Formulario esencial de las identidades trigonométricas.

1. IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
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2. Identidades trigonométricas
fundamentales
• Identidades pitagóricas
sin2
𝑥 + cos2
𝑥 = 1
sec2 𝑥 = 1 + tan2 𝑥
csc2 𝑥 = 1 + cot2 𝑥
• Identidades reciprocas
sin 𝑥 csc 𝑥 = 1
cos 𝑥 sec 𝑥 = 1
tan 𝑥 cot 𝑥 = 1
• Identidades por cociente
tan 𝑥 =
sin 𝑥
cos 𝑥
cot 𝑥 =
cos 𝑥
sin 𝑥

3. Si sec 𝑥 + tan 𝑥 = 𝑛 entonces
sec 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛 𝑥 =
1
𝑛
.
Si sec 𝑥 + cot 𝑥 = 𝑛 entonces
sec 𝑥 − c𝑜𝑡 𝑥 =
1
𝑛
• Identidades auxiliares
sin4
𝑥 + cos4
𝑥 = 1 − 2 sin2
𝑥 cos2
𝑥
sin6 𝑥 + cos6 𝑥 = 1 − 3 sin2 𝑥 cos2 𝑥
tan 𝑥 + cot 𝑥 = sec 𝑥 csc 𝑥
csc2 𝑥 + sec2 𝑥 = csc2 𝑥 se𝑐2 𝑥
Propiedad
Si asin 𝑥 + bcos 𝑥 = 𝑐 y
además se tiene que 𝑎2
+ 𝑏2
=
𝑐2
Entonces se cumple
sin 𝑥 =
𝑎
𝑐
cos 𝑥 =
𝑏
𝑐

4. Identidades trigonométricas
de arcos compuestos
• Identidades para la suma de dos arcos
sin 𝛼 + 𝜃 = sin 𝛼 cos 𝜃 + cos 𝛼 sin 𝜃
cos 𝛼 + 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 cos 𝜃 − sin 𝛼 sin 𝜃
tan 𝛼 + 𝜃 =
tan 𝛼 + tan 𝜃
1 − tan 𝛼 tan 𝜃

5. • Identidades para la diferencia de dos arcos
sin 𝛼 − 𝜃 = sin 𝛼 cos 𝜃 − cos 𝛼 sin 𝜃
cos 𝛼 − 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 cos 𝜃 + sin 𝛼 sin 𝜃
tan 𝛼 − 𝜃 =
tan 𝛼 − tan 𝜃
1 + tan 𝛼 tan 𝜃

6. • Identidades auxiliares
sin 𝛼 + 𝛽 sin 𝛼 − 𝛽 = sin2
𝛼 − sin2
𝛽
𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝛽 cos 𝛼 − 𝛽 = cos2
𝛼 − sin2
𝛽
tan 𝛼 + tan 𝛽 =
sin 𝛼 + 𝛽
cos 𝛼 cos 𝛽
tan 𝛼 − tan 𝛽 =
sin 𝛼 − 𝛽
cos 𝛼 cos 𝛽
Propiedad
Si 𝑥 es variable angular y a y b
son constantes, entonces
𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 = 𝑎2 + 𝑏2 sin 𝑥 + 𝜃
Donde
sin 𝜃 =
𝑏
𝑎2 + 𝑏2
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑎
𝑎2 + 𝑏2
Ademas, se cumple
− 𝑎2 + 𝑏2 ≤ 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 ≤ 𝑎2 + 𝑏2
 Si 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ entonces
tan 𝐴 + tan 𝐵 + tan 𝐶 = tan 𝐴 tan 𝐵 tan 𝐶
 Si 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 2𝑛 + 1
𝜋
2
, 𝑛 ∈ ℤ entonces
cot 𝐴 + cot 𝐵 + cot 𝐶 = tan 𝐴 tan 𝐵 tan 𝐶

7. Identidades trigonométricas de
arco múltiple
• Identidades de arco doble
cos 2𝜃 =
cos2
𝜃 − sen2
𝜃
2cos2
𝜃 − 1
1 − 2sen2 𝜃
sen 2𝜃 = 2 sen 𝜃 cos 𝜃 tan 2𝜃 =
2 tan 𝜃
1−tan2 𝜃

8. • Fórmulas de degradación
2cos2
𝜃 = 1 + cos 2𝜃 2sen2
𝜃 = 1 − cos 2𝜃
• Triángulo del ángulo doble
2𝜃
1 − tan2
𝜃
2 tan 𝜃
sin 2𝜃 =
2 tan 𝜃
1 + tan2 𝜃
cos 2𝜃 =
1 − tan2
𝜃
1 + tan2 𝜃

9. • Identidades auxiliares
• cot 𝑥 + tan 𝑥 = 2 csc 2𝑥
• cot 𝑥 − tan 𝑥 = 2 c𝑜𝑡 2𝑥
• sin4
𝑥 + cos4
𝑥 =
3
4
+
1
4
cos 4𝑥
• sin6 𝑥 + cos6 𝑥 =
5
8
+
3
8
cos 4𝑥
• csc 𝑥 + cot 𝑥 = cot
𝑥
2
• csc 𝑥 − cot 𝑥 = tan
𝑥
2
Nota:
Se establece ∀ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℤ+
1
2 𝑛−1
≤ sin2𝑛
𝑥 + cos2𝑛
𝑥 ≤ 1

10. Identidades trigonométricas de
arco múltiple
• Identidades de arco triple
sen 3𝑥 = 3 sen 𝑥 − 4 sen3
𝑥
cos 3𝑥 = 4 cos3 𝑥 − 3 cos 𝑥 tan 3𝑥 =
3 tan 𝑥−tan3 𝑥
1−3 tan2 𝑥

11. Identidades auxiliares
• Fórmulas de degradación
4 sen3
𝑥 = 3 sen 𝑥 − sen 3𝑥
4 cos3
𝑥 = 3 cos 𝑥 + cos 3𝑥
• sen 3𝑥 = sen 𝑥 2 cos 2𝑥 + 1
• cos 3𝑥 = cos 𝑥 2 cos 2𝑥 − 1
• sen 3𝑥 = 4 sen 𝑥 sen
𝜋
3
+ 𝑥 sen
𝜋
3
− 𝑥
• cos 3𝑥 = 4 cos 𝑥 cos
𝜋
3
+ 𝑥 cos
𝜋
3
− 𝑥

12. Transformación trigonométrica
• sen 𝐴 + sen 𝐵 = 2 sen
𝐴+𝐵
2
cos
𝐴−𝐵
2
• sen 𝐴 − sen 𝐵 = 2 cos
𝐴+𝐵
2
s𝑒𝑛
𝐴−𝐵
2
• 𝑐𝑜𝑠 𝐴 + cos 𝐵 = 2 cos
𝐴+𝐵
2
𝑐𝑜𝑠
𝐴−𝐵
2
• 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − cos 𝐵 = 2 sen
𝐴+𝐵
2
𝑠𝑒𝑛
𝐴−𝐵
2

13. • 2 sin 𝑥 cos 𝑦 = sin 𝑥 + 𝑦 + sin 𝑥 − 𝑦
• 2 cos 𝑥 cos 𝑦 = cos 𝑥 + 𝑦 + cos 𝑥 − 𝑦
• 2 sen 𝑥 se𝑛 𝑦 = cos 𝑥 − 𝑦 − cos 𝑥 + 𝑦

14. • Propiedad
Si 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝜋, donde x, y, z son variables reales, luego
se establece que:
sin 𝑥 + sin 𝑦 + sin 𝑧 = 4 cos
𝑥
2
cos
𝑦
2
cos
𝑧
2
cos 𝑥 + cos 𝑦 + cos 𝑧 = 4 sen
𝑥
2
sen
𝑦
2
sen
𝑧
2
+ 1