El documento trata sobre identidades trigonométricas. Explica que una identidad es una ecuación que es cierta para todos los valores posibles de las variables. Luego presenta varias identidades básicas como las identidades de recíprocas, paridad y pitagóricas. Finalmente, resuelve ejemplos para demostrar el uso de las identidades en la simplificación de expresiones trigonométricas.

1. Identidades
trigonométricas
Prof. Rosa E. Padilla Torres

2. Identidad
• Una identidad es una ecuación que es cierta para todos los
posibles reemplazos de las variables.
• Es una igualdad entre expresiones que contienen funciones
trigonométricas y es válida para los valores del ángulo en los
cuales están definidas las funciones.
• Se usan para simplificar expresiones y determinar si son
equivalentes.

3. Identidades básicas
(recíprocas)
sin 𝑥 =
1
csc 𝑥
cos 𝑥 =
1
sec 𝑥
tan 𝑥 =
1
cot 𝑥
csc 𝑥 =
1
sin 𝑥
sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
cot 𝑥 =
1
tan 𝑥
tan 𝑥 =
sin 𝑥
cos 𝑥
cot 𝑥 =
cos 𝑥
sin 𝑥

4. Identidades básicas (paridad)
sin(−𝑥) = − sin 𝑥
cos(−𝑥) = cos 𝑥
tan(−𝑥) = − tan 𝑥

5. Identidades Pitagóricas
𝑦 = sin 𝑠
𝑥 = cos 𝑠
𝑥² + 𝑦² = 1
(cos 𝑠)² + (sin 𝑠)² = 1
cos² 𝑠 + sin² 𝑠 = 1

6. sin² 𝑠 ≠ sin 𝑠²

7. Identidades

8. Identidades Pitagóricas
sin² 𝑥 + cos² 𝑥 = 1
1 + cot² 𝑥 = csc² 𝑥
1 + tan² 𝑥 = sec² 𝑥

9. Identidades

10. Ejemplo 1
• Multiplica y simplifica:
cos 𝑥 (tan 𝑥 − sec 𝑥)
• Solución:
cos 𝑥 (tan 𝑥 − sec 𝑥)
= cos 𝑥
sin 𝑥
cos 𝑥
− cos 𝑥
1
cos 𝑥
= sin 𝑥 − 1

11. Ejemplo 2
• Factoriza y simplifica:
• Solución:
sin² 𝑥 cos² 𝑥 + cos4
𝑥 sin² 𝑥 cos² 𝑥 + cos4 𝑥
= cos² 𝑥 sin² 𝑥 + cos² 𝑥
= cos² 𝑥 ∙ (1)
= cos² 𝑥

12. Ejemplo 3
• Simplifica:
• Solución:
cot(−𝜃)
csc( − 𝜃)
cot(−𝜃)
csc( − 𝜃)
=
cos(−𝜃)
sin(−𝜃)
1
sin(−𝜃)
=
cos(−𝜃)
sin(−𝜃)
∙ sin(−𝜃)
= cos(−𝜃) = cos 𝜃

13. Ejemplo 4
• Simplifica:
• Solución:
2 sin² 𝑡 + sin 𝑡 − 3
1 − cos2 𝑡 − sin 𝑡
2 sin² 𝑡 + sin 𝑡 − 3
1 − cos2 𝑡 − sin 𝑡
=
2 sin² 𝑡 + sin 𝑡 − 3
sin² 𝑡 − sin 𝑡
=
(2 sin 𝑡 + 3)( sin 𝑡 − 1)
sin 𝑡 (sin 𝑡 − 1)
2𝑦2
+ 𝑦 − 3
(2𝑦 + 3)(𝑦 − 1)
=
(2 sin 𝑡 + 3)
sin 𝑡
=
2 sin 𝑡
sin 𝑡
+
3
sin 𝑡
= 2 +
3
sin 𝑡
= 2 + 3 csc 𝑡

14. Ejemplo 5
• Suma y simplifica:
cos 𝑥
1+sin 𝑥
+ tan 𝑥

15. Ejemplo 6
• Multiplica y simplifica:
sin³ 𝑥 cos 𝑥 ∙ cos 𝑥
• Solución:

16. Ejemplo 7
• Racionaliza el denominador:
• Solución:

17. Ejemplo 8
• Expresa 9 + 𝑥 ² en forma trigonométrica en función de 𝜃, sin
radicales sabiendo que 𝑥 = 3 tan 𝜃. Asuma que 0 < 𝜃 < 𝜋
2
. Halle
sin 𝜃 ∧ cos 𝜃.

18. Solución 8

19. Ejemplo 9
• Simplifica: cos 𝑡 + tan 𝑡 sin 𝑡

20. Ejemplo 1o
• Simplifica la expresión
sin 𝜃
cos 𝜃
+
cos 𝜃
1 + sin 𝜃

21. Identidades de suma y resta

22. Identidades de Cofunciones

23. Ejemplo 11
• Halla el valor exacto de cos
5𝜋
12
.
• Solución:

24. Ejemplo 12
• Halla el valor exacto de cos
𝜋
2
− 𝜃 .
• Solución:

25. Ejemplo 13
• Halla una identidad para

26. Ejemplo 14
• Halla una identidad para

27. Ejemplo 15
• Halla la medida exacta de tan 15°.
• Reescribimos 15 como 45° − 30°.

28. Ejemplo 16
• Halla el valor exacto de cos 75°.
cos 75° = cos(45° + 30°)
= cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30°
=
2
2
∙
3
2
−
2
2
∙
1
2
=
6
4
−
2
4
=
1
4
6 − 2

29. Ejemplo 17
• Halla el valor exacto de sin
7𝜋
12
.
sin
7𝜋
12
= sin
3𝜋
12
+
4𝜋
12
= sin
𝜋
4
cos
𝜋
3
+ cos
𝜋
4
sin
𝜋
3
=
2
2
∙
1
2
+
2
2
∙
3
2
=
2
4
+
6
4
=
1
4
2 + 6
= sin
𝜋
4
+
𝜋
3

30. Ejemplo 18
• Asuma que sin ∝=
2
3
y 𝛽 =
1
3
y ∝ y 𝛽 se encuentran entre 0 y
𝜋
2
.
Entonces, evalúe sin(∝ +𝛽) .

31. Práctica

32. Práctica

33. Práctica

34. Práctica

35. Identidades de doble ángulo

36. Identidades de medio ángulo

37. Ejemplo 19
• Dado que tan 𝜃 = −
3
4
y 𝜃 se encuentra en el segundo cuadrante,
halla sin 2𝜃

38. Ejemplo 20
• Dado que tan 𝜃 = −
3
4
y 𝜃 se encuentra en el segundo cuadrante,
halla cos 2𝜃

39. Ejemplo 21
• Dado que tan 𝜃 = −
3
4
y 𝜃 se encuentra en el segundo cuadrante,
halla tan 2𝜃

40. Ejemplo 22
• Halla el valor exacto de tan
𝜋
8
.

41. Ejemplo 23
• Simplifica:

42. Ejemplo 24
• Simplifica: