association en
1957. Bass , diseñador de un simulador especialmente interesante (U. of
Pittsburg Production Organization Experiment) estimó en 1964 que existían
más de 100 simulaciones. Graham y Gray publican una descripción en
1969 de 180 simuladores computarizados. Fue en ése mismo año 1969
cuando se publica la primera colección anotada de simuladores. Diez
años más tarde aparecía la cuarta edición describiendo tres veces más
simulaciones.
La cuarta parte de las simulaciones listadas en ésa 4ta edición fueron
completamente nuevas. Otro estudio fechado en 1973 por Zuckerman
catalogó 215 simuladores. Al año siguiente en 1974, Schriesham localizó 400
simuladores. Parte de este gran crecimiento fue el estándar de
acreditación impuesto por la American Association of Collegiate Schools of
Business (AACSB) al exigir que el plan de estudios de los MBA’s debía
concluir con un curso integrador de Estrategia y Política, un curso ideal
para el uso de simuladores y en donde se ha concentrado su uso.

5. Durante los años 80 la simulaciones crecieron especialmente en
complejidad. Sin duda la más compleja fue la simulación usada en el
Ejercicio Ace de la Organización del Atlántico Norte en 1989 en la que
participaron tomando decisiones 3,000 comandantes durante once días
seguidos. Hacia 1996, una encuesta dirigida por Anthony J. Faria, encontró
en los Estados Unidos a 11,386 instructores universitarios usando simuladores
en las universidad americanas, y a 7,808 empresas usando simuladores en
la capacitación de su personal.
En América Latina la primera universidad en usar simulaciones en 1963
fue el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, poco
después de organizar la primera Maestría en Administración. Fue allí donde
surgió el concepto integral de LABSAG como un laboratorio que pudiera
administrar el flujo de alumnos y participantes por Internet.
Propósito de una simulación
El propósito de la simulación la tenemos por:
 Descubrir el comportamiento de un sistema.
 Postular teorías o hipótesis que expliquen el comportamiento
observado.
 usar esas teorías para predecir el comportamiento futuro del sistema, es
decir mirar los efectos que se producirían en el sistema mediante los
cambios dentro de él o en su método de operación (tiempo en
minutos).
En la Ingeniería Industrial se utilizan dos tipos de modelos:
 Modelos de Optimización la cual se encarga de responder a la
pregunta ¿Cuál es la mejor decisión?

6.  Modelos de Simulación la cual responde a la pregunta
¿Qué pasaría si ............ ?
Modelos de simulación discretos y continuos
Continuo
Se tiene un sistema continuo cuando las relaciones funcionales entre
las variables del sistema sólo permiten que el estado evolucione en el
tiempo en forma continua (basta que una variable evolucione
continuamente). Matemáticamente, el estado cambia en infinitos puntos
de tiempo. El recipiente del calentador es un subsistema continuo porque
tanto M como T evolucionan en forma continua durante la operación del
sistema.
Discreto:
Se tiene un sistema discreto cuando las relaciones funcionales del
sistema sólo permiten que el estado varíe en un conjunto finito (contable)
de puntos temporales. Las causas instantáneas de los cambios de estados
se denominan eventos la Teoría de Modelos y Simulación. Introducción a la
Simulación. El interruptor del calentador es un subsistema discreto porque
la intensidad I sólo puede variar en los instantes que se abre o se cierra el
interruptor. La apertura y el cierre del interruptor son eventos. Un sistema
continuo puede comportarse en forma discreta si las entradas son
discretas. Los sistemas reales son combinaciones de continuos y discretos.
La forma de tratarlos se adopta de acuerdo a la característica dominante.
Técnicas de Simulación
La idea básica de la simulación es obtener numéricamente valores de
fenómenos para luego observar la frecuencia de algún rango de interés.
Para ello es preferible emplear la herramienta computacional.

7. Números aleatorios
Un paso clave en simulación es tener rutinas que generen variables
aleatorias con distribuciones específicas: exponencial, normal, etc. Esto es
hecho en dos fases. La primera consiste en generar una secuencia de
números aleatorios distribuidos uniformemente entre 0 y 1. Luego esta
secuencia es transformada para obtener los valores aleatorios de las
distribuciones deseadas. El valor usado para comenzar la secuencia es
llamado semilla. Dada la semilla se puede predecir con probabilidad 1 los
números de la secuencia. Sin embargo, los números son aleatorios en el
sentido de que pasan pruebas estadísticas de aleatoriedad y por esto son
llamados pseudo-aleatorios.
En muchos casos se prefieren estos números en vez de los
completamente aleatorios ya que es necesario repetir las secuencias en
distintos experimentos. Si deseamos otra secuencia simplemente
cambiamos la semilla. Algunos generadores de números aleatorios no
repiten la parte inicial de la secuencia. Esta parte es llamada cola. En estos
casos el periodo del generador es la longitud de la cola más la longitud del
ciclo

8. Los valores sucesivos generados deben ser independientes y
uniformemente distribuidos, por lo que la correlación debe ser
extremadamente pequeña.
Generador de números aleatorios
En 1951, D. H. Lehmer descubrió que residuos de potencias sucesivas de
un número tienen buenas propiedades aleatorias, de tal forma que la
propuesta de Lehmer se indica en la Ecuación 4-1a1 y muchos de los
generadores actuales son generalizaciones de la Ecuación 4.-1.
Cabe resaltar que los x son enteros entre 0 y m-1, y las constantes a y
b son no negativas. La selección de a, b, y m afectan el periodo y la
autocorrelación en la secuencia. Si un generador tiene el periodo máximo
posible se llama generador de periodo completo. Todos los generadores
de periodo completo no son igualmente buenos. Son preferibles los
generadores con menor autocorrelación entre números sucesivos. Un
generador GCL (Generadores Congruenciales-Lineales) muy popular y que
ya hemos mencionado varias veces es:

9. Este es usado en el sistema SIMPL/I de IBM (1972), APL de IBM (1971), el
sistema operativo PRIMOS de Prime Computer (1984), y la librería científica
de IMSL (1987). Tiene buenas propiedades aleatorias y es recomendado
como un estándar mínimo. Este generador tiene un periodo de
2147,483x106 =231-1, por lo tanto la probabilidad ui es el cociente del
número aleatorio entre el periodo.
Selección de la semilla
En principio la semilla no debería afectar los resultados de la simulación.
Sin embargo, una mala combinación de semilla y generador pueden
producir conclusiones erróneas. Por lo tanto se debe seguir las siguientes
recomendaciones para seleccionar la semilla:
1. No use cero.
2. Evite valores pares. Si un generador no es de periodo completo (por
ejemplo GCL multiplicativo con modulo (m =2k ) la semilla debe ser
impar. En otros casos no importa.
3. No subdivida una secuencia. Usar una única secuencia para todas
las variables es un error común. Por ejemplo, en la secuencia ⎨u 1 , u
2 , ...⎬ generada a partir de la semilla u 0 , el analista usa u 1 para
generar el tiempo entre llegadas, u 2 para el tiempo de servio, etc.
Esto puede resultar en una fuerte correlación entre las variables.
4. Use secuencias que no se solapan. Cada secuencia requiere su
semilla. Hay que seleccionar las semillas de forma tal que las
secuencias no se solapen. Si ⎨u 1 , u 2 , ...⎬ generada a partir de la
semilla u 0 , y necesitamos por ejemplo 10.000 tiempos entre
llegadas, 10.000 tiempos de servicios, etc., podemos seleccionar u 0

10. como la semilla de la primera secuencia, u 10.000 para la segunda, u
20.000 para la tercera, etc.
5. Reúse semillas en replicaciones sucesivas. Si el experimento es
replicado varias veces, la secuencia no necesita ser reinicializada y
se puede usar la semilla dejada en la replicación previa.
6. No use semillas aleatorias
Método de Monte Carlo
El método de Monte Carlo es una técnica especial para generar
algunos resultados numéricos sin realizar pruebas de campo. La base del
método es usar un generador de números aleatorios que genera un
conjunto u para obtener el juego de valores aleatorios x a partir de una
función de probabilidades definida para la variable al hallar el valor inverso
de la función. El método es usualmente empleado en los siguientes casos:
1. Para resolver problemas donde no exista o sea muy difícil de obtener
una solución analítica.
2. Resolver problemas complejos cuya solución analítica requiere
realizar muchas simplificaciones, el método puede resolver el
problema sin las simplificaciones necesarias y los resultados pueden
ser más reales.
3. Comprobar los resultados de otras técnicas de simulación.

11. Procedimiento general de valores obtenidos por números aleatorios
para cualquier distribución
El procedimiento general para obtener una muestra de valores xi de
una variable aleatoria X, cuya FDA es cualquier tipo de distribución
conocida, es el siguiente:
1º. Generar un número aleatorio ui entre 0 y 1.
2º. Calcular el valor de la muestra xi según,
Generación de valores aleatorios de distribución uniforme
Para una distribución uniforme el equivalente a la Ecuación 4-3 sería en
la siguiente forma:
Generación de valores aleatorios de una distribución normal
Para obtener una expresión equivalente a la Ecuación 4-3 si FX es
normal, se requiere resolver dos ecuaciones.

12. Ejemplo 4-1 La carga permanente es Normal, con media y coeficiente
de variación indicados. Generar 10 valores de la carga permanente.

13. Ejemplo 4-2 Emplear Monte Carlo para obtener la media y desviación
estándar a 1,83 m del extremo libre de una viga de madera en volado. P y
w son dos variables aleatorias independientes
Generación de valores aleatorios de una distribución log normal
Para obtener una expresión equivalente a la Ecuación 4-3 si FX es log
normal, primero se debe aplicar la Ecuación 4-5 para obtener zi de una

14. distribución normal estándar, luego se aplica las relaciones de normal con
log normal.
Precisión de las probabilidades estimadas
Cabe destacar que los resultados obtenidos de una simulación son
estimaciones, es importante conocer la relación entre los valores estimados
y el número de simulaciones. Denominaremos Pverdadero al valor
teóricamente correcto que estamos tratando de estimar, entonces el valor
esperado, varianza y coeficiente de variación de la probabilidad estimada
P seria:
De la Ecuación 4-10 se observa que a medida que aumenta el número
de simulaciones decrece el coeficiente de variación, de tal forma que la
relación VP indica una forma de establecer el número de simulaciones.
Simulación con variables correlacionadas
Las indicaciones anteriores para simulación está definida para variables
no correlacionadas, para los casos donde algunas variables están
correlacionadas, se aplica una técnica diseñada para variables aleatorias
normales, este procedimiento puede ser usado para otras distribuciones
como una aproximación.

15. Digamos que tenemos las variables X1, X2,… ,Xn que son normales
correlacionadas, entonces las expresiones para la media y matriz de
covarianza son:
Para generar números aleatorios de las variables X1, X2,… ,Xn, es
necesario generar un conjunto de números aleatorios no correlacionados
para Y1, Y2,… ,Yn usando la técnica mencionada
Los parámetros del conjunto de variables aleatorias Y son los que van a
ser empleados para la simulación, luego se obtiene el conjunto X
correlacionado según la Ecuación 4-13.

16. Hipercubo Latino
La técnica del hipercubo latino reduce el número de simulaciones
necesarias para obtener un resultado razonable. Los pasos son los
siguientes:
1º. Partir el rango de xi y en N intervalos, donde la probabilidad de xi
debe ser igual a 1/N.
2º. De cada intervalo N, se selecciona un valor aleatorio de xi aleatorio.
Por ejemplo el valor medio del intervalo.
3º. Se tiene N valores representativos por cada una de las K variables
aleatorias. Existen N K combinaciones posibles. El objetivo de la
técnica es seleccionar N combinaciones tal que cada valor
representativo aparezca una vez y solo una vez en las N
combinaciones. o Para obtener la primera combinación,
aleatoriamente se selecciona uno de los valores representativos K1,
el segundo valor representativo se selecciona de los N- 1 restantes, el
tercer valor representativo se selecciona de los N-2 restantes y así
sucesivamente hasta tener las N combinaciones. En la figura 4-1 se
indica un diagrama de flujo para proceder a realizar la selección de
las combinaciones.
4º. Evaluar la función en cada combinación, para así obtener los
parámetros estadísticos

17. Método de punto estimado 2k+1 de Rosenblueth
La idea básica es evaluar una función de variables aleatoria en 2K+1
puntos clave y usar la información para estimar la media y desviación
estándar de la función. Por este método no se puede obtener la FDA de la
variable.
Los pasos del método son los siguientes:
1º. Determinar la media y desviación estándar para cada una de las K
variables aleatorias independientes.
2º. Definir la media función en y0
3º. Evaluar la función Y en 2K puntos de la siguiente forma. Para cada
variable aleatoria Xi, evaluar la función empleando los dos puntos
que son µXi±σXi mientras las demás variables permanecen
evaluadas en la media.
4º. Determinar los dos parámetros de cada variable aleatoria Xi basado
en los valores obtenidos de y + y y - .

18. 5º. Calcular la media y coeficiente de variación estimado.
El método tiene dos ventajas, no es necesario conocer las distribuciones
de las variables aleatorias Xi y el número de simulaciones es pequeño.
Etapas de un Proyecto de Simulación
I. EL PROBLEMA
Formulación y definición del sistema
Se inicia en la administración de la empresa. Quién sabe que tiene un
problema, pero no sabe definirlo.
1. La formulación del problema no se hace una sola vez, se hace a
través de todo el proyecto.
2. Se define los objetivos del estudio (objetivos y metas).
3. Se define el sistema a estudiar.
4. Se define los límites de los sistemas, sus alcances y limitaciones
(restricciones de la abstracción).
5. Se especifica el diagrama de flujo lógico.

19. Problemas, Objetivos y Metas
Problema
Alguna amenaza, incremento de costos, información desconocida,
riesgos o contradicciones. Se plantea como un conjunto de síntomas, aún
no se conoce las causas.
Objetivo
Resolver el problema o cómo resolver el problema.
El objetivo no es conocer las causas del problema. Se orienta a la
solución del problema.
Meta
Conjunto de actividades para lograr el objetivo planteado.
Por lo general se puede medir
II. RECOLECCIÓN DE DATOS
Recolección de datos
 Se recopila datos de la realidad con la finalidad de estimar las
variables y parámetros de entrada.
 Se debe decidir:
 Cómo recopilar la información
 Qué datos se necesita y si son importantes.
 En caso de tener variables aleatorias:
 Identificar la distribución de frecuencias
 Verificar si la distribución no cambia en el tiempo.

20.  Validar la sensibilidad del modelo ante diferentes distribuciones
de probabilidad.
III. EL MODELO
Formulación del modelo
 Es la reducción o abstracción del sistema real a un diagrama de flujo
lógico, donde se identifican los elementos, las variables y los eventos
importantes para cumplir el objetivo del estudio.
 Se define el nivel de detalle del estudio (o nivel de simplificación).
 Un modelo detallado puede implicar mucho tiempo en su
implementación.
 Un modelo simplificado no le va a permitir lograr el objetivo
planteado.
Estructura del Sistema
 Gráfico del Sistema.
 Elementos del Sistema.
 Entidades.
 Atributos.
 Actividades.
 Análisis del Sistema
 Eventos.
 Eventos Principales
 DRE

21.  Variables
 Tiempo.
 Contadores
 Estado del Sistema
 Diagrama de Flujo
 Programa Principal
 Eventos Principales
 Variables Aleatorias
 Distribución Frecuencia
Traslación del modelo
 Se decide el lenguaje de programación o el software de simulación
a usar.
 Software de Simulación
 GPSS, Arena, Simscript, Simula, Promodel.
 Dynamo, Powersim
 Lenguajes de Propósito General
 Java, C, Pascal, Delphi, Visual Basic, etc

22. IV. VERIFICACION
Verificación y Validación
 Es el proceso de llevar a un nivel de confianza del usuario referente a
cualquier inferencia acerca de un sistema es correcta.
 Pero no se puede probar si un simulador es correcto o “verdadero”.
 Lo que importa es la utilidad operativa del modelo y no la verdad de
su estructura.
 No existe la “prueba” de validación de un modelo.
 Se hacen pruebas a lo largo de su desarrollo:
 Validar la sensibilidad del modelo.
 Prueba de las suposiciones.
 Prueba de transformaciones E-S
Verificación
 Para asegurar que el modelo se comporta de la manera que el
experimentador desea.
 Se verificar si el modelo está correctamente construido.
 Se verifica si el modelo se ha construido de acuerdo a las
especificaciones.
 Se realiza por inspección a lo largo del proyecto.

23. V. VALIDACIÓN
Validación
 Prueba la concordancia entre el desempeño del modelo y el
desempeño del sistema real.
 Examina el ajuste del modelo a cierta dato empírica.
 Un bueno modelo es aquel que se ajusta mejor a los datos y por lo
tanto se puede usar para predecir la realidad.
 Todos los modelos de simulación corresponden a hipótesis sujeta a
validación.
VI. EXPERIMENTACIÓN
Experimentación
 Una vez validado el modelo se realiza la experimentación que
consiste en generar los datos deseados y realizar el análisis de
sensibilidad de los índices requeridos.
 El análisis de sensibilidad consiste en variar los parámetros del sistema
y la observación del efecto en la variable de interés
Planeación Estratégica
 Se relaciona a cómo diseñar y experimentar con el modelo de
simulación, con la finalidad de:
 Reducir el número de pruebas experimentales.

24.  Proporcionar una estructura para el proceso de aprendizaje del
investigador.
 Los objetivos de la experimentación son:
 Encontrar la combinación valores de parámetros que optimizan la
variable de interés.
 Explicar la relación entre la variable de interés y las variables
controlables.
 La experimentación ayuda a conocer el sistema materia de la
simulación.
VII. RESULTADOS
Interpretación
 En esta etapa se realiza la interpretación de los resultados que arroja
la simulación y basándose en esto se toma una decisión.
 Se determina si el modelo de simulación es útil para resolver el
problema planteado al inicio de la investigación.
 Posiblemente ahora con más conocimiento de causa se puede
determinar con mayor precisión ¿cuál es el problema a resolver?
VIII. DOCUMENTACIÓN
Documentación
 Ayuda a incrementar la vida útil del modelo.
 Se relaciona al proceso de desarrollo, operación e implantación del
modelo de simulación.

25.  Ayuda al modelador a reconocer sus propios errores y mejorar para
un siguiente proyecto de simulación
Modelo de Informe Final
IX. IMPLANTACIÓN
Implantación
 Para que un proyecto de simulación sea exitoso se deben dar 3
condiciones:
 Sea aceptado, entendido y usado.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACION
La Simulación es una herramienta universalmente aceptada por diversas
razones.
VENTAJAS:
1. Es un proceso relativamente eficiente y flexible.
2. Puede ser usada para analizar y sintetizar una compleja y extensa
situación real, pero no puede ser empleada para solucionar un modelo de
análisis cuantitativo convencional.
3. En algunos casos la simulación es el único método disponible.
4. Los modelos de simulación se estructuran y nos resuelve en general
problemas trascendentes.
5. Los directivos requieren conocer como se avanza y que opciones son
atractivas; el directivo con la ayuda del computador puede obtener varias
opciones de decisión.
6. La simulación no interfiere en sistemas del mundo real.

26. 7. La simulación permite estudiar los efectos interactivos de los
componentes individuales o variables para determinar las más importantes.
8. La simulación permite la inclusión en complicaciones del mundo real.
DESVENTAJAS:
1. Un buen modelo de simulación puede resultar bastante costoso; a
menudo el proceso es largo y complicado para desarrollar un modelo.
2. La simulación no genera soluciones óptimas a problemas de análisis
cuantitativos, en técnicas como cantidad económica de pedido,
programación lineal o PERT / CPM / LPU. Por ensayo y error se producen
diferentes resultados en repetidas corridas en el computador.
3. Los directivos generan todas las condiciones y restricciones para analizar
las soluciones. El modelo de simulación no produce respuestas por si mismo.
4. Cada modelo de simulación es único. Las soluciones e inferencias no son
usualmente transferibles a otros problema.

27. Bibliografía
Banks J., Carson J.S., Nelson B.L, 1996,“Discrete-Event System Simulation.
SecondEdition.”, Prentice-Hall, New Jersey.
Fishman G.S., 1978, “Conceptos y métodos en la simulación digital de
eventos discretos”,Limusa, México.Kelton W.D., Sadowski R.P.,
Sadowski D.A., 1998, “Simulationwith Arena”, Mc Graw
Hill,Boston.Ogunnaike B.A., Harmon Ray W., 1994,“Process Dynamics,
Modeling and Control”,Oxford, New York.
Shannon R.E., 1988, “Simulación de Sistemas. Diseño, desarrollo e
implementación”, Trillas,
México.Law A.M., Kelton W.D., 1991, “Simulation Modeling &
Analysis”, Second Edition,McGraw-Hill, New York.
Ventajas y desventajas de la simulacion – SEDE MANIZALES
www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4060015/.../ventajas
.h.
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