integral defendida, logaritmica

1. Calcular: 0 2 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Solución Ln(x) tiene una discontinuidad en x=0, que produce un limite impropio 𝑓𝑑𝑔 = 𝑓𝑔 − 𝑔𝑑𝑓 𝒇 = 𝒍𝒏 𝒙 , 𝒅𝒈 = 𝒅𝒙 𝒅𝒇 = 𝟏 𝒙 , 𝒈 = 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒂→𝟎+ 𝒙𝒍𝒏 𝒙 𝟐 𝒂 − 𝟎 𝟐 𝟏 𝒙 𝒙𝒅𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒂→𝟎+ 𝒙𝒍𝒏 𝒙 𝟐 𝒂 = 𝟐𝒍𝒏 𝟐 − 𝒍𝒊𝒎 𝒂→𝟎+ 𝒂𝒍𝒏 𝒂 = 𝒍𝒏 𝟒 − 𝒍𝒊𝒎 𝒂→𝟎+ 𝒂𝒍𝒏 𝒂 = 𝒍𝒏 𝟒 − 𝒍𝒊𝒎 𝒂→𝟎+ 𝒂𝒍𝒏 𝒂 − 𝟎 𝟐 𝟏𝒅𝒙 𝒍𝒊𝒎 𝒂→𝟎+ 𝒂𝒍𝒏 𝒂 =0 = 𝒍𝒏 𝟒 − 𝟐 ≈ −𝟎. 𝟔𝟏𝟑𝟕𝟏 𝒍𝒊𝒎 𝒂→𝟎+ −𝒙 𝟐 𝒂 = −𝟐 − 𝐥𝐢𝐦 𝒂→𝟎+ −𝒂 lim 𝑎→0+ −𝑎 = 0