Se define la función arcoseno hiperbólico.

1. Arcoseno hiperbólico.
Definición, fórmula y
gráfica.
José de Jesús García Ruvalcaba
UABC

2. Seno hiperbólico.
• Recordemos que el seno hiperbólico es la componente impar de la
función exponencial:
sinh 𝑥 =
𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥
2

3. Gráfica del seno
hiperbólico.
• Notemos que es una función biyectiva:
sinh: −∞, +∞ → −∞, +∞
Por lo tanto, no necesita ninguna
restricción para invertirse. Su inversa es la
función arcoseno hiperbólico.

4. Gráfica del arcoseno
hiperbólico.
arcsinh: −∞, +∞ → −∞, +∞

5. Fórmula explícita para el arcoseno
hiperbólico.
• Sea 𝑦 = arcsinh 𝑥
𝑦 = arcsinh 𝑥
𝑥 = sinh 𝑦
𝑥 =
𝑒 𝑦 − 𝑒−𝑦
2
• Hay que despejar 𝑦.

6. Continuación.
𝑥 =
𝑒 𝑦
− 𝑒−𝑦
2
2𝑥 = 𝑒 𝑦 − 𝑒−𝑦
0 = 𝑒 𝑦 − 2𝑥 − 𝑒−𝑦
𝑒 𝑦 − 2𝑥 − 𝑒−𝑦 = 0
𝑒2𝑦 − 2𝑥𝑒 𝑦 − 1 = 0

7. Continuación.
𝑒2𝑦 − 2𝑥𝑒 𝑦 − 1 = 0
𝑒 𝑦 =
− −2𝑥 ± −2𝑥 2 − 4 1 −1
2 1
𝑒 𝑦 =
2𝑥 ± 4𝑥2 + 4
2

8. Continuación.
𝑒 𝑦 =
2𝑥 ± 4𝑥2 + 4
2
𝑒 𝑦 =
2𝑥 ± 4 𝑥2 + 1
2
𝑒 𝑦
=
2𝑥 ± 2 𝑥2 + 1
2
𝑒 𝑦 = 𝑥 ± 𝑥2 + 1

9. Desigualdades necesarias.
𝑥 + 𝑥2 + 1 > 0
𝑥 − 𝑥2 + 1 < 0
𝑒 𝑦 > 0
𝑒 𝑦 = 𝑥 + 𝑥2 + 1
Como ejercicio, demostrar las primeras dos desigualdades.

10. Conclusión.
𝑒 𝑦 = 𝑥 + 𝑥2 + 1
𝑦 = log 𝑥 + 𝑥2 + 1
arcsinh 𝑥 = log 𝑥 + 𝑥2 + 1
𝑥 ∈ −∞, +∞

11. Resumen
arcsinh: −∞, +∞ → −∞, +∞
arcsinh 𝑥 = log 𝑥 + 𝑥2 + 1